几种二维插值法的比较
二维插值 原理
二维插值原理
二维插值是一种基于已知数据点的二维曲线或曲面估计方法。
它广泛应用于图像处理、地理信息系统、物理模拟等领域。
在二维插值中，我们假设已知的数据点位于一个二维平面上，每个数据点都有一个对应的数值。
我们的目标是通过这些已知数据点，来推断出未知位置上的数值。
常见的二维插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
线性插值是最简单的二维插值方法之一。
它假设在两个相邻数据点之间，数值的变化是线性的。
我们可以通过这两个相邻数据点之间的线段来估计未知位置上的数值。
拉格朗日插值则使用一个多项式来拟合已知数据点。
该多项式会经过所有已知数据点，并通过它们来估计未知位置上的数值。
它的优点是能够完全通过已知数据点来插值，但在高维情况下容易产生过拟合问题。
样条插值是一种基于局部插值的方法。
它通过在每个局部区域上拟合一个低阶多项式来实现插值。
这些局部多项式在相邻区域处满足平滑和连续性条件，从而得到整体平滑的插值结果。
除了上述方法外，还有其他一些二维插值方法，如反距离加权插值和克里金插值等。
总的来说，二维插值通过已知数据点之间的关系来估计未知位置上的数值。
不同的插值方法在计算复杂度、精度和平滑性等方面存在差异，根据具体应用场景的需求，选择合适的插值方法是非常重要的。
插值方法
插值方法实验一：基本插值方法的比较1). 一维插值利用以下一些具体函数，考察分段线性插值﹑三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
1．211x +，x Î[-5,5]； 2．sin x , x Î[0,2p]; 3．cos 10x , x Î[0,2p]．注意：适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。
2)．高维插值对于二维插值的几种方法：最邻近插值﹑分片线性插值﹑双线性插值﹑三次插值﹑组合插值等，利用如下函数进行插值计算，观察其插值效果变化，得出什么结论？ (1) ())(sin ),(px t t x f -=ω，参数p =1/2000~1/200；采样步长为：t =4ms~4s ；x =5~25m.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=εεεεy y x x y x f 1516sin 1516sin 1516sin 1516sin 103),(22参数e =1~2；x ,y Î [-1,1]。
(3) 将2中的函数推广到三维情形，进行同样的处理，体会高维插值的运用。
实验二：几何物理中的插值问题采用适当的方法求解下列问题：1). 轮船的甲板成近似半椭圆面形，为了得到甲板的面积。
首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度﹑自左向右分别为：0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073， 计算甲板的面积。
2). 物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。
测得位移与受力如下表求 (1) 物体从位移为0到0.4所做的功；(2) 位移为0.4时的速度是多少？3)．火车行驶的距离(路程)﹑速度数据如下，计算从静止开始20 分钟内走过的路程。
Excel表格中二维数值插值的操作方法
Excel表格中二维数值插值的操作方法
我们进行了只有一个方向数据是数值型的数据检索时的插值方法，将对两个方向均为插值的情况进行分析。
今天，店铺就教大家在Excel 表格中二维数值插值的操作方法。
Excel表格中二维数值插值的操作步骤如下：
源数据表如下。
检索要求：根据温度厚度检索有关数据并进行双向插值。
思路：首先要获取有关的四个数据(红圈内)及相应的X，Y对应的四个数据，
然后进行插值计算。
X方向索引位置：=MATCH(B1,Sheet1!B2:I2,1)，
Y方向索引位置：=MATCH(B2,Sheet1!A3:A12,1)。
对应的轴数值，
X1,=INDEX(Sheet1!B2:I2,B4)。
X2,=INDEX(Sheet1!B2:I2,B4+1)
Y1,=INDEX(Sheet1!A3:A13,B7)
Y2,=INDEX(Sheet1!A3:A13,B7+1)
对应数据，
D11,=INDEX(Sheet1!B3:I11,B7,B4)，
D12,=INDEX(Sheet1!B3:I11,B7+1,B4)，
D21,=INDEX(Sheet1!B3:I11,B7,B4+1)，
D22,=INDEX(Sheet1!B3:I11,B7+1,B4+1)。
X方向插值计算，
y插1：=(B2-B8)/(B9-B8)*(B11-B10)+B10，
y插2：=(B2-B8)/(B9-B8)*(B13-B12)++B12，
最终值：=(B1-B5)/(B6-B5)*(B15-B14)+B14。
Excel表格中二维数值插值的操作。
二维插值算法原理
二维插值算法原理二维插值算法是一种在二维空间中根据已知的数据点来估计未知位置上的数值的算法。
它广泛应用于图像处理、地理信息系统和数值模拟等领域。
其原理是基于数学上的连续性和局部平滑性假设，通过利用已知数据点的信息，对未知位置上的数值进行估计。
二维插值算法的基本思想是根据已知的数据点的数值和位置，构建出一个合适的数学模型。
对于每一个未知位置，通过模型可以预测其数值。
这个模型常常是一个多项式函数或者其它形式的连续函数，以便于能够在整个二维空间中插值。
其中最常见的二维插值算法是双线性插值。
双线性插值法假设每个未知位置上的数值都是由其相邻四个已知点的数值线性插值得到的。
具体而言，假设已知的四个点为A、B、C、D，它们的数值分别为f(A)、f(B)、f(C)、f(D)。
对于未知位置P，可以通过以下公式计算得到其数值f(P)：f(P) = (1 - u)(1 - v) f(A) + u(1 - v) f(B) + (1 - u)v f(C) + uv f(D)其中，u和v是分别表示未知位置在水平和垂直方向上的相对位置的权重。
这种方法实现简单，计算效率高，可以较为准确地插值出未知位置上的数值。
除了双线性插值之外，还有其它一些更复杂的二维插值算法，如三次样条插值、Kriging插值等。
这些算法在不同的应用场景下具有不同的优势。
例如，三次样条插值在处理光滑函数时效果较好，而Kriging插值则适用于处理具有空间相关性的数据。
选择适合的插值算法可以提高插值结果的质量。
在实际应用中，二维插值算法在处理图像、地理数据和模拟结果等方面具有重要意义。
通过插值算法，可以将有限的离散数据转换为连续的函数，从而对未知位置上的数值进行预测和分析。
同时，它也为数据的可视化提供了基础，使得我们能够更直观地理解数据的分布和变化规律。
总之，二维插值算法是一种有指导意义的数学工具，它通过在二维空间中根据有限的已知数据点估计未知位置上的数值。
[转载]插值算法（一）：各种插值方法比较
![[转载]插值算法（一）：各种插值方法比较](https://img.taocdn.com/s3/m/807a27741fd9ad51f01dc281e53a580216fc500f.png)
[转载]插值算法（⼀）：各种插值⽅法⽐较原⽂地址：插值算法（⼀）：各种插值⽅法⽐较作者：稻草⼈确定性随机性确定性随机性趋势⾯（⾮精确）回归（⾮精确）泰森（精确）克⾥⾦（精确）密度估算（⾮精确）反距离权重（精确）薄板样条（精确）整体拟合利⽤现有的所有已知点来估算未知点的值。
局部插值使⽤已知点的样本来估算位置点的值。
确定性插值⽅法不提供预测值的误差检验。
随机性插值⽅法则⽤估计变异提供预测误差的评价。
对于某个数据已知的点，精确插值法在该点位置的估算值与该点已知值相同。
也就是，精确插值所⽣成的⾯通过所有控制点，⽽⾮精确插值或叫做近似插值，估算的点值与该点已知值不同。
1、反距离加权法（Inverse Distance Weighted）反距离加权法是⼀种常⽤⽽简单的空间插值⽅法，IDW是基于“地理第⼀定律”的基本假设:即两个物体相似性随他们见的距离增⼤⽽减少。
它以插值点与样本点间的距离为权重进⾏加权平均，离插值点越近的样本赋予的权重越⼤，此种⽅法简单易⾏，直观并且效率⾼，在已知点分布均匀的情况下插值效果好，插值结果在⽤于插值数据的最⼤值和最⼩值之间，但缺点是易受极值的影响。
2、样条插值法（Spline）样条插值是使⽤⼀种数学函数，对⼀些限定的点值，通过控制估计⽅差，利⽤⼀些特征节点，⽤多项式拟合的⽅法来产⽣平滑的插值曲线。
这种⽅法适⽤于逐渐变化的曲⾯，如温度、⾼程、地下⽔位⾼度或污染浓度等。
该⽅法优点是易操作，计算量不⼤，缺点是难以对误差进⾏估计，采样点稀少时效果不好。
样条插值法⼜分为张⼒样条插值法（Spline with Tension）规则样条插值法（Regularized Spline）薄板样条插值法 (Thin-Plate Splin)3、克⾥⾦法（Kriging）克⾥⾦⽅法最早是由法国地理学家Matheron和南⾮矿⼭⼯程师Krige提出的，⽤于矿⼭勘探。
这种⽅法认为在空间连续变化的属性是⾮常不规则的，⽤简单的平滑函数进⾏模拟将出现误差，⽤随机表⾯函数给予描述会⽐较恰当。
二维数据拟合曲面方程
二维数据拟合曲面方程在科学研究和工程应用中，通过采集一系列的二维数据点，我们希望能够找到一个拟合曲面方程，以便进行预测、优化和模拟等分析。
在本文中，我们将探讨二维数据拟合曲面方程的方法。
一、多项式拟合法多项式拟合是最常见的一种拟合方法之一。
它通过将二维数据点拟合为高次多项式方程，来实现曲面拟合的目的。
其基本原理是确定多项式的次数，并使用最小二乘法求解多项式的系数。
以二次多项式拟合为例，假设已知的二维数据点为(x1, y1)、(x2,y2)、...(xn, yn)，则二次多项式可表示为：f(x, y) = a + bx + cy + dx^2 + exy + fy^2利用最小二乘法，可以求解出多项式的系数a、b、c、d、e、f的值，从而得到拟合曲面方程。
二、径向基函数插值法径向基函数插值是一种基于插值原理的曲面拟合方法。
它通过选取适当的径向基函数，将二维数据点表示为径向基函数的线性组合，从而得到曲面方程。
其中，径向基函数常用的有高斯函数、多孔径函数等。
以高斯函数为例，其径向基函数可表示为：φ(r) = e^(-k*r^2)其中，r为二维数据点到控制点的距离，k为控制径向基函数形状的参数。
通过选取合适的控制点和参数值，将二维数据点表示为径向基函数的线性组合，即可得到拟合曲面方程。
三、样条插值法样条插值是一种基于插值原理的曲面拟合方法。
它通过选取适当的节点，将二维数据点表示为节点上的样条函数的线性组合，从而得到曲面方程。
其中，样条函数常用的有线性样条函数、二次样条函数等。
以线性样条函数为例，其曲面方程可表示为：f(x, y) = ∑(ai*φi(x, y))其中，φi(x, y)为控制节点i处的样条函数。
通过选择合适的控制节点和样条函数形式，将二维数据点表示为样条函数的线性组合，即可得到拟合曲面方程。
四、最小二乘法拟合除了多项式拟合、径向基函数插值和样条插值等方法外，最小二乘法也是常用的一种拟合方法之一。
二维离散点插值方法
二维离散点插值方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊超有意思的“二维离散点插值方法”。
就好比你画了一些孤立的点，就像天上的星星似的，然后你想要把这些点连起来，变成一幅完整的画，这时候二维离散点插值方法就派上用场啦！
比如说你在地图上标记了几个城市的位置，但是你想知道这些城市之间具体的地形情况呀，这时候用这个方法就能给你估算出来呢！它就像一个神奇的魔法棒，能把那些离散的点变得有意义起来。
再想一想，假如你收集了一些实验数据，是一些零散的点，那怎么才能知道整体的趋势呢？二维离散点插值方法就能帮上大忙啦！它能让你看到这些数据背后隐藏的规律，是不是超级厉害的！
我觉得呀，这个方法就像是给我们打开了一扇通往未知世界的门，让我们能更好地理解和探索那些看似杂乱无章的信息。
真的是太有用啦！
观点结论：二维离散点插值方法是一种非常有价值的工具，可以帮助我们处理离散的点信息，揭示背后的趋势和规律，值得我们深入学习和掌握。
二维插值算法原理
二维插值算法是一种用于在二维空间中估计未知数据点的方法。
它基于已知数据点的值和位置来推断未知数据点的值。
以下是常见的二维插值算法原理之一：双线性插值。
双线性插值是一种基于四个最近邻数据点进行估计的方法。
假设我们有一个二维网格，已知在四个顶点上的数据点的值和位置。
要估计某个位置处的未知数据点的值，双线性插值算法按照以下步骤进行：
1.找到目标位置的最近的四个已知数据点，通常称为左上、右上、左下和右下。
2.计算目标位置相对于这四个已知数据点的相对位置权重。
这可以通过计算目标位置到每个已知数据点的水平和垂直距离，然后根据距离来计算相对权重。
3.根据权重对四个已知数据点的值进行加权平均。
这里的加权平均可以使用线性插值进行计算。
4.得到目标位置的估计值作为插值结果。
双线性插值算法基于以下两个假设：
-在目标位置的附近，插值曲面在水平和垂直方向上是一致的，即呈现线性关系。
-已知数据点之间的变化不会很剧烈，即目标位置与附近已知数据点的值之间存在一定的连续性。
双线性插值算法是一种简单而有效的二维插值方法，适用于平滑、连续变化的数据。
但对于非线性、不规则的数据分布，或者存在边界情况的情况下，可能需要使用其他更复杂的插值算法来获得更准确的估计结果。
二维插值
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 缺省时, 双线性插值
要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取 行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出 x0,y0的范围。
例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。
1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 输入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; mesh(x,y,temps) 2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.
x
O
将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次 简记为： f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4
分两片的函数表达式如下：
第一片(下三角形区域)： (x, y)满足
插值函数为： f ( x, y) f1 (f 2 f1 )( x x i ) (f 3 f 2 )( y y j )
f=a1+a2/x + + +
f=aebx +
+
-bx f=ae + +
二维样条插值函数和二维牛顿插值
二维样条插值函数和二维牛顿插值二维样条插值函数和二维牛顿插值是在二维平面上进行插值的两种常见方法。
它们在科学计算、图像处理、地理信息系统等领域都有广泛的应用。
本文将对二维样条插值函数和二维牛顿插值进行详细介绍，并对它们的使用方法和特点进行比较。
首先，我们先来了解二维样条插值函数。
样条插值是一种光滑插值方法，它通过将插值函数拆分成多个小段，每个小段被称为样条。
二维样条插值函数是在二维平面上进行插值时使用的方法。
它的主要思想是将数据点之间的曲线进行拟合，得到一个平滑的曲线。
二维样条插值函数的插值曲线不仅能通过给定的数据点，还能将曲线的一阶和二阶导数保持连续。
这保证了插值曲线的光滑性和拟合性能。
在二维样条插值函数中，常用的有三次样条插值和二次样条插值。
三次样条插值利用三次多项式求解，保证了曲线的光滑性和连续性。
而二次样条插值只利用二次多项式，比三次样条插值的计算量要小，但相应地也降低了插值曲线的平滑性。
使用哪种样条插值函数要根据具体的应用场景和需求来选择。
接下来，我们来介绍二维牛顿插值。
二维牛顿插值是利用多项式进行插值的一种方法。
它通过构造一个多项式函数来拟合给定的数据点。
多项式的次数取决于数据点的个数。
二维牛顿插值的关键在于寻找插值节点和系数。
在二维牛顿插值中，插值节点的选取非常重要。
合理选择插值节点可以提高插值函数的拟合性能。
常见的选择方法有均匀节点选择和非均匀节点选择。
均匀节点选择是将二维平面均匀地划分成若干个小区域，然后在每个小区域内选择一个节点作为插值节点。
非均匀节点选择则根据数据点的密集程度来灵活选择节点，从而提高插值函数的拟合精度。
二维牛顿插值可以通过Newton的插值公式推导得到插值函数。
利用插值节点和数据点的差商来表示多项式的系数，从而得到插值函数。
同时，牛顿插值函数的计算速度相对较快，不需要拟合样条的复杂过程。
综上所述，二维样条插值函数和二维牛顿插值在二维平面上进行插值都有各自的特点和应用场景。
一维、二维与多维插值
一维、二维与多维插值插值就是已知一组离散的数据点集，在集合内部某两个点之间预测函数值的方法。
一、一维插值插值运算是根据数据的分布规律，找到一个函数表达式可以连接已知的各点，并用此函数表达式预测两点之间任意位置上的函数值。
插值运算在信号处理和图像处理领域应用十分广泛。
1．一维插值函数的使用若已知的数据集是平面上的一组离散点集(x,y)，则其相应的插值就是一维插值。
MATLAB中一维插值函数是interp1。
y=interp([x,]y,xi,[method],['extrap'],[extrapval])，[]代表可选。
method：'nearest'，'linear'，'spline'，'pchip'，'cubic'，'v5cubic'。
此m文件运行结果：放大π/2处：2．内插运算与外插运算（1）只对已知数据点集内部的点进行的插值运算称为内插，可比较准确的估测插值点上的函数值。
（2）当插值点落在已知数据集的外部时的插值称为外插，要估计外插函数值很难。
MATLAB对已知数据集外部点上函数值的预测都返回NaN，但可通过为interp1函数添加'extrap'参数指明也用于外插。
MATLAB的外插结果偏差较大。
二、二维插值已知点集在三维空间中的点的插值就二维插值问题，在图像处理中有广泛的应用。
二维插值函数是interp2，用法与一维插值函数interp1类似。
ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI, method, extrapval)：在已知的(X,Y,Z)三维栅格点数据上，在(XI, YI)这些点上用method指定的方法估计函数值，外插使用'extrapval'。
二维插值中已知数据点集(X, Y)必须是栅格格式，一般用meshgrid函数产生。
插值方法
二、分段多项式插值 由于高次插值多项式的振荡缺陷，促使人们转而寻求简单的低 次多形式插值。分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干 个小区间，然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值。 1、分段线性插值 设函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值已知， 为 y0,y1,…,yn 。 要求一个分段( 共 n段)线性函数q(x)，使其满足： q(xi)=yi, i=0,1,…,n. 这n+1个点 x0,x1,…,xn 称为节点，q(x) 称为插值基函数 y
实验四、插值方法
一、插值思想简介
二、一维插值 三、二维插值 四、利用matlab进行插值计算 五、建模实例
一、插值思想简介
插值：最初来源于天体计算的需要，比如，人们得到了
若干观测值，即某个星球在若干已知时刻的位置，需要计 算星球在另一些时刻的位置。所谓插值，就是在若干已知 的函数值之间插入计算一些未知的函数值。
三次样条函数 记为S(x), 它是定义在区间[a, b] 上的函数， 满足以下两个条件： 1). S(x) 在每一个小区间[xi-1,xi]上是一个三次多项式函数 ； 2). 在整个区间[a,b]上，其二阶导数存在且连续。 即在每个节点处 的二阶导数连续。
问题：给定函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一个三次样条函数S (x)，使其满足：S (xi)=yi,i=0,1,…,n. 如何确定三次样条函数在每一个小区间上的三次多项式函数的系数？
例如，在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 (xi,yi) ,i=0,1,…，揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用 一个近似的函数关系式：y=f(x)来表示。函数f(x)的产生办法因观 测数据与要求的不同而异。
二维插值原理
二维插值原理1. 插值的概念在数学和计算机科学中，插值是指根据已知数据点的值，通过构造合适的函数或曲线来估计未知数据点的值。
插值可以用于处理各种问题，如信号处理、图像处理、地理信息系统等。
2. 二维插值的基本原理二维插值是一种在二维空间中对离散数据进行估计的方法。
它可以用于网格数据、图像处理、地理信息系统等领域。
2.1 网格数据的插值在网格数据中，每个数据点都有一个坐标和一个数值。
通过已知数据点之间的数值关系，可以推断出其他位置上的数值。
二维插值方法通常使用邻近点之间的数值关系来进行估计。
2.1.1 最近邻插值最近邻插值是最简单和最直观的二维插值方法之一。
它假设目标位置上的数值与离其最近的已知数据点相同。
即将目标位置上最近的已知数据点的数值赋给目标位置。
最近邻插值适用于离散分布、边界清晰且没有明显趋势变化的数据。
但它的缺点是无法对目标位置周围的数据进行考虑，容易产生锯齿状的估计结果。
2.1.2 双线性插值双线性插值是一种基于线性关系的二维插值方法。
它假设目标位置上的数值与其周围四个已知数据点之间的线性关系相同。
双线性插值首先在目标位置周围找到最近的四个已知数据点，然后根据这四个点之间的数值关系进行估计。
具体而言，它使用目标位置距离四个已知数据点的距离来计算一个权重，然后将这四个点的数值按权重进行加权平均。
双线性插值适用于边界较为平滑、变化趋势较为连续的数据。
它能够考虑目标位置周围数据的变化情况，因此结果更加平滑。
但对于非线性或不规则分布的数据，双线性插值可能导致估计结果不准确。
2.1.3 其他插值方法除了最近邻插值和双线性插值外，还有许多其他二维插值方法。
例如：•双三次插值：基于三次多项式的插值方法，可以更好地拟合数据的曲线变化。
•样条插值：通过构造光滑的曲线来估计数据点之间的数值关系。
•克里金插值：基于空间自相关性的插值方法，可以考虑数据点之间的空间关系。
这些方法各有优缺点，适用于不同类型的数据和问题。
数学实验插值
插 值 问 题 的 提 法
已知 n+1个节点 个节点 互不相同， 互不相同，不妨设 求任一插值点 处的插值 其中
• •
•
•
•
可认为节点 满足函数关 系y=g(x), 表 达式复杂, 达式复杂 或无封闭形 或未知。 式, 或未知。
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的 函数 构造一个 相对简单的)函数 y = 相对简单的 通过全部节点, f (x), 通过全部节点 即
5yx二维插值的提法已知mn个节点其中互不相同不妨设求任一插值点处的插值第一种网格节点二维插值的提法第二种散乱节点已知n个节点其中互不相同求任一插值点处的插值通过全部已知节点即构造一个二元函数再用计算插值即或最邻近插值分片线性插值双线性插值双三次插值
插 值
一维插值
1.插值的基本原理； 1.插值的基本原理； 插值的基本原理 2.三种插值方法： 2.三种插值方法： 三种插值方法 分段线性插值; 分段线性插值 三次样条插值; 三次样条插值 拉格朗日插值。 拉格朗日插值。 插值 3. 用MATLAB作插值 作插值 计算 4. 应用实例
y y + + + x + + x
函数f( )的产生办法：插值和拟合。 函数 (x)的产生办法：插值和拟合。 第一步:适当选择函数的形式； 第一步:适当选择函数的形式； 第二步:确定函数的参数。 第二步:确定函数的参数。
引例. 函数查表问题
标准正态分布函数
Φ( x) = ∫
x
1 2π
−∞
e
− 1 x2 2
MATLAB作三次样条插值计算 用MATLAB作三次样条插值计算
x0=linspace(x0=linspace(-5,5,11); y0=1./(1+x0.^2); x=linspace(x=linspace(-5,5,100); y=interp1(x0,y0,x,'spline'); x1=linspace(x1=linspace(-5,5,100); y1=1./(1+x1.^2); plot(x1,y1,'k',x0,y0,'+',x,y,'r');
几种插值法的应用和比较教学提纲
几种插值法的应用和比较插值法的应用与比较信科1302 万贤浩 132710381格朗日插值法在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起.1.1拉格朗日插值多项式图1已知平面上四个点：(−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ςς各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零.对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件.对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点：),(00y x ,……,),(k k y x ,其中i x 对应着自变量的位置，而i y 对应着函数在这个位置的取值.假设任意两个不同的i x 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：)()(0x l y x L j kj j ∑==，其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：)()()()()()()()()(111100,0k j k j j j j j j j kj i i i j i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏ΛΛ， 拉格朗日基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1，在其它的点i x ，j i ≠ 上取值为0.例：设有某个多项式函数f ，已知它在三个点上的取值为：•10)4(=f ， •25.5)5(=f ， • 1)6(=f ，要求)18(f 的值.首先写出每个拉格朗日基本多项式：())64)(54()6)(5(0----=x x x l ； ())65)(45()6)(4(1----=x x x l ； ())56)(46()5)(4(2----=x x x l ； 然后应用拉格朗日插值法，就可以得到p 的表达式（p 为函数f 的插值函数）：)()6()()5()()4()(210x l f x l f x l f x p ++=)56)(46()5)(4(1)65)(45()6)(4(25.5)64)(54()6)(5(10----⨯+----⨯+----⨯=x x x x x x )13628(412+-=x x ， 此时数值18就可以求出所需之值：11)18()18(-==p f .1.2插值多项式的存在性与唯一性存在性对于给定的1+k 个点：),(),,(00k k y x y x K 拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式)(x l j .这样，多项式)(x l y j j 在点j x 取值为j y ，而在其他点取值都是0.而多项式()∑==kj j j x l y x L 0)(就可以满足∑==++++==ki j j j i y y x l y x L 0000)()(ΛΛ，在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：)())(()(110k j j x x x x x x x x ----+-ΛΛ，它在点j x 取值为：)()()(10k j j j i x x x x x x ---+ΛΛ.由于已经假定i x 两两互不相同，因此上面的取值不等于0.于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：)()()()()()()()(111100k j k j j j j j j j i j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--∏ΛΛ， 这就是拉格朗日基本多项式.唯一性次数不超过k 的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k 的拉格朗日多项式：1p 和2p ，它们的差21p p -在所有1+k 个点上取值都是0,因此必然是多项式)())((10k x x x x x x ---Λ的倍数.因此，如果这个差21p p -不等于0，次数就一定不小于1+k .但是21p p -是两个次数不超过k 的多项式之差，它的次数也不超过k ，所以021=-p p 也就是说21p p =.这样就证明了唯一性.1.3性质拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式n l l l ,,,10Λ（由某一组n x x x <<<Λ10 确定）可以看做是由次数不超过n 的多项式所组成的线性空间：[]X n K 的一组基底.首先，如果存在一组系数：n λλλ,,,10Λ使得，01100=+++=n n l l l P λλλΛ，那么，一方面多项式p 是满足n n x P x P x P λλλ===)(,,)(,)(1100Λ的拉格朗日插值多项式，另一方面p 是零多项式，所以取值永远是0.所以010====n λλλΛ，这证明了n l l l ,,,10Λ 是线性无关的.同时它一共包含1+n 个多项式，恰好等于[]X n K 的维数.所以n l l l ,,,10Λ 构成了[]X n K 的一组基底.拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是n 次多项式）.1.4优点与缺点拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐.这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替.此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式.2 重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进.在拉格朗日插值法中，运用多项式)())(()(10k x x x x x x x l ---=Λ，图（2）拉格朗日插值法的数值稳定性：如图(2)，用于模拟一个十分平稳的函数时，插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差（图中的14至15中间）可以将拉格朗日基本多项式重新写为：∏≠=--=kj i i i j j j x x x x x l x l ,0)(1)()(，定义重心权∏≠=-=kj i i i j j x x ,0)(1ω， 上面的表达式可以简化为：jjj x x x l x l -=ω)()(， 于是拉格朗日插值多项式变为：j k j j j y x x x l x L ∑=-=0)()(ω ， （1）即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式.它的优点是当插值点的个数增加一个时，将每个j ω都除以)(1+-k j x x ，就可以得到新的重心权1+k ω，计算复杂度为)(n O ，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度)(2n O 降了一个量级.将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数1)(≡x g 插值，可以得到：∑=-=∀k j j j x x x l x g x 0)()(,ω，因为1)(≡x g 是一个多项式.因此，将)(x L 除以)(x g 后可得到：∑∑==--=kj j j k j j j x x x x x L 00)(ωω， （2）这个公式被称为重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式.它继承了（1）式容易计算的特点，并且在代入x 值计算)(x L 的时候不必计算多项式)(x l 它的另一个优点是，结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零.同时，重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性.第一型拉格朗日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很小.3.分段线性插值对于分段线性插值，我们看一下下面的情况.3.1问题的重诉已知211)(x x g +=,66≤≤-x 用分段线性插值法求插值，绘出插值结果图形，并观察插值误差.1.在[-6，6]中平均选取5个点作插值；2.在[-6，6]中平均选取11个点作插值；3.在[-6，6]中平均选取21个点作插值；4.在[-6，6]中平均选取41个点作插值.3.2问题的分析在数值计算中，已知数据通常是离散的，如果要得到这些离散点以外的其他点的函数值，就需要根据这些已知数据进行插值.而本题只提供了取样点和原函数)(x g .分析问题求解方法如下：（1）利用已知函数式211)(xx g +=计算取样点X 对应的函数值Y ；将Y X ,作为两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值.因此被插值函数是一个单变量函数，可利用一维插值处理该数据插值问题.一维插值采用的方法通常有拉格朗日多项式插值（本题采用3次多项式插值），3次样条插值法和分段线性插值.（2）分别利用以上插值方法求插值.以0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，并将每一点作为插值函数的取样点.再根据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利用所得函数值画出相应的函数图象，并与原函数)(x g 的图象进行对比.3.3问题的假设为了解决上述分析所提到的问题，本题可以作出如下假设：（1）假设原函数)(x g 仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.而其他各点的函数值都是未知量，叙用插值函数计算.（2）为了得到理想的对比函数图象，假设)(x g 为已知的标准函数.可以选取0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，分别计算插值函数和标准函数)(x g 在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进行对比.3.4分段线性插值原理给定区间[]b a ,, 将其分割成b x x x a n =<<<=Λ10，已知函数)(x f y =在这些插值结点的函数值为),1,0)((n k x f y k k Λ==；求一个分段函数)(x I k ,使其满足：(1) k k h y x I =)(，),1,0(n k Λ=；(2) 在每个区间[]1,+k k x x 上, )(x I h 是个一次函数.易知,)(x I h 是个折线函数, 在每个区间[]1,+k k x x 上,),1,0(n k Λ=1111)(++++--+--=k kk k k k k k k h y x x x x y x x x x x I ,于是, )(x I h 在[]b a ,上是连续的，但其一阶导数是不连续的.于是即可得到如下分段线性插值函数：)()(0x l y x I ni i i n ∑==,其中 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤--=≤≤--=+++---.,0;,;0,111111其他时舍去时，且当时舍去时，且当n i x x x x x x x i x x x x x x x l i i i i i i i i ii i3.5问题的求解 在MATLAB 中实现分段线性插值，最近点插值，3次多项式插值，3次样条插值的命令为interp 1,其调用格式为: Y 1=interp 1(X ,Y ,X 1，’method ’) 函数根据X ,Y 的值，计算函数在X 1处的值.X ,Y 是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X 1是一个向量或标量，描述欲插值点，Y 1是一个与X 1等长的插值结果.method 是插值方法，包括：linear ：分段线性插值.它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线让选取对应插值点的数.nearest ：近点插值法.根据已知两点间的插值点与这两点间的位置远近插值.当插值点距离前点远时,取前点的值,否则取后点的值.cubic ：3次多项式插值.根据已知数据求出一个3次多项式，然后根据多项式进行插值.spline ：3次样条插值.在每个分段（子区间）内构造一个3次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求个节点处具有光滑条件.再根据已知数据求出样条函数后,按照样条函数插值.运用Matlab 工具软件编写代码，并分别画出图形如下： (一)在[-6，6]中平均选取5个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-50510-0.500.513次样条插值-10-5051000.20.40.60.81最近点插值-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值（二）在[-6，6]中平均选取11个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81（三）在[-6，6]中平均选取21个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-551000.20.40.60.813次样条插值-10-551000.20.40.60.81-10-551000.20.40.60.813次多项式插值（四）在[-6，6]中平均选取41个点作插值-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.8100.20.40.60.8100.20.40.60.813次多项式插值3.6 分段插值方法的优劣性分析从以上对比函数图象可以看出，分段线性插值其总体光滑程度不够.在数学上，光滑程度的定量描述是函数(曲线) 的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k 阶光滑性.一般情况下，阶数越高光滑程度越好.分段线性插值具有零阶光滑性，也就是不光滑.3次样条插值就是较低次数的多项式而达到较高阶光滑性的方法.总体上分段线性插值具有以下特点： 优点: 1.分段线性插值在计算上具有简洁方便的特点.2.分段线性插值与3次多项式插值函数在每个小区间上相对于原函数都有很强的收敛性，（舍入误差影响不大），数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连续)，从而不能满足某些工程技术上的要求.而3次样条插值却具有在节点处光滑的特点.。
地质数据处理_插值方法
二维数据场的插值方法1．二维数据场描述及处理目的数据场数据{(xi,yi,zi), i=1,…,n}, 即某特征在二维空间中的n个预测值列表：处理目的了解该数据场的空间分布情况处理思路网格化 绘制等值线图网格化方法：二维数据插值2．空间内插方法Surfer8.0中常用的插值方法Gridding MethodsInverse Distance to a Power(距离倒数加权)Kriging（克立格法）Minimum Curvature（最小曲率法）Modified Shepard's Method（改进Shepard方法）Natural Neighbor（近邻法）Nearest Neighbor（最近邻法）Polynomial Regression（多项式回归法）Radial Basis Function（径向基函数法）Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角形法） Moving Average（移动平均法）Data Metrics（数据度量方法）Local Polynomial（局部多项式法）Geostatistics Analyst Model in ArcGIS 92.1反距离加权插值反距离加权插值（Inverse Distance Weighting ，简称IDW ），反距离加权法是最常用的空间内插方法之一。
它的基本原理是：空间上离得越近的物体其性质越相似，反之亦然。
这种方法并没有考虑到区域化变量的空间变异性，所以仅仅是一种纯几何加权法。
反距离加权插值的一般公式为：∑==ni i i i y x Z y x Z 1),(),(λ其中，0Z(x )为未知点0x 处的预测值，i Z(x )为已知点i x 处的值，n 为样点的数量，λ为样点的权重值，其计算公式为：np p i i0i0i 1d /d λ--==∑ 式中i0d 为未知点与各已知点之间的距离，p 是距离的幂。
图像的降采样与升采样（二维插值）
图像的降采样与升采样（⼆维插值）图像的降采样与升采样（⼆维插值）1、先说说这两个词的概念：降采样，即是采样点数减少。
对于⼀幅N*M的图像来说，如果降采样系数为k,则即是在原图中每⾏每列每隔k个点取⼀个点组成⼀幅图像。
降采样很容易实现.升采样，也即插值。
对于图像来说即是⼆维插值。
如果升采样系数为k,即在原图n与n+1两点之间插⼊k-1个点，使其构成k分。
⼆维插值即在每⾏插完之后对于每列也进⾏插值。
插值的⽅法分为很多种，⼀般主要从时域和频域两个⾓度考虑。
对于时域插值，最为简单的是线性插值。
除此之外，Hermite插值，样条插值等等均可以从有关数值分析书中找到公式，直接代⼊运算即可。
对于频域，根据傅⾥叶变换性质可知，在频域补零等价于时域插值。
所以，可以通过在频域补零的多少实现插值运算。
2、实现其实在matlab中⾃带升采样函数(upsample)和降采样函数(downsample)，读者可以查找matlab的帮助⽂件详细了解这两个函数。
在这⾥，我重新写如下：%========================================================% Name: usample.m% 功能：升采样% 输⼊：采样图⽚ I, 升采样系数N% 输出：采样后的图⽚Idown% author:gengjiwen date:2015/5/10%========================================================function Iup = usample(I,N)[row,col] = size(I);upcol = col*N;upcolnum = upcol - col;uprow = row*N;uprownum = uprow -row;If = fft(fft(I).').'; %fft2变换Ifrow = [If(:,1:col/2) zeros(row,upcolnum) If(:,col/2 +1:col)]; %⽔平⽅向中间插零%补零之后，Ifrow为row*upcolIfcol = [Ifrow(1:row/2,:);zeros(uprownum,upcol);Ifrow(row/2 +1:row,:)]; %垂直⽅向补零Iup = ifft2(Ifcol);end%========================================================% Name: dsample.m% 功能：降采样% 输⼊：采样图⽚ I, 降采样系数N% 输出：采样后的图⽚Idown% author:gengjiwen date:2015/5/10%========================================================function Idown = dsample(I,N)[row,col] = size(I);drow = round(row/N);dcol = round(col/N);Idown = zeros(drow,dcol);p =1;q =1;for i = 1:N:rowfor j = 1:N:colIdown(p,q) = I(i,j);q = q+1;endq =1;p = p+1;endend% ===========================================% 测试升采样和降采样的程序% author:gengjiwen , date:2015/05/10% 备注：测试完毕！%============================================clear;close all;I = imread('test1.jpg');I = rgb2gray(I);figure(1);imagesc(I);title('原图像');% 图像降采样figure;for ii = 2:2:8Idown = dsample(I,ii);subplot(2,2,ii/2);imagesc(Idown);str = ['downsample at N = ' num2str(ii)]; title(str);end% 图像升采样figure;for ii = 2:2:8Iup =usample(I,ii);subplot(2,2,ii/2);imagesc(abs(Iup));str = ['upsample at N = ' num2str(ii)]; title(str);end测试结果如下：3、结果分析降采样没什么可说的，其实在matlab中可以很⽅便的⽤冒号运算符实现，具体可以查看下matlab⾃带函数downsample的实现。
二维数组使用拉格朗日插值算法
二维数组使用拉格朗日插值算法拉格朗日插值算法是一种用于二维数组的插值方法。
它通过对已知数据点的函数值进行逼近，可以在缺失数据的位置上给出一个合理的函数值。
这种方法是一种非常常用的数值分析算法，它可以广泛应用于工程、科学和其他领域。
下面我们将详细介绍二维数组使用拉格朗日插值算法的原理和步骤。
1. 基本原理拉格朗日插值算法的基本原理是通过已知数据点的函数值，对未知的函数值进行逼近。
具体来说，对于一组给定的插值点：(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)我们要在这些点的函数值上进行插值，在某个未知点(x, y)处给出一个函数值f(x, y)。
这个问题的解决方法就是求出一个多项式P(x, y)，满足在插值点处P(x0, y0) = y0，P(x1, y1) = y1，..., P(xn, yn) = yn，并且f(x, y) = P(x, y)。
拉格朗日插值算法的多项式表达式如下：P(x, y) = Σ yiLi(x, y)其中Li(x, y)表示拉格朗日基函数，它的表达式为：Li(x, y) = Π(j ≠ i) (x - xj) / (xi - xj) * Π(k ≠ i) (y - yk) / (yi - yk)2. 插值方法具体来说，二维数组的拉格朗日插值算法分为下面四个步骤：(1) 选择一组插值点，构造出拉格朗日插值多项式。
(2) 在未知点(x, y)处代入多项式，求出函数值。
(3) 去掉一些离未知点较远的数据点，加入离未知点较近的数据点，重新构造出拉格朗日插值多项式。
(4) 重复执行第二步和第三步，直到满足一定的误差要求。
3. 算法实现(1) 定义一个数组data[N][N]，存储网格的值，其中N为网格大小。
(2) 定义插值点的坐标(xi, yi)，插值点的函数值fi。
可以选择一个较小的插值点集，并且随着插值迭代的进行，插值点的数量会不断增加。
(4) 定义一个函数Lagrange(data, xi, yi)，求出在(x, y)处的函数值。
matlab二维插值--interp2与griddata
matlab⼆维插值--interp2与griddata
⼆者均是常⽤的⼆维插值⽅法，两者的区别是，
interp2的插值数据必须是矩形域(X,Y必须分别是单调向量)，即已知数据点（x,y)组成规则的矩阵，或称之为栅格，可使⽤meshgid⽣成。
griddata函数的已知数据点（X，Y）不要求规则排列，特别是对试验中随机没有规律采取的数据进⾏插值具有很好的效果。
griddata 调⽤⽅法：
ZI = griddata(x,y,z,XI,YI)
[XI,YI,ZI] = griddata(x,y,z,XI,YI)
[...] = griddata(...,method)
[...] = griddata(...,method,options)
method 的值 为
'linear' -- 则，以三⾓形为基础的线性内插
'cubic' -- 则，以三⾓形为基础的三次⽅程内插
'nearest' -- 则，⽤最邻近的点 内插
'v4'-- -- 则，MATLAB 4 格点样条函数内插
默认'linear' 线性内插。