用向量法解决立体几何 PPT
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用空间向量证(解)立体几何题之——证明线面平行ppt 人教课标版
通过本例的练习，同学们要进一步 掌握平面法向量的求法：即用平面内 的两个相交向量与假设的法向量求数 量积等于0，利用解方程组的方法求出 平面法向量(在解的过程中可令其中一 个未知数为某个数)。
( 1 , 1 , 1 ) 同理可得平面 CB1D 1的法向量为m
例4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF
例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证： A 1 平面A1BD∥平面CB1D1
平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
D1
B1
C1
D A B
C
于是平面A1BD∥平面CB1D1
证明：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1， A1 ( 1 ,0 , 1 ) 则向量 DA 1
C N B
再见
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
( 1 , 1 , 1 ) 同理可得平面 CB1D 1的法向量为m
例4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF
例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证： A 1 平面A1BD∥平面CB1D1
平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
D1
B1
C1
D A B
C
于是平面A1BD∥平面CB1D1
证明：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1， A1 ( 1 ,0 , 1 ) 则向量 DA 1
C N B
再见
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46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
立体几何中的向量方法求空间角 ppt课件
a， b
rr
结论：cos |cosa,b|
•
(2011·陕西卷)如图，在△ABC中，∠ABC
＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD 把△ABD折起，使∠BDC＝90°.
• 设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值．
z
y
x
易得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，
r uuur n， BA
2
r uuur n， BA
B
2
B
r
ruuu r n
结论：sin |cosn,AB|
• 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹 角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(
)
•
A．120°
B．60°
•
C．30°
D．60°或30°
• 解析： 由题意得直线l与平面α的法向量所在 直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角
b Br
An
sin | cosn,AB|
3.二面角：
B
O
①方向向量法：
r n
B
A
C
l
D
②法向量法：
【注意】法向量的方向：一
coscosu A uB ur,C uuD ur uu A uuu B rurC uuuu D uu rr
进一出，二面角等于法向量 夹角；同进同出，二面角等
ABCD 于法向量夹角的补角。
• (2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直 且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹 角的大小就是二面角的大小．
• 以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特 点选择适当的方法解题．
rC
rD
1.异面直线所成r r角： a
空间向量与立体几何PPT课件
⑶∵已知点 A、B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
立体几何的向量方法(建系) ppt课件
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的pp一t课件个解,即得法向量. 16
练 1.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0,2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
ppt课件
17
例1、（2014福建理）YABCD, AB BD CD 1
ppt课件
20
练习2、如图，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC 的中点,作EF⊥PB交PB于点F， 证明PA//平面EDB；
z
z
y
y
o
nr
x
ppt课件
x
21
1.有三条两两垂直的直线（墙角）时建系最方便； 2.没有明显的“墙角”时需通过条件或辅助线 “找墙角”或“造墙角”； 3.实在没有时可借助直角建系， 另一条坐标轴“悬空”.
AB 3k，AD 4k，BC 5k，DC 6k (k 0)
（1）求证：CDபைடு நூலகம் 平面ADD1A1;
k （2）若求直线的A值A1与平面AB1C所z成角的正弦值为
6 7
x ppt课件
y
19
例3、（2012福建理）18、如图， 在长方体ABCD－A1B1C1D1中， AA1＝AD＝1，E为CD中点． （2）在棱AA1上是否存在一点P， 使得DP∥平面B1AE？若存在， 求AP的长；若不存在，说明理由；
y
余弦值;
(3)证明:在线段 BC1 存在点 D，
使得
AD⊥A1B，并求
BD BC1
的值.
x
空间向量在立体几何中的应用 ppt课件
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
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设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
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题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
立体几何中的向量方法PPT课件
第17页/共67页
(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)， 使得 DP∥平面 B1AE.此时D→P＝(0，－1，z0)． 又设平面 B1AE 的法向量 n＝(x，y，z)． ∵n⊥平面 B1AE，∴n⊥A→B1，n⊥A→E，得aa2xx＋＋zy＝＝00，.
第18页/共67页
取 x＝1，得平面 B1AE 的一个法向量 n＝1，－a2，－a. 要使 DP∥平面 B1AE，只要 n⊥D→P，有a2－az0＝0，解得 z0＝12. 又 DP⊄平面 B1AE，∴存在点 P，满足 DP∥平面 B1AE， 此时 AP＝12.
第15页/共67页
• [审题视点] (1)证明两直线的方向向量数量积为零；(2)设存在点P(0,0，z0)，构建 z0的方程，若能求出z0的值，说明点P存在；(3)先求出两平面的法向量，利用二面角 的平面角的度数即可得到关于a的方程，从而可求出a的值．
第16页/共67页
[解] (1)以 A 为原点，A→B，A→D，A→A1的方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如右图)．
第32页/共67页
求两异面直线所成的角，用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角，但需注 意二者范围的区别．同样地，利用向量法求二面角的大小，就是求两个半平面的 法向量的夹角(或夹角的补角)．在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求平面 的法向量．
第33பைடு நூலகம்/共67页
[变式探究] [2013·济宁模拟]已知三棱锥 P－ABC 中， PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N 为 AB 上一点， AB＝4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点．
第25页/共67页
• 例2 [2012·重庆高考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3， D为AB的中点．
(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)， 使得 DP∥平面 B1AE.此时D→P＝(0，－1，z0)． 又设平面 B1AE 的法向量 n＝(x，y，z)． ∵n⊥平面 B1AE，∴n⊥A→B1，n⊥A→E，得aa2xx＋＋zy＝＝00，.
第18页/共67页
取 x＝1，得平面 B1AE 的一个法向量 n＝1，－a2，－a. 要使 DP∥平面 B1AE，只要 n⊥D→P，有a2－az0＝0，解得 z0＝12. 又 DP⊄平面 B1AE，∴存在点 P，满足 DP∥平面 B1AE， 此时 AP＝12.
第15页/共67页
• [审题视点] (1)证明两直线的方向向量数量积为零；(2)设存在点P(0,0，z0)，构建 z0的方程，若能求出z0的值，说明点P存在；(3)先求出两平面的法向量，利用二面角 的平面角的度数即可得到关于a的方程，从而可求出a的值．
第16页/共67页
[解] (1)以 A 为原点，A→B，A→D，A→A1的方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如右图)．
第32页/共67页
求两异面直线所成的角，用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角，但需注 意二者范围的区别．同样地，利用向量法求二面角的大小，就是求两个半平面的 法向量的夹角(或夹角的补角)．在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求平面 的法向量．
第33பைடு நூலகம்/共67页
[变式探究] [2013·济宁模拟]已知三棱锥 P－ABC 中， PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N 为 AB 上一点， AB＝4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点．
第25页/共67页
• 例2 [2012·重庆高考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3， D为AB的中点．
用向量方法处理立体几何PPT课件
＝1（1 －1＋ 1 －2）＝－ 1
42 2
2
| PE | 1,| BF | 1
A
C
cos
PE, BF
|
PE PE
• BF || BF
|
1 2 3
2 3
4
E B
所以，所求异面直线所成的角为arccos 2 3
第28页/共46页
异面直线所成的角
例：在正方体ABCD A' B'C' D'
z
D'
中，M，N分别是AA'，BB'的中
C
B
A
AB' AB BB' b a
BC'• AB' (c a b) • (b a)
9.5 空间向量及其运算
• 空间向量及其线性运算 • 共线向量和共面向量 • 空间向量的分解定理 • 两个向量的数量积
第12页/共46页
空间向量及其线性运算
• 空间向量的概念、表示、相同或相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
第13页/共46页
第22页/共46页
法向量例 题
例：已知 , AB, AD , AC ,
DAB 45, CAB 60,求AB与平面ACD
所成角的正弦 z
AD (0,1,1),
D
AC ( 3,1,0), AB (0,1,0),
n (1, 3, 3)
A
By
cos n, AB n • AB 3
n (x, y, z)
AB (4,6,1), AC (4,3,2)
4x 6y z 0 4x 3y 2z 0 x2 y2 z 2 1
第八章第六节立体几何中的向量方法课件共18张PPT
A．－
10 10
B．－210
C．210
D．
10 10
D [建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，
设 DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(0，12 ，1)，
则A→C ＝(－1，1，0)，D→E ＝(0，12 ，1)，
设异面直线 DE 与 AC 所成的角为 θ，
则 cos θ＝|cos〈A→C
(2)点到平面的距离 如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为|B→O |＝|A→B|n·| n| .
直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称A→B 为直线 l 的方向向量，与A→B 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量．
，D→E
〉|＝
10 10
.]
4．(选修 2－1P113 习题 T9 改编)如图所示，在空间直角坐标系中，有一 棱长为 a 的正方体 ABCD-A′B′C′D′，A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的 距离为________．
解析： 由图易知 A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A′(a，0， a)，所以 F(a，a2 ，0)，E(a2 ，a2 ，所成的角是这两个平面所成的角．( )
(4) 两 异 面 直 线 夹 角 的 范 围 是 0，π2 ， 直 线 与 平 面 所 成 角 的 范 围 是
0，π2 ，二面角的范围是[0，π].(
)
答案： (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面
所以 EF＝ （a－a2）2＋（a2－a2）2＋（0－a2）2
高二数学课件 用向量法解决立体几何
空间向量在立几运用
Ⅰ知识回顾 一、空间向量的运算及其坐标运算的掌握
是平面向量的推广, 有关运算方法几
乎一样,只是 “二维的”变成 “三维的”了.
二、立体几何问题的解决──向量是很好的工具
空间图形问题有: (一)平行与垂直的判断 (二)夹角、距离的计算
1
问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
确定 E 点的位置，若不存在，说明理由.
20
证明: PA AD AB, 且PA 平面AC, AD AB
可设DA i, AB j, AP k, PA 1 z
P
N
分别以 i, j, k 为坐标向量建立空间直角坐标系A xyz D则
C
A(0,0,0), B(0,1,0),C(1,1,0), D(1,0,0),
11
（7） 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分
别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，
求点 B 到平面 EFG 的距离.
z
G 分析:用几何法做
相当困难,注意到坐标
系建立后各点坐标容易
得出,又因为求点到平 x D
C
面的距离可以用法向量 来计算,而法向量总是
F
可以快速算出.
D
C
n
EF，n
EG
2x 2y 2x 4
0 y2
0
F
n ( 1 , 1 ,1) ,BE (2, 0, 0) A 33
E
d | n BE| 2 11 .
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
B
y
14
题型四：其他常见问题
Ⅰ知识回顾 一、空间向量的运算及其坐标运算的掌握
是平面向量的推广, 有关运算方法几
乎一样,只是 “二维的”变成 “三维的”了.
二、立体几何问题的解决──向量是很好的工具
空间图形问题有: (一)平行与垂直的判断 (二)夹角、距离的计算
1
问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
确定 E 点的位置，若不存在，说明理由.
20
证明: PA AD AB, 且PA 平面AC, AD AB
可设DA i, AB j, AP k, PA 1 z
P
N
分别以 i, j, k 为坐标向量建立空间直角坐标系A xyz D则
C
A(0,0,0), B(0,1,0),C(1,1,0), D(1,0,0),
11
（7） 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分
别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，
求点 B 到平面 EFG 的距离.
z
G 分析:用几何法做
相当困难,注意到坐标
系建立后各点坐标容易
得出,又因为求点到平 x D
C
面的距离可以用法向量 来计算,而法向量总是
F
可以快速算出.
D
C
n
EF，n
EG
2x 2y 2x 4
0 y2
0
F
n ( 1 , 1 ,1) ,BE (2, 0, 0) A 33
E
d | n BE| 2 11 .
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
B
y
14
题型四：其他常见问题
《向量法解立体几何》课件
根据已知条件，确定各点的坐 标。
应用向量运算法则
利用向量的加、减、数乘、数 量积、向积等运算法则进行计 算。
建立空间直角坐标系
根据题意，选择合适的点作为 原点，确定x、y、z轴的方向 。
确定向量的坐标
根据点的坐标，计算相关向量 的坐标。
求解问题
根据具体问题类型，利用向量 法得出结论或求解未知数。
空间几何问题的实例解析
建立向量关系式
根据向量的运算规则，建立向量之间的关系式。
解方程组
通过解方程组，得到向量的坐标。
验证解的正确性
验证解是否符合题目的实际情况。
立体几何问题的实例解析
点线面位置关系的判断
利用向量法判断点、线、面之间的位置关系 ，如平行、垂直、相交等。
角度的计算
利用向量法计算线与线之间、面与面之间、 线与面之间的角度。
03
向量法解决空间几何问题
空间几何问题的分类
点线面位置关系问题：确定点、线、面之间的位 置关系，如平行、垂直、相交等。
角度和距离计算问题：计算两条线之间的夹角、 点到平面的距离、两平面之间的夹角等。
空间几何体的表面积和体积问题：计算给定几何 体的表面积和体积。
空间几何问题的解决步骤
确定点的坐标
适用范围
向量法适用于任何有方向的几何问题 ，特别是与方向和角度有关的问题， 而坐标法则更适用于有固定坐标系的 问题。
向量法与三角法的比较
角度与长度
向量法可以同时处理角度和长度问题，而三角法则主要关注角度问题。
运算方式
向量法在处理几何问题时，注重向量的线性运算，而三角法则涉及更多的三角函数运算。
向量法的优缺点分析
向量的数量积
两个向量的数量积是一个标量，记作$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}$，计算公式为$|overset{longrightarrow}{a}| cdot
应用向量运算法则
利用向量的加、减、数乘、数 量积、向积等运算法则进行计 算。
建立空间直角坐标系
根据题意，选择合适的点作为 原点，确定x、y、z轴的方向 。
确定向量的坐标
根据点的坐标，计算相关向量 的坐标。
求解问题
根据具体问题类型，利用向量 法得出结论或求解未知数。
空间几何问题的实例解析
建立向量关系式
根据向量的运算规则，建立向量之间的关系式。
解方程组
通过解方程组，得到向量的坐标。
验证解的正确性
验证解是否符合题目的实际情况。
立体几何问题的实例解析
点线面位置关系的判断
利用向量法判断点、线、面之间的位置关系 ，如平行、垂直、相交等。
角度的计算
利用向量法计算线与线之间、面与面之间、 线与面之间的角度。
03
向量法解决空间几何问题
空间几何问题的分类
点线面位置关系问题：确定点、线、面之间的位 置关系，如平行、垂直、相交等。
角度和距离计算问题：计算两条线之间的夹角、 点到平面的距离、两平面之间的夹角等。
空间几何体的表面积和体积问题：计算给定几何 体的表面积和体积。
空间几何问题的解决步骤
确定点的坐标
适用范围
向量法适用于任何有方向的几何问题 ，特别是与方向和角度有关的问题， 而坐标法则更适用于有固定坐标系的 问题。
向量法与三角法的比较
角度与长度
向量法可以同时处理角度和长度问题，而三角法则主要关注角度问题。
运算方式
向量法在处理几何问题时，注重向量的线性运算，而三角法则涉及更多的三角函数运算。
向量法的优缺点分析
向量的数量积
两个向量的数量积是一个标量，记作$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}$，计算公式为$|overset{longrightarrow}{a}| cdot
3.4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系(课件)高二数学(北师大版2019选择性必修第一册)
四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
A
证1
立体几何法
M
B
D
N
C
MN就是异面直线AB与CD的公垂线，
故异面直线AB与CD的距离就是MN.
例4 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证2
A
向量法
2
2
所以 PA 2 EG，即 PA // EG
而EG 平面EDB,
E
C
D
且PA 平面EDB
A
所以，PA// 平面EDB
X
G
B
Y
解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
1 1
(1)证明：依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1,1，0)
ＭＮ＝MA AD DN
1
1
AB AD DC
2
2
B
1
1
AB AD ( AC AD)
2
2
1
1
1
AB AC AD
2
2
2
A
B
α
图2
垂直又可以得到
线线垂直。
16
三垂线定理：
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果
和这个平面的一条斜线的射影垂
直，那么它也和这条斜线垂直
P
m
α
①
②
B
A
③
线线垂直
线线垂直
线面垂直
线面垂直
性质定理
空间向量之立体几何建系和求点坐标(共24张PPT)
xOy面内D yOz面内E zOx面内F
坐标形式 (x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
基础知识：
2、空间中在底面投影为特殊位置的点：
如果 A' x1, y1, z 在底面的投影为 A x2, y2,0 ，那么x1 x2, y1 y2
（即点与投影点的横纵坐标相同） 由这条规律出发，在写空间中的点坐标时，可看一下在底面的
建系方法2练习2 练2.如图，已知四棱锥P ABCD的底面是菱形，对角线AC, BD交于点O, OA 4,OB 3,OP 4,且OP 平面ABCD,点M为PC的三等分点（靠近P）, 建立适当的直角坐标系并求各点坐标。
找“墙角”
14
建系方法2练习3
练3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB // CD, AD DC CB 1, ABC 60,CF 平面ABCD,且CF 1,建立适当的直角坐标系 并确定各点坐标。
找“墙角”
建系方法2练习5
真题（辽宁卷）如图,AB 是圆的直径,PA 垂 直圆所在的平面,C 是圆上的点.
(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC； (2)若 AB＝2，AC＝1，PA＝1，求证：二面
角 C－PB－A 的余弦值.
造“墙角”
建系方法3例题
三、利用面面垂直关系构建空间直角坐标系（转化为墙角模型） 例3.在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．点P、H分别是线段VC、AD的 中点．试建立空间直角坐标系并写出P、V、A、B、C、D的坐标.
互相垂直，EF // BD, ED BD, AD 2, EF ED 1, 试建立合适的 空间直角坐标系并确定各点的坐标
立体几何中的向量方法平行和垂直PPT课件
3
3
所以MN、DC、DE共面
但MN 平面CDE 故MN // 平面CDE
第18页/共75页
三、 立体几何中的向量方法 ——垂直关系
第19页/共75页
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 , 的法向量分别为 u,v ，则
二、垂直关系：
(1) l m a b a b 0
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
第3页/共75页
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n (x, y, z)
则 n AB，n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2)
证2：
Z
P
E F
D A
第X28页/共75页
C Y
B
练习 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
证明：设正方体棱长为1，以DA，DC,DD1为单位
正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
DA (1, 0, 0)，DE (1,1, , 1)
一、方向向量与法向量
１．直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
•l
A•
P
a
直线ｌ的向量式方程 AP ta
第1页/共75页
2、平面的法向量
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AC 中点，在△PAC 中，由中位线定
理得 EO//PA 又 EO 平面 EDB，
O
PA 平面 EDB，∴PA//平面 EDB.
(2)由平面 PDC⊥平面 ABCD，BC⊥DC，得 BC⊥平面 PDC.又
DE 平面 PDC，则 BC⊥DE. E 为 PC 的中点，△PDC 为正三角 形，∴DE⊥PC. BC∩PC=C，∴DE⊥平面 PBC. 又 DE 平面 EDB，∴平面 EDB⊥平面 PBC.
（7） 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分
别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，
求点 B 到平面 EFG 的距离.
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
Du u (u 4r ,0,0)，E(2u ,4u u ,r 0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
(9)已知四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧面 PDC 为正三角形，且平面 PDC⊥底面 ABCD，E 为 PC 的中
点.
(1)求证：PA//平面 EDB；
(2)求证：平面 EDB⊥平面 PBC.
证明:(1)连 AC 交 BD 于 O，连 EO，
由四边形 ABCD 为正方形，得 O 为
的单位法向量. (1， 2，2）或 ( 1，2， 2）.
3 33
33 3
（ 2 ） 若 两 个 平 面 , 的 法 向 量 分 别 是
r
r
u (1, 0,1), v (1, 1, 0) ,则这两个平面所成的锐二面
角的度数是________.
题型二：线与线.线面角和面面角
例 2（3）三棱柱 ABC ─A1B1C1 中, BCA 90o , BC CA CC1 , E 、F 分别是棱 A1B1 、A1C1 的中点, 求 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值.
易 A ( 0,0,0)知 ,S 1 C (-的 B 1,1 ， ,0A ),D法 n (1 1 0 , 12面 A ,0D ), 向 S( (0 0,,1 2 0,,10 ))量 ,S B
C
C D (1 ,,0 )S ,D (0 , , 1 )
2
2
u u r
u u rx u Au u ru u rD u u u ry
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
(1)夹角
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a rr
的法向量分别为 u, v ，则
22 2 ,∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小为
2．
BA CD 4
4
r
⑶解：设平面 ACD 的法向量为 n (x, y, z), 则
r uuur
nr
AD uuur
(x,
y, z) (1, 0, 1)
0
，∴
x
z
0
，
n
AC r
(
x,
y,
z)
(0,
3, 1) 0
3y z 0
令 y 1,得 n ( 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量．
（ 5 ） ⑴ 证 明 ： 连 结 OC Q BO DO, AB AD, AO BD. Q BO DO, BC CD ，
CO BD ． 在 AOC 中 ， 由 已 知 可 得 AO 1,CO 3. 而 AC 2 ，
AO2 CO2 AC2 , AOC 90o , 即 AO OC. Q BD I OC O, ∴ AO 平面 BCD ．
设E 平F 面 ( E2 F, G 2 的, 0 一) , E 个G 法 向( 量 2 为, nr4 , 2 () , x, y, z)x D
Q n r nr u E u (F u r 1， n r , 1u ,E 1u G u )r ,B uu E u r22x x(224y,y00,20)0
F A
30 10
（ 4 ） 如 图 , ABCD 是 一 直 角 梯 形 , ABC 90o , SA 平 面
BCD , Sa AB BC =1, AD 1 ,求平面 SCD 与平面 SBA 所成的 2
锐二面角的余弦值.
解 ： 建 立 空 直 角 坐 系 A - x y z 如 所 示 , z
Ⅰ知识回顾 一、空间向量的运算及其坐标运算的掌握
是平面向量的推广, 有关运算方法几
乎一样,只是 “二维的”变成 “三维的”了.
二、立体几何问题的解决──向量是很好的工具
空间图形问题有: (一)平行与垂直的判断 (二)夹角、距离的计算
问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
①两直线 l , m 所成的角为 (0≤ ≤
, b ，平面 ,
rr ab
),cos r r
；
2
ab r r
②直线 l 与平面
所成的角为
(0≤ ≤
), sin
au rr
；
2
au
rr uv
③二面角 ─l ─ 的大小为 (0≤ ≤ ), cos r r .
uv
点、直线、平面间的距离有七种.点到平面的距离是重点,
分别是棱 A1B1 、A1C1 的中点,求 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值.
解：以点C为坐标原点建立空间
直角坐标系C x如yz图所示，
设
CC
1
1
则 1
A(1,0,0),B(0,1,0), AA 11
11
所F1( 以2：,0,1)1 ,D1(2,2,1 ) 11 AA
C FF 11
1
z
C
D1
1
uuur r
又
uuur EC
(
1
,
3 , 0), ∴点 E 到平面 ACD 的距离
EC n h r
3
21 ．
22
n
77
点评：找出一条垂直于底面的线作为Z轴，一些常见的规律如面 面垂直棱的垂线、正三棱柱的中线.正四棱柱的中心
学生练习
(6)已知直三棱柱 ABC ─A1B1C1 的侧棱 AA1 4 ,
3 3r uuur
E
d|nrBE| 2 11.
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
C
B
y
题型四：其他常见问题
例４（8）如图甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点
B处。从A，B到直线 L（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
a和 b,CD的长为 c, AB的长为 d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
题型三：求距离的问题
（5）四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，
CA CB CD BD 2 , AB AD 2.
⑴求证： AO 平面 BCD；
⑵求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小； ⑶求点 E 到平面 ACD 的距离．
F1
C1
D1
A1
C
A
B1
B
（ 4 ） 如 图 , ABCD 是 一 直 角 梯
形, ABC 90o , SA 平面 BCD , SA AB BC =1,
S
AD 1 ,求平面 SCD 与平面 SBA 所成的
B
C
2
锐二面角的余弦值.
A
D
例 1（3）三棱柱 ABC ─A1B1C1 中, BCA 90o , BC CA CC1 D1、F1
D
1
C
C
BB 11 BB y
A | c F o 1s ( u A u 2 F u r1 ,0 ,u B ,1 u ) D u u r1, B D | 1 || AA(2 FF11, •||BB2 DD,1 11)||
|
x
1 4 5
1| 3
30 10
42
所以 B D与1 所A F成1 角的余弦值为
∵ cos
uuur uuur CA, DB
uuur uuur CA DB uuur uuur
uuur uuur CA DB ,
CA DB
ab
u u u r u u u r
d 2 a 2 c 2 b 2 2 A C D B
2 a b c o s a 2 b 2 c 2 d 2 .
底面 △ABC 中, AC BC 2 , BCA 90o , E 是 AB 的中点,求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
（7） 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分
别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，
求点 B 到平面 EFG 的距离.
z
G
xD
F
A E
C
B
y
解：如图 C x建 ,y 则 C z(0 立 ,0 ,0 )E ,坐 (1 ,1 ,0 )A 标 ,(2 ,0 ,0 ) 系 B ,1(0 ,2 ,4 ).
C E ( 1 , 1 , 0 )A B , 1 ( 2 , 2 , 4 ),
设 C E ,A B 1 的公垂线 n 的 (x,y,方 z)则 . 向 C1 z 向量为
学生练习
(10)如图,60°的二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD
分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB＝