代数系统习题

第三部分：代数系统

1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。( )

2.每一个有限整环一定是域，反之也对。( )

3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。( )

4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。( )

5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。( )

6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。( )

7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。( )

8.循环群一定是阿贝尔群。( )

9.每一个链都是分配格。( )

1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈

( )

A. min(,)a b a b *=

B. 2a b a b *=+

C. 3a b a b *=+-

D. a b a b *=+ (mod3)

2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( )

A. 不能构成群

B. 不一定能构成群

C. 不能构成交换群

D. 能构成交换群

3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( )

A. 5

B. 6

C. 3

D. 9

4. 设是环，则下列正确的是 ( )

A. 是交换群

B. 是加法群

C. 对*是可分配的

D. *对 是可分配的

5. 下面集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )

A. N

B. {2|}x x I ∈

C. {21|}x x I +∈

D. {x |x 是质数}

6. 具有如下定义的代数系统,G 〈*〉，哪个不构成群 ( )

A. G={1,10}，*是模11乘

B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘

C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法

D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法

7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G 〈*〉的么元为 (

) A.不存在 B. e ＝0023⨯ C. e ＝2×3 D. e ＝1123--⨯

8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )

A. 不能构成群

B. 不一定能构成群

C. 必能构成群

D. 能构成交换群

9. 在自然数集N 上，下面哪个运算是可结合的，对任意a,b N ∈ ( )

A. a b a b *=-

B. max(,)a b a b *=

C. 5a b a b *=+

D. ||a b a b *=-

10. Q 为有理数集，Q 上定义运算*为a b a b ab *=+-，则,Q 〈*〉的幺元为

( )

A. a

B. b

C. 1

D. 0

11. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ （ ）

A.数的加

B.数的减

C. 数的乘 (D) 数的除

12. ,G 〈*〉是群，则对* ( )

A. 满足结合律、交换律

B. 有单位元，可结合

C. 有单位元，可交换

D. 每元有逆元，有零元

13. 实数集R 的下列运算，哪个满足结合律？ ( ) A. n m n m -= B. ()n m n m +=2

1 C. n m n m 2+= D. 22n m n m +=

14. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ ( )

(A) 数的加 (B) 数的减

(C) 数的乘 (D) 数的除

15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )

A. 整环一定是域

B. 域下一定是整环

C. 域一定是整环

D. 域一定不是整环

16. 具有如下定义的代数系统,G *，哪个不构成群 ( )

A. {1,10}G =，*是模11乘

B. {1,3,4,5,9}G =， *同(1)

C. G Q = (有理数集)，*是普通加法

D. G Q =，*是普通乘法

17. Q 为有理数集，,Q ⨯ (其中⨯为普通乘法)不能构成 ( )

A. 群

B. 独异点

C. 半群

D. 交换半群

18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )

（A ）a*b=a+2b （B ）a*b=a+b-ab

（C ）a*b=a （D ）a*b=|a+b|

19. 设I 是整数集，+，分别是普通加法和乘法，则,,I +是 ( )

A. 域

B. 整环和域

C. 整环

D. 含零因子环

20. R 为实数集，运算*定义为：,a b R ∈，||a b a b *=，则代数系统,R *是

( )

A. 半群

B. 独异点

C. 群

D. 阿贝尔群

21. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的 ( )

A. min(,)a b a b *=

B. 3a b a b *=++

C. 2a b a b *=+

D. a b a b *= (mod3)

22.为有理数集，Q 上定义运算*为：a b a b ab *=+-，则,Q *的么元是

( )

A. a

B. b

C. 1

D. 0

23. 设,H ，,K 是群,G 的子群，下面哪个代数系统仍是,G 的子群

( )

A. ,HK

B. ,H K

C. ,H K -

D. ,K H -

24. 群,R +与{0},R -⨯ ( )

A. 同态

B. 同构

C. 后者是的前者的子群

D. (2)与(3)都正确

25. 在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的 ( )

A. a b a b *=-

B. max(,)a b a b *=

C. 2a b a b *=+

D. ||a b a b *=-

26. 循环群,I +的所有生成元为 ( )

A. 1,0

B. -1,2

C. 1，2

D. 1，-1

27. 任何一个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )

A. 循环群

B. 置换群

C. 变换群

D. 阿贝尔群

28. 下列集合关于指定的运算哪一个可以构成群？ （ ）

(A) 给定a >0且1≠a ，集合{}Z n a G n ∈=关于数的乘法。

(B) 非负整数集N ，关于数的加法。

(C) 整数集Z ，关于数的减法。

(D) 一元实系数多项式集合，关于多项式乘法。

1. 在环中进行计算，则（a+b ）（a-b ）＝

2. S 是一非空集合, P(S)是S 的幂集, 代数系统(),P S 中的幺元为