结构位移计算3图乘法
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结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3
6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
结构力学-图乘法
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第2页
等截面直杆AB段 以杆轴为 x 轴，以 M 图的 延长线与 x 轴的交点O为坐 tan 标原点， 沿AB杆段为 常数 M x tan
B
A
M M P ds EI
1 EI
B
MM
A
P
dx
tan EI
B
xM
A
P
dx
tan EI
c
y1
y2
d
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第8页
a
1
2
b
d
y2 c y1
yc
EI 1 EI
图形的纵距a、b 或c、 d不在基线同一侧时。 处理原则也和上面一样， 可分解为位于基线两侧的两 个三角形，分别与另一图形 相乘，然后叠加。
( 1 y 1 2 y 2 )
( 10
2 )( 1 . 5 2 ) 4 2
98 . 84 EI
( )
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第24页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
y5 y 4 y 3
y1 y2
解 （1）作实际状态的 M
P
。
ql 8
2
ql 8
2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第14页
（2）建立虚拟状态，并作
l/2
M
图。
1
（3）进行图形相乘，求C点竖向位移 C y 。
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
静定结构的位移计算-图乘法
这种利用内力图相乘代替积分的方法称为图乘法。
如果两个图形均为直线，则可取其中任一图形面积和 另一图形纵距相乘；如果两个图形都为曲线，则不能用图 乘法。
利用图乘法应注意：
（1）要满足3个条件；
（2）形心的纵距需取自直线图形； （3）正、负号规定：两个内力图在基线同侧时，乘 积为正。
例 1 计算图示结构 C 点转角
FP
FP B
C
0.5EI
a
EI A
a
C
5FP a 2 2EI
(
)
例 2 ：计算图示结构 B 点转角。
A
B
EI
20kN
m 10m40kN
m
B
500 3EI
(
)
当内力图是由迭加得到时，图乘也可用迭加法。
对于两个图形都是梯形的情况（同侧）
1
2
Mp M dx 1 y1 2 y 2
y1
(2c 3
d)
FP
EI
A
C
B
l/2 l/2
例 8： 计算图示结构A点竖向位移
FP＝0.5qL q
A
EI B
L
例 9（课后完成） : 计算图示结构 C点竖向位移 q
A l/2C l/2 B
作业： 5—20、5—23
第五章 静定结构的位移计算
§5-5 图乘法
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件：
（1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图Mp、MK中至少有一个是直线
K
M P M ds Mp M C
EI
EI
(d )
公式（d）的意义在于：当两个内力图形中有一条为 直线时，其积分结果为曲线图形积分段内的面积ω与其形 心相对应的直线图形中纵距的乘积。
图乘法
分析： 分析： 在直杆结构中总是直线。 M在直杆结构中总是直线。 满足上式推导中f(x)的条件 满足上式推导中f(x)的条件 f(x)
y0 o A
MM P 1 ∆ = ∑∫ ds = ωy 0 EI EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院 结构力学教研室 李保德副教授
MM P 1 ds = ∑ ωy 0 ∆ = ∑∫ EI EI
1 1 2 ω 3 = × qL 2 8 3 y3 = L 4
C
B L/2
1 L 1 2 ω1 = × × qL 3 2 8
1 L 1 2 ω 2 = × × y2 = L 6
∆B =
1 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω 3 y3 ) EI
41qL4 = 384 EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
3. 常见图形的面积和形心
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
注意: 注意:
标准抛物线
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
4. 图乘的一般方法
两图均是直线图形，y0可取其中的任一图形
ω
y0
y0
ω
武汉理工大学土木工程与建筑学院
武汉理工大学土木工程与建筑学院
C
B L/2
∆B =
1 ωM P y EI
1 1 2 PL3 = × L × PL × L = EI 2 3 EI
B
MP
或
1 ∆B = ωM y EI
1 1 2 PL3 = × L × L × PL = EI 2 3 EI
M
结构力学教研室
李保德副教授
y0 o A
MM P 1 ∆ = ∑∫ ds = ωy 0 EI EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院 结构力学教研室 李保德副教授
MM P 1 ds = ∑ ωy 0 ∆ = ∑∫ EI EI
1 1 2 ω 3 = × qL 2 8 3 y3 = L 4
C
B L/2
1 L 1 2 ω1 = × × qL 3 2 8
1 L 1 2 ω 2 = × × y2 = L 6
∆B =
1 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω 3 y3 ) EI
41qL4 = 384 EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
3. 常见图形的面积和形心
武汉理工大学土木工程与建筑学院
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注意: 注意:
标准抛物线
武汉理工大学土木工程与建筑学院
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4. 图乘的一般方法
两图均是直线图形，y0可取其中的任一图形
ω
y0
y0
ω
武汉理工大学土木工程与建筑学院
武汉理工大学土木工程与建筑学院
C
B L/2
∆B =
1 ωM P y EI
1 1 2 PL3 = × L × PL × L = EI 2 3 EI
B
MP
或
1 ∆B = ωM y EI
1 1 2 PL3 = × L × L × PL = EI 2 3 EI
M
结构力学教研室
李保德副教授
《结构力学图乘法》PPT课件
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx
tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M ，M P 分为AC、CB两段。16
分块： M P图的AC段分为两块。
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
结构力学位移法
例:求图示悬臂梁C 点的竖向位移。
(a) 54 C MP (c) 24 C 3kN/m (d) 30 3kN/m (b) 4 C M1 3kN/m F =1
4m
2m
6 M P2 C
M P1
解 在C点施加竖向单位力，作出M1图和MP图，再 用图乘法求位移。但图乘结果不能直接得出，需要采用 叠加法， 将MP图分解为MP1和MP2叠加，见图c、图d， 然后令MP1 和MP2 图分别与M1图图乘后再相加。
4. 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
已有基础： 1. 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移；
3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:
kFQ FQds FN FNds MM P ds P EI EA GA
Dy
3 1 FP a 2 2a ( 1 2 2 ) F a 4 F a P ( FP a 2 a ) P () E2 I 2 2 3 E1 A1 3 E2 I 2
例 7. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
解：作荷载和单位荷载的内力图
返回
MP
分解
M
Cy
1 1 ql l 3l 1 ql l [( ) ( l) EI 3 8 2 8 2 8 3 2 ql 2 l ql 4 ( l) ] () 温 3 8 4 128 EI 度
ql 4
ql 2 M 8 2
ql 2 8
解法二、
ql 2 2
ql 2 8
ql 2 2
A
ql 2 32
ql 2 8
1 1 l ql l Cy [( ) EI 2 2 2 3 A 2 1 l ql l ( ) 2 2 8 6 2 4 2 l ql l 17ql ( )] () 3 2 32 4 384 EI
结构位移和刚度—图乘法(建筑力学)
向相同，即铅直向下。
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
结构位移计算-3图乘法
l
h
qh3l () 12EI
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。
C
lq
1
1 1
A
B
ll
Mi 1/l
ql 2 / 4
ql 2 / 4
0
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
CD
yc 1 2ql2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4 ql / 4
例. 试求图示梁B端转角.
A
P B B
EI
l/2
l/2
MP
Pl/ 4
解: B MEMIPds
yc
EI
1 1 l Pl 1 EI 2 4 2
M1
A
B
1
Mi
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结
果为正?
1 Pl 2 ( ) 16 EI
练习： 试求图示梁A端竖向位移. P
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
D
NP P/2
P A
l Cl
2
2
a
B
Ni 1/ 2
D
1 A
l Cl
2
2
a
B
l
MP
Pl
M
4
4
C y E 2 [1 2 ( I2 l P 4 ) 3 2 l 4 l] E 1 1 2 A P 2 a 4 P E 38 l 4 P E I( ) a A
三、图形分解
求 B
05.静定结构的位移计算
3
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构
01-结构位移的计算知识点小结
受力状态是真实的（力未知），利用虚设可能产生的位移状态（位移已知）来求未知力 （支座反力或内力）。
（2）虚力原理 位移状态是真实的（位移未知），利用虚设一平衡力系（力已知）来求位移。 本章是利用虚力原理来求结构的位移。
三、位移计算的一般公式
利用单位荷载法计算结构位移的一般公式为：
k = − F Rici + Mds + F S ds + F N ds
式中， F Ri 、 M 、 F S 、 F N 分别为虚拟单位荷载 F = 1作用产生的支座反力、弯矩、 剪力和轴力；ci 、 、 、 分别为实际位移状态中支座移动、曲率、平均剪切应变和轴向
应变。
采用单位荷载法求结构位移时，要根据所求位移类别的不同，虚设相应的单位力状态，
如表 6-3。
表 6-3 广义位移的计算
其中， du = ds 为微段 ds 相对轴向变形， d = ds 为微段 ds 相对剪切变形， d = ds 为微段 ds 相对转 角 d 。 为轴向伸长或压缩应变， 为平均剪切应变， k 为轴线处弯曲曲率。
变形体系虚功方程式可表示为：
F ii
+
FRi
c i
=
M ds
+
Fs
ds
+
FN ds
4、虚功原理的两种应用形式 （1）虚位移原理
其中各抛物线图形均为标准抛物线。所谓标准抛物线图形，是指抛物线图形具有顶点(顶 点是指切线平行于底边的点)，并且顶点在中点或者端点。
图 6-3 常见图形面积和形心位置 3、分段图乘
若两弯矩图不满足图乘条件，比如一个弯矩图是曲线，另一个弯矩图是由几段直线组成 的折线；或者杆段截面为变截面即 EI 值不相等时，均应先分段图乘，再将各段图乘结果进 行叠加。
（2）虚力原理 位移状态是真实的（位移未知），利用虚设一平衡力系（力已知）来求位移。 本章是利用虚力原理来求结构的位移。
三、位移计算的一般公式
利用单位荷载法计算结构位移的一般公式为：
k = − F Rici + Mds + F S ds + F N ds
式中， F Ri 、 M 、 F S 、 F N 分别为虚拟单位荷载 F = 1作用产生的支座反力、弯矩、 剪力和轴力；ci 、 、 、 分别为实际位移状态中支座移动、曲率、平均剪切应变和轴向
应变。
采用单位荷载法求结构位移时，要根据所求位移类别的不同，虚设相应的单位力状态，
如表 6-3。
表 6-3 广义位移的计算
其中， du = ds 为微段 ds 相对轴向变形， d = ds 为微段 ds 相对剪切变形， d = ds 为微段 ds 相对转 角 d 。 为轴向伸长或压缩应变， 为平均剪切应变， k 为轴线处弯曲曲率。
变形体系虚功方程式可表示为：
F ii
+
FRi
c i
=
M ds
+
Fs
ds
+
FN ds
4、虚功原理的两种应用形式 （1）虚位移原理
其中各抛物线图形均为标准抛物线。所谓标准抛物线图形，是指抛物线图形具有顶点(顶 点是指切线平行于底边的点)，并且顶点在中点或者端点。
图 6-3 常见图形面积和形心位置 3、分段图乘
若两弯矩图不满足图乘条件，比如一个弯矩图是曲线，另一个弯矩图是由几段直线组成 的折线；或者杆段截面为变截面即 EI 值不相等时，均应先分段图乘，再将各段图乘结果进 行叠加。
结构力学图乘法
FN FPb M FQ 状态II FPa
M ds ds EI FN ds ds EA
ds 0
kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：
0 ds FN ds W12 FP M ds FQ FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA
yc
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h AP 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
一、 功的互等定理
功的互等本质上是虚功互等。
下图给出状态I和状态II。
FP1 2 FP
FPa
FPb
A
1 2 a b
a
b
B
A
1 2 B a 1 b 2
所以
即
F F
P P
11 FP 2 FP 2 FPa a FPb b
在任一线性变形体系中，第一状态的外力 在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状 态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。
结构力学-图乘法
实例分析：圆轴扭转内力计算
第一段
M1 = (T1 + T2) × L/2
第二段
M2 = (T2 + T1) × L/2
实例分析：圆轴扭转内力计算
01
4. 比较M1和M2的大小，取较大 者作为圆轴内的最大扭矩。
02
5. 根据扭矩的正负号，绘制扭矩 图。
Part
04
组合变形图乘法
组合变形基本概念及分类
者联系起来，从而求解结构位移。
图乘法适用条件及限制
适用条件Βιβλιοθήκη 01载荷作用下，结构的变形是线性的，即变 形量与载荷成正比。
03
02
结构变形符合小变形假设，即变形量与结构 尺寸相比很小。
04 限制
图乘法只适用于线性弹性问题，对于非线 性问题或塑性变形问题不适用。
05
06
在应用图乘法时，需要保证图形函数的准 确性，否则会影响计算结果的精度。
Part
02
弯曲内力图乘法
弯曲内力基本概念
01
02
03
弯曲内力
指构件在受到外力作用时， 其内部产生的抵抗弯曲变 形的力。
剪力
作用于构件横截面上的内 力，其方向与构件轴线垂 直。
弯矩
作用于构件横截面上的内 力偶矩，其大小等于该截 面左侧或右侧所有外力对 截面形心的力矩之和。
弯曲内力图乘法求解步骤
图乘法优点总结
直观性
图乘法通过图形表示结构 中的力学元素和它们之间 的关系，使得分析结果更 直观，易于理解和解释。
高效性
相较于数值分析方法，图 乘法能够更快地给出结构 分析的近似解，适用于初 步设计和快速评估。
适用性广
图乘法可应用于各种不同 类型的结构，包括静定结 构和超静定结构，具有较 广泛的适用性。
用图乘法计算结构位移
② 分别求作实、虚两种状态的 M P 和 M 图。 作出 M P 和 M 图分别如图10-18b、c 所示。 ③用图乘法求 ΔCy 。
Cy
1 EI
A yc
1 EI
( A1 yc1
A 2 yc2
A3 yc3 )
1 1 ql2 l 3l 1 ql2 l 2 ql2 l
EI
3
8
2
8
【例10-6】试求图10-20a 所示组合结构 D 端的纵向位移 ΔDy。E 2.11011 N/ m2 ，受 弯杆件截面惯性矩 I 3.2 105 m4 ，拉杆BE 的截面面积 A 16 104 m2 。
解：作出实际荷载作用下的弯矩图 M P，并求出 BE 杆轴力，如图10-20b 所示， 在 D 端加一竖向单位力，作出 M 图和杆 BE 轴力，如图10-20c 所示。
2
8
l
3
3
8
l
4
ql4 () 128EI
图10-18
【例10-5】试用图乘法计算图10-19a 所示简支刚架距截面 C 的纵向位移 ΔCy ，B 点的 角位移 φB 和 D、E 两点间的相对水平位移 ΔDE，设各杆 EI 为常数。
解：① 计算 C 点的竖向位移 ΔCy。
作出 MP 图和 C 点作用单位荷载 F = 1 时的 M 1 图，分别如图10-19b 、c 所示。 由于 M 图是折线，故需分段进行图乘，然后叠加。
2. 图乘公式
设图10-14 所示为等截面直杆 AB 段上的两个弯矩图，实际状态弯矩图 (简称
MP 图) 为任意形状 (对于图示坐标)，虚拟状态弯矩图 (简称 M 图)为一段直线， 则 M x tan 。
于是有
KP
B MM P d s 1
Cy
1 EI
A yc
1 EI
( A1 yc1
A 2 yc2
A3 yc3 )
1 1 ql2 l 3l 1 ql2 l 2 ql2 l
EI
3
8
2
8
【例10-6】试求图10-20a 所示组合结构 D 端的纵向位移 ΔDy。E 2.11011 N/ m2 ，受 弯杆件截面惯性矩 I 3.2 105 m4 ，拉杆BE 的截面面积 A 16 104 m2 。
解：作出实际荷载作用下的弯矩图 M P，并求出 BE 杆轴力，如图10-20b 所示， 在 D 端加一竖向单位力，作出 M 图和杆 BE 轴力，如图10-20c 所示。
2
8
l
3
3
8
l
4
ql4 () 128EI
图10-18
【例10-5】试用图乘法计算图10-19a 所示简支刚架距截面 C 的纵向位移 ΔCy ，B 点的 角位移 φB 和 D、E 两点间的相对水平位移 ΔDE，设各杆 EI 为常数。
解：① 计算 C 点的竖向位移 ΔCy。
作出 MP 图和 C 点作用单位荷载 F = 1 时的 M 1 图，分别如图10-19b 、c 所示。 由于 M 图是折线，故需分段进行图乘，然后叠加。
2. 图乘公式
设图10-14 所示为等截面直杆 AB 段上的两个弯矩图，实际状态弯矩图 (简称
MP 图) 为任意形状 (对于图示坐标)，虚拟状态弯矩图 (简称 M 图)为一段直线， 则 M x tan 。
于是有
KP
B MM P d s 1
结构力学图乘法
2、图乘法原理 y
d A =MPdx
A MP
A 面积
形心 C MP图 B
dx
O
x
M xtgα
yC
yC=xCtg
B
A
xC
x
由此可知，计算位移的积分就等于一 个弯矩图的面积A乘以其形心所对应的 另一个直线弯矩图上的竖标yC，再除以 EI，于是积分运算转化为数值乘除运 算，此法即称图乘法。
剪力与轴力项能用图乘法？
3、图乘法求位移的一般表达式
注意：
yc [1].
应取自直线图中。 [2].若 A 与 yc 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值（不是MP与M 图位于杆件同侧或异侧）。 [3]. 如图形较复杂，可分解为几个简 单图形。
二、图乘法步骤 (1) 画出结构在实际荷载作用下的弯 矩图（荷载弯矩图）MP； (2) 根据所求位移选定相应的虚拟力 状态，画出单位弯矩图M(注：M图不标 单位）； (3) 分段计算一个弯矩图形的面积A 及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖 标yC； (4) 将A、yC代入图乘法公式计算所 求位移。
【预习】：静定结构的位计算习题课
解：1、求φA ① 实际荷载作用 下的弯矩图MP如图(b) 所示。 ② 在A端加单位力 偶m=1，其单位弯矩图M 如图(c)所示。
③ MP图面积及其形心 对应M图竖标分别为：
A=2/3*l*1/8*ql2=ql3/12 yC=1/2 ④ 计算φA φA=1/EI*A*yC =1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24 EI
（3）异侧组合
（4）非规则抛物线图形
由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩 图可以看成一个直线弯矩图和一个规 则抛物线图形的叠加 。
MB
建筑工程之结构力学讲义7-3 图乘法
D
A C FP
a
B
l
l
2
2
FN
1 2
D
1 AC
a
B
l
l
2
2
l
MP
FP l
4
Cy
0l
MM P EI
ds
0a
FN FNP EA
ds
M请对计算结4 果 C进y 行4F适8PEl当3I (讨1 论1l！23aAI )
2 [(1 l FPl ) 2 l ] 1 1 FP a FPl 3 FPa
ql 2 8
l) 4
A
q
FQ
ql 2
M ql 2
ql 2 ql 2
8
8
4
(1 l ql 2 l )
ql 2
22 4 3
A
8
(1 l ql 2 3 l )] 17ql 4 ( ) 3 2 8 4 2 384EI
解法二、
ql 2 2
ql 2
ql 2
2
4k
由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为
MMP ds Fk FPk
EI
k
例 5. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
q
A
l2
C l2
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
ql 2
2
ql 2
8
A
C
MP 图
l
2
1
B
A ql 2
M图
2
ql 2
一种算法：
结果正确否？ A
8
B
C
Cy
结构力学图乘法
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
xc
x
Δ
MC
EI
l
x
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h Ap 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
12 y3=4 A
ω2 2m MP图(kN.m)
ω1
4B 4
C
CH 1 EI 1 EI 1 (1 y1 2 y2 3 y3 ) EI 8 32 ( 1.5 2 8 4) 3 3 6.67 (25.33 32) () EI
2
ω3 y2
y1
EI
FP2=M 2
F
Fa/4 1/2 解：
M
a 21 21 / F 16 EI
2
a 12 12 / M 16 EI
2
12 21
例2 验证位移互等定理。
FP1=5kN.m 1 EI 4m 2 1m 1 Δ12 FP2=3kN 2 1m
建筑力学第五章_静定结构位移计算
1）图乘法的应用条件
1、杆件为直杆； 2、各杆段的EI分别等于常数；
形心
ω
A
B
3、M、MP图中至少有一个是直线图形。
y
2）图乘法的计算公式
A
B
Δ
=
Σ
ωi yi EI
为任一弯矩图（直线或曲线均可）的面积
y为面积为的弯矩图图形的形心对应的直线弯矩图的纵坐 标，即y必须在直线图上量取。
公式正负号规定：若与y 在杆件的同一侧时，乘积取正值，
1
二、位移计算的一般公式
虚功和虚功原理
功、广义力、广义位移 物理上定义：W = F·S F—集中力；S—线位移 现在将此式的定义扩大： W = P 式中： W—广义功； P—广义力； — 与P相应的广义位移 功的正负号规定：当力P与相应位移Δ方向一致时，功为正； 两者方向相反时，功为负。
虚功
1、 定义：凡力在其它因素引起的位移上所做的功，称为 虚功。
①增加中间支座
5ql 4 fa 384EI
而
１
fb 38 fa
28
②两端支座内移
如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁， 一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另 一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的 挠度（图c），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的 挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。
MAB A
qL2/8
A
B
MBA
＋
B A
B
qL2/8
A
B
15
C
例1：试用图乘法计算如图所 MP图 A ω1
B
示简支梁跨中截面C的竖向位
移ΔC和B端的角位移φB。EI为
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五、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD。
A
B
h
q
1
q
1
l
ql2 / 8
h h
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc
EI
1 EI
2 ql 2 38
lh
qhl 3 ( ) 12EI
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。
C
lq
EI 20kN m 40kN m
10m
1
Mi
60
20
B
1 EI
(1 2
10 60
2 3
2010 1) 100 ( ) 2 EI
40
B
1 EI
1 2
101 (60
2 3
20)
100 ( ) EI
20
B
1 EI
(1 2
10 60
2 3
2010 1) 100 ( ) 2 EI
三、图形分解
求 B
ql2 / 2 MP A l/2
Mi
q ql2 / 8 l/2C l/2 B
1
c
yc 1 1 l ql2 1 l
EI EI 3 2 2 2
1 ql3 ()
24 EI
C
C
yc 1 (1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l )
MP图
1 M图
练习： 试求图示梁A端截面转角.
A
Ay0 EI
Pl / 2
P
1 (1 l Pl ) 1 (1) 1 Pl2 l/6
EI 2 2 2
8 EI
（顺时针）
1
MP图 1 M图
例. 试求图示梁D端竖向位移. EI=常数。
解: A
ΔAy
Ay0 EI
a m
1 ( 1 a m 2a 1 a m a)
解:
B
MM EI
P
ds
yc
EI
1 1 l Pl 1 EI 2 4 2
M 1
A
B
1
Mi
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结
果为正?
1 Pl2 ( ) 16 EI
练习： 试求图示梁A端竖向位移. P
解:
ΔAy
Ay0 EI
EI
A
l/2
l/2
Pl / 2
P
1 (1 l Pl ) 5 l 5 Pl3 () l/6 EI 2 2 2 6 48 EI l 5l/6
)
()
3 4 8 2 16 2 4 32 3 16 4048 EI
四、图乘法小结
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
二、常见图形的面积和形心位置
b
l/4 l
A 1 bl 3
l/2
l/2
A 2 bl 3
b
b
5l/8 l
A 2 bl 3
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
1
q
A
B
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
MP
ql / 4
Mi
l
1/ 2
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc
EI
1 ( 1 l ql 2 2 l 1 2l ql 2 2 l 2
EI 2 4 3 2 2
4 32 3
2 2 ql 4 ( ) 48EI EI
2l ql 2 1 l ) 8 22
例 4. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
一、图乘法
MM EI
P
ds
1 EI
MM Pds
(对于等 截面杆)
1
EI
MM Pdx (对于直杆)
(M x tan )
1 EI
x
tan
M Pdx
tan
EI
tan
EI
xMPdx
xc
1 EI
yc
图乘法求位移公式为:
ip
yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
EI
l/2
l/2
MP
Pl / 4
1 1 1
A
l
ql2 / 4
B
Mi
l
1/ l
ql2 / 4
0
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
CD
yc 1 2 ql 2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4 ql / 4
ql3
(
24 EI
)
例 3. 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 A 。
q
q
1
l
A ql2 / 4
l/2
l
q
q
A
B
MP
ql2 / 8 EI ql2 / 4
l
ql2 / 8
ql 2
1
4
Mi
B
1 EI
(
2 3
l
ql 2 8
1 2
1 2
lql 2 4来自2 31)ql3 ( ) 24 EI
三、图形分解
求C截面竖向位移 C
q
3ql 2 / 32
A
B
EI
C
MP
ql2 / 8
3l / 4
l/4
P 1
q
3ql 2 / 32
能E用I M2 i图2 面2 积3 乘4
B
l 2
l 2
M12 PP图4l 竖12 标2l 吗12 ?13
Pl 4
)
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
40
A
B
MP 20
EI 2
32
3 a/3
1 ma2 () 6 EI
a 2a/3
m
B a
m
m
a/3
a/3
C a
a
D
MP图 1
M图
例. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
1 (1 Pl l 2 l Pl l l)
EI 2
3
4 Pl 3 () 3 EI
B
1 EI
(1 2
10 20
2 3
10 20 1) 500 ( ) 2 3EI
B
1 EI
1 2
101 (20
20 2) 500 ( ) 3 3EI
当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.
三、图形分解
求 B
A
MP
P Pl / 4
EI
l/2
l/2
B
1 ( 1 l 1 2 Pl
3ql2 / 32 q
3l / 4 q l/4 q
q(3l / 4)2 / 8 3ql 2 / 32
q(l / 4)2 / 8 3ql2 / 32
Mi
3l /16
B
1 EI
(2 3
3l 4
q(3l / 4)2 8
1 2
3l 16
1 3l 24
3ql 2
32
2 3
3l 16
2 l q(l / 4)2 1 3l 1 l 3ql 2 2 3l 19ql 4
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
B
1 EI
(1 2
10 40
2 3
1 10 20 1) 500 ( )
2
3 3EI
20 A
20kN m A
B 40 B 40kN m
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/ 2 2/3