中考专题训练之25题
重庆市中考数学25题
重庆市中考数学专题1、（一中2019级初三下入学考试）《见微知著》读到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思维阀门发现新问题、新结论的重要方法。
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思维难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等。
例如：11111,1=+++=ba ab 求证：证明：111111=+++=+++=b b b b a ab ab 原式 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到一个蘑菇或者作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题：我们有更多的式子满足以上特征。
阅读材料二： 基本不等式()0,02 b a b a ab +≤，当且仅当b a =时等号成立，它是解决最值问题的有力工具；例如：在0 x 的条件下，当x 为何值时，xx 1+有最小值，最小值是多少？ 解：∵0 x ，01 x ，∴xx x x 121⋅≥+，即2121=⋅≥+x x x x ，∴21≥+x x 当且仅当x x 1=，即1=x 时，x x 1+有最小值，最小值为2. 请根据阅读材料解答下列问题：（1）已知1=ab ，求下列各式的值： ①=+++221111b a ； ②=+++n n b a 1111 ；（2）若1=abc ，解方程.1151515=++++++++c ca cx b bc bx a ab ax（3）若正数b a 、满足1=ab ，求ba M 21111+++=的最小值。
2、（巴蜀2019级初三下开学考试）材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子。
在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与划归的目的。
例如在求解一元四次方程,012,0122224=+-==+-t t t x x x 则原方程变为时，令解得,1=t ，从而解得原方程的解为.1±=x材料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。
中考数学题号复习：25题 新定义题型
中考题号复习：25题 新定义题型射影1. 如图所示，在平面内有一线段AB ，分别过A 点，B 点向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D ，我们把线段CD 称之为线段AB 在x 轴上的射影，线段CD 的长称之为线段AB 在x 轴上的射影长.（1）双曲线x y 4=上有两点A 、B ，A(m ，4)，B(n ，1)，求AB 在x 轴上 的射影长；（2）直线a x y +=21的图像上有两点A 、B ，AB 在x 轴上的射影长为4， 求AB 的长；（3）已知抛物线c bx ax y ++=2和直线bx y -=，其中c b a 、、满足 c b a >>，抛物线过点(1，0)，且与直线相交于A 、B 两点，求线段AB 在x 轴上的射影长CD 的取值范围.限变点若⎩⎨⎧<-≥=1,1,'a b a b b ，则点Q 为点P 的限变点，例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）.（1）①点（1,3）的限变点的坐标是 ；②在点A （-2，-1），B （-1，2）中有一个点是函数y=x2的图像上某一个点的有限变点，这个点是 ；（2）若点P 在函数y=-x+3（2,2->≤≤-k k x ）的图像上，其限变点Q 的坐标'b 的取值范围是25'≤≤-b ，求k 的取值范围；(3)若点P 在关于x 的二次函数t t tx x y ++-=222的图像上，其限变点Q 的纵坐标'b 的取值范围是，求令其中或n -m s ,m ,b ''=><≥n n m b s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围.联姻函数3. 定义若存在实数对坐标（x ，y ）同时满足一次函数y=px+q 和反比例函数y=x k，则二次函数y=k qx px -+2为一次函数与反比例函数的“联姻”函数．（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数y=-x+3和反比例函数y=x 2是否存在“联姻”函数，若存在，写出它们的“联姻”函数和实数对坐标；（2）已知：整数m ，n ，t 满足条件t<n<8m,并且一次函数y=（1+n ）x+2m+2与反比例函数xy 2015=存在“联姻”函数2015)10()(2--++=x t m x t m y ,求m 的值； （3）若同时存在两组实数对坐标),(11y x 和),(22y x 使一次函数y=ax+2b 和反比例函数x c y =为“联姻”函数，其中a>b>c,a+b+c=0，设L=| x1－x2 |,求L 的取值范围．和谐点4. 在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标都相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），（21-，21-）（2-，2-）……都是和谐点． （1）分别判断函数23+-=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数)0(242≠-+=a x ax y 的图象经过和谐点（2，2），且当m x ≤≤0时，函数（3）直线3:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴交于点D ，与反比例函数x n y G =:的图象交于N M ,两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为23，且24＜DN DM +，求n 的取值范围．梦之点5. 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点)1,1(--，)0,0(，)2,2(，…都是“梦之点”．显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P （2，m ）是反比例函数n y x =（n 为常数，n ≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数31y kx s =+-（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，说明理由；（3）若二次函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”157值范围．定义域、值域、区间6. 定义：自变量为x 的某个函数记为)(x f ，当自变量x 取某个实数0x 时的函数值记为)(0x f ，自变量x 的取值范围称为函数的定义域，定义域内的自变量x 对应的所有函数值的集合称为函数的值域．若b a ,是任意两个不相等的实数，我们规定：满足不等式b x a ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，记为[]b a ,．(1)设反比例函数)0()(＞k xk x f =的定义域是[]6,3，值域为[]a ,2，求a k ,的值； (2)一次函数)0()(≠+=k b kx x f 的定义域是[]1,3-，值域为[]9,5，求函数的解析式；(3)是否存在这样的c b ,，使得二次函数c bx x x f ++=2)(的定义域是[]2,4-，值域为[]10,6，若存在，求出c b ,的值；若不存在，说明理由．相反点7. 已知y 是关于x 的函数，若其图象经过点),(t t P -，则称点P 为函数图象上的“相反点”．例如：直线32-=x y 上存在“相反点”)1,1(-P ．(1)在双曲线x y 1-=上是否存在“相反点”？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；(2)若抛物线192)132(2122+---+-=a a x a x y 上有“相反点”，且与直线x y -=相交于点),(11y x A 和),(22y x B ，求2221x x +的最小值；(3)若函数2)1(412-++--+=k m x k n x y 的图象上存在唯一的一个“相反点”，且当21≤≤-n 时，m 的最小值为k ，求k 的值．美丽抛物线8. 已知如图，直线b x y l +=31:，经过点)41,0(M ，一组抛物线的顶点),1(11y B ，),2(22y B ，),3(33y B ……),(n n y n B (n 为正整数)依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：)0,(11x A ，)0,(22x A ，)0,(33x A ……)0,(11++n n x A ，设)10(1＜＜x d x =． (1)求b 的值；(2)设过211,,A B A 三点的二次函数的表达式为n m x a y ++=2)(，求此表达式(用含d 的代数式表示);(3)定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．探究：当)10(＜＜x d 的大小变化时，这组抛物线是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 值．特征数9. 定义：任何一个一次函数q px y +=，取出它的一次项系数p 和常数项q ，有序数组[]q p ,为其特征数．例如：52+=x y 的特征数是[]5,2，同理，[]c b a ,,为二次函数c bx ax y ++=2的特征数．(1)若特征数是[]1,2+m 的一次函数为正比例函数，求m 的值；(2)以y 轴为对称轴的二次函数c bx ax y ++=2的图象经过),2(m A 、)1,(n B 两点(其中0＞m ，0＜n )，连接AB OB OA ,,,得到OB OA ⊥，10=∆AOB S ，求二次函数c bx ax y ++=2的特征数．伴随函数10. 如果把y 是以x 为自变量的函数，记作为)(x f y =，给出如下定义：对自变量取值范围的任意实数t ，当自变量x 满足1+≤≤t x t 时，函数)(x f y =的最大值为t M ，最小值为t m ，t M -t m 是以t 为自变量的函数，记作t t m M t g -=)(，我们把函数t t m M t g -=)(称为函数)(x f y =的“伴随函数”．(1)函数53+-=x y 的“伴随函数”为)(t g = ；(2)已知函数)40(42≤≤-=x x x y ，求出函数y 的“伴随函数”的表达式；(3)当函数b x y +=的图象与)40(42≤≤-=x x x y 的“伴随函数”的图象恰好只有两个公共点，求b 的取值范围．。
中考数学几何模型专题25函数与正方形存在性问题(老师版)知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题25函数与正方形存在性问题【例1】（2022•崂山区一模）如图，正方形ABCD，AB＝4cm，点P在线段BC的延长线上．点P从点C出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；点Q从点A同时出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s．连接PQ，PQ分别与BD，CD相交于点E，F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）线段CF长为多少时，点F为线段PQ中点？（2）当t为何值时，点E在对角线BD中点上？（3）当PQ中点在∠DCP平分线上时，求t的值；（4）设四边形BCFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．【分析】（1）可得出C点是BP的中点，从而求得t＝2；（2）证明DEF≌△BEQ，从而得出DF＝BQ＝4﹣t，进而CF＝CD﹣DF＝t，证明△PCF∽△PBQ，从而得出，进而求得t；（3）作OG⊥BP于G，可根据OG＝CG，进一步求得结果；（4）根据△PCF∽△PBQ，△DOF∽△BOG，分别列出比例式表示出CF，DF及EH，进一步求得结果．【解答】解：由题意得，CP＝2t，AQ＝t，BQ＝4﹣t，（1）四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴＝1，∴PC＝BC＝4，∴t＝＝2s；（2）∵AB∥CD，∴∠QBE＝∠EDF，∠BQE＝∠DFE，△PCF∽△PBQ，∴，∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，∴△DEF≌△BEQ（AAS），∴DF＝BQ＝4﹣t，∴CF＝CD﹣DF＝t，∴t1＝1，t2＝0（舍去），（3）如图1，点O是PQ的中点，CO平分∠DCP，作OG⊥BP于G，同理得：OG＝，PG＝，∴CG＝PC﹣PG＝2t﹣（2+t）＝t﹣2，∵∠COG＝∠OCG＝＝45°，∴OG＝CG，∴，∴t＝；（4）如图2，过点E作GH∥BC，交AB于G，交CD于H，∵CF∥EG∥AB，∴△PCF∽△PBQ，△DEF∽△BEG，∴，＝，∴，＝，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣＝，∴＝，∴EH＝，∴S＝S△BCD﹣S△DEF＝﹣＝8﹣．【例2】（2022春•孟村县期末）如图，在平面直角坐标系中．直线l：y＝﹣2x+10（k≠0）经过点C（3，4），与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（8，4），连接OD，交直线l于点M，连接OC，CD，AD．（1）填空：点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（4，2）；（2）求证：四边形OADC是菱形；（3）直线AP：y＝﹣x+5与y轴交于点P．①连接MP，则MP的长为5；②已知点E在直线AP上，在平面直角坐标系中是否存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A的坐标，又点D的坐标，利用待定系数法可求出直线OD的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M的坐标；（2）过点C作CQ⊥x轴于点Q，利用勾股定理可得出OC＝5，又点C，D的坐标可得出CD＝5，CD ∥x轴，结合点A的坐标，可得出CD＝OA，进而可得出四边形OADC为平行四边形，再结合OC＝OA，即可证出四边形OADC是菱形；（3）①过点M作MN⊥y轴于点N，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标，结合点M。
2022中考数学专题25 命题与证明(专项训练)(解析版)
专题25 命题与证明一、单选题1．（2021·河南九年级）能说明命题“关于x 的方程240x x n -+=一定有实根”是假命题的反例为（ ）A ．2n =-B ．1n =-C ．0n =D ． 6.8n =【答案】D【分析】计算一元二次方程根的判别式即可【详解】依题意“关于x 的方程240x x n -+=一定有实根”是假命题则：2(4)40n ∆=--< 解得：4n >故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，命题与假命题的概念，熟悉概念是解题的关键．2．（2021·沙坪坝区·重庆八中）下列命题，真命题是（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．有一个角为直角的四边形为矩形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D【分析】由题意根据平行四边形的判定定理、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；B 、有一个角为直角的平行四边形为矩形，本选项说法是假命题；C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；D 、一组邻边相等的矩形是正方形，本选项说法是真命题；故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，注意掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2021·山西九年级）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（）A．数形结合思想B．分类讨论思想C．转化思想D．公理化思想【答案】D【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想故选：D．【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解．4．（2021·湖南九年级）下列各命题是真命题的是（）A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线B．平行四边形一定是中心对称图形C．有一个内角为60 的平行四边形是菱形D．三角形的外角等于它的两个内角之和【答案】B【分析】根据矩形的性质、轴对称图形和中心对称图形的概念、三角形的外角性质判断即可．【详解】解：A、矩形的对称轴是任意一边的垂直平分线，两条对角线所在的直线不一定是矩形的对称轴，本选项是假命题；B、平行四边形一定是中心对称图形，本选项是真命题；C、有一个内角为60°的平行四边形不一定是菱形，本选项是假命题；D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，本选项是假命题；故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（2021·广西九年级）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④等边三角形是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故该命题错误；故选B ．6．（2021·浙江）下列选项中，可以用来证明命题“若a ＞b ，则1a ＜1b ”是假命题的反例是（ ）A ．a ＝2，b ＝1B ．a ＝2，b ＝﹣1C ．a ＝﹣2，b ＝1D ．a ＝﹣2，b ＝﹣1 【答案】B【分析】把各选项提供的数据代入计算，进行比较即可求解．【详解】解：A.当 a ＝2，b ＝1时，111,12a b ==，则11a b ＜，无法说明原命题为假命题，不合题意； B. 当a ＝2，b ＝﹣1时，111,12a b ==-，则11a b＞，说明原命题为假命题，符合题意； C.当 a ＝﹣2，b ＝1时，a ＜b ，条件错误，无法说明原命题为假命题，不合题意．D.当 a ＝﹣2，b ＝﹣1时，a ＜b ，条件错误，无法说明原命题为假命题，不合题意． 故选：B【点睛】本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．7．（2021·辽宁九年级）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．同位角相等，两直线平行C ．对顶角相等D ．若0a >，0b >，则0a b +>【答案】B【分析】 分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A 、若a b =，则||||a b =的逆命题是若||||a b =，则a b =，逆命题是假命题，不符合题意；B 、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意；C 、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；D 、若0a >，0b >，则0a b +>的逆命题是若0a b +>，则0a >，0b >，逆命题是假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．8．（2021·辽宁九年级）下列说法错误．．的是（ ） A ．“对顶角相等”的逆命题是真命题B ．通过平移或旋转得到的图形与原图形全等C ．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件D ．函数1y x=-的图象经过点()1,1- 【答案】A【分析】根据平移、旋转的性质、对顶角的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、随机事件的概念判断即可．【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，A 错误，符合题意； 通过平移或旋转得到的图形与原图形全等，B 正确，不符合题意；“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，C 正确，不符合题意；因为1x =时，11y x =-=-，所以函数1y x=-的图象经过点(1,1)-，D 正确，不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．（2021·湖南九年级）下列说法正确的是（ ）A ．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B ．平分弦的直径垂直于这条弦C ．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】C【分析】根据全等三角形的判定、垂径定理、正方形的性质、平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、有两条边和其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；C 、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题；D 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；故选：C ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．（2021·重庆九年级）下列命题中，是真命题的是（ ）A ．对角线相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形C ．菱形的对角线相等D ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形【答案】D【分析】由平行四边形的判定得出A 错误；由矩形的判定得出B 不正确；由菱形的定义得出C 正确；由菱形的判定得出D 正确；即可得出答案．【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴A 不正确；B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴B 不正确；C. 菱形的对角线互相垂直平分∴C 不正确；D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形∴不正确;故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，经过推理论证的真命题称为定理．二、填空题11．（2021·山西九年级）若举反例说明命题“若a b <，则ac bc <”是假命题时，令a 的值为5,b -的值为2-，则可给c 取一个具体的值为_______．【答案】1c =-（答案不唯一）【分析】“若a b <时，则ac bc <”是假命题，则a b <时，ac ≥bc ，即可．【详解】解：ac -bc ≥0,c （a -b ）≥0-3c ≥0c ≤0即可.故答案为：1c =-（答案不唯一）.【点睛】本题考查了命题，掌握真假命题是解题的关键．12．（2021·江苏无锡市·）请写出“两直线平行，同位角相等”的逆命题：_____________________________．【答案】如果同位角相等，那么两直线平行【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，把原命题的题设作结论，原命题的结论作题设，这样就将原命题变成了它的逆命题．【详解】解：原命题是：两直线平行，同位角相等．改成如果…那么…的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等．∴逆命题为：如果同位角相等，那么两直线平行，故答案为：如果同位角相等，那么两直线平行．【点睛】本题是一道命题与定理的概念试题，考查了命题的组成，原命题与逆命题的关系．13．（2021·安徽合肥·）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题________________【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【详解】解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判定，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题结论，而第一个命题的结论是第二个命题条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题成为另一个命题的逆命题．14．（2021·安徽九年级）命题“对顶角相等”的逆命题是__________．【答案】相等的角是对顶角【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【详解】：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：相等的角是对顶角．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．15．（2021·江苏九年级）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形【分析】根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件写出即可.【详解】∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.【点睛】本题考查命题与逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．三、解答题16．（2021·贵州九年级）同学们，你们知道吗？三角形的内角和不一定是180°．德国数学家黎曼创立的黎曼几何中描述：在球面上选三个点连线构成一个三角形，这个三角形的内角和大于180°．黎曼几何开创了几何学的新领域，近代黎曼几何在广义相对论里有着重要的应用．同样，在俄国数学家罗巴切夫斯基发表的新几何（简称罗氏几何）中，描述了在双曲面里画出的三角形，它的内角和永远小于180°．罗氏几何在天体理论中有着广泛的应用．而我们所学习的欧氏几何中描述“在平面内，三角形的内角和等于180°”是源于古希腊数学家欧几里得编写的《原本》．欧几里得创造的公理化体系影响了世界2000多年，是整个人类文明史上的里程碑．请你证明：在平面内，三角形的内角和等于180°．要求画出图形．．．．，写出已知．．．．、求证和证明．．．．．． 【答案】见解析【分析】过点A 作//EF BC ，由两直线平行，内错角相等得到1B ∠=∠，2C ∠=∠，再根据平角的定义解题．【详解】已知：如图，ABC ．求证：180A B C ∠+∠+∠=︒．证明：过点A 作//EF BC ，∴1B ∠=∠，2C ∠=∠，∵12180BAC ∠+∠+∠=︒，∴180B BAC C ∠+∠+∠=︒．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，涉及平行线性质、平角定义等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为5张，4张，3张，2张．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么他们4人是否都能购买到满足条件的票？如果能，请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由．（2）若乙第一个购票，要使其他3人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票？写出所有符合要求的购票顺序．【答案】（1）甲：1，2，3，4，5；乙：6，8，10，12；丙：7，9，11；丁：13，15；（2）甲丙丁、甲丁丙、丙甲丁、丁甲丙，共4种情况【分析】（1）由所选的座位号之和最小和购票的先后顺序即可推理．（2）根据题意可确定乙的购票结果．再结合所选的座位号之和最小并利用分类讨论的思想确定甲、丙、丁的购票顺序即可得出结果．【详解】（1）由所选的座位号之和最小可知，甲先选：5，3，1，2，4；则乙选：6，8，10，12；丙选11，9，7；丁选15，13．（2）根据题意可确定乙选的座位号为3，1，2，4．①若甲在乙选完之后选，则甲选的座位号为13，11，9，7，5．Ⅰ若丙在甲选完之后选，则丙选的座位号为6，8，10．此时丁可选的座位号为12，14．即在乙选完之后的顺序为：甲、丙、丁．Ⅱ若丁在甲选完之后选，则丁选的座位号为6，8．此时丙可选的座位号为10，12，14．即在乙选完之后的顺序为：甲、丁、丙．②若丙在乙选完之后选，则丙选的座位号为9，7，5．Ⅰ若甲在丙选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．此时丁可选的座位号为13，11．即在乙选完之后的顺序为：丙、甲、丁．Ⅱ若丁在丙选完之后选，则丁选的座位号为6，8．此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．③若丁在乙选完之后选，则丁选的座位号为7，5．Ⅰ若甲在丁选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．此时丙可选的座位号为13，11，9．即在乙选完之后的顺序为：丁、甲、丙．Ⅱ若丙在丁选完之后选，则丙选的座位号为6，8，12．此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．综上可知，甲、丙、丁的购票顺序可以为：甲、丙、丁或甲、丁、丙或丙、甲、丁或丁、甲、丙．【点睛】本题考查推理与论证，理解题意并利用分类讨论的思想是解答本题的关键．18．（2021·河南九年级）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；已知：__________________求证：_________________证明：（2）如图（2），在O 中，弦AB CD ⊥于M ，连接,,,,,AC CB BD DA E F 分别是,AC BC 上的点，EM BD ⊥于,G FM AD ⊥于H ，当M 是AB 中点时，直接写出四边形EMFC 是怎样的特殊四边形：__________．【答案】（1）见解析；（2）菱形【分析】（1）先写出已知、求证，先证明BMF MAF ∠=∠，再证明DE ME =，DE CE =即可证明 （2）先证明CE CF =，再证明AC BC =,由布拉美古塔定理证明ME EC CF FM ===即可证明 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥于点M ，过点M 作AB 的垂线分别交AB DC 、于点,F E ． 求证：点E 是DC 的中点 证明：,AC BD EF AB ⊥⊥9090BMF AMF MAF AMF ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，，BMF MAF ∴∠=∠，EDM MAF EMD BMF ∠=∠∠=∠，， EDM EMD ∴∠=∠， DE ME ∴=，同理可证ME CE =，DE CE ∴=， ∴点E 是DC 的中点故答案为：已知：如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥于点M ，过点M 作AB 的垂线分别交AB DC 、于点,F E ． 求证：点E 是DC 的中点 （2）四边形EMFC 是菱形理由：由布拉美古塔定理可知，,E F 分别是,AC BC 的中点， 11,22CE AC CF CB ∴== AB CD ⊥ 11,22ME AC MF CB ∴== AB CD M ⊥，是AB 中点AC BC ∴=ME EC CF FM ∴===∴四边形EMFC 是菱形 故答案为：四边形EMFC 是菱形 【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键 19．（2020·江苏鼓楼区·）点E 、F 分别是菱形ABCD 边BC 、CD 上的点． （1）如图，若CE ＝CF ，求证AE ＝AF ；（2）判断命题“若AE ＝AF ，则CE ＝CF ”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．【答案】（1）见解析；（2）假命题，见解析 【分析】（1）连接AC ，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）举出反例解答即可． 【详解】解：（1）连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ACE ＝∠ACF ， 在△ACE 与△ACF 中CE CF ACE ACF AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ACF （SAS ）， ∴AE ＝AF ，（2）当AE ＝AF ＝AF'时，CE ≠CF'，如备用图，∴命题“若AE ＝AF ，则CE ＝CF ”是假命题． 【点睛】此题考查命题与定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．20．（2020·丰台·北京十八中）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：（1）则甲同学错的是第题；（2）丁同学的得分是；（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）．【答案】（1）5；（2）3；（3）A【分析】(1)分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙,丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论;(2) 分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论．(3)由（1）先得出五道题的正确选项,然后留一个正确,其他都错误即可得出结论．【详解】解:（1）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,当甲选错了第2题,那么其余四道全对,针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第3题时,那么其余四道都对,针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以此种情况不符合题意,当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第5题,那么其余四道都对,针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,故答案为5;（2）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,当甲选错了第2题,那么其余四道全对,针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第3题时,那么其余四道都对,针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第5题,那么其余四道都对,针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,故答案为3;（3）由（1）知,五道题的正确选项分别是:CCABA, 如果有一个同学得了1分,那么,只选对1道, 即:他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等,故答案为:CACCC或BBBBB（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查是推理与论证问题和分类讨论的思想,确定出甲选错的题号是解本题的关键. 21．（2020·浙江台州·九年级期末）定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC =α(0°＜α＜90°)，E 为BC 中点，则在△ABE ，△AED ，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE 与△AED ．(2)如图2，菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC 是锐角，边长为4，E 为BC 中点． ①求AE ，DE 的长；②AC ，BD 交于点O ，求tan ∠DBC 的值．【答案】(1)见解析；(2)①DEtan ∠DBC． 【分析】（1）①证明△ABE ≌△DCE （SAS ），得出△ABE ∽△DCE 即可； ②连接AC ，由自相似菱形的定义即可得出结论； ③由自相似菱形的性质即可得出结论； （2）①由（1）③得△ABE ∽△DEA ，得出AB BE AEDE AE AD==，求出AE ＝，DE ＝②过E 作EM ⊥AD 于M ，过D 作DN ⊥BC 于N ，则四边形DMEN 是矩形，得出DN ＝EM ，DM ＝EN ，∠M ＝∠N ＝90°，设AM ＝x ，则EN ＝DM ＝x +4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM ＝1，EN ＝DM ＝5，由勾股定理得出DN ＝EM，求出BN ＝7，再由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下： 如图3所示：∵四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点， ∴AB =CD ，BE =CE ，∠ABE =∠DCE =90°， 在△ABE 和△DCE 中 AB CD ABE DCE BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴△ABE ≌△DCE (SAS )， ∴△ABE ∽△DCE ， ∴正方形是自相似菱形，故答案为：真命题；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE=120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB=∠DAE=90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B=∠AED，若∠AED=∠B=60°，则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠CED=∠CDE，∴CD=CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形，故答案为：假命题；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，∴∠C ＞90°，且∠ABC +∠C =180°，△ABE 与△EDC 不能相似， 同理△AED 与△EDC 也不能相似， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ， ∴∠AEB =∠DAE ，当∠AED =∠B 时，△ABE ∽△DEA ，∴若菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC =α(0°＜α＜90°)，E 为BC 中点， 则在△ABE ，△AED ，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE 与△AED ， 故答案为：真命题；(2)①∵菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC 是锐角，边长为4，E 为BC 中点， ∴BE =2，AB =AD =4， 由(1)③得：△ABE ∽△DEA ， ∴AB BE AEDE AE AD== ∴AE 2=BE •AD =2×4=8，∴AE DE =AB AE BE ⋅，故答案为：AE DE②过E 作EM ⊥AD 于M ，过D 作DN ⊥BC 于N ，如图2所示：则四边形DMEN 是矩形， ∴DN =EM ，DM =EN ，∠M =∠N =90°， 设AM =x ，则EN =DM =x +4，由勾股定理得：EM 2=DE 2﹣DM 2=AE 2﹣AM 2，即2﹣(x +4)22﹣x 2， 解得：x =1， ∴AM =1，EN =DM =5，∴DN =EM = 在Rt △BDN 中， ∵BN =BE +EN =2+5=7，∴tan ∠DBC =DN BN =【点睛】本题考查了自相似菱形的定义和判定，菱形的性质应用，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．22．（2020·渠县崇德实验学校九年级）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：）则丁同学的得分是；（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）【答案】（1）3；（2）CACCC【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；（2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．【详解】解：（1）当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，当甲选错了第2题，那么其余四道全对，针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意，当甲选错第3题时，那么其余四道都对，。
中考数学复习考点题型专题讲解25 坐标与新定义问题大题提升训练
中考数学复习考点题型专题讲解中考数学复习考点题型专题讲解（重难点培优30题）专题25 坐标与新定义问题大题提升训练坐标与新定义问题大题提升训练（小题））解答题（（共30小题一．解答题1．（2023秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点ܣ(݉−1，݊2)为“智慧点”．（1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由．（2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由．【分析】（1）根据P点坐标，代入(݉−1，݊2)中，求出m和n的值，然后代入2m，6+n 检验等号是否成立即可；（2）直接利用“智慧点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解（1）点P不是“智慧点”，由题意得݉−1=4，݊2=10，∴m＝5，n＝20，∴2m＝2×5＝10，6+n＝6+20＝26，∴2m≠6+n，∴点P（4，10）不是“智慧点”；（2）点M在第四象限，理由∵点M（a，1﹣2a）是“智慧点”，∴݉−1=ܽ，݊2=1−2ܽ，∴m＝a+1，n＝2﹣4a，∵2n＝6+n，∴2（a+1）＝6+2﹣4a，解得a＝1，∴点M（1，﹣1），∴点M在第四象限．2．（2023春•镇巴县期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．【分析】（1）直接利用“新奇点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用“新奇点”的定义得出m的值，进而得出答案．【解答】解（1）当A（3，2）时，3×3＝9，2×2+5＝4+5＝9，所以3×3＝2×2+5，所以A（3，2）是“新奇点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴点M在第三象限．3．（2023秋•漳州期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）求点A（﹣5，2）的“长距”；（2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）即可“长距”的定义解答即可；（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；（2）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去），∴k＝1或k＝2．4．（2023秋•渠县校级期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点P（1，4）的“3级关联点”为点Q（3×1+4，1+3×4），即点Q（7，13）．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N，且点N位于x 轴上，求点N的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）根据关联点的定义和点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N位于x轴上，即可求出N的坐标．【解答】解（1）∵点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，故点B的坐标为（2×（﹣2）+6，﹣2+2×6）∴B的坐标（2，10）；（2）∵点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”为N（3m+2m﹣1，m+3（2m﹣1）），当N位于x轴上时，m+3（2m﹣1）＝0，解得m=37，∴3m+2m﹣1=87，∴点N的坐标为（଼，0）．5．（2023秋•天长市月考）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义若点P 到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“等距点”的定义解答即可；（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．【解答】解（1）由题意，可分两种情况①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；（2）由题意，可分两种情况①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），解得k＝9或k=13（不合题意，舍去）；②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，∴4+k＝6或4+k＝﹣6，解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；综上所述，k＝2或k＝9．6．（2023秋•蚌山区月考）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为（2，14） ；（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（3）根据关联点的定义和点P （m ﹣1，2m ）的“﹣3级开心点”P ′位于坐标轴上，即可求出P ′的坐标．【解答】解 （1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴若点P 的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）． 故答案为 （2，14）；（2）设点P 的坐标为（x ，y ）的“2级开心点”是点Q （4，8）， ∴൜2ݔ+ݕ=4ݔ+2ݕ=8 解得൜ݔ=0ݕ=4，∴点P 的坐标为（0，4）；（3）∵点P （m ﹣1，2m ）的“﹣3级开心点”为P ′（﹣3（m ﹣1）+2m ，m ﹣1+（﹣3）×2m ），①P ′位于x 轴上， ∴m ﹣1+（﹣3）×2m ＝0， 解得 m =−15，∴﹣3（m ﹣1）+2m =165， ∴P ′（ଵହ，0）．②P ′位于y 轴上， ∴﹣3（m ﹣1）+2m ＝0， 解得 m ＝3∴m ﹣1+（﹣3）×2m ＝﹣16， ∴P ′（0，﹣16）．综上所述，点P ′的坐标为（ଵହ，0）或（0，﹣16）．7．（2023春•芜湖期中）在平面直角坐标系中，对于点A （x ，y ），若点B 的坐标为（x +ay ，ax+y），则称点B是点A的a级亲密点．例如点A（﹣2，6）的ଵଶ级亲密点为B(−2+12×6，12×(−2)+6)，即点B的坐标为（1，5）．（1）已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，则点D的坐标为（14，2） ．（2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，求点M1的坐标．（3）若点E在x轴上，点E不与原点重合，点E的a级亲密点为点F，且EF的长度为OE长度的√3倍，求a的值．【分析】（1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案；（2）根据新定义进行计算可得点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣1×（m﹣1）+2m]，根据y轴上点的坐标特征进行求解即可得出答案；（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据平面直角坐标系中距离的计算方法可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax|=√3|x|，计算即可得出答案．【解答】解（1）根据题意可得，点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D（﹣1+3×5，﹣1×3+5），即点D的坐标为（14，2）；故答案为（14，2）；（2）根据题意可得，点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣3×（m﹣1）+2m]，即点M1的坐标为（﹣5m﹣1，﹣m+3），∵M1位于y轴上，∴﹣5m﹣1＝0，∴m=−15，∴M1（0，ଵହ）；（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据题意可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax |=√3|x |， 即|a |=√3， 解得 a =±√3．8．（2023秋•舒城县校级月考）点P 坐标为（x ，2x ﹣4），点P 到x 轴、y 轴的距离分别为d 1，d 2．（1）当点P 在坐标轴上时，求d 1+d 2的值； （2）当d 1+d 2＝3时，求点P 的坐标； （3）点P 不可能在哪个象限内？【分析】（1）分点P 在x 轴和y 轴两种情况讨论即可；（2）将d 1+d 2用含x 的式子表示出来，根据x 的范围化简即可； （3）根据x 和2x ﹣4的范围即可得出答案．【解答】解 （1）若点P 在x 轴上，则x ＝0，2x ﹣4＝﹣4， ∴点P 的坐标为（0，﹣4），此时d 1+d 2＝4， 若点P 在y 轴上，则2x ﹣4＝0，得x ＝2， ∴点P 的坐标为（2，0），此时d 1+d 2＝2． （2）若x ≤0，则d 1+d 2＝﹣x ﹣2x +4＝3， 解得x =13（舍）， 若0＜x ＜2，则d 1+d 2＝x ﹣2x +4＝3，解得x ＝1， ∴P （1，﹣2），若x ≥2，则d 1+d 2＝x +2x ﹣4＝3， 解得x =73， ∴P （ଷ，ଶଷ）；（3）∵当x ＜0时，2x ﹣4＜0，∴点P不可能在第二象限．9．（2023春•新余期末）已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1，ାଶଶ）为“爱心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．【分析】（1）直接利用“爱心点”的定义得出m，n的值，进而得出答案；（2）直接利用“爱心点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解（1）当A（5，3）时，m﹣1＝5，ାଶଶ=3，解得m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，所以A（5，3）是“爱心点”；当B（4，8）时，m﹣1＝4，ାଶଶ=8，解得m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，所以B点不是“爱心点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，∴m﹣1＝a，ାଶଶ=2a﹣1，∴m＝a+1，n＝4a﹣4，代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，∴a＝﹣1 2a﹣1＝﹣3，∴M（﹣1，﹣3）故点M在第三象限．10．（2023春•商南县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y 轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）点A（2，3）的“长距”等于3，点B（﹣7，5）的“长距”等于7．（2）若C（﹣1，2k+3），D（6，k﹣2）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（2，3）的“长距”为|3|＝3；点B（﹣7，5）的“长距”为|﹣7|＝7；故答案为3，7．（2）由题意可知，|2k+3|＝6或2k+3＝±（k﹣2），解得k=32或k＝﹣4.5（不合题意，舍去）或k＝﹣5或k=−13（不合题意，舍去），∴k=32或k＝﹣5．11．（2023春•思明区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y 轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）点A（﹣5，2）的“长距”为5；（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“长距”为3，求m的值；（3）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）根据“长距”的定义解答即可；（3）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；故答案为5．（2）由题意可知|﹣2m+1|＝3，解得m ＝﹣1或2．（3）由题意可知，|k +3|＝4或4k ﹣3＝±（k +3），解得k ＝1或k ＝﹣7（不合题意，舍去）或k ＝2或k ＝0（不合题意，舍去）， ∴k ＝1或k ＝2．12．（2023•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），若点Q 的坐标为（ax +y ，x +ay ），其中a 为常数，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”例如，点P （1，4）的“3级关联点”为Q （3×1+4，1+3×4），即Q （7，13）．（1）已知点A （2，﹣6）的“ଵଶ级关联点”是点B ，求点B 的坐标； （2）已知点P 的5级关联点为（9，﹣3），求点P 坐标；（3）已知点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”N 位于坐标轴上，求点N 的坐标． 【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）设点P 的坐标为（a ，b ），根据关联点的定义，结合点的坐标列方程组即可得出结论；（3）根据关联点的定义和点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”N 位于坐标轴上，即可求出N 的坐标．【解答】解（1）∵点A （2，﹣6）的“ଵଶ级关联点”是点B ，故点B 的坐标为（ଵଶ×2−6，2−12×6） ∴B 的坐标（﹣5，﹣1）；（2）设点P 的坐标为（a ，b ）， ∵点P 的5级关联点为（9，﹣3）， ∴ቄ5ܽ+ܾ=9ܽ+5ܾ=−3， 解得ቄܽ=2ܾ=−1，∵P （2，﹣1）；（3）∵点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”为M ′（﹣4（m ﹣1）+2m ，m ﹣1+（﹣4）×2m ），当N位于y轴上时，﹣4（m﹣1）+2m＝0，解得m＝2，∴m﹣1+（﹣4）×2m）＝﹣15，∴N（0，﹣15）；当N位于x轴上时，m﹣1+（﹣4）×2m＝0，解得m=−17，∴﹣4（m﹣1）+2m=307，∴N（ଷ，0）；综上所述，点N的坐标为（0，﹣15）或（ଷ，0）．13．（2023春•上杭县期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．例如，点P（1，2）与点Q（﹣2，3）到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．（1）已知点A的坐标为（3，﹣6），在点B（﹣4，1）．C（﹣3，7）．D（2，﹣5）中，与点A互为等差点的是B与D．（2）若点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，求点N的坐标．【分析】（1）利用“等差点”的定义，找出到x轴、y轴的距离之差（2）利用“等差点”的定义列方程解答即可．【解答】解（1）∵点A（3，﹣6）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点B（﹣4，1）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点C（﹣3，7）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于4，点D（2，﹣5）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，∴与点A互为等差点的是B与D；故答案为B与D；（2）∵点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，∴n +1﹣1＝|4|﹣|﹣2|或4解得n ＝2或n ＝﹣4，∴点N 的坐标为（1，3）感14．（2023秋•海淀区校级期中b ），P 2（c ，b ），P 3（c 的“完美间距″．例如 如图是1．（1）点Q 1（4，1），Q 2（2）已知点O （0，0①若点O ，A ，B 的“完美间②点O ，A ，B 的“完美间距③已知点C （0，4），D （m ，0），P （m ，n ）的“【分析】（1）分别计算出（2）①分别计算出OA 以“最佳间距”为OA 即可求解y 的值；②由①可得，“最佳间距”﹣|﹣2|＝﹣n ﹣1﹣1， ）或（1，﹣3）．本号资料全部来源于微 信公众号级期中）给出如下定义 在平面直角坐标系xOy 中，，d ），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点如图，点P 1（﹣1，2），P 2（1，2），P 3（1，3）（5，1），Q 3（5，5）的“完美间距”是 1 ），A （4，0），B （4，y ）．完美间距”是2，则y 的值为 ±2 ； 美间距”的最大值为 4 ；（﹣4，0），点P （m ，n ）为线段CD 上一动点，“完美间距”取最大值时，求此时点P 的坐标．算出Q 1Q 2，Q 2Q 3，Q 1Q 3的长度，比较得出最小值即可，AB 的长度，由于斜边大于直角边，故OB ＞或者AB 的长度，由于“最佳间距”为1，而”为OA 或AB 的长度，当OA ≤AB 时，“最佳间距公众号 数学第 六，已知点P 1（a ，称为点P 1，P 2，P 3）的“完美间距”； ，当O （0，0），E ．值即可； OA ，OB ＞AB ，所OA ＝4，故OB ＝2，佳间距”为OA ＝4，当OA ＞AB 时，“最佳间距③同①，当点O （0，0先求出直线CD 的解析式≥PE 和OE ＜PE 时，求出各的最大值，进一步求解出【解答】解 （1）如图，∵Q 1（4，1），Q 2（5，∴Q 1Q 2＝1，Q 2Q 3＝4，在Rt △Q 1Q 2Q 3中，Q 1Q ∵1＜4＜√17， “最佳距离”为1； 故答案为 1； （2）①如图∵O （0，0），A （4，0∴OA ＝4，AB ＝|y |，间距”为AB ＜4，比较两个“最大间距”，即可解决），E （m ，0），P （m ，n ）的“最佳间距”为OE 析式，用m 表示出线段OE 和线段PE 的长度，分两类求出各自条件下的“最佳间距”，比较m 的范围，解出P 点坐标．，在给出图形中标出点Q 1，Q 2，Q 3，1），Q 3（5，5），3=√17，），B （4，y ），解决；或者PE 的长度，分两类讨论，当OE 确定“最佳间距”在直角△ABO 中，OB ＞又∵点O ，A ，B 的“最佳间且4＞2， ∴|y |＝2， ∴y ＝±2， 故答案为 ±2；②由①可得，OB ＞OA ∴“最佳间距”的值为∵OA ＝4，AB ＝|y |，当AB ≥OA 时，“最佳间距当AB ＜OA 时，“最佳间距∴点O ，A ，B 的“最佳间距故答案为 4；③设直线CD 为y ＝kx +4，﹣4k +4＝0， ∴k ＝1，∴直线CD 的解析式为 ∵E （m ，0），P （m ，n ，∴PE ∥y 轴，∴OE ＝﹣m ，PE ＝n ＝m Ⅰ、当﹣m ≥m +4时，即OA ，OB ＞AB ， 最佳间距”是2， ，OB ＞AB ，OA 或者是AB 的长， 间距”为4， 间距”为|y |＜4， 佳间距”的最大值为4， ，代入点D 得，如图，y ＝x +4，），且P 是线段CD 上的一个动点， +4，即OE ≥PE 时，m ≤﹣2，“最佳间距”为m +4，此时此时m +4≤2，Ⅱ、当﹣m ＜m +4时，即∴点O （0，0），E （m ∴m ＝﹣2， ∴n ＝m +4＝2， ∴P （﹣2，2）．15．（2023春•泗水县期末）对于y ）的横坐标与纵坐标的绝对例如，点P （﹣1，2）的折（1）已知点A （﹣3，4（2）若点M 在x 轴的上方标．【分析】（1）根据题意可以（2）根据题意可知y ＞【解答】解 （1）[A ]＝|所以点A ，点B 的折线距离（2）∵点M 在x 轴的上方∴x ＝±1时，y ＝1或x ∴点M 的坐标为（﹣116．（2023春•思明区校级期中即OE ＜PE 时，﹣2＜m ＜0，“最佳间距“为﹣m ，，0），P （m ，n ）的“最佳间距”取到最大值时，对于平面直角坐标系中的点P （x ，y ）给出如下定义的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记作[P ]的折线距离为[P ]＝|﹣1|+|2|＝3．），B （√2，﹣2√2），求点A ，点B 的折线距离．的上方，点M 的横坐标为整数，且满足[M ]＝2，直接写意可以求得折线距离[A ]，[B ]；0，然后根据[M ]＝2，即可求得点M 的坐标． −3|+|4|＝7，[B ]＝|√2|+|﹣2√2|＝3√2； 线距离分别为7、3√2；的上方，其横坐标均为整数，且[M ]＝2， ＝0时，y ＝2，，1），（1，1），（0，2）．级期中）在平面直角坐标系中，对于点P （x ，y ），若点，此时﹣m ＜2， ，m ＝﹣2， 下定义 把点P （x ，，即[P ]＝|x |+|y |，．直接写出点M 的坐若点Q 的坐标为（ax +y ，x +ay ），其中a 为常数，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”，例如，点P （1，4）的3级关联点”为Q （3×1+4，1+3×4）即Q （7，13），若点B 的“2级关联点”是B （3，3）．（1）求点B 的坐标；（2）已知点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 位于y 轴上，求N 的坐标． 【分析】（1）由点B 的“2级关联点”是B '（3，3）得出൜2ݔ+ݕ=3ݔ+2ݕ=3，解之求得x 、y 的值即可得；（2）由点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 的坐标为（﹣m +3，﹣5m ﹣1），且点M ′在y 轴上知﹣m +3＝0，据此求得m 的值，再进一步求解可得． 【解答】解 ∵点B 的“2级关联点”是B '（3，3）， ∴൜2ݔ+ݕ=3ݔ+2ݕ=3， 解得 ൜ݔ=1ݕ=1，则点B 的坐标为（1，1）；（2）∵点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 的坐标为（﹣m +3，﹣5m ﹣1），且点N 在y 轴上， ∴﹣m +3＝0， 解得m ＝3， 则﹣5m ﹣1＝﹣16， ∴点N 坐标为（0，﹣16）．17．（2023春•罗山县期末）阅读理解，解答下列问题在平面直角坐标系中，对于点A （x ，y ）若点B 的坐标为（kx +y ，x ﹣ky ），则称点B 为A 的“k 级牵挂点”，如点A （2，5）的“2级牵挂点”为B （2×2+5，2﹣2×5），即B （9，5）．（1）已知点P （﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P 1，求点P 1的坐标，并写出点P 1到x 轴的距离；（2）已知点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3），求Q 点的坐标及所在象限． 【分析】（1）根据“k 级牵挂点”的定义判定结论；（2）设Q （x ，y ），根据点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3）可得关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组求出x 、y 的值即可．【解答】解 （1）∵点P （﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P 1， ∴﹣5×（﹣3）+1＝16，﹣5﹣（﹣3）×1＝﹣2， 即P 1（16，﹣2）， 点P 1到x 轴的距离为2；（2）∵点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3）， 设Q （x ，y ）． 则有൜4ݔ+ݕ=5ݔ−4ݕ=−3，解得൜ݔ=1ݕ=1，∴Q （1，1），点Q 在第一象限．18．（2023秋•东城区校级期中）对有序数对（m ，n ）定义“f 运算” f （m ，n ）＝（ଵଶm +a ，ଵଶn +b ），其中a ，b 为常数，f 运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A （x ，y ）规定“F 变换”；点A （x ，y ）在F 的变换下的对应点即为坐标是f （x ，y ）的点A '．（1）当a ＝0，b ＝0时，f （﹣2，4）＝ （﹣1，2） ．（2）若点P （2，﹣2）在F 变换下的对应点是它本身，求ab 的值． 【分析】（1）根据新定义运算法则解得；（2）根据新定义运算法则得到关于a 、b 的方程，通过解方程求得它们的值即可． 【解答】解 （1）依题意得 f （﹣2，4）＝（ଵଶ×（﹣2）+0，ଵଶ×4﹣0）＝（﹣1，2）． 故答案是 （﹣1，2）；（2）依题意得 f （2所以ଵଶ×2+a ＝2，ଵଶ×（﹣所以a ＝1，b ＝﹣1． ∴ab ＝﹣1．19．（2023春•海门市期末）﹣x 1＝y 2﹣y 1≠0，则称点因为2﹣（﹣1）＝6﹣3（1）若点A 的坐标是（点A 的“对角点”为点（2）若点A 的坐标是（﹣（3）若点A 的坐标是（求m ，n 的取值范围．【分析】（1）、（2）读懂新定（3）根据新定义和直角坐标【解答】解 （1）根据新定故答案为 B 2（﹣1，﹣7（2）①当点B 在x 轴上时，﹣2）＝（ଵଶ×2+a ，ଵଶ×（﹣2）﹣b ）＝（2，﹣2）．（﹣2）+b ＝﹣2， ）在平面直角坐标系xOy 中，点A （x 1，y 1），B 称点A 与点B 互为“对角点”，例如 点A （﹣1，3，≠0，所以点A 与点B 互为“对角点”．4，﹣2），则在点B 1（2，0），B 2（﹣1，﹣7），B 2（﹣1，﹣7），B 3（0，﹣6） ；（﹣2，4）的“对角点”B 在坐标轴上，求点B 的坐（3，﹣1）与点B （m ，n ）互为“对角点”，且点懂新定义，根据新定义解题即可；角坐标系中第四象限x 、y 的取值范围确定m 、n 的取据新定义可以得B 2、B 3与A 点互为“对角点”； ），B 3（0，﹣6）； 上时，）． （x 2，y 2），若x 2），点B （2，6），B 3（0，﹣6）中，的坐标； 且点B 在第四象限，的取值范围即可．设B （t ，0），由题意得t ﹣（﹣2）＝0﹣4， 解得t ＝﹣6， ∴B （﹣6，0）． ②当点B 在y 轴上时， 设B （0，b ），由题意得0﹣（﹣2）＝b ﹣4， 解得b ＝6， ∴B （0，6）．综上所述 A 的“对角点”点B 的坐标为（﹣6，0）或（0，6）． （3）由题意得m ﹣3＝n ﹣（﹣1）， ∴m ＝n +4． ∵点B 在第四象限， ∴ቊ݉＞0݊＜0， ∴ቊ݊+4＞0݊＜0，解得﹣4＜n ＜0， 此时0＜n +4＜4， ∴0＜m ＜4．由定义可知 m ≠3，n ≠﹣1，∴0＜m ＜4且m ≠3，﹣4＜n ＜0且n ≠﹣1． 故答案为 0＜m ＜4且m ≠3，﹣4＜n ＜0且n ≠﹣1．20．（2023•朝阳区校级开学）我们规定 在平面直角坐标系xOy 中，任意不重合的两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）之间的“折线距离”为d （M ，N ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．例如图1中，点M （﹣2，3）与点N （1，﹣1）之间的“折线距离”为d （M ，N ）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．根据上述知识，解决下面问（1）已知点P （3，﹣4，与点P 之间的“折线距离（2）如图2，已知点P 的值；（3）如图2，已知点P 写出t 的取值范围．【分析】（1）分别求出（2）通过d （P ，Q ）＝（3）d （P ，Q ）＝|3﹣t 【解答】解 （1）由题意得d （P ，B ）＝|3﹣（﹣1d （P ，C ）＝|3﹣（﹣2d （P ，D ）＝|3﹣0|+|﹣4故答案为 A ，B ，D ．（2）d （P ，Q ）＝|3﹣t 解得t ＝﹣1或t ＝7．（3）d （P ，Q ）＝|3﹣t 化简得d （P ，Q ）＝|3当﹣5≤t ≤3时，|3﹣t下面问题），在点A （5，2），B （﹣1，0），C （﹣2，1距离”为8的点是A ，B ，D ；（3，﹣4），若点Q 的坐标为（t ，2），且d （P （3，﹣4），若点Q 的坐标为（t ，t +1），且d （PA ，B ，C ，D 与点P 之间的“折线距离”求解．|3﹣t |+|﹣4﹣（t +1）|＝8求解．|+|﹣4﹣（t +1）|＝8，分类讨论t 的取值范围去绝对题意得d （P ，A ）＝|3﹣5|+|﹣4﹣2|＝8， ）|+|﹣4﹣0|＝8， ）|+|﹣4﹣1|＝10， ﹣1|＝8，|+|﹣4﹣2|＝10， |+|﹣4﹣（t +1）|， ﹣t |+|5+t |，|+|5+t |＝3﹣t +5+t ＝8，满足题意．），D （0，1）中，，Q ）＝10，求t ，Q ）＝8，直接． 去绝对值符号求解．当t ＜﹣5时，|3﹣t |+|5+t 当t ＞3时，|3﹣t |+|5+t |∴﹣5≤t ≤3．21．（2023春•丰台区期末）y 2），定义k |x 1﹣x 2|+（1M （1，3），N （﹣2，4）2）．（1）若点B （0，4），求点（2）若点B 在x 轴上，且点（3）若点B （a ，b ），且点【分析】（1）根据“k 阶距（2）设出点B 的坐标，点B 的坐标，注意x轴上的|＝3﹣t ﹣5﹣t ＝﹣2﹣2t ，不满足题意． ＝t ﹣3+5+t ＝2+2t ，不满足题意． ）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点M （﹣k ）|y 1﹣y 2|为点M 和点N 的“k 阶距离”，其中0）的ଵହ阶距离”为ଵହ|1െሺെ2ሻ|ସହ|3െ4|ൌହ．求点A 和点B 的“ଵସ阶距离”；且点A 和点B 的“ଵଷ阶距离”为4，求点B 的坐标且点A 和点B 的“ଵଶ阶距离”为1，直接写出a +阶距离”的定义计算点A 与点B 之间的“ଵସ阶距离，再根据“ଵଷ阶距离”的定义列出方程，求出字母的轴上的点的纵坐标为0．x 1，y 1），N （x 2，≤k ≤1．例如 点．已知点A （﹣1，的坐标；b 的取值范围． 距离”．字母的值，从而确定（3）根据“ଵଶ阶距离”的定义列出关于字母a 和b 的式子，当a 和b 在不同的取值范围内将含有a 和b 的式子中的绝对值去掉，从而求得a +b 的取值范围．【解答】解 （1）由题知，点A （﹣1，2）和点B （0，4）的“ଵସ阶距离”为ଵସ|−1−0|+（1−14）|2﹣4|=14+64=74．（2）∵点B 在x 轴上，∴设点B 的横坐标为m ，则点B 的坐标为（m ，0）， ∵点A （﹣1，2）和点B （m ，0）的“ଵଷ阶距离”为4， ∴ଵଷ|−1−݉|+(1−ଵଷ)|2−0|=4，ଵଷ|−1−݉|=଼ଷ，|﹣1﹣m |＝8，∴﹣1﹣m ＝8或﹣1﹣m ＝﹣8， ∴m ＝﹣9或7，∴点B 的坐标为（﹣9，0）或（7，0）．（3）∵点A （﹣1，2）和点B （a ，b ）的“ଵଶ阶距离”为1， ∴.ଵଶ|−1−ܽ|+(1−ଵଶ)|2−ܾ|=1，|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝2，①当a ≤﹣1，且b ≤2时，得|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝﹣1﹣a +2﹣b ，由此得出a +b ＝﹣1， ②当a ≤﹣1，且b ＞2时，得|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝﹣1﹣a +b ﹣2，由此得出b ＝5+a ，则a +b ＝2a +5， ∵b ＞2， 即5+a ＞2， ∴a ＞﹣3∵a≤﹣1，∴﹣3＜a≤﹣1∴﹣1＜2a+5≤3，即﹣1＜a+b≤3，③当a＞﹣1，且b＜2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+2﹣b，由此得出a＝b﹣1，则a+b＝2b﹣1，∵a＞﹣1，即b﹣1＞﹣1，∴b＞0，∵b＜2，∴0＜b＜2，∴﹣1＜2b﹣1＜3，即﹣1＜a+b＜3，④当a＞﹣1，且b≥2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+b﹣2，由此得出a+b＝3，综上所得，﹣1≤a+b≤3．22．（2023春•福州期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义；a＝2x﹣y，b＝x+y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“关联点”．例如P（2，3）的一对“关联点”是点（1，5）与（5，1）．（1）点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7） 与（7，5） ．（2）点A（x，8）的一对“关联点”重合，求x的值．（3）点B一个“关联点”的坐标是（﹣1，7），求点B的坐标．【分析】（1）根据“关联点”定义求解；（2）根据“关联点”的定义列方程求解；（3）根据“关联点”的定义列方程组求解，注意分类讨论，不要漏解．【解答】解（1）∵2×4﹣3＝5，4+3＝7，∴点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7）与（7，5）．故答案为（5，7）与（7，5）．（2）由题意得 2x ﹣8＝x +8， 解得 x ＝16． （3）设B （x ，y ），∴൜2ݔ−ݕ=−1ݔ+ݕ=7或൜2ݔ−ݕ=7ݔ+ݕ=−1， ∴൜ݔ=2ݕ=5或൜ݔ=2ݕ=−3， ∴B （2，5）或B （2，﹣3）．23．（2023春•雨花区校级期中）对于平面直角坐标系中任一点（a ，b ），规定三种变换如下①f （a ，b ）＝（﹣a ，b ）．如 f （7，3）＝（﹣7，3）； ②g （a ，b ）＝（b ，a ）．如 g （7，3）＝（3，7）； ③h （a ，b ）＝（﹣a ，﹣b ）．如 h （7，3）＝（﹣7，﹣3）； 例如 f （g （2，﹣3））＝f （﹣3，2）＝（3，2） 规定坐标的部分规则与运算如下①若a ＝b ，且c ＝d ，则（a ，c ）＝（b ，d ），反之若（a ，c ）＝（b ，d ），则a ＝b ，且c ＝d ．②（a ，c ）+（b ，d ）＝（a +b ，c +d ）；（a ，c ）﹣（b ，d ）＝（a ﹣b ，c ﹣d ）．例如 f （g （2，﹣3））+h （g （2，﹣3））＝f （﹣3，2）+h （﹣3，2）＝（3，2）+（3，﹣2）＝（6，0）． 请回答下列问题（1）化简 f （h （6，﹣3））＝ （6，3） （填写坐标）；（2）化简 h （f （﹣1，﹣2））﹣g （h （﹣1，﹣2））＝ （﹣3，1） （填写坐标）； （3）若f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））且k 为绝对值不超过5的整数，点P （x ，y ）在第三象限，求满足条件的k 的所有可能取值．【分析】（1）根据新定义进行化简即可． （2）根据新定义进行化简即可．（3）根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可．【解答】解 （1）f （h （6，﹣3））＝f （﹣6，3）＝（6，3）， 故答案为 （6，3）；（2）h （f （﹣1，﹣2））﹣g （h （﹣1，﹣2））＝h （1，﹣2）﹣g （1，2）＝（﹣1，2）﹣（2，1）＝（﹣3，1）， 故答案为 （﹣3，1）；（3）f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝f （﹣kx ，2x ）﹣h （﹣1﹣y ，﹣2）＝（kx ，2x ）﹣（1+y ，2）＝（kx ﹣1﹣y ，2x ﹣2），h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））＝h （﹣1，ky ﹣1）+f （﹣y ，﹣x ）＝（1，1﹣ky ）+（y ，﹣x ）＝（y +1，1﹣ky ﹣x ），∵f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））， ∴（kx ﹣1﹣y ，2x ﹣2）＝（y +1，1﹣ky ﹣x ）， ∴൜݇ݔ−1−ݕ=ݕ+12ݔ−2=1−݇ݕ−ݔ， ∴൜݇ݔ−2ݕ=23ݔ+݇ݕ=3， ∴൞ݔ=2݇+6݇2+6ݕ=3݇−6݇2+6， ∵点P （x ，y ）在第三象限， ∴ቊ2݇+6＜03݇−6＜0，∴k ＜﹣3，∵k 为绝对值不超过5的整数， ∴k 的所有可能取值为﹣4、﹣5．24．（2023春•嵩县期末）对于平面直角坐标系中的点P （x ，y ）给出如下定义 把点P （x ，y ）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记作[P ]，即[P ]＝|x |+|y |，例如，点P （﹣1，2）的折（1）已知点A （﹣3，4（2）若点M 在x 轴的上方标．【分析】（1）根据题意可以（2）根据题意可知y ＞【解答】解 （1）[A ]＝|（2）∵点M 在x 轴的上方∴x ＝±1时，y ＝1或x ∴点M 的坐标为（﹣125．（2023春•濠江区期末）我们称点P 为“梦之点”（1）判断点A （3，2）是否（2）若点M （m ﹣1，3【分析】（1）直接利用“（2）直接利用“梦之点”【解答】解 （1）当A 解得a ＝1，b ＝1，的折线距离为[P ]＝|﹣1|+|2|＝3．），B （√2，െ3√2），求点A ，点B 的折线距离．的上方，点M 的横坐标为整数，且满足[M ]＝2，直接写意可以求得折线距离[A ]，[B ]；0，然后根据[M ]＝2，即可求得点M 的坐标． −3|+|4|＝7，[B ]＝|√2|+|−3√2|＝4√2； 的上方，其横，纵坐标均为整数，且[M ]＝2， ＝0时，y ＝2，，1），（1，1），（0，2）．）已知a ，b 都是实数，设点P （a +2，ାଷଶ），且满”．是否为“梦之点”，并说明理由．m +2）是“梦之点”，请判断点M 在第几象限，并说“梦之点”的定义得出a ，b 的值，进而得出答案”的定义得出m 的值进而得出答案． （3，2）时，a +2＝3，ାଷଶ=2，．直接写出点M 的坐且满足3a ＝2+b ，并说明理由． 答案；则3a＝3，2+b＝3，所以3a＝2+b，所以A（3，2），是“梦之点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（m﹣1，3m+2）是“梦之点”，∴a+2＝m﹣1，ାଷଶ=3݉+2，∴a＝m﹣3，b＝6m+1，∴代入3a＝2+b有3（m﹣3）＝2+（6m+1），解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴点M在第三象限．26．（2023秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）； ；（2）若点A的坐标是（5，﹣3）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；（3）若点A的坐标是（−√3，2√3）与点B（2m，﹣n）互为“对角点”，且m、n互为相反数，求B点的坐标．【分析】（1）、（2）读懂新定（3）根据新定义和直角坐标【解答】解 （1）根据新定故答案为 B 2（﹣1，﹣7（2）①当点B 在x 轴上时设B （t ，0），由题意得解得t ＝﹣8， ∴B （8，0）． ②当点B 在y 轴上时，设B （0，b ），由题意得0﹣5＝b ﹣（﹣解得b ＝﹣8， ∴B （0，﹣8）．综上所述 A 的“对角点”（3）由题意得2m +√3=∴2m ＝﹣n ﹣3√3． ∵m 、n 互为相反数， ∴m +n ＝0，懂新定义，根据新定义解题即可；角坐标系中第四象限x 、y 的取值范围确定m 、n 的取据新定义可以得B 2、B 3与A 点互为“对角点”； ），B 3（0，﹣6）； 上时，t ﹣5＝0﹣（﹣3）， （﹣3）， ”点B 的坐标为（8，0）或（0，﹣8）． =−n ﹣2√3，的取值范围即可．解得m +n +m ＝﹣3√3，∴m ＝﹣3√3，n ＝3√3∴2m ＝﹣6√3， ∴B （﹣6√3，﹣3√3）．27．（2023秋•朝阳区校级期末得到射线OY ，如果点示点P 在平面内的位置，那么点M 在平面内的位置记（1）如图3，若点N 在平面内（2）已知点A 在平面内的位①若点B 在平面内的位置记②若点B 在平面内的位置记③若点B 在平面内的位置记【分析】（1）根据新定义直（2）①先根据新定义画图画图，证明△AOB 是等边三△AOB 1是直角三角形，从而【解答】解 （1）点N 在平故答案为 6，30； （2）①如图，．期末）如图①，将射线OX 按逆时针方向旋转β角（P 为射线OY 上的一点，且OP ＝m ，那么我们规定用，并记为P （m ，β）．例如，图2中，如果OM ＝5，位置记为M （5，110°），根据图形，解答下列问题平面内的位置记为N （6，30°），则ON ＝ 6 ，∠面内的位置记为A （4，30°），位置记为B （3，210°），则A 、B 两点间的距离为位置记为B （m ，90°），且AB ＝4，则m 的值为 位置记为B （3，α），且AB ＝5，则a 的值为 定义直接得到答案；画图，证明A ，O ，B 三点共线，从而可得答案；等边三角形，从而可得答案；③先根据新定义画图从而可得答案．在平面内的位置记为N （6，30°），则ON ＝6，0°≤β＜360°），规定用（m ，β）表∠XOM ＝110°，问题XON ＝ 30 °． 离为 7 ． 4 ．120°或300° ．；②先根据新定义画图，证明△AOB ，，∠XON ＝30°．∵A（4，30°），B（3，210°），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝3，∠BOX＝360°﹣210°＝150°，∴∠AOX+∠BOX＝180°，∴A，O，B三点共线，∴AB＝4+3＝7；故答案为7；②如图，∵A（4，30°），B（m，90°），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝m，∠BOX＝90°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴AB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝m＝4；故答案为4；③如图，∵A （4，30°），B （3，α），∴OA ＝4，∠AOX ＝30°，OB ＝3＝OB 1，∠BOX ＝α或∠B 1OX ＝360°﹣α， ∵AB ＝5，∴OB 2+OA 2＝25＝AB 2， ∴∠AOB ＝90°＝∠AOB 1，∴α＝90°+30°＝120°或α＝120°+180°＝300°． 故答案为 120°或300°．28．（2023秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，P 不在同一直线上，对于点P 和线段AB 给出如下定义 过点P 向线段AB 所在直线作垂线，若垂足Q 在线段AB 上，则称点P 为线段AB 的内垂点，当垂足Q 满足|AQ ﹣BQ |最小时，称点P 为线段AB 的最佳内垂点．已知点S （﹣3，1），T （1，1）．（1）在点P 1（2，4），P 2（﹣4，0），P 3（﹣2，ଵଶ），P 4（1，3）中，线段ST 的内垂点为 P 3，P 4；（2）若点M 是线段ST 的最佳内垂点，则点M 的坐标可以是 （﹣1，4），（﹣1，2） （写出两个满足条件的点M 即可）； （3）已知点C （m ﹣2，3），D （m ，3），若线段CD 上的每一个点都是线段ST 的内垂点，直接写出m 的取值范围；（4）已知点E （n +2，0），F （n +4，﹣1），若线段EF 上存在线段ST 的最佳内垂点，直接写出n 的取值范围．【分析】（1）利用图象法画（2）满足条件的点在线段（3）构建不等式组解决问题（4）构建不等式组解决问题【解答】解 （1）如图故答案为 P 3，P 4；（2）如图，点M （﹣1故答案为 （﹣1，4）（3）由题意，ቄ݉−2݉1解得﹣1≤m ≤1．象法画出图形解决问题即可； 线段ST 的中垂线上； 决问题即可； 决问题即可．1中，观察图象可知，线段ST 的内垂点为P 3，，4），M ′（﹣1，2）是线段ST 的最佳内垂点，，（﹣1，2）（答案不唯一）； −3ቄ݉−3݉−21，P 4． ，故答案为 ﹣1≤m ≤1．（4）如图2中，观察图象可解得﹣5≤n ≤﹣3．29．（2023春•嘉鱼县期末）以BC 为边在x 轴的上方作（1）点A 的坐标为 （2）将正方形ABCD OMN 重叠的区域（不①当m ＝3时，区域内整点②若区域W 内恰好有3个整【分析】（1）先求出方形（2）①画出正方形A 'B '②在△OMN 中共有6个整数图象可知，m 满足ቄ݊+4െ1݊2െ1，）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B （1，0，上方作正方形ABCD ，点M （﹣5，0），N （0，5（1，4） ；点D 的坐标为 （5，4） ；向左平移m 个单位，得到正方形A 'B 'C 'D '，记含边界）为W内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为 3 ；个整点，请直接写出m 的取值范围．正方形的边长为BC ＝4，再求点的坐标即可； C 'D '，结合图形求解即可；个整数点，在平移正方形ABCD ，找到恰好有3个整），点C （5，0），）． 正方形A 'B 'C 'D '与△ 个整数解的情况即可．【解答】解 （1）∵点∴BC ＝4，∵四边形ABCD 是正方形∴A （1，4），D （5，4故答案为 （1，4），（5（2）①如图 共有3个，故答案为 3；②在△OMN 中共有6个整数2，2），（﹣3，1），∵区域W 内恰好有3个整点∴2＜m ≤3或6≤m ＜730．（2023春•李沧区期末）补法来求它们的面积．下面如图1，2所示，分别过三角间的距离d 叫做水平宽；BD 的长叫做这个三角形的l 4，l 3，l 4之间的距离h叫做B （1，0），点C （5，0）， 方形， ）， ，4）； ， 个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3（个整点， ．）对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面的新过三角形或四边形的顶点A ，C 作水平线的铅；如图1所示，过点B 作水平线的铅垂线交形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B 叫做四边形的铅垂高．），（﹣2，1），（﹣用面积公式或者用割积的新方法 垂线l 1，l 2，l 1，l 2之AC 于点D ，称线段，D 作水平线l 3，【结论提炼】容易证明“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=12dh”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为4，所以△ABC面积的大小为20．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是36；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是37.5，由此发现用“S=12dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适．（填“适合”或“不适合”）（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是36，用其它的方法进行计算得到面积的大小是36，由此发现用“S=12dh”这一方法对求图5中四边形的面积合适．（“适合”或“不适合”）（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现用“S=12dh”这一方法对求图6中四边形的面积合适．（填“适合”或“不适合”）【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到当四边形满足某些条件时，可以用“S=12dh”来求面积．那么，可以用“S=12dh”来求面积的四边。
中考数学解答重难专题专题三 第25题综合与实践试题演练
专题三 第25题综合与实践类型一 面积平分问题（2017、2013、2010.25）试题演练1. (1)如图①，已知△ABC ，在BC 上找一点D ，连接AD ，使得AD 平分BC ；(2)如图②，已知直线l 1∥l 2，点A 和点B 分别为直线l 2上两定点，在直线l 1上任取两点M 、N ，连接AM 、AN 、BM 、BN ，AN 与BM 交于点P ，则S △AMP ________S △BNP (用“＞”、“＜”或“＝”表示)；(3)如图③，已知一块Rt △ABC 花园中，∠BAC ＝90°，AC ＝40米，BC ＝50米，AD 为花园内平分花园面积的一条小路(小路宽度忽略不计)，现在要从AB 边上的水源E 点处向BC 边上拉一条笔直的水管，且要使得水管两边的花地面积相等，已知E 点距离A 点为10米，现有与AB 等长的水管，问该水管是否够用？第1题图2. (2019西安交大附中模拟)问题探究(1)如图①，在平面直角坐标系内，M 是边长为4的正方形ABCO 边上一点，请过点M (0，3)作一条直线，使它将正方形的面积平分，求这条直线的解析式；(2)如图②，在平面直角坐标系中有A (1，4)，B (4，0)两点，请过点C (3，43)作一条直线将△ABO 的面积平分，求这条直线的解析式；问题解决(3)农民张伯伯有一块四边形空地如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝2km ，BC ＝4km.∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，∠ABC ＝120°，张伯伯想过点C 修一条路将四边形ABCD 的面积分为相等的两部分，这样的路是否存在？若存在，求出路的长度；若不存在，请说明理由．第2题图3. 问题探究(1)请在图①中作两条直线，使它将半圆O的面积三等分；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，请在图②中过点A作两条直线，使它们将矩形ABCD 的面积三等分，并说明理由；问题解决(3)如图③，李师傅有一块平行四边形ABCD的菜地，其中AB＝AC＝100米，BC＝120米，菜地A处有一用来灌溉的水源．李师傅现准备修两条笔直的小路将菜地面积三等分后给自己的三个儿子，要求三个儿子能在灌溉时共用A处水源，那么李师傅能否实现自己的想法？若能，请通过计算、画图说明；若不能，请说明理由．第3题图4. (2019陕西黑马卷)问题提出(1)如图①，已知直线a∥b，点A、B是直线a上不同的两点，分别过点A、B作AC⊥b，BD⊥b，垂足记为点C、D，则线段AC和线段BD的数量关系为AC____BD；(填“＞”，“＜”或“＝”) 问题探究(2)如图②，在△ABC中，点M、N分别是AB、AC的中点，过点A作直线a∥BC，点P是直线a上的任意一点，连接PM、P N、MN，若四边形BCNM的面积为3，则△PMN的面积为________；问题解决(3)如图③，有一块四边形空地ABCD, AD∥BC，∠B＝60°，AB＝10米，AD＝30米，BC＝8米，点E 是BC上一点，且BE＝2米．市政为了美化城市，计划将这块空地改造成一片牡丹园，为了方便行人行走，计划在牡丹园中间过点E修一条笔直的小路(路的宽度不计)，使得小路的另一出口在AD上的点F处，且EF恰好将四边形ABCD的面积平分．请你帮助市政设计出小路EF的位置(在图中画出EF)，并求EF的长(结果保留根号)．第4题图类型二面积最值问题(2012、2011.25)试题演练1. (2012陕西25题12分)如图，正三角形ABC的边长为3＋ 3.(1)如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．第1题图2.在正方形ABCD中，AB＝100，点E、F分别在边AB、BC上，且∠EDF＝45°.问题探究(1)如图①，请直接写出线段AE，EF，CF之间的数量关系：________；(2)如图②，若AE＝25，求四边形DEBF的面积；问题解决(3)如图③，AB＝100 m，公园设计部门为了给儿童提供更舒适、更安全的活动场地，准备将正方形空地中的DEBF部分作为儿童活动区，并用围栏围起来，只留三个出入口，即点D、E、F，将儿童活动区(即四边形DEBF)划分为△DEF和△BEF两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草，则是否存在一种设计方案，使得儿童活动区面积最大？若存在，求出儿童活动区面积的最大值；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2019陕师大附中模拟)发现问题(1)如图①，直线a∥b，点B、C在直线b上，点D为AC的中点，过点D的直线与a，b分别相交于M、N 两点，与BA 的延长线交于点P ，若△ABC 的面积为1，则四边形AMNB 的面积为________；探究问题(2)如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠DAC ＝13∠BAC ，DA ＝2，求△ABC 面积的最小值； 拓展应用(3)如图③，矩形花园ABCD 的长AD 为400米，宽CD 为300米，供水点E 在小路AC 上，且AE ＝2CE ，现想沿BC 上一点M 和CD 上一点N 修一条小路MN ，使得MN 经过E ，并在四边形AMCN 围城的区域内种植花卉，剩余区域铺设草坪，根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小．请根据相关数据求出四边形AMCN 面积的最小值，及面积取最小时点M 、N 的位置．(小路的宽忽略不计)第3题图类型三 线段最值问题(2018、2016、2015.25)1. 问题探究(1)如图①，点E 是正△ABC 高AD 上的一定点，请在AB 上找一点F ，使EF ＝12AE ，并说明理由； (2)如图②，点M 是边长为2的正△ABC 高AD 上的一动点，连接CM ，求12AM ＋MC 的最小值； 问题解决(3)如图③，A 、B 两地相距600 km ，AC 是沿东西方向向两边延伸的一条笔直的铁路．点B 到AC 的最短距离为360 km.今计划在铁路线AC 上修建一个中转站M ，再在BM 间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A 到M 再通过公路由M 到B 的总运费最少，请确定中转站M 的位置，并求出AM 的长．(结果保留根号)第1题图2. 问题探究(1)如图①，试在线段BC 上画出点E 使得AE ＋DE 的值最小；(2)如图②，∠B ＝30°，点D 在射线BC 上，且BD ＝10，E 、F 分别为射线BA 、BC 上的两个动点，试求DE ＋EF 的最小值；问题解决：(3)如图③，C 、A 、B 三个城市由三条主道路AC 、AB 、BC 连接，已知AC ＝62，∠A ＝45°，AB ＝10，为缓解因汽车数量“井喷式”增长而导致的交通拥堵，增加人们出行的幸福指数，省规划厅计划分别在线段BC 、AB 、AC 上选取D 、E 、F 处开口修建便捷通道．请说明如何选取D 、E 、F 使得DE ＋EF ＋FD 最小，并请求出该最小值．第2题图3. 问题提出(1)如图①，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK ＋NK 最小；问题探究(2)如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的大小；问题解决(3)如图③，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝303米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B、C的距离之和最小．是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值；若不存在，请说明理由．第3题图4. (1)如图①，AD是△ABC的中线，则线段AB＋AC________2AD(填“>”、“<”或“＝”)；(2)如图②，在矩形ABCD中，CD＝3，BC＝4，点E为BC的中点，若点F为CD上任意一点，试确定CF为何值时，△AEF的周长最小；(3)如图③，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，Q为AC上任意一点，连接PO、BQ、P Q.若AC＝2，BC＝1，则当点Q在线段AC上何处时，OP＋PQ＋QB取得最小值．第4题图类型四辅助圆问题(2014～2019.25)1.问题提出(1)如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，点O 是△ABC 的外接圆的圆心，则OB 的长为________； 问题探究(2)如图②，已知矩形ABCD ，AB ＝4，AD ＝6，点E 为AD 的中点，以BC 为直径作半圆O ，点P 为半圆O 上一动点，求E 、P 之间的最大距离；问题解决(3)某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD 和弦CB 所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口D 到弧BC ︵上的一点P 修建一条笔直的小路DP .已知AD ∥BC ，∠ADB ＝45°，BD ＝1202米，BC ＝160米，过弦BC 的中点E 作EF ⊥BC 交弧BC ︵于点F ，又测得EF ＝40米．修建小路平均每米需要40元(小路宽度不计)，不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？第1题图2. 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；(1)如图①，已知筝形ABCD 的两条对角线长分别为a 、b ，则该筝形的面积为________；(2)如图②，已知△ABC ，BC ＝2，∠BAC ＝45°，求BC 边上的高线AD 的最大值；(3)如图③，现有一边长为6 cm 的正方形木料ABCD ，要利用其直角做一个四边形工件，在其相邻的两条边AB 、BC 上，取它们的三等分点E 、F ，要在木料内找一点G ，使得∠EGF ＝30°，且四边形BFGE 的面积最大．问正方形木料ABCD 内，是否存在符合要求的点G ？若存在，请求出四边形BFGE 面积的最大值；若不存在，请说明理由．第2题图3. 在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠B ＝60°；(1)如图①，已知∠D ＝30°，则∠A ＋∠C ＝________．(2)已知AD ＝3，CD ＝4，在(1)的条件下，利用图①，连接BD ，并求出BD 的长度；(3)如图②，已知∠ADC ＝75°，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，BD ＝6，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图②所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．第3题图4.问题提出(1)如图①，请在正方形ABCD内画出一个以点C为顶点、BC为腰的等腰三角形CBP；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)如图②，在平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(8，0)，点P是y轴正半轴上一个动点，当∠APB 最大时，求点P的坐标；问题解决(3)某游乐场的平面如图③所示，经测量可知：∠DOC＝60°，OA＝400 m，AB＝200 3 m，场所保卫人员想在线段OD上的一点M处安装监控装置，用来监控OC上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠AMB最大，请问在线段OD上是否存在这样的一点M？若存在，请求出此时OM的长和∠AMB的度数；若不存在，请说明理由．第4题图5. (2019陕西副题25题12分)问题提出(1)如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC；问题探究(2)如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM. 试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1∶6的两部分．求点N到点M的距离；问题解决(3)如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30 m，BC＝40 m. 根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？(结果保留整数．参考数据：2≈1.4，3≈1.7)第5题图6. (2018西安高新一中模拟)实践探索：(1)如图①，已知线段AB，以AB为弦，在图①中作出一个⊙O；(2)如图②，在矩形ABCD中，AD＝4，点P在边DC上且∠APB＝60°，试判断矩形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图③，有一块矩形ABCD的板材，AB＝62＋12，BC＝62＋6，现截去了一块等腰直角三角形ADE，工人想将剩下的板材合理利用，截出一个四边形AMFN，且满足点F在边BC上，CF∶BF＝1∶2，点M在AE上，点N在AB上，∠MFN＝90°，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，试求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．第6题图参考答案类型一面积平分问题1. 解：(1)如解图①，D 为BC 的中点，连接AD ，则AD 平分△ABC 的面积；第1题解图①(2)＝；【解法提示】∵△ABM 和△ABN 的底边相等，高均为l 1与l 2之间的距离， ∴S △ABM ＝S △ABN ，∵S △AMP ＝S △ABM －S △ABP ，S △BNP ＝S △ABN －S △ABP ，∴S △AMP ＝S △BNP .(3)∵AD 平分△ABC 的面积，即S △ABD ＝S △ACD ，∴AD 为斜边BC 上的中线，∴D 为BC 的中点，如解图②，连接DE ，过点A 作AF ∥DE 交BC 于点F ，连接EF 交AD 于点G ，第1题解图②∵AF ∥DE ，由(2)得S △AEG ＝S △DFG ，∵S △BEF ＝S △ABD －S △AEG ＋S △DFG ，S 四边形AEFC ＝S △ACD －S △DFG ＋S △AEG ，∴S △BEF ＝S 四边形AEFC ，∴EF 平分S △ABC ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，∵△ABC 是直角三角形，AC ＝40米，BC ＝50米，∴AB ＝BC 2－AC 2＝30米，∵AE ＝10米，∴BE ＝20米，∵sin B ＝EH BE ＝AC BC ＝45， ∴EH ＝16米，在Rt △BEH 中，∵BE 2＝EH 2＋BH 2，∴BH ＝12米，∵S △ABC ＝12AB ·AC ＝600(平方米)，EF 平分S △ABC ，∴S △BEF ＝12S △ABC ＝300(平方米)，又∵S △BEF ＝12BF ·EH ，且EH ＝16米，∴BF ＝752米，∴HF ＝BF －BH ＝512米，在Rt △EHF 中，HF ＝512米，EH ＝16米，∴EF ＝HF 2＋EH 2＝51452＞51442＝5×122＝30米＝AB ，∴该水管不够用．2. 解：(1)如解图①，∵四边形ABCO 是正方形，点M 在AO 上，根据中心对称图形面积平分模型，直线必过正方形ABCD 的对称中心，即对角线的交点H ，易知H (2，2)．第2题解图①设直线MH 的解析式为y ＝kx ＋3. ∵直线MH 过点H (2，2)， ∴直线MH ：y ＝－12x ＋3；(2)设直线AB 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1. ∵直线过点A (1，4)，点B (4，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k 1＋b 10＝4k 1＋b 1，解得⎩⎨⎧k 1＝－43b 1＝163，∴直线AB ：y ＝－43x ＋163，∴C (3，43)在直线AB 上，如解图②.第2题解图②设直线CD 将△AOB 的面积二等分，则S △ADC ＝12S △AOB ＝12×12×4×4＝4.易知直线OA 的解析式为y ＝4x ，如解图②，过点C 作CE ∥x 轴交AD 于点E ， ∴点E 的坐标为(13，43)．∴CE ＝3－13＝83，∴S △ADC ＝CE ·（y A －y D ）2＝4，∴y D ＝1，∴点D 的坐标为(14，1)．设直线CD 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)． 将点C (3，43)，D (14，1)代入得，⎩⎨⎧3k 2＋b 2＝4314k 2＋b 2＝1，解得⎩⎨⎧k 2＝433b 2＝3233，∴这条直线的解析式为y ＝433x ＋3233；(3)存在．如解图③，建立平面直角坐标系，使AD 在x 轴上，AB 在y 轴上，过点C 作CG ⊥y 轴，CF ⊥x 轴，过点B 作直线BE ∥AC 交x 轴于点E ，连接CE .由题意，得S 四边形ABCD ＝S △CED ，取DE 的中点H ，连接CH ，直线CH 即为所求直线．第2题解图③在Rt △CGB 中，∠CBG ＝180°－∠ABC ＝60°，BC ＝4， ∴GB ＝2，CG ＝OF ＝23， ∴C (23，4)， ∴OG ＝CF ＝4.在Rt △CFD 中，∠CDF ＝180°－∠ABC ＝60°，CF ＝4，∴FD ＝433，∴OD ＝1033，设直线AC 的解析式为y ＝k 3x ， ∵直线过点C (23，4)， ∴直线AC ：y ＝233x .又∵BE ∥AC ，∴直线BE ：y ＝233x ＋2.当y ＝0时，x ＝－3， ∴E (－3，0)．∴DE ＝OE ＋OF ＋FD ＝1333，易得HF ＝536.在Rt △CHF 中，由勾股定理得CH ＝（536）2＋42＝6516(km )．∴存在这样的路，且路的长度为6516km . 3. 解：(1)作直线如解图①所示；第3题解图①(2)如解图②所示，直线AP 、AQ 即为所求． 理由如下：如解图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4， ∴矩形ABCD 的面积为12.设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分， 则S △ABP ＝S △ADQ ＝4， 即12×3BP ＝12×4DQ ＝4， ∴BP ＝83，DQ ＝2，∴当BP ＝83，DQ ＝2时，直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分；第3题解图②(3)李师傅能实现自己的想法．如解图③，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E . ∵AB ＝AC ＝100米，BC ＝120米， ∴BE ＝12BC ＝60米，∴在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2－BE 2＝80米，∴S ▱ABCD ＝BC ·AE ＝120×80＝9600(平方米)， 过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ， ∵CD ＝AB ＝100米，CD ·AF ＝BC ·AE ， ∴AF ＝BC ·AE CD ＝120×80100＝96(米)．设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分，则S △ABP＝S △ADQ ＝13×9600＝3200(平方米)，即12BP ·AE ＝12DQ ·AF ＝3200， ∴BP ＝80米，DQ ＝2003米，∴当BP ＝80米，DQ ＝2003米时，直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分．第3题解图③4. 解：(1)＝； (2)1；【解法提示】∵在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ，∴S △AMN ＝14S △ABC ，∴S 四边形BCNM ＝3S △AMN ，∵S 四边形BCNM ＝3，∴S △AMN ＝1.又∵直线a ∥BC ，MN ∥BC ，∴直线a ∥MN ，∴S △PMN ＝S △AMN ＝1.(3)如解图，在CD 上取点G ，使得CG ＝DG ，过点G 作HK ∥AB ，交AD 于点H ，交BC 的延长线于点K ，连接BH 、AK ，相交于点O ，连接EO 并延长交AD 于点F ，此时EF 即为所求．第4题解图过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，在Rt △ABQ 中，AB ＝10米，∠ABQ ＝60°， ∴BQ ＝5米，AQ ＝53米． ∵BE ＝2米，∴EQ ＝3米．过点E 作EP ⊥DA 交DA 的延长线于点P ，则四边形EQAP 是矩形， ∴EP ＝53米，AP ＝EQ ＝3米． ∵G 是CD 的中点，CK ∥HD ，∴∠KCG ＝∠HDG ，∠CKG ＝∠DHG ，CG ＝DG . ∴△CKG ≌△DHG (AAS )．∴CK ＝DH ，又由作图及题知HK ∥AB ，AD ∥BC . ∴四边形ABKH 是平行四边形， ∴AH ＝BK .∴AH ＝BC ＋CK ＝BC ＋HD ＝AD －HD . ∴HD ＝12(AD －BC )＝12×(30－8)＝11米．∴AH ＝AD －HD ＝30－11＝19米． ∵FH ＝BE ＝2米， ∴AF ＝AH －FH ＝17米． ∴PF ＝P A ＋AF ＝3＋17＝20米．在Rt △EPF 中，由勾股定理得EF ＝EP 2＋PF 2＝（53）2＋202＝519米．类型二 面积最值问题1. 解：(1)如解图①，正方形E ′F ′P ′N ′即为所求；(2分)第1题解图①(2)设正方形E ′F ′P ′N ′的边长为x ， ∵△ABC 为正三角形， ∴AE ′＝BF ′＝33x ， ∴x ＋233x ＝3＋3，∴x ＝9＋3323＋3，即x ＝33－3.∴(1)中作出的正方形E ′F ′P ′N ′的边长是33－3；(3)如解图②，连接NE 、EP 、PN ，则∠NEP ＝∠NEM ＋∠PEH ＝90°.第1题解图②设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m 、n (m ≥n )，它们的面积和为S ， 则NE ＝2m ，PE ＝2n . ∴PN 2＝NE 2＋PE 2 ＝2m 2＋2n 2 ＝2(m 2＋n 2)． ∴S ＝m 2＋n 2＝12PN 2.延长PH 交ND 于点G ，则PG ⊥ND .在Rt △PGN 中，PN 2＝PG 2＋GN 2＝(m ＋n )2＋(m －n )2. ∵AB ＝AD ＋DE ＋EF ＋BF ＝33m ＋m ＋n ＋33n ＝3＋3， 即m ＋n ＝3，∴①当(m －n )2＝0时，即m ＝n 时，S 最小． ∴S 最小＝(32)2×2＝92.②当(m －n )2最大时，S 最大．即当m 最大且n 最小时，S 最大． ∵m ＋n ＝3，由(2)知，m 最大＝33－3. ∴n 最小＝3－m 最大 ＝3－(33－3) ＝6－3 3.∴S 最大＝(33－3)2＋(6－33)2＝27＋9－183＋36＋27－36 3＝99－54 3.2. 解：(1)EF ＝AE ＋CF ；【解法提示】如解图①，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCE ′， ∴ED ＝E ′D ，∠ADE ＝∠CDE ′， 又∵∠EDF ＝45°， ∴∠ADE ＋∠FDC ＝45°，即∠CDE ′＋∠FDC ＝∠E ′DF ＝45°， ∴∠EDF ＝∠E ′DF . 在△DEF 和△DE ′F 中， ⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝E ′D ∠EDF ＝∠E ′DF DF ＝DF， ∴△DEF ≌△DE ′F (SAS )， ∴EF ＝E ′F ＝E ′C ＋CF ＝AE ＋CF .(2)如解图②，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCN ′处， 设EF ＝N ′F ＝a (a ＞0)，∵正方形ABCD 的边长为100，∠EDF ＝45°，AE ＝25， ∴BE ＝100－25＝75， ∴BF ＝a 2－752， ∴a ＝100＋25－a 2－752， 解得a ＝85，∴S 四边形DEBF ＝S 正方形ABCD －S △DFN ′＝1002－12×85×100＝5750；(3)存在．如解图③，连接AC ，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCE ″处， 由(2)得S 四边形DEBF ＝S 正方形ABCD －S △DFE ″＝10000－50EF ， ∴当EF 最小时，S 四边形DEBF 最大， ∵EF 2＝BE 2＋BF 2， ∴当BE ＝BF 时，EF 最小， 此时EF ∥AC ， ∴BE BA ＝EF AC ，即BE 100＝EF1002， ∴BE EF ＝22， ∴∠EFB ＝45°， ∴BE ＝BF ，∴AE ＝FC ＝BC －BF ＝100－BE ，∴EF ＝E ″F ＝FC ＋CE ″＝200－2BE ＝2BE ， 解得BE ＝100(2－2)， ∴EF ＝2BE ＝2002－200，∴S 四边形DEBF ＝10000－50×(2002－200)＝20000－10000 2.∴当BE ＝BF ＝100(2－2)m 时，儿童活动区的面积最大，最大面积为(20000－100002)m 2.第2题解图3. 解：(1)1；【解法提示】∵a ∥b ，∴∠MAD ＝∠NCD ，∵AD ＝DC ，∠ADM ＝∠CDN ，∴△ADM ≌△CDN (ASA )，∴S △ADM ＝S △CDN ，∴S 四边形AMNB ＝S △ABC ＝1.(2)如解图①，延长AD 至点F ，使得DF ＝DA ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，交BC 于点H ，FE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，连接EG .∵∠FEA ＝∠FGA ＝∠GAE ＝90°， ∴四边形AEFG 是矩形，∵∠DAC ＝13∠BAC ＝30°，AD ＝DF ＝2,∴AF ＝4，EF ＝12AF ＝2，AE ＝3EF ＝23，∴S 矩形AEFG ＝43，∵矩形AEFG 是中心对称图形，D 是对称中心， ∴过点D 的任意直线平分矩形AEFG 的面积， ∴S 四边形ACHG ＝12S 矩形ABCD ＝23，∵S △ABC ≥S 四边形ACHG , ∴S △ABC ≥23，∴当BC 与GE 重合时，△ABC 的面积最小，最小值为23；图① 图②第3题解图(3)如解图②，取AE 的中点G ，作GH ⊥CD 于点H ，GF ⊥BC 于F ，连接FH ，则四边形GHCF 是矩形． ∵AE ＝2EC ，AG ＝EG ， ∴EC ＝EG ， ∴点E 在FH 上， ∵AC ＝3EC ，∴S △ACM ＝3S △ECM ，S △ACN ＝3S △ECN , ∴S 四边形AMCN ＝3S △CMN ,∴当△CMN 的面积最小时，四边形AMCN 的面积最小， ∵矩形CFGH 是中心对称图形，由(2)可知：当MN 与FH 重合时，△MCN 的面积最小， ∵AC ＝3002＋4002＝500(米), ∴CG ＝23×500＝10003(米),∵GH ∥AD ，∴CG CA ＝GH AD ＝CH CD ，即10003500＝GH 400＝CH300， ∴GH ＝8003米，CH ＝200米，∴△MCN 的面积的最小值为12×200×8003＝800003(平方米),∴四边形AMCN 的面积的最小值为80000平方米， 此时CM ＝CF ＝GH ＝8003米，CN ＝CH ＝200米．类型三 线段最值问题1. 解：(1)如解图①，作EF ⊥AB ，垂足为点F ，点F 即为所求．第1题解图①理由如下：∵点E 是正△ABC 的高AD 上的一点，∴∠BAD ＝30°. ∵EF ⊥AB ， ∴EF ＝12AE ；(2)如解图②，作MN ⊥AB ，垂足为点N ，第1题解图②∵△ABC 是正三角形，AD 为高， ∴∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∵MN ⊥AB ，∴在Rt △AMN 中，MN ＝12AM ，当C 、M 、N 三点共线时，12AM ＋MC ＝MN ＋MC ＝CN .此时12AM ＋MC 的值最小，最小值即为CN 的长．∵△ABC 是边长为2的正三角形， ∴CN ＝BC ·sin60°＝2×32＝3， 即12AM ＋MC 的最小值为3； (3)如解图③，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，在AC 异于点B 的一侧作∠CAN ＝30°. 过点B 作BF ⊥AN ，垂足为点F ，交AC 于点M ，点M 即为所求．第1题解图③在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝6002－3602＝480 km ， 在Rt △MBD 中，∠MBD ＝∠MAF ＝30°， 则MD ＝BD ·tan30°＝120 3 km ， ∴AM ＝(480－1203)km .2. 解：(1)如解图①，过点A 作BC 的对称点A ′，连接A ′D 交BC 于点E .则点E 即为使得AE ＋DE 的值最小的点；第2题解图①(2)如解图②，作点D 关于AB 的对称点D ′，过点D ′作D ′F ⊥BC 于点F ，交AB 于点E ，则DE ＋EF ＝D ′E ＋EF ≥D ′F ，连接BD ′.∵点D 和点D ′关于AB 对称，∴∠D ′BE ＝∠ABC ＝30°，BD ′＝BD ＝10， ∴∠D ′BF ＝2∠ABC ＝60°， ∴D ′F ＝BD ′·sin ∠D ′BF ＝10×32＝53，即DE ＋EF 的最小值为53；第2题解图②(3)如解图③，分别作点D 关于AB 、AC 的对称点D 1、D 2，连接D 1D 2、AD 1、AD 2、ED 1、FD 2，第2题解图③根据对称性，有DE ＝D 1E ，DF ＝D 2F ， 则DE ＋EF ＋DF ＝D 1E ＋EF ＋FD 2≥D 1D 2，由轴对称可得：AD ＝AD 1＝AD 2，∠DAC ＝∠D 2AC ，∠DAB ＝∠D 1AB ，∴D 1D 2是顶角为90°的等腰三角形的底边，要想底边长D 1D 2最小，只要腰长最小，根据垂线段最短，当AD ⊥BC 时，腰长最小，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ，在Rt △ACH ，∵AC ＝62，∴AH ＝CH ＝6，∴BH ＝AB －AH ＝4，在Rt △BHC 中，由勾股定理得BC ＝213，根据等面积法AB ·CH ＝BC ·AD ，∴AD ＝301313，∴D 1D 2＝302613，即DE ＋EF ＋DF 最小值为302613.3. 解：(1)如解图①，连接MN ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求；第3题解图①(2)如解图②，把△APB 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACP ′， 由旋转的性质，P ′A ＝P A ＝3，P ′C ＝PB ＝4，∠P AP ′＝60°， ∴△APP ′是等边三角形， ∴PP ′＝P A ＝3，∠AP ′P ＝60°，∵PP ′2＋P ′C 2＝32＋42＝25，PC 2＝52＝25， ∴PP ′2＋P ′C 2＝PC 2， ∴∠PP ′C ＝90°，∴∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°， ∴∠APB ＝∠AP ′C ＝150°；第3题解图②(3)如解图③，把△ABE 绕点B 逆时针旋转60°得到△A ′BE ′，由旋转的性质，A ′B ＝AB ＝303，BE ′＝BE ，A ′E ′＝AE ，∠E ′BE ＝60°，∠A ′BA ＝60°， ∴△E ′BE 是等边三角形， ∴BE ＝EE ′，∴EA ＋EB ＋EC ＝A ′E ′＋EE ′＋EC ≥A ′C . 即EA ＋EB ＋EC 的最小值为A ′C 的长度．过点A ′作A ′G ⊥BC 交CB 的延长线于点G ，则∠A ′BG ＝90°－∠A ′BA ＝90°－60°＝30°. ∴A ′G ＝12A ′B ＝12AB ＝12×303＝153米，GB ＝3A ′G ＝3×153＝45米，∴GC ＝GB ＋BC ＝45＋60＝105米，在Rt △A ′GC 中，A ′C ＝A ′G 2＋GC 2＝3013米， ∴EA ＋EB ＋EC 的最小值为3013米．第3题解图③4. 解：(1)>；(2)如解图①，作点E 关于CD 的对称点E ′，连接AE ′交DC 于点F ，连接EF 、AE . 若在边CD 上任取与点F 不重合的一点F ′，连接AF ′、EF ′、E ′F ′，由EF ′＋AF ′＝E ′F ′＋AF ′＞AE ′＝E ′F ＋AF ＝EF ＋AF 可知，当点F 为AE ′与DC 的交点时，△AEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，CD ＝3，BC ＝4，点E 为BC 的中点， ∴AB ＝3，E ′C ＝EC ＝2，BE ′＝6， ∵CF ∥AB ，∴Rt △E ′CF ∽Rt △E ′BA ， ∴CF BA ＝E ′C E ′B， ∴CF ＝E ′C E ′B ·AB ＝26×3＝1，∴当CF 为1时，△AEF 的周长最小；第4题解图①(3)如解图②，作点B 关于AC 的对称点B ′，作点O 关于AB 的对称点O ′，连接AB ′，QB ′，PO ′，B ′O ′，B ′P ，BB ′，AO ′，OO ′，则QB ＝QB ′，OP ＝O ′P .∴OP ＋PQ ＋QB ＝O ′P ＋PQ ＋QB ′，当点Q 在AC 的中点(与点O 重合)，点P 在AB 的中点时，B ′O ′≤B ′P ＋O ′P ≤PQ ＋QB ′＋O ′P ， ∴OP ＋PQ ＋QB 的最小值为B ′O ′.∵在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝2，BC ＝1， ∴∠BAC ＝30°，AB ＝3，∵点B 、B ′关于AC 对称，点O 、O ′关于AB 对称，∴∠B ′AC ＝30°，AB ′＝AB ＝3，∠O ′AB ＝30°，AO ′＝AO ＝1， ∴∠B ′AO ′＝90°，∴B ′O ′＝AB ′2＋AO ′2＝（3）2＋12＝2， ∴OP ＋PQ ＋QB 的最小值为2. 设B ′O ′交AC 于点Q ′，∵在Rt △AO ′B ′中，AO ′＝1，B ′O ′＝2， ∴∠AB ′O ′＝30°，则∠AO ′B ′＝60°，∵在△AO ′Q ′中，∠Q ′AO ′＝∠Q ′AB ＋∠BAO ′＝60°， ∴△AO ′Q ′是等边三角形， ∴AQ ′＝AO ′＝1＝AO ， ∴点Q ′在AC 的中点处，∴当点Q 为AC 的中点时，OP ＋PQ ＋QB 取得最小值．第4题解图②类型四 辅助圆问题1. 解：(1)254；【解法提示】如解图①，记AO 交BC 于点K ，∵点O 是△ABC 的外接圆的圆心，AB ＝AC ，∴AK ⊥BC ，BK ＝12BC ＝6，∴AK ＝AB 2－BK 2＝8，在Rt △BOK 中，OB 2＝BK 2＋OK 2，设OB ＝x ，∴x 2＝62＋(8－x )2，解得x ＝254， ∴OB ＝254.第1题解图①(2)如解图②，连接EO 并延长，交半圆于点P ，此时E 、P 之间的距离最大，在BC ︵上任取异于点P 的一点P ′，连接OP ′，P ′E ，∴EP ＝EO ＋OP ＝EO ＋OP ′＞EP ′，即EP ＞EP ′. ∵AB ＝4，AD ＝6，∴EO ＝4，OP ＝OC ＝12BC ＝3.∴EP ＝OE ＋OP ＝7.∴E 、P 之间的最大距离为7；第1题解图②(3)如解图③，延长FE 交BD 于点M ， ∵EF ⊥BC ，BE ＝CE ，BC ︵是劣弧， ∴BC ︵所在圆的圆心在射线FE 上， 设圆心为O ，半径为R ，连接OC ，则OC ＝R ，OE ＝R －40，BE ＝CE ＝12BC ＝80,在Rt △OEC 中，R 2＝802＋(R －40)2, 解得：R ＝100， ∴OE ＝OF －EF ＝60.过点D 作DG ⊥BC ，垂足为点G ， ∵AD ∥BC ，∠ADB ＝45°， ∴∠DBC ＝45°.在Rt △BDG 中，DG ＝BG ＝BD2＝120， 在Rt △BEM 中，ME ＝BE ＝80， ∵ME ＞OE .∴点O 在△BDC 内部．∴连接DO 并延长交BC ︵于点P ，则DP 为入口D 到BC ︵上一点P 的最大距离． 在BC 上任取一点异于点P 的点P ′，连接OP ′，P ′D . ∴DP ＝OD ＋OP ＝OD ＋OP ′＞DP ′，即DP ＞DP ′.过点O 作OH ⊥DG ，垂足为点H ，则OH ＝EG ＝BG －BE ＝40，DH ＝DG －HG ＝DG －OE ＝60， ∴OD ＝OH 2＋DH 2＝2013. ∴DP ＝OD ＋OP ＝2013＋100,∴修建这条小路最多要花费40×(2013＋100)＝(80013＋4000)元．第1题解图③2. 解：(1)12ab ；【解法提示】∵四边形ABCD 是筝形，∴AB ＝AD ，CB ＝CD .∵AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC .∴∠DAC ＝∠BAC .∴AC 垂直平分BD .∴S △ABC ＝S △ADC ＝12·12b ·a .∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12ab .(2)∵BC ＝2，∠BAC ＝45°，∴点A 在以BC 为弦，且弦BC 所对的圆心角为90°的BAC ︵上． 设△ABC 的外接圆圆心为O ， ∴∠BOC ＝90°.如解图①，连接OB 、OC ， ∴OB ＝OC ＝22BC ＝1. 要使得BC 边上的高线最长，则点A 在BC 的垂直平分线上， 过点O 作OD ⊥BC 于点D ，延长DO ，交⊙O 于点A . ∵△BOC 是等腰直角三角形，OD ⊥BC ， ∴OD ＝22. ∴BC 边上的高线AD 的最大值为AO ＋OD ＝1＋22；第2题解图①(3)存在．∵四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 、BC 的三等分点， ∴AB ⊥BC ，BE ＝BF ＝13AB ＝2 cm .∴△BEF 为等腰直角三角形，且S △BEF 为定值，EF ＝2 2 cm . ∴要使得四边形BFGE 面积最大，只需使得△EFG 面积最大即可． ∵∠EGF ＝30°，EF 为定长，∴点G 在以EF 为弦，所对圆心角为60°的EGF ︵上(不含E 、F 两点)． 设△EFG 的外接圆圆心为O ，在△EFG 中，EF 为定长，要使得△EFG 面积最大，即底边EF 上的高取得最大值即可； 如解图②，连接BD ，连接BO 并延长，交⊙O 于点G ，交EF 于点M ，第2题解图②∴BO 垂直平分EF ，即MG 垂直平分EF ，此时△EFG 的面积最大，连接OE 、OF ，则∠EOF ＝60°. ∵OE ＝OF ，∴△EOF 为等边三角形．∴OE ＝OF ＝EF ＝2 2 cm ，OM ＝ 6 cm . ∵OM ⊥EF ， ∴M 为EF 的中点． ∴BM ＝12EF ＝ 2 cm .∴BG ＝BM ＋OM ＋OG ＝(32＋6)cm . ∵△BEF 为等腰直角三角形， ∴BM 为∠EBF 的平分线．∴BG 在正方形ABCD 的对角线所在的直线上，且BD ＝6 2 cm . ∵32＋6＜62，∴点G 在线段BD 上，即点G 在正方形ABCD 内部．∴存在符合要求的点G ，且四边形BFGE 面积的最大值为12EF ·BG ＝12×22×(32＋6)＝(6＋23) cm 2.3. 解：(1)270°；【解法提示】∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°，且∠B ＝60°，∠D ＝30°， ∴∠A ＋∠C ＝270°.(2)如解图①，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAQ ，连接DQ ， 则∠CBD ＝∠ABQ ，∠C ＝∠BAQ ，CD ＝AQ ＝4，BD ＝BQ ，∠DBQ ＝60°， ∴△BDQ 是等边三角形． ∴BD ＝DQ .∵∠C ＋∠BAD ＝270°， ∴∠BAQ ＋∠BAD ＝270°. ∴∠DAQ ＝90°.则BD ＝DQ ＝AD 2＋AQ 2＝5；第3题解图①(3)能．如解图②，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAH ，连接DH ，作△AHD 的外接圆⊙O ，连接AO ，与DH 交于点K .第3题解图②由(2)知△BDH 是等边三角形，∴S 四边形ABCD ＝S △BAH ＋S △ABD ＝S △DBH －S △ADH .∴当△ADH 面积最大时，四边形ABCD 的面积最小． ∵∠ABC ＝60°，∠ADC ＝75°，∴∠BAD ＋∠BAH ＝∠BAD ＋∠BCD ＝360°－75°－60°＝225°. ∴∠DAH ＝135°. ∵DH ＝DB ＝6，∴点A 在定圆⊙O 上运动，当O 、A 、B 共线时，△ADH 的面积最大，此时OB ⊥DH .则HK ＝KD ＝3. ∵AH ＝AD ，∴∠AHD ＝∠ADH ＝22.5°.在HK 上取一点F ，使得FH ＝F A ，则△AKF 是等腰直角三角形， 设AK ＝FK ＝x ，则FH ＝AF ＝2x , ∴3＝x ＋2x ，解得x ＝32－3.∴△ADH 的面积最大值为12×6×(32－3)＝92－9.∴四边形ABCD 的面积的最小值为34×62－(92－9)＝93－92＋9. 4. 解：(1)如解图①，等腰三角形CBP 即为所求(点P 为正方形ABCD 内的弧BD ︵上的任意一点)；第4题解图①(2)以AB 为弦的圆，圆心Q 必过AB 的垂直平分线，如解图②，取AB 的中点D ，则D (5，0)， ∴圆心Q 的横坐标为5，⊙Q 与y 轴交于点P ，即以AB 为弦的圆，圆半径PQ 最小为5， ∵sin ∠AQD ＝12AB AQ ＝3AQ ，∴当AQ ＝BQ 取得最小值时，sin ∠AQD 最大，∠AQD 最大，即∠AQB 最大，此时其所对圆周角∠APB 最大， 连接PQ .当PQ ＝5时，AQ ＝BQ ＝5，此时PQ ⊥y 轴且点P 为⊙O 与y 轴的切点， 则Q 点的纵坐标为±52－（8－22）2＝±4，∵点P 在y 轴正半轴上， ∴点P 的坐标为(0，4)；第4题解图②(3)存在．如解图③，过点A 、B 作⊙N 且与OD 相切于点M ，连接MN 并延长，交OC 于点E ，连接MA 、MB 、NA 、NB ，过点N 作NF ⊥AB 于点F，第4题解图③∵∠MOA ＝∠BOM ，OM 为⊙N 的切线， ∴∠OMA ＝∠OBM . ∴△OMA ∽△OBM . 即OM OB ＝OAOM， ∴OM 2＝OA ·OB ＝400×(400＋2003)． ∴OM ＝(200＋2003)m . 易得FB ＝12AB ＝1003m ，∵∠O ＝60°，∠OME ＝90°， ∴∠MEO ＝30°. ∵OM ＝(200＋2003)m . ∴OE ＝2OM ＝(400＋4003)m ， ∴BE ＝OE －OB ＝2003m . ∴FE ＝FB ＋BE ＝3003m . ∴在Rt △NFE 中， NF ＝FE ·tan ∠MEO ＝300 m .∴在Rt △BNF 中，tan ∠BNF ＝FB NF ＝1003300＝33.∴∠BNF ＝30°. ∵AB ︵＝AB ︵，∴∠AMB ＝12∠ANB ＝∠BNF ＝30°.5．解：(1)如解图①所示，Rt △ABC 即为所求．(只要画出一个符合要求的Rt △ABC 即可)第5题解图①(2)如解图②，连接OB .∵O 是正方形ABCD 的对称中心，且BM ＝CM ， ∴S △BOM ＝18×282＜17×282.∴点N 不可能在BM 上，由对称性， 可知点N 也不可能在MC 上．显然，点N 不在AD 边上． ∴设点N 在AB 边上，连接ON .由题意，得12(BN ＋14)×14＝17×282，解得BN ＝2.由对称性知，当点N 在CD 边上时，可得CN ＝2.∴MN ＝142＋22＝102；第5题解图②(3)如解图③，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，第5题解图③在Rt △ABD 中，AB ＝30，AD ＝40，∴BD ＝50，AH ＝24.易得S △AEF ＝S △CEF .∴S 四边形AECF ＝2S △AEF ＝2×12×EF ·AH ＝24EF . 由题意可知，只有S 四边形AECF 最小时，按设计要求在矩形ABCD 内种植红、黄两种花卉的费用最低． 要使S 四边形AECF 最小，就需EF 最短．∵AH ⊥EF ，tan ∠HAD ＝tan ∠ABD ＝43<3，tan ∠BAH ＝tan ∠ADB ＝34＜3， ∴∠HAD ＜60°，∠BAH ＜60°.又∵∠EAF ＝60°，∴E 、F 两点分布在AH 异侧．∴△AEF 为锐角三角形．作其中任一锐角△AEF 的外接圆⊙O ，过O 作OG ⊥EF 于点G ，连接OA 、OF ，则EF ＝2GF ，∠GOF ＝∠EAF ＝60°.在Rt △OGF 中，OF ＝2OG ，GF ＝3OG ，∴EF ＝23OG ，又∵OA ＋OG ≥AH ，OA ＝OF ＝2OG ，∴2OG ＋OG ≥24，得OG ≥8.∴EF ＝23OG ≥16 3.∴当圆心O 在AH 上，即AE ＝AF 时，EF ＝16 3.∴EH ＝83＜18＝BH ，FH ＝83<32＝HD .∴当AE ＝AF 时，点E 、F 在BD 上．∴S 四边形AECF 的最小值为24×163＝384 3.∴3843×210＋(30×40－3843)×180＝216000＋115203≈235584(元)．∴按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元．6. 解：(1)如解图①，⊙O 即为所求；第6题解图①【作法提示】①分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交AB 两侧于E 、F 两点；②连接EF ，交AB 于点O ；③以点O 为圆心，OA 长为半径作圆，⊙O 即为所求．(2)存在．当△APB 是等边三角形时，矩形ABCD 的面积最小．如解图②，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，则PQ ＝4，∠P AQ ＝60°，∴AQ ＝PQ tan ∠P AQ ＝4tan60°＝433， 则AB ＝2AQ ＝833，即矩形ABCD 面积的最小值为4×833＝3233；第6题解图②(3)存在．∵AB ＝62＋12，BC ＝62＋6，△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝AD ＝BC ＝62＋6.∴EC ＝DC －DE ＝AB －DE ＝6.又∵CF BF ＝12， ∴CF ＝BC 2＋1＝6，BF ＝2BC 2＋1＝6 2. 如解图③，连接EF ，则EF ＝CE 2＋CF 2＝62＝BF ，即△ECF 是等腰直角三角形，绕点F 顺时针旋转△FEM ，使得EF 与BF 重合，得到△FBM ′，则∠NFM ′＝∠NFB ＋∠BFM ′＝∠NFB ＋∠EFM ＝180°－∠MFN －∠EFC ＝45°为定角，BF ＝62为定长，第6题解图③∴当NB ＝BM ′时，NM ′最小，则AM ＋AN 最大，即四边形AMFN 面积最大．作△FNM 的外接圆⊙Q ，连接NQ 、QM ′，则∠NQM ′＝2∠NFM ＝90°，由圆的对称性知，∠NQB ＝12∠NQM ′＝45°.由BM ′＋QM ′＝BM ′＋QF ＝BM ′＋2BM ′＝BF ＝62，可得BM ′＝12－62，即NM ′＝2BM ′＝24－122，则AM ＋AN ＝AB ＋AE －(NB ＋ME )＝AB ＋AE －(NB ＋BM ′)＝AB ＋AE － NM ′＝242，则S 四边形AMFN 最大＝12EF ·(AM ＋AN )＝12×62×242＝144.。
中考数学第25题专题复习训练(含答案)
第25题专题复习训练(含答案）1.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接DF、CF。
DE ,求CF；（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC中点，2（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕A点顺时针旋转45°时，线段DF、CF有何数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕A点顺时针旋转任意角度时，线段DF、CF又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；2. 如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．F为线段BD的中点．（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，EF=2，求AB的长.（2）如图2，当D、A、C在一条直线上时．线段EF与FC有何数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）如图③，连接EF、FC，线段EF与FC又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．3.如图1，△ACB 、△AED 都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D 在AB 上，连CE ，M 、N 分别为BD 、CE 的中点．（1）求证：MN ⊥CE ；（2）如图2将△AED 绕A 点逆时针旋转30°，CE 与MN 有何数量关系和位置关系？证明你的结论．4. 已知，如图1，等腰直角△ABC 中，E 为斜边AB 上一点，过E 点作E F ⊥AB 交BC 于点F ，连接AF ，G 为AF 的中点，连接EG ，CG 。
（1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EG ，CG 的长；（2）将图1中△BEF 绕点B 逆时针旋转45°，得如图2所示，取AF 的中点G ，连接EG ，CG 。
延长CG 至M ，使GM=GC ，连接EM=EC ，求证：△EMC 是等腰直角三角形；（3）将图1中△BEF 绕点B 旋转任意角度，得如图3所示，取AF 的中点G ，再连接EG ，CG ，问线段EG 和GC 有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。
重庆中考数学第25题(阅读理解)专题专训(学生版)
重庆中考数学第25题专题专训2501．材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m 任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14=15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．（1）填空：F（16，123）= ；（2）求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（3）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．2502．任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a ×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．2503．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F （s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．2504．有一个n位自然数能被x整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x 0+2整除，按此规律轮换后，能被x+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．2505．已知，我们把任意形如：的五位自然数（其中c=a+b，1≤a≤9，1≤b≤9）称之为喜马拉雅数，例如：在32523自然数中，3=2=5，所以32523就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数整除n的最大的喜马拉雅数记为F（n），能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为I（n）．（1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除；（2）求F（3）+I（8）的值．2506．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y ≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．2507．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．2507．当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k 为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729 中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435 ×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．请阅读以上材料，解决下列问题．（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；（2）一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．2509．根据阅读材料，解决问题．数n是一个三位数，各数位上的数字互不相同，且都不为零，从它各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个不同的两位数，我们把这六个不同的两位数叫做数n的“生成数”．数n的所有“生成数”之和与22的商记为G（n），例如n=123，它的六个“生成数”是12，13，21，23，31，32，这六个“生成数”的和12+13+21+23+31+32=132，132÷22=6，所以G（123）=6．（1）计算：G（125），G（746）；（2）数s，t是两个三位数，它们都有“生成数”，a，1，4分别是s的百位、十位、个位上的数字，x，y，6分别是t的百位、十位、个位上的数字，规定：k=，若G（s）•G（t）=84，求k的最小值．2510．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．（1）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．2511．对任意一个正整数m，如果m=n（n+1），其中n是正整数，则称m为“优数”，n为m的最优拆分点，例如：72=8×（8+1），则72是一个“优数”，8为72的最优拆分点．（1）请写出一个“优数”，它的最优拆分点是；（2）求证：若“优数”m是5的倍数，则m一定是10的倍数；（3）把“优数”p的2倍与“优数”q的3倍的差记为D（p，q），例如：20=4×5，6=2×3，则D（20，6）=2×20﹣3×6=22．若“优数”p的最优拆分点为t+4，“优数”q的最优拆分点为t，当D（p，q）=76时，求t的值并判断它是否为“优数”．2512．一个整数能表示成a 2+b 2（a 、b 是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．如2是“丰利数”，因为2=12+12，再如，M=x 2+2xy+2y 2=（x+y ）2+y 2 （x+y ，y 是正整数），所以M 也是“丰利数”．（1）请你写一个最小的三位“丰利数”是 ，并判断20 “丰数”．（填是或不是）；（2）已知S=x 2+y 2+2x ﹣6y+k （x 、y 是整数，k 是常数），要使S 为“丰利数”，试求出符合条件的一个k 值（10≤k ＜200），并说明理由．2513．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝 对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：()qpF n =，例如12 可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4 是12的最佳分解，所以F （12）=．（1）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F （m ）=1； （2）如果一个两位正整数t ，t=10x+y （1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得 的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F （t ）的最大值．2514．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．2515．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．（1）求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；（2）若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．2515．任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p ×q （p 、q 是正整数，且p≤q ），正整数的所有这种分解中，如果p 、q 两因数之差的绝对值最小， 我们就称p ×q 是正整数的最佳分解．并规定：()qpF n =．例如24可以 分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4， 所以4×6是24的最佳分解，所以F （24）=． （1）求F （18）的值；（2）如果一个两位正整数，t=10x+y （1≤x ≤y ≤9，x 、y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得 的差记为m ，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的 两位正整数所得的和记为n ，若mn 为4752，那么我们称这个数为“最 美数”，求所有“最美数”；（3）在（2）所得“最美数”中，求F （t ）的最大值．2517．阅读下列材料，解决问题材料一：如果一个正整数的个位数字等于除个位数字之外的其他各位数字之和，则称这个数为“刀塔数”，比如：因1+2=3，所以123是“刀塔数”，同理，55，1315也是“刀塔数”．材料二：形如的三位数叫“王者数”，其中x﹣2，x，x+2分别是这个数的百位数字，十位数字，个位数字．例如：135，468均为“王者数”问题：（1）已知a既是“刀塔数”又是“王者数”，若数b（b＞0）使10a+b 为一个“刀塔数”，求b的最小值；（2）已知一个五位“刀塔数”与一个“王者数”的和能被3整除，且c﹣a+d﹣b=4，证明．2518．一个形如的五位自然数，（其中a表示该数的万位上的数字，b表示该数的千位上的数字，c表示该数的百位上的数字，d表示该位数的十位上的数字，e表示该数的个位上的数字，且a≠0，b≠0），若有a=e，b=d 且c=a+b，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”，同时规定，若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差是693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”，如在对称数43734中432﹣342=693，则43734是一个“智慧对称数”．（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”．例如：12321与21312为一组“相关对称数”．求证：任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；（2）求出所有的“智慧对称数”中最大的“智慧对称数”．2519．我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2整除；一个整数的各位数字之和能被3整除，则它一定能被3整除．若一个整数既能被2 整除又能被3整除，那么这个整数一定能被6整除．数字6象征顺利、吉祥，我们规定，能被6整除的四位正整数（千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d）是“吉祥数”．请解答下面几个问题：（1）已知是“吉祥数”，则x= ．（2）若正整数是“吉祥数”，试说明：d+4（a+b+c）能被2整除．（3）小明完成第（2）问后认为：四位正整数是“吉祥数”，那么d+4（a+b+c）也能被6整除．你认为他说得对吗？请说明理由．2520．阅读理解：有一个n位自然数（n，n1，n2，n3，…nn是正整数，n≥2，1≤n1，n2，n3，…nn＜9），若交换不同数位上的数字得到一新数则叫这个n位自然数的一个“轮换数”，如：，均是的一个“轮换数”；36是63的一个“轮换数”，243是324的一个“轮换数”．（1）写出213的所有轮换数．（2）证明：任何一个3位自然数与它所有轮换数的和是111的倍数．（3）试求：4213与它所有轮换数的和．2521．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．（1）求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求的最大值．2522．人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系．若两个不同的自然数的所有真因数（即除了自身以外的正约数）之和相等，我们称这两个数为“亲和数”．例如：18的约数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和1+2+3+6+9=21；51的约数有1、3、17、51，它的真因数之和1+3+17=21，所以18和51为“亲和数”．数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头（首位与末位）都是1的数为“两头蛇数”．（1）6的“亲和数”为25 ；将一个四位的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数，求满足条件的“两头蛇数”．（2）已知两个“亲和数”的真因数之和都等于15，且这两个“亲和数”中较大的数能将一个正中间数位（百位）上的数为4的五位“两头蛇数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的“两头蛇数”．2523．一个形如的五位自然数（其中c表示该数万位和个位上的数字，b 表示千位和十位上的数字，a表示百位上的数字．且c≠0），若有a+c=b，则把该自然数叫做“M数”，例如在自然数25352中，3+2=5，则25352 是一个“M数”，同时规定：与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最大“M数”记为P＜＞，与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最小“M数”记为Q＜＞．（1）求证：若4c+3a能被9整除，则任意一个“M数”都能被9整数；（2）若“M数”与它各数位数字之和的差能被7整除，请求出P＜＞和Q＜＞．2524．阅读下列材料，解决后面两个问题：一个能被17整除的自然数我们称为“灵动数”．“灵动数”的特征是：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整倍数（包括0），则原数能被17整除．如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止．例如：判断1675282能不能被17整除． 167528﹣2×5=167518，16751﹣8 ×5=16711，1671﹣1×5=1666，166﹣6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…6×5=30，现在个位×5=30＞剩下的13，就用大数减去小数，30﹣13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除．（1）请用上述方法判断7242和2098754 是否是“灵动数”，并说明理由；（2）已知一个四位整数可表示为，其中个位上的数字为n，十位上的数字为m，0≤m≤9，0≤n≤9且m，n为整数．若这个数能被51整除，请求出这个数．2525.若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是谋略数，如22，797，12321都是谋略数．最小的谋略数是11，没有最大的谋略数，因为数位是无穷的．有一种产生谋略数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个谋略数．如：16的逆序数为61，16+61=77，77是一个谋略数；37的逆序数为73，37+73=110，110的逆序数为11，110+11=121，121是谋略数．（1）请你根据以上材料，直接写出57 产生的第一个谋略数；（2）若将任意一个四位谋略数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；（3）若将一个三位谋略数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位谋略数共有多少个？2526.如果一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”．例：16=52﹣32，16就是一个“智慧数”，小明和小王对自然数中的”智慧数”进行了如下探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2= （k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．所以，自然数中所有奇数都是“智慧数”．问题：（1）根据上述方法，自然数中第10个“智慧数”是；（2）他们发现0，4，8是“智慧数”，由此猜测4k（k为正整数）都是“智慧数”，请你参考小王的办法证明4k（k为正整数）都是“智慧数”．2527.一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．（1）请判断：2561 （填“是”或“不是”）“和平数”．（2）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14的倍数，求满足条件的所有“和平数”．2528.阅读下列材料，回答问题．正整数m（m≥2）可分解成两个正整数的和，即m=s+t（s、t是正整数，且s≤t），在m的所有这些加和中，若s、t 两加数之差的绝对值最小，称s+r为m的最美加和，并规定F（m）=7s﹣6t，如7=1+6=2+5=3+4，因为6﹣1＞5﹣2＞4﹣3，所以3+4为7的最美加和，所以F（7）=7×3﹣6×4=﹣3．（1）F（8）= ，F（9）= ：（2）对任意的正整数n（n≥2），用含n的代数式分别表示出n为奇数，偶数时的F（n）：（3）若一个三位正整数q是7的倍数，且满足各位数字之和为7，称这个数q为“潜力数“，求所有“潜力数”中F（q）的最大值．2529．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数，它（填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M，它的各位数字之和的3倍记为N，M﹣N的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？2530、一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数．所有这些两位数的和等于这个三位数本身．则称这样的三位数N为“友好数”．例如：132．选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31．选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21．选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“友好数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和．则称这样的三位数为“和平数“，（1）判断123是不是“友好数“？请说明理由．（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作，三位数可用多项式表示为100x+10y+z，比如三位数523可用多项式表示为：5×100+2×10+3．证明：当一个“和平数”是“友好数”时，则z=2x．2531．材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N ﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2 除余1，那么73为“明四礼”数．材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N 礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）（1）17 “明三礼”数（填“是”或“不是”）；721是“明礼”数；（2）求出最小的三位“明三礼”数；（3）一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32，求出这两个数．2532．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．2533．对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“中子数”，并记f（x）=K，例如，163→1+6+3=10→1+0=1，∴f（163）=1（1）计算：f（2018888）= ；（2）易知：任意两个自然数M和N，如果各个数位上的数字之和相等，则f（M）=f（N），此时我们称M、N是“特别有缘数”，例如163和28即为“特别有缘数”，若已知一个三位数和一个两位数是“特别有缘数”，请证明它们的差一定能被9整除；（3）有一个三位自然数L=，已知f（L）=6，而且x、y、z都是偶数，我们规定i=y2+xz，请求出i取最大值时的自然数L．2534．我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=x+y（x、y是正整数，且x≤y），在n的所有这种分解中，如果x、y两数的乘积最大，我们就称x+y是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）=xy．例如6可以分解成1+5，2+4或3+3，因为1×5＜2×4＜3×3，所以3+3是6的最佳分解，所以F（6）=3×3=9．（1）计算：F（8）．（2）设两位正整数t=l0a+b（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），数t′十位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之和，数t′个位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之差，若t′﹣t=9，且F（t）能被2整除，求两位正整数t．2535、定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．2535．在一个m （m ≥3，m 为整数）位的正整数中，若从左到右第n （n ≤m ，n为正整数）位上的数字与从右到左第n 位上的数字之和都等于同一个常数 k （k 为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186 中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正 整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”， 其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s （1≤s ≤9，s 为整数），百位上的数字 为t （0≤t ≤9，t 为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A ，数B ，数C 都是三位“对称等和数”．A=（1≤a ≤9，a 为整数），设数B 十位上的数字为x （0≤x ≤9，x 为整数），数C 十位上 的数字为y （0≤y ≤9，y 为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．2537．任意一个正整数m 都可以表示为：m=a 2×b(a 、b 均为正整数) ,在m 所有表示的结果中，当b a -最小时，规定Q(m)=ab 2，例如：108=12×108=22×27=32×12=62×3，因为1081-＞272-＞123-＞36-，所以Q(m)= 3=1.2538.一个正偶数去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数为“魅力数”，把这个商叫做的魅力系数，记这个商为．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记．（1）计算：；（2）若都是“魅力数”，其中,是整数，规定：．当时，求的值2539.一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同均不为0，那么称为“启航数”，将的两位数位上的数字对调得到一个新数′，把′放在后面组成第一个四位数，把放在′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如时，（1）计算若为“启航数”，是一个完全平方数，求的值；（2）为“启航数”，其中，且为整数.并规定：，若能被7整除，且，求的最大值.2540.对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到个不相同的新的“陌生数”，把这个“陌生数”，的和与111的商记为，例如，可以得到，，，，这个新三位数，这个三位数的和为123+132+213+231+312+321=1332，¸，所以（）.（1）计算：，；（2）若，都是“陌生数”，其中，（，，，都是正整数），规定：，当除以余时，求的最大值.。
中考专题_25题_一类与梅氏定理结合_D_1
中考专题-25题-一类与梅氏定理结合-D-11.（2017•浦东新区二模）如图所示，∠MON=45°，点P是∠MON内一点，过点P作PA⊥OM于点A、PB⊥ON于点B，且PB=2 ．取OP的中点C，联结AC并延长，交OB于点D．（1）求证：∠ADB=∠OPB；（B+）（2）设PA=x，OD=y，求y关于x的函数解析式；（D）（3）分别联结AB、BC，当△ABD与△CPB相似时，求PA的长．（C）2.（2016•嘉定区一模）已知：△ABC ，∠ABC=90°，tan ∠BAC= ，点D 点在AC 边的延长线上，且DB 2=DC•DA （如图）．（1）求 的值；（2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ．过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE=3BC 时，求的值；②如图3，当CE=BC 时，求的值；②如图3，当CE=BC 时，求AGGE 的值；3.如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设DC=x，AEBEy =．（1）当1x=时，求tan BCE∠的值；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当1x=时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N.当△MNF和△ABC相似时，请直接写出AG的长．4.（2018•青浦区二模）如图1，已知扇形MON的半径为 ，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y．（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值．5.（2010•上海）如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若tan∠BPD= ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．6.（2017•上海）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．（1）求证：△OAD∽△ABD；（B）（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；（C）（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．（D）7.（2014•成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C上异于A，C的一个作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是AC动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．（1）求证：△PAC∽△PDF；=BP ，求PD的长；（2）若AB=5，AP（3）在点P运动过程中，设AG BG=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）。
重庆中考抛物线25题最新训练试题(含详细答案解析)
.一．解答题（共7小题）1．（2013•抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．，，×）﹣×=的坐标为（，n=，）﹣，，，﹣=，秒或秒或秒时，以2．如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，且s△PAC：S△PAB=1：3？若存在，求P点的坐标；若不存在，请说明理由．，解得则有：解得得：，）或（3．（2011•沈阳）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．，PQ=，轴的距离是，，（，）=CG=．，﹣）x=1+﹣，﹣的纵坐标为：﹣，或1+，﹣），﹣﹣，﹣4．已知，如图1，抛物线y=ax2+bx过点A（6，3），且对称轴为直线．点B为直线OA下方的抛物线上一动点，点B的横坐标为m．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△OAB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）如图2，过点B作直线BC∥y轴，交线段OA于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD 是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．，且对称轴为直线解之，得∴该抛物线的解析式为：∴设点，∴；，，）有点B，即是：且（，解之：（舍去），时，1+，解之：（舍去）时，1+）或（﹣，5．已知抛物线y=ax2﹣2ax+n（a＞0）与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），交y轴的负半轴于点C，且x1＜x2，OC=OB，S△ABC=6（1）求此抛物线的解析式；（2）若D为抛物线的顶点，P为抛物线上的点，且在第二象限，S△PBD=15，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M，使△MBD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的M点坐标，若不存在，请说明理由．AB（﹣×3+×BC=3CD=BD=2x+h则有：﹣+h=0h=x+；，解得（﹣，，﹣）（﹣，），﹣）6．已知二次函数的图象如图所示，（1）求二次函数的解析式及顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作NQ⊥X轴于点Q，当点N在BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积没有空为S，求S与t之间的函数关系式及自变量的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．，，﹣）解得xt=x﹣=（﹣﹣t+3t，=，∴，（，，=，，（，﹣）（，，﹣）7．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y 轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．（4）在抛物线对称轴上是否存在点M，使点M到点A和B的距离之差最大？若存在，直接写出所有符合条件的点M坐标；不存在，请说明理由．，代入求出即可；﹣，x x+4BM=，（，﹣（（是线段y=，。
中考数学黄金知识点系列专题25三角形25--(附解析答案)
专题25 三角形聚焦考点☆温习理解一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
二、全等三角形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
中考数学复习重点知识专项训练25---三角形
中考数学复习重点知识专项训练25---三角形一、选择题7．（2020·绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4B．5C．6D．73．（2020·江苏徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）A.2cmB. 3cmC. 6cmD.9cm7．（2020·宿迁）在△ABC中，AB＝1，BC．下列选项中，可以作AC的长度的是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2020·陕西）∠A＝23°，则∠A的余角是（）A．57°B．67°C．77°D．157°8．(2020自贡)如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（）A．50°B．70°C．130°D．160°5．（2020·北京）正五边形的外角和为（）（A）180°（B）360°（C）540°（D）720°4. （2020·淮安）六边形的内角和是A.360°B.540°C.720°D.1080°（2020·济宁）4.一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（）A. 9B. 8C.7D.66．（2020·扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10来到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C.再向左转45°后沿直线前进10米到达点....照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A.100米B.80米C.60米D.40米（第6题图）（2020·德州）6.如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样趟下去，他第一次回到出发点A其走的路程为A. 80米B. 96米C. 64米D. 48米5．（2020·无锡）正十边形的每一个外角的度数为（ ）A ．36°B ．30°C ．144°D ．150° 3．（2020·乐山）如图，E 是直线CA 上一点，∠FEA ＝40°，射线EB 平分∠CEF ，GE ⊥EF ．则∠GEB ＝（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 12．（2020·泰安）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ） A ． 2 ＋1B ． 2 ＋12C ．2 2 ＋1D ．2 2 —124．（2020·怀化）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96. (2020·湘潭)如图，ACD ∠是△ABC 的外角，若110ACD ︒∠=，50B ︒∠=，则A ∠=（ ）（第9题）A . 40︒B . 50︒C . 55︒D . 60︒4．（2020·广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 6．（2020·广东）已知△ABC 的周长为16，点D ，E ，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的周长为（ ） A ．8B ．22 C ．16 D ．43．（2020·黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ） A ．7 B ．8 C ．98 D ．106．（2020·宜昌）能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）.A ．B ．C ．D ．9．（2020·宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）. A ．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B ．每段直路要短 C ．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D ．每段直路要长7．（2020·宜宾）如图，M 、N 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，若∠A ＝65°，∠ANM ＝45°，则∠B ＝（ ）A ．20°B ．45°C ．65°D ．70°11．（2020·恩施）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且1BE =，F 为对角线AC 上一动点，则BFE △周长的最小值为（ ）．（第9题）A. 5B. 6C. 7D. 87．（2020·娄底）（2020·娄底）正多边形的一个外角为60，则这个多边形的边数为（ ） A ． 5 B ．6 C ． 7 D ．85.（2020·吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为（ ）A. 85︒B. 75︒C. 65︒D. 60︒二、填空题 14．（2020•丽水）如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 °． 16．（2019·上海）如图，在正六边形ABCDEF 中，设=BA a ，=BC b ，那么向量=BF _______．14．（2020·重庆A 卷）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是__________．16．（2020·江苏徐州）如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若∠ADB =18°，则这个正多边形的边数为 .（第16题）DC BOA图图4A BCDEA BFEDC15．（2020·衡阳）已知一个n 边形的每一个外角都为30° ，则n 等于 .16．（2020·衡阳）一副三角板如图摆放，且AB //CD .则∠1的度数为 .(第 16题图) 12．（2020·陕西）如图，在正五边形ABCDE 中，DM 是边CD 的延长线，连接BD ，则∠BDM 的度数是________．（2020·四川甘孜州）23．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x 2－8x ＋12＝0的解，则这个三角形的周长是_________． （2020·济宁）12.已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是__________(写出一个即可)， 15．（2020·北京）如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格交点，则△ABC 的面积与△ABD 的面积的大小关系为：ABC S ∆ ABD S ∆（填“＞”，“＝”或“＜”）15．（2020·福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC 等于_______度.（2020·江西）11.如图，AC 平分DCB ∠，CB CD =，DA 的延长线交BC 于点E ，若49EAC ∠=，则BAE ∠的度数为 ．14．（2020·南京）如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF 中，点P 在BC 上，则△PEF 的面积为____cm 2.15．（2020·南京）如图，线段AB 、BC 的垂直平分线l 1、l 2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC ＝____°.15. (2020·连云港)如图，正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6。
中考数学解答重难专题专题三 第25题综合与实践
5. 请你在图①中过点P作一条直线平分平行四边形ABCD的面积；在图②中过点M
作一条直线平分矩形ABCD的面积；在图③中作出两条直线(要求其中一条直线必
须过点 N)四等分正方形ABCD的面积．
解：作图如解图①，直线PO为所要求作的直线；
第5题图
作图如解图②，直线MO为所要求作的直线；作
图如解图③，直线NO，QO为所要求作的直线．
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是
AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点， 则PM－PO的最大值为___2_13____．
(4)异侧线段差最大值问题
第4题图
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
解决思路：将异侧点转化为同侧即可解决．
，2∠DAB＝45°，则△OEF
(2)利用垂线段最短及轴对称性质
问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得 PMN转化在同一条直线上，想到作点P 关于OB的对称点P′，即求P′N＋MN的最小值，因此只要P′M⊥OA.利用垂线段最 短求解．
12. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝4，以BC为边在BC的下方作 等边△PBC，则AP的值为___6_____．
第12题图
第13题图
13. 如图，在△ABE中，BE＝，AE＝2，以AB为边向三角形外作正方形ABCD， 连接DE.则DE的最大值为___3___2__．
(2)费马点问题
2．求线段AP的最大值问题
当上图中AP取最大值时，利用旋转可得AP＝A′P，AB＝A′C＝a，且AC＝b，因 为等腰△APA′中，∠APA′＝α为定值，所以AA′取最大值时，AP也取得最大值， 而AA′≤AC＋A′C＝AB＋AC＝a＋b，所以A、C、A′三点共线时，AA′取得最大 值为a＋b，再在等腰△APA′中计算AP最大值即可．
中考物理-专题25 机械功和功率综合计算类问题训练(共24道题)
2022年中考物理三轮复习冷热门与必考点专题练 (全国通用)专题25 机械功和功率综合计算类问题训练(共24道题)一、选择题1.妈妈与小明进行爬山比赛，他们选择的起点、路径和终点都相同，全程设为匀速运动，妈妈的体重是小明的2倍，妈妈所用的时间是小明的3倍，若妈妈克服自身重力做功为W1、功率为P1，小明克服自身重力做功为W2、功率为P2，则下列关系正确的是（）A．W1：W2=2：1 P1：P2=6：1 B．W1：W2=2：3 P1：P2=2：1C．W1：W2=2：1 P1：P2=3：2 D．W1：W2=2：1 P1：P2=2：32.如图所示，竖直固定的测力计下端挂一个滑轮组，已知每个滑轮重均为50N，滑轮组下端挂有物体B，滑轮组绳的末端通过定滑轮沿水平方向与物体A相连，物体A在绳的水平拉力作用下向右做匀速直线运动，此时测力计的示数为550N；在物体B下加挂重为90N的物体C 后，用水平向左的力F拉动物体A可使其沿水平桌面向左做匀速直线运动，此时物体B上升的速度大小为5cm/s. 若不计绳重及滑轮的摩擦，g取10N/kg，则下列说法中正确的是（）A．物体A所受滑动摩擦力大小为275NB. F的大小为530NC. F做功的功率为42wD．B的重力为500N3.如图所示，用不变的拉力 F 匀速拉动重为 G 的物体A，使物体 A 沿水平方向移动了一段距离s，在此过程中拉力F 做的功为（）A. FsB. GsC. 2FsD. (G+F)s二、填空题1．（2021大庆）小明同学设计了如图甲所示的滑轮组装置，当施加图乙所示随时间变化的水平拉力F 时，重物的速度v 随时间t 变化的关系如图丙所示。
不计绳与滑轮的重量及滑轮转动时的摩擦，绳对滑轮的拉力方向近似看成水平方向。
在0﹣1s 内，重物受到地面的摩擦力为 N ，在2s ﹣3s 内，拉力F 做功的功率为 W 。
2. （2021江苏连云港）小明用20N 的水平推力，将重为150N 的购物车沿水平地面向前推动了10m ，在此过程中，推力对购物车做功__________J ，支持力对购物车做功__________J 。
专题25 二次函数与全等三角形存在问题-2022中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版
专题25 二次函数与全等三角形存在问题1．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，将抛物线C1向上平移1个单位得到抛物线C2，点Q（m，n）在抛物线C2上，其中m＞0且n＜0，过点P作PQ∥y轴交抛物线C1于点P，点M是x轴上一点，当以点P、Q、M为顶点的三角形与△AOQ全等时，点M的横坐标为_____．【答案】4【分析】此题首先需要确定全等的对应关系，函数图象向上平移后，两个函数上下间距为1，OA＝1，所以AO与PQ对应，∠AOQ＝∠PQM，可确定OQ＝QM，AQ＝PB，得到两组线段相等后，设点M坐标，以两组线段相等为等量建立方程即可解决问题．【详解】解：∵△AOQ≌△PQM，AO＝PQ∴∠AOQ＝∠PQM，AQ＝PB，OQ＝QM∴AQ2＝PB2，OQ2＝QM2设Q（m，m2﹣2m﹣2），P（m，m2﹣2m﹣3），M（a，0）如图，过点Q作QH⊥AB，垂足为H，则在Rt△OHQ中，OQ2＝（m）2+（m2﹣2m﹣2）2；在Rt△MHQ中，QM2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣2）2；在Rt△AHQ中，AQ2＝（m+1）2+（m2﹣2m﹣2）2；在Rt△PHB中，PB2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣3）2a由（m）2+（m2﹣2m﹣2）2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣2）2，解得m＝2由（m+1）2+（m2﹣2m﹣2）2＝（a﹣m）2+（m2﹣2m﹣3）2，解得a＝﹣2（舍）或a＝4∴点M的横坐标为4．【点睛】此题是代几综合问题，考查了全等关系在二次函数中的应用和二次函数中点坐标与线段长的转换，首先要确定边角的对应关系，发现线段相等后，利用等量建立方程，只要确定了对应关系，此题就好解决了．2．如图，在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为30°，在射线OC 上取点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ．在抛物线y =x 2(x >0)上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P 、O 、Q 为顶点，且以点Q 为直角顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是__________．【答案】)12233或（）或（ 【分析】此题应分四种情况考虑：①∠POQ =∠OAH =60°，此时A 、P 重合，可联立直线OA 和抛物线的解析式，即可得A 点坐标；②∠POQ =∠AOH =30°，此时∠POH =60°，即直线OP ：y，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ 、PQ 的长，由于△POQ ≌△AOH ，那么OH =OQ 、AH =PQ ，由此得到点A 的坐标．③当∠OPQ =90°，∠POQ =∠AOH =30°时，此时△QOP ≌△AOH ，由此求得点A 的坐标； ④当∠OPQ =90°，∠POQ =∠OAH =60°，此时△OQP ≌△AOH ，由此求得点A 的坐标；【详解】①当∠POQ =∠OAH =60°，若以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，那么A 、P 重合； 由于∠AOH =30°，设A 坐标为（a ，b ）， 在直角三角形OAH 中，tan ∠AOH =tanba， 设直线OA 的方程为y =kx ，把A 的坐标代入得k =b a∴直线OA 的解析式： y，联立抛物线的解析式，得：2y y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得 00x y =⎧⎨=⎩，13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ；∴A13）； ②当∠POQ =∠AOH =30°，此时△POQ ≌△AOH ；易知∠POH =60°，则直线OP ：yx，联立抛物线的解析式，得：2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 解得00x y =⎧⎨=⎩，3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴P3），即可得A （3；③当∠OPQ =90°，∠POQ =∠AOH =30°时，此时△QOP ≌△AOH ；易知∠POH =60°，则直线OP ：y，联立抛物线的解析式，得：2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 解得 00x y =⎧⎨=⎩，3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴P3）， ∴OPQP =2， ∴OH =OPAH =QP =2， ∴A （2）；④当∠OPQ =90°，∠POQ =∠OAH =60°，此时△OQP ≌△AOH ；此时直线OP：y，联立抛物线的解析式，得：2y xy x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得xy=⎧⎨=⎩，13xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；∴P13），∴QPOP=23，∴OH=QPAH=OP=23，∴A23）．综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：，13），（3，（2），23）．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法；由于全等三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用．3．（2021·陕西·西安市中考三模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(0)，B0)，C(0，3)三点，线段BC与抛物线的对称轴l交于点D，该抛物线的顶点为P，连接P A，AD，线段AD与y轴相交于点E．（1）求该抛物线的表达式和点P的坐标；（2）在y轴上是否存在一点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝−13x2＋3，P4）；（2）存在，点Q的坐标为（0，7）．【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可．（2）先求出直线BC 的解析式，从而得点D 的坐标为D2）．可求出AD 并证明CD＝DP ，利用三角函数及等腰三角形性质求出∠ADP ＝120°，则可根据点Q 的位置在y 轴上，分别从两种情况利用SAS 判定两三角形全等的方法来求解． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y ＝a （x（x，将C （0，3）代入得： a （0（3， 解得 a ＝−13．∴抛物线的解析式：y ＝−13（x（x−13x 2＋3． ∵y ＝−13x 2x ＋3＝−13（x2＋4， ∴P4）． （2）存在，设直线BC 的解析式：y ＝kx ＋b ，依题意得：3b b +==⎪⎩， 解得3k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的解析式为：y ＝＋3． 当xy ＝2， ∴D2）． ∴AD＝4，CD2＝PD ．∵tan ∠ABD ＝DF BF， ∴∠ABD ＝30°．∵l 是抛物线的对称轴，点D 在l 上， ∴AD ＝BD ．∴∠ABD ＝∠BAD ＝30°． ∴∠ADB ＝120°． ∴∠ADF ＝∠BDF ＝60°． ∴∠ADP ＝120°，△QCD 和△APD 中，CD ＝PD ，且点Q 在y 轴上，当点Q 在CD 上方，∠DCQ ＝∠ADP ＝120°，CQ ＝AD 时，△QCD ≌△APD ， 设点Q （0，y ），则CQ ＝y －3， 即y －3＝4， 解得y ＝7， ∴Q （0，7），当点Q 在CD 下方时，∠CDQ ＝120°，此时点Q 在抛物线的对称轴上． 综上，当△QCD ≌△APD 时，点Q 的坐标为（0，7）． 【点睛】此题属于二次函数综合题，难度较大，涉及到：函数解析式的确定以及全等三角形的应用等重点知识．在解题时，一定要注意从图中找出合适的解题思路，能否将琐碎的知识运用到同一题目中进行解答，也是对基础知识掌握情况的重点考查．4．（2021·北京市九年级月考）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－0)，B (0)，C (0，－3)．（1）求抛物线顶点P 的坐标；（2）连接BC 与抛物线对称轴交于点D ，连接PC ． ①求证：PCD 是等边三角形．②连接AD ，与y 轴交于点E ，连接AP ，在平面直角坐标系中是否存在一点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与ADP 全等．若存在，直接写出点Q 坐标，若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，点M 是直线BC 上任意一点，连接ME ，以点E 为中心，将线段ME 逆时针旋转60°，得到线段NE ，点N 的横坐标是否发生改变，若不改变，直接写出点N 的横坐标；若改变，请说明理由．【答案】（1）4)P -；（2）①见解析；②存在，2)或(2)--；（3）不改变，N 的理由见解析．【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再用配方法解题；（2）①利用勾股定理求出PC ,PD ,CD 的值，即可求解；②存在，在对称轴上取一点Q ，使得DQ =AD ，连接AQ ,证明()ADP QDC SAS ≅，可解得2)Q ，再根据对称性得到，当点Q '与Q 关于A 对称时，Q CD ADP '≅，解得(2)Q '--； （3）设EN 交DM 于J ，利用全等三角形的性质，证明点N 在对称轴上即可． 【详解】解：（1）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (0)，B(0)，C (0，－3)330270c a c a c =-⎧⎪∴+=⎨⎪+=⎩133a b c ⎧=⎪⎪⎪∴=⎨⎪=-⎪⎪⎩2221113()3(4333y x x x ∴=-=--=-4)P ∴-；（2）①设直线BC 的解析式为y kx b =+，代入 B(0)，C (0，－3)，得3b b ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩3k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩直线BC的解析式为3y x =-当x =2y =-，2)D ∴-2,2,2PD CD PC ∴===CD PC PD ∴==∴PCD 是等边三角形；②存在，理由如下，在对称轴上取一点Q ，使得DQ =AD ，连接AQ ,tan OC ABC OB ∠==30ABC ∴∠=︒ ,DA DB DQ AB =⊥ 30,120DAB ADB ∴∠=︒∠=︒ 60ADQ BDQ ∴∠=∠=︒ 60ADQ CDP ∠=∠=︒ADP CDQ ∴∠=∠,DA DQ DP DC == ()ADP QDC SAS ∴≅ 4AD DQ ∴==2)Q ∴根据对称性可知，当点Q '与Q 关于A 对称时，Q CD ADP '≅，(2)Q '∴--，综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：2)或(2)--； （3）不改变，理由如下， 设EN 交DM 于J ， 60MEN CED ∠=∠=︒ MEC NED ∴∠=∠,ME NE EC ED == ()MEC NED SAS ∴≅EMC END ∴∠=∠ EJM DJN ∠=∠ 60MEJ JDN ∴∠=∠=︒ 60CDP CDN ∴∠=∠=︒ N ∴在对称轴上， N ∴【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、配方法求顶点坐标、全等三角形的判定与性质、正切、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．5．如图所示，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过()A，()B ，()0,3C 三点，线段BC 与抛物线的对称轴l 相交于点D ．设抛物线的顶点为P ，连接P A ，AD ，DP ，线段AD 与y 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的表达式．（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ADP 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）将CED ∠绕点E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点M ，边ED 旋转后与对称轴l 相交于点N ，连接PM ，DN ，若2PM DN =，求点N 的坐标（直接写出结果）．【答案】（1）2133y x =-+；（2）存在，点Q的坐标为())2-，()0,7或()-；（3）点N的坐标为⎭【分析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线BC 的解析式，求出点D 的坐标；方法1，设点Q 的坐标为(),x y ，利用两点间距离公式AB =22226704210x y y x y y ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q 的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题；注意分类讨论；（3）先证明CEM DEN ≌，设点M 的坐标为,3x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得22443PM x =+，22221433CM x x x =+=，根据224PM CM =求出x的值，然后根据2FN DF DN =-==【详解】解：（1）设抛物线的表达式为(y a x x =-，将点()0,3C 代入后，得(003a -=，解得13a =-．∴抛物线的表达式为(211333y x x x =--=-+． （2）设直线BC 的解析式为y kx b=+，由题意， 得03b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线BC 的解析式为3y x =+．由抛物线的表达式2133y x =-+，得顶点P 的坐标为)4．当x =32y =+=， ∴点D 的坐标为)2．方法1：设点Q 的坐标为(),x y ．∴()()222220369QC x y x y y =-+-=+-+，(()22222247QD x y x y y =+-=+--+，(()2220428AP =+-=，(()2220216AD =+-=，2CD DP ==．∵在QCD 和APD △中，CD PD =，若两个三角形全等，则有以下两种情况． ①当QC AP =，QD AD =时，22QC AP =，22QD AD =，则222269284716x y y x y y ⎧+-+=⎪⎨+--+=⎪⎩，解得114x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴点Q的坐标为()，)2-．②当QC AD =，QD AP =时，22QC AD =，22QD AP =，则222269164728x y y x y y ⎧+-+=⎪⎨+--+=⎪⎩， 解得3307x y =⎧⎨=⎩，441x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴点Q 的坐标为()0,7，()-． 综上所述，点Q的坐标为()，)2-，()0,7或()-．方法2：∵点A的坐标为()，点B的坐标为()，点C 的坐标为()0,3，点F的坐标为)，∴AF =4=AD，OB =3OC =，6BC =，2PD DF CD ===． ∴60BDF ADF ADC PDC ∠=∠=∠=∠=︒，120ADP CDF ∠=∠=︒． 如图所示，分以下四种情况．①当1Q 在y 轴上，且1Q C AD =时，()1SAS ADP QCD ≅． 此时1Q 的坐标为()0,7．②当2Q 在 PD 延长线上，且2Q D AD =时，()2SAS ADP Q DC ≅． ∴此时2Q的坐标为)2-．③当3Q 在AD 延长线上，且3Q D AD =时，()3SAS ADP Q DC ≅． 连接3Q P ，∵3ADF Q DP ∠=∠，∴()3SAS ADF Q DP ≅． ∴3Q P AF =．此时3Q的坐标为()．④当4120Q CD ADP ∠=∠=︒且4Q C AD =时，()4SAS ADP Q CD ≅，同理可得，()4SAS ADP Q CE ≅，∴4Q的坐标为()-．综上所述，点Q 的坐标为()0,7，)2-，()或()-． （3）如图所示，∵点D的坐标为)2，点B的坐标为()，∴2DF =，BF =．∴60BDF ADF CDE DCE ∠=∠=∠=∠=︒． ∴CEO 为等边三角形．在CEM 和DEN 中，60CEM DEN ECM EDN CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CEM DEN ≌．∴CM DN =，22PM CM DN ==，设点M的坐标为,3x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴)222244343PM x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭． 又∵22221433CM x x x =+=，∴224PM CM =，即22444433x x +=⨯，解得)16x =（负值舍去）．∴)16CM DN x ==，∴2FN DF DN =-==∴点N 的坐标为⎭解后反思本题第（2）问考查“在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与ADP △全等”，这里要注意由于对应点的不同，需要有分类讨论的意识．方法1，设点Q 的坐标为(),x y ，利用两点间距离公式AB =化为方程组22226704210x y y x y y ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，从而求解；方法2，利用全等条件先确定点Q 的几何位置，从而利用全等的条件得到对应线段的长来解决问题．相对于以上两种解法，因为方法1需要解复杂的二元二次方程组，所以方法2的几何方法更为简捷． 6．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点N 是y 轴负半轴上的一点，且ON =Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO ，QO 与抛物线的对称轴交于点M ，连接MN ，当MN 平分OMD ∠时，求点Q 的坐标．（3）直线BC 交对称轴于点E ，P 是坐标平面内一点，请直接写出PCE ∆与ACD ∆全等时点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）点Q 的坐标为：1Q ，2Q ；（3）若PCE ∆与ACD ∆全等，P 点有四个，坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --，3(2,1)P ，4(4,1)P -． 【分析】（1）用待定系数法，直接将,A B 代入解析式即可求解．（2）由MN 平分OMD ∠，MD 平行ON 即可求出OM ON =M 点坐标，由直线OM 解析式即可求出与抛物线交点坐标Q 即可．（3）由,,A C D 三点的坐标可得ACD ∆三边长，由CE 坐标可得PCE ∆和ACD ∆中CD CE =，则另两组边对应相等即可，设P 点坐标为(,)x y ；利用两点间距离公式即列方程求解． 【详解】（1）抛物线23y ax bx =+-经过(1,0)A -，(3,0)B 两点，∴309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =--．（2）如图1，设对称轴与x 轴交于点H ，MN 平分OMD ∠，OMN DMN ∴∠=∠，又//DM ON ，DMN MNO ∴∠=∠， MNO OMN ∴∠=∠，OM ON ∴==．在Rt OHM ∆中，90OHM ∠=︒，1OH =．∴1HM ，1(1,1)M ∴；2(1,1)M -．①当1(1,1)M 时，直线OM 解析式为：y x =， 依题意得：223x x x =--．解得：1x 2x点Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，Q ∴点纵坐标1y x =．∴1Q ，②当2(1,1)M -时，直线OM 解析式为：y x =-，同理可求：2Q ， 综上所述：点Q的坐标为：1Q，2Q ， （3）由题意可知：(1,0)A -，(0,3)C -，D (1,4)-，AC ∴，AD ，CD ，直线BC 经过(3,0)B ，(0,3)C -，∴直线BC 解析式为3y x =-，抛物线对称轴为1x =，而直线BC 交对称轴于点E ，E ∴坐标为(1,2)-；CE ∴，设P 点坐标为(,)x y ， 则222(0)(3)CP x y =-++， 则222(1)(2)EP x y =-++，CE CD =，若PCE ∆与ACD ∆全等，有两种情况，Ⅰ．PC AC =，PE AD =，即PCE ACD ∆≅∆．∴2222(0)(3)10(1)(2)20x y x y ⎧-++=⎨-++=⎩， 解得：1134x y =-⎧⎨=-⎩，2216x y =-⎧⎨=-⎩，即P 点坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --． Ⅰ．PC AD =，PE AC =，即PCE ACD ∆≅∆．∴2222(0)(3)20(1)(2)10x y x y ⎧-++=⎨-++=⎩， 解得：3321x y =⎧⎨=⎩，4441x y =⎧⎨=-⎩，即P 点坐标为3(2,1)P ，4(4,1)P -．故若PCE ∆与ACD ∆全等，P 点有四个，坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --，3(2,1)P ，4(4,1)P -． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 7．如图，抛物线y 1＝ax 2+bx +34与x 轴交于点A （﹣3，0），点B ，点D 是抛物线y 1的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点C （﹣1，0）．（1）求抛物线y 1所对应的函数解析式；（2）如图1，点M 在抛物线y 1上，横坐标为m ，连接MC ，若∠MCB ＝∠DAC ，求m 的值； （3）如图2，将抛物线y 1平移后得到顶点为B 的抛物线y 2．点P 为抛物线y 1上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线y 2于点Q ，过点Q 作x 轴的平行线，交抛物线y 2于点R ．当以点P ，Q ，R 为顶点的三角形与△ACD 全等时，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）2113424y x x =--+ ；（2）m （3）P 点坐标为（0，34）或P （2，﹣54）． 【分析】(1)根据A 、C 两点的坐标用待定系数法求出解析式；(2)如图，当M 点在x 轴上方时，若∠M 1CB ＝∠DAC ，则DA ∥CM 1，先求直线AD 的解析式，由点C 的坐标可求出直线CM 1的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点M 1的坐标，当点M 在x 轴下方时，由轴对称的性质可求出直线CM 2的解析式，同理联立直线和抛物线方程则求出点M 的坐标；(3)先求出y 2的解析式，可设出点P 坐标，表示Q 、R 坐标及PQ 、QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△ACD 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求P 点坐标． 【详解】(1)由题意得：3930412a b b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得1412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，抛物线y 1所对应的函数解析式为2113424y x x =--+；(2)当x ＝﹣1时，y ＝113424-++=1，∴D (﹣1，1)，设直线AD 的解析式为y ＝kx +n ， ∴301k n k n -+=⎧⎨-+=⎩，解得：1232k n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为y ＝12x +32， 如图，①当M 点在x 轴上方时， ∵∠M 1CB ＝∠DAC ， ∴DA ∥CM 1，设直线CM 1的解析式为y ＝12x +b 1， ∵直线经过点C ，∴-12+b 1=0，解得：b 1=12， ∴直线CM 1的解析式为y ＝12x +12， ∴21122113424y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩， 解得：x =-x =-2舍去)，∴m ＝﹣②当点M 在x 轴下方时，直线CM 2与直线CM 1关于x 轴对称， 由轴对称的性质可得直线CM 2的解析式为y ＝-12x -12， ∴21122113424y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩，解得：xx舍去)，∴m综合以上可得m(3)∵抛物线y 1平移后得到y 2，且顶点为B (1，0)， ∴()22114y x =--， 即y 2=2111424x x -+-，设P (m ，2113424m m --+)，则Q (m ，2111424m m -+-)，∴R (2﹣m ，2111424m m -+-)，①当P 在Q 点上方时，PQ ＝1﹣m ，QR ＝2﹣2m ， ∵△PQR 与△ACD 全等，∴当PQ ＝DC 且QR ＝AC 时，m ＝0， ∴P (0，34)，R (2，﹣14)，当PQ ＝AC 且QR ＝DC 时，无解； ②当点P 在Q 点下方时，同理：PQ ＝m ﹣1，QR ＝2m ﹣2，可得P (2，54-)，R (0，﹣14)，综合可得P 点坐标为(0，34)或P (2，54-)．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点分别为()6,0A -和点()4,0B ，与y 轴的交点为()0,3C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．①是否同时存在点D 和点P ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由；②若DCB CDB ∠=∠，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．【答案】（1）211384y x x =--+；（2）①存在点D ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，理由见解析；②点3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法，把A 、C 、G 三点坐标代入一般式，解方程组可求得抛物线解析式； （2）①分D 在线段AO 上和在线段OB 上两种情况讨论；②由已知点求出D 点坐标，连接DN ,证明DN //BC ，则可证DN 为△ABC 的中位线，根据题意可证DM =DN ，即可求出M 坐标. 【详解】（1）将点A ()6,0-，()0,3C ，()4,0B 代入2y ax bx c =++，得366016400a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得18143a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线解析式为：211384y x x =--+（2）①存在点D ，使得APQ ∆和CDO ∆全等当D 在线段OA 上，QAP DCO ∠=∠，3AP OC ==时，APQ ∆和CDO ∆全等 tan tan QAP DCO ∴∠=∠OC ODOA OC = 363OD ∴= 32OD ∴=∴点D 坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭由对称性，当点D 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭时，由点B 坐标为()4,0此时点3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭在线段OB 上满足条件．②3OC =，4OB =5BC ∴=DCB CDB ∠=∠5BD BC ∴==1OD BD OB ∴=-=则点D 坐标为()1,0-且5AD BD ==连DN ，CM则DN DM =，NDC MDC ∠=∠NDC DCB ∴∠=∠DN BC ∴∥1AN AD NC DB∴== 则点N 为AC 中点．DN ∴是ABC ∆的中位线1522DN DM BC === 32OM DM OD ∴=-= ∴点3,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定定理，锐角三角函数解三角形.能在坐标轴中找准点的坐标与线段之间的关系是解决此题的关键. 9．（2020·四川都江堰·中考二模）如图，抛物线y ＝ax 2+c （a ≠0）与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点（点C 在x 轴正半轴上），△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4．现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线经过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H ．（1）求a 、c 的值；（2）连接OF ，求△OEF 的周长；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使得以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）122ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩；（2）（3）存在，点Q（6，Q（6，3）．【分析】（1）根据直角三角形的性质，可得B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0），将点代入解析式即可求a，c的值；（2）求出AB的直线解析为y＝x+2，设F（m，m+2），平移后抛物线解析式y＝﹣12（x﹣m）2+m+2，将点C（2，0）代入，得平移后抛物线解析式为y＝﹣12x2+6x﹣10，进而求出点E的坐标，即可得出结论；（3）当P在x轴上方时，由△PQE≌△POE，可得QE＝OE＝10，在Rt△QHE中，OH＝Q（6，；当P在x轴下方时，PQ＝OE＝10，过点P作PK⊥HF与点K，可证明△PKQ∽△QHE，则PK QKQH HE=，则Q（6，3），即可得出结论.【详解】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴AO＝12BC，∵△ABC面积为4，∴12BC•OA＝4，∴OA＝2，BO＝4，∴B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0），∵点A，B在抛物线y＝ax2+c上，∴240ca c=⎧⎨+=⎩，∴122ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即a、c的值分别为﹣12和2；（2）如图1，连接OF，由（1）可知：y＝﹣12x2+2，∵B（﹣2，0），A（0，2），∴AB的直线解析为y＝x+2，∵平移后抛物线顶点F在射线BA上，设F（m，m+2），∴平移后抛物线解析式y＝﹣12（x﹣m）2+m+2，将点C（2，0）代入y＝﹣12（x﹣m）2+m+2，得﹣12（2﹣m）2+m+2＝0，∴m＝6或m＝0（舍），∴F（6，8），∴平移后抛物线解析式为y＝﹣12x2+6x﹣10，当y＝0时，﹣12x2+6x﹣10＝0，∴x＝2或x＝10，∴E（10，0），∴OE＝10，∵F（6，8），∴OF10，EF∴△OEF的周长为OE+OF+EF＝（3）当P在x轴上方时，如图2，∵△PQE≌△POE，∴QE＝OE＝10，在Rt△QHE中，HQ∴Q（6，，当P在x轴下方时，如图3，∵△PQE≌△EOP，∴PQ＝OE＝10，过点P作PK⊥HF与点K，∴PK＝6，在Rt△PQK中，QK8，∵∠PQE＝90°，∴∠PQK+∠HQE＝90°，∵∠HQE+∠HEQ＝90°，∴∠PQK＝∠HEQ，∵∠PKQ＝∠QHE＝90°，∴△PKQ∽△QHE，∴PK QK QH HE=,∴684 QH=，∴QH＝3，∴Q（6，3），综上所述：满足条件的点Q（6，Q（6，3）.【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，抛物线平移的特点，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解题中注意分类讨论的思想.10．已知抛物线y=x2+bx+c过点（-6,-2），与y轴交于点C，且对称轴与x轴交于点B （-2,0），顶点为A．（1）求该抛物线的解析式和A点坐标；（2）若点D是该抛物线上的一个动点，且使△DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角形，求点D坐标；（3）若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点，经过点M的直线MN与y轴交于点N，是否存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等？若存在，请求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A点的坐标为（﹣2，6）；（2）D点的坐标为：（2，﹣2）；x+2．（3）存在．直线MN的解析式为y=6或y=﹣12【分析】（1）首先依据顶点坐标先求出b 的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）过B 点作CB 的垂线交抛物线与D ，然后过D 点作x 轴的垂线，垂足为E ，通过三角形全等即可求得点D 的坐标．（3）由于三角形的各边，只有OB =2是确定长度的，因此可以以OB 为基准进行分类讨论： ①OB =OM ．因为第二象限内点P 到原点的距离均大于4，因此OB ≠OM ，此种情形排除； ②OB =ON ．分析可知，只有如答图2所示的情形成立；③OB =MN ．分析可知，只有如答图3所示的情形成立．【详解】（1）∵对称轴与x 轴交于点B （﹣2，0），∴A 的横坐标为：x =﹣2， ∴﹣2b a=﹣2， 解得；b =﹣2，∴抛物线为y =﹣12x 2﹣2x +c ， ∵抛物线y =﹣12x 2+bx +c 过点（﹣6，﹣2）， ∴代入得﹣2=﹣12×（﹣6）2﹣2×（﹣6）+c ，解得c =4， ∴该抛物线的解析式为：y =﹣12x 2﹣2x +4， ∴y =﹣12x 2﹣2x +4=﹣12（x 2+4x +4）+6）=﹣12（x +2）2+6 ∴A 点的坐标为（﹣2，6）；（2）过B 点作CB 的垂线交抛物线与D ，然后过D 点作x 轴的垂线，垂足为E ， ∵∠CBD =90°，∴∠CBO +∠EBD =90°，∵∠BCO +∠CBO =90°，∴∠EBD =∠BCO ，∠CBO =∠BDE ，∴在△CBO 与△BDE 中EBD BCO BC BDCBO BDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△CBO ≌△BDE （ASA ）∴DE =OB =2，BE =OC =4∴D点的坐标为（2，﹣2）或（﹣6.2），把（2，﹣2）或（﹣6.2）分别代入y=﹣12x2﹣2x+4，（﹣2，2）合适，（﹣6，2）不合适，∴D点的坐标为：（2，﹣2）图1（3）存在．若以O、M、N为顶点的三角形与△OBM全等，可能有以下情形：（I）OB=OM．由图象可知，OM最小值为4，即OM≠OB，故此种情形不存在．（II）OB=ON．若点M在y轴正半轴上，如答图2所示：图2此时△OBM≌△OMN，∴∠OMB=∠OMN，即点P在第二象限的角平分线上，ON=OB=2，M点坐标为：（4，-4），∴直线PE的解析式为：y=﹣12x+2；若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在．（III）OB=MN．∵OB=2，∴第二象限内对称轴左侧的点到y轴的距离均大于2，则点M只能位于对称轴右侧或与顶点A重合．若点M位于第二象限内抛物线对称轴的右侧，易知△OMN为钝角三角形，而△OMB为锐角三角形，则不可能全等；若点M与点A重合，如答图3所示，此时△OBM≌△OMN，四边形MNOB为矩形，图3∴直线MN的解析式为：y=6．综上所述，存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等，直线MN的解析式为y=6，y=﹣12x+2．考点：二次函数综合题．11．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝2x2﹣2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将黄金抛物线y＝2x2﹣2x+2沿对称轴向下平移3个单位．①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明．【答案】（1）如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）①y＝2x2﹣2x﹣1；②符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【分析】（1）按照黄金抛物线的定义给a、b、c赋值即可；（2）将ac＝b2代入判别式当中，消去ac，然后对b分等于0和不等于0两种情讨论即可；（3）①根据“上加下减”写出平移后的抛物线解析式即可；②根据所给的限制条件，只能画出四种图形，分别写出相应的P点坐标即可；【详解】（1）答：如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等；（2）依题意得b2＝ac，∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4b2＝﹣3b2，∴当b＝0时，△＝0，此时抛物线与x轴有一个公共点，当b≠0时，△＜0，此时抛物线与x轴没有公共点；（3）①抛物线y＝2x2﹣2x+2向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为y＝2x2﹣2x﹣1，②存在．如图：若BQ＝AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，P点的坐标为：（0，﹣1），（1，﹣1），此时，△AOB≌△BQP；若BQ＝BO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，令2x2﹣2x﹣1＝12，解得：x＝﹣12或x＝32，∴P点的坐标为：（﹣12，12），（32，12）．此时，△AOB≌△PQB；综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣12，12），（32，12）．【点睛】此题主要考查新定义下抛物线的性质，熟练掌握，即可解题.。
最新2021重庆中考数学第25题几何专题训练2
GF EDCBA M 证明题1.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ．在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC ． 〔1〕求证：BE=CF ；〔2〕在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN ．2.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ，CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG 。
求证：〔1〕AF ＝CG ；〔2〕CF ＝2DE3.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于O 点，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC 。
〔1〕求证：OE=OF ；〔2〕假设BC=23，求AB 的长。
4.，如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2．〔1〕假设CF=2，AE=3，求BE 的长； 〔2〕求证：∠CEG=∠AGE ．5.如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E 角平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的线段，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF 。
〔1〕如图1，假设点H 是AC 的中点，AC=23，求AB ，BD 的长。
〔2〕如图1，求证：HF=EF 。
〔3〕如图2，连接CF ，CE ，猜测：△CEF 是否是等边三角形？假设是，请证明；假设不是，请说明理由。
6.如图1，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连结BE ． 〔1〕假设AF 是△ABE 的中线，且AF ＝5，AE ＝6，连结DF ，求DF 的长； 〔2〕假设AF 是△ABE 的高，延长AF 交BC 于点G ．①如图2，假设点E 是AC 边的中点，连结EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ；②如图3，假设点E 是AC 边上的动点，连结DF ．当点E 在AC 边上(不含端点)运动时，∠DFG 的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG 的度数；如果要变，请说明理由．7.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC 〔或AC 的延长线〕相交于点F.〔1〕如图1，假设DF ⊥AC ，垂足为F ，AB=4，求BE 的长；〔2〕如图2，将〔1〕中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 扔与线段AC 相交于点F.求证：1CF 2BE AB +=； 〔3〕如图3，将〔2〕中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN ⊥AC 于点N ，假设DN=FN ，求证：3()BE CF BE CF +=-.ABF DCE 25题图1 BAF DCEG25题图2 ABF DCEG25题图38.在四边形ABCD中，180ABC ADC∠+∠=︒，AB=BC.〔1〕如图1，假设90BAD∠=︒，AD=2，求CD的长度；〔2〕如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：1902PBQ ADC∠=︒-∠；〔3〕如图3，假设点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，那么〔2〕中的结论是否成立？假设成立，请给出证明过程，假设不成立，请写出PBQ∠与ADC∠的数量关系，并给出证明过程.9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．〔1〕如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；〔2〕如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；〔3〕如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，〔2〕中的结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由．10.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，假设点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．〔1〕过D作DH⊥AB,垂足为H，假设DH=BE=14AB,求DG的长；〔2〕连接CP，求证：CP⊥FP；〔3〕如图2，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，假设点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第〔2〕问的结论成立吗？假设成立，求出PFCP的值；假设不成立，请说明理由．图1DABCADBCPQ图2ADBCPQ图3G11.如图1，ABC ∆中，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，连接DE . 〔1〕假设AB BC =，1DE =，3BE =，求ABC ∆的周长；〔2〕如图2，假设AB BC =，AD BD =，ADB ∠的角平分线DF 交BE 于点F ，求证：2BF DE =；〔3〕如图3，假设AB BC ≠，AD BD =，将ADC ∆沿着AC 翻折得到AGC ∆，连接DG 、EG ，请猜测线段AE 、BE 、DG 之间的数量关系，并证明你的结论。
【万唯中考】重难题型 第25题综合与实践
题型十五第25题综合与实践注：综合与实践题均为3问，分值为12分．第(1)(2)问为问题探究阶段，一般考查简单尺规作图或计算，第(3)问为问题解决阶段，结合前两问的结论解决问题．类型一面积平分问题(2017、2013、2010.25)【类型解读】面积平分问题近10年涉及3次，题目所给图形：若在第(1)(2)问涉及则结合常见图形，如等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形，若在第(3)问则结合一般四边形．考查点：图形面积二等分和四等分问题．考查形式：过图形上一点或图形内一点作直线平分图形的面积．【满分技法】链接至P64、P119“微专题”．针对训练1.问题探究(1)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请你过点A作一条直线AD，其中点D为BC上一点，使直线AD平分△ABC的面积；(2)如图②，点P为▱ABCD外一点，AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，请过点P作一条直线l，使其平分▱ABCD的面积，并求出▱ABCD的面积；问题解决(3)如图③，在平面直角坐标系中，四边形OABC是李爷爷家一块土地的示意图，其中OA∥BC，点P 处有一个休息站点(占地面积忽略不计)，李爷爷打算过点P修一条笔直的小路l(路的宽度不计)，使直线l 将四边形OABC分成面积相等的两部分，分别用来种植不同的农作物．已知点A(8，8)、B(6，12)、P(3，6)．你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．第1题图2.问题探究(1)请在图①中作两条直线，使它将半圆O的面积三等分；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，请在图②中过点A作两条直线，使它们将矩形ABCD 的面积三等分，并说明理由；问题解决(3)如图③，李师傅有一块平行四边形ABCD的菜地，其中AB＝AC＝100米，BC＝120米，菜地A处有一用来灌溉的水源．李师傅现准备修两条笔直的小路将菜地面积三等分后给自己的三个儿子，要求三个儿子能在灌溉时共用A处水源，那么李师傅能否实现自己的想法？若能，请通过计算、画图说明；若不能，请说明理由．第2题图3. (2019西安莲湖区模拟)问题提出(1)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究(2)如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题(3)如图③，刘老伯有一块筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O(0，0)、A(4，0)、B(0，4)、C(6，6)，是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙(墙的宽度不计)，将这块养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．第3题图4.问题探究(1)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，作一条直线平分四边形ABCD的面积；(2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论；问题解决(3)如图③，五边形OBCDE是西安市周边某村李大爷家的一块耕地缩略图(比例尺1∶15，单位米)，将其放在平面直角坐标系中，则点B(8，0)，C(8，4)，D(4，6)，E(0，6)，点P(0，8)处有一水井(占地面积忽略不计)，李大爷打算过点P修一条笔直的水渠(水渠的宽度不计)，并且使这条水渠所在的直线l将五边形OBCDE分成面积相等的两部分便于灌溉．你认为是否存在直线l能满足李大爷的要求，若能，确定出水渠在五边形耕地上的位置；若不能，请说明理由．第4题图类型二 面积最值问题(2012、2011.25)【类型解读】面积最值问题(不涉及辅助圆)近10年考查2次，此类问题多涉及图形变化，考查形式包含：①与图形位似结合求面积最值、面积和最值；②与图形折叠结合求面积最值．【满分技法】1.已知△ABC 两边长及其夹角，利用S △ABC＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；2．已知△ABC 两边长a 、b ，求最大面积，当且仅当这两边垂直(两边夹角为90°)时，S △ABC 最大＝12ab ；3．求四边形面积时转化为求三角形的面积和来求．1. 问题探究(1)如图①，在△OAB 中，∠AOB ＝90°，作△OAB 关于点O 的对称△OCD ，连接AD 、BC . ①作出四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状为____________； ②若AO ＋BO ＝6，求四边形ABCD 的最大面积；(2)如图②，在矩形ABCD 中，对角线的长之和为12，求矩形ABCD 的最大面积； 问题解决(3)如图③，李师傅有一个半径为R 的圆形板材⊙O ，他准备利用该板材裁一个矩形，是否能裁出面积最大的矩形？若能，求出矩形的最大面积；若不能，请说明理由．第1题图针对训练2.问题探究(1)请在图①所示的矩形中裁出一个正方形，画出你的裁剪方法，裁剪线用虚线表示；(2)如图②，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，正方形EFGH的四个顶点至少有3个在矩形ABCD 的边上，请通过计算，确定正方形EFGH面积的最大值和最小值；问题解决(3)如图③，有一块三角形铁皮ABC，其中AB＝AC＝10米，BC＝12米，现在需要从这块铁皮上剪下一个正方形PQMN用作一个正方体盒子的盖子，要求正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另外两个顶点分别在△ABC的另两边上．试通过计算确定，如何裁剪，可以使得所得到的正方形面积最大？第2题图3.问题探究(1)如图①，点M、N分别为四边形ABCD的边AD、BC的中点，则四边形BNDM的面积与四边形ABCD 的面积关系是____________；(2)如图②，在四边形ABCD中，点M、N分别为AD、BC的中点，MB交AN于点P，MC交DN于点Q.若S四边形MPNQ＝10，则S△ABP＋S△DCQ的值为多少？问题解决(3)如图③，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，点M、N为AB上两点，且满足BN＝2AM＝2MN，连接MC、MD.若点P为CD上任意一点，连接AP、NP，使得AP与DM交于点E，NP与MC交于点F，则四边形MEPF的面积是否存在最大值？若存在，请求出其最大面积；若不存在，请说明理由．第3题图4.问题提出(1) 如图①，线段AB的长为42，请你作出以AB为斜边且面积最大的Rt△ABC；问题探究(2)如图②，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，请你求出四边形ABCD的面积；问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，BD＝4.小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合图③中条件的四边形，裁取时要求尽可能节约，你能求出此时四边形ABCD面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．第4题图类型三 线段最值问题(2018、2016、2015.25)【类型解读】线段最值问题近10年考查3次，考查形式为利用轴对称的性质和两点之间线段最短，求线段的最小值、三角形或四边形周长的最小值．【满分技法】链接至P63、P120、P123“微专题”．1. 问题探究(1)如图①，点E 是正△ABC 高AD 上的一定点，请在AB 上找一点F ，使EF＝12AE ，并说明理由；(2)如图②，点M 是边长为2的正△ABC 高AD 上的一动点，连接CM ，求12AM ＋MC 的最小值；问题解决(3)如图③，A 、B 两地相距600 km ，AC 是沿东西方向向两边延伸的一条笔直的铁路．点B 到AC 的最短距离为360 km.今计划在铁路线AC 上修建一个中转站M ，再在BM 间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A 到M 再通过公路由M 到B 的总运费最少，请确定中转站M 的位置，并求出AM 的长．(结果保留根号)第1题图2. 问题探究(1)如图①，点M 、N 分别是△ABC 边AB 、AC 上任意一点，在BC 边上确定一点P ，使得PM ＋PN 的值最小；(2)如图②，点M 是边长为2的正方形ABCD 对角线AC 上一动点，N 为CD 边的中点，求△DMN 周长针对训练的最小值；问题解决(3)如图③，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB边的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．若M为x轴上任意一点，N为y轴上任意一点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M、N的坐标，并求出周长的最小值．第2题图3. (2019西安交大附中模拟)问题提出(1)如图①，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK＋NK最小；问题探究(2)如图②，在等边三角形ABC内有一点P.且P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数的大小；问题解决(3)如图③，矩形ABCD是草根公园的平面图，AB＝303米，BC＝60米，现需要在公园里修一凉亭E，使得到公园出口A、B、C的距离之和最小，问：是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值，并判断点E是否在对角线BD上；若不存在，请说明理由．第3题图4. (2019西工大附中模拟)问题提出(1)如图①，已知在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，BC ＝2＋23，求点A 到BC 的距离； 问题探究(2)如图②，已知边长为3的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边AD 和BC 上，且AE ＝13AD ，CF ＝13BC ，连接BE 、DF ，若点M 、N 分别为BE 、DF 上的动点，连接MN ，求线段MN 长度的最小值；问题解决(3)如图③，已知在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝3，CB ＝CD ＝2，∠ABC ＝60°，连接BD ，将线段BD 沿BA 方向平移至ME ，点D 的对应点为点E ，点N 为边CD 上一点，且DN ＝BM ，连接MN ，MN 的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．第4题图．类型四辅助圆问题(2014～2019.25)【类型解读】利用辅助圆探究满足特殊角的点问题近10年考查6次，考查形式：第(1)(2)问一般考查简单作图或计算，第(3)问一般为利用辅助圆探究满足45°、60°、90°、120°角的点的存在性问题．【满分技法】链接至P96“微专题辅助圆问题”．针对训练1. (2019陕西副题第25题12分)问题提出(1)如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC；问题探究(2)如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM. 试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1∶6的两部分．求点N到点M的距离；问题解决(3)如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30 m，BC＝40 m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这结果保留整数．参考数据：2≈1.4，3≈1.7)两种花卉的种植至少需费用多少元？(2. (2018陕西副题25题12分) 问题提出(1)如图①，在△ABC 中，AB ＝4，∠A ＝135°，点B 关于AC 所在直线的对称点为B ′，则BB ′的长度为________；问题探究(2)如图②，半圆O 的直径AB ＝10，C 是AB ︵的中点，点D 在BC ︵上，且CD ︵＝2BD ︵，P 是AB 上的动点，试求PC ＋PD 的最小值；问题解决(3)如图③，扇形花坛AOB 的半径为20 m ，∠AOB ＝45°.根据工程需要，现想在AB ︵上选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个△PEF ，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带PE ＋EF ＋FP 的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的△PEF 为等腰三角形．试求PE ＋EF ＋FP 的值最小时的等腰△PEF 的面积．(安装损耗忽略不计)第2题图3.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为________；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM＋MN的最小值；(3)如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值？若存在，求这个最小值及此时BF的长度；若不存在，请说明理由．第3题图4.问题探究(1)如图①，⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆心O到AB的距离为________；(2)如图②，线段BC和动点A构成△ABC，已知BC＝6，∠BAC＝60°，过点A作BC边上的高线AD.若点D在线段BC上，求线段AD长度的最小值；问题解决(3)李老师为了增加数学学习的趣味性，设计了一个“寻宝”游戏：如图③，在平面内，线段AB长为6 cm，线段AB外有一动点P，且线段P A长为4 cm，又有一点Q，满足PB＝BQ，且∠PBQ＝90°，当线段AQ的长度最大时，点Q的位置即为藏宝地．请你确定藏宝地的位置及此时藏宝地到点A的距离．第4题图5.问题提出(1)如图①，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AD边上的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，则EF＝________；(2)如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l，且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC 面积的最小值；问题解决(3)如图③，某园林单位准备将一个四边形花圃ABCD划分为3个区域种植不同的花草．已知在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6 m，点E、F分别为边AB、AD上的点．若要保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，请说明理由．第5题图6. (2019西安交大附中模拟)问题发现(1)如图①，AB为⊙O直径，请在⊙O上找一点P，使∠ABP＝45°；(不必写作法)问题探究(2)如图②，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝32，D是AB上一点，AD＝22，在BC 边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由；问题解决(3)如图③，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米，球门EF＝8米，且EB＝F A.点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135°，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ 上的何处时才能使射门角度(∠EMF)最大？求出此时PM的长．第6题图7. (2019陕师大附中模拟)问题探究(1)如图①，已知等腰△ABC的顶角∠A＝30°，其外接圆半径为2，则底边上的中线AD长为________；(2)如图②，已知△ABC，∠BAC＝60°，BC＝2，点D、E分别为边AC、BC的中点，求DE长的最大值；问题解决(3)如图③，点A、B为两个物资生产站点，且站点A、B相距1 km，现需规划两个物资买卖站点C、D 及道路AC、AD.根据实际需要，站点B在站点C、D所连的线段上，且到站点C、D的距离相等，站点A 对站点C、D的张角为45°，即∠CAD＝45°，若要使得站点A、C的距离与站点A、D的距离和最长，试求AC＋AD的最大值．(结果用根号表示)第7题图8. (1)如图①，等边△ABC的边长为2，点D为BC边上一点，连接AD，则AD长的最小值是________；(2)如图②，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB中点，若P为对角线BD上一动点，Q 为边AD上一动点，计算EP＋PQ的最小值；(3)如图③，已知在四边形ABCD中，∠BAD＝75°，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝42，E为CD边上一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，在AF上截取FP＝FD，连接BP、CP.试问在四边形ABCD内是否存在点P，使得△PBC的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出△PBC 的最小面积；若不存在，请说明理由．第8题图参考答案类型一面积平分问题针对训练1.解：(1)如解图①，取BC的中点D，作直线AD，则直线AD平分△ABC的面积；第1题解图①(2)如解图②，连接AC、BD，AC与BD交于点O，则点O为平行四边形ABCD的对称中心，作直线OP，则直线OP平分▱ABCD的面积．第1题解图②∵AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，∴点A到BC的距离为6×sin45°＝32，∴S▱ABCD＝12×32＝362；(3)存在．如解图③，过点B作BD⊥x轴于点D，交AO于点E，连接OB、AP，则E(6，6)，直线l交AB于点F，交BD于点G.第1题解图③∵B(6，12)，P(3，6)，∴点P为线段OB的中点．∵OA∥BC，BE∥OC，∴四边形OEBC是平行四边形．∴点P 是平行四边形OEBC 的对称中心， ∴任意一条过点P 的直线平分平行四边形OEB C. ∴过点P 的直线l 只要平分△ABE 的面积即可． 设直线l 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 则有3k ＋b ＝6，即b ＝6－3k ， ∴直线l 的表达式为y ＝kx ＋6－3k .设直线AB 的表达式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，将点B (6，12)、A (8，8)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝128m ＋n ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝24， ∴直线AB 的表达式为y ＝－2x ＋24.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋6－3k y ＝－2x ＋24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18＋3kk ＋2y ＝12＋18k k ＋2，∴F (18＋3k k ＋2，12＋18k k ＋2)．把x ＝6代入y ＝kx ＋6－3k ，得y ＝3k ＋6， ∴G (6，3k ＋6)．设直线AP 的表达式为y ＝ax ＋c (a ≠0)，将A (8，8)、P (3，6)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋c ＝83a ＋c ＝6，解得⎩⎨⎧a ＝25c ＝245， ∴直线AP 的表达式为y ＝25x ＋245，当x ＝6时，y ＝365，∵365<y G <y B， ∴365＜3k ＋6＜12， 解得25＜k ＜2.∵S △BFG ＝12BG ·(x F －6)＝12(12－3k －6)(18＋3k k ＋2－6) ＝12×12×(8－6)×(12－6) ＝3，解得k ＝23或k ＝4(舍去)，∴b ＝6－3k ＝4，∴直线l 的表达式为y ＝23x ＋4.2. 解：(1)作直线如解图①所示；第2题解图①(2)如解图②所示，直线AP 、AQ 即为所求． 理由如下：如解图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4， ∴矩形ABCD 的面积为12.设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分， 则S △ABP ＝S △ADQ ＝4， 即12×3BP ＝12×4DQ ＝4， ∴BP ＝83，DQ ＝2，∴当BP ＝83，DQ ＝2时，直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分；第2题解图②(3)李师傅能实现自己的想法．如解图③，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E . ∵AB ＝AC ＝100米，BC ＝120米， ∴BE ＝12BC ＝60米，∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝80米，∴S ▱ABCD ＝BC ·AE ＝120×80＝9600(平方米)， 过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ， ∵CD ＝AB ＝100米，CD ·AF ＝BC ·AE ， ∴AF ＝BC ·AE CD ＝120×80100＝96(米)．设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分，则S △ABP＝S △ADQ ＝13×9600＝3200(平方米)，即12BP ·AE ＝12DQ ·AF ＝3200， ∴BP ＝80米，DQ ＝2003米，∴当BP ＝80米，DQ ＝2003米时，直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分．第2题解图③3. 解：(1)如解图①，取BC 边的中点D ，连接AD ，则线段AD 即为所求． 在Rt △ABC 中，AB ＝3，AC ＝4， ∴BC ＝AB 2＋AC 2＝5， 又∵点D 为BC 边的中点， ∴AD ＝12BC ＝52；第3题解图①(2)S △AOM ＝S △BON .理由：S △AOM ＝S △AMN －S △OMN ，S △BON ＝S △BMN －S △OMN ，∵△AMN 与△BMN 同底等高，∴S △BMN ＝S △AMN ，∴S △AOM ＝S △BON ； (3)存在．如解图②，连接AB ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，CE ⊥y 轴于点E ，第3题解图②∵C (6，6)，∴CE ＝OD ＝6，OE ＝CD ＝6， ∴四边形ODCE 为正方形， S 四边形ODCE ＝6×6＝36.∵A (4，0)，B (0，4)，∠AOB ＝90°， ∴S △AOB ＝12×4×4＝8，∵AD ＝6－4＝2，BE ＝6－4＝2，∴S Rt △BCE ＝12×2×6＝6，S Rt △CAD ＝12×2×6＝6，∴S 四边形OACB ＝S 四边形ODCE －S Rt △BCE －S Rt △CAD ＝36－6－6＝24. ∵直线BP 平分四边形OACB 的面积，且点P 在AC 上， ∴S △BPC ＝S 四边形OAPB ＝12×24＝12.又∵S △ABP ＝S 四边形OAPB －S Rt △OAB ＝12－8＝4， ∴S △ABP ＝14S △ABC ，∴AP ＝14A C.∵点A (4，0)，C (6，6)， ∴P (92，32)．设直线BP 的表达式为y ＝ax ＋b (a ≠0)， 将B (0，4)，P (92，32)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝492a ＋b ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－59b ＝4. ∴直线BP 的表达式为y ＝－59x ＋4.4. 解：(1)如解图①，直线l 是AD 或BC 的垂直平分线，则直线l 平分四边形ABCD 的面积；第4题解图①(2)AD ∥EF ∥BC ，EF ＝AD ＋BC2.证明：如解图②，连接AF 并延长与BC 的延长线交于点G ， ∵AD ∥BC ，∴∠D ＝∠FCG ，∠DAF ＝∠G ， ∵DF ＝FC ，∴△ADF ≌△GCF (AAS)， ∴AD ＝CG ，∴BG ＝BC ＋CG ＝BC ＋AD ， ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴在△ABG 中，EF ＝12BG ，EF ∥BG ，∴AD ∥EF ∥BC ，EF ＝AD ＋BC2；第4题解图②(3)能．如解图③，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，则四边形OBCF 是矩形，DE ∥CF ∥OB ，第4题解图③连接OC 、BF 交于点M ，G 、H 分别是EF 、DC 的中点，连接GH ，取GH 的中点N ，则直线MN 平分五边形OBCDE 的面积．设直线MN 分别与DE 、CF 、OB 交于点L 、R 、K ， ∵G 、H 分别是EF 、DC 的中点， ∴DE ∥GH ∥CF ，∴点N 是LR 的中点，由(2)可得GN ＝EL ＋FR 2，NH ＝LD ＋RC2，∵GN ＝NH ， ∴EL ＋FR 2＝LD ＋RC2， ∴S 四边形EFRL ＝S 四边形CDLR ， ∵S 四边形OKRF ＝S 四边形BCRK ，∴S 四边形EFRL ＋S 四边形OKRF ＝S 四边形CDLR ＋S 四边形BCRK ， ∴直线MN 平分五边形OBCDE 的面积，设线段LK 的中点是Q ，连接PQ ，直线PQ 分别与DE 、OB 交于点A 1、A 2， ∵△A 1QL ≌△A 2QK ，∴直线PQ 平分五边形OBCDE 的面积， ∵M (4，2)，N (3，5)，∴直线MN 的表达式为y ＝－3x ＋14， ∴L (83，6)，K (143，0)∵线段LK 的中点是Q ，∴点Q 的纵坐标是3，点Q 在直线MN 上， ∴点Q (113，3)，∵点P (0，8)，∴直线PQ 表达式为y ＝－1511x ＋8，∴A 1(2215，6)，A 2(8815，0)，∵耕地图比例尺1∶15， ∴2215×15＝22(米)，8815×15＝88(米)， ∴水渠在五边形耕地开挖的位置是：一端位于DE 边上距E 点22米，另一端位于OB 边上距O 点88米．类型二 面积最值问题针对训练1. 解：(1)①菱形；②如解图①，∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，AO ＋BO ＝6， ∴AC ＋BD ＝2(AO ＋BO )＝12，设AC ＝x ，则BD ＝12－x ，∵由①得四边形ABCD 为菱形，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12x (12－x )＝－12x 2＋6x ＝－12(x －6)2＋18，∴当x ＝6时，S 菱形ABCD 最大＝18，即四边形ABCD 的最大面积为18；第1题解图①(2)如解图②，连接AC 、BD ，在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，设AC 与BD 交于点O ， ∵AC ＋BD ＝12，∴AC ＝BD ＝6，OD ＝12BD ＝3，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ， 在Rt △DOE 中，DE ＝DO ·sin ∠DOE ， ∴S △ACD ＝12AC ·DE ＝12AC ·DO ·sin ∠DOE ，又∵S △ABC ＝S △ACD ， ∴S 矩形ABCD ＝2S △ACD＝AC ·DO ·sin ∠DOE ＝6×3sin ∠DOE ＝18sin ∠DOE ≤18，∴S 矩形ABCD 最大＝18；第1题解图②(3)能裁出面积最大的矩形．如解图③，连接AC ，BD ，在矩形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ＝90°， ∴AC ，BD 均为⊙O 的直径，即AC ＝BD ＝2R ，由(2)知，S 矩形ABCD ＝2S △ACD ＝AC ·DO ·sin ∠DOA ＝2R ·R ·sin ∠DOA ＝2R 2sin ∠DOA ≤2R 2， ∴S 矩形ABCD 最大＝2R 2.第1题解图③2. 解：(1)作图如解图①所示：第2题解图①(2)设AE＝x，则BE＝4－x，∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH＋∠BEF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，∴△AEH≌△BFE(AAS)，∴BF＝AE＝x.在Rt△BEF中，由勾股定理得EF2＝BE2＋BF2＝(4－x)2＋x2＝2x2－8x＋16，即S正方形EFGH＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8.∵0≤x≤4，∴当x＝0或4时，正方形EFGH面积最大为16；当x＝2时，正方形EFGH面积最小为8；(3)分类讨论：i)当MN在BC上时，如解图②，过点A作AD⊥BC于点D，第2题解图②∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝CD＝6，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝8.∵四边形PQMN是正方形，∴AD垂直平分MN.设AD交PQ于点K，ND＝x，则PK＝ND＝x，KD＝2x，∵∠AKP＝∠ADC＝90°，∠P AK＝∠CAD，∴△APK∽△ACD，∴AK AD ＝PKCD ，即8－2x 8＝x 6， 解得x ＝125，则此时正方形PQMN 的边长为245；ii)当MN 在AB 上时，如解图③，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，交PQ 于点G ，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝8.第2题解图③∵S △ABC ＝12BC ·AD ＝12AB ·CH ＝48，∴CH ＝485.设正方形PQMN 的边长为y ，则CG ＝CH －GH ＝485－y ，∵PQ ∥AB ，∴CG ⊥PQ ，∠CPQ ＝∠CAB ， 又∵∠PCQ ＝∠ACB ， ∴△CPQ ∽△CAB ， ∴PQ AB ＝CG CH ，即y10＝485－y 485， 解得y ＝24049，则此时正方形PQMN 的边长为24049.∵245＜24049， ∴以△ABC 的一腰为边，另两点在另一腰和底边上时，裁得的正方形面积最大． 3. 解：(1)S 四边形BNDM ＝12S 四边形ABCD ；(2)如解图①，连接BD ， ∵M 、N 是AD 、BC 的中点，∴S △ABM ＝S △BDM ，S △BDN ＝S △CDN ，(等底同高的两个三角形面积相等)由(1)可知，S 四边形BMDN ＝12S 四边形ABCD ，同理，S 四边形ANCM ＝12S 四边形ABCD ，∴S 四边形ANCM ＋S 四边形BMDN ＝S 四边形ABCD ， ∴S 四边形MPNQ ＝S △ABP ＋S △CDQ ＝10；第3题解图①(3)存在最大值．如解图②，连接PM ，设DP ＝x ，则PC ＝4－x ， ∵AM ∥DP ， ∴PE EA ＝PD AM， ∴PE P A ＝PD PD ＋AM ，即PE P A ＝x x ＋1， ∵S △MEP S △APM ＝PE P A，且S △APM ＝12AM ·AD ＝1，∴S △MPE ＝xx ＋1，同理可得S △MPF ＝4－x5－x， ∴S 四边形MEPF ＝x x ＋1＋4－x 5－x ＝2－1x ＋1－15－x ＝2－6－x 2＋4x ＋5＝2＋6（x －2）2－9≤2－23＝43，当x ＝2时，上式等号成立， ∴S 四边形MEPF 的最大值为43.第3题解图②4. 解：(1)如解图①，作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，以点O 为圆心，在垂直平分线上截取OC ＝OA ，连接AC 、BC ，则Rt △ABC 即为所求；第4题解图①(2)如解图②，连接AC，过点A作CB的垂线交CB的延长线于点E，则∠ABE＝180°－∠ABC＝60°.∴AE＝AB·sin60°＝3，BE＝AB·cos60°＝1，∴CE＝2，∴AC＝AE2＋CE2＝7.∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝7，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12×1×3＋12×7×7×sin60°＝934；第4题解图②(3)能．如解图③，将△BCD绕点D顺时针旋转60°，得到△B′AD，连接BB′，第4题解图③由旋转的性质可知，BD＝B′D，∠B′AD＝∠C，∠B′DA＝∠BDC，∴∠BDB′＝60°，∴△BDB′为等边三角形，∴BB′＝BD＝4，∵∠ABC＋∠ADC＝135°，∴∠BAD＋∠C＝360°－135°＝225°，∴∠BAB′＝360°－∠BAD－∠DAB′＝135°.∵S四边形ABCD＝S△BDB′－S△ABB′，S△BDB′＝12×4×4×sin60°＝43，∴当△ABB′的面积最大时，四边形ABCD的面积最小．由(1)可知，当AB＝AB′时，△ABB′的面积最大，过点A作AM⊥BB′于点M，在BM上截取MN，使MN＝AM，连接AN，易知∠BAM＝67.5°，∠MAN＝45°，∴∠BAN＝∠NBA＝22.5°，∴AN＝BN.∵BB′＝4，AM⊥BB′，∴BM ＝2，设AM ＝MN ＝x ，则BN ＝AN ＝2－x ，在Rt △AMN 中，由勾股定理得AM 2＋MN 2＝AN 2，即x 2＋x 2＝(2－x )2， 解得x ＝22－2或x ＝－22－2(不符合题意，舍去)， ∴S △ABB ′最大＝12×4×(22－2)＝42－4，∴四边形ABCD 面积的最小值为43－(42－4)＝43－42＋4.类型三 线段最值问题针对训练1. 解：(1)如解图①，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，点F 即为所求．第1题解图①理由如下：∵点E 是正△ABC 的高AD 上的一点， ∴∠BAD ＝30°. ∵EF ⊥AB ，∴在Rt △AEF 中，EF ＝12AE ；(2)如解图②，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为点N ，第1题解图②∵△ABC 是正三角形，AD 为高， ∴∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∵MN ⊥AB ，∴在Rt △AMN 中，MN ＝12AM ，当C 、M 、N 三点共线时，12AM ＋MC ＝MN ＋MC ＝CN .此时12AM ＋MC 的值最小，最小值即为CN 的长．∵△ABC 是边长为2的正三角形， ∴CN ＝BC ·sin60°＝2×32＝3， 即12AM ＋MC 的最小值为3； (3)如解图③，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ，在AC 异于点B 的一侧作∠CAN ＝30°.第1题解图③过点B 作BF ⊥AN ，垂足为点F ，交AC 于点M ，点M 即为所求． 在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝6002－3602＝480(km)， 在Rt △MBD 中，∠MBD ＝∠MAF ＝30°， 则MD ＝BD ·tan30°＝120 3 km ， ∴AM ＝AD －MD ＝(480－1203)km.2. 解：(1)如解图①，作点M 关于BC 的对称点M ′，连接M ′N 交BC 于点P ，则点P 就是所求的点；第2题解图①(2)如解图②，连接BD 交AC 于点O ，∵正方形的对角线互相垂直平分，第2题解图②∴点D 关于AC 的对称点为点B ， 连接BN ，交AC 于点M ，连接DM ， ∴DM ＋MN ＝MB ＋MN ＝BN ，在AC 上任取一异于点M 的点M ′，连接BM ′、DM ′、M ′N ，则DM ′＋M ′N ＝BM ′＋M ′N ＞BN ， ∴当B 、M 、N 三点共线时，BN 取得最小值， ∴点M 就是所求的点，∵线段DN 的长为定值，∴当DM ＋MN 的值最小时△DMN 的周长最小， 即周长的最小值为BN ＋DN 的值．∵正方形ABCD 的边长为2，N 为DC 的中点， ∴DN ＝1，BN ＝22＋12＝5， ∴△DMN 的周长的最小值为5＋1；(3)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点， ∴点E 坐标为(3，1)，又∵△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处， 可知四边形ADFB 是正方形，∴BF ＝AB ＝OC ＝2，CF ＝BC －BF ＝3－2＝1， ∴点F 的坐标为(1，2)，如解图③，作点E 关于x 轴的对称点E ′，作点F 关于y 轴的对称点F ′，连接E ′F ′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，连接FN 、ME 、EF ，在OC 上任取一点N ′(不与点N 重合)，在OA 上任取一点M ′(不与点M 重合)，连接F ′N ′、N ′M ′、M ′E ′、FN ′、EM ′，则EF ＋FN ′＋N ′M ′＋M ′E ＝EF ＋F ′N ′＋N ′M ′＋M ′E ′>EF ＋E ′F ′，则取M 、N 点时四边形MNFE 的周长最小．第2题解图③∴E ′(3，－1)，F ′(－1，2)，设直线E ′F ′的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 将点E ′、F ′的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝－1－k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝－34b ＝54，∴直线E ′F ′的解析式为y ＝－34x ＋54.当y ＝0时，x ＝53，故点M 的坐标为(53，0)，当x ＝0时，y ＝54，故点N 的坐标为(0，54)．∵点E 与E ′关于x 轴对称，点F 与F ′关于y 轴对称， ∴NF ＝NF ′，ME ＝ME ′，F ′B ＝4，E ′B ＝3.在Rt△BE′F′中，E′F′＝BE′2＋BF′2＝32＋42＝5，∴FN＋NM＋ME＝F′N＋NM＋ME′＝E′F′＝5，在Rt△BEF中，EF＝BE2＋BF2＝12＋22＝5，∴FN＋NM＋ME＋EF＝E′F′＋EF＝5＋5，∴四边形MNFE周长的最小值是5＋ 5.3.解：(1)如解图①，连接MN，交l于点K，则点K即为所求点；第3题解图①(2)如解图②，将△APB绕点B顺时针旋转60°得△CP′B，则P′C＝AP＝3，BP′＝BP＝4，∠BP′C＝∠APB，∠PBP′＝60°，∴△PBP′为等边三角形，∴PP′＝BP＝4，∠PP′B＝60°.第3题解图②在△CP′P中，PC＝5，CP′＝3，PP′＝4，∴PC2＝P′C2＋P′P2，∴∠CP′P＝90°，∴∠BP′C＝∠CP′P＋∠BP′P＝90°＋60°＝150°，∴∠APB＝∠BP′C＝150°；(3)存在．连接AC，根据题意，解图取矩形ABCD中Rt△ABC部分，如解图③，将△ACE绕点C顺时针旋转60°得△NCM，则NM＝AE，CM＝CE，∠ECM＝60°.第3题解图③∴△ECM为等边三角形，∴EM＝CE，∴EA ＋EB ＋EC ＝BE ＋EM ＋MN .由“两点之间，线段最短”可知BE ＋EM ＋MN ≥BN ，当且仅当B 、E 、M 、N 四点共线时等号成立， ∴当EA ＋EB ＋EC 取最小值时E 在BN 上(如解图④)，最小值为BN 的长．第3题解图④连接AN ，易证△ACN 为等边三角形，同理可知，以AB 为边在AB 左侧作等边△ABF ，当EA ＋EB ＋EC 取最小值时E 在CF 上(如解图⑤)，最小值为CF 的长，∴E 为CF 、BN 的交点．第3题解图⑤如解图⑥，作FG ⊥BC ，交CB 的延长线于点G .由题意可知AB ＝303，BC ＝60，∠ABC ＝90°，第3题解图⑥∴BF ＝303，∠FBG ＝30°，∴FG ＝12BF ＝153，BG ＝32BF ＝45，CG ＝CB ＋BG ＝105，∴在Rt △CFG 中，CF ＝FG 2＋CG 2＝3013， 即EA ＋EB ＋EC 最小值为3013.综上所述，点E 在BN 与CF 的交点上，如解图⑦，若点E 在对角线BD 上，则点E 为BN 和BD 的交点，即点E 与点B 重合，显然不合题意，故点E 不在对角线BD 上．第3题解图⑦4. 解：(1)如解图①，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 设AD ＝x ，在Rt △ABD 中，∠B ＝30°，则BD ＝3AD ＝3x ， 在Rt △ACD 中，∠C ＝45°，则CD ＝AD ＝x ， ∴BC ＝BD ＋CD ＝3x ＋x ＝23＋2，解得x ＝2，∴点A 到BC 的距离为2；第4题解图①(2)如解图②，过点E 作EG ⊥DF ，垂足为G ， ∵AE ＝13AD ，CF ＝13BC ，AD ＝BC ＝3，∴AE ＝CF ＝1，∴DE ＝BF ＝2，BE ＝10， ∵DE ∥BF ，∴四边形BEDF 为平行四边形， ∴∠AEB ＝∠GDE ，BE ∥DF ， ∴△BAE ∽△EGD ， ∴BE DE ＝AB EG ，即102＝3EG， 解得EG ＝3105，∴线段MN 长度的最小值为BE 与DF 间的距离，即为EG 的长，即为3105；第4题解图②(3)存在．如解图③，连接AC 、DE ，AC 交BD 于点F ，作∠ABC 的平分线交AC 于点O ，连接OD 、OM 、ON ，过点O 作OP ⊥AB 于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，∵AB ＝AD ，CB ＝CD ， ∴AC 垂直平分BD ， 又∵AC ＝AC ， ∴△ABC ≌△ADC ， ∴∠BAC ＝∠DAC ，同理可证OB ＝OD ，∠OBC ＝∠ODC ， ∴∠MBO ＝∠OBC ＝∠ODN ＝30°， ∵BM ＝DN ，∴△BOM ≌△DON ，∴OM ＝ON ，∠BOM ＝∠DON ， ∴∠MON ＝∠BOD ， ∴△MON ∽△BOD ， ∴MN BD ＝MO BO ≥OP BO ＝12， ∴MN ≥12BD ，∵AQ ＝AB ·sin60°＝332， BQ ＝AB ·cos60°＝32，∴CQ ＝12，∴AC ＝AQ 2＋CQ 2＝7， ∵CB ·AQ ＝AC ·BF ， 即2×332＝7BF ，解得BF ＝3217，∴BD ＝2BF ＝6217，∴MN 的最小值为3217.第4题解图③类型四 辅助圆问题针对训练1. 解：（1）如解图①所示, Rt △ABC 即为所求. （只要画出一个符合要求的Rt △ABC 即可）(2分)第1题解图①（2）如解图②，∵O 是正方形ABCD 的对称中心，且BM =CM ，第1题解图②∴S △BOM =18⨯282＜17⨯282.∴点N 不可能在BM 上，由对称性，可知点N 也不可能在MC 上.显然,点N 不在AD 边上.(4分) ∴设点N 在AB 边上,连接ON . 由题意,得12(BN +14)⨯14=17⨯282，解之,得BN =2. 由对称性知,当点N 在CD 边上时,可得CN=2.∴221422+=（6分）（3）如解图③所示,过点A 作AH ⊥BD 于点H ，第1题解图③在Rt △ABD 中，AB=30，AD=40， ∴BD =50，AH =24.易得S △AEF =S △CEF . ∴S 四边形AECF =2S △AEF =212⨯⨯EF ·AH=24EF .由题意可知，只有S 四边形AECF 最小时，按设计要求在矩形ABCD 内种植红、黄两种花卉的费用最低. 要使S 四边形AECF 最小，就需EF 最短.（8分） ∵AH ⊥EF ，tan ∠HAD =tan ∠ABD =433tan ∠ADB =343 ∴∠HAD ＜60°，∠BAH ＜60°.又∵∠EAF =60°，∴E 、F 两点分布在AH 异侧.。
中考数学复习专题25：尺规作图（含中考真题解析）
专题25 尺规作图☞解读考点知识点名师点晴尺规作图尺规作图概念了解什么是尺规作图五种基本作图1．画一条线段等于已知线段会用尺规作图法完成五种基本作图，了解五种基本作图的理由，会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．2．画一个角等于已知角3．画线段的垂直平分线4．过已知点画已知直线的垂线5．画角平分线会利用基本作图画较简单的图形．1．画三角形会利用基本作图画三角形较简单的图形．2．画圆会利用基本作图画圆．☞2年中考【2015年题组】1．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】D．第1 页共32 页考点：作图—复杂作图．考点：作图—复杂作图．2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（下列结论错误的是（ ）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 【答案】D．【解析】【解析】试题分析：∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．直角三角形斜边上的中线．．直角三角形斜边上的中线． 3．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（的度数，结果为（ ）A．80°B．90°C．100°D．105°【答案】B．【解析】【解析】试题分析：如图，试题分析：如图，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．作图—基本作图．基本作图．4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．的长是（ ）若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D．基本作图．考点：1．平行线分线段成比例；2．菱形的判定与性质；3．作图—基本作图．5．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（ ）规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（A．B．C．D．【答案】A．考点：作图—基本作图．考点：作图—基本作图．6．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB=c ，一条直角边BC=a ．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是（是直角的依据是（ ）A ．勾股定理．勾股定理B ．直径所对的圆心角是直角．直径所对的圆心角是直角C ．勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理D ．90°的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径 【答案】B ． 【解析】【解析】试题分析：由作图痕迹可以看出O 为AB 的中点，以O 为圆心，AB 为半径作圆，然后以B 为圆心BC=a 为半径花弧与圆O 交于一点C ，故∠ACB 是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角．故选B ． 考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理的逆定理；3．圆周 角定理．角定理．7．如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP=3172，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）证明，∴只需连接一对角线就行）【答案】作图见试题解析．【答案】作图见试题解析．考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图．8．）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是 ．请回答：小芸的作图依据是【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．．作图题．考点：1．作图—基本作图；2．作图题．9．已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．上．（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）如图2，设∠BAC 的平分线AD 交BC 于E ，⊙O 半径为5，AC=4，连接OD 交BC 于F ．①求证：OD ⊥BC ； ②求EF 的长．的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2）①证明见试题解析；②3217．【解析】【解析】 试题分析：（1）按照作角平分线的方法作出即可；）按照作角平分线的方法作出即可；（2）①由AD 是∠BAC 的平分线，得到CD BD =，再由垂径定理推论可得到结论；，再由垂径定理推论可得到结论；②由勾股定理求得CF 的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得34EFFD CEAC==，即可求得37EF CF =，继而求得EF 的长．的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周．压轴题．角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）【答案】答案见试题解析．【答案】答案见试题解析．【解析】【解析】试题分析：①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取试题解析：满足条件的所有图形如图所示：试题解析：满足条件的所有图形如图所示：考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质；5．综合题；6．压轴题．．压轴题．11．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD ，已知OA=5，若扇形OAD （∠AOD ＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 ．【答案】（1）作图见试题解析；（2）158．【解析】【解析】 试题分析：（1）作AE 的垂直平分线交⊙O 于C ，G ，作∠AOG ，∠EOG 的角平分线，分别交⊙O 于H ，F ，反向延长，反向延长 FO ，HO ，分别交⊙O 于D ，B 顺次连接A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，八边形ABCDEFGH 即为所求；即为所求； （2）由八边形ABCDEFGH 是正八边形，求得∠AOD 的度数，得到AD 的长，设这个圆锥底面圆的半径为R ，根据圆的周长的公式即可求得结论．，根据圆的周长的公式即可求得结论． 试题解析：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH 即为所求；即为所求；（2）∵八边形ABCDEFGH 是正八边形，∴∠AOD=3608×3=135°，∵OA=5，∴AD 的长=1355180p ´=154p ，设这个圆锥底面圆的半径为R ，∴2πR=154p，∴R=158，即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图．复杂作图．12．手工课上，老师要求同学们将边长为4cm 的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）【答案】答案见试题解析．【答案】答案见试题解析．（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；得到的最小等腰直角三角形面积即可；（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．试题解析：根据分析，可得：试题解析：根据分析，可得：．．操作型．考点：1．作图—应用与设计作图；2．操作型．13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB）．（要求保留作图痕迹，不写作法）（1）用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）所在圆的半径．（2）若AB的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求AB所在圆的半径．【答案】（1）作图见试题解析；（2）50m．试题解析：（1）如图1，点O为所求；为所求；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=12AB=40，设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，在Rt△OAD中，∵222OA OD BD=+，∴222(20)40r r=-+，解得r=50，即AB所在圆的半径是50m．考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理；3．垂径定理的应用；4．作图题．．作图题．14．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．的度数．【答案】（1）证明见试题解析；（2）40°．°．考点：1．作图—基本作图；2．等腰三角形的判定与性质．．等腰三角形的判定与性质．15．如图，射线P A切⊙O于点A，连接PO．（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OP A（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明PC是⊙O的切线；的切线；（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求AB的长．的长．【答案】（1）作图见试题解析，证明见试题解析；（2）839p．【解析】【解析】试题分析：（1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，由角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；的切线；（2）先证明△P AB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．，用弧长公式计算即可．试题解析：（1）作图如右图，作图如右图，连接连接OA，过O作OB⊥PC，∵P A切⊙O于点A，∴OA⊥P A，又∵∠OPC=∠OP A ，OB ⊥PC ，∴OA=OB ，即d=r ，∴PC 是⊙O 的切线；的切线；（2）∵P A 、PC 是⊙O 的切线，∴PA=PB ，又∵AB=AP=4，∴△P AB 是等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt △AOP 中，tan60°tan60°==4OA ，∴OA=433，∴431203180AB l p ´´==839p ．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算；3．作图—基本作图．基本作图．16．如图，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB=30°．（1）利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接CD （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．的面积之比．【答案】（1）作图见试题解析；（2）12．试题解析：（1）如图所示；）如图所示；考点：1．作图—复杂作图；2．圆周角定理．．圆周角定理．17．）图①，图②，图③都是4×4×44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：图：为一边画一个等腰三角形；（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；为一边画一个正方形；（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．）作图见试题解析．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）作图见试题解析．【解析】【解析】的等腰三角形即可； 试题分析：（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为5的等腰三角形即可；的正方形；（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为5的正方形；（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．个：试题解析：（1）如图①，符合条件的C点有5个：；的面积最大．（3）如图③，边长为10的正方形ABCD的面积最大．．考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图．18．）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均，每个小正方形的顶点叫做格点．为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．【答案】（1）答案见试题解析；（2）答案见试题解析．）答案见试题解析．所示；试题解析：（1）如图1所示；（2）如图2、3所示；所示；考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图． 19．）如图，已知Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝45°． （1）（4分）用尺规作图，在CA 的延长线上截取AD ＝AB ，并连接BD （不写作法，保留作图痕迹）； （2）（4分）求∠BDC 的度数；的度数； （3）（4分）定义：在直角三角形中，一个锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ÐÐ=cot ，根据定义，利用图形求cot22.5°的值．的值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）22.5°；（3）21+．试题解析：（1）如图，）如图，（2）∵AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD ，而∠BAC=∠ADB+∠ABD ，∴∠ADB=12∠BAC=12×45°45°=22.5°=22.5°，即∠BDC 的度数为22.5°；（3）设AC=x ，∵∠C=90°，∠BAC=45°，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴BC=AC=x ，AB=2AC=2x ，∴AD=AB=2x ，∴CD=2x x +=(21)x +，在Rt △BCD 中，cot∠BDC=DC BC =(21)xx+=21+，即cot22.5°cot22.5°==21+． 考点：1．作图—复杂作图；2．解直角三角形；3．新定义；4．综合题．．综合题．20．）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．（1）尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；作法，请标明字母；（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求DE 的长．的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2）32p ．试题解析：（1）如图，）如图，⊙C 为所求；为所求；（2）∵⊙C 切AB 于D ，∴CD ⊥AB ，∴∠ADC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°30°=60°=60°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，在Rt △BCD 中，∵cos ∠BCD=CD BC ，∴CD=3cos30°CD=3cos30°==332，∴DE 的长=33602180p ×=32p． 考点：1．作图—复杂作图；2．切线的性质；3．弧长的计算；4．作图题．．作图题．21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠DAC 是△ABC 的一个外角．的一个外角． 实验与操作：实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法） （1）作∠DAC 的平分线AM ；（2）作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接AE ，CF ． 猜想并判断四边形AECF 的形状并加以证明．的形状并加以证明．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析，四边形AECF 的形状为菱形．的形状为菱形． 【解析】【解析】考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质；4．作图题；5．探究型；6．菱形的判定．．菱形的判定．22．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点若多边形的各顶点都在方格纸的格点若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为1-+=nb ma S ，其中m ，n 为常数．为常数． （1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；、菱形；（2）利用（1）中的格点多边形确定m ，n 的值．的值．【答案】（1）答案见试题解析；（2）112m n =ìïí=ïî．（2）∵格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为：1-+=nb ma S ，其中m ， n 为常数，为常数，∴三角形：3816S m n =+-=，平行四边形：3816S m n =+-=，菱形：5416S m n =+-=，则38165416m n m n +-=ìí+-=î，解得：112m n =ìïí=ïî． 考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图．23．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a ，b ，c ，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．的整数个单位长度． （1）用记号（a ，b ，c ）（a≤b≤c ）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a ＜b ＜c 的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）；（2）答案见试题解析．）答案见试题解析． 【解析】【解析】 试题分析：（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：①作射线AB ，且取AB=4；②以点A 为圆心，3为半径画弧；以点B 为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C ； ③连接AC 、BC ．则△ABC 即为满足条件的三角形．即为满足条件的三角形．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系．．三角形三边关系．24．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．如何计算如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick ，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式121-+=b a S ，其中a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图，4=a ，6=b ，616214=-´+=S ．（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．个格点，并写出它的面积．（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为27，且每条边上除顶点外无其它格点．（注：图甲、图乙在答题纸上）（注：图甲、图乙在答题纸上）【答案】． 【解析】【解析】 试题分析：（1）根据皮克公式画图计算即可；）根据皮克公式画图计算即可；（2）根据题意可知a=3，b=3，画出满足题意的图形即可．，画出满足题意的图形即可． 试题解析：（1）方法不唯一，如图①或图②所示：）方法不唯一，如图①或图②所示：（2）方法不唯一，如图③或图④所示：）方法不唯一，如图③或图④所示：考点：作图—应用与设计作图．考点：作图—应用与设计作图． 25．【问题提出】【问题提出】用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 【问题探究】【问题探究】不妨假设能搭成m 种不同的等腰三角形，为探究m 与n 之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论． 【探究一】【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形．此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．根木棒这一种情况，不能搭成三角形． 所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1． 综上所述，可得：表①综上所述，可得：表①n 3 4 5 6 m 1 0 1 1 【探究二】【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （只需把结果填在表②中）（只需把结果填在表②中） 表②表②n 7 8 9 10 m 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n是正整数，把结果填在表③中）分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2 m 【问题应用】：（写能搭成多少种不同的等腰三角形？（写用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余）（只填结果）出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了，其中面积最大的等腰三角形每腰用了 根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？试题解析：（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，能搭成二种等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形三角形根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=10时，m=2．故答案为：2；1；2；2．问题解决：由规律可知，答案为：k；k﹣1；k；k．问题应用：2016÷2016÷4=5044=504，504﹣1=503，当三角形是等边三角形时，面积最大，2016÷2016÷3=6723=672，∴用2016根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．根木棒．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．．压轴题．【2014年题组】年题组】1．）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是（ ）A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS 【答案】B ．考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．2．模）如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别如下：下：甲：①作OD 的垂直平分线，交⊙O 于B ，C 两点．两点． ②连接AB ，AC ．△ABC 即为所求作的三角形．即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．两点．即为所求作的三角形．②连接AB，BC，CA．△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）对于甲、乙两人的作法，可判断（A．甲、乙均正确．甲、乙均错误．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误．甲错误，乙正确．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【答案】A．【解析】【解析】试题分析：根据甲的思路，作出图形如下：试题分析：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，BD,∵OD=BD，OD=OB,∴OD=BD=OB,∴△BOD为等边三角形,∴∠OBD=∠BOD=60°,又BC垂直平分OD，∴OM=DM,∴BM为∠OBD的平分线,∴∠OBM=∠DBM=30°,又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角,∴∠BAO=∠ABO=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,同理∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,∴△ABC 为等边三角形,故乙作法正确,故选A 考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．度角的直角三角形．3．）如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是，并直接写出旋转角度是 ．【答案】90°．°．【解析】【解析】试题分析：如图所示：旋转角度是90°．°．考点：作图-旋转变换．旋转变换．4．）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为的度数为 【答案】105°．°．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．5．）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，。
中考复习25题新定义题型
中考题号复习：25题题型分析：1. 交点类问题：**点（联立解析式，运用韦达定理）2. 两个函数关系类问题：**函数（会运用到交点和最值，二次函数与x 轴交点的分布区间）3. 单个函数的性质：**函数，**点，**数（增减性、最值、斜率公式、弦长公式、点到直线的距离公式）公式分类1. 斜率公式：()()2211,,,y x B y x A 2121x x y y k --=2. 弦长公式：()()2211,,,y x B y x A 在直线b kx y +=上2121x x k AB -+=3. 点到直线的距离公式：()00,y x A 到直线b kx y +=的距离2001kb y kx d ++-=4. 二次函数最值求解5. 一元二次方程根区间分布情况一、交点类问题1. 运用联立解析式和韦达定理例1 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点)1,1(--，)0,0(，)2,2(，…都是“梦之点”．显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P （2，m ）是反比例函数ny x=（n 为常数，n ≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数31y kx s =+-（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，说明理由；（3）若二次函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A 11(,)x x ，B 22(,)x x ，且满足2-＜1x ＜2，12x x -=2，令4815722+-=b b t ，试求t 的取值范围．“诚信点”在平面直角坐标系中，如果点P 的纵坐标是横坐标的二倍，则称点P 是“诚信点”。
例如点())22,2(),4,2(,2,1--，…都是“诚信点”，显然“诚信点”有无数个。
（1）若点P （6,m ）是反比例函数xny =（n 为常数，0≠n ）的图像上的“诚信点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数q p q px y ,(2+=为常数）的图像上存在“诚信点”吗？若存在，请求出“诚信点”的坐标。
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中考专题训练之
25题(一)角平分线模型
1.如图，OF 是/ MON 的平分线，点 A 在射线 OM 上，P, Q 是直线 ON 上的两动点，点 Q 在点P 的右侧, 且PQ=OA ,作线段OQ 的垂直平分线，分别交直线 OF 、ON 交于点B 、点C ,连接AB 、PB.
(1) 如图1,当P 、Q 两点都在射线 ON 上时，请直接写出线段 AB 与PB 的数量关系;
(2) 如图2,当P 、Q 两点都在射线 ON 的反向延长线上时， 线段AB , PB 是否还存在(1)中的数量关系?
若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由;
AP
(3) 如图3, / MON=60°,连接AP ,设—— =k ,当P 和Q 两点都在射线 ON 上移动时，k 是否存在最小
OQ
2.如图，/ MAN=60 , AP 平分/ MAN ，点B 是射线AP 上一定点，点 C 在直线 AN 上运动，连接 BC,将/ ABC (0 °</ ABC V 120 °)的两边射线 BC 和BA 分别绕点B 顺时针旋转120。
，旋转后角的两边分别与射线 AM 交于点D 和点E.
(1)如图1,当点C 在射线AN 上时,
值？若存在，请直接写出 k 的最小值；若不存在，请说明理由.
P
2,将^EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边 DE 、DF'分别与直线AB 、BC 相交于点G 、P , 当△DGP 的面积等于3讥时，求旋转角的大小并指明旋转方向.
①请判断线段BC 与BD 的数量关系，直接写出结论;
②请探究线段 AC, AD 和BE 之间的数量关系，写出结论并证明;
(2)如图2，当点C 在射线AN 的反向延长线上时，BC 交射线
AM 于点F ,若AB=4, AC='0，请直接写出 线段AD 和DF 的长.
中考专题训练之25题(二)等边三角形模型
1.已知：△ ABC 和^ ADE 均为等边三角形，连接 BE, CD,点F ,
G , H 分别为DE, BE , CD 中点. (1)当^ ADE 绕点A 旋转时，如图1,则^ FGH 的形状为 ，说明理由;
(2)在^ ADE 旋转的过程中，当 B , D , E 三点共线时，如图 2，若AB=3, AD=2，求线段FH 的长;
(3)在^ ADE 旋转的过程中，若 AB=a, AD=b (a >b >0),则^ FGH 的周长是否存在最大值和最小值，若
存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由.
2.如图，在菱形 ABCD 中, AB=2 , / BAD=60°，过点D 作DE 丄AB 于点E , DF 丄BC 于点F .
(1)如图 1，连接AC 分别交DE 、
DF 于点 M 、N ，求证：MN=^AC ；
0 (2)如图 连接GP ,
中考专题训练之25题三等腰直角三角形模型
1.如图1，在Rt A ABC 中，/ ACB=90°, AC=BC 点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC连接DE、AE、BD,点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、
MN .
D
J
-■亠
D E
备用圉BE与MN的数量关系是
(2) 将^ DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置, 判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出
证明过程，若不成立，请说明理由;
(3)若CB=6 CE=2,在将图1中的△ DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中, B、E、D三点在一条直线上时，MN的长度为
2..已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点(不与点B重合)，连接AD •
90°得到线段AE，连接CE.求(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转
证：BD=CE , BD丄CE•
(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；(3)若BD=ME C D，直接写出/ BAD的度数.
E
备用圉
中考专题训练之25题四，图形变换类型
，过点B的直线MN // AC , D为BC边上一点，连接AD，作DE丄AD
2.在A ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点
/ DCF=90时，直接写出AG与DG的位置和数量关系;
如图①，当/ ABC=45时, 求证: AD=DE ;
如图②，当/ ABC=30 时, 线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由;
当/ ABC a时，请直接写出线段AD与DE的数量关系.(用含a的三角函数表示)
1..在Rt△ ABC 中，/ BAC=90°
交MN于点E，连接AE .
G是BE的中点，连接AG、DG .
(1)如图①，当/ BAC=
(2)如图②，当/ BAC=/ DCF=60时，试探究AG与DG的位置和数量关系,
3.已知：Rt A A' BC'B Rt△ ABC, / A' C B=/ ACB=90°，/ A' BC =/ABC=60°，Rt A A' BC 可绕点B 旋转，设旋转过程中直线CC'和AA'相交于点D.
（1）如图1所示，当点C在AB边上时，判断线段AD和线段A D之间的数量关系，并证明你的结论;
（2）将Rt A A' BC由图1的位置旋转到图2的位置时，（1 ）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
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（3）将Rt A A' BC'由图1的位置按顺时针方向旋转
上时，请直接写出旋转角的度数.
%角（O°WaW 120当A、C'、A'三点在一条直线。