线性代数论文

关于矩阵与行列式

线性代数就是数学的一个分支,它的研究对象就是:行列式 矩阵 空间向量与线性方程组。

矩阵与行列式就是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅就是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用就是多方面的,不仅在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

行列式与矩阵的本质区别在于它们的定义。行列式就是一种特殊的算式,它就是根据求解方程组个数与未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的,经计算能算出其数值,而矩阵只就是一个数表,无法通过计算求得其值;而且两者的表示方法也不同。如下例:

432

1表示的就是一个2阶行列式;而⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛4321则表示就是一个2×2的矩阵。而且432

1可以通过计算求得其值为-2;而⎪⎪⎭⎫

⎝⎛4321只能表示一个数表,不能求出值。

行列式的行数与列数必须就是相等的;而矩阵的行数与列数可以相等也可以不相等。由n 2个数组成的n 行n 列行列式为n 阶行列式;由m 行n 列组成的数表为m ×n 矩阵。只有行数与列数相

等的矩阵即方阵才能计算其行列式。如:⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛620816732

531 就是一个3×4的矩阵;而6208167325

31这样的行列式就是不存在的,因此⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛620816

732

531无法求其行列式。

而且行列式与矩阵的性质与运算法则也不同。如下:

(1)记D=

nn

n n n n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21

2222111211

,D T =

nn

n n

n n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212

2212

1

2111,则称D T

为D 的转置行列式,并有D= D T ,行列式中行与列具有同等的地位,因此,行列式的性质凡就是对行成立的对列也同样成立;同样的矩阵A 的转置矩阵A T 就是指把矩阵A 的行换成同序数的列得到的

新矩阵,即记A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n n a a a a a a

a a a 2

1

22221

11211

,则A T =⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n a a a a a a a a a 2n 122212

12111

,

但有(A T )T =A 。且对方阵来说,T A =A 。

(2)互换行列式的两行(列),行列式变号,例

如:9876543

21=-9

873216

54,因此可以推出——如果行列式有两行(列)

完全相同,则此行列式为零,如:

2

953674298616

742=0。

(3)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式,即行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以

提到行列式符号外面。如:72

6

5432

25232⨯⨯⨯=7

265432

532⨯;而

A A n λλ=(A 为方阵)。

(4)行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零。如:

10

45

2=0;把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变;如果行列式的某一行(列)的各元素都就是两数之与,则此行列式为两个行列式的与。而矩阵没有这些性质。

(5)在矩阵中,对调两行(列);以数k ≠0乘以某一行(列)的所有元素;把某一行(列)所有元素的k 倍加到另一行(列)对应的元素上去,称为矩阵的初等变换。如果矩阵A 经过有限次的初等变换成矩阵B,就称矩阵A 与B 等价,记作A~B 。则有以下性质:①反身性:A A ⇔ ;②对称性:若B A ⇔,则A B ⇔;③传递性:若

B A ⇔,

C B ⇔,则C A ⇔。

(6)在

矩

阵

中

有

下列运算法则

:A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),-A

为A 的

负

矩

阵,A+(-A)=0,A-B=A+(-B)(A 、B 为同型矩

阵);)()(A A μλλμ=,A A A μλμλ+=+)(,B A B A μλλ+=+)(;当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵可以相乘,

如:

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=⨯1264316543213

4A ,

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⨯3112423153214

3B ,则

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⨯412319102913151258283521

2210119

B A ,就是一个4×4的矩阵,而

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⨯191825333139323142A B ,就是一个3×3的矩阵,由此可见,A ×B ≠B

×A;

k

k k B A AB ≠)((但也有例

外

),(AB)C=A(BC),A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA,

)()()(B A B A AB λλλ==,AE=EA=A;m k m k A A A +=,mk k m A A =)((A 就是n 阶矩阵);(A+B)T =A T +B T ,(λA)T =λA T ,(AB)T =B T A T 。

(7)D=33

32

31

232221

13

1211

a a a a a a a a a ,去掉22a 所在的行与列得到

M 22=

33

3113

11a a a a 即为元素22a 的余子式,A 22=(-1)2+2 M 22,叫做22a 的代数余子式,行列式的每个元素分别对应着一个余子式与代数余子

式,再如去掉12a 所在的行与列得到M 12=

33

3123

21

a a a a ,A 12=(-1)1+2 M 12。