数学模型复习题

数学模型复习题数学模型复习题1、)(t x 为连续函数，初值条件0)0(x x =，假设其增长率为常数r ，显然有t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()(，则其满足微分方程 ；微分方程满足初值条件的解为 ；这个模型称为 。

2、叙述数学建模的一般步骤模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用3、简述数学模型按以下方面的分类：按应用领域可分为：人口、交通、能源、环境、经济、规划等等；按建立模型的数学方法可分为：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等等；按模型的表现特征可以分为：确定性和随机性、线性和非线性、静态和动态、连续与离散等等4、在超市购物时你可能注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如中华牙膏65g 每支2.5元，120g 每支3.8元，二者单位重量的价格比约为1.21：1。

（1）分析商品单位重量价格C 与商品重量w 的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本所决定，这些成本中有的与体积成正比、有的与表面积成正比、有的与体积（重量w ）无关。

（2）给出单位重量价格C 与w 的关系，画出它们的简图。

说明w 越大C 越小，但是随着w 的增加C 减小的速度变慢，解释其意义是什么？5、2005级新生入学后，统计与应用数学学院共有在校学生1050人，其中统计学专业600人，信息与计算科学专业400人，数学与应用数学专业50人。

要在全院推选23名学生组成学生代表团，试用下面的方法分配各专业的学生代表：（1）按比例分配取整的方法，剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者；（2）用Q 值方法进行分配6、工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用。

设在一个生产周期T 内，原料每天的需求量为常数r ，每次的定货费用为1c ，每天每单位原料的存储费为2c ，订货后可立即到货，每次订货量为Q 。

（1）建立一周期的总费用函数（包括订货费与库存费，购货费是常数可不予考虑）；（2）为使每天的平均费用最小，求最佳订货批量Q 、订货周期T 和最小成本C 。

7、一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天体重增加2公斤。

目前生猪的出售价格为每公斤8元，但是预测价格每天降低0.1元。

（1）问该饲养场应该在什么时候出售这样的生猪最划算？（2）在最佳出售时机的价格之下，作体重增加关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；（3）在最佳出售时机的价格之下，作价格的降低关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；8、利润)(p U 是销售收入)(p I 与生产支出)(p C 之差，p 为每单位商品的售价，即)()()(p C p I p U -=。

dp dI 称为 ；dp dC 称为 ；dp dU 称为 ；利润最大化的条件是 。

给定px p I =)(，qx p C =)(，需求函数bp a p x -=)(，0,,>q b a 已知（1）建立利润函数的表达式；（2）利用上述条件求利润最大化时的价格。

9、消费者对甲、乙两种商品的效用曲线（无差异曲线）),(21q q U ，问他如何利用手中的钱s 购买两种单价分别为1p 和2p 的商品以达到效用最大。

（1）建立效用最大化的数学规划模型；（2）利用Lagrange乘数法求出利润最大化的条件，并对结果进行解释。

10、某公司用木头雕刻士兵模型出售。

公司的两大主要产品分别是“盟军”和“联军”士兵，每件利润分别是28美元和30美元。

制作一个“盟军”士兵需要使用2张木版，花费4小时的木工，再经过2小时的整修；制作一个“联军”士兵需要使用3张木版，花费3.5小时的木工，再经过3小时的整修。

该公司每周能得到100张木版，可供使用的木工（机器时间）为120小时，整修时间为90小时。

（1）确定每种士兵的生产数量，使得每周的利润最大，建立线性规划问题的数学模型。

（2）对于你建立的线性规划模型，利用LINDO6.0求解结果如下：请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 972.0000VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 9.000000 0.000000X2 24.000000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 10.000000 0.0000003) 0.000000 4.8000004) 0.000000 4.400000NO. ITERATIONS= 1RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASEX1 28.000000 6.285715 8.000000X2 30.000000 12.000000 5.500000RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 100.000000 INFINITY 10.0000003 120.000000 60.000000 14.9999994 90.000000 10.000000 30.00000011、牧场主知道，对于一匹体型中等的马来说，最低的营养需求为：40磅蛋白质、20磅碳水化合物、45磅粗饲料，这些营养成分是从不同的饲料中得饲料营养成分干草（每捆）燕麦片（每袋）饲料块（每块）高蛋白浓缩料（每袋）每批马的需求（每天）蛋白质（磅）0.5 1.0 2.0 6.0 40.0碳水化合物（磅）2.0 4.0 0.5 1.0 20.0粗饲料（磅）5.0 2.0 1.0 2.5 45.0价格（美元）1.80 3.50 0.40 1.00对于你建立的线性规划模型，利用LINDO6.0求解结果如下：请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 17.00000VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 5.000000 0.000000X2 0.000000 1.500000X3 20.000000 0.000000X4 0.000000 0.100000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 2.500000 0.0000003) 0.000000 -0.4000004) 0.000000 -0.200000NO. ITERATIONS= 3RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 1.800000 0.200000 0.200000 X2 3.500000 INFINITY 1.500000 X3 0.400000 0.046875 0.040000 X4 1.000000 INFINITY 0.100000 RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 40.000000 2.500000 INFINITY 3 20.000000 2.500000 0.131579 4 45.000000 0.333333 5.00000012、用)(t x 和)(t y 分别表示甲乙交战双方时刻t 的兵力（人数），每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,分别为),(),,(y x g y x f ；每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）只与本方的兵力成正比；甲乙双方的增援率是给定的时间的函数，分别为)(),(t v t u 。

则兵力变化的微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+--=+--=)(),()(),(t v y y x g dtdy t u x y x f dt dx βα 根据以下条件，求出甲乙兵力的函数，分析甲、乙方获胜的条件。

正规战争：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x bx dt dy aydt dx游击战争：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x dxy dtdy cxydt dx 混合战争：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x bxdtdy cxydt dx 13、在经济增长模型中，为了适用于不同的对象，可将产量函数折算成现金，考虑到物价上涨因素，我们记物价上升指数为)1)0()((=p t p ，则产品的表面价值)(t y 、实际价值)(t Q 和物价指数)(t p 之间有关系)()()(t p t Q t y =。

（1）导出)(),(),(t p t Q t y 的相对增长率之间的关系，并作出解释；（2）设雇佣工人数为)(t L ，每个工人的工资)(t w ，其他成本)(t C 企业的利润函数为)()()()()()()()()()(t C t w t L t p t Q t C t w t L t y t R --=--=根据Cobb —Douglas 生产函数)()()(1t k t aL t Q r r -=讨论，企业应雇佣多少工人可使利润最大？14、记时刻t 渔场中的鱼量为)(t x ，在无捕捞的条件下)(t x 的增长服从Logistic 规律⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx dx dx 1其中r 是固有增长率，N 是环境容许的最大鱼量。

解这个微分方程满足初值条件0)0(x x =，并解释何时鱼量达到最大？15、Volterra 食饵—捕食者模型⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=)()(bx d y dtdy ay r x dt dx （1）消去dt 后，化为关于y x ,的微分方程；（2）分离变量，求解上述微分方程并进行化简；（3）解释食饵—捕食者两类生物数量变化的规律。

16、叙述层次分析法的基本步骤17、用层次分析法解决一个实际问题，建立合理的层次结构，并给出层次结构中所有关系的判别矩阵。

（不必求解）18、试用和法求下列正互反矩阵的最大特征值与对应的权重。

计算一致性指标CI ，根据3阶判断矩阵的随机性一致指标为58.0=RI ，计算一致性比率CR 并作一致性检验。