柯西中值定理与洛必达法则
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lim----:— =1
宀8 x —
00
sinx
x — sinx
lim---——
Inx lim —— =?
X—+8X
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
问题的引入
O拉格朗日中值定理
如果函数产3）在［QM］上连续， 在 （%幻内可导，那么至少存在 一点 0"）,使得
f(b) — f(a)
f'& =
= ^AB -
X— + 8 g/X
>
0).
例5
求 lim 性(a>0).
x—+^Xa
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
洛必达法则
,其他不定式极限的计算 其他不定式：0・8, 8 — 8, 0七18, 00°,
例6求下列极限
(1) lim(l — *2)tan生工0・8
x—l
2
(3) lim %x 0°
x—0 +
《高等数学》全程教学视频课
第30讲柯西中值定理与洛必达法则
■不定式极限的计算
lim[/(x) — g(x)] =00 — 00
lim祭
g(x) 0
lim[/(x)^(x)] =0-oo
f(x) 00 hm 、= 一
g(x) 00
0 .亠*
sinx
型不疋式极限眺*=i
00
型不定式极限
x + sinx
,Gip(/幻1 \_VGL()Q) 1 V S 7
、/ Xf X
VXXHH
y F"-
c：y = f(x)
F(a)
0 __:____________:______ _____________: > X
c：f E")
G(a) G(g) G(6)
:.柯西中值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——柯西中值定理
V 第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——洛必达法则
注：(1)对于x T G— , % T。的1情形，也有相应结论;
⑵当X — +8时令[=-
zl-i-n-/-@-)-z].—，(=?)Xl•(i一m £)] lim —-T- = lim
f(X) _ 加 液=
(?)•(-》5 通 ，《)
・ 广(％)
、—
I .一 , ， \ ■ ・
% •a .
一,， \
x■
则
XTQ十O八(X,丿、
✓V W CLz \ /
v I ✓V W CLz \ X
fl
XTQ厂，十O/、(X丿
「
Z"* , 、 fl V I
［丿
l人丿】■ 丿［丿
— 11 |T| ’ I My. 11 rn —— uu I
XTQ+ g(x) XTQ+ g'(x) XTQ+ g(x)
g' 3)'对自变量变化的六种过程都成立
对于X T -8,] T 8也有相应结论.
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
洛必达法则
■求-型不定式极限的洛必达法则
OO
定理3设函数产3),g(x)在区间(afa + 5)内满足：
(1) lim f(X)= lim g(x) = oo ;
(2) f(x),g(x)在(G,G + 5)内可导，且g'(*)丰 0
b—a
ky f(b)'…
C：y = /(%)
B
f（Q） A
0a
T~ x b
。偿需心"）
考虑拉格朗日中值定理的参数方程情形.
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
柯西中值定理
O拉格朗日中值定理
厶_泌一"
AB - b-a' 站=广吹)) r1( ._^y_ F'(t)
"对=矿丽
P(R\ 一 p(cc} F'(Q
丿第3 0讲柯西中值定理与洛必达法则——柯西中值定理
■求?型不定式极限的洛必达法则
定理2设函数f(x),g(x)在区间(G, G + 8)内满足:
⑴li叫产3) = 1叽；3) = 0 ；
X—Q十 X—Q十
(2) f(x),g(x)在(a,a + 3)内可导，且 g'(x) / 0 ;
(3) lim 存在(或 lim = oo)；
(2) lim 仁———
XTO xtan%/
1
(4) 1現(疔 + 2*)M l00
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
洛必达法则
； ⑶眺存在(现或+盛f焉S ==枠8)+； (或栩+ fl )• 则
该定理对于％ T Q — T T甲8,X -> 8也成立.
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——洛必达法则
x — sinx
例2 求 lim---——
例3 求 lim ex — e~x — 2x
X—
tan3%
O
例4
求
lim三-S为正整数，2
定理1(柯西中值定理)如果函数和满足 (1) 在闭区间［a,b］上连续； (2) 在区间(a,幻内可导，且时(%)。0, a<x <b-, 那么至
少存在一点f e (a, b),使
广⑴二/Xb)—f(a)
(P'(.O -(p(b) -(p(dy
例1设/•(对在［0,1］上连续，在(0,1)上可导，证明：至少 存在 点00,1)，使广(g) = 2f［/(l)-/(0)］.
宀8 x —
00
sinx
x — sinx
lim---——
Inx lim —— =?
X—+8X
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
问题的引入
O拉格朗日中值定理
如果函数产3）在［QM］上连续， 在 （%幻内可导，那么至少存在 一点 0"）,使得
f(b) — f(a)
f'& =
= ^AB -
X— + 8 g/X
>
0).
例5
求 lim 性(a>0).
x—+^Xa
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
洛必达法则
,其他不定式极限的计算 其他不定式：0・8, 8 — 8, 0七18, 00°,
例6求下列极限
(1) lim(l — *2)tan生工0・8
x—l
2
(3) lim %x 0°
x—0 +
《高等数学》全程教学视频课
第30讲柯西中值定理与洛必达法则
■不定式极限的计算
lim[/(x) — g(x)] =00 — 00
lim祭
g(x) 0
lim[/(x)^(x)] =0-oo
f(x) 00 hm 、= 一
g(x) 00
0 .亠*
sinx
型不疋式极限眺*=i
00
型不定式极限
x + sinx
,Gip(/幻1 \_VGL()Q) 1 V S 7
、/ Xf X
VXXHH
y F"-
c：y = f(x)
F(a)
0 __:____________:______ _____________: > X
c：f E")
G(a) G(g) G(6)
:.柯西中值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——柯西中值定理
V 第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——洛必达法则
注：(1)对于x T G— , % T。的1情形，也有相应结论;
⑵当X — +8时令[=-
zl-i-n-/-@-)-z].—，(=?)Xl•(i一m £)] lim —-T- = lim
f(X) _ 加 液=
(?)•(-》5 通 ，《)
・ 广(％)
、—
I .一 , ， \ ■ ・
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一,， \
x■
则
XTQ十O八(X,丿、
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XTQ厂，十O/、(X丿
「
Z"* , 、 fl V I
［丿
l人丿】■ 丿［丿
— 11 |T| ’ I My. 11 rn —— uu I
XTQ+ g(x) XTQ+ g'(x) XTQ+ g(x)
g' 3)'对自变量变化的六种过程都成立
对于X T -8,] T 8也有相应结论.
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
洛必达法则
■求-型不定式极限的洛必达法则
OO
定理3设函数产3),g(x)在区间(afa + 5)内满足：
(1) lim f(X)= lim g(x) = oo ;
(2) f(x),g(x)在(G,G + 5)内可导，且g'(*)丰 0
b—a
ky f(b)'…
C：y = /(%)
B
f（Q） A
0a
T~ x b
。偿需心"）
考虑拉格朗日中值定理的参数方程情形.
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
柯西中值定理
O拉格朗日中值定理
厶_泌一"
AB - b-a' 站=广吹)) r1( ._^y_ F'(t)
"对=矿丽
P(R\ 一 p(cc} F'(Q
丿第3 0讲柯西中值定理与洛必达法则——柯西中值定理
■求?型不定式极限的洛必达法则
定理2设函数f(x),g(x)在区间(G, G + 8)内满足:
⑴li叫产3) = 1叽；3) = 0 ；
X—Q十 X—Q十
(2) f(x),g(x)在(a,a + 3)内可导，且 g'(x) / 0 ;
(3) lim 存在(或 lim = oo)；
(2) lim 仁———
XTO xtan%/
1
(4) 1現(疔 + 2*)M l00
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则
洛必达法则
； ⑶眺存在(现或+盛f焉S ==枠8)+； (或栩+ fl )• 则
该定理对于％ T Q — T T甲8,X -> 8也成立.
第30讲 柯西中值定理与洛必达法则——洛必达法则
x — sinx
例2 求 lim---——
例3 求 lim ex — e~x — 2x
X—
tan3%
O
例4
求
lim三-S为正整数，2
定理1(柯西中值定理)如果函数和满足 (1) 在闭区间［a,b］上连续； (2) 在区间(a,幻内可导，且时(%)。0, a<x <b-, 那么至
少存在一点f e (a, b),使
广⑴二/Xb)—f(a)
(P'(.O -(p(b) -(p(dy
例1设/•(对在［0,1］上连续，在(0,1)上可导，证明：至少 存在 点00,1)，使广(g) = 2f［/(l)-/(0)］.