人教全国各地备战中考数学分类：圆的综合综合题汇编含详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．

（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．

（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．

（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．

【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【解析】

试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；

（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则

可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；

（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．

试题解析：（1）相切，理由如下：

如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，

∵α=15°，A′C∥AB，

∴∠ABA′=∠CA′B=30°，

∴DE=A′E，OE=BE，

∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，

∴A′C与半圆O相切；

（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，

∴∠OBA′=2α=90°，

∴α=45°，

当O′在上时，如图2，

连接AO′，则可知BO′=AB，

∴∠O′AB=30°，

∴∠ABO′=60°，

∴α=30°，

（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，

由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，

∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；

当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．

当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，

∴α＜90°，

∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．

综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

考点：圆的综合题．

2．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求CE的长；

（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．

【答案】（1）证明见解析（2）33）4π

【解析】

【分析】

（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；

（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=1

2

BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可

得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF•AE，即42=CE•（16﹣CE），继而可求得CE长；

（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得BG的长度.

【详解】

（1）如图1，连接AD，OD；

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵OA=OB，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴∠ODE=∠DEA=90°，

∴DE为⊙O的切线；

（2）如图2，连接BF，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∴BF∥DE，

∵CD=BD，

∴DE=1

2

BF，CE=EF，

∵∠A=30°，AB=16，∴BF=8，

∴DE=4，

∵DE 为⊙O 的切线，

∴ED 2=EF•A E ，

∴42=CE•（16﹣CE ），

∴CE=8﹣43，CE=8+43（不合题意舍去）；

（3）如图3，连接OG ，连接AD ，

∵BG ∥DF ，

∴∠CBG=∠CDF=30°，

∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠C=75°，

∴∠OBG=75°﹣30°=45°，

∵OG=OB ，

∴∠OGB=∠OBG=45°，

∴∠BOG=90°，

∴BG 的长度=908180

π⨯⨯=4π．

【点睛】

本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.

3．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水最深的地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．

【答案】10cm

【解析】

分析：先过圆心O 作半径CO ⊥AB ，交AB 于点D 设半径为r ，得出AD 、OD 的长，在Rt △AOD 中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．

详解：解：过点O 作OC ⊥AB 于D ，交⊙O 于C ，连接OB ，

∵OC ⊥AB