论文--富阳中学徐益春

注重“主角”识别 优化解题策略□徐益春一、概念的提出日常教学中容易发现，学生对概念、公式、定理、图像等的掌握程度基本一致，其解题水平却大相径庭。

造成这种差距的主要原因是什么？如果将解题的过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾四个步骤，学生会在哪个步骤上表现的差异更为显著？我们不妨看一个具体的案例：【引例】 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，其前n 项和为S n ，且当n ≥2时，a n ＋1S n －1－a n S n＝0．求{a n }的通项公式．学生甲：由已知得 1121100①②n n n n n n n n a S a S a S a S +-+++-=⎧⎨-=⎩ ①＋②得 2111()()0n n n n n n a a S a S S +++----=，即 211()()0n n n n n n a a S a a a +++--+= ……（无法继续）学生乙：当n ≥2时，1n n n a S S -=-，结合已知得111()()0n n n n n n S S S S S S +-----=，化简得211n n nS S S +-=（n ≥2），又S 1＝1，S 2＝4，所以{}n S 为等比数列，且公比为4，故而14n n S -=，∴ 211342，×，≥n n n a n -=⎧=⎨⎩．学生丙：由已知得 11(2)=≥n n n n S Sn a a -+， ∴ -111213…，n n n n S S Sa a a +==== ∴ 1133-①②n n n nS a S a +=⎧⎨=⎩．①－②得13nn na a a +=-，即14n n a a +=（n ≥2），又1a ＝1，a 2＝3，故而{}n a 从第二项起为等比数列，∴211342，×，≥n n n a n -=⎧=⎨⎩．学生甲试图通过作差，将S n 消去，留下a n ，但未能如愿；学生乙则反其道而行，去除a n ，留下S n ，发现{}n S 为等比数列；学生丙则通过变形，获得常数列1n nS a ，进而获解。

同一题在三位学生眼中，其主要的研究对象不同，产生了不同的思路。

这种差异与概念掌握、公式熟悉、运算能力等的关系不大，主要在于分析问题的视角。

在解题方法的选择、条件转化与先后顺序、研究对象的主次等各方面都会产生不同的视角，需要作出合理的选择，而这背后的机理可谓错综复杂，一言以蔽之，就是所谓的解题经验。

面对这样一个系统工程，教师能够“授之以渔”的应该是分析问题的方法，也是学生之间差异的主要体现点。

而看清一个问题最核心的研究对象，既是分析问题的前提，也是行之有效的抓手。

在文学、影视作品中，我们把领衔主演者或处于中心地位的人物角色称为主角，他们是影片主题思想的重要体现者，始终处于矛盾冲突的主体地位。

而一道数学题，往往也存在最核心的研究对象，处于题目的关键地位，将其他起辅助作用的对象联系在一起，体现了命题者的考查主旨，我们不妨将该对象称为一道数学题的“主角”，而其他对象称为“配角”。

数学题的主角，可以是集合、函数、数列、变量、命题、几何图形等数学对象，也可以是数量、关系、性质、现实情境等。

二、主角识别的意义同一个问题在不同人眼中，其主角可能不同，导致切入口与方法上的不同。

引例中学生甲根据常规视角，误将a n 当做主角，导致解法的夭折。

教师在认清主角上给予关注，可以开拓学生分析问题的思路，提高学生看待问题的深度，为寻求合适的切入口指明方向，防止漫无目的的尝试，让思维清晰、顺畅、凝炼。

下面通过实际案例，谈谈认清主角的意义。

1．拓展入手角度，突破思维定势学生潜意识中的研究主对象就是主角，但不明朗，所以这种自发的主角选择常常是定势的。

由于对符号感觉的长期浸染，学生对a n 、f (x )、x 、α等有着直觉般的主角感。

教师明确给出主角的概念，恰好是为了打破这种错觉，显示问题的多面性，增加切入问题的通道，发散学生的思维。

例1 若不等式a ln x ≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，求实数m 的取值范围。

分析：常规思路是令f (x )＝a ln x －x －m ，求导后对a 进行分类讨论，并用a 表示f (x )的最小值，得到关于a 的分段函数，再求其最小值。

采用该解法的学生，囿于过程的繁难，很少能得出最终结果。

其原因在于将x 当做主角，而没有清醒地看到变量a 和x 的平等性，从而作出合理的选择。

事实上，若以a 为变量设一次函数，将大大简化计算，这就是主元思想。

解答：令f (a )＝a ln x －x －m ，由f (a )≥0对a ∈[0，32]恒成立得(0)03()02≥≥f f ⎧⎪⎨⎪⎩，即03l n 02≥≥x m x x m --⎧⎪⎨--⎪⎩，该不等式组对x ∈(1，e 2]恒成立，且其中3ln 2x x mx m-->--，故而只需0≥x m --恒成立，从而m ≤－e 2．又如：在正方体的8个顶点中任选3个顶点连成三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为_________。

误将8个顶点当做主角，是该题陷入繁难讨论的根源，所以在该题的分析中，应该引导学生思考：顶点和三角形哪个才是整个问题的主角？学生想到了以28个三角形为主角，就已经成功了大半。

2．确立解题目标，避免思路紊乱解题的每个阶段总是要不断地提出各种辅助问题，为思维探索确定一个个恰当的目标，以便寻求问题的最后解决，这就是目标意识。

为了确保在目标意识下解题进程的正确方向，我们还需要对策划、设计、操作等思维过程不断地进行控制、分析和调节，以增强思维进程的自觉性和能动性，这就是思维监控。

题目的主角则是思维监控的最佳参照物，如右图所示，在将诸多条件进行信息识别、加工、变换的同时，又有序地组织在一起，清晰地导向最终的目标，避免了旁生枝节。

例 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，（1）求椭圆C 的标准方程；（易得结果为2215xy +=）（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M点，若1M A AFλ=，2M B BFλ= ，求证12λλ+为定值。

解析：圆锥曲线综合问题的特点是变量多、公式繁、方向乱，如果目标不明确，习惯于从条件出发，盲目进行各种推理或演算，这无异于瞎碰乱撞，到头来密密麻麻一大片，仍不得要领。

认清主角的意识则有助于确立解题目标，避免思路紊乱。

本题中的12λλ+无疑是整个问题的主角，其他的条件都为它而存在，所以应该尽快让12λλ+“出场”：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又(2,0)F ，故而由1M A AF λ=，2M B BFλ=得1112x x λ=-，2222x x λ=-．∴121212121212122()22242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+=---++．上述等式的特征为设直线方程、联立消元、使用韦达定理这一系列的解题思路指引了方向，避免了思维散乱。

又如：若a，b ，c均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0≤a c b c -⋅- ，则||a b c ++的最大值为________。

该题条件所指向的主角究竟是数还是形？正确的选择是解决该题的关键。

纯粹的变形，容易使目标迷失，而选择了图形，则势如破竹。

解答：如图所示，当点C在圆弧 AB上时，满足()()0≤a c b c -⋅-，而a b c ++OC OD=+ ，当O 、C 、D三点共线时，最大长度为1+3．把握变形方向，防止舍本逐末在多变量的问题中，条件转化的方向众多，字母的适当取舍是顺利解题的关键。

主角意识就是一个良好的指挥棒，让解题者明确什么可以消去，什么必须保留到最后。

比如圆锥曲线求离心率，则a 与c 是主角，b 则应该去除；解三角形时给出边与角的关系，则选择其一为主角；排列组合问题将有特殊要求的元素或位置作主角，作为分类依据，或在分步时优先等等。

例：（2011年浙江省高考理科第16题）设x ，y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y+的最大值是______。

解法一：由已知，222222233514(2)2(2)()(2)2228≥x y x y xy x y xy x y x y +=++=+-⋅+-⋅=+，∴2x y +=．当且仅当x=y=时，2x y +解法二：令2t x y =+，则2y t x =-，代入原式得226310x tx t -+-=，该方程对x 有解，故而22924(1)0≥t t ∆=--，解得t ．b∴当x=y=时，2x y +上述两种解法，通过不同的途径获解，但配凑、换元、消元等操作，均紧扣主角2x y +进行。

主角的确立往往为变形指明了方向，防止不必要的尝试。

又如：在平面区域{(,)|||1||1}≤，x y x y ≤上恒有22≤ax by -，则动点(,)P a b 所形成的平面区域的面积为_________。

本题的主角显然为a 、b ，而x 、y 为配角，根据图像特征，只需考虑(,)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)，-，--，-x y =这四种情况，得到关于a 、b 的线性约束条件22222222≤-≤-≤≤a b a b a b a b -⎧⎪-⎨+⎪+⎩，即||2||2≤a b +，故而平面区域如图所示，面积为4．三、主角识别的几个原则指导学生关注题目的主角，主要通过潜移默化，需要教师在讲解例题时常作设问与分析，要以实际需求为原则，一般只有综合性较强、中等以上难度的题目才需要进行主角辨别或选择。

除此之外，还应遵循以下原则：1．变通性原则题目主角的选择并不是唯一的，不同的选择可能都能达到目的，但是过程的繁简常常会有差别。

例如引例中的学生乙和丙，就从两个不同的角度入手解决了问题．主角的这种选择性，为一题多解提供了方向。

例如：已知函数()ln f x x =，()(0)a g x a x=>，是否存在实数m ，使得函数22()11a y g m x =+-+的图像与函数2(1)yf x =+的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由。

由于222()1(1)1a g m f x x +-=++可化为2211ln(1)2x m x ++-=+，故而主角有如下选择：①2211ln(1)2x ym x +=+--+；②221ln(1)12x y x y m⎧+⎪=+-+⎨=⎪⎩； ③ln 1(1)2≥t y t m t =-+-；④ln (1)12≥y t t t y m =⎧⎪⎨=+-⎪⎩等．2．转移性原则题目的主角，随着讨论的深入，有时要变换主次。