工程测试技术基础

第一章 测试技术基础知识1.3 用量程为150V 的0.5级电压表和量程为30V 的1.5级电压表分别测量25V 电压，请问哪一个测量准确度高？为什么使用电压表时应尽可能在电压表量程上限的三分之二以上使用？ 解：1）量程为150V 的0.5级电压表，其最大引用误差为0.5%,所以其最大绝对误差为0.5%1500.75()m m x V δγ==⨯=量程为30V 的1.5级电压表，其最大引用误差为1.5%,所以其最大绝对误差为1.5%300.45()m m x V δγ==⨯=所以测量25V 电压时，量程为30V 的1.5级电压表的准确度高。

2）测量同一个电压量时，通常量程与被测量越接近的电压表，其测量准确度越高。

1.4 常用的测量结果的表达方式有哪3种？对某量进行了8次测量，测得值分别为：82.40、82.43、82.50、82.48、82.45、82.38、82.42、82.46。

试用第3种表达方式表示其测量结果。

解：1）常用的测量结果的表达方式有基于极限误差的表达方式、基于t 分布的表达方式和基于不确定度的表达方式等3种2）基于不确定度的表达方式可以表示为0x x x x σ∧=±=±均值为8118i i x x ===∑82.44标准偏差为s ==0.04样本平均值x 的标准偏差的无偏估计值为ˆx σ==0.014 所以082.440.014x=±第二章 信号描述与分析2-2 一个周期信号的傅立叶级数展开为12ππ120ππ()4(cos sin )104304n n n n n y t t t ∞==++∑（t 的单位是秒） 求：1）基频0ω；2）信号的周期；3）信号的均值；4）将傅立叶级数表示成只含有正弦项的形式。

解：基波分量为12ππ120ππ()|cos sin 104304n y t t t ==+ 所以：1）基频0π(/)4rad s ω=2）信号的周期02π8()T s ω==3）信号的均值42a = 4）已知 2π120π,1030n n n n a b ==，所以4.0050n A n π=== 120π30arctan arctan arctan 202π10n n nn bn a ϕ=-=-=-所以有0011π()cos()4 4.0050cos(arctan 20)24n n n n a n y t A n t n t ωϕπ∞∞===++=+-∑∑即1π()4 4.0050sin(arctan 20)42n n y t n t ππ∞==+-+∑2-3 某振荡器的位移以100Hz 的频率在2至5mm 之间变化。

将位移信号表示成傅立叶级数，并绘制信号的时域波形和频谱图。

解：设该振荡器的位移表达式为()sin()s t A t B ωϕ=++由题意知100f Hz =振荡频率，所以有2200f ωππ==信号的幅值521.52A -== 信号的均值253.52B +== 信号的初相角0ϕ=所以有() 3.5 1.5sin(200)s t t π=+即该信号为只含有直流分量和基波分量的周期信号。

2-4周期性三角波信号如图2.37所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。

图2.37 周期三角波信号（习题2-4图）解：()f t在一个周期,22T T⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的表达式为22()22E Tt E tTf tE Tt E tT⎧+-≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩（1）由图像可知,该信号的直流分量22a E=（2）求该信号傅立叶级数000200/20000/2/200002/2/20020024()cos d ()cos d ()42(()cos )42(cos cos )84cos cos 811[(sin cos )]T n T T T T T T T a f t n t t f t n t t TT Et E n tdt T TEt n tdt E n tdt T TE E t n tdt n tdt T T E t n t n t T n n ωωωωωωωωωωω-------===+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 被积函数是偶函数000000220000220041sin /2/20008181141sin +cos sin /2/2/22+(1cos )+()4, 1,3,5,() 0, 2,4,6,E n t T T T n E E E t n t n t n t T T T T T n T n n T n En n En n n ωωωωωωπωωωωπππ+--=+----⎧=⋅⋅⋅⎪=⎨⎪=⋅⋅⋅⎩（注意：＝２）＝００2022()sin d 0T n T b f t n t t Tω-==⎰（被积函数是奇函数）24, 1,3,5,()0, 2,4,6,n n En n A a n π⎧=⋅⋅⋅⎪===⎨⎪=⋅⋅⋅⎩arctan0nn nb a ϕ=-= 000002221444()cos()cos()cos(3)cos(5)22()(3)(3)n n n a E E E E f t A n t t t t ωϕωωωπππ∞==++=++++•••∑３）基波有效值rms1221422()()n E x A ππ====４）信号有效值rms2221444[]2222()(3)(3)n n E E E E E x A πππ∞==+=++++•••∑５）信号的平均功率222rms 222444{[]}22()(3)(3)x EE E E x ψπππ==++++•••2-5 求指数函数()e(00)atx t A a t -=>≥，的频谱。

√解：()()j t at j t X n x t e dt Ae e dt ωωω+∞+∞----∞==⎰⎰()22)j a tAA A a j e a j a j a ωωωωω+∞-+-=-==+++（（到此完成，题目未要求，可不必画频谱）鉴于有的同学画出了频谱图，在此附答案：22|()|||()arctanA X j ωαωαωωφωα==++=-2-6求被截断的余弦函数0cos t ω0cos ||()0 ||t t T x t t T ω<⎧=⎨≥⎩(题图3-4 )的傅里叶变换。

√()()j tX x t edt ωω+∞--∞=⎰题图3-4ω|x(ω)|A/α-π/4-α π/4aωφ(ω)000000000000TTT()()T()()00()()()()00()()0012121[]21[()()]211[()][2j t j t j t j t j t T T j t j tT Tj T j T j T j T j T j T e e e dt e e dt j je e j je e e e j je e ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω----+---+----++----++===-+-=---+-=-++-⎰⎰（+）（+）00()()000000()]2sin[()]sin[()][]({sin c[()]sin c[()]}j T j T e e T T T T T ωωωωωωωωωωωωωωωω----+-=++-=++-到此式也可以）2-9求()h t 的自相关函数。

√e (00)()0 (0)at t a h t t -⎧≥>=⎨<⎩， 解：对能量有限信号()h t 的相关函数()0()()()d ()h at a t h R h t h t tR e e dtττττ∞-∞∞--+=+=⋅⎰⎰20a at e e dt τ∞--=⎰201()2a at e e aτ--+∞=-2a e aτ-=2-10求正弦波和方波的互相关函数。

√ 解法一：()sin x t t ω=，1(/23/2)()1(0/2,3/22)t y t t t πππππ<≤⎧⎪=⎨-<≤<≤⎪⎩1()lim ()()Txy T R x t y t dt T ττ→∞=+⎰1()()T x t y t dt T τ=+⎰/23/22/23/2[sin sin sin ]2tdt tdt tdt πτπτπττπτπτωωωωπ-----=-++-⎰⎰⎰ /23/22/23/2[cos |cos |cos |]2t t t πτπτπττπτπτωωωωπ-----=-+ 2sin ωτπ=解法二：因为()()xy yx R R ττ-=322221()lim ()()()1lim ()()sin ()sin ()2sin Txy T yx TT R x t y t dtT R y t x t dt T t dt t dtππππττττωτωτωτπ→∞→∞-=+=-=-=--+-=⎰⎰⎰⎰2-12已知信号的自相关函数为cos A ωτ，请确定该信号的均方值2x ψ和均方根值rms x 。

√解：2(0)cos 0x x R A A ψ===rms x ==2-18 三个余弦信号1()cos 2x t t π=、2()cos 6x t t π=、3()cos10x t t π=进行采样，采样频率4Hz s f =，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出1()x t 、2()x t 、3()x t 的波形及采样点位置并解释频率混叠现象。

√ 解：114s s T f == 若信号为x (t),其采样输出序列为()()()()()()()44s sn ssn n x t x t t nT x nT t nT n n x t δδδ∞=-∞∞=-∞∞=-∞=⋅-=-=-∑∑∑将三个余弦信号代入上式得三个采样输出序列1()cos(2)()44cos()()24s n n n n x t t nnt πδπδ∞=-∞∞=-∞=-=-∑∑cos2n π=（也可以写成这种形式） 2()cos(6)()443cos()()24s n n n nx t t n nt πδπδ∞=-∞∞=-∞=-=-∑∑3cos2n π= 3()cos(2)()445cos()()24s n n n nx t t n nt πδπδ∞=-∞∞=-∞=-=-∑∑5 cos2nπ=∵8s ωπ=，πω21=，πω62=，πω103=∴12s ωω>，1()x t 不产生混叠；22s ωω<、32s ωω<，2()x t 、3()x t 产生混叠。

第三章 测试系统的基本特性3-2已知某测试系统静态灵敏度为4V/kg 。

如果输入围为1kg 到10kg ，确定输出的围。