用变分法求解最优控制问题

5.2 无约束条件的泛函极值问题
5.2.1 泛函的自变量函数为标量函数的情况
为简单起见，先讨论自变量函数为标量函数
（一维）的情况。我们要寻求极值曲线
，
使下面的性能泛函取极值
（5-1）
为此，让自变量函数 、 在极值曲线 、 附 近发生微小变分 、 ，即
于是泛函J 的增量 可计算如下（以下将*号省去）
；
时的极值轨迹为
。
容易验证
时，
，对应局部极大。
对应局部极小；时，
5.3 有约束条件的泛函极值 ——动态系统的最优控制问题
前面讨论泛函极值问题时，对极值轨迹 没有附 加任何约束条件。但在动态系统最优控制问题中， 极值轨迹必须满足系统的状态方程，也就是要受到 状态方程的约束。考虑下列系统
（5-13）
式中， 为 维状态向量， 为 维控制向量（这 里假定 不受限制.
否则不能用变分法求解，而要用极小值原理或动态
规划法求解）
是n维连续可微的向量函
数。性能指标如下：
（5-14）
这是综合指标。我们要求出最优控制 和满足状 态方程的极值轨迹 ，使性能指标取极值。
在下面的讨论中，假定初始时刻 和初始状态 是给定的，终端则可能有几种情况。我们
将就几种常见的情况来讨论，即 给定， 自 由和 自由, 属于一个约束集。
这里 是实数， 和 是函数空间中的函数。
4、自变量函数的变分：自变量函数 的变分 是指同属于函数类 中两个函数 、 之差
这里, t 看作为参数。当 可用图5-1来表示。
为一维函数时，
图5-1自变量函数的变分
5、泛函的变分：当自变量函数 有变分 时， 泛函的增量为
这里， ，则称 主部。
是 的线性泛函，若
上式中
是高阶项。
（泰勒级数展开）
根据定义，泛函的变分 是 的线性 主部，即
对上式第二项作分部积分，按公式
可得
（5-2）
J取极值的必要条件是 等于零。因 是 任意的，要使（5-2）中第一项（积分项）为 零，必有
（5-3）
上式称为欧拉——拉格朗日方程。
（5-2）式中第二项为零的条件要分两种情况来讨论：
（5-17）
于是有约束条件的泛函 的极值问题化为无约 束条件的增广泛函 的极值问题。 再引入一个标量函数
（5-18）
它称为哈密顿（Hamilton）函数，在最优控制中 起着重要的作用
于是 可写成 对上式积分号内第二项作分部积分后可得 （5-19）
设 、 相对于最优值 别为 和
、 的变分分
因为 自由，故还要考虑变分
。
下面来计算由这些变分引起的泛函 的变分 。
计算增量 ，然后用 泰勒级数 展开到一 阶项即可 得到
为极小的必要条件是：对任意的 、 、 ，变分 等于零。由（5-18）及（5-20 ）可得下面的一组关系式
（协态方程） （状态方程） （横截条件） （控制方程）
（5-21） （5-22） （5-24） （5-23）
时，有
是泛函 的变分。 是 的线性
6、泛函的极值：若存在 ，对满足的
一切X，
具有同一符号，则
称在
处有极值。
定理： 在
处有极值的必要条件是对
于所有容许的增量函数 （自变量的变分），
泛函 在 处的变分为零
为了判别是极大还是极小，要计算二阶变分 。但在实际问题中根据问题的性质容易判别
是极大还是极小，故一般不计算 。
1、 固定端点的情况
这时
，它们不发生变化，所
以
。而（5-2）中第二项可写成
（5-4）
当
时，（5-4）式自然为零。
2、自由端点的情况
这时 和 可以发生化，
，
而且可以独立地变化。于是要使（5-2）中第二项
为零，由（wenku.baidu.com-4）式可得
（5-5）
（5-6）
因为这里讨论 是标量函数的情况， 和 也是标量，且是任意的，故（5-5）、（5-6）可化 为
式中
(5-9)
(5-10)
泛函变分由（5-2）式改为 向量欧拉——拉格朗日方程为 式中
(5-11)
横截条件为（自由端点情况）
（分以下
和
两种情况：）
例5-1 求通过点（0，0）及（1，1）且使 取极值的轨迹 。
解 这是固定端点问题，相应的欧拉——拉格朗日方 程为
即
它的通解形式为 式中：
Sht—双曲正弦函数 Cht—双曲余弦函数
5.1 变分法基础回顾
相关的定义： 1、泛函： 如果对某一类函数 中的每一个函数 ，有一个实数值 与之相对应，则称 为依赖于函数 的泛函，记为
简单来说，泛函是以函数为自变量的函数。
2、泛函的连续性：若对任给的
当
时，就有
，存在
则称 在 处是连续的。
3、线性泛函：满足下面条件的泛函称为线性泛函
齐次性： 叠加性：
5.3.1 终端时刻 给定，终端状态 自由
将状态方程（5-13）写成等式约束方程的形式 （5-15）
与有约束条件的函数极值情况类似，引入待定的n 维拉格朗日乘子向量函数
（5-16）
与以前不同的是，在动态问题中拉格朗日乘子 向量 是时间函数。
在最优控制中经常将 称为伴随变量，协态（协状 态向量）或共轭状态。引入 后可作出下面的增 广泛函
（5-21）~（5-24）即为 取极值的必要条件， 由此即可求得最优值 ， ， 。
（5-22）式即为状态方程，这可由 的定义式 （5-18）看出，实 际解题时无需求 ，只要直接用 状态方程即可，这里为形式上对称而写成（5-22） 式。
（5-7）
（5-8）
（5-7）、（5-8）称为横截条件。
当边界条件全部给定（即固定端点）时，不需
要这些横截条件。当
给定时，不要（5-8
）。当
给定时，不要（5-7）。
5.2.2 泛函的自变量函数为向量函数的情况
现在，将上面对 是标量函数时所得到的公式推 广到 是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
用变分法求解最优控制问题
本章主要内容
➢ 5.1 变分法基础 ➢ 5.2 无约束条件的泛函极值问题 ➢ 5.3 有约束条件的泛函极值——动态系
统的最优控 制问题 ➢ 5.4 小结
在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个 泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极 值问题的有力工具是变分法。所以下面再次列出变 分法中的一些主要结果，可对照微分学中的结果来 理解，以加深印象及理解。
由初始条件
，可得A=0。
再由终端条 件
，可得
，
因而极值轨迹为
例5-2 求使指标
取极值的轨迹 没有限制。
，并要求
，但对
解 这是终端自由的情况。欧拉—拉格朗日方程为
即 于是
常数 是常数， 则是时间的线性函数，令
由
可得
，又终端是自由的，由式
（5-7）可得横截条件为
即
由上式解得 或
。 时的极值轨迹
为