柯西中值定理与洛必达法则
柯西中值定理与洛必达法则
随着科技的进步，这些定理的应用领域也在不断扩大。例如，在数据分 析、机器学习等领域，这些定理可以帮助我们更好地理解和处理数据。
03
教育价值
作为微分学中的核心内容，柯西中值定理和洛必达法则是数学教育的重
点。随着教育方法的改进，如何更有效地教授这些内容，让学生更好地
理解和掌握它们，也是值得探讨的问题。
04
实例分析
柯西中值定理实例
总结词
通过一个连续函数在闭区间上改变符号的性质，证明柯西中值定理的正确性。
详细描述
考虑一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上，若$f(a) cdot f(b) < 0$，则存在至少一 个$c in (a, b)$，使得$f(c) = 0$。这个结论可以用来证明柯西中值定理。ຫໍສະໝຸດ 洛必达法则实例总结词
通过求极限的方法，验证洛必达法则的正确 性。
详细描述
考虑函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$的左右 极限，以及它们的导数$f'(x)$和$g'(x)$。如 果$f'(x_0) = g'(x_0)$且$g'(x) neq 0$，则
$lim_{x to x_0} frac{f(x)}{g(x)} = frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$。
02
洛必达法则
定义与性质
定义
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于研究函数在某点的极限。如果函 数在某点的极限存在，则该点的导数存在。
性质
洛必达法则是求极限的常用方法之一，特别是处理分式函数的极限问题。当分 母的极限为零时，如果分子和分母的导数之商的极限存在，则洛必达法则成立。
法则的应用
中值定理与洛必达
（2）证：
作辅助函数：
f b f a x f x f a x a b a ∵ f (x) 在 [a, b] 连续，在（a, b）可导， ∴φ (x) 在 [a, b] 连续，在（a, b）可导， , 则由罗尔定理， b 且 a 0 0 , a , b ,使 至少存在一点 f b f a x f x , b a f b f a 即 f 0 , b a
f ( x ) f ( ) 当 x 0 , 0 , x
要使 f ( ) 存在， 只能 f ( ) 0 .
可见在函数取到最大值与最小值的点处， 其导数等于 0 。
f ( x ) f ( ) lim 0 ; x 0 x
( 1 ,0 ) 由Rolle定理，至少存在 使 ( ) 0 ， 2 n f ( x ) 0 即 ( x ) ( 2 n 1 ) x 4 x 1
在 [ 1 , 0 ] 中至少有一个 , 得证
例 4： 设 f ( x)在[0， 1]上可微， 对[0,1]上的每个 x，有0 f ( x) 1，且 f ( x) 1，证明方程 f ( x) x 在（0，1）内有且只有一个根。
( 3 ) f ( a ) f ( b ) , 那么 在 ( a ,b ) 内至少存在一 ( a b ) ，
使 f ( ) 0 .
几何意义： AB 为 [a , b] 上连续曲线，且除 a, b 两点外都有切线存在，两端点纵标相等， 则在 (a , b) 中至少能找到一点，使这点对应 曲线上的点处的切线平行于 x 轴。
3.1微分中值定理与洛必达法则
二、洛必达法则：
1、未定式：在求函数极限 lim f (x) 时，我们会遇到 g(x)
lim f (x) 0 （或为 ）、 limg(x) 0 （或为 ），
这时由于 lim f (x) 可能存在也可能不存在，我们将 g(x)
这种“ 0 ”型或“ ”型成为未定式.
0
二、洛必达法则：
设函数 f (x) 和 g(x) 满足下列条件：
3.1微分中值定理与罗必塔法则 一. 微分中值定理
1.罗尔中值定理 设 (1) f (x) C([a, b]) ; (2) f (x) 在 (a, b) 内可导 ;
(3) f (a) f (b) ,
则至少存在一点 (a, b) , 使得 f ( ) 0 .
y y f (x)
A
B
Oa
bx
x x
x
x
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
即 f (x) 0 至少有三个实根.
f (x) 是四次多项式, f (x) 是三次多项式,
f (x) 0 至多有三个实根.
综上所述, f (x) 0 仅有三个实根 , 分别在 (a, b), (b, c), (c, d)中.
例2. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证: 1) 存在性 .
如何利用罗尔定理 来证明？
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
中值定理与洛必达
洛必达法则的求导方法
洛必达法则是通过求导来研究函数的极限，常用的求导方法包括链式法则、 乘积法则、商的导数法则等。
在使用洛必达法则时，需要先对函数进行求导，然后利用极限的性质来求 解。
在求导过程中，需要注意一些特殊情况，如分母为零、无穷大等，这些情 况下需要特别处理。
03
中值定理与洛必达法则的应用
求解积分方程
利用中值定理和洛必达法则，可以求 解积分方程，找到满足特定条件的函 数。
ห้องสมุดไป่ตู้4
中值定理与洛必达法则的证明
罗尔定理的证明
总结词
罗尔定理是微分学中的基本定理之一， 它表明如果一个函数在闭区间上连续， 在开区间上可导，且在区间的两端取值 相等，则在开区间内至少存在一点，使 得该点的导数为零。
详细描述
拉格朗日中值定理的证明基于罗尔定理，通过构造辅助函数并应用罗尔定理证 明至少存在一点满足导数的特定性质。这个定理在微分学中也有重要的应用， 例如在研究函数的单调性、凹凸性等问题时常常用到。
柯西中值定理
总结词
柯西中值定理是微分学中的基本定理之一，它指出如果两个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且在该区间 内至少存在一点，使得两个函数的导数相等，则至少存在一点，使得两个函数在该点的函数值的比等于它们在该 区间内导数的比。
b)$内可导，所以$F(x)$也在$(a, b)$内可导。 最后，我们利用中值定理，存在一点$c$在
$(a, b)$内，使得$F'(c) = frac{F(b) - F(a)}{b - a}$。由于$F(b) - F(a) = frac{f(b)g(a) f(a)g(b)}{g(b)g(a)}$，所以我们可以得到 $frac{f'(c)}{g'(c)} = frac{f(b)g(a) -
洛必达和柯西中值定理的关系
洛必达和柯西中值定理的关系
洛必达和柯西中值定理都是微积分中的重要定理，它们在不同的情况下被用于求解函数的极限和积分。
两者的关系如下：洛必达定理是用于求解函数极限的定理，它指出当x趋近于某个数时，如果分子和分母的极限都存在且分母的极限不为0，那么函数的极限等于分子极限除以分母极限。
这个定理常常用于求解无穷小量的极限，如0/0或者无穷/无穷。
柯西中值定理则是用于求解函数积分的定理，它指出如果函数在某个区间上连续并且在这个区间上存在两个点，那么在这两个点之间至少存在一个点，使得这个点的导数等于函数在这个区间上的平均变化率。
这个定理常常用于证明一些积分的存在性和计算积分的值。
虽然洛必达定理和柯西中值定理是用于求解不同的问题，但是它们都涉及到了函数的极限和导数，因此在某些具体的情况下，两个定理可以联系起来使用。
比如，在求解一些特殊的极限时，可以通过柯西中值定理将其转化为洛必达极限，从而更容易求解。
- 1 -。
6-02 柯西中值定理与洛必达法则
利用微分中值定理尤其是Cauchy定理证明 定理证明 利用微分中值定理尤其是 命题，往往需要我们善于根据已知条件， 命题，往往需要我们善于根据已知条件，对 所需证明的结果进行变化。做一些这类练习， 所需证明的结果进行变化。做一些这类练习， 对逻辑推理能力和想象能力的训练是有益的。 对逻辑推理能力和想象能力的训练是有益的。
罗尔定理、 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系； 之间的关系；
Rolle 定理
f (a) = f (b) Lagrange
F( x) = x
中值定理
Cauchy 中值定理
注意定理成立的条件——均为充分条件； 均为充分条件； 注意定理成立的条件 均为充分条件
练习题
内上连续， 内可导， 1． 设 f ( x ) 在 [ a, b ]内上连续，在(a, b )内可导，若 0 < a < b ,则在 ( a, b )内存在一点 ξ ， 使 af (b ) − bf (a ) = [ f (ξ ) − ξf (ξ )](a − b ) ] . 2．设函数 y = f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内且有 n 阶 导数， 导数 ， 且 f (0) = f ′(0) = K = f ( n−1) (0) 试用柯西 f ( x ) f ( n ) (θx ) 中值定理证明： 中值定理证明： n = ， 0 < θ < 1 ）. （ n! x
Cauchy 中值定理的条件中开区间内每一点处 均不为零， F ′( x) 均不为零，就是保证了 F (b) − F (a) ≠ 0
Q F (b ) − F (a ) = (b − a )F ′(ξ ) ≠ 0,(ξ ∈ (a , b )) 又：该定理能否这样证明：对分子、 分母分别用 Lagrange 微分中值定理, f (b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a )(a < ξ < b ) F (b ) − F (a ) = F ′(ξ )(b − a )(a < ξ < b ) f (b ) − f (a ) f ′(ξ ) (a < ξ < b) ? ∴ = F (b ) − F (a ) F ′(ξ )
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第14讲 柯西中值定理与洛必达法则授课题目柯西中值定理与洛必达法则教学内容 1. 柯西中值定理；2. 洛必达法则．教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好地了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限, 掌握洛必达法则00型定理的证明.教学重点及难点教学重点：洛必达法则求各种不定式极限；教学难点：洛必达法则定理的证明.教学方法及教材处理提示(1) 本讲的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限，特别强调洛必达法则在极限计算中的重要性，是计算极限的一种常用的有效方法.(2)采用讲练结合的授课方式，通过举例的形式，总结和归纳求各种不定式极限的方法，使每一位学生都能掌握此法则．(3) 本讲的难点是洛必达法则定理的证明，特别是∞∞型的证明，但要求学生掌握洛必达法则 00型定理的证明．(4) 了解柯西中值定理.作业布置作业内容：教材 :2，3，5（2，4，6，8，10，12），7（5，8）.133P 讲授内容一、柯西中值定理定理6.5(柯西（cauchy ）中值定理) 设函数和满足 (i)在上都连续；(ii)在()上都可导；(iii)f g ],[b a b a ,不同时为零；(iv) 则存在使得)()(x g x f ''和),()(b g a g ≠),,(b a ∈ξ .)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ证：作辅助函数易见在)上满足罗尔定理)).()(()()()()()()()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F -----=)(x F ],[b a 条件，故存在，使得),(b a ∈ξ.0)()()()()()()(='---'='ξξξg a g b g a f b f f F 因为 (否则由上式也为零)，所以得证.0)(≠'ξg )(ξf ' 例1 设函数在[a,b]上连续，在()内可导，则存在，使得f )0(>a b a ,),(b a ∈ξ .ln )()()(a b f a f b f ξξ'=- 证：设，显然它在上与x x g ln )(=],[b a 式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。
高等数学精品课教案
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课题：§4.1微分中值定理与洛必达法则教学目的：1.理解微分中值定理及其推论的内容2.理解未定式的概念及洛必达法则，能熟练运用法则求函数的极限教学重点：微分中值定理、洛必达法则及其应用教学难点：微分中值定理、洛必达法则及其应用课型：讲授课课时：2课时教学过程一、导入新课本章将介绍中值定理及导数的应用，其中中值定理在微分学中占有十分重要的地位，也称为微分中值定理，是导数应用的理论基础。
二、讲授新课（一）柯西中值定理定理1（柯西中值定理）如果函数满足下列条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导；（3）F'(x)在（a,b）内的每一点均不为零，那么，在（a,b）内至少存在一点, 使几何解释：若将x看成是参数，则可将X=F(X),Y=f(x)看作是一条曲线的参数方程表示式，f(b) f(a)f ( ).g(b) g(a)g ( )f(b) f(a)f'( )F(b) F(a)表示连接曲线两端点A(F(a),f(a)),B(F(b),f(b))的弦的斜率，而F'( )则表示该曲线上某一点的斜率。
因此，其几何意义是：在连续且除端点外处处有不垂直于轴的切线的曲线弧上，至少存1 在一点C，在该处的切线平行于两端点的连线。
（二）洛必达法则把两个无穷小之比或者两个无穷大之比的极限称为“0 ”型或者“”型不定式（或未0定型）的极限，洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限的方法。
定理2（洛必达法则）若（1）x x0limf(x) 0,limg(x) 0x x0（2）f(x)与g(x)在x x0x0的某个邻域（点x0除外）可导，且g'(x) 0；lim（3）f'(x)Ag'(x)（A为有限数，也可为或）则limf(x)f'(x)lim Ag(x)x x0g'(x)x0x x0证：由于要讨论的是函数在点与g(x)在在点的极限，故与函数在该点x0的值无关，所以可补充f(x)，则f(x)与g(x)在点连续，x0的定义，且对问题讨论没有影响。
罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用
内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
柯西(Cauchy)中值定理与汇总
4
2
例 2 求lim1 cos x ． xπ tan x
解 lim1 cos x = lim sin x = 0．
xπ tan x
xπ 1
cos2 x
π arctan x
例 3 求 lim 2
．
x
1
x
解
π arctan x
lim 2
x
1
x
=
lim
x
1
1
x 1 x2
2
=
lim
x
1
x
2
x
2
=
(1) 每次使用法则前，必须检验是否属于 0或 0
未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；
(2) 如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，
则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3) 当lim f (x) 不存在(不包括 的情况)时，并不 g(x)
能断定lim f(x) 也不存在，此时应使用其他方法求极限． g(x)
因为 x1, x2 是 (a,b) 内的任意两点，于是上式表明 f (x) 在 (a,b) 内任意两点的值总是相等的，即 f (x) 在 (a,b)内是一个常数，证毕．
推 论 2 如 果 对 (a,b) 内 任 意 x ， 均 有 f (x) g(x)，则在(a,b) 内 f (x)与 g(x)之间只差一个 常数，即 f (x) g(x) C （C 为常数）．
1．
例4
求
lim
x
ln x xn
(n
0).
1
解
lim
x
ln x xn
lim
x
x nx n 1
lim
x
1 nx
中值定理与洛必达
05 中值定理与洛必达的扩展
CHAPTER
中值定理的推广形式
广义中值定理
在更广泛的函数空间中，如连续函数、可微 函数等，中值定理的适用范围得到了扩展。
边界中值定理
在函数的边界上，存在某些中值定理的形式，这些 定理描述了函数在边界上的性质。
高阶中值定理
对于高阶可导函数，存在高阶中值定理，这 些定理揭示了函数的高阶导数与零点的关系 。
柯西中值定理的证明
总结词
详细描述
通过构造辅助函数和运用拉格朗日中值定理， 证明柯西中值定理。
首先，我们构造一个辅助函数$F(x)$和 $G(x)$，满足在开区间$(a, b)$上可导，并 且满足一定的连续性条件。然后，我们利用 拉格朗日中值定理，知道存在至少一个点 $c$满足$frac{F'(c)}{G'(c)}=frac{F(b)F(a)}{G(b)-G(a)}$。这就证明了柯西中值定 理。
04
洛必达法则的求导方法
洛必达法则的求导方法包 括
2. 使用链式法则进行求导；
4. 使用商式法则进行求导；
1. 使用导数的定义和性质 进行求导；
3. 使用乘积法则进行求导；
5. 使用复合函数求导法则 进行求导。
03 中值定理与洛必达的应用
CHAPTER
在求解极限问ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中的应用
01 02
极限的定义
柯西中值定理
总结词
柯西中值定理是微分学中的一个重要定 理，它说明了如果两个函数在闭区间上 连续，开区间上可导，且在该区间内函 数$f(x)$的导数不等于零，则至少存在一 点，使得两个函数在该点的导数之比等 于它们在该区间两端点处的函数值之比 。
VS
详细描述
一、柯西（Cauchy）中值定理
B
A
D
F ( 2 )F ( b )
o
F ( a ) F ( 1 ) F ( x )
x
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) f (a ) [ F ( x ) F (a )]. F (b) F (a ) ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 () 0.
tan x x 求 lim 2 . x 0 x tan x
2 sec x 1 tan x x lim 原式 lim 3 x 0 x 0 3 x2 x
tan x 1 2 sec x tan x 1 lim . lim x 0 3 x 0 x 3 6x
2
关于 型的极限，有下述定理
这种极限称为未定式本节我们就利用cauchy中值定理来建立求未定式极限的lhospital法则利用这一法则可以直接求型未定式解法洛必达法则定义称为那末极限tanlimsinlnsinlnlimbxax那末或为无穷大存在都存在且定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求
,
0 和 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 0
0 , ,00 , 0 ,1 等其它类型的未定式的极限
0 三、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0
定义 如果当x a (或x )时,两个函数f ( x )
及 F ( x ) 都存在且 F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
柯西中值定理与洛必达法则
柯西中值定理与洛必达法则首先，让我们来介绍柯西中值定理。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广形式。
设$f(x)$和$g(x)$是一个在区间$[a, b]$上连续，在区间$(a, b)$上可导的函数，并且$g'(x)\neq 0$。
那么存在一个$\xi$，满足$a < \xi < b$，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。
简单来说，柯西中值定理说明了如果两个函数在一个区间内在一些点上除法的导数存在，那么在这个区间内一定存在一个点，它们的导数之商等于这个区间内的平均导数之商。
柯西中值定理的一个常见应用是证明罗尔定理。
罗尔定理是柯西中值定理的特殊情况，即如果一个函数在一个区间的两个端点处取得相同的函数值，并且在这个区间上可导，那么在这个区间内一定至少存在一个点，它的导数为零。
接下来，让我们来介绍洛必达法则。
洛必达法则是用来解决一些形如$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的极限的方法。
设$f(x)$和$g(x)$是两个在一些点$a$附近可导的函数，且$g'(x)\neq 0$。
如果$\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0$，或者$\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = \infty$，且$\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在或为$\infty$，那么$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$也存在或为$\infty$，且有$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。
第六节柯西中值定理与洛必达法则
即 b(fb)a(fa)f()f().
ba
3.6.2 洛必达法则
定理3.11 ( 0 型的洛必达法则) 0
设 f(x),g(x)在 的某空心邻域内满足下列条件:
(1 )lim f(x )0 ,lig m (x )0
x
x
(2 )f(x )g ( ,x ) 可 ,并 导 g (x ) 且 0 ;
(3)limf(x)A(或) x g(x)
则
f (x)
lim
x g( x)
limf(x) A(或). x g(x)
如果 f(x)仍0属 型 ,且 f(x)g ,(x)满足 g(x) 0
定理的条件, 可继续使用洛必达法则. 即 lim f(x)lim f(x)lim f(x)
x g(x) x g(x) x g(x)
例4
求
tanx x
lim
x0
x2
tanx
.
(0) 0
解
原式 lx im 0taxnx3xlxim0se3c2xx21
lim2se2cxtanx 1limsec2xlimtanx
x0
6x
3x0
x0 x
1limtanx 1
3x0 x
3
例5
求
2e2x ex 3x1
lim
x0
ex(ex 1)2
.
(0 ) 0
定理3.12 ( 型的洛必达法则)
设 f(x),g(x)在的某空心邻域内满足下列条件：
(1 )lim f(x ) ,lig m (x )
x
x
(2 )f(x )g ( ,x ) 可 ,并 导 g (x ) 且 0 ;
医学高数8(中值定理 洛必达法则)
一、中值定理 定理2-1 （罗尔 ( Rolle ) 中值定理） 中值定理） 定理 上连续， 如果函数 f (x) 在闭区间 [a , b]上连续，在开区间 上连续 (a , b) 内可导，且 f (a)=f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少 内可导， 成立。 存在一点 ξ (a<ξ<b), 使得 f′(ξ )=0 成立。 证明 （1）若函数 f (x) 在 ） y C 闭区间 [a , b]上为常数， 上为常数， 上为常数 因而， 则 f′(x)=0 ，因而， (a , b) 内 任何一点都可取作 ξ。 （2）若函数 f (x) 在 [a , b] 上 ） 不是常数, 不是常数 必存在最大值 M 和 o a ξ ξ1 b x 最小值 m，且 M 与 m 至少有一个不等于 f (a) 。 ，
f ′(ξ ) f ( x) − f ( x0 ) f ( x) = = g ′(ξ ) g ( x) − g ( x0 ) g f (ξ ) f (ξ + ∆x) − f (ξ ) ∆x → 0 , ≥ 0 lim− ≥0 ∆x →0 ∆x ∆x 二者又相等， 成立。 二者又相等，所以 f′(ξ )=0 成立。
−
罗尔中值定理的几何意义： 罗尔中值定理的几何意义：一段连续曲线 y =f (x) 除 端点外， 轴的切线（即可导）， ），且 端点外，处处有不垂直于 x 轴的切线（即可导），且 在两个端点处的纵坐标相等（ ），则在该 在两个端点处的纵坐标相等（即 f (a)=f (b)），则在该 ）， 段曲线上至少有一点 (ξ, f (ξ )) 的切线与 x 轴平行。 轴平行。 不求导， 例2-26 已知 f (x)=(x-1)(x-2)(x-3) 。不求导，判断方 的实根个数和范围。 程 f′ (x)=0 的实根个数和范围。 的连续性和可导性是明显的， 解 f (x)的连续性和可导性是明显的，且 f (1) = f (2)= 的连续性和可导性是明显的 f (3) =0，故在区间 ，2]、[2，3]上均满足罗尔中值定 ，故在区间[1， 、 ， 上均满足罗尔中值定 理的条件，则在（ ， ）内至少存在一点ξ 理的条件，则在（1，2）内至少存在一点ξ1，使得 f′ (ξ 1)=0；在（2，3）内至少存在一点ξ2 ，使得 ； ， ）内至少存在一点ξ f′ (ξ 2)=0。而 f′ (x)=0 是一元二次方程，最多有两个实 是一元二次方程， 。 分别在开区间（ ， ）、（ ）、（2， ） 根，分别在开区间（1，2）、（ ，3）内。
第第十讲柯西中值定理
lim f(x) lim f(x).
F(x)
F(x)
例如, limxsinx lim1cosx
x x
x 1
极限不存在
lim(1sinx) 1 x x
三、其他未定式: 0, , 0 0 , 1 , 0型
解决方法:
0
00
通分
转化
0
取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例7. 求 limxnlnx(n0).
(1) 每次使用法则前，必须检验是否属于 0 或 0
未定型，若不是未定型，就不能使用该法则；
(2) 如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子， 则可先约去或提出，以简化演算步骤；
(3) 当lim f (x)不存在(不包括 的情况)时，并不 g(x)
能断定lim f(x)也不存在，此时应使用其他方法求极限． g(x)
lim
x0
tan2 x 3x2
se2xc1ta2n x
1 3
内容小结
洛必达法则
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00,1,0型
令 y fg
0型
取对数
0
0型
型
f
g
f
1
g
思考与练习
1. 设
lim f ( x ) g(x)
是未定式极限 , 如果
f ( x ) 极限 g ( x )
不存在
,
是否
f g
( (
ห้องสมุดไป่ตู้ 思考题
1．用洛必达法则求极限时应注意什么？
2．把柯西中值定理中的“ f (x) 与 F(x) 在闭区间 [a,b]上连续”换成“ f(x)与 F (x)在开区间 (a,b)内连续” 后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画 出函数图象）说明．
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理详解
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
柯西中值定理与洛必达法则
10
用洛必达法则应注意的事项 0 0 (1) 只有 或 的未定式 , 才可能用法则, 只要是 或 , 0 0 则可一直用下去; (2) 在用法则之前, 看式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则, 要将式子整理化简; (4) 为简化运算, 经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
x
1 x 1 x2
1 x2 lim x x
1 x2 其实: lim 1. x x
18
作业
习题3.6 (149页)
1.(单)
2.
4.(3)(做书上)
19
小结
洛必达法则
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
0 0 ,1 , 0 型
0 型 0 型
8
lnx ( ) 例 l im ( 0) x x 1 x lim 1 0 解 原式 lim x x 1 x x xn 例 lim x ( n : 正整数, 0) ( ) x e
n( n 1) x nx 解 原式 lim ) xlim x ( x e 2 e x n次 n! lim n x 0 x e
注: 定理中 x x0 换为 x , x , x , 结论仍成立.
5
例 求 lim
x 2
cos x x
2
.
0 ( ) 0
解 原式 lim
sin x sin 1. lim 2 x ( x ) x 2 1 2
2
(cos x )
例 求 解
2e 2 x e x 3 x 1 lim . x x 2 x 0 e (e 1)
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(2) lim 仁———
XTO xtan%/
1
(4) 1現(疔 + 2*)M l00
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
洛必达法则
； ⑶眺存在(现或+盛f焉S ==枠8)+； (或栩+ fl )• 则
该定理对于％ T Q — T T甲8,X -> 8也成立.
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——洛必达法则
x — sinx
例2 求 lim---——
பைடு நூலகம்
例3 求 lim ex — e~x — 2x
X—
tan3%
O
例4
求
lim三-S为正整数，2
b—a
ky f(b)'…
C：y = /(%)
B
f（Q） A
0a
T~ x b
。偿需心"）
考虑拉格朗日中值定理的参数方程情形.
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
柯西中值定理
O拉格朗日中值定理
厶_泌一"
AB - b-a' 站=广吹)) r1( ._^y_ F'(t)
"对=矿丽
P(R\ 一 p(cc} F'(Q
g' 3)'对自变量变化的六种过程都成立
对于X T -8,] T 8也有相应结论.
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
洛必达法则
■求-型不定式极限的洛必达法则
OO
定理3设函数产3),g(x)在区间(afa + 5)内满足：
(1) lim f(X)= lim g(x) = oo ;
(2) f(x),g(x)在(G,G + 5)内可导，且g'(*)丰 0
V 第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——洛必达法则
注：(1)对于x T G— , % T。的1情形，也有相应结论;
⑵当X — +8时令[=-
zl-i-n-/-@-)-z].—，(=?)Xl•(i一m £)] lim —-T- = lim
f(X) _ 加 液=
(?)•(-》5 通 ，《)
・ 广(％)
定理1(柯西中值定理)如果函数和满足 (1) 在闭区间［a,b］上连续； (2) 在区间(a,幻内可导，且时(%)。0, a<x <b-, 那么至
少存在一点f e (a, b),使
广⑴二/Xb)—f(a)
(P'(.O -(p(b) -(p(dy
例1设/•(对在［0,1］上连续，在(0,1)上可导，证明：至少 存在 点00,1)，使广(g) = 2f［/(l)-/(0)］.
丿第3 0讲柯西中值定理与洛必达法则——柯西中值定理
■求?型不定式极限的洛必达法则
定理2设函数f(x),g(x)在区间(G, G + 8)内满足:
⑴li叫产3) = 1叽；3) = 0 ；
X—Q十 X—Q十
(2) f(x),g(x)在(a,a + 3)内可导，且 g'(x) / 0 ;
(3) lim 存在(或 lim = oo)；
、—
I .一 , ， \ ■ ・
% •a .
一,， \
x■
则
XTQ十O八(X,丿、
✓V W CLz \ /
v I ✓V W CLz \ X
fl
XTQ厂，十O/、(X丿
「
Z"* , 、 fl V I
［丿
l人丿】■ 丿［丿
— 11 |T| ’ I My. 11 rn —— uu I
XTQ+ g(x) XTQ+ g'(x) XTQ+ g(x)
lim----:— =1
宀8 x —
00
sinx
x — sinx
lim---——
Inx lim —— =?
X—+8X
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
问题的引入
O拉格朗日中值定理
如果函数产3）在［QM］上连续， 在 （%幻内可导，那么至少存在 一点 0"）,使得
f(b) — f(a)
f'& =
= ^AB -
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第30讲柯西中值定理与洛必达法则
■不定式极限的计算
lim[/(x) — g(x)] =00 — 00
lim祭
g(x) 0
lim[/(x)^(x)] =0-oo
f(x) 00 hm 、= 一
g(x) 00
0 .亠*
sinx
型不疋式极限眺*=i
00
型不定式极限
x + sinx
X— + 8 g/X
>
0).
例5
求 lim 性(a>0).
x—+^Xa
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
洛必达法则
,其他不定式极限的计算 其他不定式：0・8, 8 — 8, 0七18, 00°,
例6求下列极限
(1) lim(l — *2)tan生工0・8
x—l
2
(3) lim %x 0°
x—0 +
,Gip(/幻1 \_VGL()Q) 1 V S 7
、/ Xf X
VXXHH
y F"-
c：y = f(x)
F(a)
0 __:____________:______ _____________: > X
c：f E")
G(a) G(g) G(6)
:.柯西中值定理
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——柯西中值定理