3.4 函数的单调性凹凸性

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3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
10
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3

y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.

D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0, 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系:


曲线凹 导函数递增?
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

从几何上看,曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点,连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续,在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数,那么
> 0 ,则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的; < 0 ,则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ,且 x 1 < x 2 ,记 x 0 =
= 0 处,曲线 y = x 3 有水平切线,即 x 轴。
一般地,如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处保持固定 符号时,函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明:当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2

Van Der Waerden 构造并证明: f (x )
=
n =0


ϕ 10n x
10n
(
) ,其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时, 2 x > 3 −
1
x

1 = 2 x − 3 − ,则 x
f ′ (x ) =
1
x

1
x
2
=
1
x2

高等数学方明亮34函数的单调性与曲线的凹凸性

高等数学方明亮34函数的单调性与曲线的凹凸性

y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 1 (函数单调性的判定法) 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 .( 1 ) 如 果 在 (a,b) 内 , f (x) 0 ,则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加;(2)如果在 (a,b) 内, f (x) 0 ,则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少.
2019年9月14日星期六
9
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定义 设函数 f (x) 在区间 I 上连续,如果对 I 上任意
两点 x1, x2 (不妨设 x1 x2 )及任意正数 (0 1) ,恒

f [x1 (1 ))x2 ] f (x1) (1 ) f (x2 ),
解:已知 f (x0 ) 0 ,不妨设 f (x0 ) 0 , 由于 f (x0 ) 在 x x0 的某邻域内连续,
因此必存在 0 ,当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) 0
又已知 f (x0 ) 0
从而当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) f (x0 ) 0 ,函数凸
则称曲线 y f (x) 在 I 上是凹的.
类似地,可给出曲线是凸的定义,若上式中不等 号反向,则称曲线 y f (x) 在 I 上是凸的.
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的,
下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性.
2019年9月14日星期六
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3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
D f'(x0)=0或f'(x0)不存在
单选题 10分
判定函数f(x)=arctan x-x 单调 性
A 单调增加 B 单调减少 C 不单调 D 无法判断
单选题 10分
判定函数 f(x)=x+cos x (0≤x≤2π) 的单调性
A 单调增加 B 单调减少 C 不单调 D 无法判断
主观题 8分 确定下列函数的单调区间:
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Hale Waihona Puke 主观题 8分确定下列函数的单调区间:
y
4x3
10 9x2
6x
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
主观题 8分 证明下列不等式:
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
主观题 8分 证明下列不等式:
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
单选题 10分
此处添加题目描述
A 沿x轴正向下降且为凸的 B 沿x轴正向上升且为凸的 C 沿x轴正向下降且为凹的 D 沿x轴正向上升且为凹的
单选题 10分 此处添加题目描述
A B C D
主观题 8分 判定下列曲线的凹凸性:
y ln(1 x2 )
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
单选题 10分
此处添加题目描述
A a 1,b 3, c 24, d 16.
B a 1,b 3, c 24, d 16. C a 1,b 3, c 24, d 16. D a 1,b 3, c 24, d 16.
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸 性
总分: 100
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单选题 10分 函数y=f(x)在x0处取得最大值, 则必有

3-4函数单调性与凹凸性(09)

3-4函数单调性与凹凸性(09)

二、函数单调性的应用
——证明不等式和判断方程根的个数. ——证明不等式和判断方程根的个数. 证明不等式和判断方程根的个数 1. 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数, 并讨论 构造辅助函数 它在指定区间内的单调性. 它在指定区间内的单调性. 例4 证明不等式 e x ≥ x + 1 证
令 f 2 ( x ) = ln(1 + x ) − x
因 为 f2 (0) = 0, 而 f2′( x) =
−x < 0 ( x > 0) 1+ x
则 f ( x )单减 即 f 2 ( x ) < f 2 (0)( x > 0) 故 单减.
ln(1 + x ) < x

x3 令 f ( x ) = tan x − x − 3
f ′(x) ≤ 0 A y = f (x)
B
o
a
b
x
o a
b x
各点处切线的斜率为正
各点处切线的斜率为负
在区间(a, 上单调递增 若 y = f (x)在区间 b)上单调递增 在区间 在区间(a, 上单调递减 若y = f (x)在区间 b)上单调递减 在区间
f ′( x) ≥ 0
f ′( x) ≤ 0
研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 注1 研究函数的单调性 就是判断它在哪些区间内递增 哪些 区间内递减. 对可导函数的单调性, 区间内递减 由定理 1 对可导函数的单调性 可根据导数的正 负情况予以确定. 负情况予以确定 注2 包括无穷区间) 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间 也成立 包括无穷区间 也成立.

高等数学-3_4单调性

高等数学-3_4单调性
第四节
第三章
函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、函数单调性的应用 三、曲线的凹凸与拐点
机动
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结束
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设 f (x) 在[ a , b ] 上连续, 在 ( a , b )内可导,
若对任意 x∈( a , b ) 都有
( f ( x ) 0),
不存在的点 3. 用 点与 不存在的点 作为定义域的 的分点,把定义域划分为几个小区间,列表讨论 在各小区间内的正负符号.
4. 确定凹凸区间。
x ( ,0) y 凹 y
0
2 (0, ) 3

2 2 ( , ) 3 3

(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2 3


2 2 x 区间]I 凹区间: ( ,0], [ , ); 凸区间: [0, 3 3 f ( x ) 2 11 拐点 ( 0 , 1 ) , ( , ). f ( x )
x f ( x ) f ( x)
(0,1)

1
(1, )
0

∴单减区间为(0,1];单增区间为 [1, ).
例2 讨论 y (1 x ) 解 定义域为 ( 1, )
1 3
2 2 3
( x 1) 的单调性.
得驻点 x = 0; 不可导点 x = 1.
x
y y
( 1, 0)

o
x
2
定理2. (凹凸判定法)
设函数
在区间I 上 有二阶导数 (1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 .

函数的单调性与曲线的凹凸性

函数的单调性与曲线的凹凸性
f [ x1 (1 )) x2 ] f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ),
则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凹的.
类似地,可给出曲线是凸的定义,若上式中不等 号反向,则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凸的.
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的, 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性.
x2
的凹凸性.
(详细解答过程可参见课本 P108)
例 3.4.8 判别曲线 y x3 的凹凸性. (详细解答过程可参见课本 P109)
3、拐点的定义
在例 3.4.8 中,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点, 称为曲线的拐点.
一般地,连续曲线 y f ( x) 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点.
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
x
( , 1)
1
0
(1, 1)
1
(1, )
y
y


0
凸的


凹的
拐点

拐点
凹的
曲线 y e

x2 2
: 在 ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 .
当 x 0 时, f ( x) 0 , (,0] 上单调减少;
当 0 x 时, f ( x) 0 , [0, ] 上单调增加;
[0, ). 单调区间为( ,0],
注意:学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例 3.4.4 确定函数 f ( x) (2x 5) x
2、曲线凹凸性的判定
定理 3.4.3 设 f ( x) 在区间 I 上具有二阶导数 . (1)若在区间 I 上, f ( x) 0 ,则曲线 y f ( x) 是凹的; (2)若在区间 I 上, f ( x) 0 ,则曲线 y f ( x) 是凸的.

3-4 函数的单调性与曲线的凹凸性

3-4 函数的单调性与曲线的凹凸性
cox s1x2x4o(x5) 2! 4!
e x 2 2 cx o 3 s (1 2 1 )x 4 o (x 4 ) 2 ! 4 !
原式 lx i0m 172x4x4o(x4)172 10
3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
x x2 1x1 (x0).
3 !
5 !
1ab0 a4b0 a16b0 a 4 b 1
3
3
14
泰勒公式的应用
(1) 利用多项式逼近函数 ,
f(x ) f( 0 ) f( 0 ) x f( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n
2 !
n !
(2) 近似计算
Rn(x)
M (n1)!
例 如 , yx2在 x0处 f(0)0,它 在 ( ,0)上 单 调 减 少 , (0, )上 单 调 增 加 ,
20
观察下面的图形, 你能得出什么结论?
y
y
O
x0
x
O
x0
x
结 论 使 得 函 数 的 导 数 f (x ) 不 存 在 的 点 也 可 作 为
函 数 单 调 性 的 分 界 点 .
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 增 加 的 ;
恒 有 (2 )f(x 1)f(x 2),
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 减 少 的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1 )
o
x
I
f ( x1)
f (x2 )
两边同乘 n !
n!e = 整数 + e (01)

34 函数的单调性、凹凸性与极值

34 函数的单调性、凹凸性与极值

(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有:
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时, 导数不存在.
当 x < 0时,y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少;
当 x > 0时,y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加;
向上凸:图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2

3.4函数的单调性与凹凸性

3.4函数的单调性与凹凸性
3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
1. 单调性判别法
2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 3. 曲线凹凸性与拐点的概念 4. 曲线凹凸性与拐点的判别法
一、单调性的判别法
f ( x ) 定理 设函数 y 在 [a, b]上连续, 在 (a,b)
内可导
' ( x ) 0 ,则函数 y (1) 若在 (a,b)内 f f ( x ) 在
5 1 ,0 ) 综上所述可知, 方程 x 在区间 ( x 1 0
内有且只有一个实根.
二、曲线凹凸的概念 问题 如何研究曲线的弯曲方向?
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凹的. 若对 I 上任意 x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凸的.
[a, b]上单调增加;
' ( x ) 0 , f ( x ) 在 则函数 y (2) 若在 (a,b) 内 f
[a, b] 上单调减少;
证 x , x ( a , b ), x ,应用拉氏定理得 且 x 1 2 1 2
( x x ), f ( x ) f ( x ) f ' ( )( x x ) 1 2 2 1 2 1
函数单调减少; 函数单调增加.
注:函数的单调性是一个区间上的性质,要用导
数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.

单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调

3.4 函数的单调性及凸凹性

3.4 函数的单调性及凸凹性
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增
在 I 上单调递减
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
+

思考与练习
1. 设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( 2 , ) 3 0
2 3 11 27


故该曲线在 ( , 0] 及 [ 2 , ) 上向上凹, 在[0 , 2 ] 上 3 3 点 ( 0 , 1) 及 ( 2 , 11 )均为拐点. 向上凸 , 3 27
内容小结
1. 可导函数单调性判别
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
0
F (x) min F (0), F ( ) 0 (自证) 2 2 sin x x 即

x
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
y x3
x
例2. 证明
时, 成立不等式
sin x 2 证: 令 f ( x) , x

证 x cos x sin x cos x f ( x) 2 ( x tan x) 0 x2 x
(1)确定函数的定义域;
(2)求出使 f (x) = 0 和 f (x) 不存在的点,
并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间;
(3)确定 f (x) 在各个子区间内的符号, 从而判
定出 f (x) 的单调性.
例1. 确定函数
的单调区间.
f ( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解: 令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2

3-4函数的单调性与凹凸性

3-4函数的单调性与凹凸性
2
函数单调性的判别法: 设函数y = f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导 ()若在 1 (a, b)内f '( x) > 0,则f ( x)在[a, b]上单调增加
lijuan
(2)若在(a, b)内f '( x) < 0,则f ( x)在[a, b]上单调减少 (3)若在(a, b)内f '( x) ≡ 0,则f ( x)在[a, b]上为常数, 即f ( x) = c, (c为常数)
若f ( x )在I 上具有二阶导数,则可利用二阶 导数的符号来判定其凹凸性
25
定理: 设函数f ( x )在[a, b]上连续,在(a, b)内具有一阶、 二阶导数,则: () 1 若在( a, b)内f ''( x) > 0,则f ( x)在[a, b]上的图
形是凹的。记为: ∪
lijuan
(2)若在(a, b)内f ''( x ) < 0,则f ( x )在[a, b]上的图 形是凸的。记为: ∩
4
说 1、上述定理对下列区间同样适用, 明 (-∞,+∞),(-∞,a ),[a, +∞), (a, b)ect.
lijuan
(所谓个别点 2、定理允许在个别点导数为0, 也可为有限个点)但这些点不构成区间
例、讨论函数f ( x) = x − sin x的单调性
解:f '( x) = 1 − cos x ≥ 0
f '( x ) > f '(ξ ) = 0
lijuan
∴ f '( x) > 0 ⇒ f ( x)递增
y ξ
a
⇒ f ( x) < f (b) = A ⇒ f ( x) < A

高数同济34函数的单调性与曲线的凹凸性

高数同济34函数的单调性与曲线的凹凸性

练习题与解析
练习题
针对函数单调性的知识点,可以设计 多种类型的练习题,如判断函数单调 性、证明不等式、求极值和最值等。
解析
对于每道练习题,都应给出详细的解 析过程,包括解题思路、解题步骤和 最终答案等,以便学生理解和掌握相 关知识点。
02 曲线凹凸性概念引入
凹凸性定义及几何意义
凹凸性定义
若函数f(x)在区间I上连续,对I上任意两点x1, x2 (x1 < x2),恒 有f((x1 + x2)/2) < (f(x1) + f(x2))/2 (或恒有f((x1 + x2)/2) > (f(x1) + f(x2))/2),则称f(x)在I上的图形是凹的(或凸的)。
难题挑战训练
复杂函数的单调性与凹凸性
对于复杂的函数,如分段函数、带绝对值的函数等,需要综合运 用多种方法判断其单调性和凹凸性。
证明题
利用函数的单调性和凹凸性证明一些数学命题,如不等式、等式等。
综合题
将函数的单调性、凹凸性与其他知识点相结合,解决综合性较强的 数学问题。
习题课小结与反思
小结
本次习题课主要围绕函数的单调性和凹凸性 进行训练,通过基础题、拓展题和难题的挑 战,巩固和提高了学生的解题能力。
单调性性质
单调函数具有许多重要性质,如在其定义域内,单调增加函数的值随自变量增 大而增大,单调减少函数的值随自变量增大而减小。
单调区间与单调性判定
单调区间
函数在其定义域内的某些子区间上可能具有不同的单调性,这些子区间称为函数 的单调区间。
单调性判定
判定函数在某区间上的单调性,通常可以通过求导并判断导数的正负来实现。若 导数在该区间内恒为正(或负),则函数在该区间内单调增加(或减少)。

§3.4 函数的单调性与凹凸性

§3.4 函数的单调性与凹凸性

为铅直渐近线
导数的应用
又因

为斜渐近线.
( x 3) 2 y 4( x 1)
5) 求特殊点
( x 3)( x 1) y 4( x 1) 2 2 y ( x 1)3
导数的应用
6)绘图
(极大)
无 定 义
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
( x 3) 2 y 4( x 1)
的单调区间.
导数的应用
2.函数的极值
定义:
在其中当 (1) 时,
则称


的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称

的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
导数的应用
3. 函数极值的判定 定理3.4.2 (极值第一充分条件) 设 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心 δ 邻域内可导, (1) 如果当 如果当 (2) 如果当 如果当 (3) 如果 在
导数的应用
§3.4 函数的单调性与凹凸性
3.4.1 函数的单调性与极值 3.4.2 函数凹凸性及其判定 内容小结与作业
导数的应用
3.4.1 函数的单调性与极值
1. 函数的单调性判定
y B D
A
O
C
x
对曲线段

,其各点处的切线斜率为正,曲
线是上升的;对曲线段 为负,曲线是下降的.
,其各点处的切线斜率
f ( x) 0.
导数的应用 \\5.4.2 函数凹凸性及其判定
例9
求曲线
的凹凸区间和拐点.
例10 求曲线
的凹凸区间和拐点.
导数的应用

函数的单调性与凹凸性判别

函数的单调性与凹凸性判别

那末 f ( x ) 在 称 ( a , b ) 内的图 . 是 凹 (凸形 )的
22
y
yf( x )
y
yf( x )
O
x
O
x
定义2 曲线弧上每一点的切线 都在曲线的下(上) 方,称为凹 (凸)弧.
从几何直观上, 随着x的增大, 凹弧的曲线段
f ( x ) 的切线斜率是单增的,即 而 f ( x)是单增的,
凸弧的切线斜率是单减的,即 f ( x)是单减的. 利用二阶导数判断曲线的凹凸性
23
2. 凹凸性的判别法yBiblioteka yf( x )Ay
B
A
yf( x )
B
O a
bx
O a
bx
(x f )0 f(x )递增
(x f )0 f(x )递减
定理2 如 果 (a, b) 内具有 f(x ) 在 [ a ,b ] 上连 ,在 续 (x f )0( 0), 则f ( x) (a,b)内 ,若 二阶导数, 在
0 x 1 , f ( x ) 0 ,f( x ) C [ 0 , 1 ].
2 x x f(x ) 在 [0 , 1 ] 上 单 调. 增 加 f( x ) 1 e s ix n 2 当 0 x 1 时 , 有 f ( x ) f ( 0 ) 0. 2 x x 1 e s ix n 0 2 2 x x 即 e s ix n 1 2
19
b ln a a ln b
四、曲线凹凸性的判别法
(concave and convex)
前面我们介绍了函数的单调性和极值,这对于 了解函数的性态很有帮助,但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状,还须要考虑弯 y 曲方向。 B L1 如右图所示L1 ,L2 ,L3 L2 L3 虽然都是从A点单调上升到 B点,但它们的弯曲方向却 不一样。 A o x L1 是“凸”弧,L2是“凹”弧 ,L3既有凸弧,也有 凹弧,这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。 20

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
解方程 ′ () = 0 得, 1 = 1, 2 = 2.

(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+

+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理:
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=

3
2

令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3

12 3

″ ()
()
12 2 ,

(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0

0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2

π

π
sin 2

3-4函数的单调性与曲线的凹凸性

3-4函数的单调性与曲线的凹凸性

B
o a f ( x) 0 b x
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可
导(. 1)如果在(a, b)内f ( x) 0,那末函数 y f ( x)
在[a, b]上单调增加;(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0,
那末函数 y f ( x)在[a, b]上单调减少.
若在(a,b)内,f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
说明: 1、定理中的区间换成其它有限或无限区 间,结论仍然成立.
例1 讨论函数y ex x 1的单调性.
解 y e x 1.又 D : (,).
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凹的;
如果对(a,b)内任意两点 x1, x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凸的;
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在 (a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的 ;
y f (x)
y
y f (x)
f x1 x2 2
o x1
x1 x2 2
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设f ( x)在(a,b)内连续, 如果对(a,b)内任意
两点 x1, x2 ,
恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) , 2

3.4曲线的凹凸性与函数图形的描绘

3.4曲线的凹凸性与函数图形的描绘

课堂练习
2.a, b为何值,点( 1 , 3 )是曲线y ax3 bx2的拐点? 解 y 3ax2 2bx, y 6ax 2b
6a 2b 0 由(1,3)为拐点得 ; ab 3 3 9 解得a , b . 2 2
课堂练习
3.作出函数y x ln(1 x)的图形。
例如: (0,0)就不是y x 4的拐点.
求曲线凹凸区间及拐点 的步骤 : (1)求出f ( x)的定义域; (2)求出f ( x) 0和f ( x) 不存在的点; (3)列表考察上述各点相邻 两侧f ( x)符号.( 异号拐点 )
3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
例3.4.2 求曲线y
y
y f1 ( x)
B
A
O
y f 2 ( x)
x
3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
等价描述:
设f ( x)在区间I上连续 , 如果对I上任意两点x1 , x2 , 恒有 x1 x2 y f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) 2 2 2 那么称f ( x)在I上的图像是向上凹的; 如果恒有
作图的一般步骤如下: ( 1 )确定函数的定义区间 ; ( 2 )考查函数的奇偶性、 周 期性与有界性; ( 3 )确定函数的单调区间 和 极值点,凹凸区间与拐 点; ( 4 )求曲线的渐进线; ( 5 )借助辅助点,描出函 数的图像.
x 1 y x2
y
3
水平渐进线
垂 直 渐 近 线
2 1 1 1 2 3
x1 x2 2
x2
x
O
x1
x2
x
3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘

3.4函数的单调性与凸性

3.4函数的单调性与凸性

定理 2 如果 f ( x) 在 U ( x0 , ) 内二阶可导,
则点 ( x0 , f ( x0 ) ) 是曲线 y f ( x) 的拐点的
必要条件是 f ( x0 ) 0 .
证明略
定理 2 的逆命题不成立.
y x4
例如:f ( x) x4 , f ( x) 4x3 ,
f ( x) 12x2 , f (0) 0,
确定 f ( x) 的单调区间.
例1 确定 f ( x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间 .
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12
y 2x3 9x2 12x 3
6( x 1)(x 2)
解方程 f ( x) 0 得, x1 1, x2 2. 列表讨论:
但 (0,0) 不是 f ( x) x4 的拐点.
o
当然 f ( x) 不存在的点也可能是拐点.
例如:f ( x) 3 x , f ( x) 1 x2 3 , f ( x) 2 x5 3 ,
3
9
f ( x) 0 无解 , f (0) 不存在,
但当 x 0时,f ( x) 0, f ,
f ( x1 ).
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
o
x1 x1 x2 x2 x
2
设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 若 x1, x2 [a, b] ,
恒有 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
则称 f ( x)在 [a,b] 上是向下凸的,简称下凸 或 凹 ;
解 f ( x) x2 3 2 ( x 1)x1 3 3
5 x2 3 2 x1 3 ( x 0)
3
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[a, b]上单调增加;
(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0,那末函数y f ( x)在
[a, b]上单调减少.
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
解 f ( x) 1 cos x 0 (等号仅在某些点成立!)
所以f x x sin x在x ,上单调增加
例3 确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间. 解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12
6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得, x1 1, x2 2. 当 x 1时, f ( x) 0, 在(,1]上单调增加; 当1 x 2时, f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少; 当2 x 时, f ( x) 0, 在[2,)上单调增加;
若在(a,b)内,f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内,f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
例 1 讨论函数 y e x x 1 的单调性.
x)
x
1 2
x2
,
因为 f ( x) 在[0,) 上连续,在 (0,) 内可导,

f
(
x)
1
1
x
1
x
x2 1 x
,
当 x 0 时, f ( x) 0, 又 f (0) 0.
故当 x 0 时, f ( x) f (0) 0,
所以
ln(1
x)
x
1 2
x2.
思路归纳:
欲证 f (x) g(x), x [a,b]
单调区间为 (,1],[1,2],[2,).
例4 求函数 y 3 (2x a)(a x)2 (a 0)的单调区
间.

y
2 3
3
2a 3x (2x a)2(a
, x)
令 y 0, 解得
x1
2 3
a,

x2
a 2
,
x3
a

y 不存在.

,
a 2
内,
y
0,
函数单调增加.

a 2
,
2 3
a
内,
f
(
x)
x2
(2
sin
1 x
)
x 0,易知 f (x)在x 0处取到极大值,
0
x0
f (0) 0,当x 0时, f (x) 4x 2x sin 1 cos 1 , xx
取x 1 则有 f ( 1 ) 4 (1)n ,
n
n n
因此在极值点x 0的任意邻近 f (x)都不保号,因此在x 0 的每个邻域内f 都不可能是单调的。
f
(
x)
x
2
x2
sin
1 x
x 0,易求得 f (0) 1
0
x0
当x 0时, f (x) 1 4x sin 1 2cos 1 ,
x
x
取x 1 则有 f ( 1 ) 1 2(1)n,
n
n
可见在x 0的任意邻近 f (x)都不保号,因此在x 0 的每个邻域内f 都不是单调的。
答:(2)不一定。举例如下:
,
2 3
a
内,
y
0,
函数单调增加.

2 3
a,
a
内, y 0,
函数单调减少.
在 a, 内, y 0, 函数单调增加.
问题:(1)由函数在一点上的导数符号大于(小于)0 能否推出函数在该点的一个充分小的邻域 内单调?
(2)函数在邻近其极值点的每一侧是否 一定具有单调性?
答:(1)推不出单调性。举例如下:
引进辅助函数 F(x) f (x) g(x)
若 F(x) 0,且F(a) 0
方法: 用方程 f '( x) 0 的根及 f '( x) 不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间, 然后判断区间内导
数的符号.
例2 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
y 3 x2
第四节 导数的应用
一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性与拐点
一、函数的单调性(monotonicity)
1.单调性的判别法
y
y f (x) B
yA y f (x)
A
B
oa
bx
oa
bx
f ( x) 0
f ( x) 0
定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导.
(1)如果在(a, b)内 f ( x) 0,那末函数y f ( x)在
y
0,
函数单调增加.
例4 求函数 y 3 (2x a)(a x)2 (a 0)的单调区
间. 解

,
a 2
内,y0, Nhomakorabea函数单调增加.

a 2
,
2 3
a
内,
y
0,
函数单调增加.
例4 求函数 y 3 (2x a)(a x)2 (a 0)的单调区
间.


,
a 2
内,
y
0,
函数单调增加.

a 2
函数的单调性是一个区间上的性质,要用导 数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点 处的导数符号来判别一个区间上的单调性.
同时也不能想当然地认为:可导函数在其极值 点的左邻域内或是右邻域内一定具有单调性。
利用单调性证明不等式
例5
试证明:当
x
0
时,ln(1
x)
x
1 2
x2.
证 作辅助函数
f
(
x)
ln(1
解 y e x 1. 又 D : (,). 在 (,0)内, y 0, 函数单调减少; 在 (0,) 内, y 0, 函数单调增加.
注:函数的单调性是一个区间上的性质,要用导 数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.
单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调 区间的分界点.
当 x 0时,f ( x) 0, 在(,0]上单调减少;
当0 x 时, f ( x) 0, 在[0,)上单调增加;
单调区间为 (,0],[0,).
注意:区间内个某些点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加.
再如 f x x sin x, x ,
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