第六节 向心力
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(2)向心加速度仅大小恒定而方向时刻改变，是非匀变速
曲线运动．
第五章
曲线运动
(3)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期运动物 体都要重新回到原来的位置，其运动状态 ( 如 v 、 a 大小及方
向)也要重复原来的情况．
(4)做匀速圆周运动的物体所受外力的合力大小恒定，方 向总是沿半径指向圆心，方向时刻改变．
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第五章
曲线运动
3．质点做匀速圆周运动的条件 合外力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆
心．匀速圆周运动仅是速度的方向变化而速度大小不变的运
动， 所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运 动的物体所受的合外力．
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第五章
曲线运动
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(2) 合外力 F跟圆周切线垂直而指向圆心的分力 Fn，此分 力产生 向心加速度 ，描述速度 方向变化 的快慢．
第五章
曲线运动
2．一般的曲线运动的处理方法 一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小
段，每一小段可看作一小段 圆弧 ，质点沿一般曲线运动时，
可以采用圆周运动的处理方法进行处理．
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第五章
曲线运动
3．求合力：钢球在转动过程中受到重力 mg 和细线拉力 FT，通过测量 半径 和 高度 ．可
r 求出 tan θ＝h，钢球的受力如图所示．钢球所受 合力 F＝
mgtan θ
mgr ＝ h .
4．结论：代入数据后比较计算出的向心力
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或
mgtan θ＝mrω2 a＝ gtan θ
F升cos θ＝mg 2 F升sin θ＝mω r
或
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mgtan θ＝mrω2 a＝ gtan θ
第五章
曲线运动
图形
受力分析
力的分解 方法
满足的方程及向心加速 度
FN＝mg 2 F拉＝mBg＝mω r
向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩 擦力不变
解析：小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，
该力一定指向圆心，而重力和支持力在竖直方向上，它们不 能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力， A、B错误，C正确；由于小强随圆盘转动半径不变，当圆盘
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力与瞬时速度之间的夹角是锐角时，速率增大，当物体受到
的合力与速度之间的夹角是钝角时，速率减小．
第五章
曲线运动
例如：用一细线系一小球在竖直平面内做 变速圆周运动，在向下加速运动过程的某一位 置A和向上减速运动过程的某一位置B，小球的
受力情况如图所示．
比较可知，匀速圆周运动和变速圆周运动 受力情况的不同是：匀速圆周运动中，合力全 部用来提供向心力，合力指向圆心；变速圆周
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第五章
曲线运动
如图所示在田径运动会上，链球运动员在将链球抛掷出 手之前，总要双手拉着链条加速转动几圈 ( 如图所示 ) ，这样
可以使链球速度尽量增大，抛掷出手后飞行得更远．在运动
员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖 直方向的夹角θ将随着链球速度的增大而增大． 链球做圆周运动需要的向心力由哪些力提供？
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第五章
曲线运动
2．向心力的来源 对物体进行受力分析得到的指向圆心的力提供向心 力．向心力可以是某个力，可以是某几个力的合力，也可以
是某个力的分力．
3．向心力是变力 向心力的方向指向圆心，方向时刻在变，所以向心力是 变力．
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第五章
曲线运动
4．向心力是产生向心加速度的原因 向心力与向心加速度间关系满足牛顿第二定律．
(3)将物体所受外力通过力的正交分解将其分解在两条直
线上，其中一个方向上的分力沿半径方向．
第五章
曲线运动
(4)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m 4π2mr ，另一方向F合2＝0. T2 (5)解方程求出结果．
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v2 r
＝
第五章
曲线运动
3．几种常见的匀速圆周运动的实例图表
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v gLtan α sin α ω＝ r ＝ ＝ Lsin α 2π 小球运动的周期T＝ ω ＝2π
g ， Lcos α Lcos α g .
第五章
曲线运动
mg 答案：(1) mgtan α (2) gLtan α sin α. cos α (3)
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g Lcos α
2π
Lcos α g
第五章
曲线运动
【针对训练】2.如图所示，一个内壁光滑 的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固 定不动，有两个质量相等的小球 A和 B紧贴着 内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周
运动，则以下说法中正确的是(
)
A．A球的线速度必定大于B球的线速度 B．A球的角速度必定小于B球的角速度
2 v2 4π 即Fn＝man＝m r ＝mrω2＝mr 2 …. T
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第五章
曲线运动
二、对匀速圆周运动的进一步理解 1．匀速圆周运动的特点 线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率
都恒定不变；向心加速度和向心力大小都恒定不变，但方向
时刻改变． 2．匀速圆周运动的性质 (1)线速度仅大小不变而方向时刻改变，是变速运动．
4．匀速圆周运动和变速圆周运动的区别 (1)匀速圆周运动的合外力全部用来提供向心力，合外力 时刻指向圆心．
(2)变速圆周运动的合外力一般不指向圆心，合外力沿半
径指向圆心的分力提供向心力，合外力沿切线方向的分力改 变速度大小，从做曲线运动的条件可知，变速圆周运动中物 体所受的合力方向与速度方向一定不垂直，当物体受到的合
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第五章
曲线运动
三、匀速圆周运动的处理方法 1．指导思路 凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力．而物体所
受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的理论基础．
2．解题步骤 (1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力 示意图．
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(2)明确物体做圆周运动的圆平面、圆心和半径．
大小为mgtan α，即F向＝mgtan α线对小球的拉力大小 mg 为：F＝ . cos α
第五章
曲线运动
v2 (2)由牛顿第二定律得：mgtan α＝m r . 由几何关系得r＝Lsin α， 所以，小球做匀速圆周运动的线速度大小为 v＝ gLtan α sin α. (3)小球运动的角速度大小
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(3)小球运动的角速度大小及周期．
第五章
曲线运动
解析：(1)小球受力如图所示，小球受
重力mg和线的拉力F.因为小球在水平面内
做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指 向圆心 O′，且是水平方向，合力提供小球 做圆周运动的向心力． 由平行四边形定则得，小球受到的合
力
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C ． A 球的运动周期必定小于 B 球的运动 周期
D ． A 球对筒壁的压力必定大于 B 球对筒
壁的压力
第五章
曲线运动
解析：小球A和B的受力情况如图所 示，由图可知，两球的向心力都来源于重力 mg 和支持力 FN 的合力，建立如图所示的坐 标系，则有：FN1＝FNsin θ＝mg，
第五章
曲线运动
第六节
向心力
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第五章
曲线运动
1．理解向心力的概念及其表达式的含义．
2 ．知道向心力大小与哪些因素有关，并能用来进行计
算．
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3．知道向心力是效果力，会在实际问题中分析向心力来 源．
第五章
曲线运动
一、向心力 1．定义：做匀速圆周运动的物体受到 合力． 2．方向：始终指向 圆心
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第五章
曲线运动
提示：由链条拉力指向圆心方向的分力提供链球做圆周
运动的向心力．
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第五章
曲线运动
一、对向心力的理解
1．向心力是效果力
向心力的作用效果是只改变速度方向，不改变速度大 小．它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作 为向心力．
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运动中，合力沿着半径方向的分量提供向心
力，合力不一定指向圆心．
第五章
曲线运动
【特别提醒】(1)由于线速度、向心力、向心加速度是矢
量，对于匀速圆周运动，它们的大小不变，但方向时刻改
变，因此都不是恒量． (2)任何情况的圆周运动，向心力的方向一定指向圆心， 而且一定是沿半径指向圆心的合外力提供向心力．
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指向圆心
的
．
v2 mr 3．公式：Fn＝ 或Fn＝ mω2r .
第五章
曲线运动
4．向心力的来源
(1) 向 心 力 是 按 照 力 的 效 果 命 名 的 ， 使 物 体 受 到 指向圆心 的力均可称作向心力．
(2)匀速圆周运动中向心力可能是物体所受力的 合力 ，也 可能是某个力的分力．
图形
受力分析
力的分解方 满足的方程及向心 法 加速度
Fcos θ＝mg 2 F sin θ ＝ mω lsin
θ
或mgtan θ＝mlsin
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θ· ω2 a＝gtan θ
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曲线运动
图形
受力分析
力的分解方 法
满足的方程及向心 加速度
FNcos θ＝mg 2 FNsin θ＝mω r
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第五章
曲线运动
二、实验验证 1．装置：细线下面悬挂一个钢
球，用手带动钢球使它在某个水平面内
做匀速圆周运动，组成一个圆锥摆且 θ 很小，如图所示．
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第五章
曲线运动
2．计算向心力：用秒表测出钢球运动n圈所用的时间 t，测出钢球做匀速圆周运动的半径r，则钢球的线速度大小 2πrn v＝ t .由于预先用天平测出了钢球的质量m，代入公式 4mπ2rn2 2 v t2 Fn＝m r 中可知钢球的向心力Fn＝ .
第五章
曲线运动
解析：衣物做匀速圆周运动的圆面在过衣物所在位置的 垂直于轴的平面内，圆心为与轴的交点．衣物受到重力、支
持力和静摩擦力，重力和静摩擦力在竖直方向上不可能充当
向心力，而支持力指向圆心，故支持力充当向心力， C 正 确． 答案：C
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第五章
曲线运动
长为L的细线，拴一质量为 m的小球，一端固定于 O 点．让其在水平面内做匀速圆周运动 (这种运动通常称为圆锥 摆运动)，如图所示．当摆线L与竖直方向的夹角是α时，求： (1)线的拉力F的大小及小球的向心力F向的大小； (2)小球运动的线速度的大小；
Fn 和钢球所受合力 F 的大小，即可得出结论： 钢球需要的 的
向心力
．
等于钢球所受力
合力
第五章
曲线运动
三、变速圆周运动和一般的曲线运动 1．变速圆周运动
变速圆周运动所受合外力 不等于 向心力，合外力产生
两个方向的效果． (1) 合 外 力 F 跟 圆 周 相 切 的 分 力 Fτ ， 此 力 产 生 切向加速度 ，描述速度 大小变化 的快慢．
第五章
曲线运动
如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀
速转动，小强站在距圆心为 r 处的 P 点不动．关于小强的受
力，下列说法正确的是
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A．小强在P点不动，因此不受摩擦力 作用 B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其
重力和支持力充当向心力
第五章
曲线运动
C ．小强随圆盘做匀速圆周运动，盘对他的摩擦力充当
FN2＝FNcos θ＝F所以F＝mgcot θ.
也就是说 FN 在指向圆心方向的分力， 即F＝mgcot θ提供小球做圆周运动所需的向
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角速度变小时，由Fn＝mω2r可知，所需向心力变小，摩擦力
变小，故D错误．
答案：C
第五章
曲线Hale Waihona Puke Baidu动
【针对训练】1. 如图所示，在匀速转动的洗衣机圆桶
内壁上有一衣物一起随桶转动且与桶壁保持相对静止．衣物
所受的向心力是( A．重力 C．桶壁的支持力 ) B．静摩擦力 D．滑动摩擦力
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a＝mBg/m
第五章
曲线运动
【特别提醒】(1)对做圆周运动的物体进行受力分析时，
注意以下几点：物体的受力应是实际受到的力，是性质力，
存在施力物体；不另外分析向心力； (2)列方程时要区分受到的力和物体做圆周运动所需的向 心力，利用题目条件灵活运用向心力表达式.
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(2)向心加速度仅大小恒定而方向时刻改变，是非匀变速
曲线运动．
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曲线运动
(3)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期运动物 体都要重新回到原来的位置，其运动状态 ( 如 v 、 a 大小及方
向)也要重复原来的情况．
(4)做匀速圆周运动的物体所受外力的合力大小恒定，方 向总是沿半径指向圆心，方向时刻改变．
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曲线运动
3．质点做匀速圆周运动的条件 合外力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆
心．匀速圆周运动仅是速度的方向变化而速度大小不变的运
动， 所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运 动的物体所受的合外力．
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曲线运动
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(2) 合外力 F跟圆周切线垂直而指向圆心的分力 Fn，此分 力产生 向心加速度 ，描述速度 方向变化 的快慢．
第五章
曲线运动
2．一般的曲线运动的处理方法 一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小
段，每一小段可看作一小段 圆弧 ，质点沿一般曲线运动时，
可以采用圆周运动的处理方法进行处理．
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曲线运动
3．求合力：钢球在转动过程中受到重力 mg 和细线拉力 FT，通过测量 半径 和 高度 ．可
r 求出 tan θ＝h，钢球的受力如图所示．钢球所受 合力 F＝
mgtan θ
mgr ＝ h .
4．结论：代入数据后比较计算出的向心力
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或
mgtan θ＝mrω2 a＝ gtan θ
F升cos θ＝mg 2 F升sin θ＝mω r
或
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mgtan θ＝mrω2 a＝ gtan θ
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曲线运动
图形
受力分析
力的分解 方法
满足的方程及向心加速 度
FN＝mg 2 F拉＝mBg＝mω r
向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩 擦力不变
解析：小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，
该力一定指向圆心，而重力和支持力在竖直方向上，它们不 能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力， A、B错误，C正确；由于小强随圆盘转动半径不变，当圆盘
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力与瞬时速度之间的夹角是锐角时，速率增大，当物体受到
的合力与速度之间的夹角是钝角时，速率减小．
第五章
曲线运动
例如：用一细线系一小球在竖直平面内做 变速圆周运动，在向下加速运动过程的某一位 置A和向上减速运动过程的某一位置B，小球的
受力情况如图所示．
比较可知，匀速圆周运动和变速圆周运动 受力情况的不同是：匀速圆周运动中，合力全 部用来提供向心力，合力指向圆心；变速圆周
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第五章
曲线运动
如图所示在田径运动会上，链球运动员在将链球抛掷出 手之前，总要双手拉着链条加速转动几圈 ( 如图所示 ) ，这样
可以使链球速度尽量增大，抛掷出手后飞行得更远．在运动
员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖 直方向的夹角θ将随着链球速度的增大而增大． 链球做圆周运动需要的向心力由哪些力提供？
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曲线运动
2．向心力的来源 对物体进行受力分析得到的指向圆心的力提供向心 力．向心力可以是某个力，可以是某几个力的合力，也可以
是某个力的分力．
3．向心力是变力 向心力的方向指向圆心，方向时刻在变，所以向心力是 变力．
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曲线运动
4．向心力是产生向心加速度的原因 向心力与向心加速度间关系满足牛顿第二定律．
(3)将物体所受外力通过力的正交分解将其分解在两条直
线上，其中一个方向上的分力沿半径方向．
第五章
曲线运动
(4)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝m 4π2mr ，另一方向F合2＝0. T2 (5)解方程求出结果．
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v2 r
＝
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曲线运动
3．几种常见的匀速圆周运动的实例图表
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v gLtan α sin α ω＝ r ＝ ＝ Lsin α 2π 小球运动的周期T＝ ω ＝2π
g ， Lcos α Lcos α g .
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曲线运动
mg 答案：(1) mgtan α (2) gLtan α sin α. cos α (3)
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g Lcos α
2π
Lcos α g
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曲线运动
【针对训练】2.如图所示，一个内壁光滑 的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固 定不动，有两个质量相等的小球 A和 B紧贴着 内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周
运动，则以下说法中正确的是(
)
A．A球的线速度必定大于B球的线速度 B．A球的角速度必定小于B球的角速度
2 v2 4π 即Fn＝man＝m r ＝mrω2＝mr 2 …. T
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第五章
曲线运动
二、对匀速圆周运动的进一步理解 1．匀速圆周运动的特点 线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率
都恒定不变；向心加速度和向心力大小都恒定不变，但方向
时刻改变． 2．匀速圆周运动的性质 (1)线速度仅大小不变而方向时刻改变，是变速运动．
4．匀速圆周运动和变速圆周运动的区别 (1)匀速圆周运动的合外力全部用来提供向心力，合外力 时刻指向圆心．
(2)变速圆周运动的合外力一般不指向圆心，合外力沿半
径指向圆心的分力提供向心力，合外力沿切线方向的分力改 变速度大小，从做曲线运动的条件可知，变速圆周运动中物 体所受的合力方向与速度方向一定不垂直，当物体受到的合
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曲线运动
三、匀速圆周运动的处理方法 1．指导思路 凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力．而物体所
受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的理论基础．
2．解题步骤 (1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力 示意图．
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(2)明确物体做圆周运动的圆平面、圆心和半径．
大小为mgtan α，即F向＝mgtan α线对小球的拉力大小 mg 为：F＝ . cos α
第五章
曲线运动
v2 (2)由牛顿第二定律得：mgtan α＝m r . 由几何关系得r＝Lsin α， 所以，小球做匀速圆周运动的线速度大小为 v＝ gLtan α sin α. (3)小球运动的角速度大小
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(3)小球运动的角速度大小及周期．
第五章
曲线运动
解析：(1)小球受力如图所示，小球受
重力mg和线的拉力F.因为小球在水平面内
做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指 向圆心 O′，且是水平方向，合力提供小球 做圆周运动的向心力． 由平行四边形定则得，小球受到的合
力
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C ． A 球的运动周期必定小于 B 球的运动 周期
D ． A 球对筒壁的压力必定大于 B 球对筒
壁的压力
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曲线运动
解析：小球A和B的受力情况如图所 示，由图可知，两球的向心力都来源于重力 mg 和支持力 FN 的合力，建立如图所示的坐 标系，则有：FN1＝FNsin θ＝mg，
第五章
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第六节
向心力
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曲线运动
1．理解向心力的概念及其表达式的含义．
2 ．知道向心力大小与哪些因素有关，并能用来进行计
算．
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3．知道向心力是效果力，会在实际问题中分析向心力来 源．
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曲线运动
一、向心力 1．定义：做匀速圆周运动的物体受到 合力． 2．方向：始终指向 圆心
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曲线运动
提示：由链条拉力指向圆心方向的分力提供链球做圆周
运动的向心力．
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曲线运动
一、对向心力的理解
1．向心力是效果力
向心力的作用效果是只改变速度方向，不改变速度大 小．它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作 为向心力．
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运动中，合力沿着半径方向的分量提供向心
力，合力不一定指向圆心．
第五章
曲线运动
【特别提醒】(1)由于线速度、向心力、向心加速度是矢
量，对于匀速圆周运动，它们的大小不变，但方向时刻改
变，因此都不是恒量． (2)任何情况的圆周运动，向心力的方向一定指向圆心， 而且一定是沿半径指向圆心的合外力提供向心力．
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指向圆心
的
．
v2 mr 3．公式：Fn＝ 或Fn＝ mω2r .
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曲线运动
4．向心力的来源
(1) 向 心 力 是 按 照 力 的 效 果 命 名 的 ， 使 物 体 受 到 指向圆心 的力均可称作向心力．
(2)匀速圆周运动中向心力可能是物体所受力的 合力 ，也 可能是某个力的分力．
图形
受力分析
力的分解方 满足的方程及向心 法 加速度
Fcos θ＝mg 2 F sin θ ＝ mω lsin
θ
或mgtan θ＝mlsin
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θ· ω2 a＝gtan θ
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图形
受力分析
力的分解方 法
满足的方程及向心 加速度
FNcos θ＝mg 2 FNsin θ＝mω r
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曲线运动
二、实验验证 1．装置：细线下面悬挂一个钢
球，用手带动钢球使它在某个水平面内
做匀速圆周运动，组成一个圆锥摆且 θ 很小，如图所示．
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曲线运动
2．计算向心力：用秒表测出钢球运动n圈所用的时间 t，测出钢球做匀速圆周运动的半径r，则钢球的线速度大小 2πrn v＝ t .由于预先用天平测出了钢球的质量m，代入公式 4mπ2rn2 2 v t2 Fn＝m r 中可知钢球的向心力Fn＝ .
第五章
曲线运动
解析：衣物做匀速圆周运动的圆面在过衣物所在位置的 垂直于轴的平面内，圆心为与轴的交点．衣物受到重力、支
持力和静摩擦力，重力和静摩擦力在竖直方向上不可能充当
向心力，而支持力指向圆心，故支持力充当向心力， C 正 确． 答案：C
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曲线运动
长为L的细线，拴一质量为 m的小球，一端固定于 O 点．让其在水平面内做匀速圆周运动 (这种运动通常称为圆锥 摆运动)，如图所示．当摆线L与竖直方向的夹角是α时，求： (1)线的拉力F的大小及小球的向心力F向的大小； (2)小球运动的线速度的大小；
Fn 和钢球所受合力 F 的大小，即可得出结论： 钢球需要的 的
向心力
．
等于钢球所受力
合力
第五章
曲线运动
三、变速圆周运动和一般的曲线运动 1．变速圆周运动
变速圆周运动所受合外力 不等于 向心力，合外力产生
两个方向的效果． (1) 合 外 力 F 跟 圆 周 相 切 的 分 力 Fτ ， 此 力 产 生 切向加速度 ，描述速度 大小变化 的快慢．
第五章
曲线运动
如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀
速转动，小强站在距圆心为 r 处的 P 点不动．关于小强的受
力，下列说法正确的是
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A．小强在P点不动，因此不受摩擦力 作用 B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其
重力和支持力充当向心力
第五章
曲线运动
C ．小强随圆盘做匀速圆周运动，盘对他的摩擦力充当
FN2＝FNcos θ＝F所以F＝mgcot θ.
也就是说 FN 在指向圆心方向的分力， 即F＝mgcot θ提供小球做圆周运动所需的向
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角速度变小时，由Fn＝mω2r可知，所需向心力变小，摩擦力
变小，故D错误．
答案：C
第五章
曲线Hale Waihona Puke Baidu动
【针对训练】1. 如图所示，在匀速转动的洗衣机圆桶
内壁上有一衣物一起随桶转动且与桶壁保持相对静止．衣物
所受的向心力是( A．重力 C．桶壁的支持力 ) B．静摩擦力 D．滑动摩擦力
人 教 版 物 理 必 修 2
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a＝mBg/m
第五章
曲线运动
【特别提醒】(1)对做圆周运动的物体进行受力分析时，
注意以下几点：物体的受力应是实际受到的力，是性质力，
存在施力物体；不另外分析向心力； (2)列方程时要区分受到的力和物体做圆周运动所需的向 心力，利用题目条件灵活运用向心力表达式.
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