2018上海市杨浦区数学一模 (1)
2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷及解析
2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷一。
填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分,共54分）1．（4分）计算的结果是．2．（4分）已知集合A={1，2，m｝,B={3，4｝，若A∩B={3}，则实数m=．3．（4分)已知，则=．4．(4分）若行列式，则x=．5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y=．6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于．7．（5分)若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2,3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．8．(5分)数列{a n}的前n项和为S n，若点（n，S n）(n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上,则a n=．9．(5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．11．(5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g （x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为．12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2）,若，则实数λ的取值范围为．二。
选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．(5分）在复平面内,复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|;④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞,+∞）内存在零点"的（) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足•=0，•=0，•=0,用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是（）A．B．2 C．4 D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．(14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18．（14分）如图,已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3,P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B ⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数f(x)是奇函数但不是偶函数．20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；(2)若直线l又与圆C:（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程;（3）若,点Q在线段AB上,满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．21．（18分)若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立,则称数列A为“U﹣数列”．（1)若数列1,x，y，7为“U﹣数列"，写出所有可能的x、y；（2)若“U﹣数列”A：a1，a2,…，a n中，a1=1，a n=2017,求n的最大值;（3)设n0为给定的偶数,对所有可能的“U﹣数列”A：a1,a2,…,，记，其中max｛x1，x2，…,x s}表示x1，x2，…,x s这s个数中最大的数，求M的最小值．2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一。
2018学年杨浦区高三年级一模试卷
2018学年杨浦区高三年级一模试卷2018.12一、填空题1.设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}3,4,5A =，则u A =ð___________.2.已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为___________. 3.已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为___________. 4.若()na b +展开式的二项式系数之和为8，则n =___________. 5.若实数,x y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是___________.6.若圆锥的母线长()5l cm =，高()4h cm =，则这个圆锥的体积等于___________.7.在无穷等比数列{}n a 中，()121lim ,2n n a a a →+∞+++=则1a 的取值范围是___________. 8.若函数()1ln1xf x x +=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆,则实数a 的取值范围为___________.9.在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则()1y f x =+的零点是___________.10.已知复数())12cos 2,cos z x f x i z x x i =+=++，（,x R i ∈虚数单位）在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若1290Z OZ ∠=，其中是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期___________. 11.当0x a <<时，不等式()22112x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为___________. 12.设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前项和n T ，满足()()112n n n nT b n N *+=-∈，且52d a b ==，若实数{}()23,3k k k m P x a x a k N k *-+∈=<<∈≥，则称m 具有性质k P ，若是n H 数列{}n T 的前n 项和，对任意的n N *∈，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为___________. 二、选择题13.下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()arcsin f x x= （B ）lg y x= （C ）()f x x =-（D ）()cos f x x =14.某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 （ ）（A ）310 （B ） 35 （C ） 25 （D ）2315.已知()sin log ,0,2f x x θπθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，设sin cos ,,2a f b f θθ+⎛⎫== ⎪⎝⎭sin sin cos c f θθθ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （A ）a b c ≤≤ （B ）b c a ≤≤ （C ）c b a ≤≤（D ）a b c ≤≤16.已知函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}0,A x f x x R==∈，集合(){}0,B x f x x R ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）（ A ）[]0,4（B ）[]1,4- （C ）[]3,5- （D ）[]0,7三、解答题17.如图，,PA ABCD ⊥平面四边形ABCD 为矩形，1PA PB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动。
2017-2018上海市杨浦区高三数学一模试卷
2017-2018上海市杨浦区高三数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算1lim(1)n n→∞-的结果是________ 2．已知集合1,{}2,A m =，{3,4}B =，若{3}A B ⋂=，则实数m =________ 3．已知3cos 5θ=-，则sin()2πθ+=________ 4．若行列式124012x -=，则x = .5．已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=_________6．在62()x x -的二项展开式中，常数项的值为________7．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ．8．.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数的反函数的图像上，则n a =________.9．在ABC ∆中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为________ 10．抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a -=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 .11．已知函数()cos (sin )f x x x x =+x ∈R ，设0a >，若函数()()g x f x α=+为奇函数，则α的值为________12．已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=，则实数λ的取值范围为________二、单选题13．在复平面内，复数2i i-对应的点位于（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14．给出下列函数：①2log y x =；②2y x ；③||2x y =；④arcsin y x =.其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④ 15．“0t ≥”是“函数()2f x x tx t =+-在(),-∞+∞内存在零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S 的最大值是（ ）.A ．12B ．2C ．4D ．8三、解答题17．（2020-2021学年上海市杨浦区高三数学一模）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18．如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）19．已知函数()1ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.20．设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点.（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）若0OA OB ⋅=，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程. 21．若数列A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （3n ≥）中*i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤-，112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”.（1）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x 、y ；（2）若“U -数列” A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值； （3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，0n a ，记{}012max ,,,n M a a a =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，⋅⋅⋅，s x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.参考答案1．1【解析】11lim(1)1lim 101n n nn →∞→∞-=-=-= 故答案为12．3【解析】∵ 集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，且{}3A B ⋂=∴3m =故答案为33．35【解析】 ∵3cos 5θ=- ∴3sin()cos 25πθθ+==- 故答案为354．2 【解析】试题分析：由行列式的定义把方程转化为一般代数式方程即可.ab ad bc cd =-.考点：行列式的定义.5．6【分析】根据关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵，写出方程组，求出方程组的解，即可得到结论.【详解】 解：由题意关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 可得关于x y 、的二元线性方程组22x y y -=⎧⎨=⎩，可得42x y =⎧⎨=⎩，故6x y +=，故答案为：6.【点睛】本题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于基础题型.6．－160【解析】 展开式的通项为6621662()(2)r r r r r r r T C xC x x--+=-=- 令620r -=，得3r = ∴在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为336(2)160C -=- 故答案为160-点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1）求展开式中的特定项：可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； （2）已知展开式的某项，求特定项的系数：可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.7．112【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：所有的基本事件共6636⨯=个，其中，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，∴出现向上的点数之和为4的概率是313612=， 故答案为：112． 【点睛】本小题考查古典概型及其概率计算公式，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n=，属于基础题．8．12n -【解析】解：因为 221log (1)log (1)12212nn n n n n n y x n S S S a -=+∴=+∴+=∴=-∴= 9．3π 【解析】∵在ABC ∆中，sin A 、sin B 、sin C 依次成等比数列，∴2sin sin sin B A C = ，则由正弦定理可得：2b ac = 根据余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时取等号∴B 的取值范围为(0,]3π，即角B 的最大值为3π 故答案为3π 10．3π 【解析】试题分析：因为抛物线28y x =-的焦点为(2,0),-所以22212, 3.a a +==所以双曲线2221x y a-=的渐近线方程为y =3π. 考点：双曲线的渐近线考点：11．*()26k k N ππα=-∈【解析】∵()()cos sin f x x x x =∴sin 2cos 2)()sin(2)2223x x f x x π+=+-=+ ∵函数()()g x f x α=+为奇函数 ∴()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，则2()3k k Z παπ+=∈∵0a > ∴*()26k k N ππα=-∈ 故答案为*()26k k N ππα=-∈ 12．1[,3]3 【解析】①当直线斜率存在时，设过点()0,2M 的直线方程为2y kx =+，联立方程222{14y kx x y =++=，整理可得22(14)16120k x kx +++=，则22(16)4(14)120k k ∆=-⨯+⨯≥，即234k ≥ 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则1221614k x x k +=-+，1221214x x k ⋅=+ ∵MD MC λ=∴12x x λ= ∴2216(1)14k x k λ+=-+，22212()14x k λ⋅=+，即2222222(1)161464641()114123(14)34k k k k k k λλ++=⨯==⨯+++ ∵234k ≥ ∴2(1)1643λλ+≤<∴133λ<< ②当直线斜率不存在时，则过点()0,2M 的直线方程为0x =，此时(0,1)C ，(0,1)D -，或(0,1)C -，(0,1)D当(0,1)C ，(0,1)D -时，3λ=；当(0,1)C -，(0,1)D 时，13λ= 综上，133λ≤≤ 故答案为1[,3]3 点睛：本题考查解析几何问题和向量的联系，题设中出现MD MC λ=，可以得出12x x λ=，结合韦达定理找到λ与k 之间的关系，再利用0∆≥建立不等关系即可得解，本题要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏.13．C【分析】 根据复数除法运算法则，求出2i i-的实部和虚部，即可得出结论. 【详解】 22i (2)()12i i i i i ---==---， 2i i-对应点的坐标为(1,2)--，位于第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的几何意义，属于基础题.14．B【解析】对于①，2log y x =的定义域为(0,)+∞，定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；对于②，2y x =是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件；对于③，2x y =是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件；对于④，arcsin y x =是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件.故选B15．A【解析】函数()2f x x tx t =+-在(),-∞+∞内存在零点，则240t t =+≥，解得0t ≥或4t ≤-. 所以“0t ≥”是“函数()2f x x tx t =+-在(),-∞+∞内存在零点”的充分而不必要条件. 故选A.点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上的零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x 轴的交点个数；四是，区间端点值.16．B【解析】设AB a =，AC b =，AD c = ．∵0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，∴AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即222244a b c R ++==．∵1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积， ∴()()22212311222S S S ab ac bc a b c ++=++≤++=，当且仅当a b c ==时取等号 ∴123S S S ++的最大值是2，故选B ．点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键．17．（1）()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6l x =时，2max 12l y =. 【解析】（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，∴场地面积()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）()222333612l l y x l x x lx x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当且仅当6l x =时，2max 12l y =. 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l.18．（1）12π.（2）arctan 4. 【解析】试题分析：（1）根据圆锥的侧面积求出5BS =，从而求出4SO =，由此能求出圆锥的体积；（2）取OB 中点H ，连结PH AH 、，由P 是SB 的中点知PH ∥SO ，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角，由此能求出异面直线SO 与PA 所成角的大小． 试题解析：（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =， 故4SO == ，从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=. （2）如图，取OB 中点H ，连结PH AH 、. 由P 是SB 的中点知PH ∥SO ，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角.由SO ⊥平面OAB ⇒ PH ⊥平面OAB ⇒ PH AH ⊥.在OAH ∆中，由OA OB ⊥得AH ==在Rt APH ∆中，90AHP O ∠=，122PH SB ==，AH =则tan AH APH PH ∠==，∴异面直线SO 与PA 所成角的大小 . 19．（1）[1,0]- ;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-， 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0-（2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭ 而1ln32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.20．（1）2;（2）1x =，9x =;（3）2240x x y -+= 【解析】试题分析：（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p 的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线l 的方程为x my b =+，分0m =与0m ≠两种情况讨论，分析m 的取值，综合可得m 可取的值，将m 的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线:AB x my b =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线的方程与抛物线方程联立，结合0OA OB ⋅=，由根与系数的关系分析可得答案．试题解析：（1）∵抛物线Ω的方程为24y x =∴抛物线Ω的焦点到准线的距离为2 （2）设直线:l x my b =+当0m =时，1x =和9x =符合题意;当0m ≠时，()11,A x y 、()22,B x y 的坐标满足方程组24x my by x=+⎧⎨=⎩， ∴2440y my b --=的两根为1y 、2y ，()2160m b ∆=+>，124y y m += ∴2121242x x my b my b m b +=+++=+，∴线段AB 的中点()22,2M m b m + ∵1AB CM k k ⋅=-，1AB k m= ∴2225CM mk m m b ==-+-，得232b m =- ∴()()22161630m b m ∆=+=->，得203m<<∵4r ===∴23m =（舍去） 综上所述，直线l 的方程为：1x =，9x = （3）设直线:AB x my b =+，()11,A x y 、()22,B x y 的坐标满足方程组24x my by x =+⎧⎨=⎩，∴2440y my b --=的两根为1y 、2y()2160m b ∆=+>，124y y m +=，124y y b =-∴222121212124044y y OA OB x x y y y y b b ⋅=+=⋅+=-=，得0b =或4b =0b =时，直线AB 过原点，所以()0,0Q ； 4b =时，直线AB 过定点()4,0P设(),Q x y ∵OQ AB ⊥，∴()()22,4,40OQ PQ x y x y x x y ⋅=⋅-=-+=（0x ≠），综上，点Q 的轨迹方程为2240x x y -+=点睛：本题主要考查直线与圆相切，求直线方程，分类讨论，轨迹方程的求法等，属于中档题.注意解决本类问题时，要使用直线和圆相切的性质，设直线时注意分类讨论，严防漏解，求轨迹方程时一般先设出动点坐标，再根据条件建立关于,x y 的关系，化简即可求出轨迹方程.21．（1）12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩ ；（2）n 的最大值为65；(3)20288n n -+． 【解析】试题分析：（Ⅰ）直接根据“U -数列”的定义，讨论列举法即可求出x ，y ；（Ⅱ）11112k k k k k k k a a a a a a a +-+-+>⇔->-可得()()112201712n n --≤-，解得：6265n -≤≤，故65n ≤，另外，任意的264k ≤≤，1k k b b ->，故数列{}n a 为“U -数列”，此时651012632017a =++++⋅⋅⋅+=，即65n =符合题意；（Ⅲ）利用放缩法()221120012822228m m m a a m m a a n n m m M +++-+-+-+≥≥≥=，即可得结论. 试题解析：：（Ⅰ）12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）n 的最大值为65，理由如下一方面，注意到：11112k k k k k k k a a a a a a a +-+-+>⇔->-对任意的11i n ≤≤-，令1i i i b a a +=-，则i b Z ∈且1k k b b ->（21k n ≤≤-），故11k k b b -≥+对任意的21k n ≤≤-恒成立．当11a =，2017n a =时，注意到121110b a a =-≥-=，得()()()1122111i i i i i b b b b b b b b i ---=-+-+⋅⋅⋅+-+≥-（21i n ≤≤-）此时()()112110122122n n a a b b b n n n --=++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+-=-- 即()()112201712n n --≤-，解得：6265n -≤≤，故65n ≤ 另一方面，取1i b i =-（164i ≤≤），则对任意的264k ≤≤，1k k b b ->，故数列{}n a 为“U -数列”，此时651012632017a =++++⋅⋅⋅+=，即65n =符合题意．综上，n 的最大值为65．（Ⅲ）M 的最小值为200288n n -+，证明如下：当02n m =（2m ≥，*m N ∈）时，一方面：由（★）式，11k k b b +-≥，()()()1121m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m +++-+-+-+-=-+-+⋅⋅⋅+-≥．此时有：()()()()()()()()121122112111222111m m m m m m m m m m m a a a a b b b b b b b b b b b b m m m m m +++--++--+-+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-≥++⋅⋅⋅+=-故()221120012822228m m m a a m m a a n n m m M +++-+-+-+≥≥≥=另一方面，当11b m =-，22b m =-，…，11m b -=-，0m b =，11m b +=，…，211m b m -=-时，()()11111210k k k k k k k k k a a a a a a a b b +-+--+-=---=-=>取1m a =，则11m a +=，123m a a a a >>>⋅⋅⋅>，122m m m a a a ++<<⋅⋅⋅<，且()()11211112m m a a b b b m m -=-++⋅⋅⋅+=-+ ()()2112211112mm m m m a a b b b m m +++-=+++⋅⋅⋅+=-+此时()200122811128mn n M a a m m -+===-+=． 综上，M 的最小值为200288n n -+．。
2018年上海市杨浦区高考高三数学一模试卷及解析
2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)计算的结果是.2.(4分)已知集合A＝{1,2,m},B＝{3,4},若A∩B＝{3},则实数m＝.3.(4分)已知,则＝.4.(4分)若行列式,则x＝.5.(4分)已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,则x＋y ＝.6.(4分)在的二项展开式中,常数项等于.7.(5分)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是.8.(5分)数列{a n}的前n项和为S n,若点(n,S n)(n∈N*)在函数y＝log2(x＋1)的反函数的图象上,则a n＝.9.(5分)在△ABC中,若sinA、sinB、sinC成等比数列,则角B的最大值为.10.(5分)抛物线y2＝﹣8x的焦点与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为.11.(5分)已知函数,x∈R,设a＞0,若函数g(x)＝f(x ＋α)为奇函数,则α的值为.12.(5分)已知点C、D是椭圆上的两个动点,且点M(0,2),若,则实数λ的取值范围为.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.(5分)给出下列函数：①y＝log2x；②y＝x2；③y＝2|x|；④y＝arcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是()A.①②B.②③C.①③D.②④15.(5分)“t≥0”是“函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.(5分)设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足•＝0,•＝0,•＝0,用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积,则S1＋S2＋S3的最大值是()A. B.2 C.4 D.8三.解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域；(2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18.(14分)如图,已知圆锥的侧面积为15π,底面半径OA和OB互相垂直,且OA＝3,P 是母线BS的中点.(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线SO 与PA 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)19.(14分)已知函数的定义域为集合A,集合B ＝(a,a ＋1),且B ⊆A.(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：函数f(x)是奇函数但不是偶函数.20.(16分)设直线l 与抛物线Ω：y 2＝4x 相交于不同两点A 、B,O 为坐标原点. (1)求抛物线Ω的焦点到准线的距离；(2)若直线l 又与圆C ：(x ﹣5)2＋y 2＝16相切于点M,且M 为线段AB 的中点,求直线l 的方程； (3)若,点Q 在线段AB 上,满足OQ ⊥AB,求点Q 的轨迹方程.21.(18分)若数列A ：a 1,a 2,…,a n (n ≥3)中(1≤i ≤n)且对任意的2≤k ≤n ﹣1,a k＋1＋a k ﹣1＞2a k 恒成立,则称数列A 为“U ﹣数列”.(1)若数列1,x,y,7为“U ﹣数列”,写出所有可能的x 、y ；(2)若“U ﹣数列”A ：a 1,a 2,…,a n 中,a 1＝1,a n ＝2017,求n 的最大值；(3)设n0为给定的偶数,对所有可能的“U ﹣数列”A ：a 1,a 2,…,,记,其中max {x1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数,求M 的最小值.2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)计算的结果是1.【试题解答】解：当n→＋∞,→0,∴＝1,故答案为：1.2.(4分)已知集合A＝{1,2,m},B＝{3,4},若A∩B＝{3},则实数m＝3.【试题解答】解：∵集合A＝{1,2,m},B＝{3,4},A∩B＝{3},∴实数m＝3.故答案为：3.3.(4分)已知,则＝﹣.【试题解答】解：∵,∴＝.故答案为：﹣.4.(4分)若行列式,则x＝2.【试题解答】解：∵,∴2×2x﹣1﹣4＝0即x﹣1＝1∴x＝2故答案为：25.(4分)已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,则x＋y＝6.【试题解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式,解得x＝4,y＝2,∴x＋y＝6.故答案为：6.6.(4分)在的二项展开式中,常数项等于﹣160.【试题解答】解：展开式的通项为T r＝x6﹣r(﹣)r＝(﹣2)r x6﹣2r＋1令6﹣2r＝0可得r＝3常数项为(﹣2)3＝﹣160故答案为：﹣1607.(5分)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是.【试题解答】解：基本事件共6×6个,点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个,故P＝＝.故答案为：.8.(5分)数列{a n}的前n项和为S n,若点(n,S n)(n∈N*)在函数y＝log2(x＋1)的反函数的图象上,则a n＝2n﹣1.【试题解答】解：由题意得n＝log2(S n＋1)⇒s n＝2n﹣1.n≥2时,a n＝s n﹣s n﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1,当n＝1时,a1＝s1＝21﹣1＝1也适合上式,∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1；故答案为：2n﹣19.(5分)在△ABC中,若sinA、sinB、sinC成等比数列,则角B的最大值为.【试题解答】解：∵在△ABC中,sinA、sinB、sinC依次成等比数列,∴sin2B＝sinAsinC,利用正弦定理化简得：b2＝ac,由余弦定理得：cosB＝＝≥＝(当且仅当a＝c时取等号),则B的范围为(0,],即角B的最大值为.故答案为：.10.(5分)抛物线y2＝﹣8x的焦点与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为.【试题解答】解：∵抛物线y2＝﹣8x的焦点F(﹣2,0)与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合,∴a2＋1＝4,解得a＝,∴双曲线的渐近线方程为y＝,∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为,故答案为：.11.(5分)已知函数,x∈R,设a＞0,若函数g(x)＝f(x＋α)为奇函数,则α的值为.【试题解答】解：函数,＝,＝s,函数g(x)＝f(x＋α)＝为奇函数,则：(k∈Z),解得：,故答案为：12.(5分)已知点C、D是椭圆上的两个动点,且点M(0,2),若,则实数λ的取值范围为.【试题解答】解：假设CD的斜率存在时,设过点M(0,2)得直线方程为y＝kx＋2,联立方程,整理可得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0,设C(x1,y1),N(x2,y2),则△＝(16k)2﹣4×(1＋4k2)×12≥0,整理得k2≥,x1＋x2＝﹣,x1x2＝,(*)由,可得,x1＝λx2代入到(*)式整理可得＝＝,由k2≥,可得4≤≤,解可得＜λ＜3且λ≠1,当M和N点重合时,λ＝1,当斜率不存在时,则D(0,1),C(0,﹣1),或D(0,1),C(0,﹣1),则λ＝或λ＝3∴实数λ的取值范围.故答案为：.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【试题解答】解：∵＝,∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2),位于第三象限.故选：C.14.(5分)给出下列函数：①y＝log2x；②y＝x2；③y＝2|x|；④y＝arcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是()A.①②B.②③C.①③D.②④【试题解答】解：①y＝log2x的定义域为(0,＋∞),定义域关于原点不对称,则函数为非奇非偶函数；②y＝x2；是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件.③y＝2|x|是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件.④y＝arcsinx是奇函数,图象关于y轴不对称,不满足条件,故选：B.15.(5分)“t≥0”是“函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【试题解答】解：t≥0⇒△＝t2＋4t≥0⇒函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点,函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点⇒△＝t2＋4t≥0⇒t≥0或t≤﹣4.∴“t≥0”是“函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点”的充分非必要条件.故选：A.16.(5分)设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足•＝0,•＝0,•＝0,用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积,则S1＋S2＋S3的最大值是()A. B.2 C.4 D.8【试题解答】解：设AB＝a,AC＝b,AD＝c,因为AB,AC,AD两两互相垂直,扩展为长方体,它的对角线为球的直径,所以a2＋b2＋c2＝4R2＝4所以S△ABC ＋S△ACD＋S△ADB＝(ab＋ac＋bc )≤(a2＋b2＋c2)＝2即最大值为：2故选：B.三.解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域；(2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【试题解答】解：(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,它的面积y＝x(l﹣3x)；由x＞0,且l﹣3x＞0,可得函数的定义域为(0,l)；(2)y＝x(l﹣3x)＝×3x(1﹣3x)≤×()2＝,当x＝时,这块长方形场地的面积最大,这时的长为l﹣3x＝l,最大面积为.18.(14分)如图,已知圆锥的侧面积为15π,底面半径OA和OB互相垂直,且OA＝3,P 是母线BS的中点.(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线SO与PA所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)【试题解答】(本题满分(14分),第1小题满分(7分),第2小题满分7分)解：(1)由题意,π•OA•SB＝15π,解得BS＝5,…(2分)故…(4分)从而体积.…(7分)(2)如图,取OB中点H,连结PH、AH.由P是SB的中点知PH∥SO,则∠APH(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角.…(10分)∵SO⊥平面OAB,∴PH⊥平面OAB,∴PH⊥AH.在△OAH中,由OA⊥OB,得,…(11分)在Rt△APH中,∠AHP＝90 O,,…(12分)则,∴异面直线SO与PA所成角的大小.…(14分)19.(14分)已知函数的定义域为集合A,集合B＝(a,a＋1),且B⊆A.(1)求实数a的取值范围；(2)求证：函数f(x)是奇函数但不是偶函数.【试题解答】解：(1)令,解得﹣1＜x＜1,所以A＝(﹣1,1),因为B⊆A,所以,解得﹣1≤a≤0,即实数a的取值范围是[﹣1,0]；(2)证明：函数f(x)的定义域A＝(﹣1,1),定义域关于原点对称,f(﹣x)＝ln＝ln()﹣1＝﹣ln＝﹣f(x),而,,所以,所以函数f(x)是奇函数但不是偶函数.20.(16分)设直线l与抛物线Ω：y2＝4x相交于不同两点A、B,O为坐标原点.(1)求抛物线Ω的焦点到准线的距离；(2)若直线l又与圆C：(x﹣5)2＋y2＝16相切于点M,且M为线段AB的中点,求直线l的方程；(3)若,点Q在线段AB上,满足OQ⊥AB,求点Q的轨迹方程.【试题解答】解：(1)根据题意,抛物线Ω的方程为y2＝4x,则p＝2,故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；(2)设直线l：x＝my＋b当m ＝0时,x ＝1和x ＝9符合题意；当m ≠0时,A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的坐标满足方程组,所以y 2﹣4my ﹣4b ＝0的两根为y 1、y 2. △＝16(m 2＋b)＞0,y 1＋y 2＝4m, 所以,所以线段AB 的中点M(2m 2＋b,2m)因为k AB •k CM ＝﹣1,,所以,得b ＝3﹣2m 2所以△＝16(m 2＋b)＝16(3﹣m 2)＞0,得0＜m 2＜3 因为,所以m 2＝3(舍去)综上所述,直线l 的方程为：x ＝1,x ＝9(3)设直线AB ：x ＝my ＋b,A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的坐标满足方程组,所以y 2﹣4my ﹣4b ＝0的两根为y 1、y 2 △＝16(m 2＋b)＞0,y 1＋y 2＝4m,y 1y 2＝﹣4b 所以,得b ＝0或b ＝4b ＝0时,直线AB 过原点,所以Q(0,0)； b ＝4时,直线AB 过定点P(4,0) 设Q(x,y),因为OQ ⊥AB, 所以(x ≠0),综上,点Q 的轨迹方程为x 2﹣4x ＋y 2＝021.(18分)若数列A ：a 1,a 2,…,a n (n ≥3)中(1≤i ≤n)且对任意的2≤k ≤n ﹣1,a k＋1＋a k ﹣1＞2a k 恒成立,则称数列A 为“U ﹣数列”.(1)若数列1,x,y,7为“U ﹣数列”,写出所有可能的x 、y ；(2)若“U﹣数列”A：a1,a2,…,a n中,a1＝1,a n＝2017,求n的最大值；(3)设n为给定的偶数,对所有可能的“U﹣数列”A：a1,a2,…,,记,其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数,求M的最小值.【试题解答】解：(1)x＝1时,,所以y＝2或3；x＝2时,,所以y＝4；x≥3时,,无整数解；所以所有可能的x,y为,或.(2)n的最大值为65,理由如下：一方面,注意到：a k＋1＋a k﹣1＞2a k⇔a k＋1﹣a k＞a k﹣a k﹣1.对任意的1≤i≤n﹣1,令b i＝a i＋1﹣a i,则b i∈Z且b k＞b k﹣1(2≤k≤n﹣1),故b k≥b k﹣1＋1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立.(*)当a1＝1,a n＝2017时,注意到b1＝a2﹣a1≥1﹣1＝0,得(2≤i≤n﹣1)即b i≥i﹣1,此时a n﹣a1＝(a n﹣a n﹣1)＋(a n﹣1﹣a n﹣2)＋…＋(a2﹣a1)＝b n﹣1＋b n﹣2＋…＋b1≥0＋1＋2＋…＋(n﹣2)＝,(**)即,解得：﹣62≤n≤65,故n≤65.另一方面,为使(**)取到等号,所以取b i＝i﹣1(1≤i≤64),则对任意的2≤k≤64,b k＞b k﹣1,故数列{a n}为“U﹣数列”,此时由(**)式得,所以a65＝2017,即n＝65符合题意. 综上,n的最大值为65.(3)M的最小值为,证明如下：当n0＝2m(m≥2,m∈N*)时,一方面：由(*)式,b k＋1﹣b k≥1,b m＋k﹣b k＝(b m＋k﹣b m＋k﹣1)＋(b m＋k﹣1﹣b m＋k﹣2)＋…＋(b k＋1﹣b k)≥m.此时有：(a1＋a2m)﹣(a m＋a m＋1)＝(a2m﹣a m＋1)﹣(a m﹣a1)＝(b m＋1＋b m＋2＋…＋b2m﹣1)﹣(b1＋b2＋…＋b m﹣1)＝(b m＋1﹣b1)＋(b m＋2﹣b2)＋…＋(b2m＋1﹣b m﹣1)≥m＋m＋…＋m＝m(m﹣1).即(a1＋a2m)≥(a m＋a m＋1)＋m(m﹣1)故因为,所以,另一方面,当b1＝1﹣m,b2＝2﹣m,…,b m﹣1＝﹣1,b m＝0,b m＋1＝1,b2m﹣1＝m﹣1时,a k＋1＋a k﹣1﹣2a k＝(a k＋1﹣a k)﹣(a k﹣a k﹣1)＝b k﹣b k﹣1＝1＞0取a m＝1,则a m＋1＝1,a1＞a2＞a3＞…＞a m,a m＋1＜a m＋2＜…＜a2m,且此时.综上,M的最小值为.。
杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷及答案
杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷及答案 2018.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =ð ▲ ．2．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 ▲ ． 3．已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 ▲________．4. 若nb a )(+展开式的二项式系数之和为8，则n = ▲________．5. 若实数,x y 满足 221x y +=，则xy 的取值范围是▲________．6. 若圆锥的母线长=l )(5cm ，高)(4cm h =，则这个圆锥的体积等于▲________()3cm . 7. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是▲________． 8. 若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+. 且B A ⊆， 则实数a 的取值范围为▲________．9. 在行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作，则的零点是▲________10. 已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++ (,R x λ∈，i 为虚数单位）．在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若︒=∠9021OZ Z ，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期 ▲________． 11. 当a x <<0时，不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立，则实数a 的最大值为 ▲________． 274434651xx--()f x 1()y f x =+12. 设d 为等差数列}{n a 的公差，数列}{n b 的前n 项和n T ，满足)N ()1(21*∈-=+n b T n n n n ，且25b a d ==. 若实数)3,N }(|{*32≥∈<<=∈+-k k a x a x P m k k k ，则称m 具有性质k P .若n H 是数列}{n T 的前n 项和，对任意的*N ∈n ，12-n H 都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为▲________.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 下列函数中既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的是 ………( ). x x f arcsin )(=. lg y x =.()f x x =-.()cos f x x =14. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人. 现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 ………( )()A .310()B .35()C .25()D .2315. 已知x x f θsin log )(=，，设sin cos ,2a f θθ+⎛⎫=⎪⎝⎭b f =，sin 2sin cos c f θθθ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则c b a ,,的大小关系是 ………( )()A .b c a ≤≤.()B .a c b ≤≤. ()C .a b c ≤≤.()D .c b a ≤≤.16. 已知函数nx x m x f x ++⋅=22)(，记集合},0)(|{R x x f x A ∈==，集合},0)]([|{R x x f f x B ∈==，若B A =，且都不是空集，则n m +的取值范围是………( )()A . [0,4) ()B . [1,4)- ()C . [3,5]- ()D . [0,7)()A ()B ()C ()D )2,0(πθ∈三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF PE ⊥.18. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且5cos 13B =． （1）若4sin 5A =，求cos C ； （2）若4b =，求证：5-≥⋅BC AB ．19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产一种产品，每一小时可获得的利润是)315(xx -+元，其中101≤≤x .（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线x y C 4:2=上存在不同的两点B A ,，满足PB PA ,的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且),(),,(M M P P y x M y x P ，证明：M P y y =；（3）若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的最小值.21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分） 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，其中*N ∈n . (1) 若2cos2n n n a π=+，请写出3b 的值； (2) 求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；(3) 若对任意n ，有||2018n a <, 且||1n b =，请问：是否存在*K ∈N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b += 成立？请说明理由．青浦区2018学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2018.12说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．{}1-； 2．“若a b <，则22am bm <”； 3．()2,3-；4．43； 5．12π；67．(0,4)(4,8)； 8．32；9. 80； 10. 14；11．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦；12.1,3⎤⎦.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. A ；14. D ； 15．C ；16. C .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中， ∵1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂≠平面ABCD ， ∴1AA AD ⊥，故14AA =， ∴正四棱柱的侧面积为(43)448⨯⨯=， 体积为2(3)436⨯=．（2）建立如图的空间直角坐标系O xyz -，由题意 可得(0,0,0)D ,(3,3,0)B ,1(3,0,4)A ,(0,0,0)D ,3(,0,2)2E ,1(0,0,4)AA =，3(,3,2)2BE =--，设1AA 与BE 所成角为α，直线BE 与平面ABCD 所成角为θ，则11cos ||||AA BEAA BE α⋅===⋅ 又1AA是平面ABCD 的一个法向量， 故sin cos θα==，θ=．所以直线BE 与平面ABCD所成的角为arcsin61． 【另法提示：设AD 中点为G ，证EBG ∠即为BE 与平面ABCD 所成的角，然后解直角三角形EBG ，求出EBG ∠】arctan 1518．（本题满分14分）第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分.解：（1）,1,01BP t CP t t ==-≤≤45DAQ θ∠=︒-,1tan(45)1tDQ tθ-=︒-=+, 12111t tCQ t t-=-=++所以211t PQ t +===+ 故221111211t t l CP CQ PQ t t t t t+=++=-++=-++=++ 所以△CPQ 的周长l 是定值2（2）111221ABP ADQ ABCD t t S S S S t ∆∆-=--=--⨯+正方形122(1)221t t=-++≤+当且仅当1t =时，等号成立所以摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S至多为22hm19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[)+∞4，上的弱渐近函数， 所以()()1mf xg x x-=≤ ，即m x ≤在区间[)+∞4，上恒成立， 即444m m ≤⇒-≤≤（2）()()2f x g x x x -==[)2,+x ∈∞，()()22(f x g x x x ∴-==-A DCBθP Q45令2()()()2(x xh x f x g x x=-===任取122x x≤<，则2212311x x≤-<-≤<120xx<<12()()h x h x⇒>⇒<即函数()()()2(h x f x g x x=-=在区间[)2,+∞上单调递减，所以(()()0,4f x gx-∈-，又([]0,41,1-⊆-，即满足()2g x x=使得对于任意的[)2,x∈+∞有()()1f xg x-≤恒成立，所以函数()2g x x=是函数()f x=在区间[)2,+∞上的弱渐近函数．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）242a a=⇒=，又双曲线的渐近线方程为y=，所以bba==双曲线的标准方程是221412x y-=．（2）法一：由题不妨设11()A x，22(,)B x，则1212(,)22x xP+，由P在双曲线上，代入双曲线方程得124x x⋅=；法二：当直线AB的斜率不存在时，显然2x=±，此时124xx⋅=；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(0,y kxt k k=+≠≠则由y kx tAy=+⎛⎧⎪⇒⎨=⎪⎩同理y kx tBy=+⎛⎧⎪⇒⎨=⎪⎩此时223,33kt t P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭代入双曲线方程得224(3)t k =-，所以212243t x x k ⋅==-（3）①对称中心：原点；对称轴方程：,y y x ==②顶点坐标：3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，322⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；焦点坐标：(，(1,-实轴长：2a =、虚轴长：22b =、焦距：24c =③范围：()0,,2,x y ⎡≠∈-∞+∞⎣④渐近线：0,3x y x ==21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且11b =，3k =、4d =、0c =，所以当1n ≥，n *∈N 时，310n b +=，又*2016672N 3=∈，即20170b =， 20182017044b b d =+=+=，20192018448b b d =+=+= （2）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且12b =，4k =、2d =、1c =()()()414344341434243434312336n n n n n n n n n n b b cb b b d b b d b b d b d +---------=-=⨯+-=+-=+-==则数列前4n 项中的项43n b -是以2为首项，6为公差的得差数列，易知{}4n b 中删掉含有43n b -的项后按原来的顺序构成一个首项为2公差为2的等差数列，41543()n n S b b b -∴=+++()()()()23467846454442414+n n n n n n b b b b b b b b b b b b -----++++++++++++⎡⎤⎣⎦2(1)3(31)26(3)2212822n n n n n n n n --=+⨯+⨯+⨯=+ 43nn S λ≤⋅，43nn S λ∴≤，设2412833n n n n S n n c +==，则()max n c λ≥，22211112(1)8(1)12824820333n n n n n n n n n n n c c +++++++-++-=-=当1n =时，2248200n n -++>，12c c <；当2n ≥，n *∈N 时，2248200n n -++<，1n n c c +<，∴123c c c <>>，∴()2max 649n c c ==， 即()2max 649n c c λ≥==（3）因为{}n b 既是“Γ数列”又是等比数列，设{}n b 的公比为1n nb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=，当m *∈N 时，21k m k m b b d ++-=，即()11km km km bq bq bq q d +-=-=① 1q =，则0d =，n b b =； ② 1q ≠，则()1kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-； 经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-.。
2018届杨浦区中考数学一模及答案
杨浦区2017学年度第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷（测试时刻：100分钟，总分值：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一概无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无专门说明，都必需在答题纸的相应位置上写出证明或计算的要紧步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，总分值24分） 1．若是5x =6y ，那么以下结论正确的选项是（ ）（A ）:6:5x y =； （B ）:5:6x y =； （C ）5,6x y ==； （D ）6,5x y ==．2．以下条件中，必然能判定两个等腰三角形相似的是 （ ）（A ）都含有一个40°的内角； （B ）都含有一个50°的内角； （C ）都含有一个60°的内角； （D ）都含有一个70°的内角．3．若是△ABC ∽△DEF ，A 、B 别离对应D 、E ，且AB ∶DE =1∶2，那么以劣等式必然成立的是（ ） （A ）BC ∶DE =1∶2；（B ） △ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2；（C ）∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2；（D ）△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2.4．若是2a b =（,a b 均为非零向量）,那么以下结论错误的是（ ）（A ）//a b ；（B ）20a b -=； （C ）12b a =； （D ）2a b =． 5．若是二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如下图，那么以下不等式成立的是（ ） （A ）0a >； （B ）0b <；（C ）0ac <；（D ）0bc <．6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 别离在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED =∠B ，再将以下四个选项中的一个作为条件，不必然能使得△ADE ∽△BDF 的是（ ） （A ）EA EDBD BF =； （B ）EA EDBF BD =；（C ）AD AEBD BF=； （D ）BD BABF BC=.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，总分值48分）（第6题图）7．抛物线23y x =-的极点坐标是 .8．化简：112()3()22a b a b --+= . 9．点A （-1，m ）和点B （-2，n ）都在抛物线2(3)2y x =-+上，那么m 与n 的大小关系为m n （填“<”或“>”）．10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式 .11．如图，DE 12．如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，若是△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是 . 13．Rt △ABC 中，∠C =90°，若是AC =9，cos A =13，那么AB = . 14．若是某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶ .15．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH 交于点O ，若是AB =12，那么CO = .16．已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 . 17．在平面直角坐标系中，将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）.若是一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 象限． 18．如图，在△ABC 中，AB =AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，若是sin B =23，BC =6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是 .三、解答题：（本大题共7题，总分值78分） 19．（此题总分值10分）计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒20．（此题总分值10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 别离在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值；（2）若是设AB a =，CD b =，试用a 、b 表示AC .（第20题图）C（第18题图）（第11题图） （第12题图） （第15题图）21．（此题总分值10分）甲、乙两人别离站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的线路为抛物线的一部份，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面米的D 处成功击球，球飞行进程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，成立平面直角坐标系（如下图）.求羽毛球飞行的线路所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.22．（此题总分值10分）如图是某路灯在铅垂面内的示用意，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°．路灯采纳锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角别离为α和45°，且tan α=6. 求灯杆AB 的长度．23．（此题总分值12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 已知：梯形ABCD 中，AD （1）求证：△AED ∽△CFE ； （2）当EF24．（此题总分值12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，极点为D ，对称轴与x 轴交于点H . （1）求极点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-O xy 1 2 3 412 3 4 5-1 -2 -3-1 -2 -3 （第24题图）（第21题图） ． H A （O ） B C Dxy E （第22题图）A B（第23题图）AB CDE2），且不通过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离； （3）当抛物线极点D 在第二象限时，若是∠ADH =∠AHO ，求m 的值.25．（此题总分值14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 别离在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； （2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.杨浦区初三数学期末试卷参考答案及评分建议一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，总分值24分） 1、A ； 二、C ； 3、D ； 4、B ； 5、C ； 六、C 二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，总分值48分） 7、()0,3-； 八、142a b -； 九、<； 10、24y x =-+等； 1一、12； 1二、36；（备用图） （图1） A B C D NP ME（图2） A B C D N P M E （第25题图）A B C D13、27； 14、； 1五、4； 1六、()1,4； 17、二、四； 1八、4 三、解答题：（本大题共7题，总分值78分） 19．（此题总分值10分）解：原式=12231122+⨯--------------------------------------------------（6分）=1222-----------------------------------------------------------------（2分）. --------------------------------------------------------------（2分） 20．（此题总分值10分，第（1）、（2）小题各5分） 解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分）∴设AC =3a ，AB =5a . 那么BC =4a .∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a .∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC ∴DE BDAC AB =, CE ADCB AB =. ∴335DE a a a =, 245CE a aa =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分）（2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分） ∵AB a =，CD b =，∴25AD a =. DC b =-.--------------------（2分） ∵AC AD DC =+，∴25AC a b =-.-----------------------------------（2分）21．（此题总分值10分） 解：由题意得：C （0，1），D （6，），抛物线的对称轴为直线x =（3分） 设抛物线的表达式为()210y ax bx a =++≠-------------------------------------（1分）那么据题意得：421.53661ba ab ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩. ----------------------------------------------（2分）解得：12413a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. -------------------------------------------------------------------（2分）∴羽毛球飞行的线路所在的抛物线的表达式为2111243y x x =-++. ------（1分）∵()2154243y x =--+，∴飞行的最高高度为53米. ------------------------（1分） 22．（此题总分值10分）解：由题意得∠ADE =α，∠E =45°.----------------------------------------------（2分）过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG =BC =10. 设AF =x ． ∵∠E =45°，∴EF =AF =x ． 在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF =AFDF，-----------------（1分） ∴DF =tan tan 6AF x xADF α==∠. --------------------------（1分）∵DE =，∴6xx +=. ---------------------------（1分） ∴x =. ---------------------------------------------（1分）∴AG =AF ﹣GF =﹣10=. ------------------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC =120°，∴∠ABG =∠ABC ﹣∠CBG =120°﹣90°=30°．-------------------（1分） ∴AB =2AG = ----------------------------------------------------------------------- （1分） 答：灯杆AB 的长度为米．------------------------------------------------------------（1分） 23．（此题总分值12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵∠BEC =∠BAC+∠ABD ，∠BEC =∠BEF+∠FEC ，又∵∠BEF =∠BAC ，∴∠ABD=∠ （1分） ∵AD =AB ，∴∠ABD=∠ （1分）∴∠FEC=∠ADB. -------------------------------------------------------- （1分） ∵AD --------------------------------------------------------- （1分） （2）∵EF --------------------------------------------------- （1分） ∵∠ABD=∠FEC ，∴∠ABD=∠ （1分）∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB ∽△DEC. ----------------------------------------------- （1分） ∴AE BEDE CE=.------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵ADAE DECE BE=---------------------------------------------------------------（1分） ∴AE AE BE DE DE CE CE BE⋅=⋅.即22AE DE =.-------------------------------------------（1分） ∴ AE =DE . ----------------------------------------------------------------------------- （1分） 24．（此题总分值12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 解：（1）∵22221()1y x mx m m x m m =-+--+=---+.------------------------（1分） ∴极点D （m , 1-m ）.------------------------------------------------------------------（2分） （2）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-2），∴22121m m m -=-+--+.即220m m --=. ---------------------------（1分）∴2m =或1m =-（舍去）. ------------------------------------------------------（2分） ∴抛物线的极点是（2，-1）.∵抛物线22y x x =-+的极点是（1，1），A B C EG∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. -------------------------（2分）（3）∵极点D 在第二象限，∴0m <.情形1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ， ∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m ---+=----+-. 整理得：20m m +=. ∴1m =-或0m =（舍）. --------------（2情形2，点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）.作AG ⊥DH 于点G ∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ，∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m -+-=----+-.整理得：220m m +-=. ∴2m =-或1m =（舍）. ---------（2分） ∴1m =-或2m =-.25．（此题总分值14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）解：（1）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴∠AEM =∠PEM ，AE=PE . ∵ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC .∵EP ⊥BC ，∴AB ∴∠AME =∠PEM . ∴∠AEM =∠AME . ∴AM =AE . ---------------------（2分） ∵ABCD 是矩形，∴AB ∴AM AECN CE=. ∴CN =CE . ------------------（1分） 设CN = CE =x .∵ABCD 是矩形，AB =4，BC =3，∴AC =5. ∴PE= AE=5- x . ∵EP ⊥BC ，∴4sin 5EP ACB CE =∠=. ∴545x x -=. ---------------------（1分） ∴259x =，即259CN =. ------------------------------------------------------（2分） （2）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，∴△AME ≌△PME . ∴AE=PE ，AM=PM . ∵EP ⊥AC ，∴4tan 3EP ACB CE =∠=. ∴43AE CE =. ∵AC =5，∴207AE =，157CE =.∴207PE =. ---------------------（2分） ∵EP ⊥AC ，∴257PC ===. ∴254377PB PC BC =-=-=. --------------------------------------（2分）xx在Rt △PMB 中，∵222PM PB MB =+，AM=PM . ∴2224()(4)7AM AM =+-. ∴10049AM =. --------------------------------------（2分）（3）05CP ≤≤,当CP 最大时MN .--------------------------------------------------（2分）。
杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷及答案
杨浦区2018学年度第⼀学期⾼三年级模拟质量调研数学学科试卷及答案杨浦区2018学年度第⼀学期⾼三年级模拟质量调研数学学科试卷及答案 2018.12.考⽣注意： 1．答卷前，考⽣务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．⼀、填空题（本⼤题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考⽣应在答题纸的相应位置填写结果. 1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =e ▲．2．已知扇形的半径为6，圆⼼⾓为3π，则扇形的⾯积为▲． 3．已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹⾓为▲________．4. 若nb a )(+展开式的⼆项式系数之和为8，则n = ▲________．5. 若实数,x y 满⾜ 221x y +=，则xy 的取值范围是▲________．6. 若圆锥的母线长=l )(5cm ，⾼)(4cm h =，则这个圆锥的体积等于▲________()3cm . 7. 在⽆穷等⽐数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是▲________． 8. 若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+. 且B A ?，则实数a 的取值范围为▲________．9. 在⾏列式中，第3⾏第2列的元素的代数余⼦式记作，则的零点是▲________10. 已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++ (,R x λ∈，i 为虚数单位）．在复平⾯上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若?=∠9021OZ Z ，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最⼩正周期▲________． 11. 当a x <<0时，不等式2)(1122≥-+x a x 恒成⽴，则实数a 的最⼤值为▲________． 274434651xx--()f x 1()y f x =+12. 设d 为等差数列}{n a 的公差，数列}{n b 的前n 项和n T ，满⾜)N ()1(21*∈-=+n b T n n n n ，且25b a d ==. 若实数)3,N }(|{*32≥∈<<=∈+-k k a x a x P m k k k ，则称m 具有性质k P .若n H 是数列}{n T 的前n 项和，对任意的*N ∈n ，12-n H 都具有性质k P ，则所有满⾜条件的k 的值为▲________.⼆、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有⼀个正确选项，考⽣应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的⼩⽅格涂⿊.13. 下列函数中既是奇函数，⼜在区间[-1,1]上单调递减的是 ………( ). x x f arcsin )(=. lg y x =.()f x x =-.()cos f x x =14. 某象棋俱乐部有队员5⼈，其中⼥队员2⼈. 现随机选派2⼈参加⼀个象棋⽐赛，则选出的2⼈中恰有1⼈是⼥队员的概率为 ………( )()A .310()B .35()C .25()D .2315. 已知x x f θsin log )(=，，设sin cos ,2a f θθ+??=b f =，sin 2sin cosc f θθθ=+，则c b a ,,的⼤⼩关系是 ………( )()A .b c a ≤≤.()B .a c b ≤≤. ()C .a b c ≤≤.()D .c b a ≤≤.16. 已知函数nx x m x f x ++?=22)(，记集合},0)(|{R x x f x A ∈==，集合},0)]([|{R x x f f x B ∈==，若B A =，且都不是空集，则n m +的取值范围是………( )()A . [0,4) ()B . [1,4)- ()C . [3,5]- ()D . [0,7)()A ()B ()C ()D )2,0(πθ∈三、解答题（本⼤题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）如图，PA ⊥平⾯ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.（1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：⽆论点E 在边BC 的何处，都有AF PE ⊥.18. （本题满分14分，第1⼩题满分7分，第2⼩题满分7分）在ABC ?中，⾓,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且5cos 13B =．（1）若4sin 5A =，求cos C ；（2）若4b =，求证：5-≥?BC AB ．19. （本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）上海某⼯⼚以x 千克/⼩时的速度匀速⽣产⼀种产品，每⼀⼩时可获得的利润是)315(xx -+元，其中101≤≤x .（1）要使⽣产该产品2⼩时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使⽣产900千克该产品获得的利润最⼤，问：该⼚应选取何种⽣产速度？并求最⼤利润.20. （本题满分16分，第1⼩题满分4分，第2⼩题满分5分，第3⼩题满分7分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）⼀点，抛物线x y C 4:2=上存在不同的两点B A ,，满⾜PB PA ,的中点均在抛物线C 上.（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且),(),,(M M P P y x M y x P ，证明：M P y y =；（3）若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ?⾯积的最⼩值.21. （本题满分18分，第1⼩题满分4分，第2⼩题满分5分，第3⼩题满分9分）记⽆穷数列{}n a 的前n 项中最⼤值为n M ，最⼩值为n m ，令2n nn M m b +=，其中*N ∈n . (1) 若2cos2n n n a π=+，请写出3b 的值； (2) 求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；(3) 若对任意n ，有||2018n a <, 且||1n b =，请问：是否存在*K ∈N ，使得对于任意不⼩于K 的正整数n ，有1n n b b += 成⽴？请说明理由．青浦区2018学年第⼀学期⾼三年级期终学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2018.12说明1．本解答列出试题⼀种或⼏种解法，如果考⽣的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进⾏评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考⽣的解答中出现错误⽽中断对该题的评阅．当考⽣的解答在某⼀步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这⼀题的内容和难度时，可视影响程度决定后⾯部分的给分，但是原则上不应超出后⾯部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第17题⾄第21题中右端所注的分数，表⽰考⽣正确做到这⼀步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．⼀.填空题（本⼤题满分54分）本⼤题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考⽣应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．{}1-； 2．“若a b <，则22am bm <”； 3．()2,3-；4．43； 5．12π；67．(0,4)(4,8)； 8．32；9. 80； 10. 14；11．10,2；12.1,3??.⼆.选择题（本⼤题满分20分）本⼤题共有4题，每题有且只有⼀个正确答案，考⽣应在答题纸的相应编号上，将代表答案的⼩⽅格涂⿊，选对得5分，否则⼀律得零分. 13. A ；14. D ； 15．C ；16. C .三．解答题（本⼤题满分74分）本⼤题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2⼩题，第（1）⼩题6分，第（2）⼩题8分. 解：（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，∵1AA ⊥平⾯ABCD ，AD ?≠平⾯ABCD ，∴1AA AD ⊥，故14AA =，∴正四棱柱的侧⾯积为(43)448??=，体积为2(3)436?=．（2）建⽴如图的空间直⾓坐标系O xyz -，由题意可得(0,0,0)D ,(3,3,0)B ,1(3,0,4)A ,(0,0,0)D ,3(,0,2)2E ,1(0,0,4)AA =，3(,3,2)2BE =--，设1AA 与BE 所成⾓为α，直线BE 与平⾯ABCD 所成⾓为θ，则11cos ||||AA BEAA BE α?===⼜1AA是平⾯ABCD 的⼀个法向量，故sin cos θα==，θ=．所以直线BE 与平⾯ABCD所成的⾓为arcsin61．【另法提⽰：设AD 中点为G ，证EBG ∠即为BE 与平⾯ABCD 所成的⾓，然后解直⾓三⾓形EBG ，求出EBG ∠】arctan 1518．（本题满分14分）第（1）⼩题满分8分，第（2）⼩题满分6分.解：（1）,1,01BP t CP t t ==-≤≤45DAQ θ∠=?-,1tan(45)1tDQ tθ-=?-=+, 12111t tCQ t t-=-=++所以211t PQ t +===+ 故221111211t t l CP CQ PQ t t t t t+=++=-++=-++=++ 所以△CPQ 的周长l 是定值2（2）111221ABP ADQ ABCD t t S S S S t ??-=--=--?+正⽅形122(1)221t t=-++≤+当且仅当1t =时，等号成⽴所以摄像头能捕捉到正⽅形ABCD 内部区域的⾯积S⾄多为22hm19.(本题满分14分）本题共2⼩题，第（1）⼩题6分，第（2）⼩题8分. 解：（1）因为函数()3g x x =是函数()3m=+在区间[)+∞4，上的弱渐近函数，所以()()1mf xg x x-=≤ ，即m x ≤在区间[)+∞4，上恒成⽴，即444m m ≤?-≤≤（2）()()2f x g x x x -==[)2,+x ∈∞，()()22(f x g x x x ∴-==-A DCBθP Q45令2()()()2(x xh x f x g x x=-===任取12≤<，则2212311x x≤-<-≤<120xx<<12()()h x h x><即函数()()()2(h x f x g x x=-=在区间[)2,+∞上单调递减，所以(()()0,4x-∈-，⼜([]0,41,1-?-，即满⾜()2g x x=使得对于任意的[)2,x∈+∞有()()1f xg x-≤恒成⽴，所以函数()2g x x=是函数()f x=在区间[)2,+∞上的弱渐近函数．20.(本题满分16分）本题共3⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题6分.解：（1）242a a=?=，⼜双曲线的渐近线⽅程为y=，所以bba==双曲线的标准⽅程是22412x y-=．（2）法⼀：由题不妨设11()A x，22(,)B x，则1212(,)22x xP+，由P在双曲线上，代⼊双曲线⽅程得124x x?=；法⼆：当直线AB的斜率不存在时，显然2x=±，此时124xx?=；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的⽅程为(0,t k k=+≠≠则由y kx tAy=+?=同理y kx tBy=+?=此时223,33kt t P k k ?? ?--??代⼊双曲线⽅程得224(3)t k =-，所以212243t x x k ?==-（3）①对称中⼼：原点；对称轴⽅程：,y y x = =②顶点坐标：3,22??，322??-- ? ???；焦点坐标：(，(1,-实轴长：2a =、虚轴长：22b =、焦距：24c =③范围：()0,,2,x y ?≠∈-∞+∞?④渐近线：0,3x y x ==21.(本题满分18分）本题共3⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题8分.解：（1）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且11b =，3k =、4d =、0c =，所以当1n ≥，n *∈N 时，310n b +=，⼜*2016672N 3=∈，即20170b =， 20182017044b b d =+=+=，20192018448b b d =+=+= （2）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且12b =，4k =、2d =、1c =()()()414344341434243434312336n n n n n n n n n n b b cb b b d b b d b b d b d +---------=-=?+-=+-=+-==则数列前4n 项中的项43n b -是以2为⾸项，6为公差的得差数列，易知{}4n b 中删掉含有43n b -的项后按原来的顺序构成⼀个⾸项为2公差为2的等差数列，41543()n n S b b b -∴=+++()()()()23467846454442414+n n n n n n b b b b b b b b b b b b -----++++++++++++2(1)3(31)26(3)2212822n n n n n n n n --=+++=+ 43nn S λ≤?，43nn S λ∴≤，设2412833n n n n S n n c +==，则()max n c λ≥，22211112(1)8(1)12824820333n n n n n n n n n n n c c +++++++-++-=-=当1n =时，2248200n n -++>，12c c <；当2n ≥，n *∈N 时，2248200n n -++<，1n n c c +<，∴123c c c <>>，∴()2max 649n c c ==，即()2max 649n c c λ≥==（3）因为{}n b 既是“Γ数列”⼜是等⽐数列，设{}n b 的公⽐为1n nb q b +=，由等⽐数列的通项公式有1n n b bq -=，当m *∈N 时，21k m k m b b d ++-=，即()11km km km bq bq bq q d +-=-=① 1q =，则0d =，n b b =；② 1q ≠，则()1kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-；经检验，满⾜条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()1 1n n b b -=-.。
2018年上海市杨浦区高考一模数学试卷【解析版】
2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算的结果是．2．（4分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{3，4}，若A∩B＝{3}，则实数m＝．3．（4分）已知，则＝．4．（4分）若行列式，则x＝．5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y ＝．6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于．7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．8．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若点（n，S n）（n∈N*）在函数y＝log2（x+1）的反函数的图象上，则a n＝．9．（5分）在△ABC中，若sin A、sin B、sin C成等比数列，则角B的最大值为．10．（5分）抛物线y2＝﹣8x的焦点与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g （x）＝f（x+α）为奇函数，则α的值为．12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（5分）给出下列函数：①y＝log2x；②y＝x2；③y＝2|x|；④y＝arcsin x．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）＝x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•＝0，•＝0，•＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD 的面积，则S1+S2+S3的最大值是（）A．B．2C．4D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA＝3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与P A所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2＝4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2＝16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．21．（18分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1＝1，a n＝2017，求n的最大值；（3）设n 0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s，其中max{x这s个数中最大的数，求M的最小值．2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算的结果是1．【考点】6F：极限及其运算．【解答】解：当n→+∞，→0，∴＝1，故答案为：1．2．（4分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{3，4}，若A∩B＝{3}，则实数m＝3．【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：∵集合A＝{1，2，m}，B＝{3，4}，A∩B＝{3}，∴实数m＝3．故答案为：3．3．（4分）已知，则＝﹣．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【解答】解：∵，∴＝．故答案为：﹣．4．（4分）若行列式，则x＝2．【考点】O1：二阶矩阵．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4＝0即x﹣1＝1∴x＝2故答案为：25．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y ＝6．【考点】OT：特征向量的定义．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得x＝4，y＝2，∴x+y＝6．故答案为：6．6．（4分）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：展开式的通项为T r+1＝x6﹣r（﹣）r＝（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r＝0可得r＝3常数项为（﹣2）3＝﹣160故答案为：﹣1607．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P＝＝．故答案为：．8．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若点（n，S n）（n∈N*）在函数y＝log2（x+1）的反函数的图象上，则a n＝2n﹣1．【考点】4R：反函数．【解答】解：由题意得n＝log2（S n+1）⇒s n＝2n﹣1．n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝s1＝21﹣1＝1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1；故答案为：2n﹣19．（5分）在△ABC中，若sin A、sin B、sin C成等比数列，则角B的最大值为．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵在△ABC中，sin A、sin B、sin C依次成等比数列，∴sin2B＝sin A sin C，利用正弦定理化简得：b2＝ac，由余弦定理得：cos B＝＝≥＝（当且仅当a＝c 时取等号），则B的范围为（0，]，即角B的最大值为．故答案为：．10．（5分）抛物线y2＝﹣8x的焦点与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：∵抛物线y2＝﹣8x的焦点F（﹣2，0）与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合，∴a2+1＝4，解得a＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为，故答案为：．11．（5分）已知函数，x∈R，设a＞0，若函数g（x）＝f（x+α）为奇函数，则α的值为．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【解答】解：函数，＝，＝s，函数g（x）＝f（x+α）＝为奇函数，则：（k∈Z），解得：，故答案为：12．（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数λ的取值范围为．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：假设CD的斜率存在时，设过点M（0，2）得直线方程为y＝kx+2，联立方程，整理可得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，设C（x1，y1），N（x2，y2），则△＝（16k）2﹣4×（1+4k2）×12≥0，整理得k2≥，x1+x2＝﹣，x1x2＝，（*）由，可得，x1＝λx2代入到（*）式整理可得＝＝，由k2≥，可得4≤≤，解可得＜λ＜3且λ≠1，当M和N点重合时，λ＝1，当斜率不存在时，则D（0，1），C（0，﹣1），或D（0，1），C（0，﹣1），则λ＝或λ＝3，∴实数λ的取值范围．故答案为：．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：∵＝，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．14．（5分）给出下列函数：①y＝log2x；②y＝x2；③y＝2|x|；④y＝arcsin x．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：①y＝log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；②y＝x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．③y＝2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．④y＝arcsin x是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，故选：B．15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）＝x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：t≥0⇒△＝t2+4t≥0⇒函数f（x）＝x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f（x）＝x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△＝t2+4t≥0⇒t≥0或t≤﹣4．∴“t≥0”是“函数f（x）＝x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A．16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•＝0，•＝0，•＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD 的面积，则S1+S2+S3的最大值是（）A．B．2C．4D．8【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2＝4R2＝4+S△ACD+S△ADB＝（ab+ac+bc）≤（a2+b2+c2）＝2所以S△ABC即最大值为：2故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x（l﹣3x）；由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，l）；（2）y＝x（l﹣3x）＝×3x（1﹣3x）≤×（）2＝，当x＝时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l﹣3x＝l，最大面积为．18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA＝3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与P A所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LM：异面直线及其所成的角．【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（7分），第2小题满分7分）解：（1）由题意，π•OA•SB＝15π，解得BS＝5，…（2分）故…（4分）从而体积．…（7分）（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与P A所成角．…（10分）∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，…（11分）在Rt△APH中，∠AHP＝90O，，…（12分）则，∴异面直线SO与P A所成角的大小．…（14分）19．（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【考点】18：集合的包含关系判断及应用；3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：（1）令，解得﹣1＜x＜1，所以A＝（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明：函数f（x）的定义域A＝（﹣1，1），定义域关于原点对称，f（﹣x）＝ln＝ln（）﹣1＝﹣ln＝﹣f（x），而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2＝4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2＝16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2＝4x，则p＝2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x＝my+b当m＝0时，x＝1和x＝9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b＝0的两根为y1、y2．△＝16（m2+b）＞0，y1+y2＝4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m）因为k AB•k CM＝﹣1，，所以，得b＝3﹣2m2所以△＝16（m2+b）＝16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2＝3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x＝1，x＝9（3）设直线AB：x＝my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b＝0的两根为y1、y2△＝16（m2+b）＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b所以，得b＝0或b＝4b＝0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b＝4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2＝021．（18分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1＝1，a n＝2017，求n的最大值；（3）设n 0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s 这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】8K：数列与不等式的综合．【解答】解：（1）x＝1时，，所以y＝2或3；x＝2时，，所以y＝4；x≥3时，，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i＝a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1＝1，a n＝2017时，注意到b1＝a2﹣a1≥1﹣1＝0，得（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）＝b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）＝，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i＝i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65＝2017，即n＝65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0＝2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k＝（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）＝（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）＝（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）＝（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m＝m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故因为，所以，另一方面，当b1＝1﹣m，b2＝2﹣m，…，b m﹣1＝﹣1，b m＝0，b m+1＝1，b2m﹣1＝m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k＝（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）＝b k﹣b k﹣1＝1＞0取a m＝1，则a m+1＝1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且此时．综上，M的最小值为．。
上海市杨浦区九年级上期末数学试卷含答案(一模)
杨浦区2018届第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷 2018.1（测试时间：100分钟，满分：150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果5x =6y ，那么下列结论正确的是（A ）:6:5x y =； （B ）:5:6x y =； （C ）5,6x y ==； （D ）6,5x y ==．2．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（A ）都含有一个40°的内角； （B ）都含有一个50°的内角； （C ）都含有一个60°的内角； （D ）都含有一个70°的内角．3．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ∶DE =1∶2，那么下列等式一定成立的是（A ）BC ∶DE =1∶2；（B ） △ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2；（C ）∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2；（D ）△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2.4．如果2a b =（,a b 均为非零向量）,那么下列结论错误的是 （A ）//a b ；（B ）20a b -=； （C ）12b a =； （D ）2a b =． 5．如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，那么下列不等式成立的是 （A ）0a >； （B ）0b <；（C ）0ac <；（D ）0bc <．6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED =∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE ∽△BDF 的是 （A ）EA EDBD BF =； （B ）EA EDBF BD =；（C ）AD AEBD BF=； （D ）BD BABF BC=.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．抛物线23y x =-的顶点坐标是 ． 8．化简：112()3()22a b a b --+= ． 9．点A （-1，m ）和点B （-2，n ）都在抛物线2(3)2y x =-+上，则m 与n 的大小关系为m n （填“<”或“>”）．（第6题图）10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式 ． 11．如图，DE //FG //BC ，AD ∶DF ∶FB =2∶3∶4，如果EG =4，那么AC = ． 12．如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是 ． 13．Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =9，cos A =13，那么AB = . 14．如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶ .15．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH交于点O ，如果AB =12，那么CO = ．16．已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 ．17．在平面直角坐标系中，将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 象限．18．如图，在△ABC 中，AB =AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果sin B =23，BC =6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是 .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值；（2）如果设AB a =，CD b =，试用a 、b 表示AC .（第20题图）C（第18题图）（第11题图） （第12题图） （第15题图）B21．（本题满分10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.22．（本题满分10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tan α=6. 求灯杆AB 的长度．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC .（1）求证：△AED ∽△CFE ；（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；O xy 1 2 3 412 3 4 5-1 -2 -3-1 -2 -3 （第24题图）（第21题图） ． H A （O ） B C D xy E （第22题图）ABC （第23题图）A BCDFE（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； （2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.杨浦区初三数学期末试卷参考答案及评分建议2018.1一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、A ； 2、C ； 3、D ； 4、B ； 5、C ； 6、C 二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、（0，-3）； 8、142a b ； 9、<；（备用图） （图1） A B C D NP ME（图2） A B C D N P M E （第25题图）A B C D10、24y x =-+等； 11、12； 12、36； 13、27； 14、2.4； 15、4； 16、（1，4）； 17、二、四； 18、4 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式=12231122+⨯--------------------------------------------------（6分）=1222----------------------------------------------------------------（2分）=14. --------------------------------------------------------------（2分） 20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分）∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a .∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a .∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分）（2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分） ∵AB a =，CD b =，∴25AD a =. DC b =-.--------------------（2分） ∵AC AD DC =+，∴25AC a b =-.-----------------------------------（2分）21．（本题满分10分） 解：由题意得：C （0，1），D （6，1.5），抛物线的对称轴为直线x =4.----（3分） 设抛物线的表达式为()210y ax bx a =++≠-------------------------------------（1分）则据题意得：421.53661ba ab ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩. ----------------------------------------------（2分）解得：12413a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. -------------------------------------------------------------------（2分）∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为2111243y x x =-++. ------（1分）∵()2154243y x =--+，∴飞行的最高高度为53米. ------------------------（1分） 22．（本题满分10分）解：由题意得∠ADE =α，∠E =45°.----------------------------------------------（2分）过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG =BC =10. 设AF =x ． ∵∠E =45°，∴EF =AF =x ． 在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF =AFDF，-----------------（1分） ∴DF =tan tan 6AF x xADF α==∠. --------------------------（1分）∵DE =13.3，∴6x x +=13.3. ---------------------------（1分） ∴x =11.4. ---------------------------------------------（1分）∴AG =AF ﹣GF =11.4﹣10=1.4. ------------------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC =120°，∴∠ABG =∠ABC ﹣∠CBG =120°﹣90°=30°．-------------------（1分） ∴AB =2AG =2.8 ----------------------------------------------------------------------- （1分） 答：灯杆AB 的长度为2.8米．------------------------------------------------------------（1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵∠BEC =∠BAC+∠ABD ， ∠BEC =∠BEF+∠FEC ，又∵∠BEF =∠BAC ，∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ （1分） ∵AD =AB ，∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- （1分） ∴∠FEC=∠ADB. -------------------------------------------------------- （1分） ∵AD //BC ，∴∠DAE=∠ECF .--------------------------------------------------- （1分） ∴△AED ∽△CFE. --------------------------------------------------------- （1分）（2）∵EF //D C ，∴∠FEC=∠ECD. --------------------------------------------------- （1分） ∵∠ABD=∠FEC ，∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- （1分） ∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB ∽△DEC. ----------------------------------------------- （1分） ∴AE BEDE CE=.------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵AD //BC ，∴AE DECE BE=.----------------------------------------------------------------（1分） A B C EG∴AE AE BE DE DE CE CE BE⋅=⋅.即22AE DE =.-------------------------------------------（1分） ∴ AE =DE . ----------------------------------------------------------------------------- （1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 解：（1）∵22221()1y x mx m m x m m =-+--+=---+.------------------------（1分） ∴顶点D （m , 1-m ）.------------------------------------------------------------------（2分） （2）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-2），∴22121m m m -=-+--+.即220m m --=. ---------------------------（1分） ∴2m =或1m =-（舍去）. ------------------------------------------------------（2分） ∴抛物线的顶点是（2，-1）. ∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. -------------------------（2分） （3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <.情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ， ∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m ---+=----+-. 整理得：20m m +=. ∴1m =-或0m =（舍）. --------------（2情况2，点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）.作AG ⊥DH 于点G ，∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ，∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m -+-=----+-. 整理得：220m m +-=. ∴2m =-或1m =（舍）. ---------（2分） ∴1m =-或2m =-.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）解：（1）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴∠AEM =∠PEM ，AE=PE . ∵ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . ∵EP ⊥BC ，∴AB // EP .∴∠AME =∠PEM . ∴∠AEM =∠AME . ∴AM =AE . ---------------------（2分） ∵ABCD 是矩形，∴AB // DC . ∴AM AECN CE=. ∴CN =CE . ------------------（1分） 设CN = CE =x .xx∵ABCD 是矩形，AB =4，BC =3，∴AC =5. ∴PE= AE=5- x . ∵EP ⊥BC ，∴4sin 5EP ACB CE =∠=. ∴545x x -=. ---------------------（1分） ∴259x =，即259CN =. ------------------------------------------------------（2分） （2）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，∴△AME ≌△PME . ∴AE=PE ，AM=PM . ∵EP ⊥AC ，∴4tan 3EP ACB CE =∠=. ∴43AE CE =. ∵AC =5，∴207AE =，157CE =.∴207PE =. ---------------------（2分）∵EP ⊥AC ，∴257PC ===. ∴254377PB PC BC =-=-=. --------------------------------------（2分） 在Rt △PMB 中，∵222PM PB MB =+，AM=PM . ∴2224()(4)7AM AM =+-. ∴10049AM =. --------------------------------------（2分）（3）05CP ≤≤,当CP 最大时MN .--------------------------------------------------（2分）。
2018届杨浦区高考数学一模(附答案)
杨浦区2017学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2017.12.19一、填空题1. 计算1lim 1n n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是____________ 2. 已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，若{}3A B ⋂=，则实数m=____________3. 已知3cos 5θ=-，则sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________ 4. 若行列式124012x -=，则x =____________5. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=____________6. 在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为____________ 7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），先后抛 掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是____________8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点()()*,n n S n N ∈在函数()2log 1y x =+的反函数的图像上，则n a =____________9. 在ABC 中，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则角B 的最大值为____________ 10. 抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a -=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为____________11. 已知函数()()cos sin f x x x x =-，x R ∈，设0a >，若函数()()g x f x α=+为奇函数，则α的值为____________ 12. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点()0,2M ，若MD MC λ=，则实数λ的取值范围为____________二、选择题13. 在复平面内，复数2i z i-=对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 14. 给出下列函数：①2log y x = ②2y x = ③2x y = ④arcsin y x =其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）A.①②B.②③C. ①③D.②④ 15.“0t ≥”是“函数()2f x x tx t =+-在(),-∞+∞内存在零点”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC 、ACD 、ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是（ ）A. 12B. 2C. 4D. 8三、解答题17. 如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18. 如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且OA=3，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.19. 已知函数()1ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合{},1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数不是偶函数.20. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点.（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l 又与圆()22:516C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）若0OA OB ⋅=，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，其点Q 的轨迹方程.21．若数列A ：1a ，2a ，……，()3n a n ≥中， i a ∈*N ()1i n ≤≤且对任意21k n ≤≤-，112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”．（1）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x ，y ；（2）若“U -数列”A ：1a ，2a ，……，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值；（3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，……，0n a ，记{}012max ,,...,n M a a a =，其中{}12max ,,...,s M x x x =表示12,,...,s x x x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值．参考答案1、12、33、35- 4、2 5、6 6、160-7、112 8、12n - 9、3π 10、3π 11、()26k k N ππ*-∈ 12、(]1,11,33⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ 13-16、CBAB17、（1）()23303l y x l x x lx x ⎛⎫=-=-+<< ⎪⎝⎭； （2）当6l x =时，场地面积最大为212l ； 18、（1）12π；（2）19、（1）[]1,0-；（2）证明略；20、（1）2； （2）有两条，为1x =或9x =；（3）略21、（1）(){}()()(){},1,2,1,3,2,4x y =；（2）若112k k k a a a +-+>，则11k k k k a a a a +-->-，即()()111k k k k a a a a +--≥-+ ∴()()()112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 即()()()()()()()1112212112...12n n n n n n n a a a a a a a a n a a ------=-+-++-≥--+ ∴()()()()2112201612n n n a a --≥--+ ∵11a =，i a ∈*N ，故210a a -≥，故易知当210a a -=时，()()122n n --可取的值最大，即n 可取到最大值，满足条件 ()()1220162n n --≥，解得6265n -≤≤，故max65n =． （3）略。
高三数学-2018年上海市杨浦区高三模拟测试[转载] 精品
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2018年上海市杨浦区高三模拟测试(数学试卷)考生注意：1. 答题前，考生务必将学校、姓名、班级、学号等填写清楚；2. 本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔书写，请不要将答案写在试卷的密封线以内；3. 新教材试点学校的考生请注意试卷最后的符号说明。
一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1. 若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+=023x x x A ，集合}1|1|{>-=x x B ，则A ⋃B =__________。
2. 若向量},5{t =，}1,3{-=，并且+与垂直，则实数t 的值为__________。
3. 若函数y =8x 的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛a ,32，则log a 8的值是__________。
4. 若数列{log 3a n }为等差数列，并且log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=10，则a 5⋅a 6=__________。
5. 方程x 5+lg x =100的近似解为__________(精确到0.1)。
6. (理) 若二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+231(n 为正整数)展开式中只有第6项的系数最大，则展开式的常数项的值为__________。
(文) 无穷等比数列{a n }，公比为q ，并且21)(lim 32=+++∞→n n a a a ，则首项a 1的范围是__________。
7. 如图，三棱锥A -BCD 中，AC ⊥平面BCD ，∠BCD =90︒，BC =8，CD =34，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF =8，EF 与BC 所成的角为60︒，则三棱锥A -BC D 的体积V =__________。
ABDCEF8. 若双曲线1922=-m y x 的渐近线的方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为__________。
年上海市杨浦区高考数学一模试卷
201８年上海市杨浦区高考数学一模试卷一．填空题（本大题共12题，1-6每题４分，7-12每题5分，共54分)1.（4分)计算的结果是.2.（4分）已知集合A={１，2,m}，Ｂ＝{3,4},若A∩B＝{3},则实数ｍ= ．3．(４分）已知，则＝．４.（4分）若行列式,则x＝.５．（４分）已知一个关于ｘ、y的二元一次方程组的增广矩阵是,则ｘ+y=．6.（4分）在的二项展开式中，常数项等于.７.（5分)若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,３,4,5,６个点的正方体玩具），先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为４的概率是.8．(5分）数列{a n}的前n项和为Sｎ，若点(n，S n）(n∈Ｎ＊）在函数y=log2（x+１)的反函数的图象上，则a n= ．9．（５分）在△ＡBC中,若sinA、sｉｎB、sinC成等比数列,则角B的最大值为．1０．(5分)抛物线y2＝﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为.11．（５分)已知函数,ｘ∈Ｒ，设a>０，若函数ｇ(x）=f（x+α）为奇函数,则α的值为.12.（5分）已知点C、Ｄ是椭圆上的两个动点，且点M（0，2）,若，则实数λ的取值范围为．二.选择题（本大题共４题，每题５分，共20分）13.（5分)在复平面内,复数对应的点位于（)A.第一象限Ｂ.第二象限 C.第三象限ﻩD．第四象限14.（5分)给出下列函数：①y=log2x；②y＝x2；③y=2|ｘ|;④y=ａrcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是( )A.①②B．②③C．①③ﻩD.②④１5．（5分)“t≥0”是“函数f(x）＝x2+ｔx﹣t在(﹣∞,+∞）内存在零点”的() A.充分非必要条件ﻩＢ．必要非充分条件C.充要条件ﻩD.既非充分也非必要条件1６．(5分）设A、Ｂ、C、D是半径为１的球面上的四个不同点，且满足•=０，•=０，•=０，用Ｓ1、S2、S３分别表示△ＡBC、△AＣD、△ABD的面积,则S１＋S２+S3的最大值是( )Ａ.ﻩB.2ﻩＣ.４ﻩD．8三.解答题(本大题共5题，共14+14+１4+16+18=76分）17．(14分）如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开．（1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域;（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少?18．（1４分)如图,已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OＡ和ＯＢ互相垂直，且ＯA=3,P是母线BＳ的中点.（1)求圆锥的体积;（２)求异面直线SO与PＡ所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)19.(1４分)已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1)，且B⊆A.（１）求实数a的取值范围；(2)求证：函数f（ｘ)是奇函数但不是偶函数．20．(1６分)设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点. (1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离;（2）若直线ｌ又与圆Ｃ:（x﹣５）2＋y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点,求直线l的方程;（３)若，点Q在线段AB上，满足OＱ⊥ＡB,求点Q的轨迹方程. 21.（18分)若数列Ａ：a1,a２,…,ａn(n≥3)中(1≤i≤n）且对任意的２≤ｋ≤n﹣1,a k+1+a k﹣1＞2aｋ恒成立,则称数列A为“Ｕ﹣数列”．（1）若数列1，x,y,7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“Ｕ﹣数列”A:ａ1,a2,…，a n中，ａ1=1,ａn＝2０1７，求n的最大值；（3）设n 0为给定的偶数,对所有可能的“U﹣数列”A:a1,a2，…，，记,x2，…，x s}表示x1,ｘ2，…，x s这s个，其中max{x１数中最大的数，求M的最小值.ﻬ20１８年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题，1-６每题4分，7-12每题5分，共54分)1.(４分）计算的结果是１．【解答】解：当ｎ→＋∞,→0,∴＝1，故答案为:1.2．（4分)已知集合A={１，2，m}，B={3，4｝,若A∩B＝{3},则实数m= 3 .【解答】解:∵集合Ａ={1,2,m}，B={３，4}，A∩B＝{3},∴实数m=3．故答案为:３．3．（4分）已知，则= ﹣.【解答】解:∵，∴=.故答案为:﹣．4．（4分)若行列式，则x＝2．【解答】解：∵，∴2×2x﹣１﹣4＝0即ｘ﹣1=1∴ｘ=2故答案为:25．（４分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+ｙ= 6 ．【解答】解:∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得ｘ=4，y＝2，∴ｘ+ｙ=6．故答案为：６.６.（4分）在的二项展开式中,常数项等于﹣16０．=x6﹣ｒ（﹣）r=(﹣2）r x６﹣2r【解答】解:展开式的通项为Tｒ+１令６﹣2ｒ=0可得ｒ=3常数项为(﹣2)3=﹣1６0故答案为:﹣1６07.（５分)若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3,４，5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是.【解答】解：基本事件共６×6个,点数和为4的有（1,３）、(2，2)、(3,1）共３个，故P==.故答案为：．８．（5分）数列{a}的前ｎ项和为S n,若点（ｎ,S n)(n∈N*)在函数y＝log２（ｘ＋ｎ1)的反函数的图象上，则a n= ２n﹣1.【解答】解：由题意得n=loｇ2（S n+1)⇒s n=２n﹣1．n≥２时，aｎ=s n﹣sｎ﹣1=2n﹣2n﹣１＝２ｎ﹣1,当n=1时,a1=s1＝２1﹣1=1也适合上式,∴数列{a n｝的通项公式为ａn=２ｎ﹣1；故答案为：2ｎ﹣19.(５分）在△AＢC中，若sinA、sinB、sｉnC成等比数列，则角B的最大值为.【解答】解:∵在△ABC中,sinA、sinB、sinＣ依次成等比数列,∴ｓｉn2B=ｓinAsinC,利用正弦定理化简得：b2＝aｃ,由余弦定理得：ｃoｓＢ==≥＝(当且仅当a=c时取等号），则B的范围为（０，］,即角Ｂ的最大值为.故答案为:.10.（5分）抛物线ｙ2=﹣８x的焦点与双曲线﹣ｙ2=1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【解答】解:∵抛物线y2=﹣８x的焦点F(﹣2,0)与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合,∴ａ２+１=4,解得ａ=，∴双曲线的渐近线方程为ｙ＝,∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为，故答案为：.１1.(5分）已知函数,x∈R,设a>0,若函数ｇ(ｘ)=f （ｘ+α)为奇函数,则α的值为．【解答】解:函数,=,＝s，函数g(x）=f(x+α）=为奇函数,则:（ｋ∈Z）,解得：,故答案为：12.（５分)已知点Ｃ、D是椭圆上的两个动点,且点M(0,2),若，则实数λ的取值范围为．【解答】解:假设CD的斜率存在时,设过点Ｍ（0，2)得直线方程为y＝kx+2,联立方程,整理可得（1+4k2)x2+16ｋx+１2=0，设C(x1，ｙ1），Ｎ(x2，y2），则△=(１６k)2﹣４×（1＋4ｋ2)×12≥0,整理得k2≥, x1+x２＝﹣,x1x２=,(*）=λｘ2代入到(*）式整理可得由,可得,ｘ１==,由k2≥，可得4≤≤,解可得<λ<3且λ≠１，当Ｍ和N点重合时，λ=1，当斜率不存在时，则D（０，1),C（0,﹣1）,或D(0，1）,C(0,﹣1)，则λ=或λ=3∴实数λ的取值范围.故答案为：．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13.（５分)在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限ﻩB．第二象限C．第三象限ﻩD．第四象限【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（﹣１，﹣2),位于第三象限．故选：C．14．(5分)给出下列函数：①y＝ｌog2x;②y=x２;③y=2|ｘ|;④ｙ=ａrcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是()A.①②B.②③ﻩC．①③ D.②④【解答】解:①y＝log2x的定义域为(0,+∞)，定义域关于原点不对称,则函数为非奇非偶函数;②y=x２;是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．③y=２|x|是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件.④y=arcｓiｎｘ是奇函数，图象关于ｙ轴不对称，不满足条件，故选:B.15．(5分)“t≥0”是“函数f（ｘ)=ｘ2+ｔｘ﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（）A．充分非必要条件ﻩＢ.必要非充分条件Ｃ.充要条件ﻩD．既非充分也非必要条件【解答】解：ｔ≥0⇒△=t２+4t≥０⇒函数f（x）=ｘ２+tx﹣t在（﹣∞，＋∞）内存在零点,函数f（x）＝x2+ｔｘ﹣t在(﹣∞,+∞)内存在零点⇒△=t2+4ｔ≥0⇒ｔ≥０或ｔ≤﹣４.∴“t≥０”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞,＋∞)内存在零点”的充分非必要条件.故选:A．16.（5分)设Ａ、B、Ｃ、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0,•=0，用S１、Ｓ2、S3分别表示△ＡBC、△ＡCD、△ABＤ的面积，则S+S2＋S3的最大值是(）１A. B.2ﻩC．4 D．8【解答】解:设ＡB=a,AC=b，AＤ＝c，因为AB，ＡC,ＡＤ两两互相垂直，扩展为长方体,它的对角线为球的直径,所以a ２＋b2+c2=４R2=4所以S△ＡBC ＋Ｓ△ＡＣD+Ｓ△ＡDB＝(ａb+ac+bc)≤（a2+ｂ2+c２)=2即最大值为:2故选:Ｂ．三.解答题（本大题共5题,共14+14＋14+１6+１8=７6分)1７．(1４分）如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成ｘ的函数,并确定这个函数的定义域;（２）怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?【解答】解:（１）设场地面积为ｙ,垂直于墙的边长为ｘ,它的面积y=x(l﹣３ｘ）；由ｘ>0,且l﹣3x＞０,可得函数的定义域为（０,l);(2)ｙ=ｘ（ｌ﹣3x）=×3ｘ(1﹣３x)≤×（)2＝，当x=时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l﹣3ｘ=l,最大面积为.１８．（14分）如图,已知圆锥的侧面积为１５π，底面半径OA和ＯB互相垂直，且OA=3,Ｐ是母线ＢS的中点.(1)求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PＡ所成角的大小．（结果用反三角函数值表示)【解答】（本题满分（14分),第1小题满分（7分），第2小题满分7分)解：(1)由题意,π•OＡ•ＳＢ＝1５π,解得BS=5,…（2分)故…(４分）从而体积.…(７分)(2）如图,取OB中点H，连结PＨ、AH．由P是SＢ的中点知ＰＨ∥SO，则∠APH(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角．…(10分）∵SO⊥平面ＯAB，∴ＰH⊥平面OAB，∴PH⊥AH.在△OAＨ中，由OA⊥OB,得，…(1１分）在Rt△ＡPＨ中,∠AHP=90O,，…（12分)则,∴异面直线ＳＯ与PA所成角的大小.…（14分)19.（14分)已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a＋1)，且Ｂ⊆Ａ．（１）求实数a的取值范围;（2）求证：函数f（x)是奇函数但不是偶函数.【解答】解：（１）令,解得﹣1＜x＜１,所以A=(﹣1，１）,因为B⊆A，所以,解得﹣1≤a≤0,即实数ａ的取值范围是[﹣1,０]；(2)证明：函数f（ｘ）的定义域A＝(﹣1，1)，定义域关于原点对称，f(﹣ｘ)=ln＝ln(）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以,所以函数f(x)是奇函数但不是偶函数．20.（1６分）设直线ｌ与抛物线Ω：ｙ2=4x相交于不同两点A、B,Ｏ为坐标原点．(1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：(x﹣5）2+ｙ2=16相切于点Ｍ,且M为线段AB的中点，求直线l的方程；(3)若，点Q在线段AB上，满足ＯQ⊥AＢ,求点Ｑ的轨迹方程．【解答】解:(1)根据题意,抛物线Ω的方程为y２＝４x,则p=2,故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2;(２）设直线l:ｘ=my＋b当ｍ=0时,x=1和x=9符合题意；当m≠0时,A（x,y1)、Ｂ（ｘ２，y２)的坐标满足方程组，１所以y2﹣４my﹣4b=0的两根为y1、ｙ2．△=16（m２+b）＞0，y1+y2=４m，所以,所以线段AB的中点M（2ｍ2+ｂ，2m）因为k AB•kＣM=﹣1,，所以,得b=3﹣２m２所以△=16(m2+b)＝16（3﹣m2)>0，得０<m２<3因为,所以m２=３(舍去)综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3)设直线AB:x＝mｙ+b,A(x1，y1)、Ｂ(ｘ2,ｙ2)的坐标满足方程组，所以y2﹣4ｍy﹣4ｂ=0的两根为y1、y2△＝１６(ｍ２+b）>０,y1＋y２=4m，y1ｙ2＝﹣4b所以,得b=0或b=4b=０时，直线ＡB过原点，所以Q(０,0）；b=4时，直线AB过定点P（4，０）设Q(x,y),因为OQ⊥AB，所以(ｘ≠０）,综上,点Q的轨迹方程为x２﹣4x+y2=０2１.(１8分)若数列A:ａ1，a2,…，ａn（n≥３)中(1≤i≤n）且对任意的２+a k﹣１>2aｋ恒成立,则称数列Ａ为“U﹣数列”．≤ｋ≤n﹣1,ａk+1（1）若数列1,x，ｙ,７为“U﹣数列”,写出所有可能的x、y;（２）若“U﹣数列”A:a1,a２,…,ａn中，ａ1=1，a n=2０17，求n的最大值；（３)设n０为给定的偶数,对所有可能的“Ｕ﹣数列”A:a1，ａ2，…，，记,其中max{x １，x2，…，x s}表示x1，ｘ2,…，xｓ这ｓ个数中最大的数,求M的最小值.【解答】解：（1)x=１时,,所以y=2或３；x=2时,，所以y＝4；x≥３时，，无整数解；所以所有可能的x,ｙ为，或．（2)ｎ的最大值为65，理由如下：一方面，注意到:aｋ+1+ａk﹣1＞2ａk⇔a k+１﹣ａk＞ａk﹣a k﹣1．对任意的1≤ｉ≤n﹣1,令b i＝a i+1﹣a i，则ｂi∈Z且b k＞b k﹣1（2≤ｋ≤n﹣１),故bｋ≥b k﹣１+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．(*）当a1=1，ａn＝20１7时，注意到b1=a２﹣ａ1≥1﹣1＝0,得（2≤i≤n﹣1)即b i≥i﹣１,此时a n﹣a1＝(a n﹣a n﹣1）＋(a n﹣1﹣ａn﹣2）+…+（a2﹣a1)=ｂn﹣１+b n﹣2＋…+b1≥0+1+2＋…+(ｎ﹣２)=,(*＊)即,解得：﹣6２≤n≤6５，故n≤65．另一方面，为使（*＊)取到等号,所以取b i=i﹣1(1≤i≤64），则对任意的2≤ｋ≤64，b k＞b k﹣1，故数列{ａn}为“U﹣数列”，此时由（**)式得,所以a65＝2017,即n=65符合题意．综上,n的最大值为6５.（３）M的最小值为,证明如下：当ｎ0＝2m（m≥2,ｍ∈Ｎ*）时,一方面：由(*）式,b k+1﹣bｋ≥１，b m+k﹣b k＝(b m+k﹣b m＋k﹣１)+(ｂm+k﹣1﹣ｂm＋ｋ﹣2）+…+（ｂk+1﹣bｋ）≥m.此时有：（a1+ａ2m）﹣(a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1)﹣(a m﹣ａ1）=（b m＋1+b m＋2+…+b2ｍ﹣1）﹣（b１＋ｂ2+…+bｍ﹣１)=(b m+1﹣b1）+(b m＋2﹣ｂ2)+…＋（b2m+1﹣b m﹣１)≥m+ｍ＋…+ｍ=m(m﹣1）．即（a1+a2ｍ）≥(aｍ+a m+1）＋ｍ(ｍ﹣1）故因为，所以,另一方面，当b1＝１﹣ｍ,b2=2﹣m,…，bｍ﹣1＝﹣1,bｍ=０,ｂm+1=1，b２ｍ﹣1＝m﹣１时，ａk＋1+aｋ﹣1﹣２ａk=（ａk+1﹣a k）﹣(a k﹣ａｋ﹣1）＝b k﹣b k﹣1=1＞0取aｍ=1，则a m＋1=1,a1>ａ２>a3>…＞aｍ,a m+1＜aｍ+2<…<a2m，且此时.综上，M的最小值为.。
★试卷3套精选★上海市杨浦区2018年中考数学第一次阶段模拟试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市【答案】D【解析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．【详解】A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确，不符合题意；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确，不符合题意；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确，不符合题意；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误，符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．2．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：110°•（n-2）=3×360°解得n=1．故选A．点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．3．如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图的定义可知，A是该几何体的三视图，B、C、D不是该几何体的三视图.故选A.点睛:从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，看不到的线画虚线.本题从左面看有两列，左侧一列有两层，右侧一列有一层.4．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是（）A．CDBCB．ACABC．ADACD．CDAC【答案】D【解析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【详解】∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B=α，A、在Rt△BCD中，sinα=CDBC，故A正确，不符合题意；B、在Rt△ABC中，sinα=ACAB，故B正确，不符合题意；C、在Rt△ACD中，sinα=ADAC，故C正确，不符合题意；D、在Rt△ACD中，cosα=CDAC，故D错误，符合题意，故选D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵a ＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c ＜0，∴抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a ＜0、b ＞0，对称轴为x=2b a -＞0， ∴对称轴在y 轴右侧，故第四个选项错误．故选B ．6．已知一组数据1、2、3、x 、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】先由平均数是3可得x 的值，再结合方差公式计算．【详解】∵数据1、2、3、x 、5的平均数是3， ∴12355x ++++=3， 解得：x=4，则数据为1、2、3、4、5，∴方差为15×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2， 故选B ．【点睛】本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义．7．矩形ABCD 与CEFG ，如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）A．1 B．23C．22D．5【答案】C【解析】分析：延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=12PG，再利用勾股定理求得PG=2，从而得出答案．详解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵PAH GFHAH FHAHP FHG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=12PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=12PG=1222PD DG+=22，点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．8．某反比例函数的图象经过点（-2,3），则此函数图象也经过（）A．（2，-3）B．（-3,3）C．（2,3）D．（-4,6）【答案】A【解析】设反比例函数y=kx（k为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（-2，3），则k=-6，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征分别进行判断．【详解】设反比例函数y=kx（k为常数，k≠0），∵反比例函数的图象经过点（-2，3），∴k=-2×3=-6，而2×（-3）=-6，（-3）×（-3）=9，2×3=6，-4×6=-24，∴点（2，-3）在反比例函数y=-6x的图象上．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．9．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3C．y＝2(x+3)2D．y＝2(x﹣3)2【答案】C【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.【详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C.【点睛】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.10．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（）A．8 B．6 C．12 D．10【解析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．【详解】∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，即△PCD的周长为12，故选：C．【点睛】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是_____．【答案】8﹣π【解析】分析：如下图，过点D作DH⊥AE于点H，由此可得∠DHE=∠AOB=90°，由旋转的性质易得DE=EF=AB，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，结合∠ABO+∠BAO=90°可得∠BAO=∠DEH，从而可证得△DEH≌△BAO，即可得到DH=BO=2，再由勾股定理求得AB的长，即可由S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S即可求得阴影部分的面积.扇形DEF详解：如下图，过点D作DH⊥AE于点H，∴∠DHE=∠AOB=90°，∵OA=3，OB=2，∴22+3213由旋转的性质结合已知条件易得：13，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，又∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠DEH，∴△DEH≌△BAO，∴DH=BO=2，∴S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF=22 9031190(13)325236022360ππ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=8π-.故答案为：8π-.点睛：作出如图所示的辅助线，利用旋转的性质证得△DEH≌△BAO，由此得到DH=BO=2，从而将阴影部分的面积转化为：S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF来计算是解答本题的关键.12．分解因式：m2n﹣2mn+n= ．【答案】n（m﹣1）1．【解析】先提取公因式n后，再利用完全平方公式分解即可【详解】m1n﹣1mn+n=n（m1﹣1m+1）=n（m﹣1）1．故答案为n（m﹣1）1．13．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是．【答案】4 5【解析】试题分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即1024 105-=.考点：概率14．如图,点A在双曲线kyx=上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______．【答案】－4【解析】:由反比例函数解析式可知：系数k x y =⋅， ∵S △AOB =2即122k x y =⋅=，∴224k xy ==⨯=； 又由双曲线在二、四象限k ＜0，∴k=-415．如图①，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC=90°，P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D 的顺序在边上匀速运动，设P 点的运动时间为t 秒，△PAD 的面积为S ，S 关于t 的函数图象如图②所示，当P 运动到BC 中点时，△PAD 的面积为______．【答案】1【解析】解：由图象可知，AB+BC=6，AB+BC+CD=10，∴CD=4，根据题意可知，当P 点运动到C 点时，△PAD 的面积最大，S △PAD =12×AD×DC=8，∴AD=4，又∵S △ABD =12×AB×AD=2，∴AB=1，∴当P 点运动到BC 中点时，△PAD 的面积=12×12（AB+CD ）×AD=1，故答案为1． 16．一只蚂蚁从数轴上一点 A 出发，爬了7 个单位长度到了+1，则点 A 所表示的数是_____【答案】﹣6 或 8【解析】试题解析：当往右移动时，此时点A 表示的点为﹣6，当往左移动时，此时点A 表示的点为8. 17．函数y ＝的自变量x 的取值范围是_____．【答案】x≠﹣1【解析】根据分母不等于2列式计算即可得解．【详解】解：根据题意得x+1≠2，解得x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．【点睛】考查的知识点为：分式有意义，分母不为2．18．如图，直线y 1＝mx 经过P(2，1)和Q(－4，－2)两点，且与直线y 2＝kx ＋b 交于点P ，则不等式kx ＋b ＞mx ＞－2的解集为_________________．【答案】－4＜x＜1【解析】将P（1，1）代入解析式y1=mx，先求出m的值为12，将Q点纵坐标y=1代入解析式y=12x，求出y1=mx的横坐标x=-4，即可由图直接求出不等式kx+b＞mx＞-1的解集为y1＞y1＞-1时，x的取值范围为-4＜x＜1．故答案为-4＜x＜1．点睛：本题考查了一次函数与一元一次不等式，求出函数图象的交点坐标及函数与x轴的交点坐标是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．华联超市准备代销一款运动鞋，每双的成本是170元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是40双，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5双，设每双降低x元(x为正整数)，每天的销售利润为y元．求y与x的函数关系式；每双运动鞋的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣5x2+110x+1200；(2) 售价定为189元，利润最大1805元【解析】利润等于（售价﹣成本）×销售量，根据题意列出表达式，借助二次函数的性质求最大值即可；【详解】（1）y＝（200﹣x﹣170）（40+5x）＝﹣5x2+110x+1200；（2）y＝﹣5x2+110x+1200＝﹣5（x﹣11）2+1805，∵抛物线开口向下，∴当x＝11时，y有最大值1805，答：售价定为189元，利润最大1805元；【点睛】本题考查实际应用中利润的求法，二次函数的应用；能够根据题意列出合理的表达式是解题的关键．20．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：参加比赛的学生共有____名；在扇形统计图中，m的值为____，表示“D 等级”的扇形的圆心角为____度；组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）20；（2）40，1；（3）23．【解析】试题分析：（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数；（2）根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数和m的值；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．试题解析：解：（1）根据题意得：3÷15%=20（人），故答案为20；（2）C级所占的百分比为820×100%=40%，表示“D等级”的扇形的圆心角为420×360°=1°；故答案为40、1．（3）列表如下：所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P恰好是一名男生和一名女生=46=23．21．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线1y x32=-+交AB，BC分别于点M，N，反比例函数kyx=的图象经过点M，N．求反比例函数的解析式；若点P 在y 轴上，且△OPM 的面积与四边形BMON 的面积相等，求点P 的坐标．【答案】（1）4y x =；（2）点P 的坐标是（0，4）或（0，－4）. 【解析】（1）求出OA=BC=2，将y=2代入1y x 32=-+求出x=2，得出M 的坐标，把M 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案. （2）求出四边形BMON 的面积，求出OP 的值，即可求出P 的坐标.【详解】（1）∵B （4，2），四边形OABC 是矩形，∴OA=BC=2.将y=2代入1y x 32=-+3得：x=2，∴M （2，2）. 把M 的坐标代入k y x =得：k=4， ∴反比例函数的解析式是4y x=； （2）AOM CON BMON OABC 1S S S S 422442∆∆=--=⨯-⨯⨯=四边形矩形. ∵△OPM 的面积与四边形BMON 的面积相等，∴1OP AM 42⋅⋅=. ∵AM=2，∴OP=4.∴点P 的坐标是（0，4）或（0，－4）.22．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的顶点为M ，直线y ＝m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是_____．抛物线y ＝212x 对应的准蝶形必经过B （m ，m ），则m ＝_____，对应的碟宽AB 是_____．抛物线y ＝ax 2﹣4a ﹣53（a ＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB ＝1．①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （x p ，y p ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出y p 的取值范围．若没有，请说明理由．【答案】（1）MN 与AB 的关系是：MN ⊥AB ，MN ＝12AB ，（2）2，4；（2）①y ＝13x 2﹣2；②在此抛物线的对称轴上有这样的点P ，使得∠APB 为锐角，y p 的取值范围是y p ＜﹣2或y p ＞2．【解析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；（2）利用已知点为B （m ，m ），代入抛物线解析式进而得出m 的值，即可得出AB 的值；（2）①根据题意得出抛物线必过（2，0），进而代入求出答案；②根据y ＝13x 2﹣2的对称轴上P （0，2），P （0，﹣2）时，∠APB 为直角，进而得出答案． 【详解】（1）MN 与AB 的关系是：MN ⊥AB ，MN ＝12AB ， 如图1，∵△AMB 是等腰直角三角形，且N 为AB 的中点，∴MN ⊥AB ，MN ＝12AB ， 故答案为MN ⊥AB ，MN ＝12AB ；（2）∵抛物线y ＝212x 对应的准蝶形必经过B （m ，m ）， ∴m ＝12m 2， 解得：m ＝2或m ＝0（不合题意舍去）， 当m ＝2则，2＝12x 2， 解得：x ＝±2，则AB ＝2+2＝4；故答案为2，4；（2）①由已知，抛物线对称轴为：y 轴，∵抛物线y ＝ax 2﹣4a ﹣53（a ＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB ＝1． ∴抛物线必过（2，0），代入y ＝ax 2﹣4a ﹣53（a ＞0）， 得，9a ﹣4a ﹣53＝0，解得：a＝13，∴抛物线的解析式是：y＝13x2﹣2；②由①知，如图2，y＝13x2﹣2的对称轴上P（0，2），P（0，﹣2）时，∠APB 为直角，∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，y p的取值范围是y p＜﹣2或y p＞2．【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键．23．某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为必修学科，另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为A、B、C、D、E、F）六门选修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对调查结果进行了分析统计，并制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，完成下列问题：该班共有学生人；请将条形统计图补充完整；该班某同学物理成绩特别优异，已经从选修学科中选定物理，还需从余下选修学科中任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化学、历史两科的概率．【答案】（1）50人；（2）补图见解析；（3）1 10.【解析】分析：（1）根据化学学科人数及其所占百分比可得总人数；（2）根据各学科人数之和等于总人数求得历史的人数即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、历史两科的结果数，再利用概率公式计算可得．详解：（1）该班学生总数为10÷20%=50人；（2）历史学科的人数为50﹣（5+10+15+6+6）=8人，补全图形如下：（3）列表如下：化学生物政治历史地理化学生物、化学政治、化学历史、化学地理、化学生物化学、生物政治、生物历史、生物地理、生物政治化学、政治生物、政治历史、政治地理、政治历史化学、历史生物、历史政治、历史地理、历史地理化学、地理生物、地理政治、地理历史、地理由表可知，共有20种等可能结果，其中该同学恰好选中化学、历史两科的有2种结果，所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为21= 2010．点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．24．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）【答案】B、C两地的距离大约是6千米．【解析】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．【详解】解：过B 作BD AC ⊥于点D ．在Rt ABD 中，BD AB sin BAD 40.8 3.2(∠=⋅=⨯=千米)， BCD 中，CBD 903555∠=-=，CD BD tan CBD 4.48(∠∴=⋅=千米)，BC CD sin CBD 6(∠∴=÷≈千米)．答：B 、C 两地的距离大约是6千米．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．25．先化简，再求值：222(2)()y x y y x y x y x y x y ⎛⎫--÷--+ ⎪+-⎝⎭，其中1x =-，2y =. 【答案】1【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式的除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 详解：原式()()()()222,x y x y y xy y x y x y x y x y x y -+⎛⎫+=-⋅--+ ⎪++-⎝⎭()()()222,x y x y xy x xy y x y x y -+-=⋅---+- 222,xy x xy y =--++222x y =-+，当x=-1、y=2时，原式=-（-1）2+2×22=-1+8=1．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()30y kx k =+≠与x 轴交于点A ，与双曲线()0m y m x=≠的一个交点为B （－1，4）.求直线与双曲线的表达式；过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，若点P 在双曲线m y x =上，且△PAC 的面积为4，求点P 的坐标.【答案】（1）直线的表达式为3y x =-+，双曲线的表达方式为4y x=-；（2）点P 的坐标为1(2,2)P -或2(2,2)P -【解析】分析：（1）将点B （-1，4）代入直线和双曲线解析式求出k 和m 的值即可；（2）根据直线解析式求得点A 坐标，由S △ACP ＝12AC•|y P |＝4求得点P 的纵坐标，继而可得答案． 详解：（1）∵直线()30y kx k =+≠与双曲线y =m x （0m ≠）都经过点B （－1，4）， 34,14k m ∴-+==-⨯，1,4k m ∴=-=-，∴直线的表达式为3y x =-+，双曲线的表达方式为4y x=-.（2）由题意，得点C 的坐标为C （－1，0），直线3y x =-+与x 轴交于点A （3，0），4AC ∴=，∵142ACP P S AC y ∆=⋅=， 2P y ∴=±，点P 在双曲线4y x=-上， ∴点P 的坐标为()12,2P -或()22,2P -.点睛：本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至点M，则∠BCM的度数为( )A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】B【解析】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．2．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 【答案】A【解析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是13，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13，∴OD DCOB AB，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．3．如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，据此可得．【详解】由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2列只有前排2个正方形，所以其主视图为：故选C．【点睛】考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝﹣1x图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x2＜x3＜x1【答案】D【解析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及在每一象限内函数的增减性，再根据y1＜0＜y2＜y3判断出三点所在的象限，故可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y＝﹣1x中k＝﹣1＜0，∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵y1＜0＜y2＜y3，∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x3，y3）两点均在第二象限，∴x2＜x3＜x1．故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键．5．如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（）A ．125°B ．135°C ．145°D ．155°【答案】A 【解析】分析：如图求出∠5即可解决问题．详解：∵a ∥b ，∴∠1=∠4=35°，∵∠2=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠5=55°，∴∠3=180°-∠5=125°，故选：A ．点睛：本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．6．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E.若60B ∠=︒，AC=3，则CD 的长为A ．6B ．23C 3D ．3【答案】D 【解析】解：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB=90°,又⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，60B ∠=︒，所以在Rt △AEC 中，∠A=30°,又AC=3，所以CE=12AB=32,所以CD=2CE=3， 故选D.【点睛】本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大.7．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 11()1323x x x ▲---+=-， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x ＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。
上海初三九年级2018届杨浦区中考数学一模试卷及参考答案
C D （第 22 题图）
E
23．（本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）
已知：梯形 ABCD 中，AD//BC，AD=AB，对角线 AC、BD 交于点 E，点 F 在边 BC 上，且∠BEF=∠BAC.
（1）求证：△AED∽△CFE； （2）当 EF//DC 时，求证：AE=DE.
y
所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.
H． D
C
A（O）
E
（第 21 题图）
x B
22．（本题满分 10 分） 如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 BC 的高为 10 米，灯柱 BC 与灯杆 AB 的夹角为 120°．路灯
采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 DE 的长为 13.3 米，从 D、E 两处测得路灯 A 的仰角分别为 α 和 45°， 且 tanα=6. 求灯杆 AB 的长度．
是
.
17．在平面直角坐标系中，将点（-b，-a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的
“关联点”）.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第
象限．
18．如图，在△ABC 中，AB=AC，将△ABC 绕点 A 旋转，当点 B 与点 C 重合时，点 C 落
2
在点 D 处，如果 sinB= ，BC=6，那么 BC 的中点 M 和 CD 的中点 N 的距离是
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等式成立的是（ ）
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（第 5 题图）
6．如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别在边 AB、AC、BC 上，且∠AED=∠B，再将下列四个选项中的一 个作为条件，不一定能使得△ADE∽△BDF 的是（ ）
杨浦区2018年初三数学一模试卷及答案
杨浦区2017学年度第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷 2018.1（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果5x =6y ，那么下列结论正确的是（A ）:6:5x y =； （B ）:5:6x y =； （C ）5,6x y ==； （D ）6,5x y ==．2．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（A ）都含有一个40°的内角； （B ）都含有一个50°的内角； （C ）都含有一个60°的内角； （D ）都含有一个70°的内角．3．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ∶DE =1∶2，那么下列等式一定成立的是（A ）BC ∶DE =1∶2；（B ） △ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2；（C ）∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2；（D ）△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2.4．如果2a b =（,a b 均为非零向量）,那么下列结论错误的是 （A ）//a b ；（B ）20a b -=； （C ）12b a =； （D ）2a b =． 5．如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，那么下列不等式成立的是 （A ）0a >； （B ）0b <；（C ）0ac <；（D ）0bc <．6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED =∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE ∽△BDF 的是 （A ）EA EDBD BF =； （B ）EA EDBF BD =；（C ）AD AEBD BF=； （D ）BD BABF BC=.（第6题图）学校 班级 准考证号 姓名…………………密○……………………………………封○……………………………………○线……………………………二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．抛物线23y x =-的顶点坐标是 ▲ ．8．化简：112()3()22a b a b --+= ▲ ． 9．点A （-1，m ）和点B （-2，n ）都在抛物线2(3)2y x =-+上，则m 与n 的大小关系为m ▲ n （填“<”或“>”）．10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式 ▲ ． 11．如图，DE //FG //BC ，AD ∶DF ∶FB =2∶3∶4，如果EG =4，那么AC = ▲ ． 12．如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是 ▲ ． 13．Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =9，cos A =13，那么AB = ▲ . 14．如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶ ▲ .15．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH交于点O ，如果AB =12，那么CO = ▲ ．16．已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 ▲ ．17．在平面直角坐标系中，将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 ▲ 象限．18．如图，在△ABC 中，AB =AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果sin B =23，BC =6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是 ▲ .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒C（第18题图）（第11题图） （第12题图） （第15题图）B20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值；（2）如果设AB a =，CD b =，试用a 、b 表示AC .21．（本题满分10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.22．（本题满分10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tan α=6. 求灯杆AB 的长度．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC .（1）求证：△AED ∽△CFE ；（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .ABCDE（第20题图）（第21题图）．H A （O ）BC Dxy E（第22题图）A BC （第23题图）A B CDE24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； （2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.（第24题图）（备用图） （图1） A B C D NP ME（图2） A B C D N P M E （第25题图）A B C D杨浦区初三数学期末试卷参考答案及评分建议2018.1一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、A ； 2、C ； 3、D ； 4、B ； 5、C ； 6、C 二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、（0，-3）； 8、142a b -； 9、<； 10、24y x =-+等； 11、12； 12、36； 13、27； 14、2.4； 15、4； 16、（1，4）； 17、二、四； 18、4 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式=12231122⋅-⋅+⨯--------------------------------------------------（6分）=1222-----------------------------------------------------------------（2分）=14. --------------------------------------------------------------（2分） 20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分）∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a .∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a .∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分）（2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分） ∵AB a =，CD b =，∴25AD a =. DC b =-.--------------------（2分） ∵AC AD DC =+，∴25AC a b =-.-----------------------------------（2分）21．（本题满分10分） 解：由题意得：C （0，1），D （6，1.5），抛物线的对称轴为直线x =4.----（3分） 设抛物线的表达式为()210y ax bx a =++≠-------------------------------------（1分）则据题意得：421.53661ba ab ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩. ----------------------------------------------（2分）解得：12413a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. -------------------------------------------------------------------（2分）∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为2111243y x x =-++. ------（1分）∵()2154243y x =--+，∴飞行的最高高度为53米. ------------------------（1分） 22．（本题满分10分）解：由题意得∠ADE =α，∠E =45°.----------------------------------------------（2分）过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG =BC =10. 设AF =x ． ∵∠E =45°，∴EF =AF =x ． 在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF =AFDF，-----------------（1分） ∴DF =tan tan 6AF x xADF α==∠. --------------------------（1分）∵DE =13.3，∴6x x +=13.3. ---------------------------（1分） ∴x =11.4. ---------------------------------------------（1分）∴AG =AF ﹣GF =11.4﹣10=1.4. ------------------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC =120°，∴∠ABG =∠ABC ﹣∠CBG =120°﹣90°=30°．-------------------（1分） ∴AB =2AG =2.8 ----------------------------------------------------------------------- （1分） 答：灯杆AB 的长度为2.8米．------------------------------------------------------------（1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵∠BEC =∠BAC+∠ABD ， ∠BEC =∠BEF+∠FEC ，又∵∠BEF =∠BAC ，∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ （1分） ∵AD =AB ，∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- （1分）A B C EG∴∠FEC=∠ADB. -------------------------------------------------------- （1分） ∵AD //BC ，∴∠DAE=∠ECF .--------------------------------------------------- （1分） ∴△AED ∽△CFE. --------------------------------------------------------- （1分）（2）∵EF //D C ，∴∠FEC=∠ECD. --------------------------------------------------- （1分） ∵∠ABD=∠FEC ，∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- （1分） ∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB ∽△DEC. ----------------------------------------------- （1分） ∴AE BEDE CE=.------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵AD //BC ，∴AE DECE BE=.----------------------------------------------------------------（1分） ∴AE AE BE DE DE CE CE BE⋅=⋅.即22AE DE =.-------------------------------------------（1分） ∴ AE =DE . ----------------------------------------------------------------------------- （1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 解：（1）∵22221()1y x mx m m x m m =-+--+=---+.------------------------（1分） ∴顶点D （m , 1-m ）.------------------------------------------------------------------（2分） （2）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-2），∴22121m m m -=-+--+.即220m m --=. ---------------------------（1分） ∴2m =或1m =-（舍去）. ------------------------------------------------------（2分） ∴抛物线的顶点是（2，-1）. ∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. -------------------------（2分） （3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <.情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ， ∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m ---+=----+-. 整理得：20m m +=. ∴1m =-或0m =（舍）. --------------（2情况2，点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）.作AG ⊥DH 于点G ，∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ，∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m -+-=----+-. xx整理得：220m m +-=. ∴2m =-或1m =（舍）. ---------（2分） ∴1m =-或2m =-.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分） 解：（1）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴∠AEM =∠PEM ，AE=PE . ∵ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . ∵EP ⊥BC ，∴AB // EP .∴∠AME =∠PEM . ∴∠AEM =∠AME . ∴AM =AE . ---------------------（2分） ∵ABCD 是矩形，∴AB // DC . ∴AM AECN CE=. ∴CN =CE . ------------------（1分） 设CN = CE =x .∵ABCD 是矩形，AB =4，BC =3，∴AC =5. ∴PE= AE=5- x . ∵EP ⊥BC ，∴4sin 5EP ACB CE =∠=. ∴545x x -=. ---------------------（1分） ∴259x =，即259CN =. ------------------------------------------------------（2分） （2）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，∴△AME ≌△PME . ∴AE=PE ，AM=PM . ∵EP ⊥AC ，∴4tan 3EP ACB CE =∠=. ∴43AE CE =. ∵AC =5，∴207AE =，157CE =.∴207PE =. ---------------------（2分）∵EP ⊥AC ，∴257PC ===. ∴254377PB PC BC =-=-=. --------------------------------------（2分） 在Rt △PMB 中，∵222PM PB MB =+，AM=PM . ∴2224()(4)7AM AM =+-. ∴10049AM =. --------------------------------------（2分）（3）05CP ≤≤,当CP 最大时MN .--------------------------------------------------（2分）。
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杨浦区2018届第一学期期末质量调研一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果5x =6y ，那么下列结论正确的是（A ）:6:5x y =； （B ）:5:6x y =； （C ）5,6x y ==； （D ）6,5x y ==．2．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（A ）都含有一个40°的内角； （B ）都含有一个50°的内角； （C ）都含有一个60°的内角； （D ）都含有一个70°的内角．3．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ∶DE =1∶2，那么下列等式一定成立的是（A ）BC ∶DE =1∶2；（B ） △ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2；（C ）∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2；（D ）△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2.4．如果2a b =（,a b 均为非零向量）,那么下列结论错误的是 （A ）//a b ；（B ）20a b -=； （C ）12b a =； （D ）2a b =． 5．如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，那么下列不等式成立的是 （A ）0a >； （B ）0b <；（C ）0ac <；（D ）0bc <．6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED =∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE ∽△BDF 的是（A ）EA ED BD BF =；（B ）EA ED BF BD =；（C ）AD AE BD BF=；（D ）BD BA BF BC=.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．抛物线23y x =-的顶点坐标是 ． 8．化简：112()3()22a b a b --+= ． 9．点A （-1，m ）和点B （-2，n ）都在抛物线2(3)2y x =-+上，则m 与n 的大小关系为m n （填“<”或“>”）．10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式 ．（第6题图）11．如图，DE //FG //BC ，AD ∶DF ∶FB =2∶3∶4，如果EG =4，那么AC = ． 12．如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是 ． 13．Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =9，cos A =13，那么AB = . 14．如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶ .15．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH交于点O ，如果AB =12，那么CO = ．16．已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 ．17．在平面直角坐标系中，将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 象限．18．如图，在△ABC 中，AB =AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果sin B =23，BC =6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是 .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值；（2）如果设AB a =，CD b =，试用a 、b 表示AC .（第20题图）C（第18题图）（第11题图） （第12题图） （第15题图）B21．（本题满分10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.22．（本题满分10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tan α=6. 求灯杆AB 的长度．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC .（1）求证：△AED ∽△CFE ；（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.O xy 1 2 3 412 3 4 5 -1 -2 -3-1 -2 -3 （第21题图） ． H A （O ） B C D xy E （第22题图）ABC （第23题图）A BCDE25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； （2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.（备用图） （图1） A B C D NP ME（图2） A B C D N P M E （第25题图）A B C D杨浦区初三数学期末试卷参考答案及评分建议一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、A ； 2、C ； 3、D ； 4、B ； 5、C ； 6、C 二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、（0，-3）； 8、142a b -； 9、<； 10、24y x =-+等； 11、12； 12、36；13、27； 14、2.4； 15、4； 16、（1，4）； 17、二、四； 18、4 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式=12231122+⨯--------------------------------------------------（6分）=1222----------------------------------------------------------------（2分）=14. --------------------------------------------------------------（2分） 20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分）∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a . ∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a . ∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分）（2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分）∵AB a =，CD b =，∴25AD a =. DC b =-.--------------------（2分） ∵AC AD DC =+，∴25AC a b =-.-----------------------------------（2分）21．（本题满分10分）解：由题意得：C （0，1），D （6，1.5），抛物线的对称轴为直线x =4.----（3分） 设抛物线的表达式为()210y ax bx a =++≠-------------------------------------（1分）则据题意得：421.53661ba ab ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩. ----------------------------------------------（2分）解得：12413a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. -------------------------------------------------（2分）∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为2111243y x x =-++. ------（1分）∵()2154243y x =--+，∴飞行的最高高度为53米. ------------------------（1分） 22．（本题满分10分）解：由题意得∠ADE =α，∠E =45°.----------------------------------------------（2分） 过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG =BC =10. 设AF =x ．∵∠E =45°，∴EF =AF =x ． 在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF =AFDF，-----------------（1分）∴DF =tan tan 6AF x xADF α==∠. --------------------------（1分）∵DE =13.3，∴6x x +=13.3. ---------------------------（1分） ∴x =11.4. ---------------------------------------------（1分）∴AG =AF ﹣GF =11.4﹣10=1.4. ---------------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC =120°，∴∠ABG =∠ABC ﹣∠CBG =120°﹣90°=30°．-------------------（1分）∴AB =2AG =2.8 ------------------------------------------------------------------ （1分） 答：灯杆AB 的长度为2.8米．-----------------------------------------------（1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵∠BEC =∠BAC+∠ABD ， ∠BEC =∠BEF+∠FEC ，又∵∠BEF =∠BAC ，∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ （1分） ∵AD =AB ，∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- （1分） ∴∠FEC=∠ADB. -------------------------------------------------------- （1分）A BC EG∵AD //BC ，∴∠DAE=∠ECF.--------------------------------------------------- （1分） ∴△AED ∽△CFE. --------------------------------------------------------- （1分） （2）∵EF //D C ，∴∠FEC=∠ECD. --------------------------------------------------- （1分）∵∠ABD=∠FEC ，∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- （1分） ∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB ∽△DEC. ----------------------------------------------- （1分） ∴AE BEDE CE=.--------------------------------------------------------------（1分） ∵AD //BC ，∴AE DECE BE=.----------------------------------------------------------------（1分）∴AE AE BE DEDE CE CE BE⋅=⋅.即22AEDE =.------------（1分）∴ AE =DE . -------------------------------------------------------- （1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 解：（1）∵22221()1y x mx m m x m m =-+--+=---+.-------------------（1分）∴顶点D （m , 1-m ）.----------------------------------------------------（2分）（2）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-2），∴22121m m m -=-+--+.即220m m --=. ---------------------------（1分）∴2m =或1m =-（舍去）. -------------------------------------------------（2分） ∴抛物线的顶点是（2，-1）. ∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. -------------------------（2分） （3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <.情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21mm --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ， ∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m ---+=----+-. 整理得：20m m +=. ∴1m =-或0m =（舍）. --------------（2情况2，点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21mm --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ，∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m -+-=----+-. xx整理得：220mm +-=. ∴2m =-或1m =（舍）. ---------（2分）∴1m =-或2m =-.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分） 解：（1）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴∠AEM =∠PEM ，AE=PE . ∵ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . ∵EP ⊥BC ，∴AB // EP .∴∠AME =∠PEM . ∴∠AEM =∠AME . ∴AM =AE . ---------------------（2分） ∵ABCD 是矩形，∴AB // DC . ∴AM AECN CE=. ∴CN =CE . ------------------（1分） 设CN = CE =x .∵ABCD 是矩形，AB =4，BC =3，∴AC =5. ∴PE= AE=5- x . ∵EP ⊥BC ，∴4sin 5EP ACB CE =∠=. ∴545x x -=. ---------------------（1分） ∴259x =，即259CN =. ------------------------------------------------------（2分） （2）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴AE=PE ，AM=PM . ∵EP ⊥AC ，∴4tan 3EP ACB CE =∠=. ∴43AE CE =. ∵AC =5，∴207AE =，157CE =.∴207PE =. ---------------------（2分）∵EP ⊥AC ，∴257PC===. ∴254377PB PC BC =-=-=. --------------------------------（2分） 在Rt △PMB 中，∵222PM PB MB =+，AM=PM .∴2224()(4)7AM AM =+-. ∴10049AM =. ----------------------------（2分）（3）05CP ≤≤,当CP 最大时MN .---------------------------------------（2分）。