代数系统习题
代数系统基础习题及答案
习题71.有理数集Q 和Q 上定义的下列运算*是否构成一个代数系统。
(1)()1*2a b a b =+ (2)()2*a b a b =-(3)2*2a b b =+(4)*10a ba b +=解答：（1）是。
（2）否。
运算不封闭（3）否。
运算不封闭（4）是2.设集合{1,2,3,,10}A = ，判断下面定义的运算关于集合A 是否封闭。
(1)*max{,}x y x y = (2)*min{,}x y x y = (3)*gcd{,}x y x y =，即x y ，的最大公约数(4)*{,}x y lcm x y = ，即x y ，的最小公倍数解答：(1)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为10，零元为1。
(2)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为1，零元为10。
(3)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元不存在，零元为1。
(4)不封闭。
3.设{1,2,3,4,6,12}A =，A 上的运算*定义为:*=a b a b - （1）写出二元运算*的运算表。
（2）A 和*能构成代数系统吗？为什么？解答：（1）运算表如下*12346121012351121012410321013943210286543206121110986（2）不能。
0,5,8,9,10,11不是A 中的元素，运算不封闭。
4.考虑有理数集Q ，设*是如下定义的Q 上的运算：*a b a b ab=+-(1)求3*4,2*(-5)和7*1/2。
(2)*在Q 上可结合吗？*在Q 上可交换吗？(3)求Q 上关于运算*的单位元。
(4)集合Q 上所有元素都有逆元吗？若有逆元，请求出。
解答：(1)3434125*=+-=-，2(5)25107*-=-+=，71271721*=+-=。
(2)()()a b c a b ab c a b c ab ac bc abc**=+-*=++---+()()a b c a b c bc a b c ab ac bc abc **=*+-=++---+即()()a b c a b c **=**。
离散数学代数系统部分练习题2018春
《离散数学》代数结构部分练习题2018年6月班级学号姓名一、填空题1.在代数系统（N ，+）中，其单位元是0，仅有有逆元.2.设A 是非空集合，集合代数),),(( A P 中，)(A P 对运算 的单位元是，零元是.)(A P 对运算 的单位元是.3.设Z 为整数集，若1,,-+=∈∀b a b a Z b a ，则Z a ∈∀，a 的逆元=-1a .4.设}3,2,1,0{4=Z ，⊗为模4乘法，即4mod )(xy y x =⊗，4,Z y x ∈∀.则4Z 上运算⊗的运算表为.二、选择题1.设集合{}10,...,3,2,1=A ,在集合A 上定义运算,不是封闭的为()(A){}b a lcm b a A b a ,,,=∙∈∀(最小公倍数)(B){}b a ged b a A b a ,,,=∙∈∀(最大公约数)(C){}b a b a A b a ,max ,,=∙∈∀(D){}b a b a A b a ,min ,,=∙∈∀2.在自然数集N 上定义的二元运算∙,满足结合律的是()(A)b a b a -=∙(B)b a b a 2+=∙(C){}b a b a ,max =∙(D)ba b a -=∙三、计算题1.通常数的乘法运算是否可以看成是下列集合上的二元运算，说明理由.（1）{}2,1=A （2）{}是质数x x B =（3）{}是偶数x x C =（4）{}N n D n ∈=22.实数集R 上的下列二元运算是否满足结合律与交换律？（1）212121r r r r r r -+=*（2）2/)(2121r r r r += 3.实数集R 上的二元关系212121r r r r r r -+=*中，运算*是否有单位元，零元和幂等元？若有单位元的话，那些元素有逆元？4.给定正整数,m 令{}Z k km G ∈=，(1)判断普通加法在G 上是否满足结合律，并说明理由；(2)求普通加法运算的单位元、所有可逆元素的逆元.5.设>< ,Z 中运算 为2,,-+=∈∀b a b a Z b a ，(1)判断普通加法在G 上是否满足结合律，并说明理由；(2)求普通加法运算的单位元、所有可逆元素的逆元.。
代数系统练习题
填空题：1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
答：2，62、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；答：9，33、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：6,44、群<G,*>的幂等元是( )，有( )个。
答：单位元，15、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：5，106、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
答：循环群，任一非单位元7、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。
答：<H,,*>是群或∀ a，b ∈G，a*b∈H，a-1∈H 或∀ a,b ∈G，a*b-1∈H 8、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
答：k9、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 答：(2)10、设G是所有3位二进制数构成的集合，关于异或运算，G中的幺元是（），011的逆元是（）。
答：000，01111、10阶群的子群的阶数只可能是（）。
答：1,2,5,1012、设G是群，a∈G，若|a|=12，则|a9|=（）。
答：413、设A是集合，P(A)是A的幂集，则代数系统<P(A)，⊕>中幺元是（）；对任意T∈P(A)，T的逆元是（）。
答：∅,T二、选择题1、在N上定义几个二元运算，其中不满足结合律的是（）。
A. a * b = aB. a*b=a+b-5C. a*b=a+3bD. a*b=max{a，b}答：C2. 下面4个代数系统中构成群的是（）。
离散数学习题课—代数系统ppt
设元素a的阶为2，则a^2＝e，所以a＝a^(-1)， 即a与a的逆元相等. 反过来，如果a＝a^(-1)， 则a^2＝e. 所以a^2＝e当且仅当a＝a^(-1) 所 以，G中阶大于2的元素a，必有a≠a^(-1). 又a 与a^(-1)的阶相等，所以G中阶大于2的元素 一定成对出现，其个数必是偶数
3、<H,*>是<G,*>的真子群，且 |H|=n,|G|=m,则有 。 （A）n整除m B) n整除m且m整除n C) m整除n D) n不整除m且m不整除n
4、 <Z6, +6 >的子群中不包括 。： A)<{[0]}, +6> B)<{[0],[3]}, +6> C)<{[0],[2],[4]}, +6> D)<{[1],[2]}, +6>
5 、群<G,*>有|G|=11，则G有_____子群。 6、<I ,+>的幺元为__，<R ,*>的零元为___。 7、设<I,+>是群，H={3*k|k∈I，-3<=k<=3}， <H,+>是<I,+>的子群，则左陪集2H= { } 8、同构意义下，四阶群共有______ 种。 9、设G={x|x ∈Q,x≠1}，定义运算$为： x@y=x+y-xy 证明：<G,@>是一个群。
答案
1—4 BCAD ；5、2 ； 6、0,1 7、{-7,-4,-1,2,5,8,11} 8、2 9、略
离散数学
习题课
第五章 代数系统
1、设f1和f2都是从代数<S,*>到<B,# >的 同态，*和#都是二元运算，且#是可交换 和可结合的，证明函数h: S→B, h(x)=f1(x)#f2(x)是从<S,*>到<B,# >的同 态。
代数系统
代数系统一、选择题：1、下列正整数集的子集在普通加法运算下封闭的是（ D ）A 、{30x x ≤}B 、{x x 与30互质}C 、{x x 是30的因子}D 、{x x 是30的倍数}2、设S={1，2，…，10 }，则下面定义的运算*关于S 非封闭的有（ D ）A 、x*y=max(x ,y)B 、x*y=min(x ,y)C 、x*y=取其最大公约数D 、x*y= 取其最小公倍数3、设集合A 的幂集为()A ρ，-⨯I U 、、、为集合的交、并、差、笛卡尔乘积运算，则下列系统中是代数系统的为（ D ）A 、()A ρI ,B 、()A ρU ,C 、(),A ρ-D 、(),A ρ⨯4、在自然数集上定义的下列四种运算，其中满足结合律的是（C ）A 、a b a b *=-B 、||a b a b *=-C 、max{,}a b a b *=D 、2a b a b *=+5、设Z +为正整数集，*表示求两数的最小公倍数，对代数系统*A Z +=,，有（ A ）A 、1是么元，无零元B 、1是零元，无么元C 、无零元，无么元D 、无等幂元6、设非空有限集S 的幂集为()S ρ，对代数系统()A S ρ=I ,，有（ B ）A 、Φ是么元，S 是零元B 、Φ是零元，S 是么元C 、唯一等幂元D 、无等幂元7、在有理数集Q 上定义的二元运算*： xy y x y x -+=*，则Q 中元素满足（ C ）A 、都有逆元B 、只有唯一逆元C 、1x ≠时，有逆元D 、都无逆元8、设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 一定不是（ D ）A 、半群B 、独异点C 、可交换的独异点D 、循环独异点9、设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >（ B ）A 、是半群，但非独异点B 、是独异点，但非群C 、是群，但非阿贝尔群D 、是阿贝尔群10、任意具有多个等幂元的半群，它（A ）A 、不能构成群B 、不一定能构成群C 、能构成群D 、能构成阿贝尔群二、填充题：1、下表中的运算均定义在实数集上，请在相应的空格中打“√”或填上具体实数（不满足2、设(6)。
上海大学代数系统练习题实用课件
所以a –1= f(x)–1=f(x–1)f(A)。 因此<f(A),∘>是群。
第5页/共9页
【例7.16】设Q,＋是有理数加法群， Q-0, ·是非零有 理数乘法群，试证明群Q,＋和群Q-0,·不同构。
由于群g中有幺元且每一个元素都有逆元所以可以定义g中元素的0次幂和负整数次幂
【例7.1】设R是实数集，定义R上的二元运算*为： x, yR，x*y=x|y|
其中x|y|为实数x与实数y的绝对值的乘法运算，证明<R,*>是 一个半群。
证明：显然，x, yR，则x|y|R，故运算*在R上封闭。 接下来只需验证*满足结合律。x, y, zR，有
f(x)=a, f(y)=b 因为<A,*>是半群，必有x*yA，于是
a∘b=f(x)∘f(y)=f(x*y)f(A)，即∘在f(A)上封闭。 a,b,cf(A)，必有x,y,zA，使得f(x)=a，f(y)=b，f(z)=c
第4页/共9页
(a∘b)∘c=(f(x)∘f(y))∘f(z)=f(x*y)∘f(z)=f((x*y)*z)=f(x*(y*z)) =f(x)∘f (y*z)=f(x)∘(f(y)∘f(z))=a∘(b的单位元。 ⑵ *运算是可交换的。
bbcea ccbae
⑶ G中每个元素的逆元都是自己。
⑷ a,b,c三个元素中任何两个元素的*运算结果都等于第
三个元素。
由于群G中有幺元且每一个元素都有逆元，所以可以定
义G中元素的0次幂和负整数次幂。定义x0=e，xG，nI+， 定义x–n＝(x–1)n
代数系统
代数系统一、单项选择题：1．设集合A={1,2,…,10}，在集合A上定义的运算，不是封闭的为（）。
（A）∀a, b∈A，a*b=lcm{a, b}（最小公倍数）（B）∀a, b∈A，a*b=gcd{a, b}（最大公约数）（C）∀a, b∈A，a*b=max{a, b}（D）∀a, b∈A，a*b=min{a, b}2．下列代数系统<G, *>（其中*是普通加法运算）中，（）不是群。
（A）G为整数集合（B）G为偶数集合（C）G为有理数集合（D）G为自然数集合3．在自然数N上定义的二元运算◦，满足结合律的是（）。
（A）a◦b=a- b（B）a◦b=a+4b（C）a◦b= min{a, b} （D）a◦b=| a- b|4．在布尔代数L中，表达是(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是（）。
（A）b∧(a∨c) （B）(a∧c)∨(a∧b)（C）(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) （D）(b∨c)∧(a∨c)5．设集合A={a, b, c}，代数系统G=<{∅, A}, ⋃>和H=<{{a, b}, A}, ⋃>同构的映射是（）。
（A）f : G→H, f (A)=∅, f ({a, b})=A（B）f : G→H, f (∅)=A, f (A)={a, b}（C）f : G→H, f ({a, b})=∅, f (A)=A（D）f : G→H, f (∅)={a, b}, f (A)=A6．同类型的代数系统不具有的特征是（）。
（A）子代数的个数相同（B）运算的个数相同（C）相同的构成成分（D）相同元数的运算个数相同7．下列图表示的偏序集中，是格的为（）。
（A）（B）（C）（D）8．下列各代数系统中不含有零元素的是（）。
（A）<Q, *>，Q是全体有理数集，*是普通乘法运算（B）<M n(R), *>，M n(R)是全体阶n实矩阵集合，*是矩阵乘法运算（C）<Z, *>，Z是整数集，*定义为x*y=xy, x, y∈Z（D）<Z, +>，Z是整数集，+是普通加法运算9．设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A)，+,-,/为数的加、减、除运算，⋂为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有（）。
代数系统-环-例题
例题1、 设 <A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，A1⨯A2 是环的直积定义为：A1⨯A2 ={<a,b>|a ∈A1,b ∈A2}。
在 A1⨯A2 上定义运算 ⊕ 和 ⊗ 如下：对任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈ A1⨯A2，则<a1,b1>⊕<a2,b2>=<a 1★a2,b 1★b2><a1,b1>⊗<a2,b2>=<a1 * a2,b1 * b2>证明：（1）<A1⨯A2,⊕,⊗>构成环；（2）若 A1,A2 都是有单位元的环，则 A1⨯A2也是吗？（3）若 A1,A2 都是无零因子的环，则 A1⨯A2也是吗？（1）<A1⨯A2,⊕>交换群首先运算是封闭的，是一个代数系统：对任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈ A1⨯A2， <a1,b1>⊕<a2,b2>=<a 1★a2,b 1★b2>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以★运算在A1，A2上封闭，a1∈A1，a2∈A1,所以，a 1★a2∈A1,b1∈A2，b2∈A2,所以，b 1★b2∈A2，所以<a 1★a2,b 1★b2>∈A1⨯A2所以封闭结合律：对任意的<a1,b1>,<a2,b2><a3,b3>∈ A1⨯A2，(<a1,b1>⊕<a2,b2>)⊕<a3,b3>＝< (a 1★a2)★a3, (b 1★b2)★b3><a1,b1>⊕(<a2,b2>⊕<a3,b3>)＝< a 1★(a2★a3), b 1★(b2★b3)>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以<A1,★> ,<A2,★>满足结合律所以(a 1★a2)★a3＝a 1★(a2★a3)，(b 1★b2)★b3＝b 1★(b2★b3)所以< (a 1★a2)★a3, (b 1★b2)★b3>＝< a 1★(a2★a3), b 1★(b2★b3)>所以(<a1,b1>⊕<a2,b2>)⊕<a3,b3>＝<a1,b1>⊕(<a2,b2>⊕<a3,b3>)所以满足结合律单位元：设<A1,★> ,<A2,★>上单位元分别是e1,e2则，任取<a1,b1>∈ A1⨯A2， <a1,b1>⊕<e1,e2>=<a 1★e1,b 1★e2>=<a1,b1><e1,e2>⊕<a1,b1>=<e1★a1,e2★b1>=<a1,b1>所以存在单位元<e1,e2>逆元：任取<a1,b1>∈ A1⨯A2，因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以在<A1,★>上存在a1的逆元11a -，在<A2,★>上存在b1的逆元11b -，<a1,b1>⊕<11a -,11b ->=<a1★11a -, b1★11b ->=<e1,e2>, 所以<11a -,11b ->是<a1,b1>的逆元，所以，存在逆元交换律：对任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊕<a2,b2>=<a 1★a2,b 1★b2><a2,b2>⊕<a1,b1>=<a2★a 1, b2★b 1>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以<A1,★>满足交换律，<A2,★>满足交换律，所以，a 1★a2＝a2★a 1，b 1★b2＝b2★b 1，所以<a 1★a2,b 1★b2>＝<a2★a1, b2★b1>所以，<a1,b1>⊕<a2,b2>＝<a2,b2>⊕<a1,b1>所以，满足交换律<A1⨯A2, ⊗>半群首先运算是封闭的，是一个代数系统对任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊗<a2,b2>=<a1*a2,b1*b2>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以*运算在A1，A2上封闭，a1∈A1，a2∈A1,所以，a1*a2∈A1,b1∈A2，b2∈A2,所以，b1*b2∈A2，所以<a1*a2,b1*b2>∈A1⨯A2 所以封闭结合律：对任意的<a1,b1>,<a2,b2><a3,b3>∈ A1⨯A2，(<a1,b1>⊗<a2,b2>)⊗<a3,b3>＝< (a1*a2)*a3, (b1*b2)*b3><a1,b1>⊗ (<a2,b2>⊗<a3,b3>)＝< a1*(a2*a3), b1*(b2*b3)>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以<A1,*> ,<A2,*>是半群，满足结合律所以(a1*a2)*a3＝a1*(a2*a3)，(b1*b2)*b3＝b1*(b2*b3)所以< (a1*a2)*a3, (b1*b2)*b3>＝< a1*(a2*a3), b1*(b2*b3)>所以(<a1,b1>⊗<a2,b2>)⊗<a3,b3>＝<a1,b1>⊗ (<a2,b2>⊗<a3,b3>)所以满足结合律⊗对⊕满足分配律对任意的<a1,b1>,<a2,b2><a3,b3>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊗ (<a2,b2>⊕<a3,b3>)＝< a1*(a2★a3), b1*(b2★b3)>(<a1,b1>⊗ <a2,b2>)⊕(<a1,b1>⊗<a3,b3>)=<( a1*a2)★(a1*a3),(b1*b2)★(b1*b3)>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环,所以，a1*(a2★a3)＝( a1*a2)★(a1*a3)，b1*(b2★b3)＝(b1*b2)★(b1*b3)所以，< a1*(a2★a3), b1*(b2★b3)>＝<( a1*a2)★(a1*a3),(b1*b2)★(b1*b3)>所以，<a1,b1>⊗ (<a2,b2>⊕<a3,b3>)＝(<a1,b1>⊗ <a2,b2>)⊕(<a1,b1>⊗<a3,b3>)（<a1,b1>⊕<a2,b2>）⊗<a3,b3>＝<（a1★a2）*a3,( b1★b2)*b3>(<a1,b1>⊗ <a3,b3>)⊕(<a2,b2>⊗<a3,b3>)=<( a1*a3)★(a2*a3),(b1*b3)★(b2*b3)>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环,所以，(a1★a2）*a3＝( a1*a3)★(a2*a3)，( b1★b2)*b3＝,(b1*b3)★(b2*b3)所以，<（a1★a2）*a3,( b1★b2)*b3>=<( a1*a3)★(a2*a3),(b1*b3)★(b2*b3)>所以，（<a1,b1>⊕<a2,b2>）⊗<a3,b3>=(<a1,b1>⊗ <a3,b3>)⊕(<a2,b2>⊗<a3,b3>)所以满足分配律（2）A1,A2 都是有单位元的环，设其单位元分别为E1，E2任取<a1,b1>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊗<E1,E2>=<a1*E1,b1*E2>=<a1,b1><E1,E2>⊗<a1,b1>=<E1*a1,E2*b1>=<a1,b1>所以存在单位元<E1,E2>(3)<A1⨯A2,⊕,⊗>的零元是<e1,e2>设<A1,★> ,<A2,★>上单位元分别是e1,e2则，任取<a1,b1>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊕<e1,e2>=<a1★e1,b1★e2>=<a1,b1><e1,e2>⊕<a1,b1>=<e1★a1,e2★b1>=<a1,b1>所以存在零元<e1,e2>（3）假设存在零因子<c1,c2><d1,d2>, <c1,c2>⊗<d1,d2>=<c1*d1,c2*d2>=<e1,e2>即，c1*d1=e1，c2*d2=e2,A1,A2 都是无零因子的环因为A1无零因子，所以c1，d1中有至少一个等于e1，因为A2无零因子，所以c2，d2中有至少一个等于e2，（1）若d1=el, c2=e2即取<c1,e2><e1,d2>,且c1不等于e1, d2不等于e2<c1,e2>⊗<e1,d2>=<c1*e1,e2*d2>因为c1*e1=e1,且e2*d2=e2则存在零因子<c1,e2><e1,d2>（2）同理取c1=e1，d2=e2，则存在零因子<e1,c2><d1,e2>（3）若取c1=d1= e1，c2,d2中有一个为e2,则<c1,c2><d1,d2>,中有一个等于<e1,e2>，矛盾，无零因子（4）若取c1=d1= e1，c2=d2=e2,则<c1,c2><d1,d2>,两个都等于<e1,e2>，矛盾，无零因子 所以，虽然A1,A2 中都无零因子，A1⨯A2中不一定无零因子例2、证明 <{0,1},⊕,⊗>是一个整环，其中运算 ⊕和 ⊗定义如右图。
代数系统(习题课)
即 a, b ∈ S
（3） S 中含幺元：设 e 是 G 中的幺元，因为对任意的
x ∈ G 有 e ∗ x = x ∗ e ，所以 e ∈ S .
（4）可逆性：对任意的 a∈ S ，所以对任意的 x∈ G 有
a ∗ x = x ∗ a ⇒ a ∗ ( a ∗ x) ∗ a = a ∗ ( x ∗ a ) ∗ a
6阶群不可能有 阶子群.( 阶群不可能有4 8. 6阶群不可能有4阶子群.(
) )
若群中每个元素以自身为逆,则是交换群.( 9. 若群中每个元素以自身为逆,则是交换群.( 10. 为整数集合, 为普通加法. 10. 设V=<I, +>, I为整数集合,＋为普通加法. 则命题为假的是 I,+>是群 A. < I,+>是群 I,+>是循环群 B. < I,+>是循环群 I,+>交换群 C. < I,+>交换群 不是A,B,C D. 不是A,B,C
代数结构
代数系统又称为代数结构(抽象代数,近世代数), 代数系统又称为代数结构(抽象代数,近世代数), 它是在一个抽象集合上定义了若干抽象代数运算后所组 成的系统. 成的系统. 不同的数学结构常常具有相同的代数运算性质, 不同的数学结构常常具有相同的代数运算性质,把 这 些 共 同 的 性 质 抽 象 出 来 加 以 统 一 研 究 就形成了代数系统这门学科. 就形成了代数系统这门学科. 代数系统的理论在逻辑电路设计,形式语言, 代数系统的理论在逻辑电路设计,形式语言,自动 机,数据结构,编码理论等的研究中有广泛的应用. 数据结构,编码理论等的研究中有广泛的应用.
−1 −1 −1
因此， < G ,∗ > 是个阿贝尔群.
代数系统习题
第三部分：代数系统1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。
( )2.每一个有限整环一定是域，反之也对。
( )3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。
( )4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。
( )5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。
( )6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。
( )7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。
( )8.循环群一定是阿贝尔群。
( )9.每一个链都是分配格。
( )1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈( )A. min(,)a b a b *=B. 2a b a b *=+C. 3a b a b *=+-D. a b a b *=+ (mod3)2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 不能构成交换群D. 能构成交换群3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( )A. 5B. 6C. 3D. 94. 设<A,*, >是环，则下列正确的是 ( )A. <A, >是交换群B. <A,*>是加法群C. 对*是可分配的D. *对 是可分配的5. 下面集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )A. NB. {2|}x x I ∈C. {21|}x x I +∈D. {x |x 是质数}6. 具有如下定义的代数系统,G 〈*〉，哪个不构成群 ( )A. G={1,10}，*是模11乘B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G 〈*〉的么元为 () A.不存在 B. e ＝0023⨯ C. e ＝2×3 D. e ＝1123--⨯8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 必能构成群D. 能构成交换群9. 在自然数集N 上，下面哪个运算是可结合的，对任意a,b N ∈ ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 5a b a b *=+D. ||a b a b *=-10. Q 为有理数集，Q 上定义运算*为a b a b ab *=+-，则,Q 〈*〉的幺元为( )A. aB. bC. 1D. 011. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ （ ）A.数的加B.数的减C. 数的乘 (D) 数的除12. ,G 〈*〉是群，则对* ( )A. 满足结合律、交换律B. 有单位元，可结合C. 有单位元，可交换D. 每元有逆元，有零元13. 实数集R 的下列运算，哪个满足结合律？ ( ) A. n m n m -= B. ()n m n m +=21 C. n m n m 2+= D. 22n m n m +=14. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ ( )(A) 数的加 (B) 数的减(C) 数的乘 (D) 数的除15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )A. 整环一定是域B. 域下一定是整环C. 域一定是整环D. 域一定不是整环16. 具有如下定义的代数系统,G *，哪个不构成群 ( )A. {1,10}G =，*是模11乘B. {1,3,4,5,9}G =， *同(1)C. G Q = (有理数集)，*是普通加法D. G Q =，*是普通乘法17. Q 为有理数集，,Q ⨯ (其中⨯为普通乘法)不能构成 ( )A. 群B. 独异点C. 半群D. 交换半群18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )（A ）a*b=a+2b （B ）a*b=a+b-ab（C ）a*b=a （D ）a*b=|a+b|19. 设I 是整数集，+，分别是普通加法和乘法，则,,I +是 ( )A. 域B. 整环和域C. 整环D. 含零因子环20. R 为实数集，运算*定义为：,a b R ∈，||a b a b *=，则代数系统,R *是( )A. 半群B. 独异点C. 群D. 阿贝尔群21. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的 ( )A. min(,)a b a b *=B. 3a b a b *=++C. 2a b a b *=+D. a b a b *= (mod3)22.为有理数集，Q 上定义运算*为：a b a b ab *=+-，则,Q *的么元是( )A. aB. bC. 1D. 023. 设,H ，,K 是群,G 的子群，下面哪个代数系统仍是,G 的子群( )A. ,HKB. ,H KC. ,H K -D. ,K H -24. 群,R +与{0},R -⨯ ( )A. 同态B. 同构C. 后者是的前者的子群D. (2)与(3)都正确25. 在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的 ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 2a b a b *=+D. ||a b a b *=-26. 循环群,I +的所有生成元为 ( )A. 1,0B. -1,2C. 1，2D. 1，-127. 任何一个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )A. 循环群B. 置换群C. 变换群D. 阿贝尔群28. 下列集合关于指定的运算哪一个可以构成群？ （ ）(A) 给定a >0且1≠a ，集合{}Z n a G n ∈=关于数的乘法。
习题与解答(代数系统) 离散答案
第十章
15、17、18、21、22、24、27、28、29。
2
15、设 G 为群，若 x ∈G 有 x =e, 证明 G 为交换群 证明： a, b ∈G 由条件 x ∈G 有 x =e
2
所以 a =e ,b =e (ab) =e ,即(ab)(ab)=e 所以 a =a, b =b, ba= a b
下面证明 φ(G1)是是循环群 y∈f(G1), x ∈G1 , 使得 f(x)=y. 而 G1=<a> 所以 存在 r 使得 x= a
r r
则 y = f(x) = f(a ) = f(a)f(a)……f(a) =(f(a)) 这证明了 f(a)为 f(G1)的生成元。即 f(G1)=< f(a)> 所以 f(G1)为循环群。 28、设 G=<a>是 15 阶循环群。 (1) 求出 G 的所有的生成元。 (2) 求出 G 的所有子群。 解：(1) 生成元为: a,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a (2) G 的所有子群: 共 4 个子群 <e>, <a >={e,a ,a ,a ,a },
-1 -1
21、设 G 为群，a 是 G 中给定元素，a 的正规化子 N(a)表示 G 中与 a 可交换的元素构成的集合，即 N(a)={x| x∈G∧xa=ax } 证明：N(a)是 G 的子群 证明: (1) a∈N(a), 所以 N(a)非空(因为 a∈G∧aa=aa) (2) x,y ∈N(a) 则 xa=ax ya=ay
-1
-1
-1
=-a
-1 -1
-1
(2) 由于 (ab)(b a )= a(bb )a = aa = 1 所以 (ab)
12章 代数系统习题补充
1.通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由。
⑴A=⎨1,2⎬。
⑵B=⎨b|b是素数⎬。
⑶C=⎨c|c是偶数⎬。
⑷D=⎨2n| n∈N⎬。
解：⑴因为2×2＝4∉A，所以数的乘法运算不A上的二元运算。
⑵因为2、3∈B，2×3＝6∉B，所以数的乘法运算不是B上的二元运算。
⑶∀a,b∈C，a、b是偶数，a×b也是偶数，即a×b∈C且a×b的结果是唯一的，所以数的乘法运算是C上的二元运算。
(4) ∀a,b∈D,∃n,m∈N，使a＝2n，b＝2m，a×b=2n×2m=2n+m,n+m∈N，所以a×b∈D且运算结果唯一，故数的乘法运算是D上的二元运算。
2.集合A=⎨1,2,3,4⎬，*和ο是A上的二元运算，其中运算*定义为a*b=ab−b，运算ο定义为aοb=max(a, b)，试写出*和ο的运算表。
解：*和ο的运算表如表6.12和表6.13所示。
表6.12 表6.133.<N7,＋7>和<N7,×7>是代数系统，其中N7=⎨0,1,2,3,4,5,6⎬，运算＋7是模7加法，运算×7是模7乘法。
试写出＋7和×7的运算表。
解：＋7和×7的运算表如表6.14和表6.15所示。
表6.14----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------表6.154.设代数系统<A ,∗>，其中A =⎨a ,b ,c ⎬，∗是A 上的二元运算，分别由下列表给出。
第五章习题几个典型的代数系统
第五章习题几个典型的代数系统.设A={0,1},试给出半群<A A,>的运算表,其中为函数的复合运算。
.设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。
.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下：x,y∈Z,x y=x+y-2问Z关于运算能否构成群为什么.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下：f 1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=1-x,f 4(x)=(1-x)-1,f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。
(1) 给出运算的运算表。
(2) 验证<F,>是一个群。
.设G为群,且存在a∈G,使得 G={a k|k∈Z}, 证明G是交换群。
.证明群中运算满足消去律..设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。
.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。
.证明4阶群必含2阶元。
设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。
.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1×R2也是环。
(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1×R2也是交换环和含幺环。
. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。
(1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。
(2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。
(3) A=M(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。
2(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。
.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba..设H是群G的子群,x∈G,令xHx-1={xhx-1|h∈H},证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。
.设(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表(2) 试找出G的所有子群(3) 证明G的所有子群都是正规子群。
代数系统测试题
代数系统测试题1、设Z4={0，1，2，3}，⊕为模4加法，⊙为模4乘法，构造<Z4, ⊕>和<Z4, ⊙>的运算表。
2、代数系统V1,V2,V3的运算表分别如图所示，说明这些运算是否满足交换律、结合律、幂等率，找出幺元、零元、所有可逆元素的逆元。
3、<A,*>和<B,☉>是两个代数系统，f 是<A,*>到<B,☉>的同构。
证明：（1）如果*是可结合的，那么☉也是可结合的。
（2）如果e 是<A,*>的幺元，则f(e)是<B,☉>的幺元。
（3）如果<A,*>中b 是a 的逆元，那么<B,☉>中f(a)是f(b)的逆元。
4、h 是从代数系统V1=<X,º>到V2=<Y ,*>的一个同态映射，* a b c a a b c b b a c c c c c⊙ a b c a a b c b b b c c c c b 。
a b c a a a ab b b bc c c c其中“º”“*”为二元运算。
在X 上定义一个关系R 如下：<a,b>∈R 当且仅当h(a)=h(b)。
证明R 是X 上的一个同余关系。
5、设V=<Z,+>，问3Z,{n|n=2z+1,z ∈Z},{0},V 是否为Z 的子代数系统？为什么？如果是，说明哪些是平凡子代数？哪些是真子代数？6、判断下面集合关于给定运算能否构成半群、独异点、和群？如果不能，说明理由。
（1）实数集R 关于º运算，其中，a ºb=2(a+b)(2) R ╳R 关于º运算，其中，<a,b>º<c,d>=<a+c,b+d>。
7、设G 的运算表如表所示，问G 是否为循环群?如果是，求出生成元与子群。
8、设〉〈},*,{b a 是半群，其中b a a =*。
习题五 代数系统
习题五代数系统一、选择题1、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A．a*b=a-b B．a*b=max{a,b}C．a*b=a+2b D．a*b=|a-b|2、下列运算中关于整数集不能构成半群的是（）.A．a b=max{a, b} B．a b=bC．a b=2ab D．a b=|a-b|3、设有代数系统G=〈A，*〉，其中A是所有命题公式的集合，*为命题公式的合取运算，则G的幺元是（）.A．矛盾式B．重言式C．可满足式D．公式p∧q4、设群G=<A,*>中,A的元素个数大于1，若元素a∈A的逆元素为b∈A，则a*b 的运算结果是( ).A.aB.bC.G中零元素D.G中幺元5、若(A，*)是一个代数系统，且满足结合律，则(A，*)必为( ).A.半群B.独异点C.群D.可结合代数6、对于一个代数系统,以下命题成立的是( ).。
A.每个元素必有左逆元B.一个元素有左逆元,则它也是右逆元C.一个元素的左右逆元不一定相等D.一个元素的左逆元存在时必唯一7、设*是集合A上的二元运算，称Z是A上关于运算*的零元，若（）.A．有x*Z=Z*x=Z B．Z A，且有x*Z=Z*x=Z C．Z A，且有x*Z=Z*x=x D．Z A，且有x*Z=Z*x=Z 8、设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( ).A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是( ).A. G中有幺元B. G中有零元C. G中任一元素有逆元D. G中除了幺元外无其他幂等元10、下列集合关于所给定的运算成为群的是（）.A．已给实数a的正整数次幂的全体，且a{0，1，-1}，关于数的乘法B．所有非负整数的集合，关于数的加法C．所有正有理数的集合，关于数的乘法D．实数集，关于数的除法二、填空题1、设Z是整数集，在Z上定义二元运算*为a*b=a+b+a·b，其中+和·是数的加法和乘法，则代数系统<Z,*>的幺元是，零元是.2、<，〉是模6加群， 则它的生成元是 ，24= .3、对实数的普通加法和乘法，____________是加法的幂等元，____________是乘法的幂等元.4、设A={1,5,8}，A 上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是____________，零元是____________。
习题与解答(代数系统)
同理可证：|bca|=|cab|
所以 |abc|=|bca|=|cab|
18、证明偶数阶群必含 2 阶元
证明：设偶数阶群为 G，不妨设|G|=2n
下面按元素的阶进行划分：
① 元素的阶为 1,只有单位元 e ,所以个数为 1 。
② 元素的阶为 2，设其构成的集合为：A
③ 元素的阶大于 2，设其构成的集合为：B
有逆元。 (4) 格与布尔代数。两个运算满足交换、相互分配、同一律、补元
律。 (5) 环与域，{0,1}关于模 2 加法构成交换群、{1}关于模 2 乘法构
成交换群，模 2 乘法关于模 2 加法有分配律。 13、设 B 是布尔代数, B 中的表达式 f 是
(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c) (1) 化简 f.
首先由定理群在同态映射下的像仍是群，
所以 f(G1)是群。
下面证明 φ(G1)是是循环群
y∈f(G1), x ∈G1 , 使得 f(x)=y. 而 G1=<a>
r
所以 存在 r 使得 x= a 则 y = f(x) = f(ar) = f(a)f(a)……f(a) =(f(a))r 这证明了 f(a)为 f(G1)的生成元。即 f(G1)=< f(a)>
14、下面各集合都是 N 的子集，它们能否构成代数系统 V=<N,+>的子代数： (1) {x|x∈N∧x 可以被 16 整除} (2) {x|x∈N∧x 与 8 互质}
(3) {x|x∈N∧x 是 40 的因子} (4) {x|x∈N∧x 是 30 的倍数}
解：(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)是 16、设 V=<Z,+,·>，其中+和·分别代表普通加法和乘法，对下面给定的每
离散数学习题解+代数系统
离散数学习题解 代数系统习题四 第四章代数系统1．设I 为整数集合。
判断下面的二元关系是否是I 上的二元运算a ）+={（x ，y ），z|x ，y ，zI 且z=x+y}b ）－={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x －y}c ）×={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x ×y}d ）/={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x/y}e ）R={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=x y }f ）={（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=yx }g ）min = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=max （x ，y ）} h ）min = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=min （x ，y ）} i ）GCD = {（（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z= GCD （x ，y ）} j ）LCM={（（x ，y ），z ）|x ，y ，z ∈I 且z= LCM （x ，y ）}[解] a ）是。
由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
b ）是。
由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
c ）是。
由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
d ）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6∉I ；当y=0时z=x|y=x/0无定义。
e ）不是。
例如若x=2，y= -2，则z=x y =2 –2=221=I 41∉；若x=y=0，则z=x y =0，则z=I 2x ∉=χ；g ）是。
由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。
故知max ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
h ）是。
由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。
故知min ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。
习题几个典型的代数系统
第五章习题几个典型的代数系统.设A={0,1},试给出半群<A A,>的运算表,其中为函数的复合运算。
.设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。
.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下：x,y∈Z,x y=x+y-2问Z关于运算能否构成群为什么.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下：f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=1-x,f4(x)=(1-x)-1,f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。
(1) 给出运算的运算表。
(2) 验证<F,>是一个群。
.设G为群,且存在a∈G,使得G={a k|k∈Z}, 证明G是交换群。
.证明群中运算满足消去律..设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。
.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。
.证明4阶群必含2阶元。
设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。
.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1×R2也是环。
(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1×R2也是交换环和含幺环。
. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。
(1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。
(2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。
(3) A=M2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。
(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。
.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba..设H是群G的子群,x∈G,令xHx-1={xhx-1|h∈H},证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。
.设(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表(2) 试找出G的所有子群(3) 证明G的所有子群都是正规子群。
代数系统证明题
问答题：1：<A,*>是一个代数系统，*是A 上的一个二元运算，如何根据运算表看出<A,*>是否有①封闭性；②可交换性；③等幂元；④零元；⑤幺元。
）①封闭性：A 中的每个元素都在运算表中；②可交换性：运算表关于主对角线是对称的；③等幂性: 运算表中主对角线中的元素等于它所在行和列的表头元素；④零元：该元素所在行和所在列的元素值都与该元素相同；⑤幺元: 该元素所在的行和列依次与运算表中的行和列相同。
2：请叙述群的定义。
设<G,*>是一个代数系统，其中G 是非空集合，*是G 上一个二元运算，如果（1） 运算*是封闭的。
（2） 运算*是可结合的。
（3） 存在幺元e 。
（4） 对于每一个元素x ∈G,存在着它的逆元x-1。
则称<G,*>是一个群。
证明题：1: 在R 上定义运算：。
证明<R, *>是独异点。
证明过程：（1）∵对于任意a,b ∈R显然a*b=a+b+ab ∈R ，∴*运算满足封闭性（2）对于任意a,b,c ∈R有 (a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc而a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+ac+ab+abc∴(a*b)*c=a*(b*c)∴*运算满足结合性（3）设对任意元素a ∈R ，则有a*0=a+0+a ×0=a0*a=0+a+0×a=a即有 a*0=0*a=a ∴0是幺元由于<R,*>中*运算封闭，满足结合律，有幺元，所以<R,*>是独异点。
2: 设<G ，*>是一个群，证明<G ，*>是阿贝尔群的充要条件是对于任意的a ，b ∈G 有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。
证明过程：证明：充分性证明：设对任意,,a b G ∈有(*)*(*)(*)*(*)a b a b a a b b =因为ab b a b a ++=**(*)*(*)*(*)=(*)*(*) =*(*)*a a b b a a b b a b a b a b a b=所以1111*(*(*)*)* =*(*(*)*)*a a a b b b a a b a b b ----即得：**a b b a =因此，群<G ，*>是阿贝尔群。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三部分：代数系统1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。
( )2.每一个有限整环一定是域，反之也对。
( )3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。
( )4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。
( )5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。
( )6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。
( )7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。
( )8.循环群一定是阿贝尔群。
( )9.每一个链都是分配格。
( )1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈( )A. min(,)a b a b *=B. 2a b a b *=+C. 3a b a b *=+-D. a b a b *=+ (mod3)2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 不能构成交换群D. 能构成交换群3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( )A. 5B. 6C. 3D. 94. 设<A,*, >是环，则下列正确的是 ( )A. <A, >是交换群B. <A,*>是加法群C. 对*是可分配的D. *对 是可分配的5. 下面集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )A. NB. {2|}x x I ∈C. {21|}x x I +∈D. {x |x 是质数}6. 具有如下定义的代数系统,G 〈*〉，哪个不构成群 ( )A. G={1,10}，*是模11乘B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G 〈*〉的么元为 () A.不存在 B. e ＝0023⨯ C. e ＝2×3 D. e ＝1123--⨯8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 必能构成群D. 能构成交换群9. 在自然数集N 上，下面哪个运算是可结合的，对任意a,b N ∈ ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 5a b a b *=+D. ||a b a b *=-10. Q 为有理数集，Q 上定义运算*为a b a b ab *=+-，则,Q 〈*〉的幺元为( )A. aB. bC. 1D. 011. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ （ ）A.数的加B.数的减C. 数的乘 (D) 数的除12. ,G 〈*〉是群，则对* ( )A. 满足结合律、交换律B. 有单位元，可结合C. 有单位元，可交换D. 每元有逆元，有零元13. 实数集R 的下列运算，哪个满足结合律？ ( ) A. n m n m -= B. ()n m n m +=21 C. n m n m 2+= D. 22n m n m +=14. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ ( )(A) 数的加 (B) 数的减(C) 数的乘 (D) 数的除15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )A. 整环一定是域B. 域下一定是整环C. 域一定是整环D. 域一定不是整环16. 具有如下定义的代数系统,G *，哪个不构成群 ( )A. {1,10}G =，*是模11乘B. {1,3,4,5,9}G =， *同(1)C. G Q = (有理数集)，*是普通加法D. G Q =，*是普通乘法17. Q 为有理数集，,Q ⨯ (其中⨯为普通乘法)不能构成 ( )A. 群B. 独异点C. 半群D. 交换半群18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )（A ）a*b=a+2b （B ）a*b=a+b-ab（C ）a*b=a （D ）a*b=|a+b|19. 设I 是整数集，+，分别是普通加法和乘法，则,,I +是 ( )A. 域B. 整环和域C. 整环D. 含零因子环20. R 为实数集，运算*定义为：,a b R ∈，||a b a b *=，则代数系统,R *是( )A. 半群B. 独异点C. 群D. 阿贝尔群21. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的 ( )A. min(,)a b a b *=B. 3a b a b *=++C. 2a b a b *=+D. a b a b *= (mod3)22.为有理数集，Q 上定义运算*为：a b a b ab *=+-，则,Q *的么元是( )A. aB. bC. 1D. 023. 设,H ，,K 是群,G 的子群，下面哪个代数系统仍是,G 的子群( )A. ,HKB. ,H KC. ,H K -D. ,K H -24. 群,R +与{0},R -⨯ ( )A. 同态B. 同构C. 后者是的前者的子群D. (2)与(3)都正确25. 在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的 ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 2a b a b *=+D. ||a b a b *=-26. 循环群,I +的所有生成元为 ( )A. 1,0B. -1,2C. 1，2D. 1，-127. 任何一个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )A. 循环群B. 置换群C. 变换群D. 阿贝尔群28. 下列集合关于指定的运算哪一个可以构成群？ （ ）(A) 给定a >0且1≠a ，集合{}Z n a G n ∈=关于数的乘法。
(B) 非负整数集N ，关于数的加法。
(C) 整数集Z ，关于数的减法。
(D) 一元实系数多项式集合，关于多项式乘法。
1. 在环中进行计算，则（a+b ）（a-b ）＝2. S 是一非空集合, P(S)是S 的幂集, 代数系统(),P S 中的幺元为3. 设群G ＝a 〈〉是15阶循环群，则子群H ＝3a 〈〉的元素是4. 在A={1,2,...,10}与运算×11( 模11乘)构成的群中，元素5的阶是5. 在代数系统,N +中， (其中N 为自然数集，+为普通加法)，仅有 有逆元．6. 给定环}5|,,x x I ∈+，其中I 是整数集，+和是普通的加法和乘法，它 整环．因为 ．7. 设代数系统6,V Z =〈⊗〉，其中⊗为模6乘法，那么V 中的幂等元是8. ,S *是独异点．对,a b S ∈，且,a b 均有逆元，则11()a --= ，9. 设S 是非空有限集，()P S 为S 的幂集，代数系统(),,P S 〈〉中，()P S 对 的么元为 ，零元为 ．10. ,G *是群，B G ⊆且B 是有限集，,B *是,G *的子群当且仅当 ·11. 设S 为非空有限集，代数系统2,S U 〈〉中么元为 ，零元为12.在A={1,2,...,10}与运算×11( 模11乘)构成的群中，元素5的阶是13. 设S 是非空有限集，()P S 为S 的幂集，代数系统(),,P S 〈〉中， ()P S 对的么元为 ，零元为 ． 14. 三阶群有 个(不同构)，其运算表为15.半群(),A ρ是独异点，因为有幺元A1. 设 ||2G >，且a G ∀∈，2a =e ，证明G 必含4阶子群．2. 己知G ＝｛1,2,3,4,5,6｝，7⨯为模7乘法．试说明7,G 〈⨯〉是否构成群?是否为循环群？若是，生成元是什么？3. 在乘法模7运算7*下，考虑群7,*G ，其中{}6,5,4,3,2,1=G , （1）求出7*的乘法表， （2）求1116,3,2---，（3）7,*G 是循环群吗？4. 试证明若,G 〈*〉是群，H G ⊆，且任意的a H ∈，对每一个x G ∈，有 a x x a *=*，则,H 〈*〉是,G 〈*〉的子群．5. 设S=R-{-1} (R 为实数集)，a b a b ab *=++．(1)说明,S 〈*〉是否构成群；(2)在S 中解方程237x **=．6. 若G 中只有一个2阶元，则这个2阶元一定与G 中所有元素可交换．7. 设代数系统V=A,的运算表如表所列，表a bc d a a b c db bc b dc c a b cd d a c c(1) 说明运算是否满足交换律、结合律、幂等律;(2) 求出运算的单位元和零元(如果存在)；(3) 求出所有可逆元素的逆元．8．设G={Q x x ∈且}1≠x ，定义xy y x y x -+= ，G y x ∈∀, 证明： ,G 是一个群。
9. 设,H 〈〉和,K 〈〉都是群,G 〈〉子群，问,H K 〈⋂〉和,H K 〈⋃〉是否是,G 〈〉 的子群，并说明理由．10. 设2,G Z =〈⊕〉是模2加群(1) 给出直积G G ⨯运算表；(2) 说明G G ⨯与哪个4阶群同构．11. 试画出集合A ＝{1，2，3，4，5，6}在偏序关系“整除”下的哈斯图，并分别求出：(1)集合A 的最大元、最小元、极大元和极小元；(2)集合B ＝{2，3，6}的上界、下界、最小上界、最大下界．。