2015年高考理科数学试题全国卷2解析

2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题一、选择题1、已知集合A={–2,–1,0,1,2}，B={x|(x –1)(x+2)<0}，则A∩B=( ) A ．{–1,0} B ．{0,1} C ．{–1,0,1} D ．{0,1,2}2、若a 为实数，且(2+ai)(a –2i)= – 4i ，则a=( ) A ．–1 B ．0 C ．1 D ．23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4、已知等比数列{a n } 满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7=( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．845、设函数f(x)=⎩⎨⎧1+log 2(2–x)(x<1)2x –1(x≥1)，则f(–2)+f(log 212)=( )A ．3B ．6C ．9D ．126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下左1图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A ．B ．C ．D ．7、过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,–7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则IMNI=( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．108、如上左2程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a=( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．149、已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球上的动点，若三棱锥O –ABC 的体积最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π10、如上左3图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数，则y=f(x)的图像大致为( )A ．B ．C ．D ． 11、已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ．2 12、设函数f’(x)是奇函数f(x)(x R)的导函数，f(–1)=0，当x>0时，x f’(x)– f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( )A ．(–∞,–1)∪(0,1)B ．(,0)∪(1,+∞)C ．(–∞,–1)∪(–1,0)D ．(,1)∪(1,+∞) 二、填空题13、设向量a,b 不平行，向量λ a+b 与a+2b 平行，则实数 λ = ．14、若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x –y+1≥0x –2y≤0x+2y –2≤0，则z=x+y 的最大值为 ．15、(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a= ．16、设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=–1，a n+1=S n S n+1，则S n =________________． 三、解答题17、△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sinB sinC ．(2)若AD=1，DC=22，求BD 和AC 的长．18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立．根据所给的数据，以事件发生的频率作为响应事件的概率，求C 的概率19、如图，长方形ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1、D 1C 1上，A 1E=D 1F=4．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在途中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与α平面所成角的正弦值．20、已知椭圆C ：9x 2+y 2=M 2(m>0)．直线l 不过圆点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点(m3,m),延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21、设函数f(x)=e mx +x 2–mx ．(1)证明：f(c)在(–∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2 [–1,1]，都有|f(x 1)–(x 2)|≤e –1，求m 的取值范围．22、[选修4—1：几何证明选讲]如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边的高AD 交于点G ，切与AB ，AC 分别相切与E ，F 两点． (1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=23，求四边形EBCF 的面积．23、[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x=tcosαy=tsinα(t 为参数，t≠0)，其中0≤α<π．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=23cosθ． (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值24、[选修4–5：不等式选讲]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a+b=c+d ，证明： (1)若ab>cd ，则a+b>c+d ；(2)a+b>c+d 是|a –b|<|c –d|的充要条件．2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题 一、选择题1、答案：A ．∵(x –1)(x+2)<0，解得–2<x<1，∴B={x|–2<x<1}，∴A∩B={–1,0}．2、答案：B ．∵(2+ai)(a –2i)=(2a+2a)+(a 2–4)i=–4i ，∴a 2–4=–4，解得a=0．3、答案：D ．由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．4、答案：B ．∵a 1+a 3+a 5=a 1+a 1q 2+a1q 4=3(1+q 2+q 4)=21，∴1+q 2+q 4=7，整理得(q 2+3)(q 2–2)=0．解得q 2=2，∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 1q 4+a 1q 6=a 1q 2(1+q 2+q 4)=3×2×7=42． 5、答案：C ．∵f(–2)=1+log 2(2+2)=3，()222log 121log 3log 412log 1222f -+-==222log3log 2log 6226+===，∴f(–2)+f(log 212)=9．6、答案：D ．如图所示截面为ABC ，设边长为a ，则截取部分体积为13S △ADC ·|DB|=16a 3， 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3a 3–16a 3=15．7、答案：C ．由题可得⎩⎨⎧1+9+D+3E+F=010+4+4D+2E+F=01+49+D –7E+F=0，解得⎩⎨⎧D=–2E=4F=–20，所以圆方程为x 2+y 2–2x+4y –20=0，令x=0，解得y=–2±26 所以|MN|=|–2+26–(–2–26)|=46． 8、答案：B ．输入a=14，b=18．第一步a≠b 成立，执行a>b ，不成立执行b=b –a=18–14=4； 第二步a≠b 成立，执行a>b ，成立执行a=a –b=14–a=10； 第三步a≠b 成立，执行a>b ，成立执行a=a –b=10–4=6； 第四步a≠b 成立，执行a>b ，成立执行a=a –b=6–4=2； 第四步a≠b 成立，执行a>b ，不成立执行b=b –a=4–a=2． 第五步a≠b 不成立，输出a=2．选B ．9、答案：C ．设球的半径为r ，三棱锥O –ABC 的体积为V=13S △ABO ·h=13×12r 2h=16r 2h ，点C 到平面ABO 的最大距离为r ，∴16r 3=36，解得r=6，球表面积为4πr 2=144π．10、答案：B ．由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即0≤x≤π4时，PA+PB=tan 2x+4+tanx ； 当点P 在CD 边上运动时，即π4≤x≤3π4，x≠π2时，PA+PB=(1tan 2x –1)2+1+(1tan 2x +1)2+1，当x=π2时，PA+PB=22；当点P 在边DA 上运动时，即3π4≤x≤π时，PA+PB=tan 2x+4–tanx ， 从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线x=π2对称，且f(π4)>f(π2)，且轨迹非线性，故选B ． 11、答案：D ．设双曲线方程为x 2a 2–y 2b 2=1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M 作MD ⊥x 轴，垂足为D ．在Rt △BMD 中，|BD|=a ，|MD|=3a ，故点M 的坐标为M(2a,3a)，代入双曲线方程得4a 2a 2–3a 2b 2=1，化简得a 2=b 2，∴e=c 2a 2=a 2+b 2a 2=2．故选D ．12、答案：A ．记函数g(x)=f(x)x ，则g'(x)=xf' (x)–f(x)x 2， 因为当x>0时，f'(x)–f(x)<0，故当x>0时，g'(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减； 又因为函数f(x)是奇函数，故函数g(x)在(–∞,0)单调递减， 且g(–1)=g(1)=0．当0<x<1时，g(x)>0，则f(x)>0；当x<–1时，g(x)<0，则f(x)>0， 综上所述，使得f(x)>0成立的x 的取值范围是(–∞,–1)∪(0,1)，故选A ． 二、填空题13、答案：12．设λa +b =x(a +2b )，可得⎩⎨⎧λ=x 1=2x ，解得λ=x=12．14、答案：32．如图所示，可行域为△ABC ，直线y=–x+z 经过点B 时，z 最大．联立⎩⎨⎧x –2y=0x+2y –2=0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x=1y=12，所以z max =1+12=32．15、答案：3．(a+x)(1+x)4=(C 04a+C 14ax+C 24ax 2+C 34ax 3+C 44ax 4)+ (C 04x+C 14x 2+C 24x 3+C 34x 4+C 44x 5)，所以C 14a+C 34a+C 04+C 24+C 44=32，解得a=3．16、答案：–1n ．∵a n+1=S n+1–S n =S n S n+1，∴1S n –1S n+1=1．即1S n+1–1S n =–1，∴{1S n}是等差数列，∴1S n =1S 1–(n –1)=–1–n+1=–n ，即S n =–1n ．三、解答题17、答案：(1)12；(2)|BD|=2，|AC|=1．(1)如图，由题意可得S △ABD =12|AB||AD|sin ∠BAD ，S △ADC =12|AC||AD|sin ∠CAD ， ∵S △ABD =2S △ADC ，∠BAD=∠DAC ，∴|AB|=2|AC|，∴sin ∠B sin ∠C =|AC||AB|=12． (2)设BC 边上的高为h ，则S △ABD =12|BD|·h=2S △ADC =2×12×22h ，解得|BD|=2，设|AC|=x ，|AB|=2x ，则cos ∠BAD=4x 2+1–24x ，cos ∠DAC=x 2+1–122x ． ∵cos ∠DAC=cos ∠BAD ，∴4x 2+1–24x =x 2+1–122x ，解得x=1或x=–1 (舍去)．∴|AC|=1．18、(1)如图所示．通过茎叶图可知A 地区的平均值比B 地区的高， A 地区的分散程度大于B 地区．(2)记事件不满意为事件A 1，B 1，满意为事件A 2，B 2，非常满意为事件A 3，B 3．则由题意可得P(A 1)=420，P(A 2)=1220，P(A 3)=420，P(B 1)=1020，P(B 2)=820，P(B 3)=220，则P(C)=P(A 2)P(B 1)+P(A 3)(P(B 1)+P(B 2))=1220×1020+420×(1020+820)=1225． 19、(1)如图所示(2)建立空间直角坐标系．由题意和(1)可得A(10,0,0)，F(0,4,8)，E(10,4,8)，G(10,10,0)，则向量AF =(–10,4,8)，EF =(–10,0,0)，EG =(0,6,–8)．设平面EFHG 的一个法向量为n =(x,y,z)，则⎩⎨⎧n ·EF =0n ·EG =0，即⎩⎨⎧–10x=06y –8z=0，解得x=0，令y=4，z=3，则n=(0,4,3)．所以直线AF 与α平面所成角的正弦值为sinθ=|cos<AF ,n >|=AF·n |AF||n|=16+24100+16+8416+9=225．20、(1)设直线l 的方程为y=kx+b(k ≠0)，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则M(x 1+x 22,y 1+y 22)，联立方程⎩⎨⎧y=kx+b9x 2+y 2=m 2，消去y 整理得(9+k 2)x 2+2kbx+b 2–m 2=0(*)，∴x 1+x 2=–2kb 9+k 2，y 1+y 2=k(–2kb 9+k 2)+2b=18b9+k 2， ∴k OM ·k AB =y 1+y 22x 1+x 22·k=18b 9+k 2·(–9+k 22kb )·k=–9．(2)假设直线l 存在，直线方程为y=kx+m(1–k)3，b=m(3–k)3．设点P(x P ,y P )，则由题意和(1)可得x P =x 1+x 2=–2kb 9+k 2，y P =y 1+y 2=18b9+k 2，因为点P 在椭圆上，所以9(–2kb 9+k 2)2+(18b 9+k 2)2=m 2，整理得36b 2=m 2(9+k 2)，即36(m(3–k)3)2=m 2(9+k 2)，化简得k 2–8k+9=0，解得k=4±7， 有(*)知△=4k 2b 2–4(9+k 2)(b 2–m 2)>0，验证可知k=4±7都满足．21、(1)∵f(x)=e mx +x 2–mx ，∴f'(x)=me mx +2x –m ，f''(x)=m2e mx +2≥0在R 上恒成立， ∴f'(x)=me mx +2x –m 在R 上单调递增．又∵f'(0)=0，∴x>0时，f'(x)>0；∴x<0时，f'(x)<0． ∴f(x)在(–∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增．(2)有(1)知f min (x)=f(0)=1，当m=0时，f(x)=1+x 2，此时f(x)在[–1,1]上的最大值是2，所以此时|f(x 1)–f(x 2)|≤e–1． 当m≠0时，f(–1)=e –m +1+m ，f(1)=e m +1–m ．令g(m)=f(1)–f(–1)=e m –e –m –2m ，∵g'(m)=e m +e –m –2≥0，∴g(m)=f(1)–f(–1)=e m –e –m –2m 在R 上单调递增． 而g(0)=0，所以m>0时，g(m)>0，即f(1)<f(–1)．∴m<0时，g(m)<0，即f(1)<f(–1)． 当m>0时，|f(x 1)–f(x 2)|≤f(1)–1=e m –m≤e–1，∴m≤1；当m<0时，|f(x 1)–f(x 2)|≤f(–1)–1=e –m +m≤e –m –(–m)≤e–1，∴–m≤1，∴–1≤m≤0． 所以，综上所述m 的取值范围是[–1,1]． 22、(1)如图所示，连接OE ，OF ，则OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，即∠AEO=∠AFO=90°．∵OE=OF ，∴∠OEF=∠OFE ，∴∠AEF=90°–∠OEF ，∠AFE=90°–∠OFE ，即∠AEF=∠AFE ．∵∠AEF+∠AFE+∠EAF=180°，∴∠AEF=∠AFE=12(180°–∠EAF)．∵△ABC 是等腰三角形，∴∠B=∠C=12(180°–∠BAC)，∴∠AEF=∠AFE=∠B=∠C ，∴EF ∥BC ． (2)设⊙O 的半径为r ，∴AG=r ，OA=2r ．在Rt △AEO 中，∴AE 2+EO 2=AO 2．∴(23)2+r 2=(2r)2，解得r=2．在Rt △AEO 中，sin ∠OAE=OE OA =r 2r =12．∴∠OAE=60°，∵∠OAE=∠OAF=12∠EAF ，AE=AF ，∴∠EAF=2∠OAE=60°，∴△AEF 、△ABC 是等边三角形．连接OM ，∴OM=2．∵OD ⊥MN ，∴MD=ND=12MN=3．在Rt △ODM 中，OD=OM 2–MD 2=22–(3)2=1，∴AD=OA+AD=4+1=5．在Rt △ADB 中，AB=AD cos ∠BAD =5cos30°=1033．∴四边形EBCF 的面积为S △ABC –S △AEF =34×(1033)2–34×(23)2=1633．23、(1)将曲线C 2，C 3化为直角坐标系方程C 2：x 2+y 2–2y=0，C 3：x 2+y 2–23x=0．联立⎩⎨⎧x=0y=0或(0,0)，(32,32)．(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ，其中0≤α<π．∵A 的极坐标为(2sinα,α)，B 的极坐标为(23cosα,α)．∴|AB|=|2sinα–23cosα|=4|sin(α–π3)|． 当α=5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4．24、(1)由题意可得(a+b)2=a+b+2ab ，(c+d)2=c+d+2cd ，∵ab>cd ，∴ab>cd ，而a+b=c+d ， ∴(a+b)2>(c+d)2，即a+b>c+d ．(2)a+b>c+d ，即a+b+2ab>c+d+2cd ，∴ab>cd ，∴ab>cd ，∴–4ab<–4cd ，∴(a+b)2–4ab<(c+d)2–4cd ，∴(a –b)2<(c –d)2，∴|a –b|<|c –d|．。