3.4 函数的单调性凹凸性
合集下载
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
10
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0, 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系:
凹
凸
曲线凹 导函数递增?
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0, 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系:
凹
凸
曲线凹 导函数递增?
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
从几何上看,曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点,连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续,在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数,那么
> 0 ,则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的; < 0 ,则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ,且 x 1 < x 2 ,记 x 0 =
= 0 处,曲线 y = x 3 有水平切线,即 x 轴。
一般地,如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处保持固定 符号时,函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明:当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
,
Van Der Waerden 构造并证明: f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ,其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时, 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ,则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2
高等数学方明亮34函数的单调性与曲线的凹凸性
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 1 (函数单调性的判定法) 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 .( 1 ) 如 果 在 (a,b) 内 , f (x) 0 ,则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加;(2)如果在 (a,b) 内, f (x) 0 ,则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少.
2019年9月14日星期六
9
目录
上页
下页
返回
定义 设函数 f (x) 在区间 I 上连续,如果对 I 上任意
两点 x1, x2 (不妨设 x1 x2 )及任意正数 (0 1) ,恒
有
f [x1 (1 ))x2 ] f (x1) (1 ) f (x2 ),
解:已知 f (x0 ) 0 ,不妨设 f (x0 ) 0 , 由于 f (x0 ) 在 x x0 的某邻域内连续,
因此必存在 0 ,当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) 0
又已知 f (x0 ) 0
从而当 x (x0 , x0 ) 时 f (x) f (x0 ) 0 ,函数凸
则称曲线 y f (x) 在 I 上是凹的.
类似地,可给出曲线是凸的定义,若上式中不等 号反向,则称曲线 y f (x) 在 I 上是凸的.
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的,
下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性.
2019年9月14日星期六
10
目录
上页
下页
返回
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
D f'(x0)=0或f'(x0)不存在
单选题 10分
判定函数f(x)=arctan x-x 单调 性
A 单调增加 B 单调减少 C 不单调 D 无法判断
单选题 10分
判定函数 f(x)=x+cos x (0≤x≤2π) 的单调性
A 单调增加 B 单调减少 C 不单调 D 无法判断
主观题 8分 确定下列函数的单调区间:
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
Hale Waihona Puke 主观题 8分确定下列函数的单调区间:
y
4x3
10 9x2
6x
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
主观题 8分 证明下列不等式:
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
主观题 8分 证明下列不等式:
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
单选题 10分
此处添加题目描述
A 沿x轴正向下降且为凸的 B 沿x轴正向上升且为凸的 C 沿x轴正向下降且为凹的 D 沿x轴正向上升且为凹的
单选题 10分 此处添加题目描述
A B C D
主观题 8分 判定下列曲线的凹凸性:
y ln(1 x2 )
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
单选题 10分
此处添加题目描述
A a 1,b 3, c 24, d 16.
B a 1,b 3, c 24, d 16. C a 1,b 3, c 24, d 16. D a 1,b 3, c 24, d 16.
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸 性
总分: 100
*此封面页请勿删除,删除后将无法上传至试卷 库,添加菜单栏任意题型即可制作试卷。本提 示将在上传时自动隐藏。
单选题 10分 函数y=f(x)在x0处取得最大值, 则必有
单选题 10分
判定函数f(x)=arctan x-x 单调 性
A 单调增加 B 单调减少 C 不单调 D 无法判断
单选题 10分
判定函数 f(x)=x+cos x (0≤x≤2π) 的单调性
A 单调增加 B 单调减少 C 不单调 D 无法判断
主观题 8分 确定下列函数的单调区间:
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
Hale Waihona Puke 主观题 8分确定下列函数的单调区间:
y
4x3
10 9x2
6x
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
主观题 8分 证明下列不等式:
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
主观题 8分 证明下列不等式:
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
单选题 10分
此处添加题目描述
A 沿x轴正向下降且为凸的 B 沿x轴正向上升且为凸的 C 沿x轴正向下降且为凹的 D 沿x轴正向上升且为凹的
单选题 10分 此处添加题目描述
A B C D
主观题 8分 判定下列曲线的凹凸性:
y ln(1 x2 )
正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂
单选题 10分
此处添加题目描述
A a 1,b 3, c 24, d 16.
B a 1,b 3, c 24, d 16. C a 1,b 3, c 24, d 16. D a 1,b 3, c 24, d 16.
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸 性
总分: 100
*此封面页请勿删除,删除后将无法上传至试卷 库,添加菜单栏任意题型即可制作试卷。本提 示将在上传时自动隐藏。
单选题 10分 函数y=f(x)在x0处取得最大值, 则必有
3-4函数单调性与凹凸性(09)
二、函数单调性的应用
——证明不等式和判断方程根的个数. ——证明不等式和判断方程根的个数. 证明不等式和判断方程根的个数 1. 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数, 并讨论 构造辅助函数 它在指定区间内的单调性. 它在指定区间内的单调性. 例4 证明不等式 e x ≥ x + 1 证
令 f 2 ( x ) = ln(1 + x ) − x
因 为 f2 (0) = 0, 而 f2′( x) =
−x < 0 ( x > 0) 1+ x
则 f ( x )单减 即 f 2 ( x ) < f 2 (0)( x > 0) 故 单减.
ln(1 + x ) < x
证
x3 令 f ( x ) = tan x − x − 3
f ′(x) ≤ 0 A y = f (x)
B
o
a
b
x
o a
b x
各点处切线的斜率为正
各点处切线的斜率为负
在区间(a, 上单调递增 若 y = f (x)在区间 b)上单调递增 在区间 在区间(a, 上单调递减 若y = f (x)在区间 b)上单调递减 在区间
f ′( x) ≥ 0
f ′( x) ≤ 0
研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 注1 研究函数的单调性 就是判断它在哪些区间内递增 哪些 区间内递减. 对可导函数的单调性, 区间内递减 由定理 1 对可导函数的单调性 可根据导数的正 负情况予以确定. 负情况予以确定 注2 包括无穷区间) 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间 也成立 包括无穷区间 也成立.
高等数学-3_4单调性
第四节
第三章
函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、函数单调性的应用 三、曲线的凹凸与拐点
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设 f (x) 在[ a , b ] 上连续, 在 ( a , b )内可导,
若对任意 x∈( a , b ) 都有
( f ( x ) 0),
不存在的点 3. 用 点与 不存在的点 作为定义域的 的分点,把定义域划分为几个小区间,列表讨论 在各小区间内的正负符号.
4. 确定凹凸区间。
x ( ,0) y 凹 y
0
2 (0, ) 3
2 2 ( , ) 3 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2 3
凸
凹
2 2 x 区间]I 凹区间: ( ,0], [ , ); 凸区间: [0, 3 3 f ( x ) 2 11 拐点 ( 0 , 1 ) , ( , ). f ( x )
x f ( x ) f ( x)
(0,1)
1
(1, )
0
∴单减区间为(0,1];单增区间为 [1, ).
例2 讨论 y (1 x ) 解 定义域为 ( 1, )
1 3
2 2 3
( x 1) 的单调性.
得驻点 x = 0; 不可导点 x = 1.
x
y y
( 1, 0)
o
x
2
定理2. (凹凸判定法)
设函数
在区间I 上 有二阶导数 (1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 .
第三章
函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、函数单调性的应用 三、曲线的凹凸与拐点
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设 f (x) 在[ a , b ] 上连续, 在 ( a , b )内可导,
若对任意 x∈( a , b ) 都有
( f ( x ) 0),
不存在的点 3. 用 点与 不存在的点 作为定义域的 的分点,把定义域划分为几个小区间,列表讨论 在各小区间内的正负符号.
4. 确定凹凸区间。
x ( ,0) y 凹 y
0
2 (0, ) 3
2 2 ( , ) 3 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2 3
凸
凹
2 2 x 区间]I 凹区间: ( ,0], [ , ); 凸区间: [0, 3 3 f ( x ) 2 11 拐点 ( 0 , 1 ) , ( , ). f ( x )
x f ( x ) f ( x)
(0,1)
1
(1, )
0
∴单减区间为(0,1];单增区间为 [1, ).
例2 讨论 y (1 x ) 解 定义域为 ( 1, )
1 3
2 2 3
( x 1) 的单调性.
得驻点 x = 0; 不可导点 x = 1.
x
y y
( 1, 0)
o
x
2
定理2. (凹凸判定法)
设函数
在区间I 上 有二阶导数 (1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 .
函数的单调性与曲线的凹凸性
f [ x1 (1 )) x2 ] f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ),
则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凹的.
类似地,可给出曲线是凸的定义,若上式中不等 号反向,则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凸的.
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的, 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性.
x2
的凹凸性.
(详细解答过程可参见课本 P108)
例 3.4.8 判别曲线 y x3 的凹凸性. (详细解答过程可参见课本 P109)
3、拐点的定义
在例 3.4.8 中,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点, 称为曲线的拐点.
一般地,连续曲线 y f ( x) 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点.
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
x
( , 1)
1
0
(1, 1)
1
(1, )
y
y
0
凸的
凹的
拐点
拐点
凹的
曲线 y e
x2 2
: 在 ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 .
当 x 0 时, f ( x) 0 , (,0] 上单调减少;
当 0 x 时, f ( x) 0 , [0, ] 上单调增加;
[0, ). 单调区间为( ,0],
注意:学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例 3.4.4 确定函数 f ( x) (2x 5) x
2、曲线凹凸性的判定
定理 3.4.3 设 f ( x) 在区间 I 上具有二阶导数 . (1)若在区间 I 上, f ( x) 0 ,则曲线 y f ( x) 是凹的; (2)若在区间 I 上, f ( x) 0 ,则曲线 y f ( x) 是凸的.
则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凹的.
类似地,可给出曲线是凸的定义,若上式中不等 号反向,则称曲线 y f ( x) 在 I 上是凸的.
直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的, 下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性.
x2
的凹凸性.
(详细解答过程可参见课本 P108)
例 3.4.8 判别曲线 y x3 的凹凸性. (详细解答过程可参见课本 P109)
3、拐点的定义
在例 3.4.8 中,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点, 称为曲线的拐点.
一般地,连续曲线 y f ( x) 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点.
x2 2
,
令 y 0 得拐点可疑点 : x 1 , x 1 (横坐标 )
x
( , 1)
1
0
(1, 1)
1
(1, )
y
y
0
凸的
凹的
拐点
拐点
凹的
曲线 y e
x2 2
: 在 ( , 1) 及 (1, ) 内为凹的 ,
在 (1, 1)内为凸的 .
当 x 0 时, f ( x) 0 , (,0] 上单调减少;
当 0 x 时, f ( x) 0 , [0, ] 上单调增加;
[0, ). 单调区间为( ,0],
注意:学习课本例 3 与例 4 之间的一段话
例 3.4.4 确定函数 f ( x) (2x 5) x
2、曲线凹凸性的判定
定理 3.4.3 设 f ( x) 在区间 I 上具有二阶导数 . (1)若在区间 I 上, f ( x) 0 ,则曲线 y f ( x) 是凹的; (2)若在区间 I 上, f ( x) 0 ,则曲线 y f ( x) 是凸的.
3-4 函数的单调性与曲线的凹凸性
cox s1x2x4o(x5) 2! 4!
e x 2 2 cx o 3 s (1 2 1 )x 4 o (x 4 ) 2 ! 4 !
原式 lx i0m 172x4x4o(x4)172 10
3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
x x2 1x1 (x0).
3 !
5 !
1ab0 a4b0 a16b0 a 4 b 1
3
3
14
泰勒公式的应用
(1) 利用多项式逼近函数 ,
f(x ) f( 0 ) f( 0 ) x f( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n
2 !
n !
(2) 近似计算
Rn(x)
M (n1)!
例 如 , yx2在 x0处 f(0)0,它 在 ( ,0)上 单 调 减 少 , (0, )上 单 调 增 加 ,
20
观察下面的图形, 你能得出什么结论?
y
y
O
x0
x
O
x0
x
结 论 使 得 函 数 的 导 数 f (x ) 不 存 在 的 点 也 可 作 为
函 数 单 调 性 的 分 界 点 .
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 增 加 的 ;
恒 有 (2 )f(x 1)f(x 2),
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 减 少 的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1 )
o
x
I
f ( x1)
f (x2 )
两边同乘 n !
n!e = 整数 + e (01)
e x 2 2 cx o 3 s (1 2 1 )x 4 o (x 4 ) 2 ! 4 !
原式 lx i0m 172x4x4o(x4)172 10
3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
x x2 1x1 (x0).
3 !
5 !
1ab0 a4b0 a16b0 a 4 b 1
3
3
14
泰勒公式的应用
(1) 利用多项式逼近函数 ,
f(x ) f( 0 ) f( 0 ) x f( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n
2 !
n !
(2) 近似计算
Rn(x)
M (n1)!
例 如 , yx2在 x0处 f(0)0,它 在 ( ,0)上 单 调 减 少 , (0, )上 单 调 增 加 ,
20
观察下面的图形, 你能得出什么结论?
y
y
O
x0
x
O
x0
x
结 论 使 得 函 数 的 导 数 f (x ) 不 存 在 的 点 也 可 作 为
函 数 单 调 性 的 分 界 点 .
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 增 加 的 ;
恒 有 (2 )f(x 1)f(x 2),
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 减 少 的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1 )
o
x
I
f ( x1)
f (x2 )
两边同乘 n !
n!e = 整数 + e (01)
34 函数的单调性、凹凸性与极值
(2)求拐点的方法
方法: 设函数f ( x )在 x0的邻域内二阶可导, 且 f ′′( x0 ) = 0, 则有:
1) x0 两近旁f ′′( x )变号, 点( x0 , f ( x0 ))为拐点;
2) x0 两近旁f ′′( x )不变号, 点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例9 求曲线 y = 3 x 4 − 4 x 3 + 1 的拐点及凹、凸的区间. 解 易见函数的定义域为 ( −∞ ,+∞ ),
定理4 (第一充分条件) 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内连续并且 可导(导数 f ′( x0 ) 也可以不存在), (1)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) > 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) < 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ); (2)如果在点 x0的左邻域内 f ′( x ) < 0; 在点 x0的右 邻域内 f ′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 x0 处取得极小值 f ( x0 ); (3)如果在点 x0的邻域内, 在 x0处没有极值.
例3
2 3 y = x 讨论函数 的单调区间.
解 Q D : ( −∞ ,+∞ ).
y′ = 32 ( x ≠ 0), 3 x 当 x = 0 时, 导数不存在.
当 x < 0时,y′ < 0,
∴ 在 ( −∞ , 0]上单调减少;
当 x > 0时,y′ > 0,
∴ 在 [0, +∞ )上单调增加;
向上凸:图形 上任意弧段位 于所张弦的上 方
定义 设 f ( x ) 在区间 I 内连续,
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )< , 2 2 则称 f ( x ) 在 I 上的图形是(向上)凹的. x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) ∀x1 , x2 ∈ I , 恒有 f ( )> , 2 2
3.4函数的单调性与凹凸性
3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
1. 单调性判别法
2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 3. 曲线凹凸性与拐点的概念 4. 曲线凹凸性与拐点的判别法
一、单调性的判别法
f ( x ) 定理 设函数 y 在 [a, b]上连续, 在 (a,b)
内可导
' ( x ) 0 ,则函数 y (1) 若在 (a,b)内 f f ( x ) 在
5 1 ,0 ) 综上所述可知, 方程 x 在区间 ( x 1 0
内有且只有一个实根.
二、曲线凹凸的概念 问题 如何研究曲线的弯曲方向?
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凹的. 若对 I 上任意 x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凸的.
[a, b]上单调增加;
' ( x ) 0 , f ( x ) 在 则函数 y (2) 若在 (a,b) 内 f
[a, b] 上单调减少;
证 x , x ( a , b ), x ,应用拉氏定理得 且 x 1 2 1 2
( x x ), f ( x ) f ( x ) f ' ( )( x x ) 1 2 2 1 2 1
函数单调减少; 函数单调增加.
注:函数的单调性是一个区间上的性质,要用导
数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.
完
单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调
1. 单调性判别法
2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 3. 曲线凹凸性与拐点的概念 4. 曲线凹凸性与拐点的判别法
一、单调性的判别法
f ( x ) 定理 设函数 y 在 [a, b]上连续, 在 (a,b)
内可导
' ( x ) 0 ,则函数 y (1) 若在 (a,b)内 f f ( x ) 在
5 1 ,0 ) 综上所述可知, 方程 x 在区间 ( x 1 0
内有且只有一个实根.
二、曲线凹凸的概念 问题 如何研究曲线的弯曲方向?
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凹的. 若对 I 上任意 x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凸的.
[a, b]上单调增加;
' ( x ) 0 , f ( x ) 在 则函数 y (2) 若在 (a,b) 内 f
[a, b] 上单调减少;
证 x , x ( a , b ), x ,应用拉氏定理得 且 x 1 2 1 2
( x x ), f ( x ) f ( x ) f ' ( )( x x ) 1 2 2 1 2 1
函数单调减少; 函数单调增加.
注:函数的单调性是一个区间上的性质,要用导
数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.
完
单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调
3.4 函数的单调性及凸凹性
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增
在 I 上单调递减
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
+
–
思考与练习
1. 设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( 2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
故该曲线在 ( , 0] 及 [ 2 , ) 上向上凹, 在[0 , 2 ] 上 3 3 点 ( 0 , 1) 及 ( 2 , 11 )均为拐点. 向上凸 , 3 27
内容小结
1. 可导函数单调性判别
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
0
F (x) min F (0), F ( ) 0 (自证) 2 2 sin x x 即
x
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
y x3
x
例2. 证明
时, 成立不等式
sin x 2 证: 令 f ( x) , x
且
证 x cos x sin x cos x f ( x) 2 ( x tan x) 0 x2 x
(1)确定函数的定义域;
(2)求出使 f (x) = 0 和 f (x) 不存在的点,
并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间;
(3)确定 f (x) 在各个子区间内的符号, 从而判
定出 f (x) 的单调性.
例1. 确定函数
的单调区间.
f ( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解: 令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
在 I 上单调递增
在 I 上单调递减
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
+
–
思考与练习
1. 设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( 2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
故该曲线在 ( , 0] 及 [ 2 , ) 上向上凹, 在[0 , 2 ] 上 3 3 点 ( 0 , 1) 及 ( 2 , 11 )均为拐点. 向上凸 , 3 27
内容小结
1. 可导函数单调性判别
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
0
F (x) min F (0), F ( ) 0 (自证) 2 2 sin x x 即
x
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
y x3
x
例2. 证明
时, 成立不等式
sin x 2 证: 令 f ( x) , x
且
证 x cos x sin x cos x f ( x) 2 ( x tan x) 0 x2 x
(1)确定函数的定义域;
(2)求出使 f (x) = 0 和 f (x) 不存在的点,
并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间;
(3)确定 f (x) 在各个子区间内的符号, 从而判
定出 f (x) 的单调性.
例1. 确定函数
的单调区间.
f ( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解: 令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
3-4函数的单调性与凹凸性
2
函数单调性的判别法: 设函数y = f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导 ()若在 1 (a, b)内f '( x) > 0,则f ( x)在[a, b]上单调增加
lijuan
(2)若在(a, b)内f '( x) < 0,则f ( x)在[a, b]上单调减少 (3)若在(a, b)内f '( x) ≡ 0,则f ( x)在[a, b]上为常数, 即f ( x) = c, (c为常数)
若f ( x )在I 上具有二阶导数,则可利用二阶 导数的符号来判定其凹凸性
25
定理: 设函数f ( x )在[a, b]上连续,在(a, b)内具有一阶、 二阶导数,则: () 1 若在( a, b)内f ''( x) > 0,则f ( x)在[a, b]上的图
形是凹的。记为: ∪
lijuan
(2)若在(a, b)内f ''( x ) < 0,则f ( x )在[a, b]上的图 形是凸的。记为: ∩
4
说 1、上述定理对下列区间同样适用, 明 (-∞,+∞),(-∞,a ),[a, +∞), (a, b)ect.
lijuan
(所谓个别点 2、定理允许在个别点导数为0, 也可为有限个点)但这些点不构成区间
例、讨论函数f ( x) = x − sin x的单调性
解:f '( x) = 1 − cos x ≥ 0
f '( x ) > f '(ξ ) = 0
lijuan
∴ f '( x) > 0 ⇒ f ( x)递增
y ξ
a
⇒ f ( x) < f (b) = A ⇒ f ( x) < A
函数单调性的判别法: 设函数y = f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导 ()若在 1 (a, b)内f '( x) > 0,则f ( x)在[a, b]上单调增加
lijuan
(2)若在(a, b)内f '( x) < 0,则f ( x)在[a, b]上单调减少 (3)若在(a, b)内f '( x) ≡ 0,则f ( x)在[a, b]上为常数, 即f ( x) = c, (c为常数)
若f ( x )在I 上具有二阶导数,则可利用二阶 导数的符号来判定其凹凸性
25
定理: 设函数f ( x )在[a, b]上连续,在(a, b)内具有一阶、 二阶导数,则: () 1 若在( a, b)内f ''( x) > 0,则f ( x)在[a, b]上的图
形是凹的。记为: ∪
lijuan
(2)若在(a, b)内f ''( x ) < 0,则f ( x )在[a, b]上的图 形是凸的。记为: ∩
4
说 1、上述定理对下列区间同样适用, 明 (-∞,+∞),(-∞,a ),[a, +∞), (a, b)ect.
lijuan
(所谓个别点 2、定理允许在个别点导数为0, 也可为有限个点)但这些点不构成区间
例、讨论函数f ( x) = x − sin x的单调性
解:f '( x) = 1 − cos x ≥ 0
f '( x ) > f '(ξ ) = 0
lijuan
∴ f '( x) > 0 ⇒ f ( x)递增
y ξ
a
⇒ f ( x) < f (b) = A ⇒ f ( x) < A
高数同济34函数的单调性与曲线的凹凸性
练习题与解析
练习题
针对函数单调性的知识点,可以设计 多种类型的练习题,如判断函数单调 性、证明不等式、求极值和最值等。
解析
对于每道练习题,都应给出详细的解 析过程,包括解题思路、解题步骤和 最终答案等,以便学生理解和掌握相 关知识点。
02 曲线凹凸性概念引入
凹凸性定义及几何意义
凹凸性定义
若函数f(x)在区间I上连续,对I上任意两点x1, x2 (x1 < x2),恒 有f((x1 + x2)/2) < (f(x1) + f(x2))/2 (或恒有f((x1 + x2)/2) > (f(x1) + f(x2))/2),则称f(x)在I上的图形是凹的(或凸的)。
难题挑战训练
复杂函数的单调性与凹凸性
对于复杂的函数,如分段函数、带绝对值的函数等,需要综合运 用多种方法判断其单调性和凹凸性。
证明题
利用函数的单调性和凹凸性证明一些数学命题,如不等式、等式等。
综合题
将函数的单调性、凹凸性与其他知识点相结合,解决综合性较强的 数学问题。
习题课小结与反思
小结
本次习题课主要围绕函数的单调性和凹凸性 进行训练,通过基础题、拓展题和难题的挑 战,巩固和提高了学生的解题能力。
单调性性质
单调函数具有许多重要性质,如在其定义域内,单调增加函数的值随自变量增 大而增大,单调减少函数的值随自变量增大而减小。
单调区间与单调性判定
单调区间
函数在其定义域内的某些子区间上可能具有不同的单调性,这些子区间称为函数 的单调区间。
单调性判定
判定函数在某区间上的单调性,通常可以通过求导并判断导数的正负来实现。若 导数在该区间内恒为正(或负),则函数在该区间内单调增加(或减少)。
§3.4 函数的单调性与凹凸性
为铅直渐近线
导数的应用
又因
即
为斜渐近线.
( x 3) 2 y 4( x 1)
5) 求特殊点
( x 3)( x 1) y 4( x 1) 2 2 y ( x 1)3
导数的应用
6)绘图
(极大)
无 定 义
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
( x 3) 2 y 4( x 1)
的单调区间.
导数的应用
2.函数的极值
定义:
在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
导数的应用
3. 函数极值的判定 定理3.4.2 (极值第一充分条件) 设 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心 δ 邻域内可导, (1) 如果当 如果当 (2) 如果当 如果当 (3) 如果 在
导数的应用
§3.4 函数的单调性与凹凸性
3.4.1 函数的单调性与极值 3.4.2 函数凹凸性及其判定 内容小结与作业
导数的应用
3.4.1 函数的单调性与极值
1. 函数的单调性判定
y B D
A
O
C
x
对曲线段
、
,其各点处的切线斜率为正,曲
线是上升的;对曲线段 为负,曲线是下降的.
,其各点处的切线斜率
f ( x) 0.
导数的应用 \\5.4.2 函数凹凸性及其判定
例9
求曲线
的凹凸区间和拐点.
例10 求曲线
的凹凸区间和拐点.
导数的应用
函数的单调性与凹凸性判别
那末 f ( x ) 在 称 ( a , b ) 内的图 . 是 凹 (凸形 )的
22
y
yf( x )
y
yf( x )
O
x
O
x
定义2 曲线弧上每一点的切线 都在曲线的下(上) 方,称为凹 (凸)弧.
从几何直观上, 随着x的增大, 凹弧的曲线段
f ( x ) 的切线斜率是单增的,即 而 f ( x)是单增的,
凸弧的切线斜率是单减的,即 f ( x)是单减的. 利用二阶导数判断曲线的凹凸性
23
2. 凹凸性的判别法yBiblioteka yf( x )Ay
B
A
yf( x )
B
O a
bx
O a
bx
(x f )0 f(x )递增
(x f )0 f(x )递减
定理2 如 果 (a, b) 内具有 f(x ) 在 [ a ,b ] 上连 ,在 续 (x f )0( 0), 则f ( x) (a,b)内 ,若 二阶导数, 在
0 x 1 , f ( x ) 0 ,f( x ) C [ 0 , 1 ].
2 x x f(x ) 在 [0 , 1 ] 上 单 调. 增 加 f( x ) 1 e s ix n 2 当 0 x 1 时 , 有 f ( x ) f ( 0 ) 0. 2 x x 1 e s ix n 0 2 2 x x 即 e s ix n 1 2
19
b ln a a ln b
四、曲线凹凸性的判别法
(concave and convex)
前面我们介绍了函数的单调性和极值,这对于 了解函数的性态很有帮助,但仅知道单调性还不 能比较全面地反映出曲线的性状,还须要考虑弯 y 曲方向。 B L1 如右图所示L1 ,L2 ,L3 L2 L3 虽然都是从A点单调上升到 B点,但它们的弯曲方向却 不一样。 A o x L1 是“凸”弧,L2是“凹”弧 ,L3既有凸弧,也有 凹弧,这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。 20
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
解方程 ′ () = 0 得, 1 = 1, 2 = 2.
(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+
−
+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理:
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=
−
3
2
″
令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3
′
12 3
″ ()
()
12 2 ,
″
(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0
−
0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2
π
证
π
sin 2
(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+
−
+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理:
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=
−
3
2
″
令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3
′
12 3
″ ()
()
12 2 ,
″
(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0
−
0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2
π
证
π
sin 2
3-4函数的单调性与曲线的凹凸性
B
o a f ( x) 0 b x
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可
导(. 1)如果在(a, b)内f ( x) 0,那末函数 y f ( x)
在[a, b]上单调增加;(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0,
那末函数 y f ( x)在[a, b]上单调减少.
若在(a,b)内,f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
说明: 1、定理中的区间换成其它有限或无限区 间,结论仍然成立.
例1 讨论函数y ex x 1的单调性.
解 y e x 1.又 D : (,).
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凹的;
如果对(a,b)内任意两点 x1, x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
那末称 f ( x)在(a,b)内的图形是凸的;
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在 (a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的 ;
y f (x)
y
y f (x)
f x1 x2 2
o x1
x1 x2 2
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设f ( x)在(a,b)内连续, 如果对(a,b)内任意
两点 x1, x2 ,
恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) , 2
3.4曲线的凹凸性与函数图形的描绘
课堂练习
2.a, b为何值,点( 1 , 3 )是曲线y ax3 bx2的拐点? 解 y 3ax2 2bx, y 6ax 2b
6a 2b 0 由(1,3)为拐点得 ; ab 3 3 9 解得a , b . 2 2
课堂练习
3.作出函数y x ln(1 x)的图形。
例如: (0,0)就不是y x 4的拐点.
求曲线凹凸区间及拐点 的步骤 : (1)求出f ( x)的定义域; (2)求出f ( x) 0和f ( x) 不存在的点; (3)列表考察上述各点相邻 两侧f ( x)符号.( 异号拐点 )
3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
例3.4.2 求曲线y
y
y f1 ( x)
B
A
O
y f 2 ( x)
x
3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
等价描述:
设f ( x)在区间I上连续 , 如果对I上任意两点x1 , x2 , 恒有 x1 x2 y f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) 2 2 2 那么称f ( x)在I上的图像是向上凹的; 如果恒有
作图的一般步骤如下: ( 1 )确定函数的定义区间 ; ( 2 )考查函数的奇偶性、 周 期性与有界性; ( 3 )确定函数的单调区间 和 极值点,凹凸区间与拐 点; ( 4 )求曲线的渐进线; ( 5 )借助辅助点,描出函 数的图像.
x 1 y x2
y
3
水平渐进线
垂 直 渐 近 线
2 1 1 1 2 3
x1 x2 2
x2
x
O
x1
x2
x
3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
3.4函数的单调性与凸性
定理 2 如果 f ( x) 在 U ( x0 , ) 内二阶可导,
则点 ( x0 , f ( x0 ) ) 是曲线 y f ( x) 的拐点的
必要条件是 f ( x0 ) 0 .
证明略
定理 2 的逆命题不成立.
y x4
例如:f ( x) x4 , f ( x) 4x3 ,
f ( x) 12x2 , f (0) 0,
确定 f ( x) 的单调区间.
例1 确定 f ( x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间 .
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12
y 2x3 9x2 12x 3
6( x 1)(x 2)
解方程 f ( x) 0 得, x1 1, x2 2. 列表讨论:
但 (0,0) 不是 f ( x) x4 的拐点.
o
当然 f ( x) 不存在的点也可能是拐点.
例如:f ( x) 3 x , f ( x) 1 x2 3 , f ( x) 2 x5 3 ,
3
9
f ( x) 0 无解 , f (0) 不存在,
但当 x 0时,f ( x) 0, f ,
f ( x1 ).
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
o
x1 x1 x2 x2 x
2
设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 若 x1, x2 [a, b] ,
恒有 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
则称 f ( x)在 [a,b] 上是向下凸的,简称下凸 或 凹 ;
解 f ( x) x2 3 2 ( x 1)x1 3 3
5 x2 3 2 x1 3 ( x 0)
3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
[a, b]上单调增加;
(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0,那末函数y f ( x)在
[a, b]上单调减少.
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
解 f ( x) 1 cos x 0 (等号仅在某些点成立!)
所以f x x sin x在x ,上单调增加
例3 确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间. 解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12
6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得, x1 1, x2 2. 当 x 1时, f ( x) 0, 在(,1]上单调增加; 当1 x 2时, f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少; 当2 x 时, f ( x) 0, 在[2,)上单调增加;
若在(a,b)内,f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内,f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
例 1 讨论函数 y e x x 1 的单调性.
x)
x
1 2
x2
,
因为 f ( x) 在[0,) 上连续,在 (0,) 内可导,
且
f
(
x)
1
1
x
1
x
x2 1 x
,
当 x 0 时, f ( x) 0, 又 f (0) 0.
故当 x 0 时, f ( x) f (0) 0,
所以
ln(1
x)
x
1 2
x2.
思路归纳:
欲证 f (x) g(x), x [a,b]
单调区间为 (,1],[1,2],[2,).
例4 求函数 y 3 (2x a)(a x)2 (a 0)的单调区
间.
解
y
2 3
3
2a 3x (2x a)2(a
, x)
令 y 0, 解得
x1
2 3
a,
在
x2
a 2
,
x3
a
处
y 不存在.
在
,
a 2
内,
y
0,
函数单调增加.
在
a 2
,
2 3
a
内,
f
(
x)
x2
(2
sin
1 x
)
x 0,易知 f (x)在x 0处取到极大值,
0
x0
f (0) 0,当x 0时, f (x) 4x 2x sin 1 cos 1 , xx
取x 1 则有 f ( 1 ) 4 (1)n ,
n
n n
因此在极值点x 0的任意邻近 f (x)都不保号,因此在x 0 的每个邻域内f 都不可能是单调的。
f
(
x)
x
2
x2
sin
1 x
x 0,易求得 f (0) 1
0
x0
当x 0时, f (x) 1 4x sin 1 2cos 1 ,
x
x
取x 1 则有 f ( 1 ) 1 2(1)n,
n
n
可见在x 0的任意邻近 f (x)都不保号,因此在x 0 的每个邻域内f 都不是单调的。
答:(2)不一定。举例如下:
,
2 3
a
内,
y
0,
函数单调增加.
在
2 3
a,
a
内, y 0,
函数单调减少.
在 a, 内, y 0, 函数单调增加.
问题:(1)由函数在一点上的导数符号大于(小于)0 能否推出函数在该点的一个充分小的邻域 内单调?
(2)函数在邻近其极值点的每一侧是否 一定具有单调性?
答:(1)推不出单调性。举例如下:
引进辅助函数 F(x) f (x) g(x)
若 F(x) 0,且F(a) 0
方法: 用方程 f '( x) 0 的根及 f '( x) 不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间, 然后判断区间内导
数的符号.
例2 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
y 3 x2
第四节 导数的应用
一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性与拐点
一、函数的单调性(monotonicity)
1.单调性的判别法
y
y f (x) B
yA y f (x)
A
B
oa
bx
oa
bx
f ( x) 0
f ( x) 0
定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)内可导.
(1)如果在(a, b)内 f ( x) 0,那末函数y f ( x)在
y
0,
函数单调增加.
例4 求函数 y 3 (2x a)(a x)2 (a 0)的单调区
间. 解
在
,
a 2
内,y0, Nhomakorabea函数单调增加.
在
a 2
,
2 3
a
内,
y
0,
函数单调增加.
例4 求函数 y 3 (2x a)(a x)2 (a 0)的单调区
间.
解
在
,
a 2
内,
y
0,
函数单调增加.
在
a 2
函数的单调性是一个区间上的性质,要用导 数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点 处的导数符号来判别一个区间上的单调性.
同时也不能想当然地认为:可导函数在其极值 点的左邻域内或是右邻域内一定具有单调性。
利用单调性证明不等式
例5
试证明:当
x
0
时,ln(1
x)
x
1 2
x2.
证 作辅助函数
f
(
x)
ln(1
解 y e x 1. 又 D : (,). 在 (,0)内, y 0, 函数单调减少; 在 (0,) 内, y 0, 函数单调增加.
注:函数的单调性是一个区间上的性质,要用导 数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.
单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调 区间的分界点.
当 x 0时,f ( x) 0, 在(,0]上单调减少;
当0 x 时, f ( x) 0, 在[0,)上单调增加;
单调区间为 (,0],[0,).
注意:区间内个某些点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加.
再如 f x x sin x, x ,