高三一轮复习教案

导数与函数的单调性、极值

复习目标：

1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)。

2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)。

【梳理自测】

一、函数的导数与单调性

1．(教材改编)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上是()

A．增函数

B．减函数

C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减

D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增

2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是()

A．(0，1)B．(1，＋∞)

C．(－∞，1) D．(－1，1)

3．(教材改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．

4．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】1.A 2.A 3.(－1，11) 4.[－3，＋∞)

◆以上题目主要考查了以下内容：

在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.

f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)为增函数；

f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)为减函数．

二、函数的导数与极值

1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()

A．2 B．3

C．4 D．5

2．(教材改编)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．

【答案】1.D 2.2

◆以上题目主要考查了以下内容：

(1)判断f(x0)是极值的方法：

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x 0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么

f(x 0)是极大值；

②如果在x 0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么

f(x 0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤：

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．

【指点迷津】

1．一个方程

求函数y ＝f(x)的极值点，先解方程f′(x)＝0的根．

2．两个条件

(1)f′(x)＞0在(a ，b)上成立是f(x)在(a ，b)上单调递增的充分条件．

(2)对于可导函数f(x)，f′(x 0)＝0是函数f(x)在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．

3．三个步骤

求函数单调区间的步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x 的范围．

当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．

考向一 利用导数研究函数的单调性

例一： (2014·湖北省八校联考)已知函数

f(x)＝(x ＋a)2－7b ln x ＋1，其中a ，b 是常数且a≠0.

(1)若b ＝1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；

(2)当b ＝47

a 2时，讨论f(x)的单调性． 【审题视点】 (1)当x ＞1时，f′(x)≥0恒成立，求a 的范围．

(2)讨论a ＞0和a ＜0时，f(x)的单调性．

【典例精讲】 (1)∵b ＝1，∴f(x)＝(x ＋a)2－7ln x ＋1，

∴f′(x)＝2x ＋2a －7x

. ∵当x ＞1时，f(x)是增函数，

∴f′(x)＝2x ＋2a －7x

≥0在x ＞1时恒成立． 即a≥72x

－x 在x ＞1时恒成立． ∵当x ＞1时，y ＝

72x －x 是减函数， ∴当x ＞1时，y ＝

72x －x ＜52，∴a≥52

. (2)∵b ＝47

a 2， ∴f(x)＝(x ＋a)2－4a 2ln x ＋1，x ∈(0，＋∞)．

∴f′(x)＝2x 2＋2ax －4a 2x ＝2（x －a ）（x ＋2a ）x

. 当a ＞0时，f′(x)＞0，得x ＞a 或x ＜－2a ，

故f(x)的减区间为(0，a)，增区间为(a ，＋∞)；

当a ＜0时，f′(x)＞0，得x ＞－2a 或x ＜a ，

故f(x)的减区间为(0，－2a)，增区间为(－2a ，＋∞)．

【类题通法】 (1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)直接得到单调递增(或递减)区间．

(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0([或f′(x)≤0]，x ∈(a ，b)]恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．

1．(2014·山东名校联考)已知函数f(x)＝3x a

－2x 2＋ln x ，其中a 为常数且a≠0. (1)若a ＝1，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间[1，2]上为单调函数，求a 的取值范围．

【解析】(1)当a ＝1时，f(x)＝3x －2x 2＋ln x ，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝1x

－4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－（4x ＋1）（x －1）x

(x ＞0)， 当x ∈(0，1)时，f′(x)＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上单调递增；

当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．

所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

(2)由题易得f′(x)＝3a －4x ＋1x

(x ＞0)， 因为函数f(x)在区间[1，2]上为单调函数，

所以在区间[1，2]上，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，