高三数学复数测试题doc
【新课标】高三数学二轮精品专题卷 复数及算法框图
高三数学二轮精品专题卷：复数及算法框图考试范围：复数及算法框图一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．32111ii i +-的值等于（ ） A ． 1 B ．1-C ．iD ．i -2．执行下图所示的程序框图，输出结果是（ ） A ．5B ．3C ．2D ．13．（理）已知复数z 满足i iz -=+121，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为 （ ） A ．i 21-B ．i 21+C ．i +2D ．i -2（文）若i 是虚数单位，则复数12-i i的共轭复数是 （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --14．执行下图所示的程序框图，输出结果是（ ） A ．5 B ．8C ．13D ．215．若复数z 满足i z i 41=-）（，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．下图给出的是计算39151311+⋯+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i第2题图 第4题图 第6题图 7．若复数iia z -+=1，且03＞zi ，则实数a 的值等于 （ ）A ．1B ．1-C ．21D ．21-8．下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为7时，输出y 的结果恰好是1-，则处理框中的关系式是 （ ） A ．3x y =B ．x y -=2C ．x y 2=D ．1+=x y9．（理）已知∈b a ,R ，且复数∈++=biia z 1R ，则ab 等于 （ ） A ．0B ．1-C ．2D ．1（文）集合{}*-∈-==N n i i x x P n n ,|的子集的个数为 （ ） A ．4B ．8C ．16D ．无数个10．如下图，若输入的x 的值分别为3π和32π时，相应输出的y 的值分别为21,y y ，则 （ ）A ．21y y =B ．21y y ＞C ．21y y ＜ D ．无法确定11．若复数ia z 21-=是纯虚数，其中a 是实数，则=||z （ ） A ．1B ．2C ．21 D ．41 12．下图是统计高三年级2000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是560，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是 （ ） A ．0.28B ．0.38C ．0.72D ．0.62第8题图 第10题图 第12题图13．在复平面上的平行四边形ABCD 中，向量AC 、BD对应的复数分别为i 104+、i 86+-，则向量DA 对应的复数为 （ ） A ．i 182+ B ．i 91+C ．i 182-D ．i 91-14．运行列流程图，输出结果为（ ） A ．5B ．3C ．3-D ．2-14题图15．（理）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m 的取值范围是 （ ） A ．(56，72] B ．(72，90] C ．(90，110] D ．(56，90)（文）按如图所示的程序框图运算，若输出2=k ，则输入x 的取值范围是（ ） A ．］，（2200942007 B ．），［2200942007 C ．），（2200942007 D ．］，［220094200715（文）图 15（理）图 二、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.把答案填写在题中横线上） 16．已知复数 300sin 600cos i z -=，则在复平面内，复数z1所对应的点在第 象限． 17．如下图，根据程序框图可知，输出的函数）（x f 的解析式为 ．18．已知纯虚数z 满足i m z i +=+21）（，其中i 是虚数单位，则实数m 的值等于 ． 19．如下图是计算3331021+⋯++的程序框图，图中的①、②分别是 和 ．第17题图 第19题图 第20题图20．在流程图中（右上），若输出的函数）（x f 的函数值在区间］，［3391内，则输入的实数x 的取值范围是 ． 21．（理）已知∈b R 复数211+++i i b 的实部和虚部相等，则b 等于 ． （文）已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则225z i = ．22．如下图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为π433时，输出的y 的结果为 ． 23．已知复数i n m z ）（lg lg -=，其中i 是虚数单位，若复数z 在复平面内对应的点在直线x y =上，则mn 的值等于 ．．24．阅读下面的程序框图，该程序输出的结果是 ．22题图 24题图25．若复数）（）（ai i z ++=212对应的点在复平面的第一象限，则实数a 的取值范围是 ．26．如图所示的程序框图，若输入7=n ，则输出的n 值为 ．第26题图27．若数列{}n a 满足n n a i a i i a )1()1(11+=-=+，,则=2011a ． 28．如图是一个算法的程序框图，当输出结果为41时，请你写出输入的x 的的值 ．第28题图29．设复数i a a z )2()4(2++-=，若02＜z ，则实数a 的值为 ． 30．（理）如图所示的流程图，输出的结果为 ． （文）一个算法的程序框图如下，则其输出结果是 ．30（理）图 30（文）图2012届专题卷数学专题五答案与解析1．【命题立意】本题考查虚数单位i 的性质及其运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）虚数单位i的性质：1234,1,,1i i i i i i ==-=-=；（2）复数的除法运算法则． 【答案】A 【解析】2311111111i i i i i i i -+=--+=-++=--． 2．【命题立意】本题考查对基本算法语句以及顺序结构的理解与运用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法中的赋值语句；（2）算法中的输出语句．【答案】C 【解析】2352m n m n =→=→=→=．3．（理）【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数乘法运算法则；（2）共轭复数的概念． 【答案】A 【解析】由112z i i+=-得2(1)122112z i i i i =--=+-=+，所以12z i =-． （文）【命题立意】本题考查复数的除法运算以及共轭复数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数除法运算法则；（2）共轭复数的概念． 【答案】A 【解析】22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===---+-，故复数21ii -的共轭复数是1i +． 4．【命题立意】本题考查算法中的循环结构以及程序框图．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）赋值语句的含义；（2）循环结构的特点． 【答案】B 【解析】执行过程为：1,1,2x y z ===→1,2,3x y z ===→2,3,5x y z ===→3,5,8x y z ===→5,8,1310x y z ===>，输出8y =．5．【命题立意】本题考查复数除法运算以及复数的几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的除法运算法则；（2）复数的几何意义．【答案】B 【解析】由于(1)4i z i -=，所以4221iz i i==-+-，因此复数z 对应的点在复平面的第二象限．6．【命题立意】本题考查对算法循环结构的理解与运用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的基本要求；（2）算法循环结构中的计数变量的赋值规则．【答案】C 【解析】式子11113539+++⋅⋅⋅+一共有20项，所以循环体应执行20次，当计数变量i 的值大于20时跳出循环，因此应填20>i ．7．【命题立意】本题考查复数的运算以及复数的有关概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法的运用；（2）若两个复数能够比较大小，它们都是实数．【答案】A 【解析】由于331(1)(1)1111222a i ai ai i a azi i i i i +--++-=⋅===+--，依题意得1010a a -=⎧⎨+>⎩，解得1a =．8．【命题立意】本题考查算法中的循环结构及其应用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的执行过程特点；（2）常见函数的性质．【答案】A 【解析】依题意，输入的x 值为7，执行4次循环体，x 的值变为1-，这时，如果输出y 的结果恰好是1-，则函数关系式为3y x =．9．（理）【命题立意】本题考查复数的相关概念除法运算、分母实数化方法、【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数时实数的充要条件；（2）分母实数化方法．【答案】D 【解析】2()(1)()(1)1(1)(1)1a i a i bi a b ab i z bi bi bi b ++-++-===++-+，由于R ∈z ，所以10ab -=，即1ab =．（文）【命题立意】本题考查虚数单位i 幂值的周期性以及集合子集的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）虚数单位i 幂值的周期性： 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=；（2）若集合有m 个元素，则有2m 个子集． 【答案】B 【解析】当1,2,3,4n =时，2,0,2,0x i i =-，因此集合P 只有3个元素：2,2,0x i i =-，故有8个子集．10．【命题立意】本题考查算法条件分支结构与三角函数的求值．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分支结构的运行流程；（2）正弦函数与余弦函数的求值．【答案】B 【解析】输入x 的值为3π时，输出112y =，输入x 的值为23π时，输出212y =-，因此有12y y >，选B ．11．【命题立意】本题考查纯虚数的概念以及复数模的求解．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法的应用；（2）纯虚数的概念；（3）复数模的计算公式． 【答案】C 【解析】由于221222(2)(2)44a i a z i a i a i a i a a +===+--+++，所以204a a =+，得0a =，这时12z i =，故1||2z =． 12．【命题立意】本题考查算法循环结构以及统计中频率的计算．[来源:金太阳新课标资源网 ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的特点；（2）频率的计算公式． 【答案】C 【解析】根据流程图可知，输出结果为数学分数低于90分的同学的人数，因此这次考试数学分数不低于90分的同学的是20005601440-=，其频率为14400.722000=． 13．【命题立意】本题考查复数的几何意义以及复数与向量的关系．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键知识点：（1）复数的几何意义；（2）复数与向量的一一对应关系．【答案】D 【解析】设平行四边形对角线交于O 点，则11,22AO AC OD BD ==，即25,34A O i O D i =+=-+，又因为DA OA OD AO OD =-=-- ，所以向量DA 对应的复数为(25)(34)19DA i i i =----+=-，选D ． 14．【命题立意】本题考查算法程序框图的理解与运用以及余弦定理的应用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）理解流程图的执行过程；（2）利用余弦定理判断三角形是钝角三角形的方法．【答案】D 【解析】程序的运行过程为：2,4,5m a b ===，以2,4,5为三边的三角形是钝角三角形，1,4n m =-=，以4,4,5为三边的三角形不是钝角三角形，6m =，以6,4,5为三边的三角形不是钝角三角形，8m =，以8,4,5为三边的三角形是钝角三角形，2n =-，109m =>，输出2n =-． 15．（理）【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法流程图的执行过程与特点；（2）建立不等式求参数范围．【答案】B 【解析】由于程序的运行结果是10，所以可得24681012141624681012141618mm +++++++<⎧⎨++++++++≥⎩，解得7290m <≤．（文）【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法流程图的执行过程与特点；（2）建立不等式求参数范围．【答案】A 【解析】由于程序的运行结果是2k =，所以可得2120102(21)12010x x +≤⎧⎨++>⎩，解得2007200942x <≤． 16．【命题立意】本题考查复数的除法运算以及几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的运算方法——分母实数化．（2）复数za bi =+在复平面内对应的点为(,)ab ．【答案】三【解析】 300sin 600cos i z -=001cos600sin 3002zi =-=-，于是112z ==-，所以1z对应的点在第三象限．17．【命题立意】本题考查算法的条件分支结构以及分段函数问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法条件分支结构的特点；（2）分段函数的解析式应分段求解．【答案】22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或【解析】依题意，当()x h x >，即22x x x +<，10x -<<时，2()2f x x x =+；当()x h x ≤，即22x x x +≥，0x ≥或1x ≤-时，()f x x =．因此22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或．18．【命题立意】本题考查纯虚数的概念与复数的运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）一个复数为纯虚数，可设其为)0,(≠∈=b b bi z R ；（2）复数的运算．【答案】12-【解析】2(2)(1)(21)(12)(1)2122m i m i i m m ii z m i z i ++-++-+=+⇒===+，因为z 为纯虚数，所以12m =-．19．【命题立意】本题考查循环结构以及循环体的补充．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构中计数变量的赋值方法；（2）循环结构中累加变量的赋值方法． 【答案】3ss i =+ 1i i =+【解析】要补充的循环体应该由计数变量i 和累加变量s 构成，根据该算法的功能，应在①处填3ss i =+，②处填1i i =+．[来源:金太阳新课标资源网]20．【命题立意】本题考查算法的条件分支结构．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法的条件分支结构的特点；（2）已知分段函数的函数值求自变量值时应分段求解．【答案】1[2,]2--【解析】若[3,3]x ∉-，则1()1[9f x =∉不合题意，当[3,3]x ∈-时，1()3[9x f x =∈，解得1[2,]2x ∈--，此即为x 的取值范围．21．（理）【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法；（2）若复数),(R ∈+=b a bi a z ，则其实部与虚部分别为,a b ．【答案】12-【解析】1()(1)1(1)(1)12(1)12(1)(1)22222b i b i i b b i b b i i i i ++-++-+-+=+=+=+++-，依题意有2122b b +-=，解得12b =-．（文）【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数实部与虚部的概念；（2）复数的乘法与除法运算法则．【答案】43i -+【解析】依题意2z i =-+，则2225252525(34)43(2)34(34)(34)i i i i i i z i i i i +====-+-+--+. 22．【命题立意】本题考查算法流图以及三角函数的周期与求值问题．[来源: ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法循环结构；（2）正弦函数的最小正周期为2π．33sin(8)sin 44y πππ=-=． 23．【命题立意】本题考查复数的几何意义、对数运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的几何意义；（2）对数的运算法则． 【答案】1【解析】依题意，复数z 在复平面内对应的点是(lg ,lg )m n -，它在直线y x =上，所以0lg lg =+n m ，即0)lg(=mn ，所以1=mn ．24．【命题立意】本题考查算法的循环结构及其应用【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构中循环体的执行次数；（2）赋值语句的含义．【答案】729【解析】按照程序框图，可知最后输出结果为1999729s =⨯⨯⨯=． 25．【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及复数几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的乘法运算法则；（2）复数的几何意义．[来源: ]【答案】0a <【解析】2(1)(2)2(2)24z i ai i ai a i =++=+=-+，其对应的点在第一象限，则有20a ->，所以0a <．26．【命题立意】本题考查算法流程图以及幂函数的单调性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的执行流程；（2）幂函数的单调性． 【答案】1-【解析】执行过程53175,()3,()1,()1,()n n f x x n f x x n f x x n f x x=→==→==→==→=-=在(0,)+∞单调递减，故输出1n =-．27．【命题立意】本题考查虚数单位i 的幂值的周期性与等比数列的定义及通项公式．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）等比数列的定义及通项公式；（2）虚数单位i 的幂值的周期性．【答案】i -【解析】由1(1)(1)n n i a i a +-=+得111n n a ii a i++==-，所以数列{}n a 是公比为i 的等比数列，于是20102010201120111()()a a i i i i i =⋅=⋅==-．28．【命题立意】本题考查算法条件分支结构以及分段函数的求值问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）条件分支结构的特点；（2）分类讨论解决分段函数求值问题． 【答案】2-，42【解析】令124x =，得2x =-，所以当输入的2x =-时，输出结果为14；令21log 4x =，得142x =，所以当输入的42=x 时，输出结果也为14；29．【命题立意】本题考查复数的运算以及纯虚数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）若一个复数的平方是负数，则它一定是纯虚数；（2）纯虚数的概念． 【答案】2【解析】由2z＜0知z 一定为纯虚数，所以得：24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =．30．（理）【命题立意】本题考查算法流程图以及三角函数的周期性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法的循环结构；（2）sin 3n π的值具有周期性．2320112012sin sin sin sin sin33333sπππππ=+++++的值，由于23456sin0,sin0 333333ππππππ======，所以23456sin sin sin sin sin sin0333333ππππππ+++++=，因此2320112012sin sin sin sin sin033533333sπππππ=+++++=⨯=（文）【命题立意】本题考查算法流程图与三角函数周期性与求值问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法循环结构；（2）cos2nπ的值具有周期性．【答案】0【解析】该算法的功能是计算式子232012cos cos cos cos2222pππππ=++++的值，由于234cos0,cos1,cos0,cos1,2222ππππ==-== ，所以(0101)5030p=-++⨯=．。
2022-2024北京高三二模数学汇编：复数的四则运算
2022-2024北京高三二模数学汇编复数的四则运算一、单选题1．（2024北京西城高三二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标是1)-，则⋅=z z （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．（2024北京顺义高三二模）已知复数z 的共轭复数z 满足()1i 2i z +⋅=，则z z ⋅=（ ）A B ．1 C ．2 D ．4 3．（2024北京通州高三二模）在复平面内，复数z 对应的点的坐标为1,1，则2i z =（ ） A ．1i -+ B ．22i -+ C ．1i - D ．22i - 4．（2023北京昌平高三二模）已知复数()i z a a =+∈R 满足5z z ⋅=，则a 的值为（ ）A B ．2 C ．D ．2± 5．（2023北京丰台高三二模）若复数i(i 1)z =-，则|1|z -=（ ）A ．2i --B ．i -CD ．5二、填空题6．（2024北京海淀高三二模）若()2(i)2i R x x +=∈，则x = .7．（2024北京昌平高三二模）已知复数1i iz +=，则z z ⋅= ． 8．（2024北京东城高三二模）若复数z 满足2i 1i z =++.则在复平面内，z 对应的点的坐标是 . 9．（2023北京海淀高三二模）在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z z ⋅= ． 10．（2022北京海淀高三二模）已知,a b 均为实数.若()i i i b a +=+，则a b += ． 11．（2022北京东城高三二模）已知复数z 满足(1i)3i z -=+，则z = ，||z = ．参考答案1．D【分析】由复数的几何意义得出z ，再运算化简即可.【详解】复数z 对应的点的坐标是1)-，所以i z ，i z =，所以)22i i i 314z z ⋅==-=+=. 故选：D ．2．C 【分析】根据复数除法运算求出z ，然后即可求解.【详解】因为()1i 2i z +⋅=， 所以()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z -===+++-， 所以1i z =-，所以()()1i 1i 2z z ⋅=-+=.故选：C3．A【分析】由复数的几何意义和复数的运算求出结果即可.【详解】由题意可得1i z =-， 所以()()()2i 1i 2i 2i i 11i 1i 1i 1i z +===-=-+--+， 故选：A.4．D【分析】根据共轭复数的概念及复数的乘法运算得解.【详解】因为i z a =+， 所以2(i)(i)15z z a a a ⋅=+-=+=，解得2a =±，故选：D5．C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数模的计算公式计算可得.【详解】因为2i(i 1)i i 1i z =-=-=--，所以12i z -=--，则|1|z -故选：C6．1【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于x 的方程组，解之即可得解.【详解】因为2(i)2i x +=，所以222i i 2i x x ++=，即212i 2i x x -+=，所以21022x x ⎧-=⎨=⎩，解得1x =. 故答案为：1.7．2【分析】由复数的运算和共轭复数的定义计算求出结果即可. 【详解】由题意可得()1i i 1i 1i iz +==-+=-， 所以1i z =+， 所以()()21i 1i 1i 2z z ⋅=-+=-=，故答案为：2.8．()1,3【分析】根据复数的乘法运算求z ，再结合复数的几何意义分析求解. 【详解】因为2i 1i z =++，可得()()2i 1i 13i z =++=+， 所以z 对应的点的坐标是()1,3.故答案为：()1,3.9．2【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，由乘法运算即可求解.【详解】由题意可知1i z =+ ，所以()()1i 1i 2z z ⋅=+-=， 故答案为：210．0【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.【详解】()i i i i 1b a a ==++-，故1,1a b ==-，0a b +=. 故答案为：0.11． 12i +/2i+1 【分析】利用复数的除法化简得到z =12i +，利用复数的模长公式即得.【详解】∵(1i)3i z -=+， ∵3i 3i 1i 1()(1+i)24i 12i ()i (1i)2z +====+--+++，z =故答案为：12i +。
高三数学高考真题理科专题四向量、复数
专题四 向量、复数1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i解析：选B.1＋2i (1－i )2＝1＋2i 1－2i ＋i 2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i 2＝－1＋12i. 2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45C ．4 D.45解析：选D.∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)|21＋i|＝( )A ．2 2B ．2 C. 2 D ．1解析：选C.由21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i 1－i 2＝1－i ，∴|21＋i |＝|1－i|＝ 2.故选C. 4．(2013·高考大纲全国卷)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析：选B.因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.5．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i解析：选A.设z ＝a ＋b i ，则(1－i)(a ＋b i)＝2i ，即(a ＋b )＋(b －a )i ＝2i. 根据复数相等的充要条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b －a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1， ∴z ＝－1＋i.故选A.6．(2013·高考山东卷)复数z ＝(2－i )2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25 B.41 C ．5 D. 5解析：选C.z ＝(2－i )2i ＝4－4i ＋i 2i ＝3－4ii＝－4－3i ，∴|z |＝(－4)2＋(－3)2＝25＝5.7．(2013·高考山东卷)复数z ＝(2－i )2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25 B.41 C ．5 D. 5解析：选C.z ＝(2－i )2i ＝4－4i ＋i 2i ＝3－4ii＝－4－3i ，∴|z |＝(－4)2＋(－3)2＝25＝5.8．(2013·高考浙江卷)已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A ．5－5i B ．7－5i C ．5＋5i D ．7＋5i解析：选C.(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝5＋5i. 9．(2013·高考大纲全国卷)(1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8i D ．8i解析：选A.原式＝(1＋3i)(1＋3i)2＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i 2＝－8.10．(2013·高考山东卷)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：选D.由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3＝5(2＋i )5＋3＝5＋i ，∴z＝5－i.故选D.11．(2013·高考北京卷)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选A.∵z ＝i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i ，∴复数z 在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限．12．(2013·高考福建卷)在四边形ABC D 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：选C.∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴AC →⊥BD →，∴S 四边形ABC D ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 13．(2013·高考安徽卷)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3解析：选D.由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，知 OA →，OB →＝π3.当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB 中，取OC →＝λOA →，过点C 作C D ∥OB 交AB 于点D ，作DE ∥OA 交OB 于点E ，显然OD →＝λOA →＋CD →.由于CD OB ＝AC AO ，CD OB ＝2－2λ2，∴CD →＝(1－λ)OB →，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋μOB →＝OP →，∴λ＋μ＝1时，点P 在线段AB 上， ∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P 必在△OAB 内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P 构成的集合恰好是以AB 为一边，以OA ，OB 为对角线一半的矩形，其面积为S ＝4S △OAB ＝4×12×2×2s in π3＝4 3.14．(2013·高考浙江卷) 设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC 解析：选D.不妨设AB ＝4，则P 0B ＝1，P 0A ＝3. 设点C 在直线AB 上的投影为点C ′.A 项，若∠ABC ＝90°，如图，则PB →·PC →＝|PB →|·|PC →|·co s ∠BPC ＝|PB →|2， P 0B →·P 0C →＝|P 0B →|2.当点P 落在点P 0的右侧时，|PB →|2<|P 0B →|2，即PB →·PC →<P 0B →·P 0C →，不符合；B 项，若∠BAC ＝90°，如图，则PB →·PC →＝|PB →|·|PC →|co s ∠BPC ＝－|PB →||P A →|， P 0B →·P 0A →＝－|P 0B →||P 0A →|＝－3.当P 为AB 的中点时，PB →·PC →＝－4， PB →·PC →<P 0B →·P 0C →，不符合；C 项，若AB ＝AC ，假设∠BAC ＝120°，如图，则AC ′＝2，PB →·PC →＝|PB →|·|PC →|co s ∠BPC ＝－|PB →||PC →|，P 0B →·P 0C →＝|P 0B →||P 0C →|co s ∠BP 0C ＝－|P 0B →||P 0C →′|＝－5.当P 落在A 点时，－|PB →||PC ′→|＝－8，所以PB →·PC →<P 0B →·P 0C →，不符合．故选D.15．(2013·高考福建卷)复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C.z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．16．(2013·高考辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)解析：选A.AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝(35，－45)．17．(2013·高考辽宁卷)复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：选B.因为z ＝1i －1＝－12－12i ，所以|z |＝|－12－12i|＝22.18．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b, 则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0解析：选C.由a ∥b ⇒m 2＝1×2⇒m ＝2或m ＝－ 2. 19．(2013·高考陕西卷)设z 是复数， 则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 解析：选C.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2.故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确． 选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ， 由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．20．(2013·高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2 解析：选C.∵a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴|a ＋b |＝ 2. ∴|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1. ∴c 2－2c ·(a ＋b )＋1＝0， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∴c 2＋1＝2|c ||a ＋b |co s θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． ∴c 2＋1＝22|c |co s θ≤22|c |.∴c 2－22|c |＋1≤0. ∴2－1≤|c |≤2＋1.∴|c |的最大值为2＋1. 21．(2013·高考湖南卷)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选B.∵z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．22．(2013·高考江西卷)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D.因为z ＝i(－2－i)＝1－2i ，所以复数z 对应的点在第四象限．23．(2013·高考湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D(3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.由已知得AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322. 24.(2013·高考四川卷)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B.表示复数z 的点A 在第二象限，由共轭复数的定义，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．25．(2013·高考浙江卷)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3＋i B ．－1＋3i C ．－3＋3i D ．－1＋i 解析：选B.(－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i. 26．(2013·高考北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选D.∵(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴复数(2－i)2在复平面内对应点的坐标为(3，－4)， 对应的点位于复平面内第四象限． 27．(2013·高考广东卷)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.对于①，若向量a ，b 确定，因为a －b 是确定的，故总存在向量c ，满足c ＝a －b ，即a ＝b ＋c ，故正确；对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足a ＝λb ＋μ c ，故正确；对于③，如果a ＝λb ＋μ c ，则以|a |，|λb |，|μ c |为三边长可以构成一个三角形，如果b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ满足a ＝λb ＋μ c ，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以|a |，|λb |，|μ c |为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误．故选C.28．(2013·高考广东卷)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选D.法一：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以x ＋y i ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )i (－i )＝4－3i ，故|x＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，故选D.法二：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以－y ＋x i ＝3＋4i ，所以x ＝4，y ＝－3，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，故选D.法三：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以(－i)i(x ＋y i)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i ，即x ＋y i ＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5，故选D.29．(2013·高考安徽卷)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选D.因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.30．(2013·高考福建卷)在四边形ABC D 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：选C.∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴AC →⊥BD →，∴S 四边形ABC D ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 31．(2013·高考福建卷)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限． 32．(2013·高考辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A ．(35，－45)B ．(45，－35)C ．(－35，45)D ．(－45，35)解析：选A.AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝(35，－45)．33．(2013·高考辽宁卷)复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：选B.因为z ＝1i －1＝－12－12i ，所以|z |＝|－12－12i|＝22.34．(2013·高考陕西卷)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a||b|”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.若|a ·b |＝|a ||b |，若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ； 若a ，b 均不为零向量，则 |a ·b |＝|a ||b ||co s 〈a ，b 〉|＝|a ||b |， ∴|co s 〈a ，b 〉|＝1，∴〈a ，b 〉＝π或0， ∴a ∥b ，即|a ·b |＝|a ||b |⇒a ∥b . 若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π， ∴|a ·b |＝||a ||b |co s 〈a ，b 〉|＝|a ||b |， 其中，若a ，b 有零向量也成立， 即a ∥b ⇒|a ·b |＝|a ||b |. 综上知，“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 35．(2013·高考陕西卷)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2B ．若z 1＝z －2，则z －1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：选D.A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z －1＝z －2，真命题；B ，z 1＝z －2⇒z －1＝z ＝2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2⇒|z 2|2⇒z 1·z －1＝z 2·z －2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题． 36．(2013·高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2] 解析：选A.∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量， ∴|a |＝|b |＝1.又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1. ∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2，∴c 2＋1＝22|c |co s θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． 又－1≤co s θ≤1， ∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1. 37．(2013·高考湖南卷)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选B.∵z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．38．(2013·高考江西卷)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：选C.因为M ＝{1,2，z i}，N ＝{3,4}，由M ∩N ＝{4}，得4∈M ，所以z i ＝4，所以z ＝－4i.39．(2013·高考湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D(3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.由已知得AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322. 40．(2013·高考湖北卷)在复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，所以z －＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限．41.(2013·高考四川卷)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．C D ．D解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．42．(2013·高考重庆卷)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，52B.⎝⎛⎦⎤52，72C.⎝⎛⎦⎤52，2D.⎝⎛⎦⎤72，2 解析：选D.∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →) ＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA 2→＝0， ∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＝－OA 2→. ∵AP →＝AB 1→＋AB 2→， ∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →.∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1， ∴OP 2→＝1＋1＋OA 2→＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OB 2→·OA →)＝2＋OA 2→＋2(－OA 2→)＝2－OA 2→， ∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14，∴0≤2－OA 2→<14，∴74<OA 2→≤2，即|OA →|∈⎝⎛⎦⎤72，2. 43．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABC D 的边长为2，E 为C D 的中点，则AE →·BD →＝________.解析：如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，A D 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D(0,2)，E(1,2)，∴AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， ∴AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：244．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：5 45．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.解析：|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°. ∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝t ×1×1×12＋(1－t )×1＝t 2＋1－t ＝1－t2.∵b ·c ＝0，∴1－t2＝0，∴t ＝2.答案：246．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABC D 的边长为2，E 为C D 的中点，则AE →·BD →＝________.解析：如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，A D 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D(0,2)，E(1,2)，∴AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， ∴AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：247．(2013·高考山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为 ________.解析：∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →，∴(λAB →＋AC →)(AC →－AB →)＝0，即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，∴(λ－1)|AC →||AB →|co s 120°－9λ＋4＝0.∴(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.答案：71248．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，A D ＝12AB ，B E ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12. 答案：1249．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，A D ＝12AB ，B E ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12. 答案：1250．(2013·高考浙江卷)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：根据题意，得 (|x ||b |)2＝x 2(x e 1＋y e 2)2＝x 2(x e 1)2＋(y e 2)2＋2xy e 1·e 2＝x 2x 2＋y 2＋2xy cosπ6＝x 2x 2＋y 2＋3xy ＝11＋(y x )2＋3y x ＝1(y x ＋32)2＋14.因为(y x ＋32)2＋14≥14，所以0<(|x ||b |)2≤4，所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2.答案：251．(2013·高考北京卷)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．解析：设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y ＋1)．由题意知AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)． 由AP →＝λAB →＋μAC →知(x －1，y ＋1)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝x －1，λ＋2μ＝y ＋1. ∴⎩⎨⎧λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33，∵1≤λ≤2,0≤μ≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x －y －3≤6，0≤2y －x ＋3≤3.作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4,2)，N (6,3)，故|MN |＝ 5.又x －2y ＝0与x －2y －3＝0之间的距离为d ＝35，故平面区域D 的面积为S ＝5×35＝3.答案：3 52．(2013·高考天津卷)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________. 解析：(3＋i)(1－2i)＝3－5i －2i 2＝5－5i. 答案：5－5i 53．(2013·高考天津卷)在平行四边形ABC D 中，A D ＝1，∠BA D ＝60°，E 为C D 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析：由已知得AC →＝AD →＋AB →，BE →＝AD →－12AB →，∴AC →·BE →＝AD →2－12AB →·AD →＋AB →·AD →－12AB →2＝1＋12AB →·AD →－12|AB →|2＝1＋12|AB →|·|AD →|co s 60°－12|AB →|2＝1，∴|AB →|＝12.答案：1254．(2013·高考天津卷)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________. 解析：(3＋i)(1－2i)＝3－5i －2i 2＝5－5i. 答案：5－5i 55．(2013·高考浙江卷)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：根据题意，得 (|x ||b |)2＝x 2(x e 1＋y e 2)2＝x 2(x e 1)2＋(y e 2)2＋2xy e 1·e 2＝x 2x 2＋y 2＋2xy cosπ6＝x 2x 2＋y 2＋3xy ＝11＋(y x )2＋3y x ＝1(y x ＋32)2＋14.因为(y x ＋32)2＋14≥14，所以0<(|x ||b |)2≤4，所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2.答案：2 56．(2013·高考北京卷)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λ a ＋μ b ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.答案：4 57．(2013·高考天津卷)在平行四边形ABC D 中，A D ＝1，∠BA D ＝60°，E 为C D 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析：设AB 的长为a (a >0)，又因为AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →，于是AC →·BE→＝(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝12AB →·AD →－12AB →2＋AD →2＝－12a 2＋14a ＋1，由已知可得－12a 2＋14a ＋1＝1.又a >0，∴a ＝12，即AB 的长为12.答案：1258．(2013·高考湖北卷)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)， ∴z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i 59.(2013·高考四川卷)如图，在平行四边形ABC D 中，对角线AC 与B D 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.解析：由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →.又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →. 又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2. 答案：2 60．(2013·高考天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：由(a ＋i)(1＋i)＝b i 可得(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ，因此a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，故a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i 61．(2013·高考重庆卷)设复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，∴|z |＝ 12＋22＝ 5. 答案： 5 62．(2013·高考安徽卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．解析：由|a |＝|a ＋2b |，两边平方，得|a |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，所以a ·b ＝－|b |2.又|a |＝3|b |，所以co s 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－|b |23|b |2＝－13. 答案：－1363．(2013·高考江西卷)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析：由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b |＝2，a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，所以a 在b 方向上的射影为|a |·co s 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝52.答案：5264．(2013·高考四川卷)在平行四边形ABC D 中，对角线AC 与B D 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.解析：由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →.又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →. 又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2. 答案：265．(2013·高考重庆卷)已知复数z ＝5i1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.解析：|z |＝⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝⎪⎪⎪⎪5i (1－2i )5＝|i ＋2|＝ 5. 答案： 566．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D(图中阴影部分)，z ＝x ＋y 取得最小值时的最优整数解为(0,1)，取得最大值时的最优整数解为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)．点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：6 67．(2013·高考江苏卷)已知a ＝(co s α，s in α)，b ＝(co s β，s in β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(co s α＋co s β，s in α＋s in β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，co s α＝co s (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入s in α＋s in β＝1，得s in α＝s in β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. 68．(2013·高考江苏卷)已知a ＝(co s α，s in α)，b ＝(co s β，s in β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(co s α＋co s β，s in α＋s in β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，co s α＝co s (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入s in α＋s in β＝1，得s in α＝s in β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.。
高三数学复数试题
高三数学复数试题1.复数的共轭复数等于（）【答案】C【解析】依题意可得.故选C.【考点】复数的运算.2.已知复数，则的共轭复数是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵＝＝，∴，故选A．【考点】1、复数的运算；2、共轭复数．3.设z=1–i（i是虚数单位），则复数＋i2的虚部是A．1B．－1C．i D．－i【答案】A【解析】根据复数的四则运算可得：＋i2= i,∴虚部是1.【考点】复数的概念与四则运算.4.定义一种运算如下:=x1y2-x2y1,则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是.【答案】-1-(-1)i【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故=-1-(-1)i.5.若a＋bi＝ (i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝()A．－2B．－1C．1D．2【答案】A【解析】因为a＋bi＝＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－26.若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】设,,,复数的坐标，故选D.【考点】复数运算与几何意义7.已知复数，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】【解析】，其实部为－1，虚部为0.选D.【考点】复数的基本运算及概念.8.复数的虚部为 ( )A．2B．C．D．【答案】B【解析】由复数的定义知其虚部为，选B.【考点】1.复数的定义；2.复数的计算.9.复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，虚部为-1.【考点】复数的概念和运算.10.已知复数（其中是虚数单位），则_________.【答案】.【解析】.【考点】复数的四则运算11.关于复数，下列说法中正确的是（）A．在复平面内复数对应的点在第一象限B．复数的共轭复数C．若复数为纯虚数，则D．设为复数的实部和虚部，则点在以原点为圆心，半径为1的圆上【答案】C【解析】由题可知，对应的点为（-1,1）为第二象限，故A错；，故B错；若为纯虚数，则，故选C；为（-1,1），在半径为的圆上，故D 错.【考点】复数的运算与性质12.=（）A．-8B．8C．D．【答案】A【解析】.故选A.【考点】复数运算13.复数的模为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B【考点】本题考查复数的运算。
高三数学单元测试《平面向量及复数》
高三数学单元测试《平面向量及复数》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量=⋅︒︒=︒︒=b a b a 则),37cos ,53(cos ),67cos ,23(cos （ ）A ．23 B ．21 C ．－23 D ．－21 2．如果复数ibi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A ．2B ．32 C ．2 D ．－ 32 3．220041i i i ++++的值是（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．i4．若a =(2,－3), b =(1,－2)，向量c 满足c ⊥a ,b •c =1,则c 的坐标是 （ ）A ．(3,－2)B ．(3,2)C ．(－3,－2)D ．(－3,2)5．使i R i a ()(4∈+为虚数单位）的实数a 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3||,3,3=-==AD e CD e AB ，则四边形ABCD 是 （ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O （0，0），A （3，0），B （0，3），点P 在线段AB 上，且OP OA t AB t AP ⋅≤≤=则),10(的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1281,2==，a 与b 的夹角为︒60，则使向量b a λ+与b a 2-λ的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． )31,(---∞B ． ),31(∞++-C ． ),31()31,(∞++----∞D ． )31,31(+---9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若212121,0,z z z z C z z >>-∈则且B ．22z z =C ．若,0=-z z 则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数，则θ的值为（ ）A ．)(42Z k k ∈-ππ B ．)(42Z k k ∈+ππC ．)(42Z k k ∈±ππD ．)(42Z k k ∈+ππ 11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，下列结论中正确的是（ ）A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数zz 12+（ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：i zi z 212||2+=-，则z= . 14．把函数)y =2x 2—4x +5的图象按向量a 平移后，得到y =2x 2的图象，且a ⊥b ，c =(1，－1)，b ·c =4，则b =_____________。
第七章 复数 单元测试卷(解析版)
第七章 复数单元测试卷一、单选题1．（辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知i 为虚数单位，则复数()i 12i z =-的虚部是（ ） A ．i B ．1 C ．2 D ．2i【答案】B 【分析】化简复数2i z =+即得解. 【详解】解：由题得()i i 122i z =-=+， 所以复数的虚部为1. 故选：B2．（山东省德州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 满足()121i iz +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】根据复数的模长公式以及四则运算得出55z =，最后确定复数z 在复平面内所对应的点的象限. 【详解】 221i 22|2i |2(1)5i i +=+=-=+-=，55(1i)55z +=== 则复数z 在复平面内所对应的点坐标为55⎝⎭，在第一象限.故选：A3．（山东省淄博市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 是纯虚数，11i z+-是实数，则z =（ ）A ．－iB ．iC ．－2iD ．2i【答案】B 【分析】由题意设i()z b b R =∈，代入11iz+-中化简，使其虚部为零，可求出b 的值，从而可求出复数z ，进而可求得其共轭复数 【详解】由题意设i()z b b R =∈， 则11i (1i)(1i)(1)(1)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+， 因为11iz+-是实数，所以10b +=，得1b =-， 所以i z =-， 所以i z =， 故选：B4．（2022·广东茂名·一模）已知,a b 为实数，且2ii 1ib a +=++(i 为虚数单位)，则i a b +=（ ） A ．34i + B ．12i + C ．32i -- D ．32i +【答案】A 【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得,a b ，进而得解. 【详解】()()2i 1i 2i 22i i 22i 1i 2222b b b b b b +-+-+++-===++ 由题意知222=12b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以i 34i a b +=+故选：A5．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i1ia ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出a 的值. 【详解】3i (3i)(1i)i 3i+31i 22a a a a ++--+==+3(3)i2a a ++-=为纯虚数， 30a ∴+=，3a ∴=-，故选：C.6．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））对于非零实数a ，b ，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a ，b ，下列式子仍然恒成立的是（ ） A ．||||||ab a b = B ．10a a+≠ C ．()20a b +≥D ．22a a =【答案】A 【分析】对于选项A ：结合复数的乘法和模长公式即可判断；选项B ：计算1a a+，然后根据复数运算结果举出反例即可；选项CD ：复数的平方可能为虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数与实数既不能比较大小也不相等. 【详解】不妨令11i a x y =+，22i b x y =+，选项A ：112212121221(i)(i)()i ab x y x y x x y y x y x y =++=-++，从而222222121212211122||()()||||ab x x y y x y x y x y x y a b =-++++，故A 正确； 选项B ：111111222211111111i ()i i x y a x y x y a x y x y x y +=++=++-+++， 当10x =，11y =时，10a a+=，故B 错误； 因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数，故CD 错误. 故选：A7．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知202120221i i 1i z +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】21i 12i i i 1i 2+++==-，且i 的乘方运算是以4为周期的运算 所以202120222021202221i i 1i 1i i i i i z +⎛⎫=+++ ===-⎝-⎪+⎭，所以复数z 所对应的点()1,1-，在第二象限. 故选：B8．（2022·全国·高一）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个. A ．9 B ．10 C ．11 D ．无数【答案】C 【分析】先根据复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1及复数模的运算公式，求得22cos 2sin 31θθ+=即22cos 2cos 3θθ=，接下来分cos2cos3θθ=与cos2cos3θθ=-两种情况进行求解，结合[]0,2πθ∈，求出θ的个数. 【详解】()()cos2isin3cos isin =cos2isin3cos isin 1θθθθθθθθ+⋅++⋅+=，其中cos isin 1θθ+=，所以cos2isin31θθ+=，即22cos 2sin 31θθ+=，222cos 21sin 3cos 3θθθ=-=，当cos2cos3θθ=时，①1232πk θθ=+，1k Z ∈，所以12πk θ=-，1k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=或2π；②2232πk θθ=-+，2k Z ∈，所以22π5k θ=，2k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以0θ=，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos2cos3θθ=-时，①()32321πk θθ=++，3k Z ∈，即()321πk θ=-+，3k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以πθ=，②()42321πk θθ=-++，4k Z ∈，即()421π5k θ+=，4k Z ∈，因为[]0,2πθ∈，所以π5θ=，3π5，π，7π5，9π5，综上：π5mθ=，0,1,10m =，一共有11个. 故选：C二、多选题9．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z zB ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z【答案】ABC 【分析】若i z a b =+ ，则i z a b =-，22z z a b ==+，利用复数代数运算，可以判断AB ；利用复数的三角运算，可以判断C ；利用数形结合，可以判断D. 【详解】 对于A ：若120z z += ，则12z z =-，故122z z z =-=， 所以A 正确； 对于B ：若21z z =，则12=z z ， 所以B 正确； 对于C ：设11(cos i sin )z r αα=+ ，22(cos i sin )z r ββ=+则()()31212cos()i sin z z z r r αβαβ==+++ ，故312z z z = ， 所以C 正确； 对于D ：如下图所示，若11OA z =+ ，21OB z =+，则1OC z =，2OD z =，故12z z ≠ ， 所以D 错误.故选：ABC10．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知复数z 满足()12i 5z -=（其中i 为虚数单位），则下列选项正确的是（ ） A ．5z =B ．复数z 的共轭复数为12i z =+C ．复数z 在复平面表示的点位于第一象限D ．复数z 的虚部为2 【答案】CD 【分析】利用复数代数形式的乘除运算求出复数z ，然后逐一核对四个选项即可得出答案. 【详解】解：因为()12i 5z -=，所以()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+， 所以145z +A 错误； 复数z 的共轭复数为12i z =-，故B 错误；复数z 在复平面表示的点的坐标为()1,2，位于第一象限，故C 正确； 复数z 的虚部为2，故D 正确. 故选：CD.11．（2021·福建福州·高三期中）复数132z =-，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．210z z ++=C ．21z z= D ．2021132z = 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的概念，复数的运算法则，逐一求解验证即可． 【详解】解：因为132z =-，所以132z =-，对于A ： 2131313i 12244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确； 对于B ：22201131313133i 222414z z ⎛⎫⎛⎫--=+= ⎪ ⎪ ⎭⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎝+=++⎝⎭⎭ ⎪ ⎪，故B 正确； 对于C ：2131132213213i i44z -===---+，2221313313i 2442z ⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝=⎭， 所以21z z=，即选项C 正确；对于D ：132z =-+，2132z -=，2231313131222z ⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-⋅-+=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎭⎝，4z z =，所以20212132z z -==，故D 错误．故选：ABC ．12．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）欧拉公式i cos isin x e x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A ．复数2i e 对应的点位于第二象限 B ．i 2e π为纯虚数C i 3ix +12D ．i 6e π的共轭复数为132-【答案】ABC【分析】利用欧拉公式把选项A ，B ，D 化成复数的代数形式即可计算判断；利用欧拉公式把选项C 的分子化成复数的代数形式，再进行除法运算判断即得. 【详解】对于A ，2i cos 2isin 2e =+，因22ππ<<，即cos20,sin20<>，复数2i e 对应的点位于第二象限，A 正确；对于B ，i2cos isini 22e πππ=+=，i 2e π为纯虚数，B 正确；对于C i (cos isin )(3i)3cos sin 3sin cos 3i 3i(3i)(3i)x x x x x x x+-+-+++-，于是得i 223cos sin 3sin cos 1()()4423ix x x x x +-++，C 正确； 对于D ，6i31cos isini 662e πππ=+=31i 2，D 不正确. 故选：ABC三、填空题13．（2021·天津市第四中学高三阶段练习）已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________. 【答案】52【分析】由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出α的代数形式，代入计算作答. 【详解】因α，β是方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根，设i(,R)a b a b α=+∈，则i a b β=-，由3αβ-=得：|i (i)||2|3a b a b b +--==，解得3||2b =， 又2(i)(i)0a b a b m ++++=，即22()(2)i 0a b a m ab b -++++=，因R m ∈，于是得：22020a b a m ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a =-，52m =，所以m 的值是52.故答案为：5214．（2021·上海长宁·一模）在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号） 【答案】（2）（3） 【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案. 【详解】221111i,2i,2z z z =+==，所以（1）错误.()()121,1,1,1Z Z -，12120,2OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅=，所以（4）错误.设()()1212i,i,,,,z a b z c d Z a b Z c d =+=+，()()()2212i z z ac bd ad bc ac bd ad bc ⋅=-++=-++22222222a c b d a d b c =+++22222222222212z z a b c d a c b d a d b c ⋅+++++2）正确.222211OZ OZ a b ==+，所以（3）正确. 故答案为：（2）（3）15．（2021·浙江·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy 中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x →=(a ，b )，对应复数z =a +ib ，向量x 逆时针旋转一个角度θ，得到复数'(i )(cos isin )cos sin i(sin cos )z a b a b a b θθθθθθ=++=-++，于是对应向量'(cos sin ,sin cos )x a b a b θθθθ→=-+.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC 的两个顶点坐标是A (1，2)，B (3，4)，则C 的坐标是___________.(任写一个即可) 【答案】(23,33)-(答案不唯一) 【分析】首先设出C 的坐标，然后分别写出AB →，AC →，利用向量的旋转公式即可求解. 【详解】不妨设C 的坐标为00(,)x y ，且AC →是AB →逆时针旋转60得到， 因为A (1，2)，B (3，4)，所以(2,2)AB →=，00(1,2)AC x y →=--， 从而AB →对应的复数为22i z =+，AC →对应的复数为'(22i)(cos 60isin 60)13(13)i z =++=-，所以00(1,2)(13,13)AC x y →=--=+，解得023x =033y = 故C 的坐标是(23,33). 故答案为：(23,33).16．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________． 【答案】4 【分析】根据复数模的几何意义得出复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，然后再根据62i z --的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数z 满足32i 1z -+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆， 又62i z --表示复数z 对应的点Z 与点()6,2P 之间的距离， 所以62i z --的最小值为()()22163221514PC -=-++=-=．故答案为：4．四、解答题17．（2021·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数i()z b b =∈R ，31iz +-是实数. （1）求复数z ；（2）若复数2()8m z m --在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 【答案】 （1）3i z =-（2）(0,9)【分析】 （1）先将i z b =代入31iz +-化简，再由其虚部为零可求出b 的值，从而可求出复数z ， （2）先对2()8m z m --化简，再由题意可得2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩从而可求得结果 （1） 因为i z b =，所以33i (3i)(1i)3(3)i 1i 1i 22z b b b b ++++-++===--， 因为31iz +-是实数，所以30b +=，解得3b =-. 故3i z =-.（2）因为3i z =-，所以()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+.因为复数2()8m z m --所表示的点在第二象限，所以2890,60,m m m ⎧--<⎨>⎩解得09m <<，即实数m 的取值范围是(0,9).18．（2021·全国·高一课时练习）求复数1i +，1i --2，2i -的辐角主值．【答案】π4，5π4，0，3π2 【分析】计算12r =11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩结合102πθ≤<，得到辐角主值，同理可得其他答案． 【详解】设这4个复数的模分别为1r ，2r ，3r ，4r ，辐角主值分别为1θ，2θ，3θ，4θ．因为221112r =+11cos 2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，又102πθ≤<，故1π4θ=． 同理，可以求得：5π5π1i 2cos isin 44⎫--=+⎪⎭， )22cos0isin 0+，3π3π2i 2cos isin 22⎫-=+⎪⎭， 故4个复数的辐角主值分别为π4，5π4，0，3π2． 19．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中（理））已知复数11i z =+，23i z =-.（1）求21z z ； （2）若4i()z a a R =+∈满足2z z +为纯虚数，求||z .【答案】（1）12i -（2）5【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；（2）根据纯虚数的概念即可求出参数a ，再根据复数模的计算公式即可求出．（1）213i (3i)(1i)33i i 112i 1i (1i)(1i)2z z ------====-++-． （2）因为2(3)3i z z a +=++为纯虚数，∴30a +=，∴3a =-.即34i z =-+，22||(3)45z =-+=．20．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：（1）28x +；（2）223x x -+；（3）2321x x -+.【答案】（1）28(22i)(22i)x x x +=+-（2）223(12i)(12i)x x x x -+=--- （3）212123213((x x x x -+-+=） 【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式. （1）2228=8i (2i)(2i)x x x x +-=+- （2）()22223=12i (12i)(12i)x x x x x -+--=-- （3）∵ 22222112321=3)3[()i ]3339x x x x x -+-+=--( ∴ 212123213[()33x x x x -+=-- ∴ 212123213((x x x x -+-+=） 21．（2021·湖北·高一期末）已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位． （1）求,p q 的值；（2）记复数i z p q =+，求复数1iz +的模． 【答案】（1）2,5p q =-=（258【分析】（1）由题知()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，再根据复数相等求解即可； （2）由（1）得25i z =-+，故37i 1i 2z +=+，再求模即可. （1）解：知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根， 所以()()212i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=， 所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩，解得2,5p q =-=. 所以2,5p q =-=（2）解：由（1）得复数25i z =-+， 所以()()()()25i 1i 25i 37i 1i 1i 1i 1i 2z -+--++===+++- 所以复数1i z +9495844+= 22．（2021·全国·高一课时练习）已知复数()31i 1i z =-． （1）求1arg z 及1z ；（2）当复数z 满足1z =，求1z z -的最大值．【答案】（1）17arg 4z π=，122z = （2）221【分析】（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解． （2）z 设为三角形式，和复数1z 的代数形式，共同代入1z z -，化简后可求最大值． （1）解：()31i 1i 22i z =-=-，将1z 化为三角形式，得1772cos isin 44z ππ⎫⎪=⎭+， ∴17arg 4z π=，122z = （2） 解：由于复数z 满足1z =，设cos isin z αα=+，则()()1cos 2sin 2i z z αα-=-++， ()()2221cos 2sin 2924z z πααα⎛⎫-=-++=+- ⎪⎝⎭，当sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，21z z -取得最大值942+ 所以1z z -的最大值为221．。
高考数学复数习题及答案
高考复习试卷含答案一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．(2017·山东)复数3－i1－i等于 ( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 答案：C解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i 2＝2＋i.故选C.2．(2017·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i答案：D解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i.3．(2017·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i 答案：D解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2－a ＋(a ＋2)i2，则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D.4．(2017·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( )A ．2iB ．0C ．－2iD ．－2 答案：B解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B.5．(2017·北京朝阳4月)复数z ＝2－i1＋i(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－32i ，它对应的点在第四象限，故选D.6．(2017·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则ba的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12答案：A解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a的值为－2，故选A.7．(2017·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 答案：B解析：z ＝tan45°－i·sin60°＝1－32i ，z 2＝14－3i ，故选B.8．(2017·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6C.23πD.56π 答案：D解析：3－i 对应的点为(3，－1)，所求直线的斜率为－33，则倾斜角为56π，故选D. 9．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b ic ＋d i为实数，则( )A ．bc ＋ad ≠0B ．bc －ad ≠0C ．bc －ad ＝0D ．bc ＋ad ＝0 答案：C解析：因为a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ，所以由题意有bc －adc 2＋d2＝0⇒bc －ad ＝0.10．已知复数z ＝1－2i ，那么1z ＝ ( )A.55＋255i B.55－255i C.15＋25iD.15－25i 答案：D 解析：由z ＝1－2i 知z ＝1＋2i ，于是1z ＝11＋2i ＝1－2i 1＋4＝15－25i.故选D.11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )A ．6B ．－6C ．0 D.16答案：A解析：z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝(3＋2b )＋(6－b )i 5是实数，则实数b 的值为6，故选A.12．(2017·广东)设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B解析：α(i )表示i n ＝1的最小正整数n ，因i 4k ＝1(k ∈N *)，显然n ＝4，即α(i )＝4.故选B. 13．若z ＝12＋32i ，且(x －z )4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 2等于( )A ．－12＋32i B ．－3＋33iC ．6＋33iD ．－3－33i 答案：B解析：∵T r ＋1＝C r 4x4－r (－z )r ， 由4－r ＝2得r ＝2，∴a 2＝C 24(－z )2＝6×(－12－32i )2＝－3＋33i .故选B.14．若△ABC 是锐角三角形，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i (sin B －cos A )对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B解析：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞90°，B ＞90°－A ， ∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴z 对应的点在第二象限．15．如果复数2－bi1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A. 2B.23 C ．－23D ．2答案：C解析：2－bi 1＋2i ＝(2－bi )(1－2i )5＝(2－2b )5＋(－4－b )5i由2－2b 5＝－－4－b 5得b ＝－23.16．设函数f (x )＝－x 5＋5x 4－10x 3＋10x 2－5x ＋1，则f (12＋32i )的值为( )A ．－12＋32i B.32－12iC.12＋32i D ．－32＋12i 答案：C解析：∵f (x )＝－(x －1)5∴f (12＋32i )＝－(12＋32i －1)5＝－ω5(其中ω＝－12＋32i )＝－ω＝－(－12－32i )＝12＋32i .17．若i 是虚数单位，则满足(p ＋qi )2＝q ＋pi 的实数p ，q 一共有 ( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 答案：D解析：由(p ＋qi )2＝q ＋pi 得(p 2－q 2)＋2pqi ＝q ＋pi ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ p 2－q 2＝q ，2pq ＝p .解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝0，q ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝－1，或⎩⎨⎧p ＝32，q ＝12，或⎩⎨⎧p ＝－32，q ＝12，因此满足条件的实数p ，q 一共有4对．总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特别注意不要出现漏解现象，如由2pq ＝p 应得到p ＝0或q ＝12.18．已知(2x 2－x p )6的展开式中，不含x 的项是2027，那么正数p 的值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：由题意得：C 46·1p 4·22＝2027，求得p ＝3.故选C. 总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含x 的项，即找常数项．19．复数z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是一一对应的关系，即z ＝a ＋bi ，与复平面上的点Z (a ，b )对应，由z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )知：a ＝－lg(x 2＋2)＜0，又2x ＋2－x －1≥22x ·2－x －1＝1＞0；∴－(2x ＋2－x －1)＜0，即b ＜0.∴(a ，b )应为第三象限的点，故选C.20．设复数z ＋i (z ∈C )在映射f 下的象为复数z 的共轭复数与i 的积，若复数ω在映射f 下的象为－1＋2i ，则相应的ω为 ( )A ．2B ．2－2iC ．－2＋iD ．2＋i 答案：A解析：令ω＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则ω＝[a ＋(b －1)i ]＋i ， ∴映射f 下ω的象为[a －(b －1)i ]·i ＝(b －1)＋ai ＝－1＋2i .∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝－1，a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝2.∴ω＝2. 第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案
专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。
2022高三总复习数学 复 数(含解析)
复 数A 级——基础达标1．(2021·广东省七校联考)已知复数z ＝2＋i1－i(i 为复数单位)，那么z 的共轭复数为( ) A.32＋32i B ．12－32iC.12＋32i D ．32－32i解析：选B 由题意知z ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋2i ＋i －12＝12＋32i ，所以z ＝12－32i ，故选B.2．(2021·湖北八校第一次联考)设i 是虚数单位，若复数a ＋5i1＋2i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选C 由已知，得a ＋5i1＋2i ＝a ＋5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋2＋i ，由题意得a ＋2＝0，所以a ＝－2.故选C.3．(2021·武昌区高三调研)已知复数z 满足zz －i＝i ，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为zz －i ＝i ，所以a ＋b i a ＋(b －1)i ＝i ，所以a ＋b i ＝(1－b )＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，b ＝a ，解得a ＝b ＝12，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，位于第一象限，故选A.法二：因为z z －i ＝i ，所以z ＝11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，位于第一象限，故选A.4．(2021·长沙市四校模拟考试)已知复数z ＝(1＋i )2i (1－i )，则下列结论正确的是( )A ．z 的虚部为iB ．|z |＝2C ．z 的共轭复数z ＝－1＋iD ．z 2为纯虚数解析：选D z ＝(1＋i )2i (1－i )＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，则z 的虚部为1，所以选项A 错误；|z |＝12＋12＝2，所以选项B 错误；z 的共轭复数z ＝1－i ，所以选项C 错误；z 2＝(1＋i)2＝2i 是纯虚数，所以选项D 正确．故选D.5．(2021·江西五校联考)复数z 满足(z －2)·i ＝z (i 为虚数单位)，z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是( )A ．z 2＝2iB ．z ·z ＝2C ．|z |＝2D ．z ＋z ＝0解析：选B 由题意，得z i －2i ＝z ，z (i －1)＝2i ，z ＝2ii －1＝2i (i ＋1)(i －1)(i ＋1)＝2(i －1)－2＝1－i ，则z 2＝－2i ，z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2，|z |＝2，z ＋z ＝1－i ＋1＋i ＝2，故选B.6．(2021·广东省七校联考)设复数z 满足|z －1－i|＝2，则|z |的最大值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 复数z 满足|z －1－i|＝2，故复数z 对应复平面上的点是以A (1,1)为圆心，2为半径的圆，|AO |＝2(O 为坐标原点)，故|z |的最大值为2＋2＝2 2. 7．(多选)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题，其中的真命题为( )A ．|z |＝2B ．z 2＝2iC ．z 的共轭复数为1＋iD ．z 的虚部为－1解析：选BD ∵z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，故选B 、D. 8．(多选)下列命题正确的是( )A ．若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z (z 是z 的共轭复数)D ．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )且|z －2|＝3，则yx 的最大值为 3解析：选BCD 对于A ，z 1和z 2可能是相等的复数，故A 错误；对于B ，若z 1和z 2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B 正确；对于C ，由a ＋b i ＝a －b i 得b ＝0，故C 正确；对于D ，∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3.9.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是z 1，z 2，则|z 1－z 2|＝ .解析：由图象可知z 1＝i ，z 2＝2－i ， 故|z 1－z 2|＝|－2＋2i|＝ (－2)2＋22＝2 2.答案：2 210．(2021·昆明市三诊一模)复数z 的共轭复数z 满足(2＋i)z ＝|3＋4i|，z ＝ . 解析：法一：由(2＋i)z ＝|3＋4i|，得z ＝|3＋4i|2＋i ＝52＋i ＝5(2－i )(2＋i )(2－i )＝2－i ，所以z ＝2＋i.法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(2＋i)(a －b i)＝5，即2a ＋b ＋(a －2b )i ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝5，a －2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i. 答案：2＋i11．(2021·福建省三明市高三模拟)若|z 1－z 2|＝1，则称z 1与z 2互为“邻位复数”．已知复数z 1＝a ＋3i 与z 2＝2＋b i 互为“邻位复数”，a ，b ∈R ，求a 2＋b 2的最大值．解：由题意，|a ＋3i －2－b i|＝1，故(a －2)2＋(3－b )2＝1， ∴点(a ，b )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上， 而a 2＋b 2表示点(a ，b )到原点的距离，故a 2＋b 2的最大值为(22＋(3)2＋1)2＝(1＋7)2＝8＋27.12．(2021·张家口调研)已知复数z 满足：z 2＝3＋4i ，且z 在复平面内对应的点位于第三象限．(1)求复数z ；(2)设a ∈R ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 021＋a ＝2，求实数a 的值． 解：(1)设z ＝c ＋d i(c ，d ∈R 且c <0，d <0)， 则z 2＝(c ＋d i)2＝c 2－d 2＋2cd i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c 2－d 2＝3，2cd ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝1(舍去)．∴z ＝－2－i.(2)∵z ＝－2＋i ，∴1＋z1＋z ＝－1－i －1＋i ＝1＋i 1－i＝(1＋i )22＝i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋z 1＋z 2 021＝i 2 021＝i 2 020＋1＝i 505×4＋1＝i ， ∴|a ＋i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3.B 级——综合应用13．(多选)(2021·全国统一考试模拟演练)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0，下列命题中正确的是( )A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若z 2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2解析：选BC 设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，若|z 2|＝|z 3|，则a 22＋b 22＝a 23＋b 23，此时z 2＝±z 3不一定成立，故A 错误； 若z 1z 2＝z 1z 3，则z 1(z 2－z 3)＝0，又因z 1≠0，所以z 2＝z 3，故B 正确； 若z 2＝z 3，则a 2＝a 3，b 2＝－b 3，所以|z1z2|＝(a1a2－b1b2)2＋(a1b2＋a2b1)2＝(a1a2)2＋(b1b2)2＋(a1b2)2＋(a2b1)2.|z1z3|＝(a1a3－b1b3)2＋(a1b3＋a3b1)2＝(a1a2＋b1b2)2＋(－a1b2＋a2b1)2＝(a1a2)2＋(b1b2)2＋(a1b2)2＋(a2b1)2.所以|z1z2|＝|z1z3|，故C正确；当z2＝z1时，z1z2＝|z1|2，此时z1＝z2不一定成立，故D错误．14．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m 的值为．解析：∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，解得m＝6或m＝3，经检验符合题意．答案：3或615．(2021·高仿密卷)已知复数z＝b i(b∈R)，z－21＋i是实数，i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解：(1)因为z＝b i(b∈R)，所以z－21＋i＝b i－21＋i＝(b i－2)(1－i)(1＋i)(1－i)＝(b－2)＋(b＋2)i2＝b－22＋b＋22i.又因为z－21＋i是实数，所以b＋22＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4m i＋4i2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0，解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．C 级——迁移创新16．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数． 则z ＝ .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5ba 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，故z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 答案：－1－2i 或－2－i。
高三数学一轮复习题：虚数复数
高三数学一轮复习题：虚数复数一、单选题（共26题；共52分）1.（2019高三上·嘉兴期末）已知复数 z 1=1+2i ， z 2=2−i （ i 是虚数单位），则 z 1⋅z 2= ( )A.B. C. D. 2.复数1−i 1+i 的共轭复数是（ ）A. iB. −iC. 1D. 1−i3.（2018·成都模拟）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 (2−i)z =1 ，则复数 z 的虚部为（ ）A. B. C.D. 4.已知复数z= -1+2i(其中i 为虚数单位)，则5i z=A. 2-iB. 2+iC. -2-iD. -2+i5.（2016高三上·新津期中）已知复数z 满足（1+ √3 i ）z=2 √3 i （i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.已知i 是虚数单位，若复数(1+ai )(2+i )是纯虚数，则实数a 等于( )A. 2B. 12C. −12D. −27.若a +bi =(1+i )(2−i )（i 是虚数单位，a,b 是实数），则a+b 的值是 （ ）A. 2B. 3C. 4D. 58.已知复数z =1−2i ， 那么1z −=( ) A. √55+2√55i B. √55−2√55i C. 15+25i D. 15−25i 9.复数数z 满足（z ﹣i ）（2﹣i ）=5．则z=（ ）A. ﹣2﹣2iB. ﹣2+2iC. 2﹣2iD. 2+2i10.（2017·成都模拟）若 1+ai2+i =1+2i ，则a=（ ）A. ﹣5﹣iB. ﹣5+iC. 5﹣iD. 5+i11.若复数z 满足3﹣i=（z+1）i ，则复数z 的共轭复数z −的虚部为（ ）A. 3B. 3iC. -3D. -3i12.复数z=1-i,则1z +z 对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限13.（2017·大连模拟）设z=1﹣i （i 是虚数单位），则 z 2+2z 的虚部为（ ）A. ﹣iB. 1﹣iC. ﹣1D. ﹣1﹣i14.（2017·高台模拟）若复数z 满足（2+i ）z=|1﹣2i|，则复数z 所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限15.若i 为虚数单位，则1+i 1−i等于 （ ）A. iB. −iC. 1D. －116.（2018·银川模拟）已知复数z,满足 z(2−i)=2+4i ，则复数 z 等于（ ）A. 2iB. − 2iC. 2+iD. − 2i+ 217.已知i 为虚数单位，若复数（1+ai ）（2+i ）是纯虚数，则实数a 等于（ ）A. 2B. 12C. -12D. -218.满足i 3·z =1−3i 的复数z 是（ ）A. −3+iB. −3−iC. 3−iD. 3+i19.在复平面内，复数z=2−i i 的共轭复数z −对应的点所在的象限（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限20.（2018·河南模拟）已知 a ∈R ，复数 z =(a−i)(1+i)i ，若 z̅=z ，则 a = （ ）A. 1B. −1C. 2D. −221.（2017·河西模拟）已知复数z= 2−1+i ，则（ ）A. z 的虚部为﹣1B. z 的实部为1C. |z|=2D. z 的共轭复数为1+i 22.（2017·大理模拟）i 为虚数单位，若复数z=（1﹣ai ）（1+i ）（a ∈R ）的虚部为﹣3，则|z|=（ ）A. 3√2B. 4C. √34D. 5 23.（2017·青州模拟）复数z 的共轭复数为 z̅ ，若 1−i z⋅z̅+i 为纯虚数，则|z|=（ ）A. 2B. √3C. √2D. 124.（2016·大连模拟）若 2+ai1+i =b+i ，则复数a+bi 在复平面内表示的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限25.设复数Z满足(√3−i)·Z=2i，则||Z||=（）A. √2B. √3C. 1D. 226.（2020·西安模拟）设复数z=(x−1)+yi（x,y∈R，i为虚数单位），若|z|≤1，则y≥√3x 的概率为( )A. 16+√34πB. 56+√34πC. 56−√34πD. 16−√34π二、填空题（共16题；共16分）27.（2014·北京理）复数（1+i1−i）2=________．28.已知复数z（1+i）=2i，则|z|等于________29.（2018高三上·东区期末）已知i是虚数单位，复数z满足z⋅(1+√3i)=1，则|z|=________30.（2018高三上·丰台期末）若复数z=(1+i)(1+a i)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a= ________．31.（2017·长沙模拟）若复数z为纯虚数，且|z1+i |=√22（i为虚数单位），则z=________.32.（2017高三上·苏州开学考）已知i是虚数单位，复数z的共轭复数为z̅，若2z= z̅+2﹣3i，则z=________．33.（2017·淮安模拟）设复数z满足z（2+i）=10﹣5i，（i为虚数单位），则复数z的实部为________．34.（2017·海淀模拟）已知复数z=1−ii，则|z|=________．35.已知复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则|z|=________36.（2017·丰台模拟）在复平面内，复数3+4ii对应的点的坐标为________．37.（2016·江苏模拟）已知复数z=2−i1+i，则z的共轭复数的模为________．38.（2016·南通模拟）已知复数z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则z的共轭复数为________．39.（2017高三下·长宁开学考）复数z满足1+z1−z=i，则|z|=________．40.设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为________ .41.（2018·孝义模拟）复数z满足(1−2i)z=7+i，则复数z的共轭复数z=________．42.（2017·南京模拟）若复数z满足z+2z̅=3+2i，其中i为虚数单位，z̅为复数z的共轭复数，则复数z的模为________．三、解答题（共8题；共55分）43.（2018高二下·乌兰月考）已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？44.（2017·上海模拟）若α，β是实系数方程x2+x+p=0 的二根，|α﹣β|=3，则求实数p的值及方程的根．45.（201920高三上·长宁期末）在复平面内复数 z 1 、 z 2 所对应的点为 Z 1 、 Z 2 ， O 为坐标原点， i 是虚数单位.（1）z 1=1+2i ， z 2=3−4i ，计算 z 1⋅z 2 与 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）设 z 1=a +bi ， z 2=c +di （ a,b,c,d ∈R ），求证： |OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|z 1⋅z 2| ，并指出向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足什么条件时该不等式取等号.46.（2018·长宁模拟）已知复数 z 满足 |z|=√2 ， z 2 的虚部为2．（1）求复数 z ；（2）设 z , z 2 , z −z 2 在复平面上的对应点分别为 A ， B ， C ，求△ ABC 的面积．47.如果复数z=6−bi 1+2i（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数． ①求z ．②求|z|．③负数z 在复平面内对应的点在第几象限．④若z （m+i ）是纯虚数，求m 的值．⑤求（z z ）2016 ．48.已知复数z 满足z+2i 、z 2−i 均为实数，且复数（z+xi ）2在复平面上对应的点在第一象限． （1）求复数z ；（2）求实数x 的取值范围．49.（2017高三上·赣州开学考）已知复数Z 1 ， Z 2在复平面内对应的点分别为A （﹣2，1），B （a ，3）．（1）若|Z 1﹣Z 2|= √5 ，求a 的值．（2）复数z=Z 1•Z 2对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值．50.关于x 的不等式||x +a 21x |＜0的解集为（﹣1，b ）． （1）求实数a ，b 的值；（2）若z 1=a+bi ，z 2=cosα+isinα，且z 1z 2为纯虚数，求tanα的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】D11.【答案】A12.【答案】D13.【答案】C14.【答案】D15.【答案】A16.【答案】A17.【答案】A18.【答案】D19.【答案】B20.【答案】B21.【答案】A22.【答案】C23.【答案】D24.【答案】A25.【答案】C26.【答案】D二、填空题27.【答案】-128.【答案】√229.【答案】1230.【答案】131.【答案】±i32.【答案】2﹣i33.【答案】334.【答案】 √235.【答案】√236.【答案】（4，﹣3）37.【答案】√10238.【答案】3+4i39.【答案】140.【答案】 √541.【答案】1−3i42.【答案】 √5三、解答题43.【答案】 解:由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，复数z 的虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋yi(x 、y ∈R)，则 {x =a 2−2a +4y =−(a 2−2a +2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x≥3)44.【答案】解：因为α，β是实系数方程x 2+x+p=0 的二根，所以α+β=﹣1，αβ=p ， 又|α﹣β|=3，所以|α﹣β|=3= = 解得 ，当p=﹣2，α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴x 1=﹣2，x 2=1；当 ，∴ ．实数p 的值及方程的根为：．45.【答案】 （1）解： z 1⋅z 2=(1+2i)⋅(3−4i)=11+2iOZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2) ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)所以 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−5（2）解： ∵z 1=a +bi ， z 2=c +di∴z 1⋅z 2=(ac −bd)+(ad +bc)i∴|z 1⋅z 2|2=(ac −bd)2+(ad +bc)2∵OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b) ， OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c,d)∴OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ac +bd ， |OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(ac +bd)2∴|z 1⋅z 2|2−|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(ac −bd)2+(ad +bc)2−(ac +bd)2 =(ad +bc)2−4ac ⋅bd =(ad −cb)2≥0所以 |OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|≤|z 1⋅z 2| ，当且仅当 ad =cb 时取“ = ”，此时 OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .46.【答案】 （1）解：设 z =x +y i （ x , y ∈R ），则 {x 2+y 2=2 ,2xy =2 ,解得 {x =1 ,y =1 或 {x =−1 ,y =−1 . 所以 z =1+i 或 z =−1−i（2）解：由（1）知， z =1+i 时， z 2=2i ， z −z 2=1−i ，所以， A(1 , 1) ， B(0 , 2) ， C(1 , −1) ， S ΔABC =1 ． 当 z =−1−i 时， z 2=2i ， z −z 2=−1−3i ，所以， A(−1 , −1) ， B(0 , 2) ， C(−1 , −3) ， S ΔABC =1 ．47.【答案】解：①复数z=6−bi 1+2i =(6−bi )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=6−2b+(−12−b )i 5， 复数z=6−bi 1+2i （其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，可得6﹣2b=12+b ，解得b=﹣2，z=2﹣2i ．②|2﹣2i|=√22+(−2)2=2√2．③复数z 在复平面内对应的点（2，﹣2）在第四象限．④z （m+i ）=（2﹣2i ）（m+i ）=2m+2+（2﹣2m ）i ，是纯虚数，可得2m+2=0，解得m=﹣1． ⑤（z z ）2016=(2+2i 2−2i )2016=[(1+i 1−i )2]1008=[2i −2i ]1008=1．48.【答案】解：（1）复数z 满足z+2i 、z 2−i 均为实数，设z=x+yi （x ，y ∈R ），又z+2i=x+（y+2）i ，且为实数，∴y+2=0，解得y=﹣2．∴z 2−i =x−2i 2−i =(x−2i )(2+i )2−i 2+i =2x+25+x−45i ， ∵z 2−i 为实数，∴x−45=0，解得x=4．∴z=4﹣2i（2）∵复数（z+xi ）2=[4+（x ﹣2）i]2=16﹣（x ﹣2）2+8（x ﹣2）i=（12+4x ﹣x 2）+（8x ﹣16）i ，∴{12+4x −x 2>08x −16>0，解得2＜x ＜6． 即实数x 的取值范围是（2，6）．49.【答案】 （1）解：由复数的几何意义可知：Z 1=﹣2+i ，Z 2=a+3i ．∵|Z 1﹣Z 2|= √5 ，∴|﹣a ﹣2﹣2i|= √(−a −2)2+(−2)2 = √5 ．解得a=﹣3或﹣1（2）解：复数z=Z 1•Z 2=（﹣2+i ）（a+3i ）=（﹣2a ﹣3）+（a ﹣6）i 对应的点在二、四象限的角平分线上，依题意可知点（﹣2a ﹣3，a ﹣6）在直线y=﹣x 上 ∴a ﹣6=﹣（﹣2a ﹣3），解得a=﹣950.【答案】解：（1）不等式||x +a 21x|＜0即x （x+a ）﹣2＜0的解集为（﹣1，b ）． ∴﹣1，b 是方程x 2+ax ﹣2=0的两个实数根，∴﹣1+b=﹣a ，﹣b=﹣2， 解得a=﹣1，b=2．（2）z 1z 2=（﹣1+2i ）（cosα+isinα）=（﹣cosα﹣2sinα）+（2cosα﹣sinα）i 为纯虚数， ∴﹣cosα﹣2sinα=0，2cosα﹣sinα≠0， 解得tanα=﹣12．。
高三数学复数综合运算试题
高三数学复数综合运算试题1.已知复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题知,z=,故选D.考点:复数运算2.若（a－4i）i=b－i，（a，b∈R，i为虚数单位），则复数z=a+bi在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】,,对应的点的坐标为,所以位于第二象限，故选B.【考点】复数的代数运算与几何意义3.设是虚数单位，复数=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，故选D.【考点】1.复数的运算.4.是虚数单位，复数A．B．C．D．【答案】A．【解析】，故选A．【考点】复数的运算．5.实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴的上方．【答案】（1）m＝－1（2）m＝1（3）m<－3或m>5.【解析】解：(1)根据复数相等的充要条件得解得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解得m＝1.(3)根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.6.已知是虚数单位，则复数的模为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：所以，故选C.【考点】1、复数的概念；2、复数的运算.7.复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因此，复数的虚部是，故选A.【考点】1.复数的除法；2.复数的概念8.已知复数，，若为实数，则实数的值为（）A．1B．C．4D．【答案】D【解析】=是实数，所以m+4=0，解得m=-4，故选D.【考点】复数的运算和有关概念.9.复数的共轭复数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因此复数的共轭复数为，故选D.【考点】1.复数的除法；2.共轭复数10.在复平面上，复数对应的点在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】【解析】由，所以对应的点为，所以在复平面上对应的点位于第四象限. 故选.【考点】复数的运算；复数的概念.11.若=3+4i,=-1-i,i是虚数单位,则=________(用复数代数形式表示).【答案】-4-5i【解析】因为=3+4i,=-1-i,i是虚数单位,所以=-=(-1-i)-(3+4i)=-4-5i.12.（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i【答案】B【解析】（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，故选B．13.在复平面内，复数对应的点的坐标为 .【答案】【解析】由题意，其对应的点的坐标为.【考点】1.复数的运算与对应的点位置.14.复数(，且)，若是实数，则有序实数对可以是．（写出一个有序实数对即可）【答案】或满足的任意一对非零实数对【解析】是实数，则，由于，故．【考点】复数的概念．15.复数等于A．-i B．1C．-l D．0【答案】D.【解析】因为，或因为，所以选D.复数运算中注意分母实数化时不要出错.【考点】复数运算16.已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数，．【答案】【解析】由题意是方程的另一根，因此，，．【考点】实系数二次方程的复数根．17.若R，为虚数单位，且，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】因为所以，，，选.【考点】复数的概念，复数的四则运算.18.设复数，其中、，则______.【答案】.【解析】，所以，，因此.【考点】1.复数的除法；2.复数相等19. ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以选B.【考点】复数的运算20.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】，故复数在复平面内对应的点位于第二象限．【考点】复数的运算，复数几何意义．21.若复数z =（为虚数单位），则|z|= ．【答案】【解析】因为所以也可利用复数模的性质求解，即【考点】复数的模22.（为虚数单位），则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，选.【考点】复数的四则运算23.若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，求点P(a，b)到原点的距离．【答案】【解析】由已知ai＋2＝b－i，∴∴点P(－1，2)到原点距离|OP|＝.24.复数：＝________.【答案】38－i【解析】＝＝38－i.25.在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【答案】【解析】复平面上复数对应的点到原点的距离就是它的模，而，本题不需要把复数化简为形式.【考点】复数的模.26.满足的复数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，．【考点】复数的运算．27.已知i是虚数单位，若，则z＝（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，选A.【考点】复数的基本运算.28.若为虚数单位，则等于（）A．B．C．1D．－1【答案】A【解析】，故选A.【考点】复数的运算.29.已知是虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.30.设是虚数单位，则等于（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】===，故选D.【考点】复数的运算和几何意义.31.复数的虚部是.【答案】-1【解析】，所以虚部为-1.【考点】复数的概念与运算32.已知复数z满足为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】，，复数所对应的点所在象限为第一象限.【考点】1.复数的除法运算；2.复数和点的一一对应关系.33.复数．【答案】【解析】.【考点】复数的运算.34.复数的虚部为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】复数的概念与运算.35.若复数满足，是虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，选B.36.复数（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】复数的运算.37.（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】复数的四则运算38.（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】.【考点】本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力.39.复数z＝i（i＋1）（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i【答案】A【解析】由,得.【考点】对复数概念的理解，考查学生的基本运算能力．40.= ．【答案】【解析】.【考点】复数的四则运算.41.设复数满足(为虚数单位），则= .．【答案】【解析】由，得，所以.【考点】复数的四则运算，复数模的概念.42.已知复数（，，为虚数单位），则【答案】C【解析】【考点】复数运算点评：复数化简时分子分母同乘以分母的共轭复数43.在复平面内，复数对应的点位于虚轴上，则【解析】因为，，其对应点（a，－1）位于虚轴上，所以，0.【考点】本题主要考查复数的代数运算，复数的概念。
(完整版)高考真题：复数
高考真题：复数一、单选题1i （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i2．若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z=（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --3．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2=（A ）0 （B ）2 （C ）2i （D ）2+2i4．设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为 （A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 45 （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i -6．若43i z =+，则（A ）1 （B ）1- （C （D 7．若z=1+2i ，则41i zz =- A ． 1 B ． −1 C ． i D ． −i8．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ． 12i -+B ． 12i -C ． 32i +D ． 32i -9．已知()()31z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ． ()31-，B ． ()13-， C ． ()1,+∞ D ． ()3-∞-， 10．设(1+2i)(a +i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）A ． −3B ． −2C ． 2D ． 311．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y（A ）1 （B （C （D ）212．(2017高考新课标III，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ． 12B ． √22C ． √2D ． 213．若复数(1−i )(a +i )在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ． (−∞,1)B ． (−∞,−1)C ． (1,+∞)D ． (−1,+∞)14．已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =A ． -2iB ． 2iC ． -2D ． 215．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ． （–∞，1）B ． （–∞，–1）C ． （1，+∞）D ． （–1，+∞）16．已知R a ∈， i 是虚数单位，若z a =， 4z z ⋅=，则a =（）A ． 1或1-B ． 或C ．D ． 17．3+i 1+i =( )A ． 1+2iB ． 1−2iC ． 2+iD ． 2−i18．，2017新课标全国卷II 文科）(1+i )(2+i )=A ． 1−iB ． 1+3iC ． 3+iD ． 3+3i19．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限20．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ，p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ，p 3：若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2，p 4：若复数z ∈R ，则z̅∈R .其中的真命题为A ． p 1,p 3B ． p 1,p 4C ． p 2,p 3D ． p 2,p 421．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ． i(1+i)2B ． i 2(1−i)C ． (1+i)2D ． i(1+i)二、填空题22，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______________________.23．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a _______. 24．设a ∈R ，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.25．已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a ii -+为实数，则a 的值为__________．参考答案1．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】B. 2．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故2,1-==b a ，则12i z =-，选B.3．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）试题分析：22(1i)12i i 2i +=++=，故选C.【答案】A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）【解析】 试题分析：二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r r r T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.5．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.6．D【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】D ． 【考点】复数的运算、共轭复数、复数的模 【名师点睛】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．7．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析： ()()44112121i i i zz i i ==-+--，故选C ． 【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 视频 8．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.【考点】 复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.视频9．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】 复数的几何意义 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi 复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b∈R ）．复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）平面向量OZ uuu r . 视频 10．A 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：(1+2i)(a +i)=a −2+(1+2a)i ，由已知，得，解得，选A.【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i 2=−1中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.11．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以故选B.【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.12．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】由题意可得z =2i 1+i ，由复数求模的法则可得|z 1z 2|=|z 1||z 1|，则|z |=|2i ||1+i |=√2=√2.故选C.【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1)z 1±z 2=z 1±z 2，(2)z 1×z 2=z 1×z 2；(3)z ⋅z̅=|z |2=|z̅|2，(4)||z 1|−|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|，(5)|z 1z 2|=|z 1|×|z 2|，(6)|z 1z 2|=|z 1||z 1|. 13．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设z =(1−i )(a +i )=(a +1)+(1−a )i ，因为复数对应的点在第二象限，所以{a +1<01−a >0，解得：a <−1，故选B. 14．A【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】由i 1i z =+得()()22i 1i z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2∈±2i∈(2)∈i,∈∈i.15．B 【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以10{ 10a a +<->，解得： 1a <-，故选B.【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量OZ uuu v .16．A【来源】【全国百强校】河北省曲周县第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此结合已知条件，求得a 的方程即可.17．D【来源】江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试数学（理）试题【解析】3+i 1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−3i+i+11+1=4−2i 2=2−i故选D18．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】由题意(1+i )(2+i )=2+3i +i 2=1+3i ，故选B. 点睛:首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a +b i )(c +d i )=(ac −bd)+ (ad +bc)i (a,b,c,d ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a +b i (a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b 、模为√a 2+b 2、对应点为(a,b)、共轭复数为a −b i .19．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】()i 2i 12i z =-+=--，则表示复数()i 2i z =-+的点位于第三象限. 所以选C.【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()()i i i ,,,a b c d ac bd ad bc a b c d R ++=-++∈.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数()i ,a b a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应的点为(),a b 、共轭复数为i.a b -20．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】令z =a +b i (a,b ∈R)，则由1z =1a+b i =a−b ia 2+b 2∈R 得b =0，所以z ∈R ，故p 1正确；当z =i 时，因为z 2=i 2=−1∈R ，而z =i ∉R 知，故p 2不正确；当z 1=z 2=i 时，满足z 1⋅z 2=−1∈R ，但z 1≠z 2，故p 3不正确；对于p 4，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确，故选B. 点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成z =a +b i (a,b ∈R)的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.21．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=⋅（ ()2i 1i 1i -=-+ , 2(1i)2i += , ()i 1i 1i +=-+ ,所以选C.22．-3【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷精编版）【解析】z 的虚部等于−3. 【考点】复数的运算、复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目来看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.23．2【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）【解析】试题分析：由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩故答案为2．【考点】复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如答案第7页，总7页 i i i()(a+b )(c+d )=(ac bd)+(ad +bc)a,b,c,d -∈R ，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、模为、共轭复数为i a b -.24．1-【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】 试题分析：由题意得(1i)(i)1(1)i 1a a a a ++=-++∈⇒=-R .【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.25．-2【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版） 【解析】()()()()()()2212212222555a i i a a i a i a a i i i i ----+--+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. 【考点】 复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(),z a bi a b R =+∈，当0b ≠时， z 为虚数，当0b =时， z 为实数，当0,0a b =≠时， z 为纯虚数.。
复数小题专练-高三数学二轮专题复习
冲刺高考二轮 复数小题专练（原卷+答案）一、单项选择题1．(2＋2i)(1－2i)＝( )A ．－2＋4iB ．－2－4iC ．6＋2iD ．6－2i2．设(1＋2i)a ＋b ＝2i ，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－1B ．a ＝1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝－1，b ＝－13．复数2i1－i (i 是虚数单位)的虚部是( )A ．1B ．－iC ．2D ．－2i4．若复数z 满足i·z ＝3－4i ，则|z |＝( )A ．1B ．5C ．7D ．255．复数z 满足(1－i)z ＝2＋3i ，则z 在复平面内对应的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若复数z 满足z ＋3i ＝z － ，则复数z 的虚部为( )A ．32B ．－32C ．32 iD ．－32 i7．设z i ＝3－2z － ，则复数z ＝( )A ．3＋iB ．3－iC ．2＋iD ．2－i8．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 31＋i ，z － 是z 的共轭复数，则z － ·z ＝() A ．0 B ．12C ．1D ．2二、多项选择题9．已知复数z ＝5i 1＋2i，则下列各项正确的为( ) A ．复数z 的虚部为iB ．复数z －2为纯虚数C ．复数z 的共轭复数对应点在第四象限D ．复数z 的模为510．已知z 1，z 2均为复数，则下列结论中正确的有( )A ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝±z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＋z 2是实数C ．(z 1－z 2)2＝|z 1－z 2|2D ．若z 1＋z 2＝0，则z 1z 2是实数11．已知复数z 1对应的向量为OZ 1→ ，复数z 2对应的向量为OZ 2→ ，则( )A ．若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则OZ 1→ ⊥OZ 2→B ．若(OZ 1→ ＋OZ 2→ )⊥(OZ 1→ －OZ 2→ )，则|z 1|＝|z 2|C ．若z 1与z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 1z 2＝|z 1z 2|D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21 ＝z 2212．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (本题中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是( )A ．复数e i π2 为纯虚数B ．复数e i2对应的点位于第二象限C ．复数e i π3 的共轭复数为32 －12i D ．复数e i θ(θ∈R )在复平面内对应的点的轨迹是圆三、填空题13．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i(i 为虚数单位)，则z ·z － ＝________．14．设m 为实数，复数z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋3i(这里i 为虚数单位)，若z 1·z 2为纯虚数，则|z 1＋z 2|的值为________．15．已知i 是虚数单位，则复数(1＋i 2)4的模等于________． 16．已知2＋i 是关于x 的方程x 2＋ax ＋5＝0的根，则实数a ＝________．参考答案1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D.答案：D2．解析：由(1＋2i)a ＋b ＝2i ，得a ＋2a i ＋b －2i ＝0，即(a ＋b )＋(2a －2)i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 故选A. 答案：A3．解析：由题意可知，2i 1－i ＝2i ×()1＋i ()1－i ()1＋i ＝－2＋2i 2 ＝－1＋i ， 所以复数2i 1－i的虚部为1. 答案：A4．解析：方法一 由i·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ＝（3－4i ）·（－i ）i·（－i ） ＝－3i ＋4i 2－i 2＝－4－3i ， 所以|z |＝（－4）2＋（－3）2 ＝5.故选B.方法二 由i ·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ，所以|z |＝|3－4i i |＝|3－4i||i| ＝32＋（－4）202＋12＝5.故选B.答案：B5．解析：由题知：z ＝2＋3i 1－i ＝（2＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋5i 2 ， 所以z 在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，52 ，位于第二象限． 故选B.答案：B6．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z － ＝a －b i ，因为z ＋3i ＝z － ，则a ＋(b ＋3)i ＝a －b i ，所以b ＋3＝－b ，解得b ＝－32， 因此，复数z 的虚部为－32. 故选B.答案：B7．解析：由z i ＝3－2z － 得z i ＋2z － ＝3.设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z － ＝x －y i ，所以(x ＋y i)i ＋2(x －y i)＝3，所以2x －y ＋(x －2y )i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝3，x －2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1， 所以z ＝2＋i. 故选C.答案：C8．解析：∵z ＝i ＋i 2＋i 31＋i ＝－11＋i ＝－1＋i （1＋i ）（1－i ）＝－12 ＋12 i ， 所以z － ·z ＝⎝⎛⎭⎫－12－12i ⎝⎛⎭⎫－12＋12i ＝14 ＋14 ＝12.故选B. 答案：B9．解析：∵z ＝5i 1＋2i ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2＋i ，则可得： 复数z 的虚部为1，A 错误；z －2＝i 为纯虚数，B 正确；复数z 的共轭复数为z － ＝2－i ，其对应点为(2，－1)，在第四象限，C 正确；复数z 的模为|z |＝22＋12 ＝5 ，D 错误．故选BC.答案：BC10．解析：z 1＝1，z 2＝－i ，|z 1|＝|z 2|而z 1≠±z 2，A 错；令z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i ，z 1＋z 2＝2a 为实数，B 对；z 1＝1，z 2＝i ，(z 1－z 2)2＝－2i ，|z 1－z 2|2＝2，则(z 1－z 2)2≠|z 1－z 2|2，C 错；令z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a －b i ，z 2＝－a ＋b i ，z 1·z 2＝(a ＋b i)(－a ＋b i)＝－a 2－b 2为实数，D 对，故选BD.答案：BD11．解析：因为|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以|OZ 1→ ＋OZ 2→ |＝|OZ 1→ －OZ 2→ |，则|OZ 1→ ＋OZ 2→ |2＝|OZ 1→ －OZ 2→ |2，即4OZ 1→ ·OZ 2→ ＝0，则OZ 1→ ⊥OZ 2→ ，故选项A 正确；因为(OZ 1→ ＋OZ 2→ )⊥(OZ 1→ －OZ 2→ )，所以(OZ 1→ ＋OZ 2→ )·(OZ 1→ －OZ 2→ )＝0，即OZ 12→ ＝OZ 22→ ，则|z 1|＝|z 2|，故选项B 正确；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为z 1与z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 2＝a －b i(a ，b ∈R )，所以z 1z 2＝a 2＋b 2，|z 1z 2|＝a 2＋b 2，则z 1z 2＝|z 1z 2|，故选项C 正确；若z 1＝1＋i ，z 2＝1－i 满足|z 1|＝|z 2|，而z 21 ≠z 22 ，故选项D 错误，故选ABC.答案：ABC12．解析：对A ：因为复数e i π2＝cos π2 ＋isin π2 ＝i 为纯虚数，故选项A 正确；对B ：复数e i2＝cos 2＋isin 2，因为cos 2<0，sin 2>0，所以复数e i2对应的点为(cos 2，sin 2)位于第二象限，B 正确；对C ：复数e i π3＝cos π3 ＋isin π3 ＝12 ＋32 i 的共轭复数为12 －32 i ，故选项C 错误； 对D ：复数e i θ＝cos θ＋isin θ(θ∈R )在复平面内对应的点为(cos θ，sin θ)，因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以复数e i θ(θ∈R )在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，z － ＝1－i ，所以z ·z － ＝2. 答案：214．解析：∵z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋3i ，∴z 2－ ＝m －3i ，∴z 1·z 2－ ＝(1＋2i)(m －3i)＝m －3i ＋2m i ＋6＝(m ＋6)＋(2m －3)i ，∵z 1·z 2－ 为纯虚数，∴m ＋6＝0⇒m ＝－6，∴z 1＋z 2＝(1＋2i)＋(－6＋3i)＝－5＋5i ，∴|z 1＋z 2|＝（－5）2＋52 ＝52 . 答案：5215．解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 2 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22 2＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2＝i 2＝－1，所以模为1. 答案：116．解析：因为2＋i 是关于x 的方程x 2＋ax ＋5＝0的根，其中a ∈R ，所以2－i 也是关于x 的方程x 2＋ax ＋5＝0的根，所以2＋i ＋2－i ＝－a ，a ＝－4.答案：－4。
高三数学虚数复数同步训练题
高三数学虚数复数同步训练题高三数学虚数复数同步训练题1.(2013福建)已知复数z的共轭复数z=1+2i(i为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由条件知：z=1-2i，其在复平面内对应的点为(1，-2)，在第四象限，选D.答案：D2.(2013浙江)已知i是虚数单位，则(-1+i)(2-i)=()A.-3+iB.-1+3iC.-3+3iD.-1+i解析：(-1+i)(2-i)=-1+3i，选B.答案：B3.(2013山东)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为()A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i解析：由题意得z=52-i+3=52+i2-i2+i+3=5+i，z=5-i，故选D.答案：D4.(2013辽宁)复数z=1i-1的模为()A.12B.22C.2D.2解析：z=1i-1=i+1i+1i-1=1+i-1-1=-12-12i.|z|= -122+-122=22，故选B.答案：B5.(2013广东)若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A.(2,4)B.(2，-4)C.(4，-2)D.(4,2)解析：由已知条件得z=2+4ii=4-2i，所以z对应的.点的坐标为(4，-2)，故选C.答案：C6.(2013课标全国Ⅰ)1+2i1-i2=()A.-1-12iB.-1+12iC.1+12iD.1-12i解析：1+2i1-i2=1+2i-2i=1+2ii-2ii=-2+i2=-1+12i，故选B.答案：B7.(2013湖北)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2=________.解析：在复平面内，复数z=a+bi与点(a，b)一一对应.∵点(a，b)关于原点对称的点为(-a，-b)，则复数z2=-2+3i.答案：-2+3i8.(2013天津)已知a，bR，i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi，则a+bi=________.解析：∵(a+i)(1+i)=a+ai+i+i2=(a-1)+(a+1)i.又由已知(a+i)(1+i)=bi，得a-1=0，a+1=b.解得a=1，b=2，所以a+bi=1+2i.答案：1+2i9.(2013江苏)设z=(2-i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________.解析：∵z=(2-i)2=3-4i，|z|=32+-42=5.答案：5。
高三数学复数选择题专项训练知识点及练习题及解析
高三数学复数选择题专项训练知识点及练习题及解析一、复数选择题1．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B解析：B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B2．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2答案：C【分析】根据复数的几何意义得．【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴，∴．故选：C ．解析：C【分析】根据复数的几何意义得,a b ．【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．3．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ）A ．97- B ．7 C ．97 D ．7-答案：B【分析】先求出，再解不等式组即得解.【详解】依题意，，因为复数为纯虚数，故，解得.故选：B【点睛】易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.解析：B【分析】 先求出321795858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=⎧⎨+≠⎩即得解. 【详解】 依题意，()()()()3373321793737375858m i i m i m m z i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 为纯虚数，故3210790m m -=⎧⎨+≠⎩，解得7m =. 故选：B【点睛】易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.4．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ）A ．－1B ．1C ．－iD ．i答案：B【分析】，然后算出即可.【详解】由题意，则复数的虚部为1故选：B【分析】1i z i-+=，然后算出即可. 【详解】 由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B5．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上A ．直线12y x =-B ．直线12y x =C ．直线12x =-D ．直线12y 答案：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】 解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 6．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ）A B ．3 C ．5 D ．答案：A根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得【详解】由复数为纯虚数，则，解得则 ，所以，所以故选：A解析：A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a +【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a i i a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a +=故选：A7．设()2211z i i =+++，则||z =（ ） AB ．1C ．2 D答案：D【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解．【详解】因为，所以，则．故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ．【详解】 因为()()()()2221211211211111i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z =故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．8．若复数1211i z i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限故选：B解析：B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】()()12i 1i 12i 33i 33i 111i 2222z +++-+=-=-==-+-， 所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限 故选：B9．若复数z 满足()322i z i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35 B ．35i - C ．35 D ．35i 答案：A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得，其虚部为，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z i i i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A. 10．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2 C ．10 D 答案：D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为，所以，，所以，故选:D.解析：D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-==故选:D.11．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ） A ．22z += B ．22z i += C ．24z += D ．24z i += 答案：B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．因为复数对应的点为，所以，满足则故选：B解析：B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B12．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ）A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i -答案：D【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数.【详解】∴，故选：D解析：D【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z .【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+ ∴43z i =-，故选：D13．212ii +=-（ ）A ．1B ．−1C ．i -D ．i 答案：D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】，故选：D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i i i i i i i +++++====--+-， 故选：D14．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i答案：C【分析】求出，即可得出，求出虚部.【详解】，，其虚部是1.故选：C.解析：C【分析】求出z ，即可得出z ，求出虚部.【详解】()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1. 故选：C.15．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B【分析】先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数，由得，所以，解得，因为时，不能满足，舍去；故，所以，其对应的解析：B先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈， 由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得31x y ⎧=±⎪⎨⎪=⎩，因为1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩z i =+，其对应的点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限， 故选：B.二、复数多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限答案：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 答案：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD18．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 答案：ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.19．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20z B ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y = D．z =答案：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D选项，z =D 选项正确.故选：CD.本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.20．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 答案：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.21．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点答案：BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.22．已知复数122,2z i z i =-=则（ ）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =答案：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.23．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2 答案：ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围24．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．25．已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件答案：BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.26．若复数351i z i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 答案：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正 解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.27．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 答案：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.28．复数z 满足233232i z i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =答案：AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.29．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 答案：CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数答案：BD选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
高三数学复数概念和向量表示试题
高三数学复数概念和向量表示试题1.如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图可知：，，，则.故选A【考点】复数的除法运算与复数模的概念.2.设a为实数，若复数 (1＋2i)(1＋ai) 是纯虚数，则a的值是 .【答案】【解析】因为是纯虚数，所以解得【考点】纯虚数概念3.对任意复数、，定义，其中是的共轭复数.对任意复数、、，有如下四个命题：①；②；③；④.则真命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于命题①，，命题①正确；对于命题②，，命题②正确；对于命题③，左边，右边，左边右边，命题③错误；对于命题④，取，，则，，命题④错误.故选B.【考点】本题考查复数中的新定义运算，考查复数的概念，属于中等偏难题.4.是的共轭复数. 若，（为虚数单位），则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则由得：，由得：，所以选D.【考点】共轭复数5.已知复数z满足(1＋i)z＝3＋i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】解法一：由(1＋i)z＝3＋i可得z＝＝＝＝2－i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(2，－1)，显然该点在第四象限，故选D.解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入方程得(1＋i)(a＋bi) ＝3＋i，即(a－b)＋(a＋b)i＝3＋i，根据复数相等的充要条件可得，，解得，故复数z在复平面内对应的点的坐标为(2，－1)，显然该点在第四象限，故选D.6.若，则复数的模是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，解得：故选【考点】复数的运算.7. (2013·江西高考)复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由题意得z=1-2i,对应点为(1,-2),故选D.8.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，所以其对应点为，位于第四象限.选D.【考点】复数的几何意义，复数的四则运算.9.如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．A B．BC．C D．D【答案】B【解析】因为x＋yi的共轭复数是x－yi，故选B.10.已知x，y∈R，i为虚数单位．若＝1－yi，则x＋yi＝()A．2＋i B．1＋2i C．1－2i D．2－i【答案】A【解析】由＝1－yi，得－i＝1－yi，所以x＝2，y＝＝1，x＋yi＝2＋i.11.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的向量正确的是( )【答案】A【解析】由图可知，所以，则复数z+1所对应的向量的坐标为。
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一、复数选择题1．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．z 的实部是1B ．z 的虚部是1C ．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ⋅+的模长为（ ）A ．6BC ．5D 3．已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <-B ．1a >或2a <-C ．12a -<<D ．21a -<< 4．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．设复数2i 1i z =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（ ） A ．1-B ．i -C ．1D ．i 8．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ）A B C ．3 D ．59．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅虚部等于（ ）． A ．1-B ．3C ．3iD ．i - 10．若()()324z ii =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．（ ）A ．i -B ．iC ．iD ．i -13．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．814．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，则z i =（ ） A ．1i -B ．1i --C ．1i -+D ．1i +15．题目文件丢失！二、多选题16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=17．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =18．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =19．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点 20．下面是关于复数21i z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z = B ．22z i = C ．z 的共轭复数为1i + D ．z 的虚部为1-21．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 22．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 23．已知i 为虚数单位，复数322i z i +=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限24．下列结论正确的是（ ）A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥25．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>26．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z27．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数28．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根29．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项.【详解】，，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误；，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误.故选：C.解析：C【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项.【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正； 2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.2．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】，，所以，，故选：C.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】2z i =-，(12)(2)(12)43z i i i i ∴⋅+=-+=+，所以，5z =，故选：C.3．A【分析】根据虚数不能比较大小可得，再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为，，所以，，所以或.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得是解题关键，属于基础题.解析：A【分析】根据虚数不能比较大小可得a b =，再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为,a b ∈R ，2()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->，所以2a >或1a <-.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得a b =是解题关键，属于基础题. 4．A【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i∵复数Z 的实部2＞0，虚解析：A【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i∵复数Z 的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，是解答本题的关键．5．A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，故选：A解析：A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A6．D【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限.故选：D解析：D【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点【详解】 因为211i z i i ==++，所以1z i -=-，z 在复平面内对应点()1,1-，位于第四象限. 故选：D7．C【分析】求出，即可得出，求出虚部.【详解】，，其虚部是1.故选：C.解析：C【分析】求出z，即可得出z，求出虚部.【详解】()()()220211i1ii1i1i1iz--===-++-，iz∴=，其虚部是1.故选：C.8．B【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a的值，最后代入模的公式求模.【详解】由复数（）为纯虚数，则，则所以故选：B解析：B【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a的值，最后代入模的公式求模.【详解】由()()()()()()21i2221112a i a a ia ii i i----+-==++-复数2i1ia-+（a∈R）为纯虚数，则2222aa-⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，则2a=所以112ai i-=-=故选：B9．B【分析】化简，利用定义可得的虚部．【详解】则的虚部等于故选：B解析：B【分析】化简12z z ⋅，利用定义可得12z z ⋅的虚部．【详解】()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3故选：B10．D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ．解析：D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限．故选：D ． 11．D【分析】先对化简，从而可求出共轭复数，再利用复数的几何意义可得答案【详解】解：因为，所以，所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D解析：D【分析】 先对41i z i=+化简，从而可求出共轭复数z ，再利用复数的几何意义可得答案 【详解】解：因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-， 所以22z i =-， 所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D12．B【分析】首先，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】复数.故选：B解析：B【分析】首先3i i =-，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】3133i i i +====. 故选：B 13．D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】，故 则故选：D解析：D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+= 故选：D14．A【分析】根据复数对应的点的坐标是，得到,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是，所以,所以,故选：A解析：A【分析】根据复数z 对应的点的坐标是(1,1)，得到1z i =+,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，所以1z i =+, 所以11i i i z i+==-, 故选：A 15．无二、多选题16．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC18．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 19．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.20．BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A 错误；，B 正确；z 的共轭复数为，C 错误；z 的虚部为，D 正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】 把21iz =-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】 解：22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确；z 的共轭复数为1i -+，C 错误；z 的虚部为1-，D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.22．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.23．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.24．ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 25．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以122ω=--，∴213142422ωω=--=--=，故A 正确，32111312244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，2111102222ωω++=---++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．26．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 27．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.28．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题. 29．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。