离散数学---集合的基本运算

3.2 集合的基本运算
集合的交、并、差、补、对称差 集合相等的证明
并集union
定义：设A，B是两个集合，所有属 于A或属于B的元素组成的集合，称为集合 A与B的并集，记作AB; AB={xxA xB}。
E
A
B
交集intersection
定义：A，B是两个集合，即属于A， 又属于B，称为集合A与B的交集，记为 AB。即AB={xxA xB}
利用集合等式证明
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
(A-B)∩(A-C)＝A∩~B∩A∩~C =A∩~B∩~C =A∩~(B∪C) =A-(B∪C)
证明吸收律A（AB）=A
证明：A（AB） =（A）（AB） =A（B） =A =A
已知AB=AC,AB=AC,求证B=C
利用谓词公式证明求证：A-
(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
证明：(A-B)∩(A-C)＝{x|x(A-B)∩(A-C)} ={x|x(A-B)∧ x(A-C)} ={x|xA∧(xB)∧(xA)∧(xC)} ={x|(xA)∧(xB)∧(xC)} ={x|(xA)∧(xB)∧(xC)} ={x|（xA)∧ (xB∨xC)} ={x|(xA)∧(xB∪C )} ={x| x A-(B∪C)} =(A-B)∩(A-C)
证明：(使用定义：x左，最后x 右) x P(A) ，则x A， 又由已知A B，所以x B 从而x P(B) 。 ∴ P(A) P(B)
例题
设F表示一年级大学生的集合，S表示二年级大学生的集合，R 表示计算机系学生的结合，M表示数学系学生的集合，T表示选 修离散数学的学生的集合，L表示爱好文学的学生的集合，P表 示爱好体育的学生的集合。则下列句子所对应的集合表达式为：
证明：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）
(1)xA(BC ) ,分两种情况 (a) 如xAxAB且x AC x(AB)(AC) (b) 如x A,则xBCxB且xC xAB且xAC x(AB)(AC) 任何情况下均有x(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)
不相交
如A∩B=称A，B不相交。
集合的差
设A，B是两集合，属于A而不属于B的元 素全体称为A与B的差集，记作A-B， 即A-B={xxA∧xB}。
E
A
B
补集(complement set)
集合A的补集，记为∼A，是那些不属于集合A的 元素所构成的集合，
即∼A={x | xA}。
通常来说，是在存在一个全集U的情况下讨论集
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 证明： x(A-B)∩(A-C)，
则x(A-B)∧ x(A-C) （xA)∧(xB)∧(xA)∧(xC) （xA)∧(xB)∧(xC) （xA)∧(xB)∧(xC) （xA)∧ (xB∨xC) (xA)∧(xB∪C ) x A-(B∪C) 从而， A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
∵P(A)P(B)
∴ uP（B） ∴{x}P(B)
从而P(A)P(B) ∴xB
∴AB 。
另外 ∵ AP(A),
P(A)P(B) ∴AP(B) ∴AB 。
例题：证明：如果AB，那么∼B ∼ A
证明： ∼B∪ ∼ A = ∼(B∩A) = ∼A
从而 ∼B ∼ A
求证：如果A B，则P(A) P(B)
合的补集。全集U是所讨论的问题域中所有元素
所构成的集合。
显然，A=E-A。 可知：x∈∼A xA x∈A
E A
求证A-B=AB
证明
A-B={x|xA-B}
={xxA∧xB}
A
={xxA∧xB}
=AB
E B
当A，B不相交时，A-B=A，B-A=B
对称差
定义：设A，B是两集合，集合（A-B）（B-A） 称为集合A，B的对称差，记作AB。
A1∩A2∩…∩An = {x | 对集合A={x-2＜x＜2，xR}， B={x0≤x≤4,xR}
求A∪B，A∩B 。 解：
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
A∪B={x-2＜x＜2或0≤x≤4,xR} ={x-2＜x≤4,xR}
A∩B={x-2＜x＜2且0≤x≤4,xR} ={x0≤x＜2,xR}
6、零一律 A∩=，A∪E=E
（A∩B）=A∪B
7、补余律 A∩A=，A∪A=E
10、双重否定律（A）=A
8、吸收律 A∪（A∩B）=A
注：A-B=A∩B
A∩（A∪B）=A
集合相等的证明的方法
一、利用集合的定义证明； 二、利用集合等式证明；（常用） 三、利用谓词公式证明； 四、用集合成员表。（略）
集合运算性质（运算律）
1、 交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
2、 结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）
（A∩B）∩C=A∩（B∩ C）
3、 分配律
A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）
A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C)
4、幂等律 A∪A=A，A∩A=A
5、同一律 A∪=A,A∩E=A
9、 德摩根律（A∪B）=A∩B
只有数学系和计算机系二 年级的学生才选离散数学。
T ( M∪R )∩S ①
E
A
B
广义的并集
集合的并(union)：集合A和B的并AB定义 为：AB = {x | xA或者xB}，集合的并可 推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合， 它们的并定义为：
A1A2∪…An = {x | 存在某个i，使得xAi}
广义的交集
集合的交(intersection)：集合A和B的并AB定义 为：AB = {x | xA而且xB}，集合的交也可推广 到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的交 定义为：
集合的化简
化简((ABC)(AB))-((A(B-C))A) 证明:原集合=(AB)-A(吸收律)
=(AB)A =(AA)(BA)(分配律)
=(BA) =BA
(互补律) (同一律)
集合包含的性质
• AE •如果ABC，则AC •ABAA∪B •AB A∪B=B AB=A ~B ~A
证明:B=B(AB) (吸收律)
=B(AC) (等量代入)
=(BA)(BC)(分配律)
=(AC)(BC)(等量代入)
=(AB)C(分配律)
=(AC)C(等量代入)
=C
(吸收律)
说明:AB=ACB=C
AB=ACB=C
两种推理均是不成立的。
课堂练习
用三种方法求证： (B-A)∪A=B∪A
1）所有计算机系二年级的学 生都选修离散数学。
4）只有一、二年级的学生才爱 好体育运动。
R ∩S T ②
2）数学系的学生或者爱好文 学或者爱好体育运动。
M L∪P ④
3）数学系一年级的学生都没 有选修离散数学。
Ｍ∩Ｆ～Ｔ ③
ＰＦ∪Ｓ ⑤
5）除去数学系和计算机系二年 级的学生外都不选离散数学。
即AB={xxA且x BxB且x A}
={x(xA∧x B)(xB∧x A)}
AB=(AB)-(AB) A
E B
对称差举例
例1、A={a,b,e} B={a,c,d} 解：B-A={c,d} A-B={b,e}， AB={c,d,b,e} 例2、A={xx-2,xR},E={xx≤2}求A， AA。 解：A= {xx-2}={x-2≤x≤2，xR} A-A= ∴AA=(A-A)(A-A)==
集合包含的证明
方法： 一、包含的定义；xA，最后x B ； 二、利用已知等式和包含性质
A B A∪B=B A∩B=A A-B= ∼B ∼A
例题：证明：A，B是集合，AB P（A）P(B）


uP(A)
xA
∴uA,
∴{x}A
∵AB
∴{x}P(A),
∴uB,
证明：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）(续)
(2)x(AB)(AC)xAB且xAC 分两种情况
(a) 若xA,则xA(BC) (b) 若x A， 由x A,xABxB, 由x A,xACxC
xBCxA(BC) 任何情况均有xA(BC) (AB)(AC)A(BC) (1)(2)合并为 A（BC）=（AB）（AC）
集合的交并例题2
设A为奇数集合，B为偶数集合，求A∪B 和A∩B 。 解：A∪B={xx是偶数或x是奇数}=Z
A∩B={xx既是偶数又是奇数}=
集合的交并例题3
设A1={1，{2，3}}，A2={2，{1，3}}， A3={3，{1，2}}，
求A1∩A2，A1∩A3，A2 ∩ A3。 解：三个集合均有两个元素，其中一个元素是 数。另一元素是两个数组成的集合，三个集合没 有相同元素，∴A1∩A2=A2∩A3=A3∩A1=