《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第三章

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表：

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表：

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨

⎧

≤

≤≤

≤.

,

020,20,

sin sin 其他ππy x y x

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

≤<≤

<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ

{0,}(3.2)463

P X Y <≤

<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636

F F F F --+

ππππππsin sin

sin

sin

sin 0sin

sin 0sin

4

3

4

6

3

6

1).

4

=--+=

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧>>+-.

,

0,

0,0,

)43(其他y x A y x e

求：（1） 常数A ；

（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数；

（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}.

【解】（1） 由-(34)

(,)d d e

d d 112

x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞

-∞

==

=⎰

⎰⎰⎰

得 A =12

（2） 由定义，有

(,)(,)d d

y x F x y f u v u v -∞

-∞

=

⎰⎰

(

34

)

3400

12e d d (1e )(1e )

0,0,

0,0,

y y u v x y u v

y x -+--⎧⎧-->>⎪

==⎨⎨

⎩

⎪⎩⎰⎰其他

(3) {01,02}P X Y ≤<≤<

12(34)

38

{01,02}

12e

d d (1

e )(1e )0.9499.

x y P X Y x y -+--=<≤<≤=

=--≈⎰⎰

5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧<<<<--.

,

0,

42,20),6(其他y x y x k

（1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}；

（3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有

240

2

(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞

-∞

=

--==⎰⎰

⎰⎰

故 18

R =

（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞

<<=⎰⎰

1

30

213(6)d d 8

8

k x y y x =

--=⎰⎰

(3) 1

1.5

{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰

⎰⎰如图

1.5

40

2

127d (6)d .8

32

x x y y =

--=

⎰

⎰

(4) 2

4

{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰

⎰⎰如图b

240

2

12d (6)d .8

3

x x x y y -=

--=

⎰

⎰

题5图

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为

f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,

0,

0,55其他y y e

求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.

题6图

【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为

1,00.2,()0.2

0,.

X x f x ⎧<<⎪

=⎨⎪⎩

其他

而

55e ,

0,()0,

.

y Y y f y -⎧>=⎨

⎩其他

所以

(,),()()X Y

f x y X Y f x f y 独立 5515e 25e ,00.20,0.20,0,

y

y x y --⎧⎧⨯<<>⎪

==⎨⎨

⎩⎪⎩

且其他.

(2) 5()(,)d d 25e

d d y

y x

D

P Y X f x y x y x y -≤≤=

⎰⎰

⎰⎰如图

0.20.2-55

-1

d 25e

d (5e

5)d =e

0.3679.

x

y

x x y x

-=

=-+≈⎰

⎰⎰

7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=⎩⎨

⎧>>----.

,

0,

0,0),

1)(1(24其他y x y x e e

求（X ，Y ）的联合分布密度. 【解】(42)2

8e ,0,0,(,)(,)0,

x y x y F x y f x y x y

-+⎧>>∂=

=⎨∂∂⎩其他.

8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）= 4.8(2),

01,0,

0,

.

y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨

⎩其他

求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞

=

⎰

x 2

4.8(2)d 2.4(2),01,

=0,

.

0,

y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪

=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他

()(,)d Y f y f x y x

+∞-∞

=

⎰

12

y

4.8(2)d 2.4(34),01,

=0,

.

0,

y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪

=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他