线性代数论文
线性代数的应用论文
论文:线性代数的应用与心得体会班级：姓名：学号:指导老师:完成时间：2014年10月20日目录摘要 (2)关键词 (2)一、线性代数被广泛运用的原因 (2)二、线性代数在实际中的应用 (2)1. 用二阶行列式求平行四边形面积,用三阶行列式求平行六面面体 (2)2. 希尔密码 (2)3.在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实现 (3)4、在城市人们出行的应用——交通流的分析 (4)5、马尔可夫链 (5)6、在人口迁移的应用人口迁徙模型 (5)三、心得与体会 (7)摘要我们对线性代数的了解大概是,线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容,还有其主要知识：矩阵、方程组和向量；我们也应该了解其在众多的科学技术领域和实际生活中的应用都十分广泛;下面就是看一些具体实例应用,和一些心得体会;关键词线性代数；实际生活；应用实例；心得体会；;一、线性代数被广泛运用的原因为什么线性代数得到广泛运用,也就是说,为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事,而并非解非线性方程组是经常的事呢原因之一,大自然的许多现象恰好是线性变化的,研究的是单个变量之间的关系;例如我们高中学过的物理学科中,物理可以分为机械运动、电运动、还有量子力学的运动;而比较重要的机械运动的基本方程是牛顿第二定律,即物体的加速度同它所受到的力成正比,其实这又恰恰符合基本的线性微分方程;再如电运动的基本方程是麦克思韦方程组,这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比,而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比,因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组;原因之二,之后随着科学的发展,我们不仅要研究单个之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而且由于计算机的发展,了的问题又可以计算出来,所以,线性代数因这方面的成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用;原因之三,在数学中线性代数与几何和代数有着不可分割的联系;线性代数所体现的观念与代数方法之间的联系,从具体概念变为出来的,对于强化人们的,增强科学性是非常有用的;二、线性代数在实际中的应用1.用二阶行列式求平行四边形面积,用三阶行列式求平行六面面体2.希尔密码希尔密码Hill Password是运用基本矩阵论原理的替换密码,由Lester S. Hill在1929年发明;每个字母当作26进制数字：A=0, B=1, C=2... 一串字母当成n维向量,跟一个n×n的矩阵相乘,再将得出的结果模26;注意用作加密的矩阵即密匙在\mathbb_^n必须是可逆的,否则就不可能译码;只有矩阵的行列式和26互质,才是可逆的;例题、设明文为HPFRPAHTNECL,密钥矩阵为：3.在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实现大学生在饮食方面存在很多问题,多数大学生不重视吃早餐,日常饮食也没有规律,为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养;大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物,下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养它们的质量以适当的单位计量;设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表,表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方;现在的问题是：如果用这三种食物作为每天 营养 每100g 食物所含营养g减肥所要求的每日营养量脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 蛋白质 36 51 13 33 碳水化合物 52 34 74 45 脂肪73123个单位100g,表中的三个营养成分列向量为：12136511352,34,74,07 1.1a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则它们的组合所具有的营养为11223312336511352347407 1.1x a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等,就可以得到以下的矩阵方程：123365113335234744507 1.13x x Ax b x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦用MA TLAB 解这个问题非常方便,列出程序ag763如下： A=36,51,13;52,34,74;0,7, b=33;45;3 x=A\b程序执行的结果为：0.2772 0.3919 0.2332x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即脱脂牛奶的用量为,大豆面粉的用量为,乳清的用量为,就能保证所需的综合营养量;4、在城市人们出行的应用——交通流的分析某城市有两组单行道,构成了一个包含四个节点A,B,C,D 的十字路口如图所示;在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量每小时的车流数标于图上;现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量x 1,x 2,x 3,x 4;解：在每个节点上,进入和离开的车数应该相等,这就决定了四个流通的方程： 节点A: x 1+450＝x 2+610 节点B: x 2+520＝x 3+480 节点C: x 3+390＝x 4+600 节点D: x 4+640＝x 2+310将这组方程进行整理,写成矩阵形式：12233414= 160 = - 40 - = 210= -330x x x x x x x x ---其系数增广矩阵为：11 160 11 - 40 [,]1121011 -330A b -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ 用消元法求其行阶梯形式,或者直接调用U0=rrefA,b,可以得出其精简行阶梯形式为1 0 0 -1330 0 1 0 -1 170 U0= 0 0 1 -1 210 0 0 0 00⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦注意这个系数矩阵所代表的意义,它的左边四列从左至右依次为变量x 1,x 2,x 3,x 4的系数,第五列则是在等式右边的常数项;把第四列移到等式右边,可以按行列写恢复为方程,其结果为：x 1=x 4+330, x 2=x 4+170, x 3=x 4+210图3 单行线交通流图0＝0由于最后一行变为全零,这个精简行阶梯形式只有三行有效,也就是说四个方程中有一个是相依的,实际上只有三个有效方程;方程数比未知数的数目少,即没有给出足够的信息来唯一地确定x1,x2,x3,和x4;其原因也不难从物理上想象,题目给出的只是进入和离开这个十字路区的流量,如果有些车沿着这四方的单行道绕圈,那是不会影响总的输入输出流量的,但可以全面增加四条路上的流量;所以x4被称为自由变量,实际上它的取值也不能完全自由,因为规定了这些路段都是单行道,x1,x2,x3,和x4;都不能取负值;所以要准确了解这里的交通流情况,还应该在x1,x2,x3,和x4中,再检测一个变量;5、马尔可夫链马尔可夫链Markov Chain,描述了一种状态序列,其每个状态值取决于前面有限个状态;马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机变量的一个数列;这些变量的范围,即它们所有可能取值的集合,被称为“状态空间”,而的值则是在时间n的状态;如果对于过去状态的条件概率分布仅是的一个函数,则这里x为过程中的某个状态;上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质;例题、6、在人口迁移的应用人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的;人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化;每年有6%的市区居民搬到郊区去住,而有2%的郊区居民搬到市区;假如开始时有30%的居民住在市区,70%的居民住在郊区,问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少30年、50年后又如何这个问题可以用矩阵乘法来描述;把人口变量用市区和郊区两个分量表示,即,ck k sk x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中x c 为市区人口所占比例,x s 为郊区人口所占比例,k 表示年份的次序;在k=0的初始状态：0000.30.7c s x x x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;一年以后,市区人口为x c1= x c0+,郊区人口x s1= + x s0,用矩阵乘法来描述,可写成：11010.940.020.3 0.29600.060.980.7 0.7040c s x x Ax x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 此关系可以从初始时间到k 年,扩展为2120k k k k x Ax A x A x --====,用下列MATLAB 程序进行计算：A=,;, x0=; x1=Ax0, x10=A^10x0 x30=A^30x0 x50=A^50x0程序运行的结果为：1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508,,,, 0.7040 0.7283 0.7459 0.7492x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦无限增加时间k,市区和郊区人口之比将趋向一组常数 ;为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值,我们改变一下坐标系统;在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A 的效果;选u 1为稳态向量,T 的任意一个倍数,令u 1=1,3T 和u 2=-1,1T ;可以看到,用A 乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度,不影响其相角方向：110.940.02110.060.9833Au u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦220.940.0210.920.920.060.9810.92Au u --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦初始向量x0可以写成这两个基向量u1和u2的线性组合；0120.30110.250.050.250.050.7031x u u -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅-⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因此0120.250.05(0.82)k k k x A x u u ==-式中的第二项会随着k 的增大趋向于零;如果只取小数点后两位,则只要k>27,这第二项就可以忽略不计而得到01270.250.250.75k kk x A x u >⎡⎤===⎢⎥⎣⎦适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子,避免相角项出现,使得问题简单化;这也是方阵求特征值的基本思想;这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型;所得到的向量序列x1,x2,...,x k称为马尔可夫链;马尔可夫过程的特点是k时刻的系统状态x k完全可由其前一个时刻的状态x k-1所决定,与k-1时刻之前的系统状态无关;三、心得与体会没上线性代数的时候,心中还有点忐忑,怕自己学不好;但是当真的学时,用心听老师讲的每节课,还是感觉很轻松的;然后每章结束后的习题,自己认真完成,不会的再翻翻以前学过的知识点和笔记,自己就会豁然开朗,而且死死地记住题型,考试的时候不会紧张而且游刃有余;可以总结一下,线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和向量;这三种对象的理论是密切相关的,大部分问题在这三种理论中都有等价说法;因此,熟练地从一种理论的叙述转移到另一种中去,是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质;如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点,那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题,因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性;由此可见,只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系,遇到问题就能左右逢源,举一反三,化难为易;线性代数作为数学的一门,体现了数学的思想;数学上的方法是相通的;比如,考虑特殊情况这种思路;线性代数中行列式按行或列展开公式的证明就是从更简单的特殊情况开始证起；解线性方程组时先解对应的齐次方程组,这些都是先考虑特殊情况;高数上解二阶常系数线性微分方程时先解其对应的齐次方程,这用的也是这种思路;通过思想方法上的联系和内容上的关系,线性代数中的内容以及线性代数与高等数学甚至其它学科可以联系起来;只要建立了这种联系,线代就不会像原来那样琐碎了;在线性代数的学习中,注重知识点的衔接与转换,努力提高综合分析能力;线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,学习时应当常问自己做得对不对再问做得好不好只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了;现在我们可以在线完成过程考核,在电脑上登录,然后有不同的题型,说是考核其实也是一种练手和复习,加强知识的巩固;每一题解答过后都会有详解,可以看到自己到底错在哪,哪里学的不好;我觉得这是一种很好的学习工具,我们一定要好好利用,来学习线性代数;了解每种题型很关键,当然都离开不了矩阵、方程组和向量,掌握它们是关键;线性代数有很多在现实生活中的应用,我们要会运用线性代数来解决现实生活中的一些事或麻烦;我们的生活中到处都存在着数学,所以用心它的魅力吧;。
线性代数小论文
摘要：分析了若矩阵A 经过行初等变换化为矩阵B ，则A 与B 的列向量组具有完全相同的线性关系，以及此性质在线性代数的主要应用。
关键词：初等变换；线性相关；线性无关；线性表示线性代数主要研究的是线性问题。
一般而言，凡是线性问题常可以用向量空间的观点和方法加以讨论，因此向量空间成了线性代数的基本概念和中心内容。
向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。
其基本概念有向量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组，以及向量空间的基与维数等。
这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组。
1 线性相关性证明设A =(α1,α2,··· ,αn )，αi ∈P m，若矩阵A 经过行初等变换化为矩阵B ，则A 与B 的列向量组具有完全相同的线性关系。
证明：设A m ×n ，A 经过行初等变换化为B ，将A ，B 分别按列分块为A =(α1,α2,…,αn )，B=(β1, β2,···,βn )。
由于对A 只进行有限次行初等变换，故可知有满秩矩阵P ，使PA =B ，即P(α1,α2, ···,αn )=(β1, β2, ···,βn )，于是有i 1βj = P αj (j=1,2,3, ···,n) （1） 设A 和B 对应的列向量组为αi 1,αi 2, ···,αi r 和βi 1, βi 2,···,βi r (1≤i 1＜i 2＜···＜i r ≤n)，由(1)式得βik = P αik (k=1,2,3, ···,r)因此，如果αi 1,αi 2, ···,αi r 有线性关系式k 1αi 1+k 2αi 2+ ···+k r αi r =0(k r 为实数)，则k 1,k 2…k r 也必使得k 1βi 1+k 2 βi 2+···+k r βi r =k 1(P αi 1)+ k 2(P αi 2)+ ···+ k r (P αi r )=P (k 1αi 1+k 2αi 2+ ···+k r αi r )=P 0=0 反之，如果βi 1, βi 2,···,βi r 有线性关系式，得λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r =0则由P 的满秩性可知αj =P -1βj (j=1,2,3, ···,n)，于是有λ1αi 1+λ2αi 2+ ···+λr αi r =λ1P -1βi 1 +λ2P -1βi 2 + ···+λr P -1βi r= P -1(λ1βi 1+λ2βi 2+ ···+λr βi r )= P -10=0这表明向量组αi 1,αi 2, ···,αi r 与向量组βi 1, βi 2,···,βi r 有相同的线性相关性，证毕。
线性代数论文
关于矩阵和行列式线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是：行列式 矩阵 空间向量和线性方程组。
矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。
利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。
矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。
行列式与矩阵的本质区别在于它们的定义。
行列式是一种特殊的算式,它是根据求解方程组个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，经计算能算出其数值，而矩阵只是一个数表，无法通过计算求得其值；而且两者的表示方法也不同。
如下例：4321表示的是一个2阶行列式；而⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321则表示是一个2×2的矩阵。
而且4321可以通过计算求得其值为-2；而⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321只能表示一个数表，不能求出值。
行列式的行数和列数必须是相等的；而矩阵的行数和列数可以相等也可以不相等。
由n 2个数组成的n 行n 列行列式为n 阶行列式；由m 行n 列组成的数表为m ×n 矩阵。
只有行数和列数相等的矩阵即方阵才能计算其行列式。
如：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛620816732531 是一个3×4的矩阵；而620816732531这样的行列式是不存在的，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛620816732531无法求其行列式。
而且行列式和矩阵的性质和运算法则也不同。
如下：（1）记D=nnn n nn a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212222111211，D T =nnn nn n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212221212111，则称D T 为D 的转置行列式，并有D= D T ，行列式中行与列具有同等的地位，因此，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立；同样的矩阵A 的转置矩阵A T 是指把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，即记A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，则A T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n a a a a a a a a a 2n 12221212111，但有（A T ）T=A 。
线性代数的应用论文
线性代数的应用论文引言线性代数作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、计算机科学等。
本论文将重点介绍线性代数在计算机科学领域的应用，包括机器学习、图像处理和网络分析等方面。
机器学习中的线性代数应用线性回归在机器学习中，线性回归是一个重要的模型。
线性回归模型可以通过最小二乘法来估计参数。
其基本原理是通过线性变换将输入数据映射到输出数据，然后通过最小化残差平方和来确定最佳拟合直线。
实质上，线性回归模型就是在求解一个方程组，而这正是线性代数的重点内容。
通过矩阵运算和求解线性方程组，可以方便地求解线性回归模型的参数。
主成分分析主成分分析 (PCA) 是一种常用的降维技术，在特征提取和数据压缩中起着重要作用。
通过线性代数的方法，可以将高维的数据变换到低维空间中，同时保留最重要的信息。
主成分分析的核心是求解数据协方差矩阵的特征向量和特征值，只保留最大的特征值对应的特征向量作为主成分。
线性代数提供了有效的算法和工具，可以快速求解特征值和特征向量，从而实现主成分分析。
图像处理中的线性代数应用图像压缩在图像处理中，图像压缩是一个重要的应用领域。
通过压缩图像，可以减少存储空间和传输带宽的消耗。
其中，离散余弦变换 (DCT) 是一种常用的压缩方法。
DCT 将图像分解为一组不同频率的正弦波信号，然后根据信号能量的大小进行量化和编码。
通过变换和编码过程，DCT 可以将图像信息进行高效地表示和存储。
而 DCT 的计算过程正是基于线性代数的矩阵运算和线性变换。
图像恢复在图像处理中，图像恢复是一个挑战性任务。
例如，在图像降噪和去模糊中，需要从受损图像中恢复原始图像。
这可以通过求解一个逆问题来实现，而逆问题通常可以表示为线性代数的形式。
例如，降噪问题可以通过求解一个线性方程组来实现，去模糊问题可以通过求解一个矩阵方程来实现。
线性代数提供了强大的工具和算法，可以有效地解决图像恢复问题。
网络分析中的线性代数应用网络表示学习网络表示学习是网络分析领域的一个重要任务。
数学与应用数学线性代数大学期末论文
数学与应用数学线性代数大学期末论文摘要：线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
本文将从矩阵运算、线性方程组和特征值与特征向量等角度，对线性代数的基本概念和应用进行探讨，并结合具体实例，展示线性代数在科学、工程和计算机等领域的重要性。
1. 矩阵运算矩阵是线性代数重要的基本工具，它由数个数构成的一个矩形阵列。
矩阵运算包括矩阵的加法、减法、乘法和转置等。
加法和减法是对应位置的元素进行运算，而矩阵乘法是对矩阵的行和列进行组合运算。
矩阵乘法特点之一是不满足交换律，即AB≠BA。
这一性质使得矩阵乘法在解决线性方程组方面具有独特的优势。
通过矩阵乘法，可以将线性方程组转化为矩阵形式，从而利用矩阵运算的特性来求解。
2. 线性方程组线性方程组是线性代数的重要应用之一，广泛应用于经济学、物理学等领域。
线性方程组的解可以通过矩阵运算得到，其中最常用的方法是高斯消元法和矩阵的逆。
高斯消元法通过不断变换线性方程组的形式，将其转化为简化的行阶梯形式，从而求解方程组的解。
而矩阵的逆则是通过对矩阵的行列式和伴随矩阵进行计算，得到矩阵的逆矩阵。
对于可逆矩阵，利用逆矩阵可以直接求解线性方程组，简化了计算过程。
3. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，对矩阵的性质和变换具有深刻的影响。
特征值是矩阵的一个特征，用于描述矩阵在特定方向上的变换比例。
特征向量则是对应于特征值的向量。
通过求解特征值和特征向量，可以衡量矩阵的稳定性、变换性质以及与其他矩阵的关系。
在实际应用中，特征值与特征向量在图像处理、数据压缩等方面有着广泛的应用。
4. 应用案例线性代数作为一门工具性学科，有着广泛的应用。
本文将结合科学、工程和计算机等领域，展示线性代数在实际问题中的重要性。
以图像压缩为例，通过矩阵运算和特征值与特征向量的计算，可以将高维图像通过降维的方式减少数据量，并保持图像质量的基本特征。
该方法在数据存储和传输方面具有重要意义。
大学线性代数论文
线性代数论文 线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。
尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
主要理论成熟于十九世纪，主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石而第一块基石而第一块基石（二、（二、三元线性方程组的解法）三元线性方程组的解法）则早在两千年则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。
①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位； ②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分； ③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的； ④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
行列式的计算方法.定义法在引进行列式的定义之前,,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念.(1) ｎ级排列:由1,2.3…ｎ组成的一个有序数组称为一个ｎ级排列.(2) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即:前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.(3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.在做好这些工作之后,来引入行列式的定义:定义:n 阶行列式<I>等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积. a1j 1a2j 2a3j 3………anj n <Ⅱ>的代数和,这里j 1,j 2,j 3,……j n 为1,2,3,……,n 的一个排列,每一项<Ⅱ>都按下列规则带有符号,当j 1,j 2,j 3,……j n 是偶排列时, <Ⅱ>带有正号,当j1,j2,j3,……j n是奇排列时,<Ⅱ>带有负号. 即:例1:计算行列式:解:由行列式的定义知:=(-1)t(123)5×1×4+(-1)t(132)5×2×6+(-1)t(213)2×4×4+(-1)t(231)2×2×3+(-1)t(312)3×4×6+(-1)t(321)3×1×3=20-60-32+12+72-9=3例2计算解:由行列式的定义知:=(-1) t(j1j2…jn)1×2×3……×n=(-1)0n！=n！.由以上两个例子可以看出,若计算阶数较低(不超过三阶)的行列式及上三角(下三角)行列式运用定义法较为简单,但若是高阶非上(下)三角型的行列式按定义法计算比较繁琐因此,我们必须寻求其它的，让计算变得简洁的计算方法.按照行列式的性质将行列式化成上三角(下三角或反三角)法.运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖于行列式的性质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式. (行列式的性质见参考文献).行列式的性质告诉了我们该如何求行列式,而一切的行列式都可以根据以上性质来进行初等行变换(列变换),变成阶梯形(上三角)的行列式,再根据定义计算即可.其计算步骤可归纳如下:(ⅰ)看行列式的行和(列和),如果行列和相等,则均加到某一列(行)【直观上加到第一列 (行)】.(ⅱ)有公因子的提出公因子(ⅲ)进行初等行变换(列变换)化成上三角(下三角或反三角)的行列式.(ⅳ)由行列式的定义进行计算.由以上四步,计算一般行列式都简洁多了.。
线性代数论文
论线性代数的应用实例线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。
在日常学习、工作和生活中，有很多问题，运用线性代数的方法就可以使问题简化，以下举一些线性代数的应用实例。
一、药方配制问题问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。
（2）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？解:(1)把每一种特效药看成一个九维列向量，分析7个列向量构成向量组的线性相关性。
若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若向量组线性相关，并且能找到不含3u，6u的一个最大线性无关组，则可以配制3号和6号药品。
可使用matlab软件进行运算：在Matlab窗口输入1 2 3 4 5 6 7[10;12;5;7;0;25;9;6;8];[2;0;3;9;1;5;4;5;2];[14;12;11;25;2;35;17;16;12]; [12;25;0;5;25;5;25;10;0]; [20;35;5;15;5;35;2;10;0]; [38;60;14;47;33;55;39;35;6]; [100;55;0;35;6;50;25;10;20];u u u u u u u =======1234567 [,,,,,,]u u u u u u u u =[0u ,r]=rref(u )计算结果为0u =10100000120030000101000001100000001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭从矩阵中可以看出，有四个零行，r=1、2、4、5、7从最简行阶梯型0u 中可以看 出，R （u ）=5，向量组线性 相关，一个最大无关组为： 1u 2u 4u 5u 7u3u = 1u +22u 6u =32u +4u +5u故可以配制新药。
线性代数课堂教学论文
线性代数课堂教学论文线性代数课堂教学论文线性代数课堂教学论文【1】【摘要】本文从线性代数课程的特征出发，研究了在保持课程内容体系不变的前提下，通过把握主线、引入几何观点、结合代数发展史三个方面，来改进传统的线性代数课堂教学.结论表明，以上的改进不仅能减轻由于代数的抽象性带来的学习困难，达到更好的教学效果，同时能在课堂中提高学生的数学能力及数学素质，培养学生的创造性思维能力.【关键词】线性代数;课堂教学;教学主线;几何观点;代数史线性代数及微积分(常称为高等数学)、概率论与数理统计是当今大学生三门必修数学课.由于中学数学教材改革和新课标的实施，微积分和概率论与数理统计课程中的部分知识点已经在学生的高中阶段都有所接触，而且这两门课的大部分知识都有较为丰富的背景和应用范围.相比而言，线性代数中的行列式、矩阵概念对学生是全新的，没有在中学接触过的，就现行的大量教材来看，线性代数在内容安排上，显得逻辑性、抽象性有余，而背景性和应用性不足.加上线性代数一般都安排课时较少，所以使得学生对线性代数课程的学习更加吃力，达到的教学效果也不尽理想.本文探讨在不改变线性代数课程内容体系的前提下，如何改进课堂教学方法，以达到更好的教学效果.一、教学中必须把握两条主线如前所述，与其他两门数学课程相比较，线性代数的教材编得更为抽象，更加远离现实.学生通常会觉得概念、定义多，而且由于缺乏背景，一般会显得零散，各种概念之间的联系也较难把握.在课堂教学中，必须把握线性代数课程的两条主线，才能把这些大量的概念连起来，形成一个整体.1.第一条主线是线性方程组求解线性方程组是线性代数课程的一个主要任务，将中学的消元法经过一次抽象，就是线性代数中矩阵的初等变换概念.根据各种方程组的特点，形成了线性代数课程中一系列概念和方法.当未知数个数与方程的个数相等的时候，行列式可以派上用场，于是引出了行列式的初等变换、求值、克莱姆法则等相关概念.对一般的线性方程组，我们用秩来描述“真正起作用的方程的个数”，方程组的有解无解，有唯一解还是无穷多解，自由未知量的个数，都可以用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩来理解了.为了对无穷多解有更深入的认识，把方程组的解看成向量，对齐次线性方程组，就需要引入向量空间的概念，这样就不难理解线性相关与线性无关、最大线性无关组这一连串的概念了.可见，抓住了线性方程组这条主线，就可以把行列式、矩阵、向量组这些概念合理地联系起来了.2.第二条主线是二次型的标准化解析几何中很重要的一个主题就是要把一些二次曲线方程化为只含有平方项的二次型，以便研究曲线的类型，这就是我们所谓的二次型化为标准二次型.利用矩阵这一工具来完成这个过程，需要从矩阵的特征值和特征向量出发，来讨论实对称矩阵的对角化问题.线性代数课程一般给出了三种化二次型为标准二次型的方法，着重讨论的是用正交变换的方法.在课堂上，抓住这样两条主线，不但可以避免概念的零碎，而且对学生掌握线性代数整个课程体系也是非常有帮助的.二、在课堂上引入几何的观点来介绍代数知识大部分线性代数教材都从知识结构的逻辑性来安排内容，使得代数知识以抽象的面孔出现在学生面前.事实上，在中学阶段，学生学习初等代数时，是非常注重代数与几何之间的结合的.数形结合不仅有利于降低学生的理解难度，也是掌握代数思想的一个必然要求.如何用几何的观点来学习代数，是一个在线性代数的课堂教学中值得思考的问题.(5)的解即为方程组(2)的满足整体误差最小的近似解，这就是最小二乘法求最优近似解的结果.从上面的例子可以看出，直观的几何意义使得很多推算得到了简化，更能让学生加深对概念和方法的理解.三、从代数发展历史的角度来讲线性代数课程前面提到，大部分教材的编排由于注重严格系统化的形式推理，都不可避免地使线性代数抽象性特征明显，我们在课堂教学中，不妨灵活处理知识的来龙去脉，站在从知识发展的历史的角度来认识这门课程，这也是引起国外越来越多大学重视的一种教学方式.SpringerVerlag出版社出版的大量大学数学教材，就是基于这一观点来编写的.2008年，普林斯顿大学出版社出版了《普林斯顿数学指南》(the Princeton Companion to Mathematics)，这是一本数学综合类的普及读物，全书共有一千多页，尽量用浅显的语言，把现代数学知识的来龙去脉解释清楚.在线性代数的课堂教学中，如果能借鉴这种从知识产生历史角度来讲授知识，不仅能让学生理解知识之间的内在联系，更为可贵的是，能把很多数学大家当时对这些数学问题的思考过程呈现在学生面前，对学生创造性思维的形成过程大有益处.四、结语线性代数课程由于其自身的特征给教学带来一定的难点，如何在不改变课程知识体系的前提下，达到较好的教学效果，让学生能在抽象的代数学习中，接受知识，形成创造性思维方式，提高数学能力和素养，是每个大学数学教师面临的一个重要课题.本文从教学实践中，结合国内外相关的数学教育理论，提出了几条相应的措施.要提高教学质量，需要长时间在实践不断去完善教学手段和教学方法，唯有高质量的课堂教学，才能保证线性代数课程较好的教学效果.【参考文献】[1]同济大学数学系编.线性代数[M](第六版).北京：高等教育出版社.[2]杨小远，李尚志.大学一年级学生创新能力培养探索与实践[J].大学数学，2012(4)：13-21.[3]李大潜漫谈大学数学教学的目标与方法[J].中国大学教学，2009(1)：7-10.[4]刘春林，李宝娣.线性代数教学方法探索[J].衡阳师范学院学报，2012(3)：153-155.[5]李尚志线性代数新教材之精彩案例(之二)[J].大学数学，2012(4)：5-12.线性代数课堂教学方法【2】[摘要]在大类招生背景下，线性代数是浙江大学大类课。
线性代数期末总结小论文
线性代数期末总结小论文在本学期的学习中，我系统地学习了线性代数的基本概念、基础理论和常见应用。
通过课堂的学习和教材的阅读，我对线性代数有了更深入的了解，掌握了一些基本的技巧和方法。
下面我将对我本学期所学的内容进行总结和回顾。
一、向量和矩阵向量是线性代数的基础概念之一，它是有方向和大小的量。
向量的加法、减法和数量乘法在几何上对应于向量的平移和伸缩。
我学习了向量的表示方法、向量的运算法则和向量方程的解法。
矩阵是一个二维数组，它是向量的推广。
矩阵的运算包括加法、减法、数量乘法和矩阵乘法等。
矩阵乘法的定义非常重要，它将两个矩阵的行与列进行乘积累加得到新的矩阵。
我还学习了矩阵的转置、逆矩阵、行列式等概念和计算方法。
二、线性变换和特征值特征向量线性变换是线性代数的核心概念之一，它是一个函数，将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
学习了线性变换的概念后，我学习了线性变换的表示方法和矩阵表示，矩阵表示能够简化线性变换的计算。
特征值和特征向量是线性变换非常重要的概念，它们描述了线性变换对应的一些特殊性质。
特征值是一个标量，特征向量是线性变换不变的非零向量。
我还学习了如何计算特征值和特征向量，以及它们在实际问题中的应用。
三、最小二乘法和奇异值分解通过学习最小二乘法，我了解到对于一组方程组，如果求解方程组的解是不可能的，或者解是存在但不唯一的，那么我们可以使用最小二乘法来求解一个最接近方程组的解。
最小二乘法在数据拟合、数据建模等领域有着广泛的应用。
奇异值分解是矩阵分解的一种方法，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，将原始矩阵转化为一个对角矩阵的形式，方便求解和分析。
奇异值分解在图像处理、数据压缩等领域有着重要的应用。
四、特征向量和特征值的应用特征向量和特征值在许多实际问题中都有广泛的应用。
在图像处理方面，特征向量和特征值可以用于图像的压缩和降噪；在自然语言处理中，特征向量和特征值可以用于文本的分类和聚类；在电路网络中，特征向量和特征值可以用于电路的分析和设计。
线性代数发展简史论文
摘要：现实生活，生产中的许多问题都是关联着多个因素的量所引起，人们迫切需要找到一种解决问题的方法和理论，这就刺激了线性代数的产生和发展，而线性代数在解决此类问题上的出色表现也促使了它的快速发展。
同时，近现代数学分析与几何学等数学分支上的需要，也促使了其发展。
关键词：线性代数，发展。
正文：1 引言在线性代数的家族中有很多成员，它们中的佼佼者分别是矩阵和行列式，线性方程组，二次型，群论。
它们的发展构成了线性代数的发展。
22.1 矩阵和行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。
行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。
1693 年 4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。
同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。
1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。
稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。
总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。
范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。
特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。
就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。
线性代数教学小论文
论线性代数应用特征摘要本文从萌芽、发展的角度观察、分析线性代数，剖析线性代数的应用特性。
由于不拘泥于教材，从历史发展、思想方法、应用性等方面娓娓道来，自有一种人文情怀蕴含其中，带领读者领略线性代数的另一番学科文化面貌。
关键词：应用性,线性方程组,坐标几何,结构问题,线性代数论文,线性代数教学,线性代数,小论文,论证数学,实用数学,线性变换,几何,线性运算,微积分,非线性贯穿数学发展的思想有两个，即希腊贵族学院式的论证数学与平民化的实用数学。
线性代数可以说是从应用中来到应用中去的一门学科，尽管其发展与原上草论文网代写教学论文表达形式，脱离不了欧几里得经典几何的模式与影响。
1.从应用中来公元四世纪我国《孙子算经》中有鸡兔同笼问题如下：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”该问题的求解方法有很多，不过，采用列方程组的方法求解是很方便的。
设鸡和兔的个数分别为x和y ，则可建立如下一次方程组：x+y=352x+4y=94容易求得 x=23,y=12无独有偶，《张丘建算经》中的百鸡问题：百钱买鸡百只，小鸡一钱三只，母鸡三钱一只，公鸡五钱一只。
问小鸡、母鸡、公鸡各多少只？通过建立三元一次线性方程组，可类似求得解。
以上两例表明，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
同时，我国古代天文历法资料表明，一次同余问题的研究，明显地受到天文、历法需要的推动。
可以说，历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题。
2.坐标几何促发展线性代数(linear algebra)作为代数学的一个分支，以向量空间与线性映射为研究对象的近代发展，则与法国数学家费马(Fermat,1601—1665)和笛卡儿(Descartes,1596—1665)创立的坐标几何[1]工作直接相关。
因此，线性代数基本上出现于17世纪。
从古希腊时代到1600年，几何统治着数学，代数居于附庸的地位。
1600年以后，代数成为基本的数学部门。
线性代数小论文
线性代数小论文在学习了线性代数两个多月后，也算是对它有了一些了解。
在此，我就从老师教学和我自身的学习方面谈谈我的体会，对教学改革提一些自己的意见。
首先，我想说明的是，大学里的学习是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老师只是起到一个引导作用。
所以教材是我们最重要的学习资源，如果没有书本，就是天才也不可能学好。
我使用的线性代数教材是科学出版社出版李小刚主编的《线性代数及其应用》。
我比较了一下这本书和其他线代教材的区别，它有个很大的特点就是，别的教材第一章讲的是行列式，而它却直接通过介绍高斯消元法引入了矩阵的概念，在学习了矩阵后才介绍行列式的计算。
这是这本教材的优越之处，它包含了一个循序渐进的过程。
但是，它也有许多的不足之处，就个人在看这本教材时，觉得它举得实例太少了，并且例子不太全面，本来线性代数是一门比较抽象的学科，加上计算量大，学时少，所以要学好它，就只有靠自己在课余时间多加练习，慢慢领悟那些概念性的东西。
然后对于教材内容的侧重点，我觉得应该放在线性方程组这一块，因为它是其他问题的引出点，不管是矩阵，行列式，还是矩阵的秩和向量空间，都是为线性方程组服务的。
我们对向量组的线性相关性的讨论，还有对矩阵的秩，向量组的秩的计算，都是为了了解线性方程组的解的情况。
在线性方程组的求解过程中，我们运用了矩阵的行变换来求基础解系，当然这就相当于求极大无关组。
还有对线性相关和线性无关的讨论，这也关系到线性方程组的解。
所以在改革中，应该拿线性方程组为应用的实例，来一步一步的解剖概念和定理。
当然一些好的、典型的解题方法，也应该用具体的例子来讲解，这是一本教材必须具备的。
其次，老师在教学中，也应该以一些具体的实例入手来教学，就像开尔文说的，数学只不过是常识的升华而已，所以如果脱离了实际应用，只是讲抽象的概念和式子，是很难明白的，并且有实例的对照，可以加深记忆理论知识。
然后要注重易混淆概念的区别，必要时应该拿出来单独讲讲，比如矩阵和行列式的区别，矩阵只是为了计算线性方程而列的一个数据单而已，并无实际意义。
线性代数论文(矩阵在自己专业中的应用及举例)
矩阵在自己专业中的应用及举例摘要：I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。
II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等内容。
III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。
关键词：矩阵可逆矩阵图形学图形变换正文：第一部分引言在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的内容，而这些内容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。
因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。
在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。
在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。
在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些内容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。
在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，与行列式、方程、向量、二次型等内容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。
尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。
图形变换是计算机图形学领域内的主要内容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。
这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。
第二部分 研究问题及成果1. 矩阵的概念定义：由n m ⨯个数排列成的m 行n 列的矩阵数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a 212222111211 称为一个n m ⨯矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。
线性代数 论文
线性代数考试题一、 简述行列式和矩阵的区别1、本质不同：数域P 中，n 阶行列式D=111212122212n n n n nna a a a a a a a a 是 n 2 个数 aij ( i = 1, 2…n ;j = 1, 2…n ) 按一定顺序排列的n 行n 列元素（数），按照某一个特定的规则确定的 n ！项的代数和，归根结底是一个数。
数域 P 中， Am×n 矩阵是 m × n 个数 aij ( i = 1, 2, ..n ; j = 1, 2, …, n) 按一定的方式排列的m 行n 列数表，归根结底是一个数表。
2、相等方面不同：行列式是有它的定义最后所确定的数来判断它是否相等，因此两个表面上看完全不同的行列式有可能是相等。
3、行列式计算的结果是一个数,而矩阵的结果仅仅是一个数表4、行列式的转置与原行列式相等。
即D=DT 。
这里转置行列式是指，把行列式D 的行与列互换，不改变它们前后的顺序得到的新行列式称为 D 的转置行列式。
矩阵中，只有对称矩阵才等于它的转置。
一般地矩阵就等于它的转置的转置A′是它的转置，则 A = ( A′)′，如果A 是一般地矩阵，则A=(A′)′。
二、 总结线性方程组的解法,并针对每种解法举一个实例用克莱姆法则解线性方程123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解： 法一： 计算系数行列式21422131r -2233-34215127517-5-17-5-1130610001(-1)2-1-2--1290021202127-7-25-6014761772-129-(-1)(-1)=2705-6r c c c c r r D -+-----−−−−−→−−−→=⨯←−−−−−←−−−------−−−−−→≠←−−−−−按第行展开按第列展开及181********52120476D ---==---,22851190610805121076D --==----,32181139********46D --==-- 4215813092702151470D --==--- 由克莱姆法则得方程组的唯一解为312412343,4,1,1D D D Dx x x x D D D D====-==-== 补充：定理若齐次方程组的系数行列式0ijnD a ≠,则此齐次线性方程组只有零解.推论 如果齐次线性方程组有非零解, 则系数行列式0ij nD a =法二：高斯消元法例（1）解线性方程组1234124123412342352432328529521x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-=-⎪⎨+--=-⎪⎪+--=-⎩解 对方程组的增广矩阵进行初等变换21323142411231512315123152240130063130063132123280063130000012952100662600000r r r r A r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪---------⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪-------- ⎪⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭还原成方程组的形式,1234342356313x x x x x x +++=⎧⎨--=-⎩我们把最后一个方程组中每一个方程的第一个系数不为零的未知量保留在方程的左端,其余未知量移到右端,得124341322211326x x x x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩例（2）解方程组123123121323234248529x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解 对方程组的增广矩阵做初等变换2132313442411123112311231123223420584058405844410805840000000255029058400020000r r r r A r r r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭还原成方程组的形式,得123232358402x x x x x -+=⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩这里略去了最后一个方程0=0.显然,这里矛盾方程组,因此原方程组无解。
线性代数结业论文优秀版(1)
线性代数结业论文优秀版(1)
线性代数结业论文优秀版
一、引言
线性代数作为数学基础课程中的重要组成部分，是理工科各类学科中
的必修课程之一。
本文旨在总结线性代数的基本概念和相关知识，结
合其在实际应用中的意义分析，以此体现线性代数的重要作用。
二、基本概念
线性代数的基本概念包括线性方程组、向量、矩阵、行列式等。
其中，线性方程组为线性代数的核心内容，其求解过程是通向后续知识的重
要桥梁。
向量在线性代数中具有举足轻重的地位，作为线性代数的基
本工具之一，可以使用向量进行模型建立、计算和求解。
矩阵则是上
述两者的应用，其具有高效性和便捷性，广泛应用于实际问题中。
行
列式则为线性代数的基础知识，是矩阵求逆和计算特征值等过程不可
或缺的工具。
三、实际应用
线性代数在实际应用中的意义十分重要。
例如，在图像处理领域中，
可以利用线性代数中矩阵的运算和变换理论实现图像的快速变换和处理；在机器学习和数据分析中，线性代数也有着广泛的应用，如求解
最小二乘问题和主成分分析等。
在物理学和工程学中，线性代数作为
嵌入高级数学和计算机科学的基础知识，被应用于矩阵力学和控制论
等领域。
四、总结
线性代数作为基础数学课程，它的应用涉及到各个领域，具有很高的
实际意义。
但同时，线性代数也是数学难度较高的课程之一，对于大
多数学生来说，需要付出极高的努力才能掌握其核心知识，在现代的数学研究中也仍是重要的一部分。
在今后的学习和工作过程中，我们也应该认真学习和应用线性代数的知识，提高自己的数学素质和综合能力。
线性代数课程论文
矩阵的秩及其应用【摘要】矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念。
矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况等都有着密切的联系。
本文将针对其性质进行具体分析 【关键词】矩阵； 秩 ；应用；一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。
所谓矩阵的行秩就矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。
矩阵的行秩等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩。
另外，矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数，这是矩阵的秩的行列式定义。
事实上，以上两种对矩阵的秩的定义是等价的。
（一）矩阵秩的概念定义1 若A 为n m ⨯矩阵，在A 中任意取k 行、k 列),(n k m k ≤≤，则位于这些行与列交叉处的k 2个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式.显然，若A 为n m ⨯矩阵，则A 的k 阶子式共有C C kn km ⋅个.当O A =时，它的任何子式都为零.当O A ≠时，它至少有一个元素不为零，即它至少有一个一阶子式不为零.再考察二阶子式，若A 中有一个二阶子式不为零，则往下考察三阶子式，如此进行下去，最后必达到A 中有r 阶子式不为零，而再没有比r 更高阶的不为零的子式.这个不为零的子式的最高阶数r 反映了矩阵A 内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义.定义2 设A 为n m ⨯矩阵，如果存在A 的r 阶子式不为零，而任何1-r 阶子式(如果存在的话)皆为零，则称数r 为矩阵A 的秩，记为)(A R .并规定零矩阵的秩等于0.由定义2，根据行列式的性质易知，矩阵A 的秩)(A R 就是矩阵A 的最高阶非零子式的阶数.（二）矩阵秩的性质性质1 若A 为n m ⨯矩阵，则},min{)(0n m A R ≤≤.性质2 若矩阵A 中有某个s 阶非零子式，则s A R ≥)(；若矩阵A 中所有t 阶子式全为零，则t A R <)(.性质3 若矩阵A 的秩r A R =)(，则)()(A R A R T =. 定义3 设A 为n 阶方阵，若n A R =)(，则称矩阵A 为满秩矩阵；若n A R <)(，则称矩阵A 为降秩矩阵.由此可得定理1 n 阶矩阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A 为满秩矩阵；n 阶矩阵A 为不可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A 为降秩矩阵.性质5 若矩阵B A ~，则)()(B R A R =. 性质6 若矩阵Q P ,可逆，则)()(A R PAQ R =. 性质7 若矩阵A 与B 的秩分别为)(),(B R A R ,则)()(),()}(),(max{B R A R B A R B R A R +≤≤，特别地，当B 为列向量时，则有 1)(),()(+≤≤A R B A R A R .性质8 若矩阵A 与B 的秩分别为)(),(B R A R ，则.)}(),(min{)(B R A R AB R ≤ 性质9 若矩阵OB A l n n m =⨯⨯，则n B R A R ≤+)()(.根据矩阵的性质，可以给出下列例题：例1 设A 为n 阶矩阵，且E A =2,证明.n E A R E A R =-++)()(证 因为E A E E A 2)()(=-++，由性质7得n E R A E R E A R =≥-++)2()()(而)()(E A R A E R -=-，所以n E A R E A R ≥-++)()(.又O E A E A E A =-=-+2))((,由性质9得n E A R E A R ≤-++)()(.综合即得n E A R E A R =-++)()(.（三）矩阵秩的求法定理 矩阵经初等变换后，其秩不变.也就是说，若B A ~，则)()(B R A R = 根据这个定理，我们得到利用初等变换求矩阵的秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换也不改变矩阵的秩。
线性代数在中学数学中的应用 毕业论文
线性代数在中学数学中的应用毕业论文摘要：本文主要探讨了线性代数在中学数学中的应用。
我们首先介绍了线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式等，然后讨论了这些概念在中学数学中的应用。
我们从三个方面进行了探讨：几何应用、代数应用和概率统计应用。
在几何应用方面，我们讨论了向量的坐标表示、向量的加减法和求模长、向量的点乘和叉乘等。
在代数应用方面，我们以解线性方程组为例，探讨了矩阵的应用。
在概率统计应用方面，我们以数据处理为例，介绍了矩阵在数据处理中的应用。
关键词：线性代数；中学数学；向量；矩阵；行列式Abstract:This paper discusses the application of linear algebra in high school mathematics. We first introduce the basic concepts of linear algebra, such as vectors, matrices, determinants, etc., and then discuss their applications in high schoolmathematics. We explore three aspects: geometric applications, algebraic applications, and probability and statistics applications. In terms of geometric applications, we discuss the coordinate representation of vectors, vector addition and subtraction, modulus length of vectors, and dot and cross products of vectors. In terms of algebraic applications, we use solving linear equations as an example to discuss the application of matrices. In terms of probability and statistics applications, we use data processing as an example to introduce the application of matrices in data processing.Keywords: linear algebra; high school mathematics; vectors; matrices; determinants1、引言线性代数是高等数学的一门基础课程，但它的应用不仅限于高等教育。
线性代数的应用论文
线性代数的应用论文引言线性代数是一门基础且重要的数学学科，它研究的是向量空间和线性变换。
线性代数在许多领域都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
本文将重点介绍线性代数在计算机科学中的应用。
矩阵在图形学中的应用图形学是计算机科学中的一个重要分支，它研究的是如何生成、操作和显示图形。
矩阵在图形学中起着关键作用，例如，矩阵可以用来表示变换矩阵，帮助我们实现图像的平移、旋转和缩放等操作。
此外，矩阵还可以用来表示图像的像素值，从而实现图像的处理和渲染。
线性方程组的求解线性方程组是线性代数的一个重要内容，它可以描述许多实际问题，如电路分析、机器学习等。
线性代数提供了求解线性方程组的方法，如高斯消元法、LU分解等。
这些方法可以有效地解决大规模线性方程组的求解问题，从而在实际应用中发挥着重要作用。
特征值与特征向量的应用特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，它们可以帮助我们理解矩阵的性质和变换过程。
在图像处理中，特征值与特征向量可以用来实现图像的降噪和特征提取。
此外，在机器学习中，特征值与特征向量可以用来进行数据降维和特征选择，从而提高模型的性能和效果。
线性代数在机器学习中的应用机器学习是人工智能的一个重要领域，它研究的是如何使用数据和算法来构建模型并进行预测和决策。
线性代数在机器学习中起着关键作用，例如，线性回归模型和逻辑回归模型都是基于线性代数的理论和方法构建的。
此外，矩阵分解和特征值分解等线性代数的技术也被广泛应用于机器学习的算法中。
结论线性代数作为一门基础学科，其在计算机科学领域的应用非常重要。
本文简要介绍了线性代数在图形学、线性方程组求解、特征值与特征向量以及机器学习中的应用。
随着计算机科学的发展，线性代数的应用领域也将不断扩大，带来更多的创新和发展机会。
希望本文对读者了解线性代数在计算机科学中的应用有所帮助，并激发更多的兴趣和思考。
感谢阅读！参考文献•Strang, G. (2009). Introduction to Linear Algebra.Wellesley-Cambridge Press.•Lay, D.C., Lay, S.R., & McDonald, J.J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.。
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关于矩阵与行列式线性代数就是数学的一个分支,它的研究对象就是:行列式 矩阵 空间向量与线性方程组。
矩阵与行列式就是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅就是一些数的有顺序的摆法。
利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决。
矩阵的应用就是多方面的,不仅在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。
行列式与矩阵的本质区别在于它们的定义。
行列式就是一种特殊的算式,它就是根据求解方程组个数与未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的,经计算能算出其数值,而矩阵只就是一个数表,无法通过计算求得其值;而且两者的表示方法也不同。
如下例:4321表示的就是一个2阶行列式;而⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321则表示就是一个2×2的矩阵。
而且4321可以通过计算求得其值为-2;而⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321只能表示一个数表,不能求出值。
行列式的行数与列数必须就是相等的;而矩阵的行数与列数可以相等也可以不相等。
由n 2个数组成的n 行n 列行列式为n 阶行列式;由m 行n 列组成的数表为m ×n 矩阵。
只有行数与列数相等的矩阵即方阵才能计算其行列式。
如:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛620816732531 就是一个3×4的矩阵;而620816732531这样的行列式就是不存在的,因此⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛620816732531无法求其行列式。
而且行列式与矩阵的性质与运算法则也不同。
如下:(1)记D=nnn n n n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212222111211,D T =nnn nn n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212221212111,则称D T为D 的转置行列式,并有D= D T ,行列式中行与列具有同等的地位,因此,行列式的性质凡就是对行成立的对列也同样成立;同样的矩阵A 的转置矩阵A T 就是指把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,即记A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n n a a a a a aa a a 212222111211,则A T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n a a a a a a a a a 2n 12221212111,但有(A T )T =A 。
且对方阵来说,T A =A 。
(2)互换行列式的两行(列),行列式变号,例如:987654321=-987321654,因此可以推出——如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零,如:2953674298616742=0。
(3)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式,即行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号外面。
如:726543225232⨯⨯⨯=7265432532⨯;而A A n λλ=(A 为方阵)。
(4)行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零。
如:10452=0;把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变;如果行列式的某一行(列)的各元素都就是两数之与,则此行列式为两个行列式的与。
而矩阵没有这些性质。
(5)在矩阵中,对调两行(列);以数k ≠0乘以某一行(列)的所有元素;把某一行(列)所有元素的k 倍加到另一行(列)对应的元素上去,称为矩阵的初等变换。
如果矩阵A 经过有限次的初等变换成矩阵B,就称矩阵A 与B 等价,记作A~B 。
则有以下性质:①反身性:A A ⇔ ;②对称性:若B A ⇔,则A B ⇔;③传递性:若B A ⇔,C B ⇔,则C A ⇔。
(6)在矩阵中有下列运算法则:A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),-A为A 的负矩阵,A+(-A)=0,A-B=A+(-B)(A 、B 为同型矩阵);)()(A A μλλμ=,A A A μλμλ+=+)(,B A B A μλλ+=+)(;当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵可以相乘,如:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯12643165432134A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯31124231532143B ,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯4123191029131512582835212210119B A ,就是一个4×4的矩阵,而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯191825333139323142A B ,就是一个3×3的矩阵,由此可见,A ×B ≠B×A;kk k B A AB ≠)((但也有例外),(AB)C=A(BC),A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA,)()()(B A B A AB λλλ==,AE=EA=A;m k m k A A A +=,mk k m A A =)((A 就是n 阶矩阵);(A+B)T =A T +B T ,(λA)T =λA T ,(AB)T =B T A T 。
(7)D=333231232221131211a a a a a a a a a ,去掉22a 所在的行与列得到M 22=33311311a a a a 即为元素22a 的余子式,A 22=(-1)2+2 M 22,叫做22a 的代数余子式,行列式的每个元素分别对应着一个余子式与代数余子式,再如去掉12a 所在的行与列得到M 12=33312321a a a a ,A 12=(-1)1+2 M 12。
而在矩阵中,定义行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=nn n n n n A A A A A AA A A A 212222111211*称为矩阵A 的伴随矩阵,且有AA *= A *A=A E 。
因为对于一个n 阶矩阵A,如果有一个n 阶矩阵B 使得AB=BA=E,则说矩阵A 就是可逆的,并把矩阵B 称为A 的逆矩阵,记作A -1,则有AA A *1=-(A ≠0)。
在m ×n 矩阵A 中任取k行k 列(k ≤m,k ≤n),位于这些行列式交叉处的k 2个元素,不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式,称为矩阵A 的k阶子式。
如:矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛681732972,取其前2行与前2列得到A 的2阶子式⎪⎪⎭⎫⎝⎛3272。
(8)关于矩阵的初等变换:首先要懂得矩阵的三种初等变换的算法,明白一个矩阵经过一次初等变换并非完全不变,变换前后的矩阵间只就是一种特殊的所谓等价关系(如(,)~E i j A A ,而不就是(,),E i j A A =等等)。
还要能将行列式性质中提公因子、交换两行(列)与用常数乘某行(列)加到另一行(列)上去后的结果弄清楚,并可与相应方阵的初等变换进行对比。
重要的就是知道初等变换不改变矩阵的秩。
(9)关于逆矩阵:逆阵就是由线性变换引入的,它可只由AB E =来定义(A 与B 互为逆阵),这就是应用的基础。
要记住方阵可逆的充要条件为0A ≠以及关系式*AA A E =,二者有着重要与广泛的应用。
要弄清A 的伴随方阵就是矩阵()ij A a =的各元素代数余子式为元素的矩阵的转置,否则会出错。
下面就是如何用初等变换求逆矩阵:设001110,101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设求1.A -解()0 0 1|1 0 0 1 0 1|0 0 1 1 0 1|0 0 1, 1 1 0|0 1 0 1 1 0|0 1 00 1 -1|0 1 -11 0 1|0 0 10 0 1|1 0 00 0 1|1 0 0A I ⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ =→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪→⎪⎪⎭1 0 1|0 0 1 1 0 0|-1 0 10 1 0|0 1 -10 1 0|1 1 -1.0 0 0|1 0 00 0 0|1 0 0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于就是,1-1 0 1 1 1 -1. 1 0 0A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(10)关于矩阵的秩:矩阵的秩就是由解线性方程组引入的一个新概念,对它要逐步加深理解。
为此,首先应弄清什么就是矩阵的行阶梯形:其一个“台阶”(非零行)只有一行,即任一行的首非零元素下面(同列)的元素全为零,不能把两行的首非零元素位于同一列视为一个“台阶”,而全为零的一行也就是一个台阶,且要位于非零行下方。
这里,介绍如何用初等变换求矩阵的秩:关于矩阵与行列式,在线性代数的学习中我了解了很多知识。
在此有一些总结。