九年级下数学《二次函数--配方法及其应用》课件
专题06 一元二次方程及其解法(二)-配方法(解析版)
九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题06 一元二次方程-配方法典例解读【典例1】解方程：x2+4x﹣1=0．【点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【解析】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【总结】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【典例2】用配方法解方程：2x2﹣12x﹣2=0．【点拨】首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解析】解：2x2﹣12x﹣2=0，系数化为1得：x2﹣6x﹣1=0，移项得：x2﹣6x=1，配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10，开方得：x﹣3=±10，则x 1=3+10，x 2=3﹣10．【总结】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．【典例3】若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【总结】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.【典例4】用配方法证明21074x x -+-的值小于0． 【点拨】本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致． 【解析】22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭， 即210740x x -+-<．故21074x x -+-的值恒小于0．【总结】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．【典例5】用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．【解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣， ∵（x ﹣）2≥0， ∴﹣8（x ﹣）2≤0， ∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0， 即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【总结】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．【典例6】若把代数式x 2+2bx+4化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则k ﹣m 的最大值是 ． 【答案】417； 【解析】解：x 2+2bx+4=x 2+2bx+b 2﹣b 2+4 =（x+b ）2﹣b 2+4； ∴m=﹣b ，k=﹣b 2+4， 则k ﹣m=﹣（b ﹣21）2+417． ∵﹣（b ﹣21）2≤0， ∴当b=21时，k ﹣m 的最大值是417． 故答案为：417．【总结】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形． 【典例7】已知223730216b a a b -+-+=，求4a b - 【点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式．【解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 31314422422a b -=-=-=-． 【总结】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．【教材知识必背】一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；教材知识链接④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【变式1】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0. 【答案】(1)方程变形为x 2-4x=2． 两边都加4，得x 2-4x+4=2+4．精准变式题利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6． 解这个方程，得x-2=或x-2=-． 于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x 2+6x=-8． 两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x 2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1， ∴ x=-2或x=-4． 【变式2】用配方法解方程 （1）（2）20x px q ++=【答案】（1）2235x x +=2253x x -=-25322x x -=- 2225535()()2424x x -+=-+251()416x -=5144x -=±123,12x x ==.（2）20x px q ++=222()()22p px px q ++=-+224()24p p qx -+=①当240p q -≥时，此方程有实数解，221244p p q p p qx x -+----==②当240p q -＜时，此方程无实数解.【变式3】求代数式 x 2+8x+17的最小值 【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1 ∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.【变式4】试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238． 【答案】 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵ 21204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭．即代数式223x x -+的值不小于238． 【变式5】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 .【答案】（1）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；所以的最小值是152-（2）22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.1. 用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（ ） A ．（x+2）2=1 B ．（x+2）2=7 C ．（x+2）2=13 D ．（x+2）2=19 【答案】B ．【解析】x 2+4x=3，x 2+4x+4=7，（x+2）2=7． 2．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．277x x ++B ．244m m -- C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 【答案】C ；【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -= B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x += D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】C ；【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=．4．把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2=m 的形式时，m+n 的值为（ ） A ．8 B ．6 C ．3 D ．2 【答案】D ；【解析】 x 2﹣6x=﹣4，∴ x 2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x ﹣3）2=5，∴ n=﹣3，m=5， ∴ m+n=5﹣3=2．故选D ．5．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 【答案】D ；【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．综合提升变式练6．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对 【答案】C ；【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±； 7．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ； 8．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1. 9．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2．-2．．【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-210．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2. 【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4. 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.11．用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x+m ）2=n 的形式为 ． 【答案】（x ﹣3）2=2．【解析】移项，得x 2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x 2﹣6x+9=﹣7+9， （x ﹣3）2=2．12．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________． 【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±.13．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338，14．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ． 【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1； 故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 15. 用配方法解方程 （1） （2）221233x x += 【解析】 （1）x 2-4x-1=0 x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5 x-2=5± x 1=2+5x 2=2-5(2)221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x +=1744 x+=±13 2x=22x=-16. 用配方法解方程.（1）解方程：x2﹣2x=4．（2）解方程：x2﹣6x﹣4=0．【解析】解：（1）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．解方程：x2﹣6x﹣4=0．（2）解：移项得x2﹣6x=4，配方得x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．17．当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【解析】解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．18. 已知a2+b2﹣4a+6b+13=0，求a+b的值．【解析】解：∵a2+b2﹣4a+6b+13=0，∴a2﹣4a+4+b2+6b+9=0，∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，∴a ﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．19．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．【解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-=又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。
九年级数学《二次函数》单元备课
《第二十六章二次函数》单元备课一、学情分析九年级学生的思维正处于由经验型向理论型转型期，虽然经过第三学段学习，抽象思维能力有了长足发展，但形象思维仍然处于主流位置，加之二次函数的学习是以已学函数内容为基础的，从八年级上册“一次函数”、八年级下册“反比例函数”的学习到九年级下册“二次函数”的学习，相互间隔时间较长，而函数的概念、描点法画函数的图象等在本章中都要用到。
因此，要注意复习已学函数相关内容，是顺利完成本章学习的基础，帮助学生学好二次函数。
在学习过程中，需要不断地提高认识问题的水平，这包括对过去已认识过的事物的再认识，也包括对新认识的事物与已认识的事物之间的联系的认识。
这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的。
二、教学任务分析：本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型，它既是其他学科研究时所采用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数的图像抛物线，既是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
这几节的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此这一章节的教学目标：1．使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；2．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进行思考和语言表达的能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究一般函数性质的经验；4．能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
华师大版-数学-九年级上册-“配方法”及其应用
“配方法”及其应用把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax bc c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．例1．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．开方，得12112x x ==-，． 通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解． “配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．一、用于比较大小例2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数 解：（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选B ．说明：本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.二、用于因式分解例3．分解因式：42221x x ax a +++-．解：42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（） 22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．说明：这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．三、用于求待定字母的值例4．若实数x y ，满足224250x y x y +--+=的值是（ ）A ．1 B．32+ C．3+D．3- 解：对已知等式配方，得2210x y -+-=2（）（），∴21x y ==，．3====+C ． 说明：本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．四、用于求最值例5．多项式21x x -+的最小值是（ ）A ．1B ．54C ．12D ．34 解：21x x -+21324x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故选D ． 说明：此例是“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．五、用于证明例6．证明方程85210x x x x -+++=没有实数根．证明：85210x x x x -+++=85221344244393x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224132202433x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即对所有实数x ，方程左边的代数式的值均不等于0，因此，原方程没有实数根． 说明：这是“配方法”在代数证明中的应用，要证明方程85210x x x x -+++=没有实数根.似乎无从下手，而用“配方法”将其变成完全平方式后，便“柳暗花明”了．以后，我们学习了函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．。
2012.9.20三帆中学徐康《二次函数》教材分析课件1
（三）本章教学要求
• 2011年版课程学习目标 （3）会用配方法将数字系数的二次函数 的表达式化为 y=a(xh)2+k 的形式，并能 由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出 图象的开口方向，画出图象的对称轴，并 能解决简单实际问题。
（三）本章教学要求
• 2011年版课程学习目标 （4）会利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似解。 （5）*知道给定不共线三点的坐标可以 确定一个二次函数。
函数是数学的核心概念，也是初中数 学的基本概念，函数的思想方法将贯 穿整个学习过程。
2. 注重联系实际；
创设丰富的现实情境，重视学生直 观感知的作用。 重视解决实际问题 的教学，引导学生感受数学的价值。
3. 注重探索结论的过程,给学生充分的自 主探索时间。 教师要充分理解“学生对学习过程的 经历和体验也是教学目的”的理念， 致力于创设情境、设置问题、引导学 生交流讨论，在探索的过程中培养学 生类比、从特殊到一般的思维方法。
2课时
四、教学建议
研究函数的几个方面： （1） 通过具体实例认识一种函数； （2） 探索这种函数的图象和性质，并利用
图象、性质解决问题；
（3）探索这种函数与相应方程等的关系；
（4）利用这种函数解决实际问题。
1. 注意复习相关内容，注重知识间的 相互联系； 函数概念、一次函数、反比例函数知 识、待定系数法和整式配方、方程和 不等式等知识需要复习。
数←→形 结论应该让学生自己通过观察、 推理得到，不是简单背诵。
可以引导 程度较好的学生思考，分别改 变a、b、c的值时，抛物线顶点的轨迹及 方程。
利用函数图象性质解决问题：
1、已知抛物线 y=ax2+bx+c（a ＜0）过A（ -2，0） 、O（0，0）、B（ -3，y1 ）、C（3， y2 ）四点， 则 y1与y2 的大小关系是（ A ） A． y1 ＞ y2 B． y1 = y2 C． y1 ＜ y2 D不能确定
九年级下册第二章《二次函数》第一节
课题：2.1 二次函数一、课标要求：（一）内容标准：通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
（二）能力目标：通过分析实际问题，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，引出二次函数的概念，并能利用尝试求值的方法解决实际问题。
体会函数的建模思想。
十大核心概念在本节课中突出培养的是应用意识、模型思想。
二、教材与学情分析：（一）教材分析：本节课是九年级下册第二章《二次函数》第一节，属于“数与代数”领域中的“函数”。
二次函数是一种基本初等函数，是描述现实世界变量之间关系的重要模型。
学生已经学习了函数，一次函数和反比例函数。
研究函数已经有很好的基础和经验。
二次函数是初中阶段所学的函数知识的重点内容之一，是对函数及其应用知识学习的深化和提高。
二次函数的学习为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础，积累经验，同时为第四节二次函数的应用做好铺垫有着承上启下的作用。
本节的重点是通过实际情境，引出二次函数的概念，并从中体会函数的模型思想。
（二）学情分析一、学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，具备了一定的函数方面的基础知识、基本技能，会利方程解决一些实际问题。
（2）支持性条件：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些利用函数解决实际问题的活动，感受到了函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型；经历过合作学习的过程，具有一定的合作与交流能力。
2.起点能力分析学生能够表示出比较简单的具体问题中各个量之间的关系。
二、学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：本节课通过自主学习与合作交流，少数学生能用二次函数表示简单变量之间的关系，多数学生能判断是否是二次函数、能够用尝试求值的方法解决实际问题。
多数学生在解决问题时由于实现数学化方面存在学习障碍，因此分析和建立两个变量之间的二次函数关系仍有困难，针对这一问题，采取策略：从学生感兴趣的且较简单的实际问题入手，使学生积极参与数学学习活动，把数学问题和实际问题相联系，同时使学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，增强对数学的好奇心和求知欲。
第二章二次函数-二次函数与几何综合(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数图像的几何变换：重点理解图像的平移、伸缩、对称等几何变换的规律及其对函数表达式的影响。
-平移变换：掌握二次函数图像向左、向右、向上、向下平移的规律，理解平移变换对函数解析式中常数项的影响。
-难点举例：在图像的平移、伸缩、对称变换中，如何正确调整函数解析式中的常数项和系数。
-解决方法：通过动态演示和实际操作，帮助学生直观地理解图像变换规律，并学会应用于实际问题。
（2）二次函数与几何关系的综合应用：学生对二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点的理解可能不深刻。
-难点举例：如何确定二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点，以及如何利用这些交点解决几何问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与几何综合》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算抛物线与坐标轴围成图形面积的情况？”（如篮球投篮的抛物线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与几何综合的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与几何综合在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决方法：通过典型例题的分析和讲解，使学生掌握求解交点的方法，并运用这些交点解决几何问题。
人教版初中数学中考复习 一轮复习 二次函数及其应用2(课件)
解方程，得 m1=-2，m2=3（不符合题意，舍去） ∴m=-2
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
9. （2021•泸州）直线 l 过点（0，4）且与 y 轴垂直，若二次函数 y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+
（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中 x 是自变量）的图象与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴
解方程，得 m1= 41-1 ，m2= - 41+1 （不符合题意，舍去）
4
4
∴m= 41-1 ， 4
1 - m＞3，即 m＜-3，当 x=3 时，y=6.∴9来自6m+2m2-m=6,
解方程，得 m1=-1，m2= - 3 （均不符合题意，舍去）. 2
综上所述，m=-2 或 m=
41-1
.
4
2 1＜- m≤3，即-3≤m＜-1，当 x=-m 时，y=6. ∴m2-m=6
bx＋c＝0有 两个不相等的 实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴 只有一个 交点，则一元二次方
程ax2＋bx＋c＝0有两个 相等 的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0 没有 实数根．
知识点梳理——知识点4：二次函数与一元二次方程及不等式的关系
A(1，0)，B(m，0)(－2＜m＜－1)，下列结论①2b＋c＞0；②2a＋c＜0；
③a(m＋1)－b＋c＞0；④若方程a(x－m)(x－1)－1＝0有两个不等实数根，
A 则4ac－b2＜4a；其中正确结论的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
配方法公开课PPT课件
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移项两边加上使左边配成完全平方式左边写成完全平方式964x2100x210x2解一次方程加其他的数行吗为什么方程两边都加上当今世界的商业活动进行文化传播是其重要的功能
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教学重难点
➢ 运用直接开平方法解形如x2 = p 或(mx＋n)2 = p（p≥0）的方程，领会 降次──转化的数学思想。 ➢ 配方法的解题步骤。 ➢ 把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方。
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探究
根据完全平方公式填空。
（1）x2＋8x ＋ __1_6____ = ( x＋ _4____ )2
（2）x2－4x ＋ __4_____ = ( x－ _2____ )2
（3）x2－10x＋__2_5____ = ( x－ _5____ )2
二次项系数为1 时
一次项系数一半的 平方
配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征。 使用配方法，先配方，再降次。 配方法适用于一切一元二次方程。
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例题 （1）x2 x 7 0
4
解：（1）
移项，得
x2 x 7 4
配方
x2
x
1
2
2
7 4
1
2
2
x
1 2
2
2
由此可得
x1 2 2
x2 4
x1 2, x2 2
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x2 5
x1 2 5,
x2 2 5
2. 下列解方程 x2－10x －36 = 0的过程 正确吗？如果不正确，请指出错误的地方。
解：移项，得 x2－10x = 36
九年级数学《二次函数(配方法)》课件
上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
21.2 二次函数
——配方法
1 说出二次函数 y 4(x 2)2 1 图象的 开口方向，对称轴，顶点坐标，增减 性
2 它是由y=-4x2怎样平移得到的
学习目标
1 使学生掌握通过配方确定抛物线的开口方 向，对称轴，顶点坐标及最值
2 理解二次函数 y ax2 bx c 的性质
自主学习，b2
2a
4a
1的开不口画方图向象，，对直称接轴说，出顶点y 坐12标x2，增2x减 3性
2 不画图象，直接说出 y 2x2 4x 1
的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性
1 求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴， 增减性，最值
（1） y x2 2x 2 （2） y 2x2 8x （3） y 2x2 4x 8
y ax2 bx c
a x2 b x c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
x
b 2a
2
b2 4a2
c
a x
b
2
4ac
b2
.
2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴
直线x b 2a
开口方向 增减性
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
最值
当x b 时,最小值为4ac b2
二次函数--配方法二次函数中的符号问题
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
16
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＝0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
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快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
2 x -1 O 1
23
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个 交点，则a可取的值为 ；
24
数学因规律而不再枯燥，
根据图像可得： 1、a＜0
o x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＜0 4、C＜0 18
练一练：
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 b M（ ，a）在（ D ） c A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 y
根据图像可得： 1、a＜0 2、-
b 2a
＞0
与x轴无交点
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号：
由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定
4a-2b+c的符号 9a+3b+c的符号
九年级数学上册课件：21.2.1解一元二次方程--配方法的应用
分析： 2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0，
拆项、配方，得 （a2-2ab＋b2）＋（b2-2bc＋c2）＋（c2-2ca＋a2）＝0
（a-b）2＋（b-c）2+（c-a）2＝0．
1.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0，
1、用配方法解下列方程:
(1)x2+8x-15=0
(2)2x2-5x-6=0
(3)3x2-6x+4=0
(4) x(x+4)=8x+12
➢用配方法解一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步骤：
2、把下列代数式配成（a±b)2+k 的形式：
1、x2+10x+9
2、-x2-4x-5
1 2
3、4x2-16x-7
(
3)2] 4
48
2( x 3 )2 71
10
4
8
不论x为何实数
,
2[( x 3)2 9 ] 10 4 16
(x 3)2 0 4
2(x 3)2 71 0 48
所以无论x为何实数，代数式2x2-3x+10的值均大于零．
三、判定几何图形的形状
例3 已知 a、b、c是△ABC的三边，且满足
x-2=0 ， y-4=0
x=2
y=4
二、利用配方法求代数式的最值
问题： （1)、x为实数，当x=
时，代数式（x-5）2+1源自最大（或最小值）是（2)、x为实数，当x=
- 时，代数式 （x+1）2 +3的最大（或最小值）是
中考数学第一轮系统复习夯实基础第三章函数及其图象第13讲二次函数课件
1．将抛物线解析式写成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，则顶点坐标为(h，k)， 对称轴为直线 x＝h，也可应用对称轴公式 x2．解题时尽可能画出草图．
【解析】如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0，故①错 误；根据图象有a＞0, b＜0, c＜0，∴abc＞0，故②正确；当x＝－1时 ，a－b＋c＞0，故③错误；二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标纵坐 标为－2，∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的 实数根，∴m＞－2，故④正确．故选B.
二次函数是中考的重点内容： 1．直接考查二次函数的概念、图象和性质等． 2实际情境中构建二次函数模型，利用二次函数的性质来解释、解决实 际问题． 3在动态的几何图形中构建二次函数模型，常与方程、不等式、几何知 识等结合在一起综合考查． 4．体现数形结合思想、转化的思想、方程的思想．
1．(2016·衢州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x， y)对应值列表如下：
(2)∵将 x＝0 代入 y＝12x＋32得 y＝32，将 x＝1 代入得 y＝2，∴直线 y＝12x ＋32经过点(0，32)，(1，2)．直线 y＝12x＋32的图象如图所示，由函数图象可 知：当 x＜－1.5 或 x＞1 时，一次函数的值小于二次函数的值 (3)先向上平移54个单位，再向左平移12个单位，平移后的顶点坐标为 P(－1， 1)．平移后的表达式为 y＝(x＋1)2＋1，即 y＝x2＋2x＋2.点 P 在 y＝12x＋32的 函数图象上．理由：∵把 x＝－1 代入得 y＝1，∴点 P 的坐标符合直线的 解析式，∴点 P 在直线 y＝12x＋32的函数图象上
用配方法把二次函数一般式转化为顶点式
反思：很荣幸，我被安排到北京密云三中上了一节“同课异构”的课，从中展示我数学科组多年来开展的教学改革的成果。
接到任务后，我精心准备，用心请教，按照阳光课堂的精神要求，即“教育是一种相互感染、相互呵护、相互促进的，充满生机与活力的教育”，认真开展了工作。
这节课取得了预期效果，得到了较好评价，再次说明我们数学科组开展的教学改革，它是充满生机与活力的。
当然，这节课既有优点，也有许多不足之处。
优点是我能够认真落实“初学---深学---拓学”的模式，整个教学过程嵌入了“群学、组学、独学”的活动，发挥了教师主导型，体现了学生主体性，努力做到“以阳光之心育阳光之人”。
缺点是教学过程中语言还不够简练，教态不够自然，影响了部分学生的学习兴趣。
相比较这节课的优点与缺点，我更想谈一下我整个备课的过程，从中总结经验，以便以后更好地开展异地教学工作。
记得当我接受这一节课的时候，我首先考虑三个方面，按照三方面的要求依次做好准备。
首先是了解教学内容，以便备课；其次是了解学生，以便开展教学活动；最后是落实我数学科组的教学模式，以便展示阳光教育理念。
在了解教学内容方面，我不仅与组办方沟通，而且与三中教师沟通，熟悉情况。
在整个备课的过程当中，我用心请教了我数学组的许多有经验的老师，并借用初三（8）班上了一节试讲课，采纳了许多意见，特别是教学的重点与次重点，教学容量的控制，教学内容在细节上的把握，最终敲定教学内容。
在了解学生方面，经过我沟通与了解，我知晓了三中学生的特点：成绩是中上水平，学生不乐于发言，往往做完题目就不愿意多交流，自顾自个。
鉴于此，我带了一些奖品，通过转盘的形式加以奖励。
通过奖励规则，我强调了两个方面内容：一是询问喜欢的奖品，学生举手示意，要求学生做完题后举左手，右手继续做题，不浪费时间，老师会过去批改，同时勇于发言；二是四人小组参与抽奖，只需派一个代表，让学生课前讨论中意的礼物，要求学生善于小组讨论。
在落实我数学科教学模式方面，我的最大感受是：最大限度地调动孩子积极性，尽可能地挤时间让孩子练题，不时对孩子好的行为加以表扬肯定，有意地对一些不良行为加以制止。
教学课件九年级数学下册第27.2二次函数的图象与性质1二次函数y=ax2的图象与性质
知识点 1 二次函数y=ax2的图象 【例1】在同一坐标系中,画出下列函数的图象． (1) y 1 x2. (2)y=2x2.
2
(3) y 1 x2. (4)y=-2x2．
2
【思路点拨】在数字0的两边各取一些左右对称的数字进行
列表，然后根据列表描点连线，画出函数的图象.
【自主解答】列表：
x
4.写出一个开口向下的二次函数的关系式________. 【解析】二次函数的图象开口向下, 则二次项系数为负,即a<0,所以答案不唯一.如满足条件的二 次函数的关系式为y=-x2. 答案:y=-x2(答案不唯一)
5.二次函数y=(3m+6)x2的图象在三、四象限,求m的取值范围, 并说明当x取何值时,y随x的增大而增大. 【解析】因为二次函数y=(3m+6)x2的图象在三、四象限,所 以3m+6<0,所以m<-2,所以当x<0时,y随x的增大而增大.
4
【解析】列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y 1 x2 4
…
-4
9 4
-1
1 4
0 1 -1 9 -4
4
4
…
描点连线，如图所示：
题组二：二次函数y=ax2的性质
1.（2012·龙岩中考）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的
增大而增大的有( )
①y=x;②y=-2x+1;③ y 1 ; ④y=3x2．
y 1 x2 2
y 1 x2 2
y=2x2
y=-2x2
…
-3
-2
-1 0
…
4.5
_2_
_0_._5_ 0
…
二次函数与一元二次方程说课稿课件
设计思想
• 根据本节内容，采用问题启迪，互动交流的方法来引导学 生探索研究，归纳总结，形成认知结构，培养思维能力。 为此，我以简短的具体问题导入对每一环节都针对性地设 计一些问题，并注意设问的技巧，以便促进学生对概念的 理解和学习能力的提高，同时在设计过程中加强归纳总结， 拓展推广，体现从特殊到一般的哲学思想是研究问题的常 规方法之一，不断地引导学生发现新问题，提出新问题， 激发学生的学习兴趣和求知欲。
为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用，教学 过程中设计了六个教学环节：1、创设问题情境，引入新课；2、
活动探究； 3、课堂点睛；4、课堂练习；5、小结思考；6、
作业布置。
教学程序
一、创设问题情境，引入新课
我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次 函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关 系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝ kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次 函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即 为一元一次方程kx＋b＝0的解．
2 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ c ）
A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明 3 抛物线y=x2-4x+4与轴有 一 个交点，坐标是 （2，0） 。
4 不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。 解：∵解方程x2-3x-4=0得： x1=-1，x2=4 ∴抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是： (-1，0)和(4，0)
北师大版九年级数学下册
一、教材与目标 二、学情与教法 三、教学程序与评价
教材分析
第一课时是在学生对二次函数图象、性质以及一元 二次方程的学习后进行的综合学习。学生已具备了相应 的学习经验，如画二次函数图象、求抛物线与轴的交点、 判别一元二次方程根的情况等。
专题06 一元二次方程及其解法(二)-配方法(原卷版)
九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题06 一元二次方程-配方法【典例1】解方程：x 2+4x ﹣1=0．【典例2】用配方法解方程：2x 2﹣12x ﹣2=0．【典例3】若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（） Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【典例4】用配方法证明21074x x -+-的值小于0．典例解读【典例5】用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．【典例6】若把代数式x 2+2bx+4化为（x ﹣m ）2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则k ﹣m 的最大值是 ．【典例7】已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值．【教材知识必背】一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；教材知识链接④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【变式1】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2=0； (2)x 2+6x+8=0.精准变式题【变式2】用配方法解方程（1）（2）20x px q ++=【变式3】求代数式 x 2+8x+17的最小值【变式4】试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238．【变式5】（1）的最小值是 ；（2）的最大值是 .1. 用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣3=0时，原方程可变形为（ ）A ．（x+2）2=1B ．（x+2）2=7C ．（x+2）2=13D ．（x+2）2=192．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．22990x x --=化为2(1)100x -= B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x +=D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 4．把一元二次方程x 2﹣6x+4=0化成（x+n ）2=m 的形式时，m+n 的值为（ ）A ．8B ．6C ．3D ．25．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数6．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对7．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-18．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=29．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2±10B ．-2±14C ．-2+10D ．2-1010．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2.11．用配方法将方程x 2-6x+7=0化为（x+m ）2=n 的形式为 ．12．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．13．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 . 综合提升变式练14．当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ．15. 用配方法解方程（1）（2）221233x x +=16. 用配方法解方程.（1）解方程：x 2﹣2x=4． （2）解方程：x 2﹣6x ﹣4=0．17．当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．18. 已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．19．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．。
2024年九年级下册数学《二次函数》课件
2024年九年级下册数学《二次函数》课件一、教学内容本节课选自2024年九年级下册数学教材第十章《二次函数》。
具体内容包括：10.1二次函数的定义与图像，10.2二次函数的性质，10.3二次函数的顶点式及其应用，10.4二次函数与一元二次方程的关系。
二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握二次函数的标准式、顶点式及其互化方法。
2. 能够根据二次函数的定义和性质，分析二次函数的图像特点。
3. 学会运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
三、教学难点与重点重点：二次函数的定义、性质、图像及其应用。
难点：二次函数顶点式的推导及其应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一个抛物线的运动轨迹，引导学生观察、分析，进而引出二次函数的概念。
2. 教学新课（1）二次函数的定义与图像通过实例让学生理解二次函数的定义，展示二次函数的图像，引导学生观察、分析图像特点。
（2）二次函数的性质利用实例和图像，引导学生探究二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点等。
（3）二次函数的顶点式及其应用通过顶点式的推导，让学生掌握顶点式与标准式的互化方法，并能运用顶点式解决实际问题。
（4）二次函数与一元二次方程的关系介绍二次函数与一元二次方程之间的联系，让学生了解它们在实际问题中的应用。
3. 例题讲解结合本节课的内容，讲解典型例题，引导学生运用所学知识解决问题。
4. 随堂练习设计适量练习题，让学生当堂巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数的定义2. 二次函数的性质3. 二次函数的顶点式及其应用4. 二次函数与一元二次方程的关系七、作业设计1. 作业题目：（1）已知二次函数f(x)=x²4x+3，求其顶点坐标和对称轴。
（2）求二次函数y=2(x3)²+4的顶点坐标、开口方向和最值。
2. 答案：（1）顶点坐标为（2，1），对称轴为x=2。
配方法界一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
x2 6x 16 0
移项
x2 6x 16
左右加32的依据、 目的各是什么？
可加其它数吗？
两边加上32,使左边配成
x2 2bx b2的形式
x2 6x 32 16 32
左边写成完全平方形式
( x 3)2 25
降次
x 3 5
x 3 5, x 3 5
（四）教学手段
本节课利用课件辅助教学，适时呈现问题情景，增 强直观效果，提高课堂效率。
说课流程
教材分析 教学目标分析 教法与学法分析 教学过程分析 教学评价分析
四、教学过程分析
回顾梳理 分层作业
创创设设情情景景 引引入入新新知知
自主探究 揭示规律
当堂检测 信息反馈
尝试运用 总结步骤
创设情景 引入新知
【活动1】想一想
问题： 我校正在校园 改建，即将竣工，相信 那时我们的校园将会更 加美丽。在修建的过程 中有老师建议修建一个 矩形花坛。使矩形花坛 的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 花坛的 长和宽应各是多少？
创设情景 引入新知
【活动1】想一想
问题： 我校正在校园 改建，即将竣工，相信 那时我们的校园将会更 加美丽。在修建的过程 中有老师建议修建一个 矩形花坛。使矩形花坛 的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 花坛的 长和宽应各是多少？
人教版义务教育课程标准试验教科书《数学》九年级（上）
——配方法解一元二次方程
说课流程
教材分析 教学目标分析 教法与学法分析 教学过程分析 教学评价分析
说课流程
教材分析 教学目标分析 教法与学法分析 教学过程分析 教学评价分析
一、教材分析
1、教学内容 本节课是人教版“义务教育数学课程标准（2011
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——配方法及其应用
学习目标：
1 使学生掌握通过配方确定抛物线的开口方 向，对称轴，顶点坐标及最值
2 理解二次函数 y ax2 bx c 的性质
3 在实际应用中体会二次函数作为一种数学 模型的作用，会利用二次函数的性质求实 际问题中的最大值或最小值。
1 说出二次函数 y 4(x 2)2 1 图象的 开口方向，对称轴，顶点坐标，增减 性
2a
4a
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
1 求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴， 增减性，最值
（1） y x2 2x 2 （2） y 2x2 8x （3） y 2x2 4x 8
2 抛物线如何 y 2x2 4x 5 平移得到 y 2x2
某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出 售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价、增 加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现 这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件。
y ax2 bx c
a x2 b x c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
acຫໍສະໝຸດ a x b 2 4ac b2 .
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
b 2a
,
2 它是由y=-4x2怎样平移得到的
1的开不口画方图向象，，对直称接轴说，出顶点y 坐 12标x2，增2x减 3性
2 不画图象，直接说出 y 2x2 4x 1
的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.
4ac 4a
b2
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴
开口方向 增减性
直线x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
直线x b 2a
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x b 时,最小值为 4ac b2
1 请表示出商品降价x元与利润y元之间的关系？
2 将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最 大？最大利润是多少？
• . 已知某商品的进价为每件40元，售价是 每件60元，每星期可卖出300件。市场调查 反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期
要少卖出10件。该商品应定价为多少元时， 商场能获得最大利润？