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高一下学期数学半期考试试卷附答案

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人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

高中_高一数学第二学期半期考

高中_高一数学第二学期半期考

x y O x y O x y O xyO高一数学第二学期半期考 高一数学(必修2)试题〔完卷时间:120分钟；总分值:150分〕一、选择题〔每题12分，共60分，把答案填在Ⅱ卷中〕 1. 直线10x y ++=的倾斜角是〔 〕° B. 45° C. 30° D. 60°2. 假设直线l ∥平面α，直线a α⊂，那么l 与a 的位置关系是〔 〕A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与=+y x a 正确的选项是〔 〕A ．B ．C ．D ． 4. 以下命题中正确的选项是〔 〕 A ．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B ．棱锥的高线可能在几何体之外 C ．仅有一组对面平行的六面体是棱台D ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥5. 直线a 、b 与平面α、β、γ，以下条件中能推出α∥β的是〔 〕 A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γC ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥bD ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β6. 不管m 取任何实数，直线:20+-+=l mx y m 恒过一定点，那么该定点的坐标是〔 〕A ． 〔-1，2〕 B.(-1,-2) C .(1 ,2) D. (1,-2)7. 直线3430+-=x y 与直线6140++=x my 平行，那么它们之间的距离是〔 〕A ．1710B ． 175C ．8D ．2 8. 设是空间的三条直线，给出以下五个命题：①假设a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥c ； ②假设a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，那么a 、c 也是异面直线；③假设a 和b 相交，b 和c 相交，那么a 和c 也相交；④假设a 和b 共面，b 和c 共面，那么a 和c 也共面；⑤假设a ∥b ， b ∥c ，那么a ∥c ； 其中正确的命题的个数是〔 〕.A.0B.1C.2D.39. 假设三棱锥P-ABC 的三条侧棱与底面所成的角都相等，那么点P 在底面ABC 上的射影一定是∆ABC 的〔 〕A. 外心B. 垂心C. 内心D. 重心10. 中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，那么A ：B 为〔 〕A ．11：8B ．3：8C ．8：3D ．13：811. 直线x －2y +1=0关于直线x =1对称的直线的方程是〔 〕A. x +2y －1=0B. x +2y －3=0C. 2x +y －1=0D. 2x +y －3=0 12. 点P 是圆(x －3)2+y 2=1上的动点，那么点P 到直线y =x +1的距离的最小值是〔 〕A. 3B. 22C. 22－1D. 22+1二、填空题：〔本大题共4小题，每题4分，共16分。

全国卷高一下数学半期试题(含解析)

全国卷高一下数学半期试题(含解析)

高一下数学半期测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.2.请将答案正确填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）1. 在△ABC 中，a ＝7，c ＝3，A =π3．sin C 的值为（ ）A ．3√316B ．3√314C ．4√37D ．7√3162. sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒值为（ ）A.12B. 1C. -2D.23. 设等比数列{}n a 的公比2q ，前n 项和为n S ，则42S a =( )A. 2B. 4C.152D.1724. 已知向量()1,2=--a ，向量()3,4=-b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A. 1B. -1C.D. 5.已知sin cos αα-=，则sin 2α的值为( ) A.13 B. 23-C.23D. 13-6. 已知非零向量,a b 满足2=a b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 7. 已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是（ ） A.52B. 52-C.52或52- D.128. 在ABC 中，已知cos cos a C c A=，则ABC 为（ ） 的A 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形9. 若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．－433B ．8C ．43D ．－4310. 如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于（ ）A ．100米B ．50√3米C ．50√2米D ．50（√3+1）米11. 我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =若()cos 3cos 0c B b a C ++=，且222 4c a b --=，则ABC 的面积为（） A.B.C.D. 12. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，26·4a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1212nS S S n+++取最大值时，n 的值为（ ） A. 8B. 9C. 17D. 8或9第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. tan15︒的值为______．14. 已知公比为整数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，314S =，若2log n n b a =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为______． 15. 如图，在△ABC 中，AD →=23AC →，BP →=13PD →，若AP →=λAB →+μAC →，则λ+μ的值为.16. 给定下列命题：①在△ABC 中，若BC →•CA →＜0，则△ABC 是钝角三角形；②在△ABC 中AB →=c →，BC →=a →，CA →=b →，若|a →|＝|b →−c →|，则△ABC 是直角三角形；③若A 、B 是△ABC 的两个内角，且A ＜B ，则sin A ＜sin B ；④若a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长，且a 2+b 2﹣c 2＜0，则△ABC 一定是钝角三角形．其中真命题的序号是三、解答题（本大题共6个小题，共70分.)17. 已知向量()3,2=-a ，()1,=b m ，且-b a 与()2,1=c 共线. （1）求m 的值；（2）若λ-a b 与2-a b 垂直，求实数λ值.18. 设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a x xb x x（I ）若.求的值；=a b x（II ）设函数()()·,.求的最大值=f x a b f x19. 已知锐角ABC 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c2sin b A = （1）求角B 的大小； （2）若b =4a c +=，求ABC 的面积．20. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=．的。

高一数学下学期半期联考试题含解析 试题

高一数学下学期半期联考试题含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校十校二零二零—二零二壹高一数学下学期半期联考试题〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.在等比数列{}n a 中，116a =-，48a =，那么7a =()A.4-B.4±C.2-D.2±【答案】A 【解析】等比数列{}n a 中，1416,8a a =-=，且21741744,a a a +=+∴⋅=，247164416a a a ∴===--，应选A.2.在ABC中，假设()221a b c bc--=，那么A ∠的大小是()A.π6 B.π4 C.π3D.2π3【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出cos A ，将等式变形后代入求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角A 的度数。

【详解】等式变形得：2222a b bc c bc -+-=，即222b c a bc +-=，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，角A 为三角形内角，∴3A π=，故答案选C.【点睛】此题考察了余弦定理，特殊角的三角函数值，纯熟掌握余弦定理是此题解题的关键。

D E ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,假设AC AB DE 21λλ+=(21λλ，为实数),那么12λλ+的值是() A.12 B.21-C.23 D.32-【答案】A 【解析】 【分析】 作出图形，根据向量的线性运算规那么可得212121()323236DE BE BD BC BA AC AB BA AC AB →→→→→→→→→→=-=-=--=-，再由分解的唯一性得出1λ与2λ的值即可求出12λλ+的值。

【详解】由题意，如图：AB AD21=,BC BE 32=, ∴212121()323236DE BE BD BC BA AC AB BA AC AB →→→→→→→→→→=-=-=--=-,又12DE AB AC λλ→→→=+(21λλ，为实数)，∴11=-6λ，22=3λ， ∴12121=-632λλ++=，故答案选A 。

重点高中高一数学文科下期半期考试试题及答案

重点高中高一数学文科下期半期考试试题及答案

重点高中高一数学文科下期半期考试试题数学（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题意的，请将你认为正确的选项的序号填入答题卡中） 1． sin 660︒的值是（ D ） Ａ．12 Ｂ．12-Ｄ．2．下列命题中真命题是（ B ）Ａ．三角形的内角必是第一或第二象限角 ；Ｂ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线和正切线分别变成一个点； Ｃ．终边在第二象限的角是钝角； Ｄ．终边相同的角必然相等． 3．“1cos 2A =”是“60A =︒”的（ B ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 4．若角α的终边经过点(8,6cos60)P m --︒，且4cos 5α=-，则m =（ A ） Ａ．12 Ｂ．12-Ｃ．2-Ｄ．25．在ABC ∆中，若cos cos sin sin A B A B >，则ABC ∆一定是（ D ） Ａ．等边三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．锐角三角形 Ｄ．钝角三角形6．已知βα,满足52)tan(=+βα，41)4tan(=-πβ，则)4tan(απ-的值是（ C ） Ａ．1312 Ｂ．317 Ｃ．1318 Ｄ．3227．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图像（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（ C ）A ．3,1πϕω== B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-== 8．已知31)sin(,21)sin(=-=+βαβα，则βαcot tan 的值是（ B ）Ａ．1- Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．619．函数)4(sin )4(sin )(22ππ--+=x x x f 是（ B ）Ａ．周期为π的偶函数 Ｂ．周期为π的奇函数 Ｃ．周期为π2的偶函数 Ｄ．周期为π2的奇函数10．函数2sin(2)([0,])6y x x ππ=-∈为增函数的区间是（ C ）A ．[0,]3πB ．7[,]1212ππC ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ11．方程sin cos 0x x k +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ C ）A ．(B ．[1-C ．[D ．12．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ D ） Ａ．21-Ｂ．21 Ｃ． 23 Ｄ． 23-二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

高一数学下学期半期考试试题 理含解析 试题

高一数学下学期半期考试试题 理含解析 试题

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹綦江实验中2021级半期考试理科数学试题一、单项选择题1.在等差数列{a n}中，假设a2＝4，a4＝2，那么a6＝()A.－1B.0C.1D.6【答案】B【解析】根据题意知a4＝a2＋(4－2)d，即，解得d＝－1，∴．选B．2.数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别根据符号特征和数值特征写出规律，写出通项公式。

【详解】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足，由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式为，选C.【点睛】对于用归纳法写复杂数列的通项公式，常分块写出规律，分子，分母，符号等分别找到规律再组合成通项公式。

3.设等差数列的前项和为，假设，，那么数列的公差为〔〕A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】根据公式把转化为，再求出d.【详解】,故公差.应选B.【点睛】此题考察两个常见变形公式和。

4.函数获得最小值时，的值是〔〕A. B. C.1D.2【答案】B【解析】，当且仅当时取等号,此时，应选：B.5.在△ABC中，，那么△ABC外接圆的半径为〔〕A.1B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】由正弦定理〔其中R为外接圆半径〕可求解。

【详解】由正弦定理可得外接圆半径，应选D．【点睛】此题考察正弦定理的应用〔其中R为外接圆半径〕.6.，那么以下不等式中成立的是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，那么，，，所以A、B、D是错误的，因为为单调递减函数，所以成立，应选C．7.在锐角中，角所对的边长分别为，，那么角等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得：8.在中，内角所对的边分别为，的面积为，那么的值是〔〕A.8B.16C.32D.64【答案】A【解析】【分析】由，得，再由解出b,c.再由角A的余弦定理求出边a.【详解】因为，所以，又，解方程组得，由余弦定理得，所以.应选A.【点睛】此题主要考察正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适宜，或者是两个定理都要用，要抓住可以利用某个定理的信息．一般地，假设式子中含有角的余弦或者边的二次式，要考虑用余弦定理；假设遇到的式子中含有角的正弦或者边的一次式时，那么考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．9.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是()．A. B.4C. D.2【答案】B【解析】【分析】由不等式组画出可行域，得到可行域是一个三角形，所以由三角形面积公式求得面积。

高一下期数学试题及答案

高一下期数学试题及答案

高一下期数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. √2B. -πC. 1/3D. i2. 函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5的图像与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷多3. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，该数列的第5项a5等于：A. 13B. 15C. 17D. 194. 以下哪个不等式是正确的？A. |-3| > 3B. -2 < √4C. 1/2 ≤ √1/4D. -1 ≥ -25. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，圆心到直线x + y - 5 = 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，A∪B等于：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}7. 若sinθ + cosθ = √2/2，那么sin2θ的值是：A. 1/2B. -1/2C. 1D. -18. 函数y = ln(x-1)的定义域是：A. (1, +∞)B. (0, +∞)C. (-∞, 1)D. (-∞, 0)9. 根据题目信息，第9题缺失。

10. 已知点A(-1, 2)和点B(2, -1)，直线AB的斜率k是：A. 1/3B. -1/3C. -3D. 3二、填空题（每题2分，共10分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，该数列的第3项b3等于______。

12. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极小值点是______。

13. 已知向量a = (3, 2)，b = (-1, 2)，向量a与b的点积是______。

14. 根据题目信息，第14题缺失。

15. 抛物线y^2 = 4x的准线方程是______。

三、解答题（共60分）16. 解不等式：|x+2| - |x-3| ≤ 5。

高一下期半期考试数学(含答案)

高一下期半期考试数学(含答案)

大邑县安仁中学高一下期半期考试数 学 试 题一、选择题：1.若2、n 、10成等差数列，则n ＝（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．82. 设tan α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A ．－2B ．2C ．－4D ．43.若等比数列{}n a 的前n 项和r S n n +=2，则=r （ ）A 、 2 B.、 1 C 、 0 D 、 1-4.已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ）A 、0991>+a aB 、0991<+a aC 、 0991=+a aD 、 5050=a 5. 在ABC ∆中，已知3,60AB AC A ⋅==，则ABC ∆的面积为 （ ）A.23B.2C. 1D.36.已知在ABC ∆中，2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状是（ ） A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D. 等腰直角三角形或直角三角形7. 已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4，5}B ．{4，32}C ．{4，5，32}D ．{5，32}8.若等比数列{}n a 的公比0q >，且1q ≠，又10a <，那么( )A ．2635a a a a <＋＋ B.2635a a a a >＋＋C ．2635a a a a ＋＝＋D ．26a a ＋与35a a ＋的大小不能确定 9.ABC ∆中，三内角A B C 、、成等差数列，则sin sin A C +的最大值为 ( )A ．2B 3．12D ．3210.设等差数列{}n a 前n 项和为n S 且满足150S >，160S <，则12151215,,,S S S a a a 中最大二、填空题：11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6312a S ==，则{}n a 的通项n a ＝ ; 12.若171tan =α，则 αα2cos 2sin = ;13.在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21+=+，则=n a ; 14.在ABC ∆中，A= 60o ,b=1, 3sin sin sin a b cA B C++++=15.下列说法中：①在ABC ∆中，若sin sin A B >，则cos cos A B <；②已知数列{}n a 为等差数列，若(,,,)m n p q m n p q N *++=∈，则有m n p q a a a a ++=； ③已知数列{}n a 、{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b +、{}n n a b ⋅也为等比数列；④若02x π<<，则函数23()cos22sin f x x x=-的最大值为123-；其中正确的是________________（填正确说法的序号）三、解答题：16.⑴ 已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=. 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若数列{}n a 为等差数列，1510a =, 4590a =, 求60a ；17．已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，其所对的边分别为,,a b c ，且22cos cos 02AA +=. ⑴求A 的值； ⑵若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积.18. 已知等比数列{}n a 中，164a =，公比1q ≠，234,,a a a 又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，问：从第几项起0n S <？19.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相聚5（3+3）海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西060且与B 点相距320海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？20、（本小题满分13分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数)，且a 1＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .21、（本小题满分14分）已知数列{}n a 、{}n b 满足：1121,1,41nn n n n b a a b b a +=+==-.(1)求23,a a ；(2) 证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数λ为何值时4n n S b λ<恒成立。

第二学期半期考试高一数学试卷含答案

第二学期半期考试高一数学试卷含答案

第二学期半期考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、角θ为第二象限角的充分必要条件是（ ）A 、0tan 0sin >>θθ且B 、0cot 0sin >>θθ且C 、0tan 0sin <>θθ且D 、0cos sin <⋅θθ2、化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）A 、sin4＋cos4B 、sin4－cos4C 、cos4－sin4D 、－sin4－cos43、)619sin(π-的值是（ ） A 、21 B 、－21 C 、23 D 、－23 4、若cot130°＝a ，则cos50°是（ ）A 、21aa + B 、－21aa +C 、±21aa +D 、±aa 21+5、已知α是第一象限角，那么2α是（ ） A 、第一与第二象限角 B 、第二与第三象限角 C 、第一与第三象限角 D 、第一与第四象限角 6、方程2x ＝cosx 的解有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无穷多个 7、若)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，当12π=x 时取最大值y ＝2，当127π=x 时取最小值y ＝－2，则函数的解析式是（ ） A 、)32sin(2π+=x y B 、)62sin(2π-=x y C 、)62sin(2π+=x yD 、)32sin(2π-=x y8、函数)32sin(3π-=x y 的图像可以由函数y ＝3sin2x 的图像经过下列哪种变换得到（ ）A 、向右平移3π单位 B 、向右平移6π单位 C 、向左平移3π单位 D 、向左平移6π单位9、下列函数中，在（0,2π）内单调递增，且以π为周期的偶函数是（ ）A 、y ＝tan|x|B 、y ＝|tanx|C 、y ＝cot|x|D 、y ＝|cotx|10、在△ABC 中若2cossin sin 2AC B =，则此三角形为（ ） A 、等边三角形 B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形11、函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（ ）A 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,23,26ππππB 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππC 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππD 、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,6ππππ12、已知f （x ）是定义在（－3,3）上的奇函数，当0<x<3时，f （x ）的图像如图所示，那么不等式f （x ）cosx<0的解集是（ ）A 、（－3，－2π） （0，1） （2π，3） B 、（－2π，－1） （0，1） （2π，3）C 、（－3，－1） （0，1） （1，3）D 、（－3，－2π） （0，1） （1，3）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卷的横线上）13、已知tan α＝43，则cos α－sin α＝ 14、已知cos α＝71，cos(βα+)＝－1411，且)2(0,πβα∈、，则cos β＝15、关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π)（x ∈R ）有下列命题： ①由f(x 1)＝f(x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f(x)的表达式可改写为y ＝4cos(2x －6π) ③y ＝f(x)的图象关于点（－6π，0）对称； ④y ＝f(x)的图像关于直线x ＝－6π对称。

高一数学下期半期考试题(附答案)

高一数学下期半期考试题(附答案)

高一下期半期考试数学试卷时量：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（满分100分）一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P 1，P 2，P 3，则A ．P 1＝P 2＜P 3B ．P 2＝P 3＜P 1C ．P 1＝P 3＜P 2D ．P 1＝P 2＝P 3 2．（1）某学校为了了解2017年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科200名考生，理科800名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．（2）从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ简单随机抽样法．Ⅱ系统抽样法．Ⅲ分层抽样法．问题与方法配对合理的是A ．（1）Ⅲ，（2）ⅠB ．（1）Ⅰ，（2）ⅡC ．（1）Ⅱ，（2）ⅠD ．（1）Ⅲ，（2）Ⅱ3．若样本1231,1,1,,1n x x x x +++⋅⋅⋅+的平均数是10，方差为2，则对于样本1232,2,2,,2n x x x x +++⋅⋅⋅+， 下列结论正确的是A ．平均数为10，方差为2B ．平均数为11，方差为3C ．平均数为11，方差为2D ．平均数为12，方差为4 4．从随机编号为0001，0002，…，1500的1500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本进行质量检测，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018，0068，则样本中最大的编号应该是A ．1468B ．1478C ．1488D ．1498 5．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天每人的课外阅读时间的中位数为A ．0.5小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．0.75小时6．为了了解高一年级学生的体锻情况，学校随机抽查了该年级20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0,5)，[5,10)，…[35,40)，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是7．已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.710.3y x =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是x 6 81012y6 m 3 2 A ．变量,x y8．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12 D ．4π9．某校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和杨老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和杨老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或杨老师所发活动通知信息的概率为A ．25B ．1225C ．1625D ．4510．执行如图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是A ．7k >B ．6k >C ．5k >D ．4k > 11．《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑011 3A ．18B ．17C ．16D ．15 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．将13化成二进制数为________．13．用秦九韶算法求3()33f x x x =+-当3x =时的值时，2v =________．14．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________（结果用最简分数表示）．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．16．（本小题满分10分）袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n 的球重2612n n -+（单位：克），这些球等可能地从袋里取出（不受重量、编号的影响）． （1）从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率； （2）如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．17．（本小题满分12分）已知关于x 的一元二次方程222(2)160x a x b ---+=． （1）若a 、b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； （2）若[2,4]a ∈，[0,6]b ∈，求方程没有实根的概率．第Ⅱ卷（满分50分）18．（本小题满分6分）定义在R 上的奇函数()f x 满足条件(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若函数()()xg x f x ae -==在区间[2018,2018]-上有4032个零点，则实数a 的取值范围是A ．(0,1)B ．3(,)e eC ．2(,)e eD ．3(1,)e19．（本小题满分6分）已知方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b ，那么过点2(,)A a a ，2(,)B b b 的直线与圆221x y +=的位置关系是________．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，//AD BC ，22AD BC ==，2PC =，∆ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 是PD 的中点． （1）求证：平面EAC ⊥平面PCD ；（2）求直线P A 与平面EAC 所成角的正弦值．21．（本小题满分13分）已知0a >，函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5()1f x -≤≤．（1）求常数,a b 的值；（2）设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lg ()0g x >，求()g x 的单调区间．22．（本小题满分13分）已知a R ∈，函数21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．。

人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案

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北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。

福建省部分学校2023-2024学年高一下学期半期考试数学试卷

福建省部分学校2023-2024学年高一下学期半期考试数学试卷

福建省部分学校2023-2024学年高一下学期半期考试数学试卷一、单选题1．AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．CD u u u rB ．DC u u u r C ．AD u u u rD ．BD u u u r2．复数13i2iz +=+的实部和虚部分别是（ ） A ．1，1B ．1，iC ．13-，53D ．13-，5i 33．下列结论正确的是（ ）A ．底面是正方形的棱锥是正四棱锥B ．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥C ．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台D ．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点4．O A B ''''''V 是OAB △在斜二测画法下的直观图，其中24O B O A ''''='='，则O A B △的面积是（ ）A．B ．4C ．8D．5．在ABC V 中，若sin :sin :sin 3:4:6A B C =，则ABC V 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定的6．设m ，n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,m n n α⊂，则//m α B ．若//,//m n m α，则//n αC ．若//,//m n αα，则//m nD ．若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，则//m n7．如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A ，B 两处，在该河流的另一侧岸边选定C 处，测得30AB =米，75,45ABC BAC ︒︒∠=∠=，则该河流的宽度是（ ）A．15+ B．10米 C．15米 D．10米8．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，11136,4AB A B AA ===，点P 为棱1BB 上的动点（含端点），则AP PC +的最小值是（ ） A ．6B．C ．8D．二、多选题9．已知复数()512i i z =+，则（ ）A ．2i z =- B．z =C ．4z z += D ．2i z z -=10．用一个平面去截一个几何体，截面是四边形，则这个几何体可能是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．三棱柱D ．三棱锥11．对任意两个非零的平面向量a r 和b r，定义：：22a b a b a b ⋅⊕=+r r r r r r ；2||a b a b b ⋅=r r r r r e .若平面向量,a b r r 满足0a b >>r r ，且a b ⊕r r 和a b r r e 都在集合,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中，则a b a b ⊕+r r r r e 的值可能是（ ）A ．1B ．54C ．32D ．74三、填空题12．一个棱台至少有个面．13．在ABC V 中，,D E 分别在边,BC AC 上，且3,3BC BD AE EC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，若A D xA B yA C =+u u u r u u u r u u u r ，则x y -=，线段AD 与BE 交于点F ，则AFDF=u u u ru u ur ． 14．如图，在扇形OAB 中，半径4OA =，90AOB ∠=︒，C 在半径OB 上，D 在半径OA 上，E 是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE 的周长的取值范围是．四、解答题15．已知复数()2233i z a a a =--+-，a ∈R ．(1)若z 是纯虚数，求a 的值；(2)若i z +在复平面内对应的点位于第二象限，求a 的取值范围．16．如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD 是边长为6的正方形.(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积.17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且π2B ≠，()222sin sin sin cos 1A B C B -=-．(1)求ca的值；(2)若3a =，cos C =，求ABC V 的面积． 18．如图.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1126,,AB A B E F ==分别在棱1111,A B B C 上，且111B E B F ==.(1)证明：1//AA 平面1BC D .(2)证明：直线1,,AE BB CF 交于同一点.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()()2,0,10,0,11,3,10,6A B C D ．(1)①证明：cos cos 0ABC ADC ∠+∠=．②证明存在点P ，使得PA PB PC PD ===，并求出P 的坐标．(2)若点E 在四边形ABCD 的四条边上运动，且CE 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分，求点E 的坐标．。

浙江省余姚2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案

浙江省余姚2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案

余姚2023学年第二学期期中检测高一数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1i22i z -=+，则z z -=（）A .i- B.iC.0D.1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C ''''，且//O A B C ''''，242O A B C A B '''''='==，，则该平面图形的高为（）A. B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意计算可得O C ''，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高.【详解】在直角梯形O A B C ''''中，//O A B C ''''，24,2O A B C A B ''''='=='，则O C ==''直角梯形O A B C ''''对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC ，则有//,,24,242BC OA OC OA OA BC OC O C ''⊥====，所以该平面图形的高为42.故选：C.3.在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，点E 在线段BD 上，且3BE ED = ，则AE =（）A.1142AD AC + B.1124AD AC +C.3144AD AC +D.1344AD AC +【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量基本定理即可得到答案.【详解】因为O 是AC 的中点，12AO AC ∴= ，又由3BE ED =可得E 是DO 的中点，11112224AE AD AO AD AC ∴=+=+ .故选：B.4.某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.恰有1名女生和恰有2名女生B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名女生和全是女生D.至少有1名女生和至多有1名男生【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件的定义判断即可.【详解】依题意可能出现2名男生、1名男生1名女生、2名女生；对于A ：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A 正确；对于B ：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B 错误；对于C ：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C 错误；对于D ：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生，故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D 错误.故选：A5.已知点()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --．则AB 在BC上的投影向量为（）A.10310,55⎛ ⎝⎭B.10310,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C.13,55⎛⎫⎪⎝⎭ D.13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】因为()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --．所以()1,1AB =-uu u r，()1,3BC =--，5cos ,5AB BC AB BC AB BC⋅〈〉==-⋅，所以向量AB 与BC的夹角为钝角，因此量AB 在BC上的投影向量与BC 方向相反，而cos ,55AB AB BC ⋅〈〉==，155BC == ，所以AB 在BC 上的投影向量为()11131,3,5555BC ⎛⎫-⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭，故选：C6.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对应的边，其公式为：ABCS ==若22sin sin C c A =，3cos 5B =，a b c >>，则利用“三斜求积术”求ABC 的面积为（）A.54B.34 C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理可得2ac =，由余弦定理可得222625a cb +-=，在结合已知“三斜求积术”即可求ABC 的面积.【详解】解：因为22sin sin C c A =，由正弦定理sin sin a c A C=得：22c c a =，则2ac =又由余弦定理2223cos 25a cb B ac +-==得：22236255a c b ac +-==则由“三斜求积术”得45ABC S == .故选：D.7.已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A.236,48s x =<B.236,48s x =>C.236,48s x ><D.236,48s x <>【答案】B 【解析】【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，根据方差的定义得()()()2221248148363636850x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ，而()()()4221222813628843668035s x x x +⎡-⎤=-+>⎣⎦-+ .【详解】设收集的48个准确数据为1248,,x x x ，所以124834383650x x x +++++= ，所以12481728x x x +++= ，所以124824483650x x x x +++++== ，又()()()222221248148363636(3436)(3836)50x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()22212481363636850x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ，()()()42222222183636(2436)(48136536)0s x x x ⎡⎤=-+⎣⎦-++-+-+- ()()()222281413628848365360x x x ⎡⎤=+-+-+->⎣⎦ ，故选：B.8.在ABC 中，π6A =，π2B =，1BC =，D 为AC 中点，若将BCD △沿着直线BD 翻折至BC D '△，使得四面体C ABD '-的外接球半径为1，则直线BC '与平面ABD 所成角的正弦值是（）A.3B.23C.3D.3【答案】D 【解析】【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定BC D '△为等边三角形，利用正弦定理可确定ABD △外接圆半径，由此可知ABD △外接圆圆心O 即为四面体C ABD '-外接球球心，由球的性质可知OG ⊥平面BC D '，利用C OBD O C BD V V ''--=可求得点C '到平面ABD 的距离，由此可求得线面角的正弦值.【详解】π6A =，π2B =，1BC =，2AC ∴=，又D 为AC 中点，1AD CD BD ∴===，则1BC C D BD ''===，即BC D '△为等边三角形，设BC D '△的外接圆圆心为G ，ABD △的外接圆圆心为O ，取BD 中点H ，连接,,,,,C H OH OG OB OC OD ''，π6A =，1BD =，112sin BDOB A∴=⋅=，即ABD △外接圆半径为1，又四面体C ABD '-的外接球半径为1，O ∴为四面体C ABD '-外接球的球心，由球的性质可知：OG ⊥平面BC D '，又C H '⊂平面BC D '，OG C H '∴⊥，22333C G CH '===，1OC '=，3OG ∴=；设点C '到平面ABD 的距离为d ，由C OBD O C BD V V ''--=得：1133OBD C BD S d S OG '⋅=⋅ ，又OBD 与C BD ' 均为边长为1的等边三角形，3d OG ∴==，直线BC '与平面ABD 所成角的正弦值为3d BC ='.故选：D.【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C.有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D.甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组【答案】AB 【解析】【分析】根据已知条件，结合平均数、方差公式，众数、中位数的定义，以及分层抽样的定义，即可求解.【详解】对于A ，平均数为12334536+++++=，将数据从小到大排列为1,2,3,3,4,5，所以中位数为3332+=，A 正确；对于B ，数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3，B 正确；对于C ，根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，样本容量为3918312÷=++，C 错误；对于D ，乙数据的平均数为56910575++++=，乙数据的方差为()()()()()22222157679710757 4.445⎡⎤-+-+-+-+-=>⎣⎦，所以这两组数据中较稳定的是甲组，D 错误.故选：AB.10.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别a 、b 、c ，22sin a bc A =，下列说法正确的是（）A.若1a =，则14ABC S =△B.ABC 外接圆的半径为bc aC.c b b c+取得最小值时，π3A =D.π4A =时，c b b c+值为【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由正弦定理化简2sin a b C =可得1sin 2C b=，再根据三角形面积公式判断即可；对B ，根据2sin a b C =结合正弦定理判断即可；对C ，根据正弦定理与余弦定理化简sin 2sin sin A B C =可得π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式与三角函数性质判断即可；对D ，根据三角函数值域求解即可.【详解】对A ，因为22sin a bc A =，由正弦定理可得sin 2sin sin a A b A C =，因为()0,πA ∈，则sin 0A >，则2sin a b C =，又因为1a =，故1sin 2C b =，故三角形面积为1111sin 12224ABC S ab C b b ==⨯⨯⨯=△，故A 正确；对B ，2sin a b C =，则sin 2aC b=，设ABC 外接圆的半径为R ，则2sin cR C=，故22c bc R a a b==⨯，故B 正确；对C ，因为22sin a bc A =，由余弦定理222sin 2cos b c c A b bc A =+-，即()222sin cos bc A A b c +=+，化简可得π4b c A c b⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由基本不等式得2b c c b +≥=，当且仅当b c =时取等号，此时πsin 42A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故当π2A =，π4B C ==时，b c c b +取得最小值2，故C 错误；对D ，由C，π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当π4A =时，b c c b+的值为，故D 正确；故选：ABD.11.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱,,AD AB BC 的中点，点P 为线段1D F 上的动点（包含端点），则（）A.存在点P ，使得1//C G 平面BEPB.对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEPC.两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为45︒D.点1B 到直线1D F 的距离为4【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项当P 与1D 重合时，用线面平行可得出11//C G D E ，进而可得；B 选项证明BE ⊥平面1FCC 即可得出；选项C 由正方体的性质和画图直接得出；选项D 由余弦定理确定1145B D F ∠=︒，之后求距离即可.【详解】A ：当P 与1D 重合时，由题可知，11111111//,,//,,//,EG DC EG DC D C DC D C DC EG D C EG D C ==∴=，四边形11EGC D 为平行四边形，故11//C G D E ，又1C G ⊄平面BEP ，1D E ⊂平面BEP ，则1//C G 平面BEP ，故A 正确；B ：连接CF ，1CC ⊥ 平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，1CC BE ∴⊥，又,,,AE BF AB BC A CBF BAF CBF ==∠=∠∴ ≌，故90,AEB BFC EBA BFC CF BE ∠=∠⇒∠+∠=︒∴⊥，又11,,CF CC C CF CC =⊂ 平面1FCC ，BE ∴⊥平面1FCC ，又BE ⊂平面BEP ，故对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEP ，故B 正确；C：由正方体的结构特征可知11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成的角即为1AD 和1D C 所成的角，由图可知为60︒，故C 错误；D ：由正方体的特征可得1111B D FD B F =====，222222111111111116cos ,4522B D FD B FB D F B D F B D FD +-+-∴∠===∴∠=︒⋅，所以点1B 到直线1D F 的距离1111sin 42d B D B D F =∠==，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为______.【答案】19【解析】【分析】根据题意，得到基本事件的总数为27n =，以及所求事件中包含的基本事件个数为3m =，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件的总数为3327n ==，三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数为3m =，则三人恰好参加同一个社团的概率为31279m P n ===.故答案为：19.13.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足()12AP mAC AB m =+∈R ，若2AC =，4AB =，则AP CD ⋅的值为______.【答案】3【解析】【分析】利用//CP CD ，结合已知条件可把m 求出，由平面向量基本定理把AP 、CD 用已知向量AB 、AC表示，再利用数量积的运算法则可求数量积．【详解】 2AD DB =，∴23AD AB = ，//CP CD，∴存在实数k ，使得CP kCD = ，即()AP AC k AD AC -=- ，又 12AP mAC AB =+ ，则()12123m AC AB k AB AC ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，∴11223m kk -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，34k ∴=，14m =，则()112423AP CD AP AD AC AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221111611π242cos 33433433AB AC AB AC =--⋅=--⨯⨯ ，故答案为：3．14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则点P 的轨迹长度为______.【解析】【分析】确定正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 与1AB C V 的交点E ，求出EP 确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1DD AC ⊥，而BD AC ⊥，1DD BD D =I ，1DD ，BD ⊂平面1BDD ，于是AC ⊥平面1BDD ，又1BD ⊂平面1BDD ，则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，而1AC AB A ⋂=，AC ，1AB ⊂平面1AB C ，因此1BD ⊥平面1AB C ，令1BD 交平面1AB C 于点E ，由11B AB C B ABC V V --=，得111133AB C ABC S BE S BB ⋅=⋅ ，即)23142BE AB ⋅⋅=，解得BE AB ==而1BD ==1D E =，因为点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则EP ==因此点P 的轨迹是以点E 为半径的圆在1AB C V 内的圆弧，而1AB C V 为正三角形，则三棱锥1B AB C -必为正三棱锥，E 为正1AB C V 的中心，于是正1AB C V 的内切圆半径111323232EH AB =⨯⨯=⨯=，则cos 2HEF ∠=，即π6HEF ∠=，π3FEG ∠=，所以圆在1AB C V 内的圆弧为圆周长的12，即点P 的轨迹长度为12π2⋅=【点睛】方法点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知z 为复数，2i z +为实数，且(12i)z -为纯虚数，其中i 是虚数单位.（1）求||z ；（2）若复数2(i)z m +在复平面上对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（2）()2,2-【解析】【分析】（1）设=+i ,R z a b a b ∈，，根据复数代数形式的乘法法则化简2i z +与(12i)z -，根据复数为实数和纯虚数的条件，即可求出a b ，，利用复数模长公式，即可求得到复数的模长；（2）由（1）知，求出复数的共轭复数，再根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】设=+i ,R z a b a b ∈，，()2i=2i z a b +++，因为2i z +为实数，所以20b +=，即2b =-所以(12i)(2i)(12i)42(1)i z a a a -=--=--+，又因为(12i)z -为纯虚数，所以40a -=即4a =，所以42z i =-，所以z ==.【小问2详解】由（1）知，42iz =+所以222(i)(42i i)16(2)8(2)i m m z m m +=++=-+++，又因为2(i)z m +在复平面上所对应的点在第一象限，所以216(2)08(2)0m m ⎧-+>⎨+>⎩，解得：22m -<<所以，实数m 的取值范围为()2,2-.16.某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，第四组[]90,100（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中m 的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）【答案】（1）0.01m =，中位数为82.5．（2）82x =，有520名学生获奖．【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和等于1和中位数左边和右边的直方图的面积应该相等即可求解；（2）利用频率分布直方图中平均数等于每个小矩形底边的中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和及不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知：()0.030.040.02101m ++++⨯=，解得0.01m =，设此次竞赛活动学生得分的中位数为0x ，因数据落在[)60,80内的频率为0.4，落在[)60,90内的频率为0.8，从而可得08090x <<，由()0800.040.1x -⨯=，得082.5x =，所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．【小问2详解】由频率分布直方图及（1）知：数据落在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，650.1750.3850.4950.282x =⨯+⨯+⨯+⨯=，此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为90820.20.40.5210-+⨯=，则10000.52520⨯=，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖17.在①()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-；②2cos 0cos b a A c C--=；③向量()m c = 与(cos ,sin )n C B = 平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足______.（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形,且2c =,求ABC 周长的取值范围；（3）在（2）条件下,若AB 边中点为D ,求中线CD 的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）【答案】（1）条件选择见解析,3π（2）2,6]+（3）3CD <≤【解析】【分析】（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即可求到余弦值，然后求出角度；选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求到正切值，最后求出角度.（2）根据（1）中结果和2c =，把ABC 周长转化成π4sin 26A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，然后再求解范围.（3）根据中线公式和正弦定理，把CD 转化成三角函数求解即可.【小问1详解】选①：因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，()()()a c a c b a b ∴+-=-,即222c a b ab =+-，1cos 2C ∴=，()0,πC ∈ ,π3C ∴=.选②：2cos 0cos b a A c C--=，2sin sin cos sin cos B A A C C-∴=,2sin cos sin cos sin cos B C A C C A ∴-=，1cos 2C ∴=,()0,πC ∈ ,π3C ∴=.选③：向量()m c = 与(cos ,sin )n C B =平行，sin cos c B C ∴=,sin sin cos C B B C ∴=,tan C ∴=()0,πC ∈ ,π3C ∴=.【小问2详解】π,23C c == ,sin sin sin a b c A B C==,23sin )2sin())2sin )232a b c A B A A A A π∴++=++=+-+=+4sin(26A π=++. ABC 为锐角三角形,π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62A ∴<<，πsin ,162A ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.ABC ∴周长的取值范围为2,6]+.【小问3详解】224a b ab =+- ，又由中线公式可得222(2)42()2(4)CD a b ab +=+=+，21624442·sin sin 33CD B A A π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭2161161142·sin cos sin 42·sin 23223426A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.即254πsin 2336CD A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62A ∴<<,ππ5π2666A ∴<-<.3CD <≤.18.三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面ABC ，ABAC ⊥，12AB AC AA ===，111A C =，M ，N 分别是BC ，BA 中点.（1）求1A N 与1CC 所成角的余弦值；（2）求平面1C MA 与平面11ACC A 所成成角的余弦值；（3）求1CC 与平面1C MA 所成角的正弦值.【答案】（1）45（2）23（3）15【解析】【分析】（1）根据题意，证得11//MN A C 和11//A N MC ，得到1CC M ∠为1A N 与1CC 所成角，在1CC M △中，利用余弦定理，即可求解；（2）过M 作ME AC ⊥，过E 作1EF AC ⊥，连接1,MF C E ，证得ME ⊥平面11ACC A ，进而证得1AC ⊥平面MEF ，得到平面1C MA 与11ACC A 所成角即MFE ∠，在直角MEF 中，即可求解；（3）过1C 作1C P AC ⊥，作1C Q AM ⊥，连接,PQ PM ，由1C P ⊥平面AMC ，得到1C P AM ⊥和1C Q AM ⊥，得到AM ⊥平面1C PQ 和PR ⊥平面1C MA ，在直角1C PQ 中，求得23PR =，求得C 到平面1C MA 的距离是43，进而求得1CC 与平面1C MA 所成角.【小问1详解】解：连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，得//MN AC ，且12AC MN ==，在三棱台111ABC A B C -中，可得11//A C AC ，所以11//MN A C ，由111MN A C ==，可得四边形11MNAC 是平行四边形，则11//A N MC ，所以1CC M ∠为1A N 与1CC 所成角，在1CC M △中，由111CC A N C M CM ====，可得14cos5CC M ∠=.【小问2详解】解：过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ，连接1,MF C E .由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又因为ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则ME ⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，因为1EF AC ⊥，ME EF E ⋂=，且,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，可得1AC MF ⊥，所以平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠，又因为12AB ME ==，1cos CAC ∠=，则1sin CAC ∠=所以11sin EF CAC =⨯∠=，在直角MEF 中，90MEF ∠=，则MF ==2cos 3EF MFE MF ∠==.【小问3详解】解：过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R ，由11C A C C ==，1C M ==12C Q ==，由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，因为1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ ，又因为PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，因为1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，所以PR ⊥平面1C MA ，在直角1C PQ 中，1122223322PC PQ PR QC ⋅⋅==，因为2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍，即点C 到平面1C MA 的距离是43，设所求角为θ，则43sin 15θ==.19.如图①，在矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为CD 的中点，如图②，将AED △沿AE 折起，点M 在线段CD 上．（1）若2DM MC =，求证AD ∥平面MEB ；（2）若平面AED ⊥平面BCEA ，是否存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直？若存在，求此时三棱锥B DEM -的体积，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，169【解析】【分析】（1）根据已知条件及平行线分线段成比例定理，结合线面平行的判定定理即可求解；（2）根据（1）的结论及矩形的性质，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，再利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解.【小问1详解】如图，连AC ，交EB 于G ，在矩形ABCD 中，E 为DC 中点，AB EC ∴∥，且2AB EC =，2AG GC ∴=，又2DM MC =，AD MG ∴∥，又MG ⊂平面MEB ，AD ⊄平面MEB ，AD ∴∥平面MEB ．【小问2详解】存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直.在矩形ABCD 中，12DE DA AB ==，45DEA BEC ∴∠=∠=︒，90AEB ∴∠=︒，即AE EB ⊥，已知平面AED ⊥平面BCEA ，又平面AED 平面BCEA AE =，BE ∴⊥平面AED ，DE ⊂平面AED ，BE DE ∴⊥．①取AE 中点O ，则DO AE ⊥，平面AED ⊥平面BCEA ，平面AED 平面BCEA AE =，DO ∴⊥平面BCEA ，由（1）知当2DM MC =时，AD MG ∥，AD DE ⊥ ，MG DE ∴⊥．②而BE MG G ⋂=，,⊂BE MG 平面MEB ，DE ∴⊥平面MEB ，又DE ⊂平面DEB ，∴平面DEB ⊥平面MEB ．即当2DM MC =时，平面DEB 与平面MEB 垂直．依题意有DE AD ==4AE =，2DO =，(2222121116233333329B DEM B DEC D BEC BEC V V V DO S ---∴===⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△．。

北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案

北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案

北京市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）（答案在最后）1.若复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】运用复数的几何意义求解即可.【详解】复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)-位于第二象限．故选：B .2.已知向量(2,1)a = ，(4,)b x = ，且a b∥，则x 的值为（）A.-2B.2C.-8D.8【答案】B 【解析】【分析】运用平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】(2,1)a =rQ ，(4,)b x =，且a b∥，240x ∴-=，即2x =．故选：B ．3.在三角形ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0120A ∠=，2a =，3b =，则B ＝（）A.3πB.56π C.566ππ或 D.6π【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由于0120A ∠=为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：21sin sin1203sin 2B B =⇒=，选D.考点：解三角形.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A.B.πC.D.2π【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解.【详解】由题知，如图，PAB 为圆锥的轴截面，边长均为2，则圆锥的高322PO =⨯=底面半径1212r =⨯=，故圆锥体积2211ππ1π333V r PO =⋅=⨯=.故选：A5.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（）A.1322AP AB AC =-+uu u r uu u r uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+- 1322AB AC =-+，故选：A.6.已知非零向量a ，b，则“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若20a b -= ，则a b b -=，a b b -= ，所以“a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件，若a b b -= ，则220a a b -⋅=，()20a a b ⋅-= ，当()1,0a = ，11,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()20,1a b -= ，()20a a b ⋅-= 成立，但20a b -≠.所以，“a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件，所以“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的必要不充分条件，故选：B.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos a B c =，则ABC 的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，再由()C A B π=-+，可得2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，从而可得in 0()s A B -=，进而可得结论【详解】解：因为2cos a B c =，所以由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，因为A B C π++=，所以()C A B π=-+，所以()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦，所以2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为A B ππ-<-<，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：B8.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：sin m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量，则下列说法错误．．的是A.a b b a⨯=⨯ B.()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯C.若0a b ⨯=，则//a bD.()a b a b⨯=-⨯【答案】B 【解析】【详解】由运算定义，sin ,sin a b a b b a b a θθ⨯=⨯=，所以a b b a⨯=⨯正确；()sin ,sin sin a b c a b c a c b c a c b c θαβ+⨯=+⨯+⨯=+ ，所以()a b c a c b c +⨯≠⨯+⨯，故B错误；C 、sin 0a b a b θ⨯== ，则0,θπ=，所以//a b 正确；D 、()()sin ,sin sin a b a b a b a b a b θπθθ⨯=-⨯=--= ，所以()a b a b ⨯=-⨯正确．故选B ．点睛：本题考查向量的新定义运算，关键就是理解新定义．本题采取排除法，通过逐个验证，我们可以发现A 、C 、D 都是正确的，所以错误的就是B ．9.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AA AB P ⊥=为棱11A B 的中点，Q 为线段1AC 上的动点．以下结论中正确的是（）A.存在点Q ，使BQ AC ∥B.不存在点Q ，使11BQ B C ⊥C.对任意点Q ，都有1BQ AB ⊥D.存在点Q ，使BQ 平面1PCC 【答案】C 【解析】【分析】A 选项，根据异面直线的定义可以判断；B 选项，容易发现1,A Q 重合时符合题意；C 选项，利用线面垂直得到线面垂直；D 选项，先找出平面1PCC 的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和BQ 垂直的问题.【详解】A 选项，由于BQ ⋂平面ABCB =，B AC ∉，AC ⊂平面ABC ，则,BQ AC 一定异面，A 选项错误；B 选项，根据直三棱柱性质，1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故1BB BC ⊥，又AB BC ⊥，1AB BB B Ç=，1,AB BB ⊂平面11ABB A ，故BC ⊥平面11ABB A ，又1BA ⊂平面11ABB A ，故1BC BA ⊥，显然11BC B C ∥，即111B C BA ⊥，故1,A Q 重合时，11BQ B C ⊥，B 选项错误；C 选项，直棱柱的侧面11ABB A 必是矩形，而1AA AB =，故矩形11ABB A 成为正方形，则11AB BA ⊥，B 选项已经分析过，BC ⊥平面11ABB A ，由1AB ⊂平面11ABB A ，故1AB BC ⊥，又1BC BA B ⋂=，1,BC BA ⊂平面1BCA ，故1AB ⊥平面1BCA ，又BQ ⊂平面1BCA ，则1BQ AB ⊥必然成立，C 选项正确；D 选项，取AB 中点M ，连接,CM PM ，根据棱柱性质可知，CM 和1C P 平行且相等，故平面1PCC 可扩展成平面1CMPC ，过B 作BN CM ⊥，垂足为N ，根据1BB ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，故1BB BN ⊥，显然11BB CC ∥，故1BN CC ⊥，由BN CM ⊥，1CC CM C = ，1,CC CM ⊂平面1CMPC ，故BN ⊥平面1CMPC ，若BQ 平面1PCC ，则BQ BN ⊥，过Q 作QO //1BB ，交11A C 于O ，连接1B O ，于是1BQOB 共面，又1BQ BB B = ，1,BQ BB ⊂平面1BQOB ，故BN ⊥平面1BQOB ，由于1B O ⊂平面1BQOB ，故1BN B O ⊥，延长OQ 交AC 于J ，易得1B O //BJ ，则BJ BN ⊥，而J 在线段AC 上，这是不可能的，D 选项错误.故选：C10.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5 ，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD= ，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD 中，sin sin 73.5ACADC AD=∠= ，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.二、填空题（每题5分，共30分）11.已知复数i(1i)z =+，则z =________；||z =________．【答案】①.1i--②.【解析】【分析】运用共轭复数、复数乘法及复数的模的公式计算即可.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，则1i z =--，||z ==.故答案为：1i --.12.已知向量(1,1)a =-r ，(2,1)b =- ，则2a b += ________；向量a 在b上的投影向量的坐标为________．【答案】①.(0,1)-②.63(,)55-【解析】【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.【详解】解：(1,1)a =-r，(2,1)b =-，则2(2,2)(2,1)(0,1)a b +=-+-=-；()()12113a b ⋅=⨯-+-⨯=-，||b == 故向量a 在b上的投影向量的坐标为：363,555a b b b b b⋅⎛⎫⨯=-=- ⎪⎝⎭ .故答案为：(0,1)-；63(,55-.13.在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______.【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF，DF，则AF BC ⊥，DF BC ⊥，即AFD ∠为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC中，sin 60AF AB ==sin 60DF BD ==由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-∠===⋅⋅.故答案为：13.14.已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，则cos ,OA OB <>=___________；若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m =___________.【答案】①.②.5【解析】【分析】①根据向量的夹角公式，直接求解即可；②根据已知可得0OA AB ⋅=，求出相应的坐标代入即可求出m 的值.【详解】①因为(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，所以(1,2)OA = ，(,0)OB m =，所以5cos ,5||||OA OB OA OB OA OB ⋅<>===；②(1,2)AB m =-- ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则0OA AB ⋅=,即140OA AB m ⋅=--=，所以5m =.故答案为：5；515.若ABC 的面积为2223()4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】①.60②.(2,)+∞【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan B =，可求得3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】()2221sin 42ABC S a c b ac B ∆=+-=，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos 3B B B π∴=∠=，则21sin cos sin sin 11322sin sin sin 2tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⋅+，C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)1tan 0,,3tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,∞+.【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角A B C π++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.16.如图矩形ABCD 中，22AB BC ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻转成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE V 翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）．①BM 是定值；②一定存在某个位置，使1CE DA ⊥；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使1MB A DE 平面∥．【答案】①②④【解析】【分析】运用等角定理及余弦定理可判断①；运用勾股定理证得1A E CE ⊥、DE EC ⊥，结合线面垂直的判定定理及性质可判断②；运用反证法证及线面垂直判定定理证得DE ⊥平面1A EC ，结合线面垂直性质可得1DE A E ⊥得出矛盾可判断③；运用面面平行判定定理证得平面//MBF 平面1A DE ，结合面面平行性质可判断④.【详解】对于①，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则1MF DA ∥，BF DE ，11122MF A D ==，FB DE ==由等角定理知，1π4A DE MFB ∠=∠=，所以由余弦定理可得22252cos 4MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠=，所以52MB =是定值，故①正确；对于④，由①知，1MF DA ∥，BF DE ，又FB 、MF ⊄平面1A DE ，1DA 、DE ⊂平面1A DE ，所以//FB 平面1A DE ，//MF 平面1A DE ，又FB MF F = ，FB 、MF ⊂平面MBF ，所以平面//MBF 平面1A DE ，又因为MB ⊂平面MBF ，所以//MB 平面1A DE ，故④正确，对于②，连接EC ，如图所示，当1A C =时，因为11A E =，CE =22211A C A E CE =+，所以1A E CE ⊥，因为矩形ABCD 中，D E C E ==，2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A E DE E ⋂=，1A E 、DE ⊂平面1A DE ，所以CE ⊥平面1A DE ，又1A D ⊂平面1A DE ，所以1CE DA ⊥，故②正确；对于③，假设③正确，即在某个位置，使1DE A C ⊥，又因为矩形ABCD 中，D E C E ==2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A C EC C ⋂=，1AC 、EC ⊂平面1A EC ，所以DE ⊥平面1A EC ，又1A E ⊂平面1A EC ，所以1DE A E ⊥，这与1π4DEA ∠=矛盾，所以不存在某个位置，使1DE A C ⊥，故③错误．故答案为：①②④.三、解答题（每题14分，共70分）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：EF CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线证得EF PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）由线面垂直性质可得PD CD ⊥，结合线面垂直判定定理可得CD ⊥平面PAD ，再结合线面垂直性质、线线垂直性质证明即可.【小问1详解】因为E ，F 分别是AB ，PB 的中点，所以EF PA ∥，又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ；【小问2详解】因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD CD ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，CD AD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥，由（1）知，EF PA ∥，所以EF CD ⊥．18.已知2()22cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】（1）π，π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈（2）max ()3f x =，min ()0f x =【解析】【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，结合sin y t =图象与性质求解即可.（2）先求出π26x +的范围，结合sin y t =图象与性质即可求得最值.【小问1详解】因为2π()22cos 2cos 212sin(216f x x x x x x =+=++=++，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤，Z k ∈，解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈，所以()f x 单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈．【小问2详解】因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2[,]666x +∈，所以由函数图象性质知，当ππ262x +=，即π6x =时，max ()3f x =；当π7π266x +=，即π2x =时，min ()0f x =．19.如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =．（1）求证：平面//BAF 平面CDE ；（2）求证：平面EAC ⊥平面EBD ；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）13BM BD =，证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到//AF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，再利用面面平行的判定定理，即可证明结果；（2）根据条件得到AC ⊥平面EBD ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（3）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【小问1详解】因为//AF DE ，AF ⊄面CDE ，DE ⊂面CDE ，所以//AF 平面CDE ，同理，//AB 平面CDE ，又AF AB A ⋂=，,AF AB ⊂面BAF ,所以平面//BAF 平面CDE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，DE ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC DE ∴⊥，BD DE D = ，,BD DE ⊂平面EBD ，AC ∴⊥平面EBD ，AC ⊂ 平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面EBD .【小问3详解】当13BM BD =时，//AM 平面BEF ，理由如下：作MN ED ∥，则MN 平行且等于13BD ，//AF DE ，3DE AF =，∴AF 平行且等于MN ，∴AMNF 是平行四边形，//AM FN ∴，AM ⊄ 平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AM ∴平面BEF .20.在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =.（Ⅰ）若π3A ∠=，求B ∠的大小；（Ⅱ）若1bc =，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）π3B ∠=，（2）．【解析】【详解】【分析】试题分析：（Ⅰ）因为2sin sin sin ,A B C =由正弦定理可得2a bc =，再利用余弦定理得所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-即b c =，所以为等边三角形．所以π3B ∠=（注：当然也可用化角来处理）；（Ⅱ）由已知可得21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=，又sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤试题解析：（Ⅰ）方法一：因为2sin sin sin ,A B C =且，所以2a bc =．又因为π3A ∠=，所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-．所以2()0b c -=．所以b c =．因为π3A ∠=，所以为等边三角形．所以π3B ∠=．方法二：因为πA BC ++=，所以sin sin()C A B =+．因为2sin sin sin B C A =，π3A ∠=，所以2ππsin sin()sin 33B B +=．所以13sin cos sin )224B B B +=．所以11cos 23sin 24224B B -+⨯=．所以12cos 2122B B -=．所以πsin(2)16B -=．因为(0,π)B ∈，所以ππ112(,π)666B -∈-．所以ππ262B -=，即π3B ∠=．（Ⅱ）因为2sin sin sin ,A B C =1bc =，且，所以21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=（当且仅当时，等号成立）．因为(0,π)A ∈，所以π(0,]3A ∈．所以sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤．所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值．考点：三角函数的性质与解三角形21.对于数集{}12,,1,n X x x x =- ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==∈∈ ，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，则称X 具有性质P ．（1）判断{}1,1,2-是否具有性质P ；（2）若2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，求x 的值；（3）若X 具有性质P ，求证：1X ∈且当1n x >时，11x =．【答案】（1）具有性质P（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合新定义判断即可；（2）在Y 中取()1,2a x = ，根据数量积的坐标表示，求出可能的2a ，再根据2x >求出符合条件的值即可；（3）取()111,a x x Y =∈ ，()2,a s t Y =∈ ，由120a a ⋅= ，化简可得0s t +=，所以,s t 异号，而1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，从而得到1X ∈，最后通过反证法得出1n x >时，11x =.【小问1详解】{}1,1,2-具有性质P .因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y =------，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，所以X 具有性质P .【小问2详解】因为2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，所以可取()1,2a x = ，又Y 中与()1,2a x = 垂直的元素必有形式()()()1,1,1,2,1,x ---中的一个，当()21,1a =- 时，由120a a ⋅= ，可得202x x -+=Þ=，不符合题意；当()21,2a =- 时，由120a a ⋅= ，可得404x x -+=Þ=，符合题意；当()21,a x =- 时，由120a a ⋅= ，可得200x x x -+=Þ=，不符合题意；所以4x =.【小问3详解】证明：取()111,a x x Y =∈ ，设()2,a s t Y =∈ ，满足120a a ⋅= ，所以()100s t x s t +=⇒+=，所以,s t 异号，因为1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，所以1X ∈，假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<，选取()11,n b x x = ，并设()2,b p q = ，满足120b b ⋅= ，所以10n px qx +=，则,p q 异号，从而,p q 之中恰有一个为1-，若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾；若1q =-，则1n n x px p x =<<，矛盾，所以当1n x >时，11x =，综上，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.。

四川省内江市第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析

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内江六中2023--2024学年（下）高2026届半期考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设平面向量，则A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【详解】∵ ∴故选A ；【考点】：此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算；【突破】：准确应用向量的坐标运算公式是解题的关键；2. 已知复数，则的虚部为（ ）A 2B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的概念判断即可.【详解】复数的虚部为.故选：C3. 在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C.()()3,5,2,1a b ==- 2a b -=()7,3()7,7()1,7()1,3()()3,5,2,1a b ==- ()()()()23,522,1345273a b -=--=+-=，，12z i =-z 2i 2-2i-12z i =-2-ABC D BC 4BD CD =E AB AB a =AC b= ED =1455a b + 3144a b +5463a b-+ 5564a b-+【解析】【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用 、表示即可判断作答.【详解】在所在平面内，在延长线上，且，则，又是的中点，所以.故选：C4. 若，，则（ ）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】由两角和与差的正切公式即可求解.【详解】．故选：D .5. 已知，则向量的夹角为（ ）A. B. C.D. 【答案】C 【解析】【分析】利用向量模的计算公式，化简求得，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，解得，又由，可得.故选：C.6. 在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）AB AC EDABC D BC 4BD CD =43BD BC =EAB 2)14141454()2332363(ED EB BD AB BC AB AC AB a b a a b =+=+=+-=+-=-+ tan 2α=tan 8(2)αβ+=tan()αβ+=101735-25617tan(2)tan 826tan()tan(2)1tan(2)tan 18217αβααβαβααβα+--+=+-===+++⨯3,1,2a b a b ==-= ,a b30 6012015032a b ⋅=- 3,1,2a b a b ==-=222224434419a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+= 32a b ⋅=- 1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅,120a b = ABC 32AD DC = P BD 25AP t AB AC =+tA. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】依题意可得，根据平面向量共线定理的推论及平面向量基本定理计算可得.【详解】因，所以，又是直线上的一点，所以，又，所以，所以.故选：B7. 在△ABC 中，若，则△ABC 是（ ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】【分析】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论．【详解】在△ABC 中，由，得 ，则为13-1323-2353AC AD =32AD DC = 53AC AD =P BD ()1AP xAB x AD =+-2532AP t AB AC t AB AD =+=+ 213x tx =⎧⎪⎨-=⎪⎩13x t ==2sin sin cos 2CA B =()cos 1A B -=A B =πA B C ++=()πC A B =-+，所以，即，则，又，，则，所以，即，所以△ABC 为等腰三角形，但无法判断C 是不是直角．故选：A ．8. 已知函数在区间上单调递增，则下列选项中错误的是（ ）A. 函数两个零点的最小距离为，则B. 若，则C. 若，则D. 若，且函数在区间有唯一零点，则【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用正弦型函数的周期性，单调性等有关的性质逐一进行分析，判断各项是否正确.【详解】对于A 中，函数在区间上单调递增，所以该函数的最小正周期满足，所以，当时，成立，所以的最大值为2，所以A 正确；对于B 中，因为在区间上单调递增，()()21cos 1111111cos cos πcos cos cos sin sin 222222222C C A B A B A B A B +⎡⎤==+-+=-+=-+⎣⎦111sin sin cos cos sin sin 222A B A B A B =-+cos cos sin sin 1A B A B +=()cos 1A B -=0πA <<0πB <<ππA B -<-<0A B -=A B =()()0()sin f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭()12y f x =-π32ω=π3ϕ=-504ω<≤5π012f ⎛⎫>⎪⎝⎭π2π063f f ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6ϕ=()f x [0,π]1,16ω⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦()()()sin 0f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭T π2πππ2362T ω=≥-=2ω≤5π6ϕ=-2ω=ω()()()sin 0f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭故有，当时，，所以，所以，所以，又因为，故，可得，所以B 正确；对于C 中，由于，故当时，，故C 错误；对于D 中，当，，所以，又因为函数在区间有唯一零点，所以，解得，所以D正确.故选：C二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.）A.B.C.D. 【答案】ACπ2πππ22362T ωω=≥-=⇒≤π3ϕ=-π2π,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ2ππ6333x ωωωϕ-<+<-πππ2π632,Z 2πππ2π332k k k ωω⎧-≥-⎪⎪∈⎨⎪-≤+⎪⎩121534k k ωω≥-⎧⎪⎨≤+⎪⎩2ω≤0k =504ω<≤π2π5ππ2π63,21263+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭5π012f ⎛⎫> ⎪⎝⎭π2π063f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6ϕ=[]0,πx ∈ππππ666x ωω≤+≤+()f x []0,ππππ6ππ2π6ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩1,16ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+︒︒tan 21tan 24tan 21tan 24︒+︒+︒︒1tan151tan15+︒-︒2cos 15sin15cos 75︒︒-︒【解析】【分析】由两角和与差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于AA 正确；对于B ，因为，可得，所以，故B 错误；对于C ，C 正确；对于D ，D 错误.故选：AC .10. 已知向量，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则向量与向量D. 若，则向量在向量上的投影向量为【答案】AC 【解析】【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断A ；利用向量垂直的充要条件的坐标表示判断B ；利用向量夹角的坐标表示判断C; 利用向量投影的坐标表示判断D【详解】若，则，解得，故A 正确．2⎫︒+︒=︒+︒⎪⎪⎭()()2cos 45sin15sin 45cos152sin 15452=︒︒+︒︒=︒+︒==()tan 21tan 24tan 45tan 21241tan 21tan 24︒+︒︒=︒+︒=-︒︒()tan 21tan 24tan 451tan 21tan 24︒+︒=︒-︒︒tan 21tan 24tan 21tan 24︒+︒+︒︒()tan 451tan 21tan 24tan 21tan 241=︒-︒︒+︒︒=()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=-︒-︒⋅︒222cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos30︒-︒︒=︒-︒=︒=()(),1,4,2a x b ==a b ∥2x =a b ⊥12x =3x =ab=1x -b aa b∥240x -=2x =若，则，解得，故B 错误．若，则，又，所以向量与向量的夹角的余弦值为，故C 正确．若，则，又，所以向量在向量上投影向量为，故D 错误．故选：AC ．11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 的表达式可以写成B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C. 的对称中心，D. 若方程在上有且只有6个根，则【答案】ABC 【解析】【分析】利用特殊点求得函数的解析式即可判断A ，根据相位变换求得新函数解析式即可判断奇偶性，即可判断B ，先求出的解析式，然后代入正弦函数对称中心结论求的a b ⊥ 420x +=12x =-3x =()3,1a =()4,2b = a b a b a b⋅== =1x -()1,1a =-()4,2b = b a ()1,1a b a a a ⋅⋅==-()ππ)02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭()f x ()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 3π8()π14g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,182k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈()1f x =()0,m 5π13π,24m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x解判断C ，把问题转化为根的问题，找到第7个根，即可求解范围判断D.【详解】对A ，由，即又，所以，又的图象过点，则，即，所以，即得，，又，所以，所以，故A 正确；对B ，向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确；对于C ，，令得，所以对称中心，，故C 正确；对于D ，由， 得，因为，所以，令，解得.又在上有6个根，则根从小到大为，再令，解得，则第7个根为，，故D 错误．πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()01f =-1ϕ=-sin ϕ=ππ22ϕ-<<π4ϕ=-()f x π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭πππ84k ω-=82k ω=+Z k ∈02ω<≤2ω=π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 3π83π3ππ2π)884y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππ()2121444g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()π2π4x k k +=∈Z ()ππ82k x k =-+∈Z ππ,182k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈()1f x =πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,)x m ∈πππ2,2444x m ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭4444444ππ3π9π11π17π19π2,,,,,m -=ππ5π3π9π5π,,,,,424242m =()0,m ππ5π3π9π5π,,,,,424242π25π244m -=13π4m =13π45π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：ABC .12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，且只有一解，则b 的取值范围为C. 若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为D. 若为锐角三角形，，则AC 边上的高的取值范围为【答案】AC 【解析】【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可根据余弦定理，结合不等式求解A ；根据正弦定理即可求解B ，根据正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求C ，根据余弦定理得，即可根据二次函数的性质求解D.【详解】由正弦定理可得，即因为，所以，所以，对于A ，若，由余弦定理得，由，，可得，即，当且仅当时等号成立，则面积，所以，故A 正确；对于B ，若，且，由正弦定理得，所以，2cos cos c B b C a +=π3A =ABC π4A =ABC (]0,1π3A =ABC ABC (1⎤⎦ABC 2AC =1a =235c <<sin cos sin cos sin C B B C a A +=()sin sin sin B C A a A +==0πA <<sin 0A ≠1a =π3A =22222π1cos cos 322b c a b c A bc bc+-+-===0b >0c >2212b c bc bc +=+³1bc ≤b c =ABC 11sin 22bc A ≤⨯=ABC π4A =1a =1πsin sin 4b B=πsin sin4B b ==当，时有一解，故B 错误；对于C ，若，由正弦定理得，由于为锐角三角形，故且，故，因此，故，故C 正确；对于D ，由于为锐角三角形，，，所，故AC 边上的高为，故D 错误．故选：AC第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在中，已知，则角为_________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理的变形形式即可求解.【详解】在中，，所以，，sin 1B =1=b =π3A =sin a A =)2π1sin sin 1sin sin 3a b c B C B B ⎫⎛⎫++=++=++- ⎪⎪⎝⎭⎭3π1sin 12sin 26B B B ⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ABC π02B <<2ππ032B <-<ππ62B <<ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(π12sin 16a b c B ⎛⎫⎤++=++∈+ ⎪⎦⎝⎭ABC 2AC b ==1a =2222222222222533541a b c c a c b c c c b a c ⎧⎧+>>⎪⎪+>⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪+>+>⎩⎩sin a C ⎫===⎪⎪⎭ABC 222c a b ab =+-C 3πABC 222c a b ab =+-222ab a b c =+-2221cos 222a b c ab C ab ab +-===又因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.14. 函数，最大值是______．【答案】2【解析】【分析】利用辅助角公式，结合定义域求解出函数的最大值.【详解】，又，，．的最大值为2．故答案为：215.如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为_________________.【答案】【解析】的0C π<<3C π=3πsin y x x =[]0,πx ∈1sin 2sin 2y x x x x ⎛⎫=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭=πππ2cos sin sin cos 2sin 333x x x ⎛⎫⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[0,π]x ∈ ππ4π,333x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦πsin 3x ⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭sin y x x ∴=+,A B ,A B 30 45 ,A B 20m m 1)+【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用直角三角形的边角关系求解即得.【详解】在中，，由正弦定理得，则，在中，，因此，所以这颗银杏树的高度为.故答案为：16. 已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设证明四点共圆.设外接圆半径为,要使最大，所以必须过圆心，利用正弦、余弦定理求出即得解.【详解】设所以, 所以,ABC BC ABC 20,30,15AB A ACB ==∠= 1sin15sin(4530)2=-==sin 30sin15BC AB =BC ==Rt BCD 90BDC ∠= sin 451)CD BC ==+=+ 1)m +1)+a →b →1a →=b = 32a b ⋅=- - a c b c -||c →,,,OA a OB b OC c →→→→→→===,,,O A B C R ||c →OC 2R ,,,OA a OB b OC c →→→→→→===,a c CA b c CB →→→→→→-=-=30ACB ∠=所以，因为，所以所以四点共圆.设外接圆半径为,要使最大，所以必须过圆心，此时，在中，由余弦定理得.由正弦定理得.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 设复数，其中.（1）若是纯虚数，求的值；（2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义可得到解方程即可；（2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可.【小问1详解】是纯虚数，只需，解得.【小问2详解】cos ,||||a ba b a b →→→→→→<>=== ,[0180]a b →→<>∈ ，,150,150.a b AOB →→<>=∴∠= ,,,O A B C R ||c →OC OAB2137,AB AB =+-=∴=2sin ABOC R AOB===∠()22276i z a a a a =+-+-+R a ∈z a z a 2-()1,62220760a a a a ⎧+-=⎨-+≠⎩2220760a a a a ⎧+->⎨-+<⎩z 2220760a a a a ⎧+-=⎨-+≠⎩2a =-由题意知，解得，故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.18. 已知函数．（1）把化为的形式，并求的最小正周期；（2）求的单调递增区间以及对称中心．【答案】（1）； （2），；，【解析】【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦型函数性质求解；（2）由正弦型函数的单调区间可得，根据正弦型函数的对称中心可求解对称中心.【小问1详解】，所以最小正周期为．【小问2详解】由，，解得，，所以的增区间为，．由，，2220760a a a a ⎧+->⎨-+<⎩16a <<16a <<z ()22cos cos sin f x x x x x =+-()f x sin()y A x ωϕ=+()f x ()f x ()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ππππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ππ,0212k⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z ()2cos 2f x x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2ππ2T ==πππ2π22π262k x k -≤+≤+k ∈Z ππππ36k x k -≤≤+k ∈Z ()f x πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z π2π6x k +=k ∈Z解得，，所以对称中心为，.19. 在中，，，边，上的点，满足，，为中点．（1）设，求实数，的值；（2）若，求边的长．【答案】（1），； （2）8.【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；（2）用、表示出，再根据数量积的运算律及定义计算可得.【小问1详解】因为，，所以，，所以，又，且、不共线，ππ212k x =-k ∈Z ππ,0212k⎛⎫-⎪⎝⎭k ∈Z ABC 6BC =60ACB ∠=︒AB BC M N 13BM MA =2BN NC =P AC NM CB CA λμ=+u u u r u u r u u rλμ8BP NM ⋅=-AC 512λ=14μ=CB CA BP13BM MA = 2BN NC = 14BM BA = 23BN BC = 1243NM BM BN BA BC=-=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r()125143124BC CA BC CB CA =+-=+u uu r u u r u u u r u u r u u r NM CB CA λμ=+u u u r u u r u u r CB CA所以，；【小问2详解】因为，所以，解得或（舍去），即边的长为．20. 在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积（又称为“·乘”，“×乘”）．向量与的向量积记作：．其中的运算结果是一个向量，其方向垂直于向量与所在平面，它的长度．现在我们定义一种运算规则“”．设平面内两个非零向量而，元的夹角为，规定示．试求解下列问题：（1）已知向量，满足，，，求的值；（2）已知向量，，，求的最小值．【答案】（1）2 （2）9【解析】【分析】（1）借助新定义计算即可得；（2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据，结合基本不等式计算即可得.【小问1详解】由己知，得，512λ=14μ=12BP BC CD CB CA =+=-+u u r u u u r u u u r u u r u u r1512124BP NM CB CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u r u u u r u u r u u r u u r u u r 2251112248CB CB CA CA =--⋅+u u r u u r u ur u u r 225111668122428CA CA =-⨯-⨯⨯⨯+⨯=- 8CA = 7CA =-AC 8aba b ⨯ a b ⨯a bsin a b a b θ⨯= ⊗θ||||sin m n m n θ≡⊗=r r r ra b (2,1)a = 2b = 4a b ⋅= a b ⊗ 12,cos sin a αα⎛⎫= ⎪⎝⎭r 21,sin cos b αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭r π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a b ⊗ 1221sin a b a b x y x y θ⊗==-()2,1a = a =所以，即，又，所以，所以；【小问2详解】法一：设，，则，，所以，所以，故，，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值的最小是9．法二：，故．故．故cos 44a b a b θθ⋅=⋅=⇒=cos θ=0πθ<<sin θ=||||sin 2a b a b θ⊗===r r r r 11(,)a x y = 22(,)= b x y ||a =r ||b =r cos ||||a ba b θ⋅==⋅r r r rsin θ===1221||||sin ||a b a b x y x y θ⊗==-r rr r 22221414cos sin cos sin a b αααα⊗=--=+ 22222222221414sin 4cos (cos sin )5cos sin cos sin cos sin αααααααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+=2222sin 4cos cos sin αααα=tan α=a b ⊗ 12210cos sin sin cos a b αααα⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭a b ⊥ sin ,1a b = 2214sin ,cos sin a b a b a b αα⊗==+22222222221414sin 4cos (cos sin )5cos sin cos sin cos sin αααααααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值的最小是9．21. 为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC 区域）进行分区改造．△BNC 区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC 区域规划为学生自主栽培区．△MNC 的周围将筑起护栏．已知m ，m ，，，设．（1）若m ，求护栏的长度（△MNC 的周长）；（2）试用表示△MNC 的面积，并研究△MNC 的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．【答案】（1）（m） （2），最小值为．【解析】【分析】（1）利用余弦定理证得，从而判断得是正三角形，由此得解；（2）在与中，利用正弦定理求得与关于的表达式，从而利用三角形的面积公式得到关于的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.【小问1详解】依题意，在中，m ，m ，，所以，则，，即，所以，又，故，所以是正三角形，则m ，m ，59≥+=2222sin 4cos cos sin αααα=tan α=a b ⊗20AC =40AB =60BAC ∠=︒30MCN ∠=︒ACM θ∠=10AM =θ30+S =(23002m -AM CM ⊥ANC ANC ACM CN CM θCMN S θAMC 20AC =10AM =60BAC ∠=︒2222cos 300CM AM AC AM AC A =+-⋅=1CM =222AC CM AM =+AM CM ⊥30ACM ∠=︒30MCN ∠=︒60ACN∠=︒ANC 20CN AN AC ===10MN AN AM =-=所以护栏的长度为（m ）．【小问2详解】学生自主栽培区的面积有最小值，理由如下：设，在△ANC 中，，则，由正弦定理得，得在中，，由正弦定理得，得所以，所以当且仅当，即时，．22. 在锐角中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足．（1）求证：；（2）若，求a 边的范围；（3）求的取值范围．【答案】（1）证明见解析 （2）30CMCN MN ++=+MNC (23002m -060()ACM θθ∠=︒<<︒30MCN ∠=︒()180603090ANC θθ∠=︒-︒-+︒=︒-20sin 60sin(90)cos CN AC θθ==︒︒-CN =ACM 18060120CMA θθ∠=︒-︒-=︒-sin 60sin(120)CM AC θ=︒︒-CM =1300sin 3024sin(120)cos CMN S CM CN θθ︒-︒=⋅⋅=△3004(sin120cos cos120sin )cos θθθ=︒-︒===26090θ+︒=︒15θ=︒CMN (23002m =ABC 22a b bc -=2A B =1b =112sin tan tan A B A-+（3）．【解析】【分析】（1）由，进而得到，再利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式求解；法二：由，利用正弦定理转化为，进而得到，再利用和差化积求解.（2）由（1）知，进而得到，再根据为锐角三角形，得到，再由，利用正弦定理求解；（3）由（2）知，转化为，再令，得到求解.【小问1详解】解：因为，所以，由正弦定理可得，又因为，代入可得，即，因为，，则，故，所以或，即或（舍去），所以．法二：由正弦定理可得：，则，则，⎫⎪⎪⎭22222cos a b c bc A b bc =+-=+2cos c b b A -=22a b bc -=22sin sin sin sin A B B C -=()()sin sin sin sin sin sin A B A B B C +-=2A B =π3C B =-ABC 64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1b =ππ2,32A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭1112sin 2sin tan tan sin A A B A A -+=+sin A t =12y t t=+22222cos a b c bc A b bc =+-=+2cos c b b A -=sin sin 2sin cos C B B A -=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin cos Cos sin sin A B A B B -=()sin sin A B B -=0A <πB <sin 0B >0πA B <-<A B B -=πA B B -+=2A B =πA =2A B =22sin sin sin sin A B B C -=()()sin sin sin sin sin sin A B A B B C +-=2sincos 2sin cos sin()sin(-)sin sin 2222A B A B A B A BA B A B B C +--+⨯=+⨯=又，故，因为，，则，故，所以或，即或（舍去），【小问2详解】因为为锐角三角形，，所以，由，解得，又故．小问3详解】由（2）知．由，，令，则在上单调递增，所以，所以的取值范围为．【()sin sin 0A B C +=≠()sin sin A B B -=0A <πB <sin 0B >0πA B <-<A B B -=πA B B -+=2A B =πA =ABC 2A B =π3C B =-π02π022π0π32B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1b =sin 2cos sin b A a B B ==∈ππ2,32A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭11cos cos 2sin 2sin tan tan sin sin B A A A B A B A-+=-+sin()12sin 2sin sin sin sin A B A A A B A-=+=+sin A t =12y t t =+t ⎫∈⎪⎪⎭y ⎫∈⎪⎪⎭112sin tan tan A B A -+⎫⎪⎪⎭。

高一数学半期试题及答案

高一数学半期试题及答案

高一数学半期试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x + 1答案：B2. 若直线l的方程为x + 2y - 3 = 0，则直线l与x轴的交点坐标为（）A. (3, 0)B. (0, 3)C. (3, 3)D. (-3, 0)答案：A3. 函数f(x) = 2x - 3的反函数为（）A. f^(-1)(x) = (x + 3) / 2B. f^(-1)(x) = (x - 3) / 2C. f^(-1)(x) = (x + 3) / 3D. f^(-1)(x) = (x - 3) / 3答案：A4. 已知集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，集合B = {x | x^2 - 4x + 3 = 0}，则A∩B为（）A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}答案：D5. 函数y = sin(x)的周期为（）A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：B6. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的点积为（）A. 5B. 10C. 7D. 11答案：D7. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C8. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则该数列的第5项a5为（）A. 486B. 108C. 54D. 18答案：A9. 函数y = 2^x的反函数为（）A. y = log2(x)B. y = log10(x)C. y = ln(x)D. y = e^x答案：A10. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，根据勾股定理的逆定理，三角形ABC为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(1)的值为______。

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广元市八二一中学高2019级半期考试
数 学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则A B =I ( B )
A ．{0，1}
B ．{–1，0，1}
C ．{–2，0，1，2}
D ．{–1，0，1，2} 2．函数y ＝cos x －32
的定义域为=( C ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R 3．已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13
a a =
=则( A ) A ．1213- B ．513- C ．513 D ．1213 4．若向量()m=2k-1k r ，与向量()n=41r ，共线，则m n=⋅r r ( D ) A ．0 B ．4 C ．－92 D ．－172
5．在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠=o ，则AC = ( A )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．若1sin 3α=
，则cos2α=( B ) A ．89 B ．79 C ．79- D ．89
- 7．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( B )
A ．－12
B ．－13
C ．12
D ．13
8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( C )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
9．在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( A )
A ．55
B.11 C ．50
D ．60
10．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为222
4a b c +-，则C =( C )
A ．
2π B ．3π C ．4π D ．6
π 11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是=( A )
A ．2a b =
B ．2b a =
C ．2A B =
D ．2B A =
12．已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2 020项和为( D )
A ．5 B.－5 C ．0 D ．－1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．
13．已知向量(1,)(3,2)m =-r r ，=a b ，且()+⊥r r r a b b ，则m =___8_____．
14．tan 18°＋tan 12°＋33
tan 18°tan 12°＝________． 15.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,．已知cos b C +
cos 2c B b =，则=b
a 2 ． 16．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是___22
n n +_____．
三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.（本小题满分12分）已知α∈⎝⎛⎭
⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；
(2)求cos ⎝⎛
⎭⎫5π6－2α的值． 解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255
. 故sin ⎝⎛⎭
⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22
×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×
55×⎝⎛⎭⎫－255 ＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35
， 所以cos ⎝⎛
⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310. 18．（本小题满分12分）已知=4r a ，=8b r ，a r 与b r 的夹角是120°.
(1)计算：①a b +r r ，②4-2a b r r ；
(2)当k 为何值时，()()
2-a b ka b +⊥r r r r ? 解：由已知得，a·b ＝4×8×⎝⎛⎭
⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3.
②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768.
∴|4a －2b |＝16 3.
(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，
∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0，
k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，
即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7.
即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．
19．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋
1－2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式．
解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)
＝2n ＋1－2n ＝2n .
因为a 1也适合此等式，所以a n ＝2n (n ∈N *)．
(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n ，a n ＋1＝2n ＋
1，
所以b n ＝2n ＋2n ＋1＝3·2n .
20．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．
解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B
， 得sin B ＝3cos B .
所以tan B ＝3，所以B ＝π3
. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C
，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
得9＝a 2＋c 2－ac .
所以a ＝3，c ＝2 3.
21.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =， 2336S S ⋅=．
（Ⅰ）求d 及n S ；
（Ⅱ）求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++=L ．
22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝c os2x＋3sin(π－x)c os(π＋x)－1
2.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，b sin C＝a sin A，求△ABC的面积．。

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