双曲线中的焦点三角形性质整理

双曲线中焦点三角形面积公式推导

双曲线中焦点三角形面积公式推导在数学中，双曲线是一种重要的曲线，它具有许多独特的性质和应用。

其中，双曲线中焦点三角形的面积公式推导是一个非常有趣且富有深度的数学问题。

在本文中，我将围绕这个主题，深入探讨双曲线的基本性质，并逐步推导出双曲线中焦点三角形的面积公式。

1. 双曲线的基本性质双曲线是平面上一类重要的曲线，其定义是一组点的集合，满足到两个给定点的距离之差为常数的性质。

可以用以下方程来表示一个标准的双曲线：\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a、b为正实数。

2. 双曲线的焦点和准线双曲线有两个焦点，分别记作F1和F2，它们的坐标可以通过双曲线的方程求解得到：\[F_1 = (-c, 0), F_2 = (c, 0)\]其中c为双曲线的一半焦距，即c=\sqrt{a^2 + b^2}。

3. 双曲线中焦点三角形面积公式推导我们假设双曲线上有一点P(x, y)，连接点P与双曲线的两个焦点F1和F2，可以得到焦点三角形FPF1和FPF2。

我们可以求出FPF1和FPF2两条边的长度。

由于双曲线的性质，我们可以利用双曲线的方程和点到直线的距离公式来计算两条边的长度。

利用三角形的面积公式S=1/2*底*高，我们可以得到焦点三角形的面积。

4. 个人观点和理解通过对双曲线中焦点三角形面积公式的推导，我们不仅可以加深对双曲线性质的理解，还可以锻炼数学推导的能力。

双曲线作为重要的数学对象，在几何、微积分等各个领域都有广泛的应用。

深入理解双曲线的性质对于后续的数学学习和应用具有重要意义。

总结回顾通过本文的介绍和推导，我们深入探讨了双曲线中焦点三角形的面积公式。

首先我们了解了双曲线的基本性质和定义，然后介绍了双曲线的焦点和准线的概念。

我们以推导的方式得到了双曲线中焦点三角形的面积公式，并进行了总结回顾。

在学习数学的过程中，深入理解数学概念的推导过程和数学原理是至关重要的。

双曲线焦点三角形内心的性质与应用

设犉１犇＝犉１犎＝犿，犉２犇＝犉２犈＝狀，犘犈＝犘犎＝狆，内切圆的半径为狉，结合双曲线的定义及圆的切线长性质，可得犘犉１－犘犉２＝
犉１犇－犉２犇＝犿－狀＝２犪．而犉１犉２＝犉１犇＋犉２犇＝犿＋狀＝２犮，可求
得犿＝犮＋犪，狀＝犮－犪．
教学
２０２０年２月解法探究
参谋
双曲线焦点三角形内心的性质与应用
? 福建省平和第一中学赖平民
众所周知，圆锥曲线一直是高中数学中的重点和难点之一，备受关注．圆锥曲线中，往往交汇着代数与几何，既有“数”又有“形”，既有“动”又有“静”，是各方面知识融合与交汇的场所，要求有较强的综合能力与应变能力，是考查数学能力，体现选拔功能的主阵地之一．下面结合一个双曲线焦点三角形内心的两个性质加以展现、证明，并结合实际加以巧妙应用．
犉１、犉２分别为双曲线犆的左、右焦点，△犘犉１犉２的内切圆的圆心为犐，设直线犐犉１，犐犉２的斜率分别为犽１，
犽２，则犽犽１２＝
．
分析：结合题目条件中给出的双曲线犆的离心
率，直接根据性质２中双曲线的焦点三角形内心的性
一、性质展现
【性质１】已知犘
为双曲线犆：狓犪２２
狔２－犫２
＝１（犪
＞０，
犫＞０）上的任意一点，犉１、犉２分别为双曲线犆的左、右
焦点，△犘犉１犉２的内切圆的圆心为犐，则点犐必在直线
狓＝±犪上．
图１
证明：根据对称性，不失一般性，假定犘为双曲线犆右支上的任意一点，如图１所示，设 △犘犉１犉２的内切圆的圆心犐在对应三边上的投影分别为犇、犈、犎．

双曲线焦三角形的若干性质

于两圆半径之差，和００内切证毕．故０
目】
固２
图
性质２双曲线焦三角形的内切圆必切实轴于距离较短焦半径较近的那一个端点证明如图３设内切圆切ＦＦ，．Ｐ分别于＾，．，ｌ１ｌｌｌＩｌ — ｌＢｌｌＰｌＰ＝，Ｉ２ＦＰ．ｃ则，＝Ｉ＝ＰｌＰ＝Ｆ。 —ｌＣｌＦＦｌＰｌ１一（ｌｃＩ＝ｌＰｌＰ＋ｌＡｌ２＋ｌ：． —Ｉ）Ｆ． —ＩＦＩ＝ＤＦＡ１于是ｌ。 —ｌＡｌ２，＾为双曲线的顶点．ＦＡｌ＝ａ故在非扳限状态下．我们假定ｌＰＩＦＰｌ从而＾为实轴的距离较短焦半径较近的那一个端点．焦三角形的极限状态＞ｌ，在下，内切圆为点圆，其即非焦顶点，正为双曲线实轴的一个端点．其命题显然也成立证毕双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与实轴所在直线的交点分别称为焦内点．外点焦性质３双曲线焦三角形中，焦外点到一焦点之距离与该焦点为端点的焦点半径之比为双曲线的离心率证明如图４为双曲线三角形的非焦顶点的外角平分线，为焦外点，，由外角平分线性质及等比定理有
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４
第２０卷
第３期
黔东南民族师范高等专科学技学报
Ｊｕａｏ￣ｕｈａｔｏｒｌｆｎｔｅａＧｚ。ａ０ＴｔｈｒＢＣｌｇ｜ｕｌ ⅡⅡ ｅｅｏｌｅｅ
ｖ０．０Ｎｏ．１２３
推论２双曲线三角形中，半焦距、内点与双曲线中心的连线段，焦焦外点与同侧焦点连线段，内点与同侧焦点的焦连线段成为比倒线段性质６双曲线焦三角形中过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线双曲线中心与垂足莲线必与另一焦半则径所在直线平行证明

双曲线经典知识点总结

双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y 同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。

（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用

椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用
吴爱龙;黄园军;徐招平
【期刊名称】《中学生数理化：高二数学、高考数学》
【年(卷),期】2017(0)14
【摘要】椭圆或双曲线的两个焦点与曲线上的一点为顶点组成的三角形称为焦点三角形,焦点三角形涉及圆锥曲线的定义,具有许多性质。

下面介绍其一个有趣性质,然后举例说明该性质的应用。

【总页数】2页(P9-9)
【关键词】焦点三角形;双曲线;性质;应用;椭圆;圆锥曲线;举例说明;顶点
【作者】吴爱龙;黄园军;徐招平
【作者单位】江西省丰城中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质 [J], 王元明
2.椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质 [J], 王元明
3.椭圆与双曲线焦点三角形的一个斜率性质 [J], 刘才华
4.椭圆与双曲线焦点三角形角平分线的一个性质 [J], 刘才华[1]
5.椭圆与双曲线焦点三角形的一个斜率性质的推广 [J], 刘刚
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双曲线焦点三角形内心的性质及其应用

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焦点三角形的美妙性质

焦点三角形的美妙性质焦点三角形的性质，都和焦点三角形的内外角平分线有着紧密联系，同时，又都和圆锥曲线的定义密切相关。

由椭圆和双曲线的定义的相似，我们看出，他们的性质也异常相似！在焦点三角形的统一下，他们的性质和谐地完美着！1 定义椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。

2 性质焦点三角形有以下一系列美妙性质：2.1 椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S= b2tan θ 2 ，双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S=b2cot θ 2 ，其中，θ=∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。

以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，a2=b2＋c2，由余弦定理有：4c2=(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|) 2 -2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4a2－4c2= 4(a2-c2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1+cosθ ，∴焦点三角形的面积S= 1 2 |PF1||PF2|sinθ= b 2 sinθ 1+cosθ =b2tan θ2 (∵sinθ1+cosθ =tan θ 2 )对双曲线，则有：|PF1|－|PF2|=±2a，|F1F 2 |=2c，a2＋b2=c2，由余弦定理有：4c 2 =(2c)2= |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|) 2 ＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a) 2 ＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4c2－4a2=4(c2－a2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1－cosθ ，∴焦点三角形的面积S=1 2 |PF1||PF2|sinθ=b 2 sinθ 1－cosθ =b2cot θ 2 (∵sinθ 1+cosθ =cot θ 2 )2.2 对椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆。

椭圆与双曲线焦点三角形面积的两个性质

２
槡
２２２ｂ＋ｃｔａｎ θ ＝．２ｂｔａｎ θ 由圆锥曲线统一定义知
ｒｃｓａ，ｒｃｓａ，ｅｃｅｃ θ＋ θ－１＝２＝２２２２２２）则ｒｒｃ（ａ＝ｂ＋ｃｔ１＋－ｔａｎθ ａｎ θ，１２＝ｒｒ所以Ｒ＝１２２ｂｔａｎ θ ｂｔａｎ θ）由三角形内心坐标公式知Ｉ（ａ，．１＋ｓｅｃ θ
ｓｓｉｎｉｎ α α 故ｔ＝ａｎ α＝２ｃｏｓ α 槡１－ｓｉｎ α ＝
ｃｓｃｉｎ θ ＝ｓｉｎ θ．２２２２ｂｂｃａｓｃｓｏｓｉｎθ－ｉｎθ θ＋槡
２２
ｒ１＋ｅ由 ① 知ｔａｎ α＝ｂ１－ｅ
槡
④
槡（
ｂ－ｃｓｉｎθ ＝２ｂｓｉｎ θ
２
２
２
）
２
最后分母用均值不等式得
２８１＋ｅｅ时取等当ｒ＝１－ＲＳ≤ ｒ．．ｅｂ１＋ｅ性质１证毕．
数学通报２０１７年第５６卷第４期ｔａｎ θ 得ｒ＝ｂ１＋ｓｅｃ θ （ｒＲ１＋ｓｅｃｒ ⑤ 与 ⑥ 式相乘得ｒ θ）１２＝２由 ⑥ 两边平方整理得２２２２（２＋２＝ｒｂｔｓｅｃｔａｎａｎ θ＋ θ） θ， ⑥ ⑦
（
）
槡Байду номын сангаас
槡
ｂｃ－ａｓｓｃ）ｅｃｅｃ θ（ａ θ＋，ｘ－ａｎ θ＝ｙ－ｔ２ｔ２ｂａｎ θ
２２２ｃｔｂａｎ θ－），故令ｘ＝０知Ｗ（０，２ｂｔａｎ θ ２２２２）（ｃｔｂａｎ θ－２得Ｒ＝ＷＦ２＝ｃ＋２２４ｂｔａｎθ

秒杀题型焦点三角形(椭圆与双曲线)

2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。

秒杀题型一：性质：1.周长为定值：2()a c +。

2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。

类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。

)。

1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C 1323=+m y x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是()A.(][)+∞,91,0 B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则tan 60ab≥= ,即≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab ≥= ,≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0 ,选A.秒杀题型二：3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。

1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =.【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94tanb 22==b π，3=∴b 。

〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22195x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积.【解析】：由椭圆定义及余弦定理得：533。

双曲线焦点三角形

物理学中的应用
• 物理学应用
• 双曲线焦点三角形可以用于描述天体运动中的轨道问题
• 双曲线焦点三角形可以用于求解带电粒子在电磁场中的运动轨
迹
双曲线焦点三角形在
地理学中的应用
• 地理学应用
• 双曲线焦点三角形可以用于描述地表物体之间的位置关系
• 双曲线焦点三角形可以用于求解地理问题中的距离和角度问题
求解技巧
• 利用双曲线的对称性，简化求解过程
• 结合双曲线的参数，灵活运用公式
双曲线焦点三角形的极坐标系求解法
极坐标系求解法
求解技巧
• 通过双曲线的标准方程，将双曲线上的点转换为极坐标
• 利用双曲线的对称性，简化求解过程
系中的点
• 结合双曲线的参数，灵活运用公式
• 通过三角形的边长和角度关系，求解双曲线焦点三角形
与抛物线的对比
• 抛物线具有一个焦点，双曲线具有两个焦点
• 抛物线关于对称轴对称，双曲线关于两个焦点对称
02
双曲线焦点三角形的基本概念
双曲线焦点三角形的定义与构成
双曲线焦点三角形的定义
双曲线焦点三角形的构成
• 以双曲线的两个焦点为顶点的三角形
• 三个顶点分别为双曲线的两个焦点和一个动点
• 双曲线上的任意一点与两个焦点构成的三角形
双曲线焦点三角形在工程领域
的应用实例
• 工程领域应用
• 双曲线焦点三角形可以用于求解工程结构中的应力分布问题
• 双曲线焦点三角形可以用于描述通信网络中的信号传播路径
CREATE TOGETHER
谢谢观看
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DOCS
\frac{1}{2}ab\sin C$

双曲线焦点三角形的几何性质

双曲线焦点三角形的几何性质Revised as of 23 November 2020双曲线焦点三角形的几个性质在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为12222=-by a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =∆特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =∆性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。

性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。

证明：设双曲线12222=-by a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A||||||||||||||||||212121AF AF BF CF PF PF -=-=-a AF AF a PF PF 2||||||,2||||||2121=-∴=-所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22ba k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。

]arctan ,0[ba 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =|||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF当点P 在双曲线右支上时，有112cot 2tan +-=e e βα 当点P 在双曲线左支上时，有112tan 2cot +-=e e βα。

(完整版)双曲线经典知识点总结

双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。

（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

高三数学二轮复习冲刺：双曲线焦点三角形的十大应用

双曲线焦点三角形的十大结论一．基本原理本节中约定已知双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a 如图，顶点),(00y x P 在第一象限，.),(,212112γβαβα=∠>=∠=∠PF F F PF F PF 对于双曲线焦点三角形，有以下结论：1.如图，1F 、2F 是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2b S θ=.证明：由余弦定理可知2221212122cos F F MF MF MF MF θ=+-⋅．由双曲线定义知||21||||2MF MF a -=，可得222122124MF MF MF MF a+-⋅=所以2221424c MF MF a =⋅+-2121222cos 1cos b MF MF MF MF θθ⋅⇒⋅=-则22221222sincos 112sin 22sin cot 221cos 22sin tan 22i MF b b b S MF MF b θθθθθθθθ∆⋅=⋅⋅=⋅===-．2.如图，有γcos 12221-=⋅nPF PF ，cn y p 2cot 2γ=3.离心率βαβαβαγsin sin )sin(sin sin sin 22-+=-===a c a c e .4.若21PF PF λ=，则有222)11(21c m n S PF F --+=∆λλ.5.若λ=OP ，则有2221m n S PF F -=∆λ.6.焦半径公式：如图，对于双曲线，a ex PF a ex PF -=+=0201,，对双曲线，其焦半径的范围为[)+∞-,m c .7.双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为)0,(≠<<-=y b y b a x .证明：设内切圆与1212,,PF PF F F 的切点分别为,,M N T ，则由切线长定理可得1122,,PM PN F M FT F N F T ===,因为1212122PF PF F M F M F N F T a -=-=-=，12122F F FT F T c =+=，所以2F T c a =-，所以点T 的坐标为(,0)a ，所以点I 的横坐标为定值a .8.如图，直线)0(≠=k kx y 与双曲线)0(1:2222>>=-b a by a x C 交于B A ,两点，C 的左右焦点记为F F ,'，则BF AF '为平行四边形.结论9.已知具有公共焦点21,F F 的椭圆与双曲线的离心率分别为P e e ,,21是它们的一个交点，且θ221=∠PF F ，则有1)cos (sin (2221=+e e θθ.证明：依题意，在21PF F ∆中，由余弦定理得θ2cos 2212221221⋅⋅-+=PF PF PF PF F F )sin (cos 222212221θθ-⋅⋅-+=PF PF PF PF ()()22122212cos sin PF PF PF PF -++=θθ，所以1)(cos )(sin 221212221212=-⋅++⋅F F PF PF F F PF PF θθ，即1)cos ()sin (2221=+e e θθ.结论10.如图，过焦点2F 的弦AB 的长为t ，则1ABF ∆的周长为t m 24+.二．典例分析例1．已知12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，P 在双曲线上，若12F PF 的面积是1，则12PF PF ⋅的值是__________．解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：22,cotcot 122F PF S b θθ∆=⋅==，所以452θ︒=，即90θ︒=．所以12PF PF ⊥ ，从而120PF PF ⋅=．例2．已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF PF ⋅=（）A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由双曲线焦点三角形面积公式得：222,60cot 1cot 22F PF S b θ︒∆===1212113sin 60222PF PF PF PF ︒⋅=⋅⋅所以124PF PF ⋅=．故选B ．例3已知12,F F 为双曲线22:12x C y -=的左、右焦点，点()00,M x y 在C 上，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（）A．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B．,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭解析：由题意知12(F F ，且220012x y -=，即22022x y =+，所以())222120000000,,3310MF MF x y x y x y y ⋅=-⋅-=+-=-<，解得033y -<<，故选A ．例4.已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.解析：由焦点三角形面积公式，1223tan 30tan2PF F b S θ===︒.例5.已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.解析：记12F PF θ∠=，则22212222cos sin 1tan 1222cos cos 3cos sin 1tan 222F PF θθθθθθθ--∠====++，所以21tan 22θ=，由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而tan 2θ=，故122tan2PF F b S θ== .例6.已知1F 、2F 是双曲线22:13y C x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上的一点，12120F PF ∠=︒，则1PF =________.解析：由焦点三角形面积公式，1223tan 60tan2PF F b S θ===︒，又121212121sin 2PF F S PF PF F PF PF =⋅⋅∠=⋅ 12PF ⋅=故124PF PF ⋅=，由双曲线定义，122PF PF -=，解得：11PF =例7.（1）双曲线()0,012222>>=-b a b y a x ,过焦点1F 的直线与该双曲线的同一支交于A 、B 两点,且m AB =，另一焦点为2F ,则2ABF ∆的周长为（）A.a 4 B.m a -4 C.ma 24+ D.ma 24-（2）设1F 与2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足︒=∠9021PF F ,则21PF F ∆的面积是（）A.1B.25 C.2D.5例8．如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F '，右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足60F AF '∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是__________.解析：由条件可得2BF BF AF AF a ''-=-=，3BF AF =，BF AF '=，则=AF a ，3BF a =，3AF a '=，所以在F AF '△中，2222cos FF AF AF AF AF F AF ''''=+-⋅⋅∠，即222214962c a a a =+-⨯，即2247c a =，则c a =，所以双曲线C 的离心率为：c e a ==故答案为：2.例9．如图所示,已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ,双曲线C 的右支上一点A ,它关于原点O 的对称点为B ,满足120AFB ∠=︒,且3BF AF =,则双曲线C 的离心率是______.解析：设双曲线的左焦点为F ',连接AF ',BF ',根据双曲线的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形，由题意以及双曲线定义，可得32BF AF AF AF AF AF a '-=-=-=,则=AF a ,3BF a =,60F AF '∠=︒,所以2222cos FF AF AF AF AF F AF ''=-⋅∠'⋅'+,即222214962c a a a =+-⨯,即2247c a =，所以双曲线C 的离心率为:c e a ==故答案为：2.例10．如图，A ，B 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的两点，F 是双曲线的右焦点.AFB△是以F 为顶点的等腰直角三角形，延长BF 交双曲线于点C .若A ，C 两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.解析：设左焦点为1F ，连接11,CF AF ，依题意：AFB △是以F 为顶点的等腰直角三角形，A ，C 两点关于原点对称，结合双曲线的对称性可知：四边形1AFCF 是矩形，所以12AC F F c ==，设BF m =，则11,2AF CF m AF CF m a ====-，12,2,22AB m BF a m BC m a ==+=-，由2221122211AF AF FF CF BC BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()()()()22222222222m a m c m m a a m ⎧-+=⎪⎨+-=+⎪⎩，整理得3m a =，22222210109104,,42c c a a a c a a +====.故答案为：102例11．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆和双曲线交于点P ，12||||PO F F =，椭圆和双曲线的离心率分别是1e 、2e ，那么221211e e +=__________（点O 为坐标原点）．解析：设椭圆的长半周长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，它们的半焦距都为c ，并设12,PF m PF n ==，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得122,2m n a m n a +=-=，在1POF ∆中，由余弦定理得22211112cos PF OF OP OF OP POF =+-∠，即2221422cos m c c c c POF =+-⨯∠在2POF ∆中，由余弦定理得22222222cos PF OF OP OF OP POF =+-∠，即2221422cos n c c c c POF =+-⨯∠又由12POF POF π∠=-∠,两式相加，则22210m n c +=，又由()2222212222m n m n mn a a +=+-=+，所以222222121222105a a c a a c +=⇒+=，所以2212225a a c c +=，即2212115e e +=.例12.双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足1235PF PF =，则点P 的坐标为_______.解析：由题意，1a =，b =2c =，2e =，由焦半径公式，1021PF x =+，2021PF x =-，因为1235PF PF =，所以00321521x x +=-，解得：02x =或18（舍去）代入双曲线的方程可求得03y =±，所以P 的坐标为()2,3±.例13.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，双曲线222222:12x y C b a b -=-，1F ，2F 为2C 的焦点，P 为1C 和2C 的交点，若△12PF F 的内切圆的圆心的横坐标为1，1C 和2C 的离心率之积为83，则实数a 的值为（）A．3B．4C．5D．6解析：不妨设点P 在第一象限，设 12PF F 的内切圆的圆心为I ，且与1PF ，2PF ，12F F 的切点为M ，N ，K ，可得||||PM PN =，2211,F K F N MF F K ==，由双曲线的定义可得122PF PF b -=，即有122F K F K b -=，又122F K F K c +=，可得1F K c b =+，可得内切圆的圆心I 的横坐标为1b =，1C 和2C 的离心率之积为83，可得11813a =解得3a =，故选：A ．。

双曲线焦点三角形面积结论

双曲线焦点三角形面积结论简介本文将探讨双曲线焦点三角形面积的结论。

首先，我们将介绍双曲线的定义和性质，然后探讨焦点三角形的定义和性质，最后给出双曲线焦点三角形面积的结论。

双曲线的定义和性质双曲线是平面解析几何中的一种曲线，它是由距离于两个固定点的距离差的绝对值等于常数的点构成的集合。

双曲线有两个分支，分别称为左支和右支。

双曲线的方程可以表示为：x 2a2−y2b2=1，其中a和b是正实数，分别为左右焦点到原点的距离。

双曲线的中心位于原点，两个焦点的坐标分别为(c,0)和(−c,0)，其中c=√a2+b2。

双曲线具有许多重要的性质，包括： - 双曲线的渐近线是直线y=±bax； - 双曲线的参数方程为x=acosht和y=bsinht，其中t是参数； - 双曲线的切线方程为x a −ybcotα=1，其中α是曲线上某点的切线与x轴正方向的夹角；焦点三角形的定义和性质焦点三角形是由双曲线上一点与其两个焦点所构成的三角形。

焦点三角形在研究双曲线的性质中具有重要的作用。

设双曲线上一点的坐标为(x0,y0)，该点到两个焦点分别的距离分别为d1和d2，则焦点三角形的面积为S=12d1d2sinθ，其中θ为焦点三角形两边夹角。

焦点三角形的性质包括： - 焦点三角形的内心即为曲线上点与两个焦点连线的垂直平分线的交点； - 焦点三角形的外心即为曲线上点与两个焦点连线的中垂线的交点； - 焦点三角形的重心即为曲线上点与两个焦点连线的中点； - 焦点三角形的垂心即为曲线上点关于两个焦点连线的垂线的交点；双曲线焦点三角形面积的结论根据焦点三角形的定义和性质，我们可以得出双曲线焦点三角形面积的结论。

设曲线上一点的坐标为(x0,y0)，该点到两个焦点的距离分别为d1和d2，则焦点三角形的面积为S=12d1d2sinθ。

根据双曲线的方程x 2a2−y2b2=1，我们可以计算出点到两个焦点的距离d1和d2为：d1=√(x0−c)2+y02d2=√(x0+c)2+y02根据双曲线的切线方程xa −ybcotα=1，我们可以得到曲线上点的切线与x轴正方向的夹角θ为：tanθ=bcotαa=bacotα=batan(π2−α)因为sinθ=sin(π2−α)=cosα，所以焦点三角形的面积可以表示为：S=12d1d2sinθ=12√(x0−c)2+y02√(x0+c)2+y02cosα综上所述，双曲线焦点三角形面积的结论为：S=12√(x0−c)2+y02√(x0+c)2+y02cosα总结通过对双曲线和焦点三角形的定义和性质的介绍，我们得出了双曲线焦点三角形面积的结论。

双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明

点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点（四）双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径MF 2为直径的圆的半径为r 1，圆心为O 1；以MF 1为直径的圆的半径为r 2，圆心为O 2，由双曲线定义知12||||||MF MF AB =+∴112111||||(||||)22OO F M M F AB r a ==+=+，∴圆O 1与圆O 外切又12||||||MF AB MF -=∴221211||||(||||)22OO F M M F AB r a ==-=-，∴圆O 2与圆O 内切（五）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b +=.证明：设交点0012(,),(,),(,)S x y P m n P m n -∵111P A A SK K =，222P A P S K K =，∴0220000222200000y n m a x ay y y n n n y m a m a x a x a a m x a n m a x a ⎧=⎪++-⎪⇒⋅=⋅⇒=⎨+-+----⎪=⎪--⎩又222222222222211m n n m n b a b b a a m a-=⇒=-⇒=--，∴22220002222201y x y b x a a a b =-⇒+=-即22221x y a b+=（六）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.证明：求导可得：202220220'x b x y y y a b y a '⋅-=⇒=，切线方程2000002220()1x b x x y yy y x x y a a b-=-⇒-=（七）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外，则过P 0作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.证明：设111222(,),(,)P x y P x y ，则过12P P 切线分别为11122:1x x y yl a b -=，22222:1x x y yl a b-=∵0P 在12l l 、上∴1010221x x y y a b +=，2020221x x y y a b+=∴过12P P 方程00221x x y y a b-=（八）AB 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.证明：设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则()22A B A Bx x y y M ++⋅，2222A B A B A B OM ABA B A B A By y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+--又22222222222222A b A AB B A Bx x x y x y y y a b a b a b ---=-⇒=，∴22OM ABb K K a=（九）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.证明：设弦与双曲线交于111222(,),(,)P x y P x y ，中点(,)S m n 122222220112212222222012()()P P POS n y x y x y x x b mb K K m x a b a b y y a na -+-=-⇒====-+22222200m b mb x n a na y ⇒-=-22002222x m y ym n a b a b⇒+=-，即22002222x x y yx y a b a b-=-。

椭圆双曲线知识点总结

椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程:()222210x ya b a b+= >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0) 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；【知识点4】椭圆中的焦点三角形:定义:∣PF 1∣+∣PF 2∣＝2a ∣F 1F 2∣＝2c余弦定理:∣F 1F 2∣2=∣PF 1∣2+∣PF 2∣2-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)面积公式:在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆【知识点5】点(x 0,y 0)与椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的位置关系:点P 在椭圆上⇔2200221x y a b+=点P 在椭圆内部⇔2200221x y a b +< 点P 在椭圆外部⇔2200221x y a b+>【知识点6】直线与椭圆位置关系的判断：① 直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=直线与椭圆相交0>∆⇔ 直线与椭圆相切0=∆⇔ 直线与椭圆相离0<∆⇔② 直线斜率不存在时22221x m x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a+= >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2双曲线知识点【知识点1】双曲线的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a -=【知识点2】双曲线的标准方程焦点在x 轴上双曲线的标准方程: ()222210,0x y a b a b-= >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为：()222210,0y x a b b a-= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b a x y ＝±a b x离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)规律:1.双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)． (3)在双曲线中，离心率22222221c c a b be a a a a+====+ (4)双曲线的离心率e 越接近大,开口越阔.【知识点4】双曲线中的焦点三角形:定义:∣PF 1∣-∣PF 2∣＝±2a ∣F 1F 2∣＝2c余弦定理:∣F 1F 2∣2=∣PF 1∣2+∣PF 2∣2-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)面积公式:在双曲线12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则122tan2F PF b S θ∆=【知识点5】直线与双曲线的位置关系的判断：设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b（1）若0222=-k a b 即a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；（2）若0222≠-k a b 即ab k ±≠时，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆①0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点； ②0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点； ③0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；【知识点6】弦长公式:│AB │=2221212121||1()4k x x k x x x x +⋅-=+⋅+-⋅21ka∆=+， 12211AB y y k ==+-211k a∆=+ （其中k 为直线斜率）【知识点7】中点弦问题（点差法）：遇到弦中点，两式减一减。

焦点三角形面积公式推导过程

焦点三角形面积公式推导过程
双曲线焦点三角形面积公式：S=b²cot(θ/2)。

双曲线有两个焦点。

焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。

三角形的面积公式
S=1/2PF₁PF₂sinα
=b²sinα/(1-cosα)
=b²cot(α/2)
设∠F₁PF₂=α
双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1
因为P在双曲线上,由定义|PF₁-PF₂|=2a
在焦点三角形中,由余弦定理得
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|²+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
(2c)²=(2a)²+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα
PF₁PF₂=[(2c)²-(2a)²]/2(1-cosα)
=2b²/(1-cosα)
双曲线焦点三角形性质
1、双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线。

2、双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点。

3、双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切。

4、双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点。

5、双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c 与a-c。

6、双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c。

7、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e。

双曲线知识点与性质大全

【知识梳理】1、双曲线的定义 (1)平面内，到两定点F 1' F 2的距离之差的绝对值等于定长 2a F 1F 2 2a,a 0的点的轨迹称为双曲线，其中两定点F > F 2称为双曲线的焦点，定长 2a 称为双曲线的实轴长，线段 F i F 2的长称为双曲线的焦距•此定义为双曲线的第一定义•【注】Il PF I l —PF 21] =2a= RF ?,此时P 点轨迹为两条射线.(2)平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值 e e 1的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义4、焦半径双曲线上任意一点 P 到双曲线焦点2 2F 的距离称为焦半径.若P(χ3,y °)为双曲线与-笃=1 a,b 0上的任意一点,a bC F ι(p,O) , F 2(c,O)为双曲线的左、右焦点，贝 UIPFIFex o a , ∣PF 2 Fex ) -a ,其中 e .a5、通径2 2过双曲线笃-每=1 a,b 0焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于 A 、B 两点，称线段 AB 为双曲线的通径，a b2 且AB 二红.a6、焦点三角形2 2P 为双曲线冷-每=1 a,b 0上的任意一点，F√-c,0) , F 2(c,0)为双曲线的左右焦点，称PF 1F 2为双曲线的焦点a b双曲线与方程2 双曲线务a 2y 盲2=1 a,b 0的渐近线为笃a2_与=0,即 x _y =0,b 2a b或 y = b X. a【注】22 22①与双曲线 Xy 2-1具有相同渐近线的双曲线方程可以设为 X2 0 ；aba b②渐近线为 y = -b X 的双曲线方程可以设为2 2勺- 0 ；a a b③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同3、渐近线的渐近线.2” ，X 直线I 过M X 0,y 0 y ° =0与双曲线—a2 2 y b 2=1 a,b 0交于A)B 两点，且AMl IBM ，贝直线I 的斜率R AB2b X 0 a y 014、点 P(X ) y) (X 0, y 0)是双曲线2 X 2a2y2 =1 a,b 0上的动点，过 P 作实轴的平行线，交渐近线于 M)N 两点，则PM PN=定值a 2.15、点P(x,y)( X 0 y 驴是双曲线2每=1 a,b 0上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于M)N 两 a bab点，则S O MP N =定值三角形若/F 1PF 2 -V ,则焦点三角形的面积为：S F 1PF 2=b 2cot I .7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b (虚半轴长)9、直线与双曲线的位置关系2 2直线 l : AX By C =O ,双曲线::笃-y 2 =1 a,b . 0 ,则a bl 与】相交=a 2A 2-b 2B 2C 2；l 与〕相切=a 2A 2-b 2B 2=C 2； l 与〕相离=a 2A 2-b 2B 2<C 2.F 2M ∙MP=0,则OM =a ,即动点M 的点的轨迹为χ2 + y 212、双曲线上任意两点的坐标性质2【推广1】直线I 过双曲线X2 ab 2意一点，贝U k Ap k BP =-T ( k AP , k BP 均存在).aA X 1,y 1 ,B X 2,y 2两点，P 为双曲线上的任13、中点弦的斜率A X 1,y 1 ,B X 2,y 2 为双曲线2 2X y—2 - 2=1 a,b ，0上的任意两点，a bX 1 ≠ X 2，2 2 y 1 -y2 2 2 X 1 〜X2b 22・a 【推广2】设直线 ∣1 y =k 1X m m 严0交双曲线2 x_ a2占=1 a,b 0于c 、D 两点，交直线I 2： y =k 2X 于点E ∙若E 为CD 的中点，则k 1k 2b2~ . a=1 a,b 0的焦点三角形的内心的轨迹为10、平行于(不重合)渐近线的直线与双曲线只有一个交点【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为11、焦点三角形角平分线的性质2 2点P(X) y)是双曲线X 2…y 2 =1 a, b 0上的动点，F I , F 2是双曲线的焦点，M a b4条、 3条、2条，或者0条.是.F 1PF 2的角平分线上一点，且2 -器=1 a,b 0的中心，与双曲线交于8、双曲线2 2【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为 x±2y= 0,焦距为10,这双曲线的方程为 ________________________2 2【变式1】若曲线丄 =1表示双曲线，则k 的取值范围是 ___________________________4+k 1-k2 2X V【变式2】双曲线一一L =1的两条渐近线的夹角为4 82 2 2 2【变式4】若椭圆— —=1(m n 0)和双曲线 —=1(a 0, b 0)有相同焦点F l 、F?， P 为两曲线的一个交m na b点，贝U PFIIlPF2 = _________ .【变式5】如果函数y = x-2的图像与曲线C:x 2+ky 2=4恰好有两个不同的公共点，则实数九的取值范围是( )A . [-1,θ}c (-°o, -1]U[0,1) D.[-1,0]U (1,f2X【变式6】直线X =2与双曲线C :-y 2 =1的渐近线交于代B 两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若4OP =aOA ∙ bOB (a,b ∙ R l O 为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是()A.a 2 b 2 _ 2B . a 2 b 2 - 2 C.a 2 +b 2 ≤2 D. a 2 +b 2 ≤ 122 2 2 2【变式3】已知椭圆2X 3m 22 V2 -1和双曲线 5n 22X 2m 2 3n 2=1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为XVVX【变式7】设连接双曲线 — 2 =1与厶 2 =1的四个顶点为四边形面积为S 1,连接其四个焦点的四边形面积为a b ba S ,则勺的最大值为 ________________y 2 --- - ---- - ——-J ——-J9=1的左右焦点，若点P 在双曲线上，且P F w F 2=0 ,则PF ^PF 2=——2 2【变式1】过双曲线—-V 1的左焦点R 的弦AB =：6 ,则.：ABF 2（ F 2为右焦点）的周长为10 92 2【变式2】双曲线χ6绘二1的左、右焦点F 1、F 2，P 是双曲线上的动点，且PF I =9，则PF 2二 ---------------------------------χ2兀例3、设F 1' F 2是双曲线 V 2 =1的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且∙ F 1PF 2,求PF 1F 2的面积.43例4、已知直线y=kx 1与双曲线3x 2 -y 2 =1有A 、B 两个不同的交点，如果以 AB 为直径的圆恰好过原点 O ,试求k 的值•例5、已知直线 ^kX 1与双曲线3x 2 -y 2 =1相交于A B 两点，那么是否存在实数 k 使得A B 两点关于直线X -2y =0对称？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由例2、设F i 、F 2分别是双曲线X 2χ2 y 2例6、已知双曲线1的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率12 4的取值范围为 ____________ .【变式1】已知曲线C ：x 2 —y y =1(χ ≤4)；(1) 画出曲线C 的图像； (2)若直线I : y =kx — 1与曲线C 有两个公共点，求 k 的取值范围;(3)若P(0, P )(P >O ), Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线I : ax-y-1=0与曲线C : χ2-2y 2 =1.(1) 若直线I 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数 a 的取值范围；(2) 若直线I 被曲线C 截得的弦长PQ=2∙,1 ∙a 2 ,求实数a 的取值范围; (3)是否存在实数a ,使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由2 2【变式】P 是双曲线 —1的右支上一点,9 16PM -PNl 的最大值等于 ____________ .例8 已知动圆P 与两个定圆 x -5 2 y 2 =1和x 5 2 y^ 49都外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程x 2例7、已知F 是双曲线一4 2y 12=1的左焦点, A(1,4),P 是双曲线右支上的动点，求PFI +∣ PA 的最小值.M , N 分别是圆 X • 5 j 亠y 2= 4和X - 5 ? ∙ y 2= 1上的点，则【变式1】ABC的顶点为A -5,0 ,B 5,0 , ABC的内切圆圆心在直线x = 3上，则顶点C的轨迹方程是【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为F .. 7,0 ,直线y =x-1与其相交于M 、N 两点，线段MN一 2的中点的横坐标为-3 ,求此双曲线的方程例10、焦点在X 轴上的双曲线 C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点 P （0, .◎）为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线 C 的一个焦点与P 关于直线y=x 对称（1）求双曲线的方程；（2）设直线y = mx 1与双曲线C 的左支交于代B 两点，另一直线l 经过点M （-2,0）及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围•【变式】设直线l 的方程为y =kx -1 ,等轴双曲线C : X 2 - y 2 =a 2右焦点为、、• 2,0 . （1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点 A B ,ffi AB 中点为M ,求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点Q -1,0 ,求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围2例11、已知双曲线C 方程为：X 21.2（1）已知直线x-y ∙m=0与双曲线C 交于不同的两点 A B ,且线段AB 的中点在圆x 2 y 2 = 5上，求m 的值；（2）设直线I 是圆O ： x 2 y^2上动点P （x °,y °）（=0 ）处的切线，I 与双曲线C 交于不同的两点 A 、B ，证明-AOB 的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点 A 、A 2在X 轴上，其渐近线方程是 yX ,双曲线过点P 6,6 . 3(1) 求双曲线的方程；(2) 动直线l 经过 A 1PA 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点 M 、N ,问：是否存在直线I ,使G 平分线段MN , 证明你的结x 2例9、已知双曲线 •一9 2y 16=1 ,若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为论.2例13、已知点F i、F2为双曲线C : X2-爲=1 b 0的左、右焦点，过F?作垂直于X轴的直线，在X轴上方交双b曲线C于点M ,且.MF1F2 =30 .圆O的方程是X2y^b2.(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2 ,求PP1PP2的值；(3)过圆O上任意一点Q X O , y o作圆O的切线I交双曲线C于A、B两点，AB中点为M ,求证C 2 OM.2 2 例14、已知双曲线C : χ2_每=1 a 0,b 0的一个焦点是F2 2,0 ,且b= . 3a .a b(1) 求双曲线C的方程；(2) 设经过焦点F2的直线I的一个法向量为(m,1),当直线l与双曲线C的右支相交于代B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3(X -1)2 - y2 = 3上.(3) 设(2)中直线l与双曲线C的右支相交于A) B两点，问是否存在实数m ,使得一AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由.。