3.4-4函数的零点
高等数学(上册)重要知识点
一章 函数与极限1. 集合与函数 1.1 集合的概念具有某种特定性质的事物的的全体。
全体非负整数（自然数）构成的集合{0,1,2,3......}记为N 。
全体正整数构成的集合{1,2,3....}记为 。
全体整数构成的集合{....-1,0,1,2....}(记为Z). 全体实数构成的集合R. 1.2基本初等函数和初等函数 反对幂指三是基本初等函数.将基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的 且能用一个式子表示的函数称为初等函数. 1.3极坐标与直角坐标系的关系θρθρsin cos {==y x )0(tan {22≠=+=x x y yx θρ1.4几种特殊性质的函数 (1)有界函数F(x)在x 上有界的充分必要条件为:存在常数M>0,使得| f(x) | ≦ M,对任意x 属于X.这时称风f(x)在x 上有一个界. (2)奇偶函数F (x)=f(-x),称为偶函数. F (-x)=-f(x),称为奇函数. (3)周期函数f(x+L)=f(x)恒成立,称f(x)为周期函数.L 为f(x)的最小正周期.2.极限2.1数列极限的定义设有数列{a n },若存在常数a ，对任意给定的ε>0,总存在正整数N ，当n>N 时，恒有| a n -a |<ε成立，则数列{a n }以a 为极限。
记作:aann =∞→lim , 或 a a n→(∞→a ).此时称数列}{a n 收敛于常数a ，或简称数列收敛.反之数列}{a n 没有极限，或称它为发散.2.2数列极限的性质(1)（极限的唯一性）如果数列}{a n 收敛，那么它的极限必唯一.(2)（有界性）收敛数列必定有界.(3)（保号性）设有数列}{a n ，}{b n 分别收敛于a,b,并且b>a,那么存在正整数 N ，当n>N 时，恒有b n >a n . (4) 设有数列}{a n ，}{b n 分别收敛于a,b,并且存在正整数Ｎ，当ｎ＞Ｎ时，恒有b n ≥an，那么a b ≥（5）数列}收敛于a 的充分必要条件是它的任何一个子集数列都收敛于a. 2.3函数极限（1）设函数f(x)在的某去心邻域有定义.若存在常数Ａ，使对任给的ε>0，总存在δ＞０，当０＜｜ｘ－x 0｜＜δ时，恒有 ｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε恒成立，则称当x x →0时，ｆ（ｘ）以Ａ 为极限．记作：)(limx f x x →＝Ａ或A x f →)(，当x x 0→．（２）函数极限的性质１.（唯一性）如果存在，那么极限是唯一的。
高斯函数的性质和应用
高斯函数的性质和应用1、对x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，[1]=1，且有性质（1)任意x∈R,0≤x-[x]＜1,性质（2）[x+1]-[x]=1，性质（3）[x]＋[-x]=-1（x∈Z），定义域为R,值域为Z;不单调，无最值，无奇偶性对任意实数x，都有[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x；2、g(x)=x-[x]定义域为R,值域：[0,1)无单调性，最小值0，周期为1.例1、（多选题）高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]=6，[-4.1]=-5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于高斯函数y=[x]的性质叙述正确的是（ABC）A.y=[x]值域为Z B.y=[x]不是奇函数C.y=x-[x]为周期函数 D.y=[x]在R 上单调递增例2、设{x}=x-[x]，则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为？由f(x)=01,由图像可知，两函数除以交点（-1,0)之外，其余的交点关于点（0，1)对称，所以，函数y=f(x)的所有零点之和为-1；故答案为：-1；例3、已知函数f(x)=|x-1|(3-[x])，x∈[0,2),若f(x)=52，则x=；不等式f(x)≤x 的解集为__。
【解析】由题意，得f(x)=3−3s 0≤<12−2s 1≤<1,当0≤x<1时,3-3x=52,当1≤x<252,即x=9/4(舍),综上x=16;当0≤x<134≤x<1,当1≤x＜2时,2x-2≤x,即1≤x＜2,综上，答案为：34≤x<2；例4、高斯函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（B ）A．12e e--B．2-C．12e e--D．2212e e --例5、.设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.已知函数f(x)=22+1，则函数y=[f(x)）]的值域为(D )A.{0,-1} B.{-1,1} C.{0,1} D.{-1,0,1}小练习：条件同上已知函数f(x)=12x 2-x+1(0<x<3)，则函数y=[f(x)]的值域为(?){0,1,2}例6、定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a 的最大整数．加强练习一、选择题1、已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =()A.4 B.5 C.2D.32、函数y=[]x 叫做“取整函数”，][][][2222log 1log 2log 3log 64⎡⎤+++⋯+⎣⎦的值为()A.21B.76C.264D.6423、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）4、我们定义函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）为“下整函数”，定义函数{}y x =（{}x 表示不小于x 的最小整数）为“上整函数”，例如[4.3]4=，[5]5=；{4.3}5=，{5}5=.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费（单位：元）()A.2[1]x + B.2([]1)x + C.2{}x D.{2}x6、已知[]y x =为高斯函数，令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有()A.()2.30.7f -= B.()f x 为奇函数 C.()()1f x f x += D.()f x 的值域为[]0,17、[]y x =高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是()A.[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B.x ∃∈R ，[]1x x ≥+C.,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+ D.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)8、对x ∀∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪,[]y x =被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是()A.x ∃∈R ,[]1x x ≥+B.x ∀,y ∈R ,[][][]x y x y +≤+ C.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1D.若t ∃∈R ,使得31t ⎡⎤=⎣⎦,42t ⎡⎤=⎣⎦,53t ⎡⎤=⋯⎣⎦,2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立,则正整数n 的最大值是5三、填空题9、由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为[]y x =，例如[][]1.210.31=-=-，，则函数[][)21,1,3y x x =+∈-的值域为_________________.10、取整函数y=[x]，x∈R 称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]=1，[-1.1]=-2.则点集P={（x，y）|[x]2+[y]2=1]所表示的平面区域的面积是?4四、解答题10、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]3=，[ 4.2]5-=-，不等式213x ≤+<的解集为A ，不等式2230x x -≤的解集为B .(1)求A B ；(2)已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求11a b+的最小值.11、已知函数()[]f x x =.(1)记()()2h x f x x =-，[)0,3x ∈，求()h x 的解析式，并在坐标系中作出函数()h x 的图像.(2)结合(1)中的图象，解不等式()1524h x <≤直接写出结果.(3)设()3131x x g x -=+，判断()g x 的奇偶性，并求函数()()()()2y f g x f g x =+-的值域.。
考点1零点的求法及零点的个数
考点 1零点的求法及零点的个数题型 1：求函数的零点。
[例1]求函数 y x32x2x 2的零点.[ 解题思路 ] 求函数yx 32x 2x 2的零点就是求方程 x 32x 2x 2 0的根[解析]令 x32x2x 2 0，∴ x2 ( x 2) ( x 2) 0∴ (x 2)( x 1)( x 1) 0 ，∴x1或x 1或 x 2即函数yx32x 2x2的零点为 -1 ，1，2。
[ 反思归纳 ]函数的零点不是点，而是函数函数y f ( x) 的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。
题型 2：确定函数零点的个数。
[例2]求函数 f(x)=lnx＋2x － 6 的零点个数 .[ 解题思路 ] 求函数 f(x)=lnx＋ 2x －6 的零点个数就是求方程 lnx ＋ 2x －6=0 的解的个数[ 解析 ] 方法一：易证 f(x)= lnx＋ 2x －6 在定义域(0,)上连续单调递增，又有 f (1) f (4)0，所以函数 f(x)= lnx ＋ 2x－6 只有一个零点。
方法二：求函数 f(x)=lnx ＋2x－ 6 的零点个数即是求方程lnx ＋2x－ 6=0 的解的个数y ln x即求y62x 的交点的个数。
画图可知只有一个。
[ 反思归纳 ]求函数y f ( x)的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程f ( x)0的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f ( x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[ 例3] (2007 ·广东 ) 已知 a 是实数 , 函数f x2ax22x 3a, 如果函数y f x在区间1,1上有零点，求 a 的取值范围。
[ 解题思路 ] 要求参数 a 的取值范围，就要从函数y f x 在区间1,1 上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到 a 作为x2的系数，故要对 a 进行讨论[ 解析]若a 0, f ( x)2x 3 ,显然在1,1上没有零点 ,所以a 0.48a 3a8a 224a4, 解得a37令2 a37y f x1,12时,上;①当恰有一个零点在②当f1 f 1a1a50 ，即1 a 5 时，yf x在1,1 上也恰有一个零点。
方程的根与函数的零点说课课件ppt
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3板书设计
§3.1 方程的根与函数的零点
1、零点概念：
练习：
…………………………
…………………………
2、方程的根与函数零点的关系 …………………………
函数的图象与x 两个交点 轴的交点 (-1,0)，(3,0)
一个交点 (1,0)
没有交点
上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
意图：引起认知冲突；了解本课主旨； 通过熟悉情境，形成初步结论．
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正反例证，熟悉定理
5、零点存在性定理的辨析与应用.
函数零点存在性定理：
y
ac O
y
y
ac
O
bx
bx
c Oa
y
c Oa
b x
b x
例1如判果断函正数误y=，f(若x)不在正区确间，[a,请b]上使的用图函象数是图连象续举不出断反的例一条曲线， 并 （且 1）有已f(知a)函·f(数b)<y=0f，(x那)在么区，间函[数a,by]=上f(连x)在续区，间且(fa(,ab)) ·内f(b有) <零0点，．则
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—— 说课过程 ——
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专题3.4 函数的应用(解析版)
专题3.4函数的应用1．一次函数模型的应用一次函数模型：f (x )=kx +b (k ,b 为常数，k ≠0).一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.2．二次函数模型的应用二次函数模型：f (x )=+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0).二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型.3．幂函数模型的应用幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.4．分段函数模型的应用由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.5．“对勾”函数模型的应用对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y =ax +(a >0,b >0)，当x >0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运一、单选题1．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．2．设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．()1,+∞C ．[)1,+∞D ．(),1-∞【答案】D 因为()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时，()2xf x -=显然单调递减；当0x >时，()2f x x =-也是单调递减；且()002101f ==-=，即函数图像连续不断，所以()f x 在其定义域上单调递减，由()()12f x f x +<可得12x x +>，解得1x <.故选：D.3．根据表格中的数据，可以断定方程(2)0( 2.72)x e x e -+=≈的一个根所在的区间是（）x －10123ex 0.371 2.727.4020.12x ＋212345A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)【答案】C【解析】设函数()(2)0x f x e x =-+=，(1)0.3710,(0)120,(1) 2.7230f f f -=-<=-<=-<，(2)7.4040f =->，∴(1)(2)0f f <，又()(2)x f x e x =-+在区间(1，2)连续，∴函数()f x 在区间(1，2)存在零点，∴方程根所在的区间为(1，2)，故选：C.4．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩,若实数(0,1)m ∈,则函数()()g x f x m =-的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】令()()0g x f x m =-=，得()f x m =，根据分段函数()f x 的解析式，做出函数()f x 的图象，如下图所示，因为(0,1)m ∈，由图象可得出函数()()g x f x m =-的零点个数为3个，故选：D.5．某地一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：h ）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则()C t 与t 之间的函数图像大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题图看出，0=t 时，()0C t =，排除B ；在[]0,4上，()C t 不断增大，在[]4,8上，()C t 先是一个定值，然后增大，在[]812，上，()C t 不断增大，在[]1220，上，()C t 是个定值，在[]20,24上，()C t 不断增大，故选D.6．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若每人离开甲地的距离S与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是A．甲是(1)，乙是(2)B．甲是(1)，乙是(4)C．甲是(3)，乙是(2)D．甲是(3)，乙是(4)【答案】B【解析】由甲先骑自行车后跑步，故图象斜率先大后小，则甲图象为(1)或(3)，由乙先跑步后骑自行车，故图象斜率先小后大，则乙图象为(2)或(4)，又甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中y随x的变化比乙后一半路程y随x的变化要快，所以甲为(1)，乙为(4)．故选：B．7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是A．413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为168200<，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为5000.9450423⨯=>，所以购买B商品享受了9折优惠，则B商品的原价为4234700.9=元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款(638500)0.75000.9546.6-⨯+⨯=元，故选C8．给下图的容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：（）．A ．B ．B ．C ．D ．【答案】B 试题分析：容器下端较窄，上端较宽，当均匀的注入水时，刚开始的一段时间高度变化较大，随时时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化不太明显，四个图像中只有B 项符合特点二、解答题9．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价()P x （元/套）与时间x （被调查的一个月内的第x 天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正常数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：x 10202530()Q x 110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k 的值；(2)给出两种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入()f x （130x ≤≤，*N x ∈）（元）的最小值．【答案】(1)1k =(2)选择②，()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)121元【解析】(1)因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，解得1k =；(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:()|25|Q x a x b=-+代入数据可得：11010251202025a b a b ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1a =-，125b =，所以()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)由（2）可得，()**100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x ⎧+≤<∈=--=⎨-≤≤∈⎩，所以，()()()**10010125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x ⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩，所以当125x ≤<，*N x ∈时，100()101f x x x=++在区间[1,10]上单调递减，在区间[10,25)上单调递增，所以当10x =时，()f x 有最小值，且为121；当2530x ≤≤，*N x ∈时，150()149f x x x=+-为单调递减函数，所以当30x =时，()f x 有最小值，且为124，综上，当10x =时，()f x 有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒【答案】(1)()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+，由已知得2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数()v x 的表达式为()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)依题意并由(1)可得()260,020,()1200,202003x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩，当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20＝1200；当20200x <≤时，()21()100100003f x x ⎡⎤=---⎣⎦，∴当100x =时，()f x 在区间(20，200]上取得最大值1000033333≈，∵3333＞1200，∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．11．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y =161,04815,4102x xx x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.(精确到0.11.4)【答案】(1)8天(2)1.6【解析】(1)解：∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥，∴此时04x ≤≤．当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，∴此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．(2)解：设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度()()()1161625114428614a g x x a x a x x =-+-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-----⎝⎭⎣⎦，∵[]1448x -∈，，而14a ≤≤，∴8[]4,，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤，∴y a的最小值为24 1.6-．12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)()()108f x x x =≥，())0g x x =≥(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元【解析】(1)依题意：可设()()10f x k x x =≥，())0g x k x =≥，∵()1118f k ==，()2112g k ==，∴()()108f x x x =≥，())0g x x =≥.(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元，年收益为y 万元，依题意得：()()20y f x g x =+-，即)0208x y x =+≤≤，令t =则220x t =-，0,t ⎡∈⎣，则22082t t y -=+，0,t ⎡∈⎣()21238t =--+，所以当2t =，即16x =万元时，收益最大，max 3y =万元.13．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[]0,10x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[]0.5,1k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++（万元）．(1)将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；(2)当复工率0.8k =时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．【答案】(1)3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈(2)当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元【解析】(1)由题意得()802095030820y x t x t t x =+-+-=--1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=---=--- ⎪++⎝⎭，即3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈.(2)由0.8k =，得288288144820812444y x x x x =---=--+++，因()28828888432248326444x x x x +=++-≥⨯-=++，当且仅当2x =时取等号，所以6412460y ≤-+=.故当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元.14．已知函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数.(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性,并证明你的结论.【答案】(1)()2f x x -=;(2)函数()f x 为偶函数;(3)()f x 在()0,∞+上单调递减,证明见解析.（1）因为函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，故()2f x x -=．（2）函数()2f x x -=为偶函数．证明如下：由（1）知()2f x x -=，其定义域为{}0x x ≠关于原点对称，因为对于定义域内的任意x ，都有()()()()222211f x x x f x xx ---=-====-，故函数()2f x x -=为偶函数．（3）()f x 在()0,∞+上单调递减．证明如下：在()0,∞+上任取1x ，2x ，不妨设120x x <<，则()()221212221211f x f x x xx x ---=-=-()()2221212122221212x x x x x x x x x x -+-===，()12,0,x x ∈+∞且12x x <，222121120,0,0x x x x x x ∴-<+>>，()()12f x f x >()f x ∴在()0,∞+上单调递减.。
2021版新高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4.2导数与函数零点课件新人教B版
令x+1=t,则ln t<t-1(t>1),
所以 2 1 1 ln 1，
aa
a
所以S(x)在 (ln 1 , 2) 上有且只有一个零点,
aa
综上,0<a<1.
【规律方法】 处理函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点问题的常用方法 (1)数形结合,即分别作出两函数的图象,观察交点情况; (2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,通过构造函数y=f(x)g(x),利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.
【解析】(1)a=1,f(x)=x2-x-ln x,则
f′(x)=2x-1- 1 (2x 1)(x 1) (x 0)，
x
x
当0<x<1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x>1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增, 所以f(x) 在x=1处取最小值0.
(2)由 f(x)=ax2-x-ln x,
a
(2)由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4. 由题意知1-k>0, 当x≤0时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0, g(x)单调递增, g(-1)=k-1<0,g(0)=4, 所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根. 当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,
2
(2)若直线l与曲线y=f(x)有两个不同的交点,求实数a的取值范围.
【解题导思】
序号
(1)曲线y=f(x)在直线l的上方
1 2
x2
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人教版初中数学章节目录七年级上册（61）第1章有理数（19）第2章整式的加减（8）第3章一元一次方程（18）第4章图形认识初步（16）_______________________________________________________________________________ 七年级下册（62）第5章相交线与平行线（14）第6章平面直角坐标系（7）第7章三角形（8）第8章二元一次方程组（12）第9章不等式与不等式组（12）第10章数据的收集整理与描述（9）_______________________________________________________________________________ 八年级上册（62）第11章全等三角形（11）第12章轴对称（13）第13章实数（8）第14章一次函数（17）第15章整式的乘除与因式分解（13）_______________________________________________________________________________ 八年级下册（61）第16章分式（14）第17章反比例函数（8）第18章勾股定理（8）第19章四边形（16）第20章数据的分析（15）_______________________________________________________________________________ 九年级上册（62）第21章二次根式（9）第22章一元二次方程（13）第23章旋转（8）第24章圆（17）第25章概率初步（15）_______________________________________________________________________________ 九年级下册（48）第26章二次函数（12）第27章相似（13）第28章锐角三角函数（12）第29章投影与视图（11）_______________________________________________________________________________%%%% 各章详细内容%%%%_______________________________________________________________________________ ～～～～七～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第一章有理数1．1正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1．2有理数1．3有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1．4有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1．5有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章整式的加减2．1整式阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话2．2整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3．1从算式到方程阅读与思考“方程”史话3．2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3．3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4．1多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4．2直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4．3角4．4课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～七年级下册第五章相交线与平行线5．1相交线5．2平行线5．3平行线的性质5．4平移数学活动小结复习题5第六章平面直角坐标系6．1平面直角坐标系6．2坐标方法的简单应用数学活动小结复习题6第七章三角形7．1与三角形有关的线段7．2与三角形有关的角7．3多边形及其内角和7．4课题学习镶嵌数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组8．1二元一次方程组8．2消元8．3再探实际问题与二元一次方程组数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组9．1不等式9．2实际问题与一元一次不等式9．3一元一次不等式组9．4课题学习利用不等关系分析比赛（1）数学活动小结复习题9第十章数据的收集整理与描述10．1几种常见的统计图表10．2用图表描述数据信息技术应用利用计算机画统计图阅读与思考作者可能是谁10．3课题学习从数据谈节水数学活动小结复习题10～～八～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～第十一章全等三角形11．1全等三角形11．2三角形全等的条件阅读与思考为什么要证明11．3角的平分线的性质数学活动小结复习题11第十二章轴对称12．1轴对称12．2轴对称变换信息技术应用探索轴对称的性质12．3等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系数学活动小结复习题12第十三章实数13．1平方根13．2立方根13．3实数数学活动小结复习题13第十四章一次函数14．1变量与函数信息技术应用用计算机画函数图象14．2一次函数阅读与思考科学家如何测算地球的年龄14．3用函数观点看方程（组）与不等式数学活动小结复习题14第十五章整式的乘除与因式分解15．1整式的乘法15．2乘法公式阅读与思考杨辉三角15．3整式的除法15．4因式分解观察与猜想x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解数学活动小结复习题15 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～八年级下册第十六章分式16．1分式16．1分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16．1分式方程数学活动小结复习题16第十七章反比例函数17．1反比例函数17．1实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17第十八章勾股定理18．1勾股定理18．2勾股定理的逆定理数学活动小结复习题18第十九章四边形19．1平行四边形19．2特殊的平行四边形实验与探究巧拼正方形19．3梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形19.4课题学习：重心数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20．1数据的代表20．2数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20．3课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20～～～九～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第二十一章二次根式21．1二次根式21．2二次根式乘除21、3二次根式的加减阅读与思考海伦──秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22．1一元二次方程22．2降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22．3实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系数学活动小结复习题22第二十三章旋转23．1图形的旋转23．2中心对称信息技术应用探索旋转的性质23．3课题学习图案设计数学活动小结复习题23第二十四章圆24．1圆24．2与圆有关的位置关系24．3正多边形和圆阅读与思考圆周率π24．4弧长和扇形面积实验与研究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25．1概率25．2用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25．3利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25．4课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～九年级下册第二十六章二次函数26．1二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26．2用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26．3实际问题与二次函数数学活动小结复习题26第二十四章相似27．1图形的相似27．2相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27．3位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28．1锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数28．2解直角三角形数学活动小结复习题28第二十九章投影与视图29．1投影29．2三视图阅读与思考视图的产生与应用29．3课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29各章节详细知识点七年级上册第一章《有理数》1.正数与负数的概念2.正数与负数的实际意义3.有理数的概念4.数轴的概念5.相反数的概念6.绝对值的概念7.有理数的大小比较8.有理数的加法法则9.有理数的减法法则10.有理数的乘法法则11.有理数的运算律12.有理数的除法法则13.有理数的混合运算法则14.有理数的乘方相关概念（乘方、幂、底数、指数）15.有理数的乘方法则16.科学记数法17.近似数（有效数字）第二章《整式的加减》1.单项式及其相关概念（单项式、系数、次数）2.多项式及其相关概念（多项式、项、常数项、次数）3.整式4.同类项的概念5.合并同类项的法则6.去括号法则7.整式加减的运算法则第三章《一元一次方程》1.方程的概念2.一元一次方程的概念3.方程的解4.等式的性质5.一元一次方程的解法（步骤）6.一元一次方程的应用问题（和差倍分问题、数字问题、行程问题、工程问题、劳动力调配问题、增长率问题、商品利润问题）第四章《图形的初步认识》1.几何图形的概念2.立体图形的概念3.平面图形的概念4.立体图形的三视图5.立体图形的展开图6.点、线、面、体的概念7.直线的相关概念（直线、相交线、交点）8.两点确定一条直线9.点与直线的位置关系10.线段的中点11.两点之间线段最短12.两点之间的距离13.角及其相关概念14.角平分线15.余角的概念16.补角的概念17.余角（补角）的性质七年级下册第五章《相交线与平行线》1.相交线的相关概念（邻补角、对顶角）2.对顶角的性质3.垂线的相关概念（垂直、垂线、垂足）4.过一点画垂线5.垂线段最短6.点到直线的距离7.“三线八角”的相关概念8.平行的概念9.平行公理10.平行线的判定11.平行线的性质12.命题及其相关概念（命题、真命题、假命题）13.定理的概念14.平移的概念15.平移的性质第六章《平面直角坐标系》1.有序实数对的概念2.平面直角坐标系及其相关概念（平面直角坐标系、横轴、纵轴、原点、坐标、象限）3.特殊点坐标（象限符号、坐标轴上点的特征、坐标轴角平分线上点的特征、对称点坐标特征、平行于坐标轴的点的特征）4.直角坐标系的实际应用5.平移的坐标特征第七章《三角形》1.三角形的概念2.三角形的分类3.三角形的三边关系4.三角形的“三线”（高线、中线、角平分线）5.三角形的稳定性6.三角形的内角和定理7.三角形的外角8.三角形的外角性质定理9.多边形及其相关概念（多边形、对角线、正多边形）10.多边形的内角和定理11.多边形的外角和定理第八章《二元一次方程组》1.二元一次方程的概念2.二元一次方程（组）的解3.解二元一次方程（代入消元法、加减消元法）4.二元一次方程的应用5.三元一次方程组的概念6.三元一次方程组的解法第九章《不等式与不等式组》1.不等式的概念2.不等式的解3.解集4.一元一次不等式的概念5.不等式的性质6.一元一次不等式的解法7.一元一次不等式的应用8.一元一次不等式组的概念9.一元一次不等式组的解法第十章《数据的收集、整理与描述》1.收集数据（问卷）2.整理数据（表格）3.描述数据（条形统计图、扇形统计图）4.抽样调查的概念5.总体、个体、样本、样本容量6.简单随机抽样的概念7.直方图及其相关概念（直方图、组距、频数）8.画直方图的步骤八年级上册第十一章《全等三角形》1.全等形的概念2.全等三角形的相关概念（全等三角形、对应顶点、对应边、对应角）3.全等三角形的性质4.全等三角形的判定5.角平分线的性质6.角平分线的判定第十二章《轴对称》1.轴对称图形的概念2.关于直线对称的相关概念3.轴对称的性质4.线段垂直平分线的性质5.线段垂直平分线的判定6.作轴对称图形7.关于坐标轴对称点的特征8.等腰三角形的概念9.等腰三角形的性质10.等腰三角形的判定11.等边三角形的概念12.等边三角形的判定13.等边三角形的性质第十三章《实数》1.算术平方根的概念2.平方根的概念3.平方根的性质4.立方根的概念5.立方根的性质6.实数的概念7.实数的分类8.实数的相反数、绝对值9.实数与数轴的关系第十四章《一次函数》1.变量与常量2.函数与自变量3.函数的图像4.正比例函数的解析式5.正比例函数的图象及其性质6.一次函数的解析式7.一次函数的图象及其性质8.一次函数与一元一次方程的关系9.一次函数与一元一次不等式关系10.一次函数与二元一次方程组的关系第十五章《整式的乘除与因式分解》1.同底数的幂的乘法公式2.幂的乘方公式3.积的乘方公式整式的乘法法则4.单项式与多项式相乘的乘法法则5.多项式相乘的乘法法则6.平方差公式7.完全平方公式8.添括号法则9.同底数幂的除法法则10.单项式除单项式的法则11.多项式除以单项式法则12.因式分解的概念13.因式分解的方法（提取公因式法、公式法）八年级下册第十六章《分式》1.分式的概念2.分式的基本性质3.约分与通分4.最简分式5.分式乘除的法则6.分式加减的法则7.整数指数幂的运算性质8.分式方程的概念9.分式方程的解法10.分式方程的应用第十七章《反比例函数》1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及其性质3.反比例函数的应用第十八章《勾股定理》1.勾股定理2.勾股定理的逆定理第十九章《四边形》2.平行四边形的性质3.平行四边形的判定4.两条平行直线之间的距离5.矩形的概念6.矩形的判定7.矩形的性质8.菱形的概念9.菱形的性质10.菱形的判定11.正方形的概念12.正方形的性质与判定13.梯形概念14.梯形的分类15.等腰梯形的性质16.等腰绞刑的判定第二十章《数据的分析》1.平均数与加权平均数2.中位数3.众数4.方差九年级上册第二十一章《二次根式》1.二次根式的概念2.二次根式的两个重要公式3.代数式的概念4.二次根式的乘法法则5.二次根式的除法法则6.最简二次根式7.二次根式的加减法法则第二十二章《一元二次方程》2.一元二次方程的根3.一元二次方程的解法（直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法）4.根的判别式5.一元二次方程根与系数的关系6.一元二次方程的应用（面积问题、连续增长问题）第二十三章《旋转》1.旋转的相关概念（旋转、旋转中心、旋转角）2.旋转的性质3.中心对称的相关概念（中心对称、对称中心、对称点）4.中心对称的性质5.中心对称图形的概念6.关于原点对称的点的坐标的特征第二十四章《圆》1.圆的相关概念（圆的两种定义、圆心、半径、弦、直径、圆弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧）2.垂径定理及其推论3.弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系定理4.圆周角的概念5.圆周角定理及其推论6.圆内接多边形的概念7.圆内接四边形的性质8.点与圆的位置关系9.三点确定一个圆10.三角形的外接圆及外心11.直线与圆的位置关系及其相关概念12.切线的性质及判定定理13.切线长定理14.圆与圆的位置关系及其相关概念15.正多边形与圆的相关概念（正三角形与圆、正方形与圆、正六边形与圆）16.弧长公式及扇形面积公式17.圆锥及圆柱的侧面积及表面积第二十五章《概率》1.随机事件、不可能事件、必然事件的概念2.随机事件的性质3.概率的概念4.概率的计算公式5.用列表法、树形图计算概率6.频率与概率的关系高中数学目录此文为人教必修版新教材高中数学目录必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用（1）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数（1）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（2）必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章基本的初等函数（2）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非（否定）1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的集几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点（a，∏/2）处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。
高中数学各章节
必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用（1）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章基本初等函数（1）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（2）必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章基本的初等函数（2）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非（否定）1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的集几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点（a，∏/2）处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。
反比例函数公式
反比例函数公式1. 什么是反比例函数反比例函数是数学中的一种函数关系，也被称为倒数函数。
在数学中，两个变量之间如果满足一个变量增加，而另一个变量减少的关系，就可以表示为反比例函数。
反比例函数的一般形式表示为：y = k/x其中，y表示函数的值，x表示自变量的值，而k是常数。
2. 反比例函数的图像反比例函数的图像是一个双曲线，其中，曲线的渐近线为x 轴和y轴。
当x趋近于零时，y趋向于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋向于零。
反比例函数的图像有一个特点，即图像在原点处对称。
我们以一个简单的例子来说明反比例函数的图像。
假设 k = 1，我们可以得到以下函数：y = 1/x我们可以通过绘制函数的表格或利用计算器来得到函数的图像。
下表是一些x和对应y的值：x y-3-0.33-2-0.5-1-11/221120.530.33绘制这些点后，我们可以看到图像呈现出一个双曲线，其中曲线趋近于x轴和y轴。
该图像经过原点并在x轴和y轴间对称。
3. 反比例函数的性质3.1 定义域和值域反比例函数的定义域为除零之外的所有实数。
也就是说，对于任意非零的x，可以找到对应的y值。
值域是全体非零的实数。
3.2 零点和渐近线反比例函数的零点在x轴上，即当x为非零实数时，函数的值为零。
而渐近线是指图像趋向于的线，反比例函数有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
3.3 单调性反比例函数在定义域上是单调递减或单调递增的。
当k为负值时，函数单调递减；当k为正值时，函数单调递增。
3.4 对称性反比例函数在原点处对称。
也就是说，如果点(x,y)在图像上，那么点(-x,-y)也在图像上。
4. 反比例函数的应用反比例函数在实际中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：4.1 电阻电流关系在电路中，电阻和电流之间满足反比例关系。
根据欧姆定律，电流和电阻之间的关系可以表示为：I = V/R其中，I代表电流，V代表电压，R代表电阻。
根据反比例函数的公式，我们可以发现电阻和电流之间的关系是反比例函数关系。
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有：
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时， 导数不存在.
当 x < 0时，y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少；
当 x > 0时，y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加；
向上凸：图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
高中数学(苏教版必修一)配套课时作业：3.4.1 第1课时 -含答案
§3.4函数的应用3.4.1 函数与方程第1课时函数的零点课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系2.一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的______．3．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的______．4．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有______⇔函数y＝f(x)有______．函数零点的存在性的判断方法若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．一、填空题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是________．2．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是________．(填序号)①若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0；②若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0； ③若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0； ④若f (a )f (b )<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0.3．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有________个．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ，x >0零点的个数为________．6．已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则实数b 的取值范围是________．7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______． 8．函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________．9．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________.二、解答题10．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则方程f (x )＝x 的解的个数是_______________________．13．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实根，有几个实根．(3)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与§2.5 函数与方程 2．5.1 函数的零点知识梳理1．2个 1个 0个 2个 1个 2.零点 3.实数根 横坐标 4．交点 零点 作业设计 1．2个解析 方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，∵ac <0，∴a ≠0， ∴Δ＝b 2－4ac >0，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根， 则对应函数的零点个数为2个． 2．①②④解析 对于①，可能存在根； 对于②，必存在但不一定唯一； ④显然不成立． 3．0，－12解析 ∵a ≠0,2a ＋b ＝0， ∴b ≠0，a b ＝－12.令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.4．4解析 由图象可知，当x >0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y 轴对称，故此函数的零点至少有4个． 5．2解析 x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3. x >0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增， f (1)＝－2<0，f (e 3)＝1>0，∴f (1)f (e 3)<0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 综上，f (x )在R 上有2个零点． 6．(－∞，0)解析 设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则由f (0)＝0可得d ＝0，f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x －1)(x －2)⇒b ＝－3a ，又由x ∈(0,1)时f (x )>0，可得a >0，∴b <0. 7．3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0. 8．2解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点． 9．1解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2)，由题意知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.10．证明 设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线． 因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 11．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎨⎧ m >0f (4)<0或⎩⎨⎧m <0f (4)>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0.12．3解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ，即x 2＋3x ＋2＝0， ∴x ＝－1或x ＝－2； 当x >0时，方程为x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．13．解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。
三角函数知识点归纳
三角函数知识点归纳 一、任意角与弧度制 1.任意角 (I)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. J 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)分类［按终边位置不同分为象限角和轴线角(3)终边相同的角：所有与角a 终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合S=｛缈=a+ 2kιt, Λ∈Z!.(3)象限角与轴线角 今1(第一象限角)卜| 第二致限角阳2A"专VaV2痴 2⅛π<α<2⅛π+-g-,⅛∈z} +π,⅛∈ZT 第三敛限角)卜性"τrVaV2"+等"刃 第四象限角］{α∣2⅛π+^<α<2⅛π+2π,⅛∈z}2.弧度制的定义和公式 角a 的弧度数公式 IaI=%/表示弧长)角度与弧度的换算 ①1。
=念 rad ；② 1 rad=, 弧长公式 l=∖a ∖r 扇形面积公式S=»=如/ (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 3.任意角的三角函数 一、定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么Sina=y, cos α=x, tan α=^(x≠()).二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀：三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.(2)三角函数定义的推广：设点P(x, y)是角Q终边上任意一点且不与原点重合，r=∣OP∣,则• V X V,1八、sin a= , COSa=-, tanα=-(Xw0).r rχ∖ ,三、特殊角的三角函数：3.1 象限角及终边相同的角例1、若角。
是第二象限角，则辞()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角∩例2、一的终边在第三象限，则。
的终边可能在() 2A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限或y轴非负半轴D.第三、四象限或y轴非正半轴3.2 三角函数的定义例1、已知角α的终边经过点P(一χ, — 6),且COSa=—/,则1;+%½= _________________ .1J SlIl (A IdIl (A例2、已知角α的终边经过点(3, -4),则Sin a+»^=.3.3 、三角函数符号的判定例1、已知Sina < 0旦cosa > 0,则a的终边落在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.4 扇形面积问题1.已知一个扇形的弧长和半径都等于2,则这个扇形的面积为().A. 2B. 3C. 4D. 6二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1 .同角三角函数的基本关系(1)平方关系：siMα+cos2α=l; (2)商数关系：tan α=黑吃.同角三角函数的基本关系式的几种变形(l)sin2α= 1 — cos2α=(l + cos «)(1 —cos a)； cos2a= 1 - sin2a=(l ÷sin a)(l — sin a)； (sin a±cos a)2 =l±2sin acos a.(2)sin a=tan acos a(a≠5+E, &WZ).2 .诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”公式一：sin(a+2⅛π)=sin a, cos(a÷2hc)=cos a»la∏(6Z + <λkτf)= t∏∏OC其中公式二：sin(π+ct)= ~sin a> cos(π+cc)=~cos ct> Ian(Tr+a)=Ian a.公式三：sin(π~a)=sin a,cos(π-a) = — cos ct, ta∏(^-6Z)= —ta∏ OC ∙公式四：sin(-ct)=—sin a, cost—«)=cos a,t<l∏) = -13∏ CX .公式五：Sine-a) =cos a, COSe—a) =Sina 公式六：SinC+a)=cos a，CoSC+«) = -sin a.诱导公式可概括为〃∙]±a的各三角函数值的化简公式.口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中的奇、偶是指方的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把a看成锐角时，根据在哪个象限判断厚三曲函数值的符号，最后作为结果符号.8.方法与要点一个口诀I、诱导公式的记忆。
高中数学各章节
高中数学目录此文为人教必修版新教材高中数学目录必修一第一章1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法第二章2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数图像〔选学〕2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图像2.2.2二次函数的性质与图像2.3函数的应用〔1〕2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法第三章根本初等函数〔1〕3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幕及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3黑函数3.4函数的应用〔2 〕必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的根本元素1.1.2棱柱棱锥棱台的结构特征1.1.3圆柱圆锥圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱棱锥棱台和球的外表积1.1.7柱锥台和球的体积1.2点线面之间的位置关系1.2.1平面的根本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的根本公式2.1.1数轴上的根本公式2.1.2平面直角坐标系中的根本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的集中形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点距离公式必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种根本逻辑结构和框图表示1.2根本算法语句1.2.1赋值输入输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单的随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相互关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与根本领件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式〔选学〕3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用必修四第一章根本的初等函数〔2〕1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的根本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图像与性质1.3.2余弦函数正切函数的图像与性质1.3.3三角函数值求角第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算2.2向量的分解和向量的坐标运算2.2.1平面向量根本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式〔选学〕2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式〔组〕与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域3.5.2简单线性规划选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2根本逻辑联结词1.2.1且与或1.2.2非〔否认〕1.3充分条件必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件必要条件1.3.2命题的四种形式第二章圆锥曲线方程2.1曲线方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程由方程研究曲线性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的集几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与几何体3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的根本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离〔选学〕选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何1.2导数的运算1.2.1常数函数与黑函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四那么运算法那么1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分的根本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分根本定理第二章推理与证实2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证实与间接证实2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例第三章娄嫁的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法选修2-3第一章计数原理1.1根本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与实践的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析选修4-4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面上的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆1.4.2圆心在点〔a,n/2〕处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线与圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2双曲线的参数方程2.3.3抛物线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程。
天线理论与技术第二版_钟顺时_第三章部分习题解答
令������(∆) = 0 求得第一个零点������01 = 4.8°
Figure 3.1-3
14
方向图
3.2-1 ������������2 ������ ������������1 12 = 73.1 + ������42.5 − 12.6 − ������29.9 = 60.5 + ������12.6 Ω 2) ������������������1 = 60.5Ω ������������������ = ������������������1 || ������������������2 = 60.5 || 60.5 = 30.25Ω |������������2 |2 3) ������������ = ������������1 + ������ |������������1 |2 ������2 = 60.5 + 60.5 = 121Ω 2 120������ 120 × 22 ������ ������ = = = 3.97 ������������ 121 1) ������������1 = ������11 + 3.3-1 ������������������ sin ������) ������ ������ ������ = ������������ ������ sin( sin ������) ������ sin ( 1) ������ = ������������ ������ = ������ 2 sin(3������ sin ������) ∴ ������ ������ = ������ 6 sin( 2 sin ������) 令 3������ sin ������ = ±������������ , 同时分母不为零，求得零点 ± 19.47°, ±41.81°, ±90° ������ cos (2 sin ������) sin(3������ sin ������) ������(������) = ∙ ������ cos ������ 6 sin( 2 sin ������) ������ 2
10零点定理
3.4.4、零点1、零点的概念：对于函数(),y f x x D =∈，如果存在实数()c c D ∈，当x c =时，()0f x =，那么就把x c =叫做函数(),y f x x D =∈的零点．函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的解，也就是函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标．2、零点的求法：求函数的零点一般采用二分法：所谓二分法即通过每次把()y f x =的零点所在的小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值的方法． 二分法的理论依据是零点定理．3、零点定理及其推论：零点定理：如果函数()y f x =在定义区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，那么在区间(,)a b 内至少存在一个实数c ，使()0f c =，也就是在(,)a b 内，函数()y f x =至少有一个零点．零点定理的推论：特别地，当(),[,]y f x x a b =∈是单调函数，且()()0f a f b ⋅<，则该函数在区间[,]a b 上有且仅有一个零点，即存在唯一0(,)x a b ∈，使得0()0f x =．例1 求函数2231211x x y x x-=+---的零点．例2 对于函数()(21)31g x k x k =+-+，（1）若1x =是其零点，求k 的值；（2）若在区间[1,0]-上存在零点，求k 的取值范围．例 3 用二分法求函数32()231828f x x x x =--+在区间(1,2)内的零点（精确到0.1）例 4 已知函数22(31)91y mx m x m =--+-，若它在区间(1,2)中仅有一个零点，求实数m 的取值范围．例5 已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求实数a 的取值范围．练习1、函数2()23f x x x =--的零点是_________．2、命题“函数()f x 的零点可以有无穷多个”是_________命题（用“真”或“假”填空）．3、若函数3()23f x x ax =+-的一个零点为1-，则实数a 的值为_________．4、若函数()1f x kx =+在区间(0,1)上有零点，则实数k 的取值范围是_________．5、函数3221y x x x =--+在区间(2,3)上的零点是_________．（精确到0.1）6、若函数()f x 为偶数，且在定义域上存在零点，则零点的个数一定为偶数，此命题是______命题（用“真”或“假”填空）．7、函数32()1f x x x x =-+-的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、函数3()2f x x x =+-的零点是（ ）A ．1B ．1或2-C ．1或2D ．1或2±9、下列函数中，无零点的函数是（ ）A ．2()31f x x x =+-B ．()f x =C ．3()2f x x x =-D ．42()1f x x x =++10、函数21y ax a =++在[1,1]-上无零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-或13a >- B ．1a <- C ．13a >- D ．0a = 11、用二分法求32()452169140f x x x x =-+-在区间(1,2)内的零点（精确到0.1）．12、已知函数2=+-在区间(1,0)()23f x kx kx-上仅有一个零点，求实数k的取值范围．13、函数2=+-在R上无零点，求实数a的取值范围．()1f x ax ax。
三阶系统的闭环传递函数
三阶系统的闭环传递函数1. 引言在控制系统中，闭环传递函数是一个重要的概念。
它描述了输入信号与输出信号之间的关系，并决定了系统的稳定性、响应速度和鲁棒性等特性。
闭环传递函数通常由开环传递函数和反馈路径组成。
在三阶系统中，闭环传递函数是一个三阶多项式，具有以下形式：H(s) = N(s) / D(s)其中，N(s)和D(s)分别是分子多项式和分母多项式。
在本文中，我们将详细讨论三阶系统的闭环传递函数，并解释其中的特定函数。
2. 特定函数的定义在三阶系统的闭环传递函数中，有几个特定的函数需要注意。
它们分别是：•零点：指分子多项式N(s)在某个复数根s=z处为零的情况。
零点决定了系统的频率响应特性。
•极点：指分母多项式D(s)在某个复数根s=p处为零的情况。
极点决定了系统的稳定性和响应速度。
•频率响应：指系统对不同频率输入信号的响应程度。
频率响应可以通过计算闭环传递函数在复平面上的模值来获得。
•零极点分布：指闭环传递函数的零点和极点在复平面上的分布情况。
零极点分布决定了系统的稳定性和频率响应特性。
下面将详细解释这些特定函数的用途和工作方式。
3. 特定函数的用途和工作方式3.1 零点零点是三阶系统闭环传递函数中的一个重要概念。
它表示系统对某个特定频率输入信号的响应为零，即输出信号为零。
在闭环传递函数中，零点可以通过令分子多项式N(s)等于零来求解。
假设我们得到一个零点s=z，则说明系统对频率为z的输入信号没有响应。
具体来说，当s=z时，分子多项式N(s)等于零。
我们可以将闭环传递函数表示为：H(s) = (s-z) / D(s)其中，(s-z)表示一个一阶因子，它使得系统对频率为z的输入信号没有响应。
我们可以把每个零点看作是一个使得系统对某个特定频率输入信号不敏感的因子。
3.2 极点极点是三阶系统闭环传递函数中的另一个重要概念。
它表示系统对某个特定频率输入信号的响应趋向于无穷大，即输出信号发散。
在闭环传递函数中，极点可以通过令分母多项式D(s)等于零来求解。
函数的零点知识点总结
函数的零点知识点总结一、函数的定义与性质1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）的规则或方法。
形式上，函数可以表示为f: X → Y，其中 X 是自变量的集合，Y 是因变量的集合，f 是一个特定的规则或方法。
1.2 函数的性质（1）定义域和值域：对于函数f: X → Y，定义域是指所有可能的自变量的取值集合，而值域是指所有可能的因变量的取值集合。
（2）单调性：函数在其定义域上的单调性描述了函数的增减规律。
一个函数可能是增函数、减函数或者不变函数。
（3）奇偶性：对于函数 f(x)，如果 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
（4）周期性：如果存在一个正数 T，使得对于任意的 x，有 f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T 称为该函数的周期。
（5）连续性：如果一个函数在某个区间上具有连续性，即在该区间内任意两点 x 和 y 之间都存在一点 z，使得 f(z) 介于 f(x) 和 f(y) 之间，那么该函数在这个区间上是连续的。
（6）可导性：如果一个函数在某一点处具有导数，那么称该函数在该点可导。
二、零点的概念与方法2.1 零点的定义函数的零点是指使得函数取值为零的自变量。
形式上，如果 f(a) = 0，那么 a 就是函数 f 的一个零点。
2.2 求解零点的方法对于一般的函数，其零点通常需要通过特定的方法来求解，以下是一些常用的方法：（1）代数法：对于一些简单的函数，可以通过代数运算将函数转化成方程，然后直接求解方程来得到零点。
（2）图像法：通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的零点。
（3）数值法：对于复杂的函数，可以通过数值计算的方法来逼近函数的零点，如二分法、牛顿迭代法等。
（4）分析法：对于一些特殊函数，可以通过数学分析的方法来得到函数的解析解。
三、常见函数的零点3.1 一次函数的零点一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是实数且a ≠ 0。
二分法求函数零点教案(最新整理)
２、用二分法求函数 f (x) 的零点的近似值的步骤：
（１）确定区间[a, b], 验证： f (a) · f (b) < 0，确定精确度
（２）求区间(a , b)的中点 x1
（３）计算 f (x1 ) 若 f (x1 ) =0, 则就 x1 是函数的零点 若 f (a) · f (x1 ) <０，则令 b = x1 （此时零点 x0∈(a, x1 )） 若 f (x1 ) · f (b) <０，则令 a = x1 （此时零点 x0∈( x1 , b)）
( )1
个零点．方法二：作出 y＝ x 与 y＝ln x 的图象观察可知只有一个交点．故选 B. 2
5、方程 2x－1＋x＝5 的解所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3)
D．(3,4)
【解析】 令 f(x)＝2x－1＋x－5，则 f(2)＝2＋2－5＝－1<0，f(3)＝22＋3－5＝2>0，从
解：应选 B，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
例 2、
1
利用二分法求方程
3
x 的一个近似解（精确到 0.1）。
x
解：设 f x 1 x 3 ，则求方程 1 3 x 的一个近似解，即求函数 f x 的一个近似零
x
x
点。∵ f 2 1 0 ， f 3 1 0 ，∴取区间 2,3作为计算的初始区间。
f 2
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
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概 念
函数零点的定义：
一般地，对于函数y=f(x)(x∈D), 如果存在实数c （ c∈D ）,当x=c时，f(c)=0，那么就把x=c叫做函数 y=f(x) )(x∈D)的零点。
注意：零点指的是一个实数；
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
探 究
观 察 二 次 函 数 f ( x) x 2 2 x 3 的 图 象，如右图，我们发现函数 f ( x) x2 2 x 3在 区间 2,1 上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间
y 5 4
3
2 1
-2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x
例
a
b
a
b
a
b
a
b
探 究
例1：有一块边长是13cm的正方形金属薄片，如果先在 它的四个角上都剪去一个边长是xcm的小正方形，然后做 成一个容积是140cm3的无盖长方体盒子，那么x是多少 （结果精确到0.1）？
2 x (13 2 x ) 140 由题意得 解：
x
13 求这个三次方程 在 （0, 2 ）内 的实数根， 13 3 2 就是求函数 f(x)=4x -52x +169x-140, x∈（0, 2 ）
2, 4 上是否也具有这种特点呢？
结 论 并且有 f (a) f (b) 0 ，那么，函数 y f ( x) 在区间 a , b 内有零点，
如果函数 y f ( x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，
即存在 c a,b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
因为区间 思考：如何进一步有效 (3.15625,3.1875)的两 缩小根所在的区间？ 个端点值，精确到0.1的近 似值都是3.2，所以f(x)在 4 区间(3,4)内的零点的近似 值为3.2
3
试一试：
3
3.5
4
3
3.25
3.125 3.25
3.5
4
求出函数f(x)在区 间(1,2)内的零点的 近似值
3.4函数的基本性质（4） 函数的零点
发 现
引入与发现：
1、函数f(x)=3x-2，当 x= 2 ( ,0) 图象与x轴交点为
4 2、函数f(x)=x- ，当x= 2 x 3
2 3
时， f(x)=0，
或-2 时， f(x)=0，
图象与x轴交点为
（2,0），（-2,0）
发现：
方程f(x)=0的 解就是函数f(x) 的图像与x轴交 点的横坐标。
3
3.5
4
答：上述问题中正方 形所剪去的小正方形 的边长约为1.3米或 3.2米。
概 念
二分法：
你能设计计算机 程序来完成吗？
通过每次把函数 y=f(x) 的零点所在的区间收 缩一半的方法，使区间的两端点逐步逼近函 数的零点，以求得零点的近似值，这种方法 叫做二分法．
思考：二分法实质是什么？
实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼 近”思想逐步缩小零点所在的区间。
即4x3-52x2+169x-140=0,
13 x∈（0, ） 2
13 x
的零点 x
0
1
2
3
4
5
6
6.5
x
13-2x
f(x) -140 -19
22
7
-40
-95
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-134 -140
函数在区间（1,2）、（3,4） 内各有一个零点
探 究
寻求函数f(x)=4x3-52x2+169x-140在区间 (3,4)内的零点的近似值(精确到0.1)
课堂小结
1. 理解二分法是一种求函数的零点（方程 近似解）的常用方法． 2. 能借助计算机 ( 器 ) 用二分法求函数零点 的近似值，体会程序化的思想即算法思 想． 3. 感悟重要的数学思想：等价转化、函数 与方程、数形结合以及无限逼近的思想.