2021年中考数学压轴题提升训练圆中证明及存在性问题含解析

圆中证明及存在性问题

【例1】.如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF∥AB，连接DF，AF.

（1）求证：△ABC≌△ABF；

（2）当∠CAB=时，四边形ADFE为菱形；

（3）当AB=时，四边形ACBF为正方形.

B

E

【分析】（1）由EF∥AB，得∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，又∠AEF=∠AFE，得：∠BAC=∠BAF，又AB=AB，AC=AF，证得△ABC≌△ABF；（2）连接FC，根据ADFE为菱形，确定出∠CAB的度数；（3）由四边形ACBF是

正方形，得AB=

AC.

【解析】解：（1）∵EF∥AB，

∴∠EFA=∠FAB，∠CAB=∠AEF，

∵AE=AF，

∴∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠BAF，

又AB=AB，AC=AF，∴△ABC≌△ABF（SAS）；（2）如图，连接FC，

B

E

∵四边形ADFE是菱形，

∴AE=EF=FD=AD，

∵CE=2AE，∠CFE=90°，

∴∠ECF=30°，∠CEF=60°，

∵EF∥AB，

∴∠AEF=∠CAB=60°，

故答案为：60°；

（3）由四边形ACBF是正方形，得AB AC.

【变式1-1】.如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC．

（1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC；

（2）填空：

①若AB＝2，则△AOE的最大面积为；

②当DA与⊙O相切时，若AB，则AC的长为．

【答案】（1）见解析；（2）1 2；1.

【解析】解：（1）连接AC，

∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BD，

∵AD＝AB，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝EC，又∵OB=OE，OC=OC，

∴△OBC ≌△OEC （SSS ），

（2）①∵AB ＝2，

∴OA ＝1，

设△AOE 的边OA 上的高为x ，

∴S △AOE ＝1

2OA ×h ＝1

2h ，

要使S △AOE 最大，需h 最大，

点E 在⊙O 上，h 最大是半径，

即：h 最大＝1

∴S △AOE 最大为：12；②如图所示，

当DA 与⊙O 相切时，则∠DAB ＝90°，

∵AD ＝AB ，

∴∠ABD ＝45°，

∵AB 是直径，

∴∠ADB ＝90°，

∴AC ＝BC ＝2AB =1.

【例2】.如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，

与CA 的延长线相交于点

E ，过点D 作D

F ⊥AC 于点F ．

（1）试说明DF 是⊙O 的切线；

（2）①当∠C =°时，四边形AODF 为矩形；

②当tanC =时，AC =3AE ．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）证明：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，点D在⊙O上，

∴DF是⊙O的切线；

（2）45°，理由如下：

由四边形AODF为矩形，得∠BOD=90°，∴∠B=45°，

∴∠C=∠B=45°，

故答案为：45°；

（3）2

2，理由如下，

连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE 2=AB 2－AE 2=8AE 2，

即BE =AE ，

在Rt △BEC 中，tanC =

42BE CE CE ==.

故答案为：2

.【变式2-1】.如图，在△ABC 中，AB =AC =4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点P 是AB 的延长线上一点，且∠PDB =12

∠A ，连接DE ，OE ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线．

（2）填空：①当∠P 的度数为______时，四边形OBDE 是菱形；

②当∠BAC =45°时，△CDE 的面积为_________．

【答案】（1）见解析；（2）30；2.

【解析】解：（1）连接OD ，

∵OB =OD ,∠PDB =

12∠A ，∴∠ODB =∠ABD =90°－12∠A =90°－∠PDB ，∴∠ODB +∠PDB =90°，

∴∠ODP =90°，

∵OD 是⊙O 的半径，

∴PD 是⊙O 的切线.

（2）①30°，理由如下：

∠P =30°，则∠BOD =60°，

∴△BOD 是等边三角形，

∴∠ADP =30°，∠A =60°，

∴△AOE 是等边三角形，即∠AOE =60°，

∴∠EOD =60°，

∴△ODE 是等边三角形，

∴OB =BD =DE =OE ，

即四边形OBDE 是菱形；

②连接BE ，AD ，如上图，

∵AB 为直径，

∴∠ADB =90°，即AD ⊥BC ，∠AEB =90°，

∵AB =AC ，∴D 为BC 中点，

∴S △DCE =12

S △BCE ，∵∠BAC =45°，∴AE =BE ，△ABE 是等腰直角三角形，

∵AB =AC =4，∴AE =BE =CE =4-∴S △DCE =12

S △BCE ，=

12×12BE ·CE

=12×12×）

=2 .

【例3】.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ．

（1）求证：AC 2=AD ·AB ．

（2）点E 是∠ACB 所对的弧上的一个动点（不包括A ，B 两点），连接EC 交直径AB 于点F ，∠DAP =64°．

①当∠ECB =°时，△PCF 为等腰三角形；