高二数学 利用导数研究函数的单调性 极值 最值 (不含参)

§3.2导数与函数的单调性、极值、最值

1．函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x) >0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) <0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

2．函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)

在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函

数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的

步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小

值．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．()

(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．()

(3)函数的极大值不一定比极小值大．()

(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()

(6)函数f(x)＝x sin x有无数个极值点．() 2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是() A．(0,1) B．(1，＋∞)

C．(－∞，1) D．(－1,1)

3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则() A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值

B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值

C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值

D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值

4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为() A．(－1,1) B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

5．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案[－3，＋∞)

解析f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，

则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，

即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.

题型一利用导数研究函数的单调性

例

1 已知α，[,]22

βππ∈-，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是 A ．αβ>

B ．0αβ+>

C ．αβ<

D ．22αβ>

变式训练

⑴已知函数2()2cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是 A ． B ．

C ．

D ．

⑵已知函数384()ln 33

f x x x =

--，则函数()f x 的零点个数为______________． ⑶．已知函数2()ln f x x x x =--的导函数为()f 'x ． ①解不等式()2f 'x <；

②求函数()()4x x g f x =-的单调区间．

题型二 利用导数求函数的极值

例2 设f (x )＝e x

1＋ax 2，其中a 为正实数．

(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；

(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．

例

3如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22等于()

A.89

B.109

C.169

D.289

变式训练

⑴.设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是 ( )

⑵.函数y=x 3-3x 2-9x(-2

A.极大值5，极小值-27

B.极大值5，极小值-11

C.极大值5，无极小值

D.极小值-27，无极大值

⑶.函数f(x)=mln x-cos x 在x=1处取得极值，则m 的值为 (

) A.sin 1 B.-sin 1

C.cos 1

D.-cos 1

⑷.设函数f(x)=xe x ，则 ( )

A.x=1为f(x)的极大值点

B.x=1为f(x)的极小值点

C.x=-1为f(x)的极大值点

D.x=-1为f(x)的极小值点

⑸.若a>0，b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则+的最小值为

( )

A. B. C. D.

⑹.已知a∈R，且函数y=e x+ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )

A.a<-1

B.a>-1

C.a<-

D.a>-

⑺.函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点

为.

⑻.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13，则实数m等于.

1.设函数f(x)=e x(sin x-cos x)(0≤x≤2 015π)，则函数f(x)的各极大值之和为( )

A. B.

C. D.

2.已知函数f(x)=x4+9x+5，则f(x)的图象在(-1，3)内与x轴的交点的个数为.

3已知函数f(x)＝x ln x ，求函数f(x)的极值点