2020年浙江省高考数学试卷

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2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)

绝密 ★ 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)(本试卷共4页,22小题,满分150分,考试用时120分钟)选择题部分(共40分)一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合P={x|1<x<4},Q={x|2<x<3},则P ∩Q=( ) A.{x|1<x ≤2} B.{x|2<x<3} C.{x|3≤x<4} D.{x|1<x<4}2.已知a ∈R ,若a-1+(a-2)i(i 为虚数单位)是实数,则a=( )A.1B.-1C.2D.-23.若实数x ,y 满足约束条件{x -3y +1≤0,x +y -3≥0,则z=x+2y 的取值范围是( )A.(-∞,4]B.[4,+∞)C.[5,+∞)D.(-∞,+∞)4.函数y=x cos x+sin x 在区间[-π,π]上的图象可能是( )5.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积(单位:cm 3)是( ) A.73B.143C.3D.66.已知空间中不过同一点的三条直线l ,m ,n.“l ,m ,n 共面”是“l ,m ,n 两两相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且a1d≤1.记b1=S2,b n+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a42=a2a8D.b42=b2b88.已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3√4-x2图象上的点,则|OP|=()A.√222B.4√105C.√7D.√109.已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则()A.a<0B.a>0C.b<0D.b>010.设集合S,T,S⊆N*,T⊆N*,S,T中至少有2个元素,且S,T满足:①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T;②对于任意的x,y∈T,若x<y,则yx∈S.下列命题正确的是()A.若S有4个元素,则S∪T有7个元素B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素C.若S有3个元素,则S∪T有5个元素D.若S有3个元素,则S∪T有4个元素非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。

2020年浙江省高考数学试卷-含详细解析

2020年浙江省高考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =( )A. {x|1<x ≤2}B. {x|2<x <3}C. {x|3≤x <4}D. {x|1<x <4}2. 已知a ∈R ，若a −1+(a −2)i(i 为虚数单位)是实数，则a =( )A. 1B. −1C. 2D. −2 3. 若实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0，则z =x +2y 的取值范围是( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [5,+∞)D. (−∞,+∞)4. 函数y =xcosx +sinx 在区间[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.5. 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A. 73 B. 143 C. 3 D. 66. 已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，a1d⩽1.记b1=S2，b n+1=S n+2−S2n，n∈N∗，下列等式不可能成立的是()A. 2a4=a2+a6B. 2b4=b2+b6C. a42=a2a8D. b42=b2b88.已知点O(0,0)，A(−2,0)，B(2,0)，设点P满足|PA|−|PB|=2，且P为函数y=3√4−x2图象上的点，则|OP|=()A. √222B. 4√105C. √7D. √109.已知a，b∈R且a，b≠0，若(x−a)(x−b)(x−2a−b)≥0在x≥0上恒成立，则()A. a<0B. a>0C. b<0D. b>010.设集合S，T，S⊆N∗，T⊆N∗，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x<y，则yx∈S；下列命题正确的是()A. 若S有4个元素，则S∪T有7个元素B. 若S有4个元素，则S∪T有6个元素C. 若S有3个元素，则S∪T有5个元素D. 若S有3个元素，则S∪T有4个元素二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列{n(n+1)2}就是二阶等差数列，数列{n(n+1)2}，(n∈N∗)的前3项和______．12.二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4=______；a1+a2+a3=______．13.已知tanθ=2，则cos2θ=______；tan(θ−π4)=______．14.已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是______．15.已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x−4)2+y2=1均相切，则k=______，b=______．16.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ=0)=______，E(ξ)=______．17.已知平面向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 满足|2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |≤√2，设a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =3e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，则cos2θ的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsinA−√3a=0．(1)求角B；(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围．19.如图，三棱台ABC−DEF中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．(1)证明：EF⊥DB；(2)求DF与面DBC所成角的正弦值．⋅20.已知数列{a n}，{b n}，{c n}满足a1=b1=c1=1，c n+1=a n+1−a n，c n+1=b nb n+2c n(n∈N∗)．(1)若{b n}为等比数列，公比q>0，且b1+b2=6b3，求q的值及数列{a n}的通项公式；(2)若{b n}为等差数列，公差d>0，证明：c1+c2+c3+⋯+c n<1+1，n∈N∗．d21.如图，已知椭圆C1：x2+y2=1，抛物线C2：y2=2px(p>0)，点A是椭圆C1与2抛物线C2的交点．过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B,M不同于A)．(1)若p=1，求抛物线C2的焦点坐标；16(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．22.已知1<a≤2，函数f(x)=e x−x−a.其中e=2.718281828459…为自然对数的底数．(1)证明：函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点；(2)记x0为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点，证明：(ⅰ)√a−1≤x0≤√2(a−1)；(ⅰ)x0f(e x0)≥(e−1)(a−1)a．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q ={x|2<x <3}．故选：B ．直接利用交集的运算法则求解即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.【答案】C【解析】解：a ∈R ，若a −1+(a −2)i(i 为虚数单位)是实数，可得a −2=0，解得a =2．故选：C ．利用复数的虚部为0，求解即可．本题考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】B【解析】解：画出实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0所示的平面区域，如图：将目标函数变形为−12x +z2=y ，则z 表示直线在y 轴上截距，截距越大，z 越大，当目标函数过点A(2,1)时，截距最小为z =2+2=4，随着目标函数向上移动截距越来越大，故目标函数z =2x +y 的取值范围是[4,+∞)．故选：B ．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象判断目标函数z =x +2y 的取值范围．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值． 4.【答案】A【解析】解：y =f(x)=xcosx +sinx ，则f(−x)=−xcosx −sinx =−f(x)，∴f(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B ，D ，当x =π时，y =f(π)=πcosπ+sinπ=−π<0，故排除B ，故选：A ．先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键，属于基础题． 5.【答案】A【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图，下部是直三棱柱，底面是斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥的高为2，上部是一个三棱锥，一个侧面与底面等腰直角三角形垂直，棱锥的高为1，所以几何体的体积为：12×2×1×2+13×12×2×1×1=73．故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题借助空间的位置关系，考查了充分条件和必要条件，属于基础题．由m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．【解答】解：空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．故m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件，故选：B．7.【答案】B【解析】解：在等差数列{a n}中，a n=a1+(n−1)d，S n+2=(n+2)a1+(n+2)(n+1)2d，S2n=2na1+2n(2n−1)2d，b1=S2=2a1+d，b n+1=S n+2−S2n=(2−n)a1−3n2−5n−22d．∴b2=a1+2d，b4=−a1−5d，b6=−3a1−24d，b8=−5a1−55d．A.2a4=2(a1+3d)=2a1+6d，a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d，故A正确；B.2b4=−2a1−10d，b2+b6=a1+2d−3a1−24d=−2a1−22d，若2b4=b2+b6，则−2a1−10d=−2a1−22d，即d=0不合题意，故B错误；C.若a42=a2a8，则(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)，即a12+6a1d+9d2=a12+8a1d+7d2，得a1d=d2，∵d≠0，∴a1=d，符合a1d⩽1，故C正确；D.若b42=b2b8，则(−a1−5d)2=(a1+2d)(−5a1−55d)，即2(a1d )2+25a1d+45=0，则a1d有两不等负根，满足a1d⩽1，故D正确．∴等式不可能成立的是B．故选：B．由已知利用等差数列的通项公式判断A与C；由数列递推式分别求得b2,b4,b6,b8，分析B，D成立时是否满足公差d≠0，a1d⩽1判断B与D．本题考查数列递推式，等差数列的通项公式与前n项和，考查转化思想和计算能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：点O(0,0)，A(−2,0)，B(2,0).设点P满足|PA|−|PB|=2，可知P的轨迹是双曲线x21−y23=1的右支上的点，P为函数y=3√4−x2图象上的点，即y236+x24=1在第一象限的点，联立两个方程，解得P(√132,3√32)，所以|OP|=√134+274=√10．故选：D．求出P满足的轨迹方程，求出P的坐标，即可求解|OP|．本题考查圆锥曲线的综合应用，曲线的交点坐标以及距离公式的应用，是中档题．9.【答案】C【解析】解：由题意知，x=0时，不等式ab(−2a−b)⩾0恒成立，即ab(2a+b)⩽0，∵ab≠0，∴可得1a +2b⩽0，则a,b至少有一个是小于0的，(1)若a<0,b<0，(x−a)(x−b)(x−2a−b)⩾0在x⩾0时恒成立，符合题意；(2)若a<0,b>0，则2a+b<b，当x∈[0,a]时，(x−a)(x−b)(x−2a−b)⩽0，不符合题意；(3)若a>0,b<0，则2a+b>b，当2a+b=a时，(x−a)(x−b)(x−2a−b)⩾0在x⩾0时恒成立，符合题意．综合，b<0成立．故选：C．本题考查不等式恒成立问题，注意三次函数的图象，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：取：S={1,2，4}，则T={2,4，8}，S∪T={1,2，4，8}，4个元素，排除C．S={2,4，8}，则T={8,16，32}，S∪T={2,4，8，16，32}，5个元素，排除D；S={2,4，8，16}则T={8,16，32，64，128}，S∪T={2,4，8，16，32，64，128}，7个元素，排除B；故选：A．利用特殊集合排除选项，推出结果即可．本题考查命题的真假的判断与应用，集合的基本运算，利用特殊集合排除选项是选择题常用方法，难度比较大．11.【答案】10【解析】【分析】本题考查数列求和，数列通项公式的应用，是基本知识的考查．求出数列的前3项，然后求解即可．【解答】解：数列{a n}满足a n=n(n+1)2，可得a1=1，a2=3，a3=6，所以S3=1+3+6=10．故答案为：10．12.【答案】80 130【解析】解：∵(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4=C54⋅24=80．a1+a2+a3=C51⋅2+C52⋅4+C53⋅8=130．故答案为：80；130．直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．本题考查二项式定理的应用，只有二项式定理系数以及项的系数的区别，是基本知识的考查．13.【答案】−351 3【解析】解：tanθ=2，则cos2θ=cos2θ−sin2θcos2θ+sin2θ=1−tan2θ1+tan2θ=1−41+4=−35．tan(θ−π4)=tanθ−tanπ41+tanθtanπ4=2−11+2×1=13．故答案为：−35；13．利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．14.【答案】1【解析】解：∵圆锥侧面展开图是半圆，面积为2π，设圆锥的母线长为a，则12×a2π=2π，∴a=2，∴侧面展开扇形的弧长为2π，设圆锥的底面半径OC=r，则2πr=2π，解得r=1．故答案为：1．利用圆锥的侧面积，求出母线长，求解底面圆的周长，然后求解底面半径．本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．15.【答案】√33−2√33【解析】解：由条件得C1(0,0)，r1=1，C2(4,0)，r2=1，因为直线l与C1，C2都相切，故有d 1=√1+k 2=1，d 2=√1+k 2=1，则有√1+k 2=√1+k 2，故可得b 2=(4k +b)2，整理得k(2k +b)=0，因为k >0，所以2k +b =0，即b =−2k ，代入d 1=√1+k 2=1，解得k =√33，则b =−2√33，故答案为：√33；−2√33．根据直线l 与两圆都相切，分别列出方程d 1=√1+k 2=1，d 2=√1+k 2=1，解得即可．本题考查直线与圆相切的性质，考查方程思想，属于中档题．16.【答案】13 1【解析】解：由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2；计算P(ξ=0)=C 11C 41+C 11⋅C 11C 41⋅C 31=13；P(ξ=1)=C 21⋅C 11A 42+C 21C 11A 22C 11A 43=13； P(ξ=2)=A 22⋅C 11A 43+C 22C 11A 33A 22C 11A 44=13；所以E(ξ)=0×13+1×13+2×13=1．故答案为：13，1．由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2；分别计算P(ξ=0)、P(ξ=1)和P(ξ=2)，再求E(ξ)的值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．17.【答案】2829【解析】解：设e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 的夹角为α，由e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 为单位向量，满足|2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ |≤√2，所以4e 1⃗⃗⃗ 2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=4−4cosα+1≤2，解得cosα≥34；又a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，且a⃗ ，b ⃗ 的夹角为θ，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =3e 1⃗⃗⃗ 2+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=4+4cosα， a ⃗ 2=e 1⃗⃗⃗ 2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=2+2cosα，b ⃗ 2=9e 1⃗⃗⃗ 2+6e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=10+6cosα；则cos 2θ=(a ⃗ ⋅b⃗ )2a⃗ 2×b ⃗2=(4+4cosα)2(2+2cosα)(10+6cosα)=4+4cosα5+3cosα=43−835+3cosα，所以cosα=34时，cos 2θ取得最小值为43−835+3×34=2829．故答案为：2829．设e1⃗⃗⃗ 、e2⃗⃗⃗ 的夹角为α，由题意求出cosα≥34；再求a⃗，b⃗ 的夹角θ的余弦值cos2θ的最小值即可．本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题，是中档题．18.【答案】解：(1)∵2bsinA=√3a，∴2sinBsinA=√3sinA，∵sinA≠0，∴sinB=√32，，∴B=π3，(2)∵△ABC为锐角三角形，B=π3，∴C=2π3−A，，△ABC为锐角三角形，，，解得，，，，∴cosA+cosB+cosC的取值范围为(√3+12,32 ]．【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．(1)根据正弦定理可得sinB=√32，结合角的范围，即可求出，(2)根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．19.【答案】解：(1)证明：作DH⊥AC，且交AC于点H，∵面ADFC⊥面ABC，面ADFC∩面ABC=AC，DH⊂面ADFC，∴DH⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴DH⊥BC，∴在Rt△DHC中，CH=CD⋅cos45°=√22CD，∵DC=2BC，∴CH=√22CD=√22⋅2BC=√2⋅BC，∴BCCH =√22，又∠ACB=45°，∴△BHC是直角三角形，且∠HBC=90°，∴HB⊥BC，又∵DH⊂面DHB，HB⊂面DHB，DH∩HB=H，∴BC⊥面DHB，∵DB⊂面DHB，∴BC⊥DB，∵在三棱台DEF−ABC中，EF//BC，∴EF⊥DB．(2)设BC=1，则BH=1，HC=√2，在Rt△DHC中，DH=√2，DC=2，在Rt△DHB中，DB=√DH2+HB2=√2+1=√3，作HG⊥BD于G，∵BC⊥面DHB，HG⊂面DHB，∴BC⊥HG，而BC⊂面BCD，BD⊂面BCD，BC∩BD=B，∴HG⊥面BCD，∵GC⊂面BCD，∴HG⊥GC，∴△HGC是直角三角形，且∠HGC=90°，设DF与面DBC所成角为θ，则θ即为CH与面DBC的夹角，且sinθ=sin∠HCG=HGHC =√2，∵在Rt△DHB中，DH⋅HB=BD⋅HG，∴HG=DH⋅HBBD =√2⋅1√3=√63，∴sinθ=√2=√63√2=√33．【解析】本题主要考查空间直线互相垂直的判定和性质，以及直线与平面所成角的几何计算问题，考查了空间想象能力和思维能力，平面与空间互相转化是能力，几何计算能力，以及逻辑推理能力，本题属综合性较强的中档题．(1)题根据已知条件，作DH⊥AC，根据面面垂直，可得DH⊥BC，进一步根据直角三角形的知识可判断出△BHC是直角三角形，且∠HBC=90°，则HB⊥BC，从而可证出BC⊥面DHB，最后根据棱台的定义有EF//BC，根据平行线的性质可得EF⊥DB；(2)题先可设BC=1，根据解直角三角形可得BH=1，HC=√2，DH=√2，DC=2，DB=√3，然后找到CH与面DBC的夹角即为∠HCG，根据棱台的特点可知DF与面DBC 所成角与CH与面DBC的夹角相等，通过计算∠HCG的正弦值，即可得到DF与面DBC 所成角的正弦值．20.【答案】(1)解：由题意，b2=q，b3=q2，∵b1+b2=6b3，∴1+q=6q2，整理，得6q2−q−1=0，解得q=−13(舍去)，或q=12，∴c n+1=b nb n+2⋅c n=1b n+2b n⋅c n=1q2⋅c n=1(12)2⋅c n=4⋅c n，∴数列{c n}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴c n=1⋅4n−1=4n−1，n∈N∗．∴a n+1−a n=c n+1=4n，则a1=1，a2−a1=41，a3−a2=42，⋅⋅⋅a n−a n−1=4n−1，各项相加，可得a n=1+41+42+⋯+4n−1=1−4n1−4=4n−13．(2)证明：依题意，由c n+1=b nb n+2⋅c n(n∈N∗)，可得b n+2⋅c n+1=b n⋅c n，两边同时乘以b n+1，可得b n+1b n+2c n+1=b n b n+1c n，∵b1b2c1=b2=1+d，∴数列{b n b n+1c n}是一个常数列，且此常数为1+d，b n b n+1c n=1+d，∴c n=1+db n b n+1=1+dd⋅db n b n+1=(1+1d)⋅b n+1−b nb n b n+1=(1+1d)(1b n−1b n+1)，∴c1+c2+⋯+c n=(1+1d)(1b1−1b2)+(1+1d)(1b2−1b3)+⋯+(1+1d)(1b n−1b n+1)=(1+1d)(1b1−1b2+1b2−1b3+⋯+1b n−1b n+1)=(1+1d)(1b1−1b n+1)=(1+1d)(1−1b n+1)<1+1d，∴c1+c2+⋯+c n<1+1d，故得证．【解析】本题主要考查数列求通项公式，等差数列和等比数列的基本量的运算，以及和式不等式的证明问题．考查了转化与化归思想，整体思想，方程思想，累加法求通项公式，裂项相消法求和，放缩法证明不等式，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属综合性较强的偏难题．(1)先根据等比数列的通项公式将b2=q，b3=q2代入b1+b2=6b3，计算出公比q的值，然后根据等比数列的定义化简c n+1=b nb n+2⋅c n可得c n+1=4c n，则可发现数列{c n}是以1为首项，4为公比的等比数列，从而可得数列{c n}的通项公式，然后将通项公式代入c n+1=a n+1−a n，可得a n+1−a n=c n+1=4n，再根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列{a n}的通项公式；(2)通过将已知关系式c n+1=b nb n+2⋅c n不断进行转化可构造出数列{b n b n+1c n}，且可得到数列{b n b n+1c n }是一个常数列，且此常数为1+d ，从而可得b n b n+1c n =1+d ，再计算得到c n =1+dbn b n+1，根据等差数列的特点进行转化进行裂项，在求和时相消，最后运用放缩法即可证明不等式成立．21.【答案】解：(1)p =116，则 p 2=132，则抛物线C 2的焦点坐标(132,0)，(2)由题意可设直线l ：x =my +t (m ≠0,t ≠0)，点A (x 0,y 0)，将直线l 的方程代入椭圆C 1：x 22+y 2=1得(m 2+2)y 2+2mty +t 2−2=0∴点M 的纵坐标y M =−mtm 2+2。

2020年浙江省高考数学试卷试题+答案详解

2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
球的表面积公式
球的体积公式
其中表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则P Q=（）
A. B. C. D.
2.已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）
A. 1B. –1C. 2D. –2
17.设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差，．记b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）
A. 2a4=a2+a6B. 2b4=b2+b6C. D.
8.已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= 图像上的点，则|OP|=（）

2020年浙江省高考数学试卷及详细解答

【答案】(1). (2).
【解析】由题意，到直线的距离等于半径，即，，
所以，所以（舍）或者，解得 .
16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则 _______； ______．
【解析】先确定对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项C；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：，且目标函数没有最大值.
故目标函数的取值范围是 .故选：B
4.函数y=xcosx+sinx在区间[–π，+π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【解析】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；且时，，据此可知选项B错误，故选：A.
【解析】因为为实数，所以，故选：C
3.若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）
A. B. C. D.
【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，

2020年浙江省高考数学试卷-解析版

2020年浙江省高考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =( )A. {x|1<x ≤2}B. {x|2<x <3}C. {x|3≤x <4}D. {x|1<x <4}2. 已知a ∈R ，若a −1+(a −2)i(i 为虚数单位)是实数，则a =( )A. 1B. −1C. 2D. −2 3. 若实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0，则z =x +2y 的取值范围是( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [5,+∞)D. (−∞,+∞)4. 函数y =xcosx +sinx 在区间[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.5. 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A. 73 B. 143 C. 3 D. 66. 已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，a1d⩽1.记b 1=S 2，b n+1=S n+2−S 2n ，n ∈N ∗，下列等式不可能成立的是( )A. 2a 4=a 2+a 6B. 2b 4=b 2+b 6C. a 42=a 2a 8D. b 42=b 2b 8 8. 已知点O(0,0)，A(−2,0)，B(2,0)，设点P 满足|PA|−|PB|=2，且P 为函数y =3√4−x 2图象上的点，则|OP|=( )A. √222B. 4√105C. √7D. √109.已知a，b∈R且a，b≠0，若(x−a)(x−b)(x−2a−b)≥0在x≥0上恒成立，则()A. a<0B. a>0C. b<0D. b>010.设集合S，T，S⊆N∗，T⊆N∗，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x<y，则yx∈S；下列命题正确的是()A. 若S有4个元素，则S∪T有7个元素B. 若S有4个元素，则S∪T有6个元素C. 若S有3个元素，则S∪T有5个元素D. 若S有3个元素，则S∪T有4个元素二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列{n(n+1)2}就是二阶等差数列，数列{n(n+1)2}，(n∈N∗)的前3项和______．12.二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4=______；a1+a2+a3=______．13.已知tanθ=2，则cos2θ=______；tan(θ−π4)=______．14.已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是______．15.已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x−4)2+y2=1均相切，则k=______，b=______．16.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ=0)=______，E(ξ)=______．17.已知平面向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 满足|2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |≤√2，设a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =3e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，则cos2θ的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsinA−√3a=0．(1)求角B；(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围．19.如图，三棱台ABC−DEF中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．(1)证明：EF⊥DB；(2)求DF与面DBC所成角的正弦值．⋅20.已知数列{a n}，{b n}，{c n}满足a1=b1=c1=1，c n+1=a n+1−a n，c n+1=b nb n+2c n(n∈N∗)．(1)若{b n}为等比数列，公比q>0，且b1+b2=6b3，求q的值及数列{a n}的通项公式；(2)若{b n}为等差数列，公差d>0，证明：c1+c2+c3+⋯+c n<1+1，n∈N∗．d21.如图，已知椭圆C1：x2+y2=1，抛物线C2：y2=2px(p>0)，点A是椭圆C1与2抛物线C2的交点．过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M(B,M不同于A)．(1)若p=1，求抛物线C2的焦点坐标；16(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．22.已知1<a≤2，函数f(x)=e x−x−a.其中e=2.718281828459…为自然对数的底数．(1)证明：函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点；(2)记x0为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点，证明：(ⅰ)√a−1≤x0≤√2(a−1)；(ⅰ)x0f(e x0)≥(e−1)(a−1)a．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q ={x|2<x <3}．故选：B ．直接利用交集的运算法则求解即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的基本概念，是基础题．利用复数的虚部为0，求解即可．【解答】解：a ∈R ，若a −1+(a −2)i(i 为虚数单位)是实数，可得a −2=0，解得a =2．故选：C ．3.【答案】B【解析】解：画出实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0所示的平面区域，如图：将目标函数变形为−12x +z2=y ，则z 表示直线在y 轴上截距，截距越大，z 越大，当目标函数过点A(2,1)时，截距最小为z =2+2=4，随着目标函数向上移动截距越来越大，故目标函数z =2x +y 的取值范围是[4,+∞)．故选：B ．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象判断目标函数z =x +2y 的取值范围．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．4.【答案】A【解析】解：y =f(x)=xcosx +sinx ，则f(−x)=−xcosx −sinx =−f(x)，∴f(x)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B ，D ，当x =π时，y =f(π)=πcosπ+sinπ=−π<0，故排除B ，故选：A ．先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图，下部是直三棱柱，底面是斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥的高为2，上部是一个三棱锥，一个侧面与底面等腰直角三角形垂直，棱锥的高为1，所以几何体的体积为：12×2×1×2+13×12×2×1×1=73．故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题借助空间的位置关系，考查了充分条件和必要条件，属于基础题．由m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．【解答】解：空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．故m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件，故选：B．7.【答案】B【解析】解：在等差数列{a n}中，a n=a1+(n−1)d，S n+2=(n+2)a1+(n+2)(n+1)2d，S2n=2na1+2n(2n−1)2d，b1=S2=2a1+d，b n+1=S n+2−S2n=(2−n)a1−3n2−5n−22d．∴b2=a1+2d，b4=−a1−5d，b6=−3a1−24d，b8=−5a1−55d．A.2a4=2(a1+3d)=2a1+6d，a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d，故A正确；B.2b4=−2a1−10d，b2+b6=a1+2d−3a1−24d=−2a1−22d，若2b4=b2+b6，则−2a1−10d=−2a1−22d，即d=0不合题意，故B错误；C.若a42=a2a8，则(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)，即a12+6a1d+9d2=a12+8a1d+7d2，得a1d=d2，∵d≠0，∴a1=d，符合a1d⩽1，故C正确；D.若b42=b2b8，则(−a1−5d)2=(a1+2d)(−5a1−55d)，即2(a1d )2+25a1d+45=0，则a1d有两不等负根，满足a1d⩽1，故D正确．∴等式不可能成立的是B．故选：B．由已知利用等差数列的通项公式判断A与C；由数列递推式分别求得b2,b4,b6,b8，分析B，D成立时是否满足公差d≠0，a1d⩽1判断B与D．本题考查数列递推式，等差数列的通项公式与前n项和，考查转化思想和计算能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：点O(0,0)，A(−2,0)，B(2,0).设点P满足|PA|−|PB|=2，可知P的轨迹是双曲线x21−y23=1的右支上的点，P为函数y=3√4−x2图象上的点，即y236+x24=1在第一象限的点，联立两个方程，解得P(√132,3√32)，所以|OP|=√134+274=√10．故选：D．求出P满足的轨迹方程，求出P的坐标，即可求解|OP|．本题考查圆锥曲线的综合应用，曲线的交点坐标以及距离公式的应用，是中档题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查不等式恒成立问题，注意三次函数的图象，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．先由x=0时，不等式ab(−2a−b)⩾0恒成立，可得1a +2b⩽0，则a,b至少有一个是小于0的，再按a<0,b<0，a<0,b>0，a>0,b<0，讨论可得结论．【解答】解：由题意知，x=0时，不等式ab(−2a−b)⩾0恒成立，即ab(2a+b)⩽0，∵ab≠0，∴可得1a +2b⩽0，则a,b至少有一个是小于0的，(1)若a<0,b<0，由图象知，(x−a)(x−b)(x−2a−b)⩾0在x⩾0时恒成立，符合题意；(2)若a<0,b>0，2a+b>0，(x−a)(x−b)(x−2a−b)⩽0在x≥0上恒成立，则b=2a+b，得a=0，矛盾，不符合题意．(3)若a>0,b<0，(x−a)(x−b)(x−2a−b)⩾0在x⩾0时恒成立，则a=2a+b，则a+b=0，符合题意．综合，b<0成立．故选：C．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，集合的基本运算，利用特殊集合排除选项是选择题常用方法，属于较难题．利用特殊集合排除选项，推出结果即可．【解答】解：取：S ={1,2，4}，则T ={2,4，8}，S ∪T ={1,2，4，8}，4个元素，排除C ． S ={2,4，8}，则T ={8,16，32}，S ∪T ={2,4，8，16，32}，5个元素，排除D ； S ={2,4，8，16}则T ={8,16，32，64，128}，S ∪T ={2,4，8，16，32，64，128}，7个元素，排除B ；故选：A ．11.【答案】10【解析】【分析】本题考查数列求和，数列通项公式的应用，是基本知识的考查．求出数列的前3项，然后求解即可．【解答】解：数列{a n }满足a n =n(n+1)2，可得a 1=1，a 2=3，a 3=6，所以S 3=1+3+6=10．故答案为：10．12.【答案】80；130【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用，只有二项式定理系数以及项的系数的区别，属于基础题．直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．【解答】解：∵(1+2x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 4=C 54⋅24=80．a 1+a 2+a 3=C 51⋅2+C 52⋅4+C 53⋅8=130．故答案为：80；130．13.【答案】−35， 13【解析】解：tanθ=2，则cos2θ=cos 2θ−sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=1−41+4=−35． tan(θ−π4)=tanθ−tanπ41+tanθtanπ4=2−11+2×1=13．故答案为：−35；13．利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．14.【答案】1【解析】解：∵圆锥侧面展开图是半圆，面积为2π，设圆锥的母线长为a ，则12×a 2π=2π，∴a =2，∴侧面展开扇形的弧长为2π，设圆锥的底面半径OC =r ，则2πr =2π，解得r =1．故答案为：1．利用圆锥的侧面积，求出母线长，求解底面圆的周长，然后求解底面半径．本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．15.【答案】√33 ；−2√33【解析】解：由条件得C 1(0,0)，r 1=1，C 2(4,0)，r 2=1，因为直线l 与C 1，C 2都相切，故有d 1=√1+k 2=1，d 2=√1+k 2=1，则有√1+k 2=√1+k 2，故可得b 2=(4k +b)2，整理得k(2k +b)=0，因为k >0，所以2k +b =0，即b =−2k ，代入d 1=√1+k 2=1，解得k =√33，则b =−2√33，故答案为：√33；−2√33．根据直线l 与两圆都相切，分别列出方程d 1=√1+k2=1，d 2=√1+k 2=1，解得即可．本题考查直线与圆相切的性质，考查方程思想，属于中档题．16.【答案】13 ；1【解析】解：由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2；计算P(ξ=0)=14+14×13=13；P(ξ=1)=1 2×13 +14×23×12+24×13×12=13；P(ξ=2)=1−13−13=13；所以E(ξ)=0×13+1×13+2×13=1．故答案为：13，1．由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2；分别计算P(ξ=0)、P(ξ=1)和P(ξ=2)，再求E(ξ)的值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．17.【答案】2829【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题，是中档题．设e1⃗⃗⃗ 、e2⃗⃗⃗ 的夹角为α，由题意求出cosα≥34；再求a⃗，b⃗ 的夹角θ的余弦值cos2θ的最小值即可．【解答】解：设e1⃗⃗⃗ 、e2⃗⃗⃗ 的夹角为α，由e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 为单位向量，满足|2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |≤√2，所以4e1⃗⃗⃗ 2−4e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 2=4−4cosα+1≤2，解得cosα≥34；又a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =3e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，且a⃗，b⃗ 的夹角为θ，所以a⃗⋅b⃗ =3e1⃗⃗⃗ 2+4e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 2=4+4cosα，a⃗2=e1⃗⃗⃗ 2+2e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 2=2+2cosα，b⃗ 2=9e1⃗⃗⃗ 2+6e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 2=10+6cosα；则cos2θ=(a⃗ ⋅b⃗)2a⃗2×b⃗2=(4+4cosα)2(2+2cosα)(10+6cosα)=4+4cosα5+3cosα=43−835+3cosα，所以cosα=34时，cos2θ取得最小值为43−835+3×34=2829．故答案为2829．18.【答案】解：(1)∵2bsinA=√3a，∴2sinBsinA=√3sinA，∵sinA≠0，∴sinB=√32，，∴B=π3，(2)∵△ABC为锐角三角形，B=π3，∴C=2π3−A，，△ABC为锐角三角形，，，解得，，，，∴cosA+cosB+cosC的取值范围为(√3+12,32 ]．【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．(1)根据正弦定理可得sinB=√32，结合角的范围，即可求出，(2)根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．19.【答案】解：(1)证明：作DH⊥AC，且交AC于点H，∵面ADFC⊥面ABC，面ADFC∩面ABC=AC，DH⊂面ADFC，∴DH⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴DH⊥BC，∴在Rt△DHC中，CH=CD⋅cos45°=√22CD，∵DC=2BC，∴CH=√22CD=√22⋅2BC=√2⋅BC，∴BCCH =√22，又∠ACB=45°，∴△BHC是直角三角形，且∠HBC=90°，∴HB⊥BC，又∵DH⊂面DHB，HB⊂面DHB，DH∩HB=H，∴BC⊥面DHB，∵DB⊂面DHB，∴BC⊥DB，∵在三棱台DEF−ABC中，EF//BC，∴EF⊥DB．(2)设BC=1，则BH=1，HC=√2，在Rt△DHC中，DH=√2，DC=2，在Rt△DHB中，DB=√DH2+HB2=√2+1=√3，作HG⊥BD于G，∵BC⊥面DHB，HG⊂面DHB，∴BC⊥HG，而BC⊂面BCD，BD⊂面BCD，BC∩BD=B，∴HG⊥面BCD，∵GC⊂面BCD，∴HG⊥GC，∴△HGC是直角三角形，且∠HGC=90°，设DF与面DBC所成角为θ，则θ即为CH与面DBC的夹角，且sinθ=sin∠HCG=HGHC =√2，∵在Rt△DHB中，DH⋅HB=BD⋅HG，∴HG=DH⋅HBBD =√2⋅13=√63，∴sinθ=√2=√63√2=√33．【解析】本题主要考查空间直线互相垂直的判定和性质，以及直线与平面所成角的几何计算问题，考查了空间想象能力和思维能力，平面与空间互相转化是能力，几何计算能力，以及逻辑推理能力，本题属综合性较强的中档题．(1)题根据已知条件，作DH⊥AC，根据面面垂直，可得DH⊥BC，进一步根据直角三角形的知识可判断出△BHC是直角三角形，且∠HBC=90°，则HB⊥BC，从而可证出BC⊥面DHB，最后根据棱台的定义有EF//BC，根据平行线的性质可得EF⊥DB；(2)题先可设BC=1，根据解直角三角形可得BH=1，HC=√2，DH=√2，DC=2，DB=√3，然后找到CH与面DBC的夹角即为∠HCG，根据棱台的特点可知DF与面DBC 所成角与CH与面DBC的夹角相等，通过计算∠HCG的正弦值，即可得到DF与面DBC 所成角的正弦值．20.【答案】(1)解：由题意，b2=q，b3=q2，∵b1+b2=6b3，∴1+q=6q2，整理，得6q2−q−1=0，解得q=−13(舍去)，或q=12，∴c n+1=b nb n+2⋅c n=1b n+2b n⋅c n=1q2⋅c n=1(12)2⋅c n=4⋅c n，∴数列{c n}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴c n=1⋅4n−1=4n−1，n∈N∗．∴a n+1−a n=c n+1=4n，则a1=1，a2−a1=41，a3−a2=42，……a n−a n−1=4n−1，各项相加，可得a n=1+41+42+⋯+4n−1=1−4n1−4=4n−13．(2)证明：依题意，由c n+1=b nb n+2⋅c n(n∈N∗)，可得b n+2⋅c n+1=b n⋅c n，两边同时乘以b n+1，可得b n+1b n+2c n+1=b n b n+1c n，∵b1b2c1=b2=1+d，∴数列{b n b n+1c n}是一个常数列，且此常数为1+d，b n b n+1c n=1+d，∴c n=1+db n b n+1=1+dd⋅db n b n+1=(1+1d)⋅b n+1−b nb n b n+1=(1+1d)(1b n−1b n+1)，∴c1+c2+⋯+c n=(1+1d)(1b1−1b2)+(1+1d)(1b2−1b3)+⋯+(1+1d)(1b n−1b n+1)=(1+1d)(1b1−1b2+1b2−1b3+⋯+1b n−1b n+1)=(1+1d)(1b1−1b n+1)=(1+1d)(1−1b n+1)<1+1d，∴c1+c2+⋯+c n<1+1d，故得证．【解析】本题主要考查数列求通项公式，等差数列和等比数列的基本量的运算，以及和式不等式的证明问题．考查了转化与化归思想，整体思想，方程思想，累加法求通项公式，裂项相消法求和，放缩法证明不等式，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属于综合题．(1)先根据等比数列的通项公式将b2=q，b3=q2代入b1+b2=6b3，计算出公比q的值，然后根据等比数列的定义化简c n+1=b nb n+2⋅c n可得c n+1=4c n，则可发现数列{c n}是以1为首项，4为公比的等比数列，从而可得数列{c n}的通项公式，然后将通项公式代入c n+1=a n+1−a n，可得a n+1−a n=c n+1=4n，再根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列{a n}的通项公式；(2)通过将已知关系式c n+1=b nb n+2⋅c n不断进行转化可构造出数列{b n b n+1c n}，且可得到数列{b n b n+1c n}是一个常数列，且此常数为1+d，从而可得b n b n+1c n=1+d，再计算得到c n=1+db n b n+1，根据等差数列的特点进行转化进行裂项，在求和时相消，最后运用放缩法即可证明不等式成立．21.【答案】解：(1)p =116，则 p 2=132，则抛物线C 2的焦点坐标(132,0)，(2)由题意可设直线l ：x =my +t (m ≠0,t ≠0)，点A (x 0,y 0)，将直线l 的方程代入椭圆C 1：x 22+y 2=1得(m 2+2)y 2+2mty +t 2−2=0∴点M 的纵坐标y M =−mtm 2+2。

2020年浙江省高考数学试卷及解析

2020年浙江省高考数学试卷一、选择题1. 已知集合P ={x|1<x <4},Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =( ) A.{x|1<x ≤2} B.{x|2<x <3} C.{x|2<x ≤3} D.{x|1<x <4}2. 已知a ∈R ，若a −1+(a −2)i （i 为虚数单位）是实数，则a =( ) A.1 B.−1C.2D.−23. 若实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0，x +y −3≥0，则z =x +2y 的取值范围是( )A.(−∞，4]B.[4，+∞)C.[5，+∞)D.(−∞，+∞)4. 函数y =x cos x +sin x 在区间[−π,π]上的图象可能是( )A.B.C.D.5. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.73 B.143C.3D.66. 已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且a 1d≤1. 记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2−S 2n ，n ∈N ∗，下列等式不可能成立的是( )A.2a 4=a 2+a 6B.2b 4=b 2+b 6C.a 42=a 2a 8D.b 42=b 2b 88. 已知点O(0,0)，A(−2,0)，B(2,0)．设点P 满足|PA|−|PB|=2，且P 为函数y =3√4−x 2图像上的点，则|OP|=( )A.√222B.4√105C.√7D.√109. 已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x −a)(x −b)(x −2a −b)≥0，则( ) A.a <0 B.a >0 C.b <0 D.b >010. 设集合S ，T ，S ⊆N ∗，T ⊆N ∗，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x,y ∈S ，若x ≠y 则xy ∈T ②对于任意的x,y ∈T ，若x <y ，则yx ∈S.下列命题正确的是( ) A.若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素 B.若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素 C.若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D.若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素二、填空题11. 我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列{n (n+1)2}就是二阶等差数列．数列{n (n+1)2}(n ∈N ∗)的前3项和是________.12. 二项展开式(1+2x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 4=________，a 1+a 3+a 5=________.13. 已知tan θ=2，则cos 2θ=________，tan (θ−π4)=________.14. 已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是________.15. 已知直线y =kx +b (k >0)与圆x 2+y 2=1和圆(x −4)2+y 2=1均相切，则k =________， b =________.16. 盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ=0)=________；E(ξ)=________.17. 设e 1→，e 2→为单位向量，满足|2e 1→−e 2→|≤√2，a →=e 1→+e 2→，b→=3e 1→+e 2→，设a →，b →的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是_________. 三、解答题18. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b sin A =√3a . (1)求角B ；(2)求cos A +cos B +cos C 的取值范围.19. 如图，在三棱台ABC −DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ， ∠ACB =∠ACD =45∘，DC =2BC . (1)证明：EF ⊥DB ；(2)求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值．20. 已知数列{a n } ，{b n }， {c n }中， a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+1=b nbn+2⋅c n ，n ∈N ∗.(1)若{b n }为等比数列，公比q >0，且b 1+b 2=6b 3，求q 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若{b n }为等差数列，公差d >0，证明：c 1+c 2+c 3+⋯+c n <1+1d ，n ∈N ∗.21. 如图，已知椭圆C 1:x 22+y 2=1，抛物线C 2:y 2=2px (p >0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于M （B ，M 不同于A ）. (1)若p =116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值.22. 已知1<a ≤2，函数f (x )=e x −x −a ，其中e =2.71828…为自然对数的底数． (1)证明：函数y =f (x )在(0,+∞)上有唯一零点；(2)记x 0为函数y =f (x )在(0,+∞)上的零点，证明： (i)√a −1≤x 0≤√2(a −1)； (ii)x 0f (e x 0)≥(e −1)(a −1)a .参考答案与试题解析 2020年浙江省高考数学试卷一、选择题 1.【答案】 B【考点】交集及其运算【解析】根据交集的定义进行计算即可. 【解答】解：∵ P ={x|1<x <4},Q ={x|2<x <3}， ∴ P ∩Q ={x|2<x <3}. 故选B . 2.【答案】 C【考点】复数的基本概念【解析】根据复数为实数的充要条件是虚部为0，可以求得a 的值. 【解答】解：∵ a −1+(a −2)i （i 为虚数单位）是实数， ∴ a −2=0， ∴ a =2. 故选C . 3.【答案】 B【考点】求线性目标函数的最值【解析】由约束条件作出可行域，将目标函数化为直线方程的斜截式，数形结合得到使目标函数取得最优解的点，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可求得答案. 【解答】解：由约束条件{x −3y +1≤0，x +y −3≥0，作出可行域如图：联立{x −3y +1=0，x +y −3=0，解得{x =2，y =1.由图可得：平移直线x +2y =0到点A 时， z =x +2y 有最小值2+2=4，∴ z =x +2y 的取值范围为[4,+∞). 故选B . 4. 【答案】 A【考点】函数的图象【解析】利用函数奇偶性的定义判断函数为奇函数，排除C ，D ，通过计算x =π时的函数值小于0，排除B . 【解答】解：令f(x)=x cos x +sin x ，∴ f(−x)=−x cos (−x)+sin (−x) =−x cos x −sin x =−f(x)，∴ 函数f(x)是奇函数，故选项C,D 错误.∵ 当x =π时，f(π)=π⋅cos π+sin π=−π<0， ∴ 选项B 错误. 故选A . 5. 【答案】 A【考点】由三视图求体积【解析】首先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用三棱锥和三棱柱的体积公式求解.【解答】解：根据该几何体的三视图可得，该几何体是由顶部的三棱锥和底部的三棱柱组合而成.则该几何体的体积V=V三棱锥+V三棱柱=12×2×1×13+12×2×1×2=73.故选A.6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断空间中直线与平面之间的位置关系【解析】从充分性和必要性两个方向分别证明即可.【解答】解：当空间中不过同一点的三条直线m，n，l在同一平面内时，m，n，l可能互相平行，故不能得出m，n，l两两相交；当m，n,，l两两相交时，设m∩n=A，m∩l=B，n∩l=C，根据公理：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，可知，m，n确定一个平面α.又B∈m⊂α，C∈n⊂α，根据公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在平面内，可知，直线BC即l⊂α，所以m，n，l在同一平面．故“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件.故选B.7.【答案】D【考点】数列递推式等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】由已知利用等差数列的通项公式判断A，C成立；由b n+1=S2n+2−S2n分别求得数列{b n}的通项公式，以此分析B，D是否成立.【解答】解：因为{a n}为等差数列，其首项为a1，公差为d，所以a n=a1+(n−1)d，S n=na1+n(n−1)2d.因为b n+1=S2n+2−S2n，n∈N∗，所以b n+1=S2n+2−S2n=2a1+(4n+1)d，即b n=2a1+(4n−3)d.A，2a4=2(a1+3d)=2a1+6d=(a1+d)+(a1+5d)=a2+a6，故A一定成立；B，左边=2b4=2(2a1+13d)=4a1+26d，右边=b2+b6=2a1+5d+2a1+21d=4a1+26d，左边=右边，故B一定成立；C，左边=a42=(a1+3d)2=a12+6a1d+9d2，右边=a2⋅a8=(a1+d)(a1+7d)=a12+8a1d+7d2.因为a1d≤1，当a1=d时，左边−右边=−2a1d+2d2=0，此时等式成立，故C可能成立；D，左边=b42=(2a1+13d)2=4a12+52a1d+169d2，右边=b2⋅b8=(2a1+5d)(2a1+29d)=4a12+68a1d+145d2，左边−右边=−16a1d+24d2，假设此等式成立，则有16a1d=24d2，解得a1d=32，与a1d≤1相矛盾，故D不可能成立.故选D.8.【答案】D【考点】双曲线的标准方程轨迹方程【解析】利用双曲线的定义判定点P的轨迹为双曲线的右支，根据a2+b2=c2求出双曲线的方程，联立双曲线的方程和函数的解析式，求出P点坐标，即可求出|OP|的值．【解答】解：∵点P满足|PA|−|PB|=2，设点P(x,y)，∴点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1，则2a=2，2c=4，即a=1，c=2.∵c2=a2+b2，∴解得，b2=3，∴双曲线的方程为x2−y23=1.∵P为函数y=3√4−x2图像上的点，∴联立方程{y=3√4−x2，x2−y23=1，(x>0)解得{x=√132，y=3√32，即|OP|=√134+274=√10.故选D.9.【答案】C【考点】函数的零点【解析】设f(x)=(x−a)(x−b)(x−2a−b)，求得f(x)的零点，根据f(x)≥0在x≥0上恒成立，讨论a，b的符号，结合三次函数的图象，即可得到结论.【解答】解：因为ab≠0，所以a≠0且b≠0.设f(x)=(x−a)(x−b)(x−2a−b)，则f(x)的零点为x1=a，x2=b，x3=2a+b.当a>0时，则x2<x3，x1>0，要使f(x)≥0，必有2a+b=a且b<0，即b=−a且b<0，所以b<0；当a<0时，则x2>x3，x1<0，要使f(x)≥0，必有b<0.综上一定有b<0.故选C.10.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】利用特殊集合排除选项，推出结果即可.【解答】解：若取S={1,2,4}，则T={2,4,8}，此时S∪T={1,2,4,8}，包含4个元素，排除选项C；若取S={2,4,8}，则T={8,16,32}，此时S∪T={2,4,8,16,32}，包含5个元素，排除选项D；若取S={2,4,8,16}，则T={8,16,32,64,128}，此时S∪T={2,4,8,16,32,64,128}，包含7个元素，排除选项B；下面验证选项A：设集合S={p1，p2，p3，p4}，且p1<p2<p3<p4, p1，p2，p3，p4∈N∗，则p1p2<p2p4，且p1p2，p2p4∈T，则p4p1∈S.同理p4p2∈S，p4p3∈S，p3p2∈S，p3p1∈S，p2p1∈S.若p1=1，则p2≥2，则p3p2<p3，故p3p2=p2，即p3=p22.又p4>p4p2>p4p3>1，故p4p3=p4p22=p2，所以p4=p23，故S={1，p2，p22，p23}，此时p25∈T，p2∈T，故p24∈S，矛盾，舍．若p1≥2，则p2p1<p3p1<p3，故p3p1=p2，p2p1=p1，即p3=p13,p2=p12.又p4>p4p1>p4p2>p4p3>1，故p4p3=p4p13=p1，所以p4=p14，故S={p1，p12，p13，p14}，此时{p13，p14，p15，p16，p17}⊆T.若q∈T，则qp13∈S，故qp13=p1i，i=1,2,3,4，故q=p1i+3,i=1,2,3,4.即q∈{p13，p14，p15，p16，p17}，故{p13，p14，p15，p16，p17}=T.此时S∪T={p1，p12，p13，p14，p15，p16，p17}，即S∪T中有7个元素.综上所述：只有选项A正确.故选A.二、填空题11.【答案】10【考点】数列的求和【解析】分别令n=1,2,3，求得a1，a2，a3，然后计算a1+a2+a3即可. 【解答】解：已知二阶等差数列{n(n+1)2}，则当n=1时，n(n+1)2=1×22=1，当n=2时，n(n+1)2=2×32=3，当n=3时，n(n+1)2=3×42=6，∴数列{n(n+1)2}(n∈N∗)的前3项和为10.故答案为：10.12.【答案】80,122【考点】二项式定理的应用【解析】利用二项式的通项公式分别求解即可.【解答】解：由二项式定理得：T r+1=C 5r(2x)5−r ，令5−r =4，则r =1，∴ a 4=C 51×24=80. 令5−r =2，得r =3，∴ a 2=C 53×22=40.令x =0得，(1+0)5=a 0，即a 0=1.令x =1得，(1+2)5=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5，即a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=243，∴ a 1+a 3+a 5=243−1−40−80=122. 故答案为：80；122. 13. 【答案】 −35,13【考点】二倍角的余弦公式三角函数的和差化积公式【解析】利用同角三角函数关系求出cos 2θ，根据二倍角的余弦公式即可求得cos 2θ；利用两角差的正切公式可求得tan (θ–π4).【解答】解：∵ tan θ=2， ∴ sin θcos θ=2.又∵ sin 2θ+cos 2θ=1，解得：cos 2θ=15，∴ cos 2θ=2cos 2θ−1=−35； ∵ tan (θ−π4)=tan θ−tanπ41+tan θ⋅tanπ4=2−11+2×1=13.故答案为：−35；13. 14.【答案】 1【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】根据弧长公式和扇形的面积公式列出方程组，即可求得底面半径.【解答】解：已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，设母线长为l ，圆锥的底面半径为r ，则{π×r ×l =2π，2×π×r =12×2×π×l ，解得r =1，l =2. 故答案为：1. 15. 【答案】√33,−2√33【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】根据圆心到切线的距离等于半径列出方程组，即可求得k 和b 的值. 【解答】解：∵ 直线y =kx +b (k >0)与圆x 2+y 2=1和圆(x −4)2+y 2=1均相切，∴{√k 2+1=1，√k 2+1=1，联立方程解得：{k =√33，b =−2√33. 故答案为：√33；−2√33. 16.【答案】13,1【考点】相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量的期望与方差【解析】由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2，分别计算P (ξ=0),P (ξ=1)和P (ξ=2)，再求E(ξ)的值．【解答】解：由题意知，P(ξ=0)=14×13+14=13， P(ξ=1)=12×13×12+14×23×12+12×13=13，P(ξ=2)=1−13−13=13，故E(ξ)=0×13+1×13+2×13=1.故答案为：13；1. 17. 【答案】 2829【考点】平面向量的夹角单位向量向量的模【解析】根据向量的模求出e 1→⋅e 2→，根据向量夹角的余弦公式求出cos 2θ的最小值即可. 【解答】解：∵ |2e 1→−e 2→|≤√2， ∴ 4−4e 1→⋅e 2→+1≤2，∴ e 1→⋅e 2→≥34, ∴ cos 2θ=(a →⋅b →)2|a →|2⋅|b →|2=(4+4e 1→⋅e 2→)2(2+2e 1→⋅e 2→)(10+6e 1→⋅e 2→)=4(1+e 1→⋅e 2→)5+3e 1→⋅e 2→=43(1−25+3e 1→⋅e 2→) ≥43(1−25+3×34)=2829.故答案为：2829.三、解答题 18.【答案】解：(1)∵ 2b sin A =√3a ，∴ 正弦定理可得， 2sin B sin A =√3sin A ， ∴ sin B =√32. ∵ △ABC 为锐角三角形， ∴ B =π3.(2)结合(1)的结论有：cos A +cos B +cos C =cos A +12+cos (2π3−A)=cos A −12cos A +√32sin A +12=√32sin A +12cos A +12=sin (A +π6)+12. 由{0<23π−A <π2，0<A <π2，可得： π6<A <π2 ，π3<A +π6<2π3，则sin (A +π6)∈(√32,1]， sin (A +π6)+12∈(√3+12,32]，即cos A +cos B +cos C 的取值范围是(√3+12,32]. 【考点】两角和与差的正弦公式两角和与差的余弦公式正弦定理正弦函数的定义域和值域【解析】(1)利用正弦定理求得sin B 的值，根据角的取值范围即可得到角B ；(2)利用两角差的余弦公式、两角和的正弦公式将所求转化为正弦型函数，根据正弦函数在定义域内的性质进行求解. 【解答】解：(1)∵ 2b sin A =√3a ，∴ 正弦定理可得， 2sin B sin A =√3sin A ， ∴ sin B =√32. ∵ △ABC 为锐角三角形， ∴ B =π3.(2)结合(1)的结论有：cos A +cos B +cos C =cos A +12+cos (2π3−A) =cos A −12cos A +√32sin A +12=√32sin A +12cos A +12=sin (A +π6)+12.由{0<23π−A <π2，0<A <π2，可得： π6<A <π2 ，π3<A +π6<2π3，则sin (A +π6)∈(√32,1]， sin (A +π6)+12∈(√3+12,32]，即cos A +cos B +cos C 的取值范围是(√3+12,32]. 19.【答案】(1)证明：作DH ⊥AC 交AC 于H ，连结BH ，如图，∵ 平面ACFD ⊥平面ABC ，而平面ACFD ∩平面ABC =AC ，DH ⊂平面ACFD ， ∴ DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH ⊥BC ． ∵ ∠ACB =∠ACD =45∘，∴ CD =√2CH =2BC ⇒CH =√2BC .在△CBH 中，BH 2=CH 2+BC 2−2CH ⋅BC cos 45∘=BC 2，即有BH 2+BC 2=CH 2， ∴ BH ⊥BC .由棱台的定义可知， EF//BC ，所以DH ⊥EF ，BH ⊥EF ，而BH ∩DH =H ，∴ EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ， ∴ EF ⊥DB .(2)解：因为DF//CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为CH 与平面DBC 所成角．作HG ⊥BD 于G ，连结CG ，如(1)中图，由(1)可知， BC ⊥平面BHD ， ∴ 平面BCD ⊥平面BHD .而平面BCD ∩平面BHD =BD ，HG ⊂平面BHD ， ∴ HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ， ∠HCG 即为所求角．设BC =a ，则CH =√2a ，在Rt △HBD 中， HG =BH⋅DH BD=√2a⋅a √3a=√2√3， ∴ sin ∠HCG =HG CH =√3=√33. 故DF 与平面DBC 所成角的正弦值为√33. 【考点】直线与平面所成的角两条直线垂直的判定【解析】(1)根据已知条件，作DH ⊥AC ，根据面面垂直，可得DH ⊥BC ，进一步根据直角三角形的知识可判断出△BHC 是直角三角形，且∠HBC =90∘，则HB ⊥BC ，从而可证出BC ⊥面DHB ，根据棱台的定义有EF//BC ，最后根据平行线的性质可得EF ⊥DB ；(2)根据棱台的特点可知DF 与面DBC 所成角和CH 与面DBC 的夹角相等，即为∠HCG ，通过计算∠HCG 的正弦值，即可得到DF 与面DBC 所成角的正弦值．【解答】(1)证明：作DH ⊥AC 交AC 于H ，连结BH ，如图，∵ 平面ACFD ⊥平面ABC ，而平面ACFD ∩平面ABC =AC ，DH ⊂平面ACFD ， ∴ DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH ⊥BC ． ∵ ∠ACB =∠ACD =45∘，∴ CD =√2CH =2BC ⇒CH =√2BC .在△CBH 中，BH 2=CH 2+BC 2−2CH ⋅BC cos 45∘=BC 2，即有BH 2+BC 2=CH 2， ∴ BH ⊥BC .由棱台的定义可知， EF//BC ，所以DH ⊥EF ，BH ⊥EF ，而BH ∩DH =H ，∴ EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ， ∴ EF ⊥DB .(2)解：因为DF//CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为CH 与平面DBC 所成角．作HG ⊥BD 于G ，连结CG ，如(1)中图，由(1)可知， BC ⊥平面BHD ， ∴ 平面BCD ⊥平面BHD .而平面BCD ∩平面BHD =BD ，HG ⊂平面BHD ， ∴ HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ， ∠HCG 即为所求角．设BC =a ，则CH =√2a ，在Rt△HBD中，HG=BH⋅DHBD =√2a⋅a√3a=√2√3，∴sin∠HCG=HGCH =√3=√33.故DF与平面DBC所成角的正弦值为√33. 20.【答案】(1)解：依题意，b1=1，b2=q，b3=q2，而b1+b2=6b3，即1+q=6q2，由于q>0，所以解得：q=12，所以b n=12n−1，所以b n+2=12n+1，故c n+1=12n−112n+1⋅c n=4⋅c n，所以数列{c n}是首项为1，公比为4的等比数列，所以c n=4n−1，所以a n+1−a n=c n=4n−1(n≥2,n∈N∗)，所以a n=a1+1+4+⋯+4n−2=4n−1+23.(2)证明：依题意设b n=1+(n−1)d=dn+1−d，由于c n+1c n =b nb n+2，所以c nc n−1=b n−1b n+1(n≥2,n∈N∗)，故c n=c nc n−1⋅c n−1c n−2⋯c3c2⋅c2c1⋅c1=b n−1b n+1⋅b n−2b nb n−3b n−1⋯b2b4⋅b1b3⋅c1=b1b2b n b n+1=1+dd(1b n−1b n+1)=(1+1d)(1b n−1b n+1)，所以c1+c2+c3+⋯+c n=(1+1d)[(1b1−1b2)+(1b2−1b3)+(1b3−1b4)+⋯+(1b n−1b n+1)]=(1+1d )(1−1b n+1).因为d>0，b1=1，所以b n+1>0，所以(1+1d )(1−1b n+1)<1+1d，即c1+c2+c3+⋯+c n<1+1d，n∈N∗. 【考点】数列的求和数列递推式等比数列的通项公式【解析】(1)首先根据等比数列的通项公式和b1+b2=6b3，计算出公比q的值，然后根据数列b n的通项公式化简c n+1，可得数列c n是以1为首项，4为公比的等比数列，从而可得数列{c n}的通项公式，然后将{c n}的通项公式代入c n=a n+1−a n，可得a n+1−a n=4n−1，再运用累加法可计算出数列{an}的通项公式；(2)通过c n+1=b nb n+2⋅c n得到c nc n−1=b n−1b n+1，运用累乘法可以得到c n=b1b2b n b n+1，根据数列{c n}的特点进行转化与裂项，在求和时相消，最后运用放缩法即可证明不等式成立．【解答】(1)解：依题意，b1=1，b2=q，b3=q2，而b1+b2=6b3，即1+q=6q2，由于q>0，所以解得：q=12，所以b n=12n−1，所以b n+2=12n+1，故c n+1=12n−112n+1⋅c n=4⋅c n，所以数列{c n}是首项为1，公比为4的等比数列，所以c n=4n−1，所以a n+1−a n=c n=4n−1(n≥2,n∈N∗)，所以a n=a1+1+4+⋯+4n−2=4n−1+23.(2)证明：依题意设b n=1+(n−1)d=dn+1−d，由于c n+1c n=b nb n+2，所以c nc n−1=b n−1b n+1(n≥2,n∈N∗)，故c n=c nc n−1⋅c n−1c n−2⋯c3c2⋅c2c1⋅c1=b n−1b n+1⋅b n−2b nb n−3b n−1⋯b2b4⋅b1b3⋅c1=b1b2b n b n+1=1+dd(1b n−1b n+1)=(1+1d)(1b n−1b n+1)，所以c1+c2+c3+⋯+c n=(1+1d)[(1b1−1b2)+(1b2−1b3)+(1b3−1b4)+⋯+(1b n−1b n+1)]=(1+1d)(1−1b n+1).因为d>0，b1=1，所以b n+1>0，所以(1+1d)(1−1b n+1)<1+1d，即c1+c2+c3+⋯+c n<1+1d，n∈N∗.21.【答案】解：(1)当p =116时，C 2的方程为y 2=18x ，故抛物线C 2的焦点坐标为(132,0). (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)， M (x 0,y 0)，I:x =λy +m ，由{x 2+2y 2=2，x =λy +m⇒(2+λ2)y 2+2λmy +m 2−2=0， ∴ y 1+y 2=−2λm 2+λ2，y 0=−λm 2+λ2，x 0=λy 0+m =2m 2+λ2.由M 在抛物线上， ∴ λ2m 2(2+λ2)2=4pm 2+λ2⇒λ2m 2+λ2=4p .又{y 2=2px ，x =λy +m⇒y 2=2p (λy +m ) ⇒y 2−2pλy −2pm =0， ∴ y 1+y 0=2pλ，∴ x 1+x 0=λy 1+m +λy 0+m =2pλ2+2m ， ∴ x 1=2pλ2+2m −2m2+λ2.由 {x 22+y 2=1,y 2=2px⇒x 2+4px =2 ，即x 2+4px −2=0⇒x 1=−4p +√16p 2+82=−2p +√4p 2+2⇒−2p +√4p 2+2=2pλ2+2m ⋅1+λ22+λ2=2pλ2+8p λ2+8p ≥16p ，∴ √4p 2+2≥18p ，p 2≤1160，p ≤√1040， ∴ p 的最大值为√1040. 【考点】直线与抛物线结合的最值问题抛物线的性质直线与椭圆结合的最值问题抛物线的标准方程【解析】(1)由抛物线的标准方程求出焦点坐标即可；(2)设出直线方程和点A ，B ，M 的坐标，由直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求出点M 坐标，将点M 代入抛物线方程可得p 关于λ，m 的方程，再将抛物线和直线方程、椭圆和抛物线联立，分别求出点A 的横坐标，由两个横坐标相等得到p 与λ的等式，利用基本不等式消掉λ，解关于P 的不等式，即可求出p 的最大值. 【解答】解：(1)当p =116时，C 2的方程为y 2=18x ，故抛物线C 2的焦点坐标为(132,0).(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)， M (x 0,y 0)，I:x =λy +m ，由{x 2+2y 2=2，x =λy +m⇒(2+λ2)y 2+2λmy +m 2−2=0， ∴ y 1+y 2=−2λm 2+λ2，y 0=−λm 2+λ2，x 0=λy 0+m =2m 2+λ2.由M 在抛物线上， ∴λ2m 2(2+λ2)2=4pm2+λ2⇒λ2m2+λ2=4p .又{y 2=2px ，x =λy +m⇒y 2=2p (λy +m ) ⇒y 2−2pλy −2pm =0， ∴ y 1+y 0=2pλ，∴ x 1+x 0=λy 1+m +λy 0+m =2pλ2+2m ， ∴ x 1=2pλ2+2m −2m2+λ2.由 {x 22+y 2=1,y 2=2px⇒x 2+4px =2 ，即x 2+4px −2=0⇒x 1=−4p +√16p 2+82=−2p +√4p 2+2⇒−2p +√4p 2+2=2pλ2+2m ⋅1+λ22+λ2=2pλ2+8pλ2+8p ≥16p ， ∴ √4p 2+2≥18p ，p 2≤1160，p ≤√1040， ∴ p 的最大值为√1040. 22. 【答案】证明：(1)∵ f ′(x )=e x −1，x >0，∴e x>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.∵1<a≤2，∴f(2)=e2−2−a≥e2−4>0，f(0)=1−a<0，∴由零点存在定理得f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.(2)(i)∵f(x0)=0，∴e x0−x0−a=0(0<x0<2)，∴√a−1≤x0≤√2(a−1)⇔e x0−x0−1≤x02≤2(e x0−x0−1).令ℎ(x)=e x−x−1−x22(0<x<2)，∴ℎ′(x)=e x−1−x，ℎ′′(x)=e x−1>0，∴ℎ′(x)>ℎ(0)=0，∴ℎ(x)在(0,2)上单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(0)=0，∴e x−x−1−x22>0，即2(e x−x−1)>x2成立.令g(x)=e x−x−1−x2(0<x<2).∵1<a≤2，∴a−1≤1，∴当x0≥1时，√a−1≤x0成立，因此只需证明当0<x<1时，g(x)=e x−x−1−x2≤0.∵g′(x)=e x−1−2x，g′′=e x−2=0⇒x=ln2，当x∈(0,ln2)时，g″(x)<0，当x∈(ln2,1)时，g″(x)>0，∴g′(x)<max{g′(0),g′(1)}.∵g′(0)=0，g′(1)=e−3<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)<g(0)=0，∴e x−x−1<x2.综上，e x0−x0−1≤x02≤2(e x0−x0−1)，∴√a−1≤x0≤√2(a−1)成立.(ii)t(x0)=x0f(e x0)=x0f(x0+a)=x0[(e a−1)x0+a(e a−2)]，∴t′(x0)=2(e a−1)x0+a(e a−2)>0.∵√a−1≤x0≤√2(a−1)，∴t(x0)≥t(√a−1)=√a−1[(e a−1)√a−1+a(e a−2)]=(e a−1)(a−1)+a√a−1(e a−2).∵1<a≤2，∴e a>e,a≥2(a−1)，∴t(x0)≥(e−1)(a−1)+2(a−1)√a−1(e a−2)，只需证明：2(a−1)√a−1(e a−2)≥(e−1)(a−1)2，即4(e a−2)2≥(e−1)2(a−1).令s(a)=4(e a−2)2−(e−1)2(a−1),(1<a≤2)，则s′(a)=8e a(e a−2)−(e−1)2≥8e(e−2)−(e−1)2>0，∴s(a)>s(1)=4(e−2)2>0.即4(e a−2)2≥(e−1)2(a−1)成立，∴x0f(e x0)≥(e−1)(a−1)a.【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究不等式恒成立问题【解析】(1)推导出x>0时，f′(x)>0恒成立，得出f(x)在x>0时单调递增，由f(0)<0，f(2)>0可证明函数y= f(x)在(0，+∞)上有唯一零点；(2)(i)由f(x0)=0得e x0−x0−a=0，从而e x0−x0−1≤x02≤2(e x0−x0−1），令g（x）=e x−x−1−x2(0<x<2)，ℎ(x)=e x−x−1−x22(0<x<2)，利用导数的性质即可证得√a−1<x0<√2(a−1); (ii)要证明x0f(e x0)≥(e−1)(a−1)a，只需证明x0f(x0+a)≥(e−1)(a−1)a，只需证明2(a−1)√a−1(e a−2)≥(e−1)(a−1)2，由此x0f(e x0)≥(e−1)(a−1)a得证．【解答】证明：(1)f′(x)=e x−1,x>0，∴e x>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，1<a≤2，∴f(2)=e2−2−a≥e2−4>0,f(0)=1−a<0，∴由零点存在定理得f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.(2)(i)∵f(x0)=0，∴e x0−x0−a=0(0<x0<2)，∴√a−1≤x0≤√2(a−1)⇔e x0−x0−1≤x02≤2(e x0−x0−1).令ℎ(x)=e x−x−1−x22(0<x<2)，∴ℎ′(x)=e x−1−x，ℎ′′(x)=e x−1>0，∴ℎ′(x)>ℎ(0)=0，∴ℎ(x)在(0,2)上单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(0)=0，∴e x−x−1−x22>0，即2(e x−x−1)>x2成立.令g(x)=e x−x−1−x2(0<x<2).∵1<a≤2，∴a−1≤1，∴当x0≥1时，√a−1≤x0成立，因此只需证明当0<x<1时，g(x)=e x−x−1−x2≤0.∵g′(x)=e x−1−2x，g′′=e x−2=0⇒x=ln2，当x∈(0,ln2)时，g″(x)<0，当x∈(ln2,1)时，g″(x)>0，∴g′(x)<max{g′(0),g′(1)}.∵g′(0)=0，g′(1)=e−3<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)<g(0)=0，∴e x−x−1<x2.综上，e x0−x0−1≤x02≤2(e x0−x0−1)，∴√a−1≤x0≤√2(a−1)成立.(ii)t(x0)=x0f(e x0)=x0f(x0+a)=x0[(e a−1)x0+a(e a−2)]，∴t′(x0)=2(e a−1)x0+a(e a−2)>0.∵√a−1≤x0≤√2(a−1)，∴t(x0)≥t(√a−1)=√a−1[(e a−1)√a−1+a(e a−2)]=(e a−1)(a−1)+a√a−1(e a−2).∵1<a≤2，∴e a>e,a≥2(a−1)，∴t(x0)≥(e−1)(a−1)+2(a−1)√a−1(e a−2)，只需证明：2(a−1)√a−1(e a−2)≥(e−1)(a−1)2，即4(e a−2)2≥(e−1)2(a−1).令s(a)=4(e a−2)2−(e−1)2(a−1),(1<a≤2)，则s′(a)=8e a(e a−2)−(e−1)2≥8e(e−2)−(e−1)2>0，∴s(a)>s(1)=4(e−2)2>0.即4(e a−2)2≥(e−1)2(a−1)成立，∴x0f(e x0)≥(e−1)(a−1)a.。

2020年浙江省高考数学真题（含解析）

2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P ={|14}<<x x ，{}23Q x =<<，则P Q =（）A.{|12}x x <≤B.{|23}x x <<C.{|34}x x ≤< D.{|14}<<x x2.已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（）A.1B.–1C.2D.–23.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =x +2y 的取值范围是（）A.(,4]-∞ B.[4,)+∞ C.[5,)+∞ D.(,)-∞+∞4.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B.C. D.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）A.73B.143C.3D.66.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（）A .2a 4=a 2+a 6B.2b 4=b 2+b 6C.2428a a a = D.2428b b b =8.已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（）A.2 B.5C.D.9.已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（）A.a <0B.a >0C.b <0D.b >010.设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A.若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B.若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C.若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D.若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分.11.我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈的前3项和是________．12.设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2+a 3=________．13.已知tan 2θ=，则cos 2θ=________；πtan(4θ-=______．14.已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．15.设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．16.盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．17.设1e ，2e为单位向量，满足21|2|-≤ e e 12a e e =+ ，123b e e =+ ，设a ，b的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 0b A -=．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．19.如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．20.已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ．（Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d+++<+．*()n N ∈21.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．22.已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；（Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：012(1)a x a -≤≤-；（ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P ={|14}<<x x ，{}23Q x =<<，则P Q =（）A.{|12}x x <≤B.{|23}x x <<C.{|34}x x ≤< D.{|14}<<x x【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集定义求解.【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==I I 故选：B【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（）A.1B.–1C.2D.–2【答案】C 【解析】【分析】根据复数为实数列式求解即可.【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，，故选：C【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =x +2y 的取值范围是（）A.(,4]-∞B.[4,)+∞ C.[5,)+∞ D.(,)-∞+∞【答案】B 【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程：31030x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，可得点A的坐标为：()2,1A，据此可知目标函数的最小值为：min2214z=+⨯=且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞.故选：B.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.4.函数y=x cos x+sin x在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（）A.73B.143C.3D.6【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.6.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（）A.2a 4=a 2+a 6B.2b 4=b 2+b 6C.2428a a a = D.2428b b b =【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+，∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+．∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a da d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．8.已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=图像上的点，则|OP |=（）A.222B.5C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y =P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．9.已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（）A.a <0 B.a >0C.b <0D.b >0【答案】C【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.10.设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A.若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B.若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C.若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D.若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A 【解析】【分析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T = ，包含4个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T = ，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T = ，包含7个元素，排下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈，同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =，故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==，又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =，故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈，则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确.故选：A .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分.11.我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈的前3项和是________．【答案】10【解析】【分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出．【详解】因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===．即312313610S a a a =++=++=．故答案为：10.【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．12.设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2+a 3=________．【答案】(1).80(2).122【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.【详解】5(12)x +的通项为155(2)2r r r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；113355135555222122a a a C C C ++=++=.故答案为：80；122【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.13.已知tan 2θ=，则cos 2θ=________；πtan(4θ-=______．【答案】(1).35-(2).13【解析】【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos 2θ，根据两角差正切公式得tan(4πθ-【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++，tan 1211tan(41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53-【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【解析】【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==.故答案为：1【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.15.设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【答案】(1).3(2).3-【解析】【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可.【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，1=，1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得,33k b ==-.故答案为：;33-【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.16.盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．【答案】(1).13(2).1【解析】【分析】先确定0ξ=对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.【详解】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.故答案为：1;13.【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.17.设1e ，2e 为单位向量，满足21|2|-≤ e e 12a e e =+ ，123b e e =+ ，设a ，b的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】【分析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得1234e e ⋅≥u r u r ，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值.【详解】12|2|e e -≤u r u rQ ，124412e e ∴-⋅+≤u r u r，1234e e ∴⋅≥u r u r ，222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅u r u r u r u r r r u r u r u r u r u r u rr r 12424228(1(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯u r u r .故答案为：2829.【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 0b A -=．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II）13,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【解析】【分析】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小；（II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴=△ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos sin 222A A A =-++11sin cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin ,132A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，1313sin ,2232A π⎛⎤+⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19.如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）33【解析】【分析】（I ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ，由题意可知DH ⊥平面ABC ，即有DH BC ⊥，根据勾股定理可证得BC BH ⊥，又//EF BC ，可得DH EF ⊥，BH EF ⊥，即得EF ⊥平面BHD ，即证得EF DB ⊥；（II ）由//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为CH 与平面DBC 所成角，作HG BD ⊥于G ，连接CG ，即可知HCG ∠即为所求角，再解三角形即可求出DF 与平面DBC 所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ．∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC 平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ，∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥．∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴2CD BC CH ==⇒=．在CBH 中，22222cos 45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥．由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BH DH H = ，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥．（Ⅱ）因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角．作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD ，因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD 平面BHD BD =，HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，则CH =，BH DHHG BD⋅==，∴sin3HG HCG CH ∠===．故DF 与平面DBC 所成角的正弦值为3．【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．20.已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()n n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ．（Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d+++<+ ．*()n N ∈【答案】（I ）1142,.23n n q a -+==；（II ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）根据1236b b b +=，求得q ，进而求得数列{}n c 的通项公式，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式.（II ）利用累乘法求得数列{}n c 的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.【详解】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即216q q +=，由于0q >，所以解得12q =，所以112n n b -=.所以2112n n b ++=，故11112412n n n n n c c c -++=⋅=⋅，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n c -=.所以114n n n n a a c -+==-（*2,n n N ≥∈）.所以12142144.3n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=（II ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于12n n n n c b c b ++=，所以111n n n n c b c b --+=()*2,n n N ≥∈，故13211221n n n n n c c c c c c c c c c ---=⋅⋅⋅⋅⋅ 1232111143n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=⋅⋅⋅⋅⋅ 121111111111n n n n n n b b d b b d b b d b b +++⎛⎫⎛⎫+⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以121223*********n nn c c c d b b b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L11111n d b +⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于10,1d b >=，所以10n b +>，所以1111111n d b d +⎛⎫⎛⎫+-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即1211n c c c d++⋯+<+，*n N ∈.【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.21.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；（Ⅱ）1040【解析】【详解】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y m λλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，1200022222,,222m m m y y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm m p λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y px y p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩，012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222m x p m λλ∴=+-+.由2222142, 22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-+222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-+=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，1040p ≤，所以，p的最大值为40，此时(55A .法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mt y m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m x m +=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，所以当5m t ==时，p取到最大值为40.【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.22.已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；（Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：0x ≤≤；（ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．【答案】（I ）证明见解析，（II ）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；（II ）（i ）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；（ii ）先根据零点条件转化：0000()()xx f e x f x a =+，再根据12a <≤放缩，转化为证明不等式224(2)(1)(1)a e e a -≥--，最后构造差函数，利用导数进行证明.【详解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴Q Q 在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<Q ，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点；（II ）（i ）000()0,0x f x e x a =∴--=Q ，002000012(1)x x x e x x e x ≤≤--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2x xx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--=1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤Q ，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=，当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>，所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<Q ，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x x e x x e x x ∴--≤≤--∴≤（ii ）0000000()()()[(1)(2)]x a a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->Q 0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)a e e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--，即只需证明224(2)(1)(1)a e e a -≥--，令22()4(2)(1)(1),(12)a s a e e a a =----<≤，则22()8(2)(1)8(2)(1)0a a s a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e (e 1)(1)x f a a ≥--.【点睛】本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.。

2020学年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学及答案解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则C U A=( )A.∅B.{1，3}C.{2，4，5}D.{1，2，3，4，5}解析：根据补集的定义，C U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件.C U A={2，4，5}.答案：C2.双曲线221 3xy-=的焦点坐标是( )A.(-2，0)，(2，0)B.(-2，0)，(2，0)C.(0，-2)，(0，2)D.(0，-2)，(0，2)解析：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，由此可得c=22a b+=2，∴该双曲线的焦点坐标为(±2，0)答案：B3.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )A.2B.4C.6D.8解析：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱.如图所示：故该几何体的体积为：V=()112222+⋅⋅=6.答案：C4.复数21i-(i为虚数单位)的共轭复数是( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i解析：化简可得()()()2121111iz ii i i+===+--+，∴z的共轭复数z=1-i.答案：B5.函数y=2|x|sin2x的图象可能是( ) A.B.C.D.解析：根据函数的解析式y=2|x|sin2x ，得到：函数的图象为奇函数，故排除A 和B.当x=2π时，函数的值也为0，故排除C.答案：D6.已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：∵m ⊄α，n ⊂α，∴当m ∥n 时，m ∥α成立，即充分性成立，当m ∥α时，m ∥n 不一定成立，即必要性不成立，则“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件. 答案：A7.设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0，1)内增大时，( ) A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小解析：设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是E(ξ)=1110122222p p p -⨯+⨯+⨯=+；方差是D(ξ)=2222211111111012222222422p p p p p p p p ---⨯+--⨯+--⨯=-++=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎭⎝，∴p ∈(0，12)时，D(ξ)单调递增； p ∈(12，1)时，D(ξ)单调递减；∴D(ξ)先增大后减小. 答案：D8.已知四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点).设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S-AB-C 的平面角为θ3，则( )A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1解析：∵由题意可知S 在底面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心.过E 作EF ∥BC ，交CD 于F ，过底面ABCD 的中心O 作ON ⊥EF 交EF 于N ，连接SN ，取CD 中点M ，连接SM ，OM ，OE ，则EN=OM ，则θ1=∠SEN ，θ2=∠SEO ，θ3=∠SMO. 显然，θ1，θ2，θ3均为锐角.∵13tan tan SN SN SONE OM OM θθ===，，SN ≥SO ，∴θ1≥θ3，又32sin sin SO SOSM SE θθ==，，SE ≥SM ，∴θ3≥θ2.答案：D9.已知a b e ，，是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是( )3323解析：由2430b e b -⋅+=，得()()3b e b e -⋅-=0，∴()()3b e b e -⊥-，如图，不妨设e =(1，0)，则b 的终点在以(2，0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为3π，则a 的终点在不含端点O 的两条射线y=3x(x ＞0)上.不妨以3为例，则a b-的最小值是(2，0)3x=y=0的距离减1.231=3131-+.答案：A10.已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)，若a 1＞1，则( ) A.a 1＜a 3，a 2＜a 4 B.a 1＞a 3，a 2＜a 4 C.a 1＜a 3，a 2＞a 4 D.a 1＞a 3，a 2＞a 4解析：a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a 1＞1，设公比为q ，当q ＞0时，a 1+a 2+a 3+a 4＞a 1+a 2+a 3，a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)，不成立，即：a 1＞a 3，a 2＞a 4，a 1＜a 3，a 2＜a 4，不成立，排除A 、D.当q=-1时，a 1+a 2+a 3+a 4=0，ln(a 1+a 2+a 3)＞0，等式不成立，所以q ≠-1；当q ＜-1时，a 1+a 2+a 3+a 4＜0，ln(a 1+a 2+a 3)＞0，a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)不成立，当q ∈(-1，0)时，a 1＞a 3＞0，a 2＜a 4＜0，并且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)，能够成立，答案：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2020年浙江省高考数学试卷(原卷版)

17.设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.在锐角△ABC中，角A，B，C 对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC 取值范围．
21.如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
22.已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
如果事件A，B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
台体的体积公式
其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高
柱体的体积公式
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高
锥体的体积公式
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高
A. 1B. –1C. 2D. –2
3.若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）
A. B. C. D.
4.函数y=xcosx+sinx在区间[–π，+π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
5.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
A. B. C. 3D. 6
A. 2a4=a2+a6B. 2b4=b2+b6C. D.

2020年浙江省高考数学试卷和答案解析

2020年浙江省高考数学试卷含答案解析
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.已知集合P={xll<x<4},Q={xl2<x<3}, 则PnQ=( )
A. {xll<.x:s2}
B. {xl2<x<3}
C. {习3�x<4}
D. {xll<x<4}
2.已知aER,若a-1+(a-2) i Ci为虚数单位）是实数，则a=( )
A. 1
B. -1
C.2
D.-2
3.若实数X,y满足约束条件｛
x-3y + 1::; 0
X + y-3 :2:: 0'则z=x+2y的取值范围是（）
A. (-oo, 4]
B. [4, +oo)
C.[5,+oo)
4.函数y=xcosx+sin.x在区间［－兀，兀］的图象大致为（）
D.C-oo, 十oo)
y v
A.
C.
V
r
X
X
B.
D.
y
X
X
5.某几何体的三视图（单位：cm)如图所示，则该几何
体的体积（单位：cm3)是（）
A7 . 3
B.:;
C.3�
D.6主视图侧视图
勹
俯视图
6.已知空间中不过同一点的三条直线m,n, l, 则"m,n, l在同一平面”是"m,n,
l两两相交”的（
A. 充分不必要条件
C.充分必要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件。

2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷浙江卷 (含答案)

2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷（浙江卷)数学一、选择题1.已知集合{}=14P x x <<，则=P Q ( ) A. {}12x x <≤B. {}23x x <<C. {}23x x <≤D. {}14x x <<2.已知a R ∈，若()12a a i -+-（i 为虚数单位）是实数，则a =( ) A.1B.-1C.2D.-23.若实数,x y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是( )A.(],4-∞B.[)4,+∞C.[)5,+∞D.(),-∞+∞4.函数cos sin y x x x =+在区间[-π,+π]的图像大致为( ) A. B.C. D.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是( )A.73B.143C. 3D. 66.已知空间中不过同一点的三条直线 ,,m n l 则“,,m n l 在同一平面” 是“,,m n l 两两相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知等差数列{}n a 的前n 项的和n S ，公差0d ≠，11a d≤.记12122,,,n n n b S b S S n N *++==-∈下列等式不可能成立的是( )A.4262a a a =+B.4262b b b =+C.2428a a a = D .2428b b b =8.已知点()0,0O , ()2,0A -,()2,0B .设点P 满足2PA PB -=，且P 为函数234y x =-OP =( )A.2224107109.已知,0a b R ab ∈≠且，若()()()20x a x b x a b ----≥在0x ≥上恒成立，则( ) A.0a <B.0a >C.0b <D.0b >10.设集合S,T ，*S N ⊆,*T N ⊆,S,T 中至少有两个元素，且S,T 满足： ①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈；②对于任意,x y T ∈，若x y <，则y S x∈，下列命题正确的是( ) A.若S 有4个元素，则S T ⋃有7个元素 B.若S 有4个元素，则S T ⋃有6个元素C.若S 有3个元素，则S T ⋃有4个元素D.若S 有3个元素，则S T ⋃有5个元素二、填空题11.已知数列{}n a 满足(1)2n n n a +=，则3=S ______. 12.设5234512345612x a a x a x a x a x a x +=++++++（），则5a =_______；123a a a ++=-_______.13.已知tan θ=2，则cos2θ=______；πtan()4θ- =______.14.已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为______.15.设直线():0l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ,2C 都相切,则k =______;b =______.16.一个盒子里有 1个红 1个绿 2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则()0P ξ== ；()E ξ=.17.设1e ，2e 为单位向量，满足1222e e -≤，12a e e =+， 123b e e =+，设,a b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为.三、解答题18.在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 3b A a =. （Ⅰ）求角B（Ⅱ）求cos cos cos A B C ++的取值范围。

2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷浙江卷(含答案)

2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷（浙江卷）数学、选择题1.已知集合P= x1 X 4 ,则P0Q=() B. x 2 x 3 C. x 2 x 3 D. x1 x 4x 3y 1 0, ……… ，则z 2x y 的取值氾围是(x y 3 02.已知 a R ,若 a 1 a 2 i i 为虚数单位）是实数，则 a =（）A.1B.-1C.2D.-2A. ,4B.4, C. 5,D.4.函数y xcosx sin x 在区间［-砥十句的图像大致为（）5.某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位： cm 3 ）是（A. x1 x 23.若实数x,y 满足约束条件7 A.一314B.- 3C. 3D. 66.已知空间中不过同一点的三条直线m n,l 则“ m, n,l 在同一平面”是“ m,n,l 两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知等差数列 a n 的前n 项的和a1 .一6,公差 d 0,万 1.记。

&,b n1S n 2 S 2n ,n N ,卜列等式不可能成立的是（）A. 2a 4 a 2注B. 2b 4 b 2C.a42.b 428.已知点O 0,0 , A2,0,B 2,0 .设点满足PA PB 3 4 x 2的图像上的点，则 OPA.等B .4.10 5C. 7D. .109.已知 a,b RM ab 2a b0上恒成立,A. a 0B. a 0C.b 0D. b 10.设集合S,T,* N ,TN ,S,T 中至少有两个兀素，且S,T 满足:①对于任意x, y y,都有xy②对于任意x,yy,则' S ,x卜列命题正确的是A.若S 有4个元素，则S T 有7个元素B.若S 有4个元素，则S T 有6个元素C.若S 有3个元素，则ST 有4个元素 D.若S 有3个元素，则ST 有5个元素二、填空题11 .已知数列 a n 满足a n n(n2 1) ,则S 3=. 52 3 45 一，12.设(1 2x) a 1 a 2x %x a d x a 5x a 6x ,贝U a5=; a ia2a3.13.已知 tan =2,贝U cos2 =； tan( f =.14.已知圆锥展开图的侧面积为 2兀，且为半圆，则底面半径为 .15.设直线 l : y kx b k 。

2020年高考浙江卷数学试题(含解析)

1.已知集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<，则P Q =（） A.{|12}x x <≤ B.{|23}x x << C.{|34}x x ≤< D.{|14}x x << 【答案】B【解析】由题易知，{|23}P Q x x =<<，故选B.2.已知a R ∈，若1(2)a a i -+-（i 是虚数单位）是实数，则a =（） A.1 B.1- C.2 D.2- 【答案】C【解析】因为1(2)a a i -+-是实数，则虚部为0，所以20a -=，即2a =.故选C.3.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（）A.(,4]-∞B.[4,)+∞C.[5,)+∞D.(,)-∞+∞【答案】B【解析】根据约束条件，画出可行域，如图所示，将2z x y =+化为22x zy =-+，由图可知，当直线22x zy =-+经过点(2,1)时，截距z 最小，此时，z 取得最小值，即min 2214z =+⨯=，z 的最大值可取到无穷大，则2z x y =+的取值范围为[4,)+∞.故选B.4.函数cos sin y x x x =+在区间[,]ππ-上的图象可能是（）A. B.C. D.【解析】函数()cos sin f x x x x =+，则()cos()sin()cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-，则()f x 为奇函数，可排除C ，D 项；当x π=时，()cos sin 0f πππππ=+=-<，故选A.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A.73 B.143 C.3 D.6 【答案】A【解析】由三视图易知，原几何体由一个三棱锥和一个三棱柱两部分组成，该几何体的直观图如图所示，三棱锥的体积1111211323V =⨯⨯⨯⨯=，三棱柱的体积2121222V =⨯⨯⨯=，则该几何体的体积为1217233V V V =+=+=.故选A.6.已知空间中不过同一点的三条直线,,l m n ，“,,l m n 共面”是“,,l m n 两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】,,m n l 两两相交⇒,,m n l 在同一平面内，,,m n l 在同一平面内,,m n l ⇒两两相交，比如////m n l ，所以,,m n l 在同一平面内是,,m n l 两两相交的必要不充分条件.故选B.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且11ad≤.记12b S =，*1222,n n n b S S n N ++=-∈，下列等式不可能成立的是（）A.4262a a a =+B.4262b b b =+C.2428a a a =D.2428b b b = 【答案】D【解析】等差数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-，因为1n n b b +-222222()()n n n n S S S S +-=---2221221()4(2)n n n n a a a a d n ++-=+-+=≥，又214b b d -=，所以{}n b 是公差为4d 的等差数列，11(1)42(43)n b b n d a n d =+-⋅=+-，选项A ，B 由等差数列性质可知正确；选项C ，若2428a a a =，则2111(3)()(7)a d a d a d +=++，化简得21a d d =，满足0d ≠，11ad≤，所以C 正确；选项D ，若2428b b b =，则2111(213)(25)(229)a d a d a d +=++，化简得2123a d d =，不满足0d ≠，11ad≤，所以D 正确.故选D.8.已知点(0,0)O ，(2,0)A -，(2,0)B .设点P 满足||||2PA PB -=，且P为函数y =图象上的点，则||OP =（）【答案】D【解析】由题知，(2,0)A -，(2,0)B ，点P 满足||||2PA PB -=，由双曲线的定义可知，则22a =，即1a =，又||42AB c ==，则2c =，b ，所以点P 在双曲线22113x y -=右支上，而y =229(4)y x =-，则2222162y x +=，所以点P 又在椭圆221436x y +=上半部分(0)y ≥，联立2222131436y x x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P ，则||OP ==故选D. 9.已知a ，b R ∈且0ab ≠，对于任意0x ≥均有()()(2)0x a x b x a b ----≥，则（） A.0a < B.0a > C.0b < D.0b > 【答案】C【解析】根据标根法分类讨论，三个根分别为123,,2x a x b x a b ===+，①当1230,0,0x x x ≤≤≤时，0,0a b ≤≤； ②当1230,x x x ≤=时，0,a b R =∈；③当2130,x x x ≤=时，0,b a b ≤=-，即0,0b a ≤≥； ④当3120,x x x ≤=时，0b ≤或0a ≤；综上，0b ≤.10.设集合S ，T ，*S N ⊆，*T N ⊆，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足： ①对于任意的,x y S ∈，若x y ≠，则xy T ∈；②对于任意的,x y T ∈，若x y <，则yS x∈.下列命题正确的是（）A.若S 有4个元素，则S T 有7个元素B.若S 有4个元素，则S T 有6个元素C.若S 有3个元素，则S T 有5个元素D.若S 有3个元素，则S T 有4个元素【答案】A【解析】取{1,2,4}S =，{2,4,8}T =，此时{1,2,4,8}S T =有4个元素，排除D ；取{2,4,8}S =，{8,16,32}T =，此时{2,4,8,16,32}S T =有5个元素，排除C ；取{2,4,8,16}S =，{8,16,32,64,128}T =，此时{2,4,8,16,32,64,128}S T =有7个元素，排除B.故选A. 二、填空题11.我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1){}2n n +就是二阶等差数列，数列*(1){}()2n n n N +∈的前3项和是 . 【答案】10【解析】设(1)2n n n a +=，则11212a ⨯==，22332a ⨯==，33462a ⨯==，∴313610S =++=.12.二项展开式52345102354(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a = ，315a a a ++= . 【答案】80,122【解析】444445(2)5280C x x x =⨯⨯=，∴480a =，15(2)10C x x =，3533(2)80C x x ⋅=，5555(2)32C x x =，∴110a =，380a =，532a =， ∴513122a a a =++.13.已知tan 2θ=，则cos2θ= ；)an(t 4πθ-= .【答案】35-,13【解析】222222cos sin 1tan 143cos2cos sin 1tan 145θθθθθθθ---====-+++，tan tan2114tan 412131tan t (n 4)a πθπθπθ---===+⨯+. 14.已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是 . 【答案】1【解析】设圆锥母线长为l ，底面半径为r ，由圆锥展开图的侧面积为2π可得2rl ππ=，由圆锥展开图的侧面为半圆可得1222r l ππ=⋅⋅，可解得1r =.15.已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k = ；b【解析】根据对称性直线AB 过线段12O O 中点(2,0)C ，故直线:(2)AB y k x =-，再由1||1O A =，且190O AC ∠=，得1230O CA O CB ∠=∠=，所以2tan k O CB =∠=，故b =16.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ== ，()E ξ= .【答案】13,1【解析】第一次红球114P =，第一次绿球第二次红球21114312P =⨯=，111(0)4123P ξ==+=，红球在两黄球左边，中间，右边的概率为13，当红球在两黄球之外之内不同位置所取出的黄球数不同，∴111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.17.已知平面单位向量12,e e 满足12|2|2e e -≤，设12a e e =+，123b e e =+，设,a b 夹角为θ，则2cos θ的最小值为 .【答案】2829【解析】法一：22121122|2|24()4()2e e e e e e -≤⇒-⋅+≤，∴1234e e ⋅≥， ()()2212222121244()cos 22(106)||||e e a b e e e e a b θ+⋅⋅==⋅++⋅⋅，令1234k e e =⋅≥，则224(1)4(1)424228cos 113(1)(53)533533295()()34k k k k k k θ++===⋅-≥-=+++++⨯. 法二：设1(1,0)e =，2(cos ,sin )e αα=， 2212|2|2(2cos )sin 2e e αα-≤⇒-+≤，∴3cos 4α≥， ||||cos ,a b a b a b ⋅=⨯⨯〈〉22(44cos )cos ,(22cos )(106cos )a b ααα+⇒〈〉=++88cos 44cos 106cos 53cos αααα++==++.设443(14()53)x f x x x +=≤≤+， 4(1)424228()113533533()(2)9534x f x x x +==⋅-≥-=+++⨯，即2min 28cos (9)2θ=. 三、解答题18.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin 0b A=. （1）求角B 的大小；（2）求cos cos cos A B C ++的取值范围.【解析】（1）由正弦定理得2sin sin B A A ，故sin B 3B π=.（2）由A B C π++=得23C A π=-，由ABC ∆是锐角三角形得(,)62A ππ∈，由21cos cos()cos 32C A A A π=-=-+得1113cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A π++=++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2.19.如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=︒，2DC BC =. （1）证明：EF DB ⊥；（2）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值.【解析】（1）如图，过点D 作DO AC ⊥，交直线AC 于点O ，连结OB .由45ACD ∠=︒，DO AC ⊥得CD ，由平面ACFD ⊥平面ABC 得DO ⊥平面ABC ，所以DO BC ⊥.由45ACB ∠=︒，12BC CD ==得BO BC ⊥，所以BC ⊥平面BDO ，故BC DB ⊥.由三棱台ABC DEF -得//BC EF ，所以EF DB ⊥.（2）方法一：过点O 作OH BD ⊥，交直线BD 于点H ，连结CH . 由三棱台ABC DEF -得//DF CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角. 由BC ⊥平面BDO 得OH BC ⊥，故OH ⊥平面BCD ，所以OCH ∠为直线CO 与平面DBC 所成角.设CD =，由2DO OC ==，BO BC ==得BD =，OH =sin OH OCH OC ∠==，因此，直线DF 与平面DBC . 方法二：由三棱台ABC DEF -得//DF CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.如图，以O 为原点，分别以射线OC ，OD 为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -.设22CD =.由题意知各点坐标如下：(0,0,0)O ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)D . 因此(0,2,0)OC =，(1,1,0)BC =-，(0,2,2)CD =-. 设平面BCD 的法向量(,,)n x y z =，由00n BC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，可取(1,1,1)n =，所以||3sin |cos ,|3||||OCn OC n OC n θ⋅=<>==⋅. 因此，直线DF 与平面DBC . 20.已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足1111a b c ===，1n n n c a a +=-，12nn n n b c c b ++=，*()n N ∈. （1）若数列{}n b 为等比数列，公比0q >，且1236b b b +=，求q 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，公差0d >，证明：*12311,n c c c c n N d++++<+∈….【解析】（1）由1236b b b +=得216q q +=，解得12q =，由14n n c c +=得14n n c -=.由114n n n a a -+--得121421443n n n a a --+=++++=. （2）由12n n n n b c c b ++=得12111111()nn n n n b b c d c b b d b b +++==-，所以123111(1)n n d c c c c d b ++++++=-，由11b =，0d >得10n b +>，因此12311n c c c c d++++<+，*n N ∈. 21.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （,B M 不同于A ）.（1）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标；（2）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值.【解析】（1）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32.（2）由题意可设直线l ：x my t =+（0m ≠，0t ≠），点00(,)A x y .将直线l 的方程代入椭圆1C ：2212x y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mty m =-+. 将直线l 的方程代入抛物线2C ：22y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m +=，因此，22022(2)p m x m +=. 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m t =时，p . 22.已知12a <≤，函数()x f x e x a =--，其中 2.71828e =是自然对数的底数.（1）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点；（2）记0x 是函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：（i 0x ≤（ii ）()00(1)(1)xx f e e a a ≥--.【解析】（1）因为(0)10f a =-<，22(2)240f e a e =--≥->，所以()y f x =在(0,)+∞上存在零点.因为()1x f x e '=-，所以当0x >时，()0f x '>，故函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点.（2）（i ）令21()1(0)2xg x e x x x =---≥，()1()1x g x e x f x a '=--=+-，由（1）知函数()g x '在[0,)+∞上单调递增，故当0x >时，()(0)0g x g ''>=，所以函数()g x 在[0,)+∞单调递增，故()(0)0g x g ≥=.由0g ≥得00()f a f x =-≥=，因为()f x 在[0,)+∞0x ≥. 令1()21(01)x h x e x x =--≤≤，1()2x h x e '=-，所以故当01x <<时，1()0h x <，即1()0h x '<，所以()h x 在[0,1]单调递减，因此当01x ≤≤时，()(0)0h x h ≤=.由0h ≤得00()f a f x =≤=，因此()f x 在[0,)+∞0x ≤.0x ≤≤（ii ）令()(1)1x u x e e x =---，()(1)x u x e e '=--，所以当1x >时，()0u x '>，故函数()u x 在区间[1,)+∞上单调递增，因此()(1)0u x u ≥=.由00x e x a =+可得022000000()()(1)(2)(1)x a a x f e x f x a e x a e x e ax =+=-+-≥-，由0x ≥得00()(1)(1)x x f e e a a ≥--.。