二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题

〖知识要点〗

一．求面积常用方法：

1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）

2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方

3. 利用同底或同高三角形面积的关系

4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二．

常见图形及公式

抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0)

抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱=a ∆ 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442-）

抛物线与y 轴交点（0，c ）

“歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 21=

∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

〖基础习题〗

1、若抛物线y=-x 2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ，

△ABC 的面积为 .

2、若抛物线y=x 2

+ 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________.

3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ．

〖典型例题〗

面积最大问题

B 铅垂高

水平宽

h 图1 C B

A O y x D

B A O y x

P

1、二次函数c bx ax y ++=2

的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式；

（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标

（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标

(4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ∆∆=

2

1，求P 点坐标。

同高情况下，面积比=底边之比

2．已知：如图，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点B 、C ，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．

（1）求B 、C 两点的坐标和抛物线的解析式；

（2）若点P 在直线BC 上，且，求点P 的坐标．

3．已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半

4．阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我

们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S

△ABC

=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）

（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；

（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB

的铅垂高CD及S

△CAB

；

（3）在第一象限内抛物线上求一点P，使S

△PAB =S

△CAB

．

法一：同底情况下，面积相等转化成平行线

法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等

变式一：如图2，点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA ，PB ，是否存在一点P ，使S △PAB =S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

变式二：抛物线上是否存在一点P ，使S △PAB =S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明

点动+面积

5．如图1，已知△ABC 中，AB=10cm ，AC=8cm ，BC=6cm ，如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s ，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t ≤4）．解答下列问题：

（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ．

（2）是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

形动+面积

6．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；

（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？