线代试题
郑州航空工业管理学院2006—2007学年第一学期
课程考试试卷（A ）卷。
一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若
122
21
1211=a a a a ，则=1
6
0030
322
2112
11a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则
__________1=-B 。
4. 若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是
______________。
5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________。
6. 设A 为三阶可逆阵，???
?
?
??=-1230120011
A ，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是
8.已知五阶行列式1
234532*********
14035
4321=D ，则=++++4544434241A A A A A
9. 向量α=(2,1,0,2)T
-的模（范数）为______________
。 10.若()T
k 11=α与()T
121-=β正交，则=k
二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则( )
Ａ．s r = Ｂ．s r ≤
Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <
2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A ( )
Ａ．8 Ｂ．8-
Ｃ．34 Ｄ．3
4-
3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )
Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <
Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*
kA 等于_____。
)(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1 )(D *A 5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)( )(D 22))((B A B A B A -=-+
三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分）
1. 计算n 阶行列式22221
M =D 2
22
22M
2
2322M ΛΛO ΛΛΛ
2
1222-n M n
22
22M 。 2．设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且2
1
=A ，求*A A 2)3(1--. 3．求矩阵的逆
111211120A ?? ?=- ? ???
4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组2
123123123
1x x x x x x x x x λλλλλ?++=?
++=??++=?
① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。
5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
???
??=++=+++=+++5
221322431
43214321x x x x x x x x x x x 6.已知向量组()T 32011=α、()T
53112=α、()T
13113-=α、
()T 94214=α、()T
52115=α，求此向量组的一个最大无关组，并把其余
向量用该最大无关组线性表示．
7. 求矩阵???
?
? ??--=201034011A 的特征值和特征向量．
四、证明题（本题总计10分）
设η为b AX =()0≠b 的一个解，12,n r ξξξ-L L 为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，证明12,,n r ξξξη-L L 线性无关。
郑州航空工业管理学院2007—2008学年第 一 学期
课程考试试卷（A ）卷
一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分） 1. 排列6573412的逆序数是 ．
2.函数()f x = 21
1
12
x
x x
x x
---中3x 的系数是 ． 3．设三阶方阵A 的行列式3A =,则*1()A -= ．
4．n 元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是 ．
5．设向量(1,2,1)T α=--，β=???
?
?
??-22λ正交，则λ= ．
6．三阶方阵A 的特征值为1，1-，2，则A ＝ ．
7. 设1
121021003A --?? ?=- ? ???
，则_________A *=.
8. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________．
9．设A 为n 阶方阵，且A ＝2 则1*1
()3
A A --+= ．
10．已知20022311A x -?? ?= ? ???相似于12B y -??
?
=
? ???
，则=x ，=y ．
二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）
1. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则A －5等于 ． (A) (5)n D - (B)-5D (C) 5D (D)1(5)n D --
2. n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 .
(A) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 (B) 矩阵A 有n 个特征值 (C) 矩阵A 的行列式0A ≠ (D) 矩阵A 的特征方程没有重根
3．A 为m n ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充要条件是 ．
(A)(,)R A b m < (B)()R A m < (C)()(,)R A R A b n == (D)()(,)R A R A b n =<
4.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )
(A)．)()(A R B R ≤
(B)．)()(A R B R <
(C)．)()(A R B R = (D)．)()(A R B R ≥
5. 向量组12,,,s αααL 线性相关且秩为r ，则 ．
(A)r s = (B) r s < (C) r s > (D) s r ≤
三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）
1. 计算n 阶行列式: 22221
M =D 2
22
22
M
2
2322M ΛΛO ΛΛΛ
2
1222-n M n
22
22M . 2．已知矩阵方程AX A X =+，求矩阵X ,其中220213010A ?? ?
= ? ???
.
3. 设n 阶方阵A 满足0422=--E A A ,证明3A E -可逆，并求1
(3)A E --.
4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:
12341234
12342342323883295234
x x x x x x x x x x x x x x x +++=??-++=??
-+--=-??--=-? 5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．
123421234,1,3,5.2012αααα????????
? ? ? ?
==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????
6．已知二次型：3231212
32221
321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=， 用正交变换化),,(321x x x f 为标准形，并求出其正交变换矩阵Q ．
四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）
设11b a =, 212b a a =+ , L , 12r r b a a a =+++L , 且向量组r a a a ,,,21Λ线性无关，证明向量组r b b b ,,,21Λ线性无关.
郑州航空工业管理学院2006—2007学年第二学期
课程考试试卷（B ）卷
一、填空题（本题总计20分，每小题2分）
1、按自然数从小到大为标准次序，则排列(2)(22)2n n -L 的逆序数为
2、设4阶行列式4a
b c d d a c d D b d c a
a
d
c b
=
，则11213141A A A A +++=
3、已知1103027002A ??
?
= ? ???
，则()1*A -=
4、已知n 阶矩阵A 、B 满足A B BA +=，则()1
E B --=
5、若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组A =x 0只有零解的充分必要条件是
6、若A 为n m ?矩阵，且()3min{,}R A n m =<，则齐次线性方程组A =x 0的基础解
系中包含解向量的个数为
7、若向量()123T
α=-与向量()11T
βλ=正交，则λ= 8、若三阶方阵A 的特征多项式为2(1)(1)A E λλλ-=-+-，则A =
9、设三阶方阵1223A αγγ?? ?= ? ???、12B βγγ?? ?
= ? ???
，已知6A =，1B =，则A B -=
10、设向量组123,,ααα线性无关，则当常数l 满足 时，向量组
213213,,l αααααα---线性无关.
二、选择题（本题总计10分，每小题2分）
1、 以下等式正确的是( )
Ａ．???? ??=???? ??d c b a k d kc b ka
Ｂ．
d c b a k kd kc kb ka =
Ｃ．????
??=???? ?
?++d c b a d c d b c a Ｄ．
a
b c d
d
c b a =
2、 4阶行列式det()ij a 中的项11334422a a a a 和24311342a a a a 的符号分别为（ ） Ａ．正、正
Ｂ．正、负 Ｃ．负、负
Ｄ．负、正
3、 设A 是m n ?矩阵，C 是n 阶可逆阵，满足B ＝AC. 若A 和B 的秩分别为A r 和
B r ，则有( )
Ａ．A B r r > Ｂ．A B r r <
Ｃ．A B r r =
Ｄ．以上都不正确
4、 设A 是m n ?矩阵，且()R A m n =<，则非齐次线性方程组A =x b ( ) Ａ．有无穷多解 Ｂ．有唯一解 Ｃ．无解
Ｄ．无法判断解的情况
5、已知向量组1234,,,αααα线性无关，则以下线性无关的向量组是（ ） Ａ．12233441,,,αααααααα++++ Ｂ．12233441,,,αααααααα---- Ｃ．12233441,,,αααααααα+++-
Ｄ．12233441,,,αααααααα++--
三、计算题（本题总计60分，每小题10分）
1． 求矩阵1124-??
= ???A 的特征值和特征向量．
2． 计算1n +阶行列式
0111111
00100100
01
n n n a a D a a +-=L L
M M
M M L 3． 已知矩阵010100001A ?? ?= ? ???，100001010B ?? ?= ? ???，143201120C -?? ?
=- ? ?-??
，且满足AXB C =，
求矩阵X.
4． 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解
1234512345
23451234513233226054335
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??
+++=??+++-=? 5． 已知矩阵1211
211214642246
3979A ---?? ?
-- ?
= ?
--- ?
--??
，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，
并把其余向量用该最大无关组线性表示．
6． 已知A 为三阶矩阵，且2A =-，求()1
*1312A A -??
+ ???
四、证明题（本题总计10分）
设向量组12,,,n αααL 中前1n -个向量线性相关，后1n -个向量线性无关，试证： （1）1α可由向量组231,,,n ααα-L 线性表示； （2）n α不能由向量组121,,,n ααα-L 线性表示.
郑州航空工业管理学院2007—2008学年第一学期
课程考试试卷（A ）卷
一、填空题（本题总计16分，每小题2分）
9、按自然数从小到大为标准次序，则排列13(21)24(2)n n -L
L 的逆序
数为
10、
4阶行列式412
4811
1
11416
64
1525125
D =
=
11、
已知1110029002A -??
?
= ? ???
，*A 为A 的伴随矩阵，则()1*A -=
12、 已知n 阶方阵A 和B 满足BA A B =+，则()1
E B --= 13、
已知A 为m n ?矩阵，且()min{,}R A r m n =<，则以A 为系数矩阵的齐次线
性方程组A =x 0的基础解系中包含解向量的个数为 14、
已知四维列向量()
T
31521=α、()
T
1051102=α、
()T 11143-=α，且()()()x x x +=++-321523ααα，则=x
15、 把向量()1022T
α=-单位化得
16、
若三阶方阵A 的特征多项式为2()(1)(1)f λλλ=-+-，则2A E -=
二、选择题（本题总计14分，每小题2分）
5、 已知,,,,a b c d k R ∈，则以下等式正确的是( )
Ａ．???? ??=???? ??d c b a k d kc b ka
Ｂ．
d c b a k kd kc kb ka =
Ｃ．???
?
??=???? ??++d c b a d c d b c a Ｄ．
a
b c d
d
c b a =
6、 设A 和B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（ ）
Ａ．若AB AC =，则B C = Ｂ．若0AB =，则0A =或0B = Ｃ．若0AB =，则0A =或0B = Ｄ．若0A E -=，则A E = 7、 设A 是m n ?矩阵，且()R A m n =<，则非齐次线性方程组A =x b ( ) Ａ．有唯一解 Ｂ．有无穷多解
Ｃ．无解 Ｄ．无法判断解的情况 8、 向量组的秩就是向量组的（ ）
Ａ．极大无关组中的向量 Ｂ．线性无关组中的向量 Ｃ．极大无关组中的向量的个数 Ｄ．线性无关组中的向量的个数 9、 已知n 阶方阵A 、B 和C 满足ABC=E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则1B -=( )
Ａ．11A C -- Ｂ．AC Ｃ．CA
Ｄ．11C A --
10、
设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且4
1
=
A ，则=--*A A 3)4(1（ ） Ａ．
2716 Ｂ．2716- Ｃ．21 Ｄ．2
1-
11、
已知n 元齐次线性方程组A =x 0的系数矩阵的秩等于n-3，且123,,ααα是
A =x 0的三个线性无关的解向量，则A =x 0的基础解系可为（ ） Ａ．122331,,αααααα+++ Ｂ．312123,,αααααα+++ Ｃ．122331,,αααααα---
Ｄ．122331,,αααααα++-
三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7每小题9分）
7． 计算n 阶行列式
n x a a a a x a a D a a x a a a a x
=L L
L
M M M M L
8． 已知三阶方阵100110111A -?? ?
=- ? ?-??，求21(2)(4)A E A E ---
9． 已知矩阵121210110A ?? ?=- ? ?
??
，010210021B ?? ?
= ? ???，求AB BA -.
10． 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组
的通解
1212341
234522153223
x x x x x x x x x x +=??
+++=??+++=? 11．
判定向量组123(2,1,1,1),(0,3,2,0),(2,4,3,1)T T T ααα=--=-=--的线性相关
性。
12．
已知矩阵1122
22011
2110242112
3A ??
?-
?= ?--
???
，求矩阵A 的秩及列向量组的一个最大无关组.
13．
已知211020413A -?? ?
= ? ?-??
，求可逆阵P ，使得1P AP -为对角阵.
四、证明题（本题总计10分）
设η为非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,r ξξξL 为对应齐次线性方程组的基础解系.试证：向量组12,,,,r ηξξξL 线性无关。
郑州航空工业管理学院2006—2007学年第一学期
课程考试试卷（A ）卷
一、填空题（本题总计16分，每小题2分） 17、 排列7623451的逆序数是 18、
若
122
21
1211=a a a a ，则=1
6
0030
322
2112
11a a a a 19、 设A 为三阶可逆阵，???
?
?
??=-1230120011
A ，则=*A 20、
若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 21、
已知五阶行列式1
234532*********
14035
4321=D ，则=++++4544434241A A A A A
22、 若n 元齐次线性方程组0Ax =的系数矩阵A 的秩为n-1 ，则其解空间的
维数为 23、 若()T
k 11=α与()T
121-=β正交，则=k
24、
若矩阵A 的特征值分别为1、－1、2 ，则2+-=A A E
二、选择题（本题总计20分，每小题2分）
12、
若齐次线性方程组???
??=+++=+++=+++0
)1(0)1(0)1(321
321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解，则λ的范围为( )
Ａ．0≠λ Ｂ．3-≠λ
Ｃ．0≠λ且3-≠λ Ｄ．0=λ且3-=λ 13、 设n 阶矩阵A 和B 满足AB=0，则( ) Ａ．00==B A 或 Ｂ．00==B A 或 Ｃ．0B A =+ Ｄ．0=+B A
14、
设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且2
1
=
A ，则=--*A A 2)3(1( ) Ａ．2716-
Ｂ．31- Ｃ．31 Ｄ．27
16
15、
向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则( )
Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <
16、 设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ) Ａ．)()(A R B R ≤
Ｂ．)()(A R B R <
Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 17、
若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A ( )
Ａ．8 Ｂ．8-
Ｃ．34 Ｄ．34-
18、
若n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩()n R
( )
Ａ．有唯一解 Ｂ．有无穷多解 Ｃ．无解 Ｄ．无法判断解的情况 19、 n 阶方阵A 的秩n r <的充要条件为( ) Ａ．A 有r 阶子式不等于零 Ｂ．A 的1+r 阶子式都为零
Ｃ．A 的任一个r 阶子式都不等于零
Ｄ．A 的任1+r 个列向量线性相关，而有r 个列向量线性无关 20、
设非齐次线性方程组b Ax =有两个不同的解为21,αα，则下列向量是方程
组的解是( ) Ａ．21αα+
Ｂ．21αα-
Ｃ．213
1
32αα+
Ｄ．R k k k k ∈+212211,,其中αα
21、
已知n 阶方阵A 、B 和C 满足ABC=E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则=-1B ( )
Ａ．11--C A Ｂ．AC
Ｃ．CA
Ｄ．11--A C
三、计算题（本题总计56分，5、6每小题10分，其他每小题9分）
14． 已知矩阵111111111?? ?=- ? ?
-??
A ，121111001?? ?
=- ? ?-??B ，求2-AB A 及T B A .
15．
求n 阶行列式的值
a b b b b a b b b b a b b b b a D Λ
M M M M Λ
ΛΛ
=
16．
求矩阵的逆
????
? ??=343122321A
17． 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组
的通解
??????
?=-+++=+++=-+++=++++433546622033225432154315432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
18．
已知向量组()T 32011=α、()T
53112=α、()T
13113-=α、
()T 94214=α、()T
52115=α，求此向量组的一个最大无关组，并把
其余向量用该最大无关组线性表示． 19．
求矩阵???
?
? ??--=201034011A 的特征值和特征向量．
四、证明题（本题总计8分）
已知向量组（Ⅰ）
321,,ααα，
（Ⅱ）4321,,,αααα，
（Ⅲ）5321,,,αααα，如果各向量组的秩分别为3、3、4．证明：向量组45321,,,ααααα-的秩为4．
郑州航空工业管理学院2006—2007学年第一学期
课程考试试卷（B ）卷
一、填空题（本题总计20分，每小题2分）
25、 排列7546312的逆序数是
26、
322
21
1211=a a a a ，则=1
5
0440
2212
2111a a a a 27、
设A 为四阶矩阵，??
?
??
?
?
?
?--=100023003120
2121A ，则=*
A
28、 已知n 阶方阵A 、B 和C 满足ABC ＝E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则=-1A 29、 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组b Ax =有无穷个解的充要条件是 30、
已知四维列向量()
T
31521=α、()
T
1051102=α、
()T 11143-=α，且()()()x x x +=++-321523ααα，则=x
31、 若n 元齐次线性方程组0Ax =的系数矩阵的秩为5-n ，则其解空间的维数为 32、 已知向量()T
0212-=α，则=α
33、 若()T 321-=α与()T
k
11-=β正交，则=k
34、
若矩阵A 的特征值分别为1、2、3 ，则=+-E A A 722
二、选择题（本题总计20分，每小题2分）
22、
若齐次线性方程组???
??=++=++=++0
200321
321321x bx x x bx x x x ax 有非零解，则
Ａ．1-=a Ｂ．01≠≠b a 且 Ｃ．1-≠a Ｄ．01==b a 或 23、
设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则=-A 5
Ａ．D 5
Ｂ． D 5- Ｃ．D n )5(-
Ｄ．D n 1)5(--
24、
以下等式正确的是
Ａ．???
?
??=???? ??d c b a k d kc b ka
Ｂ．
d c b a k kd kc kb ka =
Ｃ．????
??=???? ??++d c b a d c d b c a Ｄ．
a
b c d
d
c b a =
25、
设向量组B 能由向量组A 线性表示，则
Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <
Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥
26、
矩阵A 、B 、C 满足C ＝AB ，则
A ．)()(C A R R ≤
Ｂ．)()(C B R R ≤
Ｃ．)()(C A R R ≤且)()(C B R R ≤ Ｄ．)()(A C R R ≤且)()(B C R R ≤
27、
设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且4
1
=
A ，则=--*A A 3)4(1 Ａ．
2716 Ｂ．2716- Ｃ．21 Ｄ．2
1-
28、
设非齐次线性方程组b Ax =有两个不同的解为21,αα，则下列向量是方程
组的解是 Ａ．21αα+
Ｂ．2123αα-
Ｃ．215
2
52αα+
Ｄ．R k k k k ∈+212211,,其中αα
29、
若n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩()n R
Ａ．有唯一解 Ｂ．有无穷多解 Ｃ．无解 Ｄ．无法判断解的情况 30、 n 阶方阵A 的元素全为n ，则A 的秩为 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1-n Ｄ．n 31、
若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A
Ａ．8
Ｂ．8-
Ｃ．3
4
Ｄ．3
4
-
三、计算题（本题总计50分，每小题10分）
20．
计算n 阶行列式
n
D n Λ
M M M M Λ
ΛΛ22223222
2222221= 21．
求矩阵A 的逆
????
? ??=121213421A
22． 求非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的基础解系及原方程组的通解
???
??=--+=--+-=++--5
3275833134321
43214321x x x x x x x x x x x x 23． 已知向量组
()T
40111-=α、
()T
65122=α、
()T 02113--=α、()T
147034=α、()T 103145-=α，求此向量
组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示． 24．
求矩阵???
?
? ??-=124042011A 的特征值和特征向量．
四、证明题（本题总计10分）
已知矩阵n m ?A 和m n ?B 满足AB=E ，其中E 为m 阶单位矩阵，且n m <， 证明：A 的行向量组和B 的列向量组都线性无关.