2019中考二次函数压轴题专题分类训练
2019全国中考数学压轴题二次函数压轴题(新颖题型)
最值问题定角对定边（弦）模型1．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）∴解得：∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3（2）在y轴上存在点P，使得△P AM为直角三角形．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴顶点M（1，4）∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20设点P坐标为（0，p）∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2①若∠P AM＝90°，则AM2+AP2＝MP2∴20+9+p2＝17﹣8p+p2解得：p＝﹣∴P（0，﹣）②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2∴9+p2+17﹣8p+p2＝20解得：p1＝1，p2＝3∴P（0，1）或（0，3）③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2∴20+17﹣8p+p2＝9+p2解得：p＝∴P（0，）综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△P AM为直角三角形．（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H∵DG⊥x轴于点G∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°∴四边形IEGH是矩形∵点I为△ADG的内心∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG∴矩形IEGH是正方形设点I坐标为（m，n）∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m∵DA＝OA＝3∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m∴DG＝DH+HG＝m+n∵DG2+AG2＝DA2∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0配方得：（m﹣）2+（n+）2＝∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动∴当点I在线段CQ上时，CI最小∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为．求面积最值有新意1．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x 轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠P AE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，此时，即：，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k﹣2，将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：k＝0或（舍去0），则点P（，）；（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴，∴S△PDF＝•S△BOC，而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝．定值问题1.（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为36；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，∴正方形面积为36；有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y Q＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，当m＝﹣1，y Q最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），当m＜﹣1时，y Q随m的增大而增大，当m＝﹣2时，y Q最小＝3，当m＞﹣1时，y Q随m的增大而减小，当m＝4时，y Q最小＝﹣21，∴3＞﹣21，∴y Q最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）；②当双曲线y＝经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，∴N（4，1），∵顶点P（m，n）在边BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴＝﹣，∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，点F在点N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1）＝，∴＝；③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴y M＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），即y M＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），∵a＞0，∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，y M最小＝﹣2，当m＝﹣2或4时，y M最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵点E在边AB上，且此时不与B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2），∵点F在边CD上，且此时不与C重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，解得0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；2.（2019•泰州）已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．①求m，k的值；②直接写出当y1＞y2时x的范围；（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），则BD＝2+n﹣m，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2则BD＝BC或BD＝DC，即：2+n﹣m＝m﹣n，或m﹣（2+n）＝2即：m﹣n＝1或4；②点E的横坐标为：，d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1．存在性问题锐角三角形存在性1．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．D为顶点，直线AC交对称轴于点E，直线BE 交y轴于点F，AC：CE＝2：1．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即∵a＞0，∴b＜0；（2）①过点D作DM⊥Oy，则，∴，设A（﹣2m，0）m＞0，则AO＝2m，DM＝m∵OC＝4，∴CM＝2，∴D（m，﹣6），B（4m，0），则，∴OE＝8，S△BEF＝×4×4m＝8，∴m＝1，∴A（﹣2，0），B（4，0），设y＝a（x+2）（x﹣4），即y＝ax2﹣2ax﹣8a，令x＝0，则y＝﹣8a，∴C（0，﹣8a），∴﹣8a＝﹣4，a＝，∴；②由①知B（4m，0）C（0，﹣4）D（m，﹣6），则∠CBD一定为锐角，CB2＝16m2+16，CD2＝m2+4，DB2＝9m2+36，当∠CDB为锐角时，CD2+DB2＞CB2，m2+4+9m2+36＞16m2+16，解得﹣2＜m＜2；当∠BCD为锐角时，CD2+CB2＞DB2，m2+4+16m2+16＞9m2+36，解得，综上：，；故：．相似存在唯一性（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是（2，9）；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n＝时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围＜n＜．解：（1）顶点为D（2，9）；故答案为（2，9）；（2）对称轴x＝2，∴C（2，），由已知可求A（﹣，0），点A关于x＝2对称点为（，0），则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13，∴B（5，3），①当n＝时，N（2，），∴DA＝，DN＝，CD＝当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，∵△DAC∽△DPN，∴，∴DP＝9；当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，∴△DNQ∽△DCA，∴，∴DP＝9；综上所述，DN＝9；②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝3，∴，∴DN＝，∴N（2，），∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜；故答案为＜n＜；动点产生的图形存在性1.（2019·邵阳）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式，（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A．B两点，过A．B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值，（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P 向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值，若不能，请说明理由．解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x．（2）当y＝m时，﹣x2+x＝m，解得：x1＝4﹣，x2＝4+，∴点A的坐标为（4﹣，m），点B的坐标为（4+，m），∴点D的坐标为（4﹣，0），点C的坐标为（4+，0）．∵矩形ABCD为正方形，∴4+﹣（4﹣）＝m，解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4．∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．（3）以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．当x＝2+t时，y＝﹣x2+x＝﹣t2+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，∴点E的坐标为（2+t，﹣t2+t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．∵以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF，∴AQ＝EF，分三种情况考虑：①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴t＝﹣t2+t，解得：t1＝0（舍去），t2＝4，②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴8﹣t＝﹣t2+t，解得：t3＝4（舍去），t4＝6，③当7＜t≤8时，如图3所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣t，∴8﹣t＝t2﹣t，解得：t5＝2﹣2（舍去），t6＝2+2．综上所述：当以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4，6或2+2．．已知角平分线的相关计算1.（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．解：（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3），将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，解得，x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣x2﹣x+2，得x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x＝﹣，此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，∴△PSC∽△RTC，∴，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），所以有，整理得，x1+x2＝4，在Rt△PRH中，tan∠PRH＝＝过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，），若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH，所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，所以2m ＝， 解得，m ＝， 所以点Q 坐标为（，﹣7+）或（，﹣7﹣）．2.（19-20长郡期末25题）如图1，抛物线2: 2W y ax =-的顶点为点A ，与x 轴的负半轴交于点D ，直线AB 交抛物线W 于另一点C ，点B 的坐标为()1,0．（1）求直线AB 的解析式；（2）过点C 作CE x ⊥轴，交x 轴于点E ，若AC 平分DCE ∠，求抛物线W 的解析式； （3）若12a =，将抛物线W 向下平移()0m m >个单位得到抛物线1W ，如图2，记抛物线1W 的顶点为1A ，与x 轴负半轴的交点为1D ，与射线BC 的交点为1C ．问：在平移的过程中，11tan D C B ∠是否恒为定值？若是，请求出11tan D C B ∠的值；若不是，请说明理由．【详解】（1）∵抛物线W ：22y ax =-的顶点为点A ， ∴点2(0)A -，， 设直线AB 解析式为y kx b =+，∵B （1，0），∴20b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得：22k b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为：22y x =-．（2）如图，过点B 作BN CD ⊥于N ，∵AC 平分，DCE BN CD BE CE ∠⊥⊥,,，∴BN BE =，∵90,BND CED BDN CDE ∠=∠=︒∠=∠， ∴BND CED V :V ， ∴BN DB CE CD=， ∴BE DB CE CD =， ∵//AO CE ， ∴12BO BE DB AO CE CD===， 设,BE x BD y ==，则2,2CE x CD y ==， ∵222CD DE CE =+，∴()22244y x y x =++，∴()()530x y x y +-=， ∴53y x =， ∴点()1,2C x x +，点51,03D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴点C ，点D 是抛物线W ：22y ax =-上的点，∴()2221250123x a x a x ⎧=+-⎪⎨⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎩， ∵x ＞0， ∴25113x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 解得：10x =(舍去)，23925x =， ∴2539012325a ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭， ∴2532a =， ∴抛物线解析式为：225232y x =-．（3）11tan D C B ∠恒为定值，理由如下： 如图，过点1C 作1C H x ⊥轴于H ，过点C 作CG x ⊥轴G ，过点B 作BF CD ⊥于点F ， ∵a=12， ∴抛物线W 的解析式为y=12x 2-2， ∵将抛物线W 向下平移m 个单位，得到抛物线1W ， ∴抛物线1W 的解析式为：2122y x m =--， 设点1D 的坐标为()(),00t t <， ∴21022t m =--， ∴2122m t +=， ∴抛物线1W 的解析式为：221122y x t =-， ∵抛物线1W 与射线BC 的交点为1C ， ∴22221122y x y x t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得：11222x t y t =-⎧⎨=-⎩，22222x t y t =-⎧⎨=+⎩(不合题意舍去)， ∴点1C 的坐标()2,22t t --，∴122,2C H t OH t =-=-，∴()11222D H DO OH t t t =+=-+-=-， ∴11C H D H =，且1C H x ⊥轴，1145C D H ∴=o ，∵2122y x =-与x 轴交于点D ， ∴点()2,0D -， ∵22y x =-与2122y x =-交于点C ，点A ， ∴222122y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得：46x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=-⎩，∴点()4,6C ，A （0，-2），∴6,246GC DG OD OG ==+=+=， ∴DG CG =，且CG x ⊥轴， ∴1145GDC C D H ∠=︒=∠， ∴11//C D CD ， ∴11D C B DCB ∠=∠， ∴11tan D C B tan DCB ∠=∠，∵45,,213CDB BF CD BD OD OB ∠=⊥=+=+=o， ∴45FDB FBD ∠=∠=o ，∴,3DF BF DB ===，∴DF BF ==∵点()2,0D -，点()4,6C ， ∴CD ==，∴92CF CD DF =-=， ∴1113BF tan D C B tan DCB CF ∠=∠==， ∴11tan D C B ∠恒为定值．已知面积比的相关计算1.（2019•十堰）已知抛物线y ＝a （x ﹣2）2+c 经过点A （﹣2，0）和C （0，），与x 轴交于另一点B ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点E ，F 分别在线段AB ，BD 上（E 点不与A ，B 重合），且∠DEF ＝∠A ，则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由； （3）若点P 在抛物线上，且＝m ，试确定满足条件的点P 的个数．解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴＝，∴＝＝，∵△AEF∽△BCE∴＝＝，∴EB＝AD＝，答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，∵﹣＜0，∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，∵＝m，∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个，当m＝时，满足条件的点P的个数有3个，当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．2.（2019年湖南省益阳市）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C 两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式，（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由，（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA．PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A．B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．解：（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四边形OMAD＝S△OBM，（3）设点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故点P（4，﹣5），如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，由（2）知：点N是PQ的中点，将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3），同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣，即点Q（﹣，），∵点N是PQ的中点，由中点公式得：点N（，﹣）．3.（2019年湖南省常德市）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式，（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值，（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，∵﹣2＜0，故当x＝﹣＝2，C有最大值，最大值为10，此时x＝2，点N（0，3）与点D重合，（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的，则S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK∥⊥CD于点K，将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，解得：PH＝＝HG，则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，解得：x＝，故点P（，），直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，即点P′、P″的坐标分别为（，）、（，），故点P坐标为：（，）或（，）或（，）．4.（2019年湖南省湘西州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式，（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值，（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由，（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8∴抛物线对称轴为直线x＝4∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）∴y C＝y D＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴x C＝4+（4﹣x D）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上∴M'（6，4），FM＝FM'∵N为CD中点∴N（4，﹣6）∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝＝2+10＝12∴四边形MNGF周长最小值为12．（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．过点P作PE∥y轴交直线OD于点E∵D（2，﹣6）∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧∴PE＝y E﹣y P＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE•x P+PE•（x D﹣x P）＝PE（x P+x D﹣x P）＝PE•x D＝PE＝﹣t2+t ∵△ODP中OD边上的高h＝，∴S△ODP＝OD•h∴﹣t2+t＝×2×方程无解②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝y P﹣y E＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE•x P﹣PE•（x P﹣x D）＝PE（x P﹣x P+x D）＝PE•x D＝PE＝t2﹣t∴t2﹣t＝×2×解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6∴P（6，﹣6）综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L∵KL平分矩形ABCD的面积∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4∴K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点H∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥LC∴△AHK∽△CHL∴∴AH＝CH，即点H为AC中点∴H（4，﹣3）也是KL中点∴∴m＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度．4．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y ＝x2；（2）y＝（x﹣1）2﹣4与x轴正半轴的交点A（3，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴y＝﹣x+4，y＝﹣x+4与y＝（x﹣1）2﹣4的交点为﹣x+4＝（x﹣1）2﹣4的解，∴x＝3或x＝﹣，∴B（﹣，），设P（t，﹣t+4），且﹣＜t＜3，∵PQ∥y轴，∴Q（t，t2﹣2t﹣3），①当AP＝AQ时，|4﹣t|＝|t2﹣2t﹣3|，则有﹣4+t＝t2﹣2t﹣3，∴t＝，∴P点横坐标为；②当AP＝PQ时，PQ＝﹣t2+t+7，P A＝（3﹣t），∴﹣t2+t+7＝（3﹣t），∴t＝﹣；∴P点横坐标为﹣；（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2；含参数二次函数分类讨论1．（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y ＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，∴a≤且a≠0；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；2.（2019•长沙）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值，（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围，（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好≤≤，求m，n的值．解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1．∴．∴b＝6，c＝2019．（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得：．∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0．∴c＝2x02+2020，∴c＞2020，（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．∴y≤1．∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好≤≤，∴≤．∴．∴≤1，即m≥1．∴1≤m＜n．∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小．∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．又，∴．将①整理，得2n3﹣4n2+n+1＝0，变形，得2n2（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0．∴（n﹣1）（2n2﹣2n﹣1）＝0．∵n＞1，∴2n2﹣2n﹣1＝0．解得n1＝（舍去），n2＝．同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0．∵1≤m＜n，∴2m2﹣2m﹣1＝0．解得m1＝1，m2＝（舍去），m3＝（舍去）．综上所述，m＝1，n＝．3.（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m＝﹣，n＝，∴n＝，∴n＝2b﹣m2，（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0≤b≤8，∴﹣4≤x＝﹣≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4≤b≤8，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；求抛物线解析式1.（2019·怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标,（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值,②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形,③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3，即点A．B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，点P（1，4）,（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，同理：y1y2＝9﹣4k2，①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，|x2﹣x1|＝，解得：k＝±2,②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，为：k1k2＝＝＝﹣1，故PM⊥PN，即：△PMN恒为直角三角形,③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，设点H坐标为（x，y），则x＝＝1﹣k，y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），整理得：y＝﹣2x2+4x+1，即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．2.（2019·株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标，②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）②证明：当y＝x时，x2﹣2x﹣1＝x整理得：x2﹣3x﹣1＝0∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根即二次函数y＝x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”．（2）把b＝c3代入二次函数得：y＝ax2+c3x+c∵二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0）即x1、x2为方程ax2+c3x+c＝0的两个不相等实数根∴x1+x2＝﹣，x1x2＝∵当x＝0时，y＝ax2+c3x+c＝c∴C（0，c）∵E（1，0）∴CE＝，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1∵DF⊥y轴，OC＝OD∴DF∥x轴∴∴EF＝CE＝，CF＝2∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB∴△AEF∽△CEB∴，即AE•BE＝CE•EF∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2展开得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x11+c2＝﹣﹣1﹣c3+2ac2+2c+4a＝0c2（c+2a）+2（c+2a）＝0（c2+2）（c+2a）＝0∵c2+2＞0∴c+2a＝0，即c＝﹣2a∴x1+x2＝﹣＝4a2，x1x2＝＝﹣2，CF＝2＝2∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8∴AB＝x2﹣x1＝∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P∴△PFC∽△PBA∴∴解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去）∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝c3＝﹣4∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣23．（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0），线段AC的长为2，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4．（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4，令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），则AC＝2，故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2、y＝x2﹣x﹣4；（2）①当BC是平行四边形的一条边时，如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，设：点P（n，n2﹣n﹣4），点Q（m，0），则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，即：n+4＝m，n2﹣n﹣4+4＝0，解得：m＝4或6（舍去4），即点Q（6，0）；②当BC是平行四边形的对角线时，设点P（m，n）、点Q（s，0），其中n＝m2﹣m﹣4，由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4，解得：s＝2或4（舍去4），故点Q（2，0）；故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）；（3）如图2，过点P作PH∥x轴交BC于点H，∵GP∥y轴，∴∠HEP＝∠ACB，∵PH∥x轴，∴∠PHO＝∠AOC，∴△EPH∽△CAO，∴，即：，则EP＝PH，设点P（t，y P），点H（x H，y P），则t2﹣t﹣4＝x H﹣4，则x H＝t2﹣t，f＝PH＝[t﹣（t2﹣t）]＝﹣（t2﹣4t），当t＝m时，f1＝（m2﹣4m），当t＝4﹣m时，f2＝﹣（m2﹣2m），则f1﹣f2＝﹣m（m﹣），则0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0，f1＞f2．。
最新中考数学压轴题专项训练：二次函数(有答案)
2019年中考数学压轴题专项训练：二次函数1．如图，已知抛物线y ＝x 2﹣x ﹣n （n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．（1）若AB ＝4，求n 的值；（2）如图，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（3）如图，在（2）的条件下，若点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，是否存在以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求P 点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当y ＝0时， x 2﹣x ﹣n ＝0，解得：x 1＝，x 2＝，∴点A 的坐标为（，0），点B 的坐标为（，0）．∵AB ＝4，∴﹣＝4， 整理，得：9+8n ＝16，解得：n ＝．（2）当x ＝0时，y ＝x 2﹣x ﹣n ＝﹣n ，∴点C 的坐标为（0，﹣n ）．∵△ABC 为直角三角形，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO +∠BCO ＝90°，∠CBO +∠BCO ＝90°，∴∠ACO ＝∠CBO ．又∵∠AOC ＝∠COB ＝90°，∴△AOC ∽△COB ，∴＝，∴OA •OB ＝OC 2，即﹣•＝n 2， 整理，得：n 2﹣2n ＝0，解得：n 1＝0（舍去），n 2＝2．（3）由（2）可知，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x ＝．设点P 的坐标为（m ， m 2﹣m ﹣2），分两种情况考虑，如图2所示：①若BC 为边，当四边形BCP 1Q 1为平行四边形时，﹣m ＝4﹣0，解得：m ＝﹣，∴点P 1的坐标为（﹣，）；当四边形BCQ 2P 2为平行四边形时，m ﹣＝4﹣0，解得：m ＝，∴点P 2的坐标为（，）．②若BC 为对角线，设BC ，P 3Q 3的交点为M ，∵点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，﹣2），∴点M 的坐标为（2，﹣1），∴+m ＝2×2，解得：m ＝，∴点P 3的坐标为（，﹣）．综上所述：存在以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为（﹣，），（，）或（，﹣）．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）交直线y＝kx+n（k＞0）于A（1，1），B两点，交y轴于点C，直线AB交y轴于点D．已知该抛物线的对称轴为直线x＝．（1）求a，b的值；（2）记直线AB与抛物线的对称轴的交点为E，连结CE，CB．若△CEB的面积为，求k，n的值．解：（1）由题意，得，解得，故所求a 的值为1，b 的值为﹣5；（2）如图，设点B （m ，m 2﹣5m +5），过A 作AG ⊥y 轴于G ，过B 作BF ⊥x 轴于F ，延长GA 交BF 于H ．∵DG ∥BF ，∴＝，即＝，∴DG ＝m ﹣4，∴CD ＝m ．∵S △CEB ＝S △CDB ﹣S △CDE ，∴m 2﹣m ×＝，解得m 1＝﹣（舍去），m 2＝6．把A （1，1），B （6，11）代入y ＝kx +n ，得，解得．故所求k 的值为2，n 的值为﹣1．3．如图，已知直线＝﹣2x +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 相交于A ，B 两点，且点A （1，4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求m 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是x轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标．解：（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m得：4＝﹣2+m，解得：m＝6；（2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（3）①当∠ABP＝90°时，直线AB的表达式为：y＝﹣2x+6，则直线PB的表达式中的k值为，设直线PB的表达式为：y＝x+b，将点B的坐标代入上式得：0＝3+b，解得：b＝﹣，即直线PB的表达式为：y＝x﹣，当x＝1时，y＝﹣1，即点P（1，﹣1）；②当∠AP（P′）B＝90°时，点P′（1，0）；故点P的坐标为（1，﹣1）或（1，0）．4．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，2），它的顶点为D（1，m）且tan∠COD＝（1）求m的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．若点A是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标．解：（1）顶点为D（1，m），且tan∠COD＝，则m＝3，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+3，即：a+3＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；（2）设：抛物线向上平移n个单位，则函数表达式为：y＝﹣x2+2x+2+n，令y＝0，则x＝1+，令x＝0，则y＝2+n，∵OA＝OB，∴1+＝2+n，解得：n＝1或﹣2（舍去﹣2），则点A的坐标为（3，0），故点E（3，﹣1）．5．如图，抛物线y＝ax2﹣bx+3交x轴于B（1，0），C（3，0）两点，交y轴于A点，连接AB，点P为抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P到直线AB的距离为时，求点P的横坐标；（3）当△ACP和△ABC的面积相等时，请直接写出点P的坐标．解：（1）用交点式抛物线表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…①，则点A（0，3）；（2）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HG∥x轴交过点P平行于y轴的直线于点G，则∠ABO＝∠HPG＝α，在△AOB中，tan ABO＝＝3＝tanα，设PG＝n，则HG＝3n，PH＝，即：n2+9n2＝（）2，解得：n＝，则直线直线AB的表达式为：y＝﹣3x+3，设点H（m，3﹣3m），则点P（m+，﹣3m），将点P坐标代入①式并整理得：3m2+11m﹣14＝0，解得：m＝1或﹣，故点P的横坐标为：或﹣；（3）参考（2）作△P′G′H′，过点O作OM⊥AC于点M，∵△AC P和△ABC的面积相等，∴P′H′＝OM，∵OA＝OB，∴∠ACO＝45°，∴OM＝，即：P′H′＝OM＝，按照（2）的方法，同理可得：点P′的坐标为（，）或（，）．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣﹣x+2与x轴交于B、C两点，与y 轴交于点A，抛物线的顶点为D．连接AB，点E是第二象限内的抛物线上的一动点，过点E作EP⊥BC于点P，交线段AB于点F．（1）连接EA、EB，取线段AC的中点Q，当△EAB面积最大时，在x轴上找一点R使得|RE 一RQ|值最大，请求出R点的坐标及|RE﹣RQ|的最大值；（2）如图2，在（1）的条件下，将△PED绕E点旋转得△ED′P′，当△AP′P是以AP 为直角边的直角三角形时，求点P′的坐标．解：（1）∵y ＝0时，﹣x 2﹣x +2＝0，解得：x 1＝﹣3，x 2＝1 ∴B （﹣3，0），C （1，0）∵x ＝0时，y ＝2，∴A （0，2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b∴ 解得：∴直线AB 的解析式为：y ＝x +2设点E （e ，﹣e 2﹣e +2），则点F （e ， e +2）∴EF ＝﹣e 2﹣e +2﹣（e +2）＝﹣e 2﹣2e∴S △EAB ＝OB •EF ＝×3•（﹣e 2﹣2e ）＝﹣e 2﹣3e ＝﹣（e +）2+ ∵﹣3＜e ＜0∴当e ＝﹣时，△EAB 的面积最大，∴﹣e 2﹣e +2＝∴此时点E 坐标为（，）如图1，连接并延长EQ ，交x 轴于点R ，则此时|RE ﹣RQ |＝EQ 值最大 ∵Q 是AC 中点∴Q （，1）设直线EQ 解析式为：y ＝ax +c∴ 解得：∴直线EQ 解析式为：y ＝x +当y ＝0时，x +＝0，解得：x ＝∴R （，0）此时|RE ﹣RQ |的最大值EQ ＝（2）设点P '坐标为（m ，n ）∵EP ⊥x 轴，E （，）∴P （，0），EP ＝，AP ＝i ）当∠P 'PA ＝90°时，如图2，过点P '作P 'M ⊥x 轴于点M ， ∴∠P 'MP ＝∠POA ＝90°，∠PP 'M +∠P 'PM ＝∠P 'PM +∠APO ＝90° ∴∠PP 'M ＝∠APO∴△PP 'M ∽△APO∴ 即：整理得：4n +3m ＝①∵EP '＝EP∴（m +）2+（n ﹣）2＝（）2②联立①②解方程组得：（舍去）∴P '（，）ii ）当∠PAP '＝90°时，如图3，过点P '作P 'N ⊥y 轴于点N ，由△P 'AN ∽△APO 得即： 整理得：3m +4n ＝8①∵EP '＝EP∴（m+）2+（n﹣）2＝（）2②联立①②解方程组得：∴P'（，）或（，）综上所述，当△AP′P是以AP为直角边的直角三角形时，点P′的坐标为（，）或（，）或（，）7．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y＝x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，求tan∠BDE的值．（1）解：∵直线y＝x﹣3经过B、C两点，∴B（3，0），C（0，﹣3），∵y＝x2+bx+c经过B、C两点，∴，解得，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）解：如图，过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是直线x＝1，C（0，﹣3）．∴D（2，﹣3）．从而得CD＝OE＝2，DE＝3．∵B（3，0），∴BE＝1．在Rt△DEB中，∠DEB＝90°．∴tan∠BDE＝＝．8．如图，对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（﹣3，0），C 为抛物线与y 轴的交点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC ＝2S △BOC ，求点P 的坐标．解：（1）∵抛物线的对称轴为x ＝﹣1，A 点的坐标为（﹣3，0），∴点B 的坐标为（1，0）． 将点A 和点B 的坐标代入抛物线的解析式得： 解得：b ＝2，c ＝﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3．（2）∵将x ＝0代y ＝x 2+2x ﹣3入，得y ＝﹣3， ∴点C 的坐标为（0，﹣3）． ∴OC ＝3．∵点B 的坐标为（1，0）， ∴OB ＝1．设点P 的坐标为（a ，a 2+2a ﹣3），则点P 到OC 的距离为|a |． ∵S △POC ＝4S △BOC ，∴OC •|a |＝OC •OB ，即×3×|a |＝2××3×1，解得a ＝±2． 当a ＝2时，点P 的坐标为（2，5）； 当a ＝﹣2时，点P 的坐标为（﹣2，﹣3）． ∴点P 的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．9．定义：若抛物线的顶点和与x 轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线． 概念理解：（1）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点．试证明：以点A 为顶点，且与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线； 问题探究：（2）已知一条抛物线经过x 轴的两点E 、F （E 在F 的左边），E （1，0）且EF ＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展：（3）将抛物线y 1＝﹣x 2+2x +9向下平移9个单位后得新的抛物线y 2．抛物线y 2的顶点为P ，与x 轴的两个交点分别为M 、N （M 在N 左侧），把△PMN 沿x 轴正半轴无滑动翻滚，当边PN 与x 轴重合时记为第1次翻滚，当边PM 与x 轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y 2的顶点P 的对应点坐标．解：（1）证明：∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点∴AD ＝BD ＝CD ＝BC∵抛物线以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点 ∴AD ＝AC ∴AD ＝AC ＝CD ∴△ACD 是等边三角形∴以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线．（2）∵E （1，0）且EF ＝2，点F 在x 轴上且E 在F 的左边 ∴F （3，0）∵一条经过x 轴的两点E 、F 的抛物线为正抛物线，设顶点为G ∴△EFG 是等边三角形∴x G ＝，|y G |＝①当G （2，）时，设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）2+把点E （1，0）代入得：a +＝0∴a ＝﹣∴y ＝﹣（x ﹣2）2+②当G （2，﹣）时，设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）2﹣把点E （1，0）代入得：a ﹣＝0∴a ＝∴y ＝（x ﹣2）2﹣综上所述，这条抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣2）2+或y ＝（x ﹣2）2﹣（3）∵抛物线y 1＝﹣x 2+2x +9＝﹣（x ﹣）2+12∴y 1向下平移9个单位后得抛物线y 2＝﹣（x ﹣）2+3∴P （，3），M （0，0），N （2，0）∴PM ＝MN ＝PN ＝2∴△PMN 是等边三角形∴第一次翻滚顶点P 的坐标变为P 1（4，0），第二次翻滚得P 2与P 1相同，第三次翻滚得P 3（7，3）即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n 能被3整除时，点P 纵坐标为3，横坐标为：+n ×2＝（2n +1）∵2019÷3＝673∴（2×2019+1）×＝4039∴当第2019次翻滚后抛物线y 2的顶点P 的对应点坐标为（4039，3）．10．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）经过点B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M ′．将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l ′，当直线l ′与直线AM ′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d 1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．解：（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，∴y＝3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴3＝﹣3a，∴a＝﹣1，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，∴0＝﹣x2+2x+3，∴x＝﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y＝0代入y＝﹣3x+3，∴x＝1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），S＝S四边形OAMB ﹣S△AOB＝S△OBM +S△OAM﹣S△AOB＝×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S取得最大值．（3）由（2）可知：M′的坐标为（，）；②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d1+d2＝BF，此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′＝90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB＝，M′B＝，M′A＝，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG＝x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，∴﹣（﹣x）2＝﹣x2，∴x＝，cos∠M′BG＝＝，∵l1∥l′，∴∠BCA＝90°，∠BAC＝45°；方法二：过B点作BD垂直于l′于D点，过M′点作M′E垂直于l′于E点，则BD＝d1，ME＝d2，∵S△ABM′＝×AC×（d1+d2）当d1+d2取得最大值时，AC应该取得最小值，当AC⊥BM′时取得最小值．根据B（0，3）和M′（，）可得BM′＝，∵S△ABM＝×AC×BM′＝，∴AC＝，当AC⊥BM′时，cos∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝45°．11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交CD轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，∴A（3，0），B（0，﹣3），∵点B关于x轴的对称点是C，∴C（0，3），∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A、点C，∴∴b＝2，c＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）∵A（3，0），C（0，3），平移线段AC，点A的对应为点D，点C的对应点为E，设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6），∵D落在二次函数在第四象限的图象上，∴﹣（m+3）2+2（m+3）+3＝m﹣6，m 1＝1，m2＝﹣6（舍去），∴D（4，﹣5），（3）∵C（0，3），D（4，﹣5），∴解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+3，令y＝0，则x＝，∴M（，0），∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于A（3，0），C（0，3），∴AO＝3，OC＝3，∴∠OAC＝45°，过点P作PF⊥AC，点P作PN⊥OA交AC于点E，连PC，∴△PEF和△AEN都是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），∴PE＝PN﹣EN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴EN＝﹣m+3，AE＝，FE＝，∴CF＝AC﹣AE﹣EF＝，①当△COM∽△PFC，，∴，解得m＝0，舍去，，1②当△COM ∽△CFP 时，，∴，解得m 1＝0（舍去），，综合可得P 点的横坐标为或．12．如图1，将抛物线P 1：y 1＝x 2﹣3右移m 个单位长度得到新抛物线P 2：y 2＝a （x +h ）2+k ，抛物线P 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线P 2与x 轴交于A 1，B 1两点，与y 轴交于点C 1．（1）当m ＝1时，a ＝，h ＝ ﹣1 ，k ＝ ﹣3 ；（2）在（1）的条件下，当y 1＜y 2＜0时，求x 的取值范围；（3）如图2，过点C 1作y 轴的垂线，分别交抛物线P 1，P 2于D 、E 两点，当四边形A 1DEB 是矩形时，求m 的值．解：（1）∵抛物线P 1：y 1＝x 2﹣3右移m 个单位长度得到新抛物线解析式为：y 2＝（x ﹣m ）2﹣3∴y 2＝a （x +h ）2+k ＝（x ﹣m ）2﹣3 又∵m ＝1 ∴h ＝﹣m ＝﹣1故答案为：；﹣1，﹣3（2）∵当y 2＝（x ﹣1）2﹣3＝0时， 解得：x 1＝﹣2，x 2＝4∴由图象可知，当﹣2＜x ＜4时，y 2＜0当y 1＝y 2时， x 2﹣3＝（x ﹣1）2﹣3 解得：x ＝，∴由图象可知，当x ＜时，y 1＜y 2∴当y 1＜y 2＜0时，x 的取值范围是﹣2＜x ＜（3）当y 1＝x 2﹣3＝0时，解得：x ＝±3 ∴A （﹣3，0），OA ＝3 根据平移性质得：AA 1＝DC 1＝m ∵四边形A 1DEB 是矩形 ∴∠A 1DE ＝∠DA 1B ＝90° ∴四边形A 1DC 1O 是矩形 ∴OA 1＝DC 1＝m ∴OA ＝AA 1+OA 1＝2m ＝3∴m ＝13．已知：如图，抛物线的顶点为A （0，2），与x 轴交于B （﹣2，0）、C（2，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点P 是抛物线y 上的一个动点，连接PO 并延长至点Q ，使OQ ＝2OP ．若点Q 正好落在该抛物线上，求点P 的坐标；（3）设点P 是抛物线y 上的一个动点，连接PO 并延长至点Q ，使OQ ＝mOP （m 为常数）；①证明点Q 一定落在抛物线上；②设有一个边长为m +1的正方形（其中m ＞3），它的一组对边垂直于x 轴，另一组对边垂直于y 轴，并且该正方形四个顶点正好落在抛物线和组成的封闭图形上，求线段PQ 被该正方形的两条边截得线段长最大时点Q 的坐标．解：（1）由条件可设抛物线y＝ax2+2，将C（2，0）代入1可得抛物线；（2）如图，作PE⊥x轴，FQ⊥x轴设点P（t，），利用△PEO∽△OFQ可求得点Q（﹣2t，t2﹣4）．把Q（﹣2t，t2﹣4）代入中，得：t2﹣4＝，∴3t2＝6，，∴（3）①证明：设点P（t，），利用相似可求得点Q（﹣mt，）．将x＝﹣mt代入中，得：．∴点Q一定落在抛物线上；②如图所示∵正方形的边长为m+1，由抛物线的对称性可知正方形右边两个顶点横坐标为，将x＝代入抛物线解析式可得两点纵坐标分别为：和，∴﹣＝m+1，解得：．∵m＞3，∴∴正方形右边两个顶点横坐标为＝＝，将x＝代入得：＝，∴正方形右下顶点的纵坐标为﹣（）＝．∴正方形右下顶点的坐标为（，），同理，正方形左下顶点的坐标为（，）．设PQ与y轴所成的角为α，当PQ与正方形上下两边相交时，PQ被正方形上下两边所截线段的长＝，当α增大时，cosα减小，增大，当PQ经过正方形右下顶点时，α最大，PQ被正方形上下两边所截线段最大，此时点Q 与正方形右下或左下顶点重合；当PQ与正方形上右两边（或上左两边）相交时，由图形可知随着α的增大，PQ被正方形上下两边所截线段的长减小，综上所述，当点Q与正方形右下或左下顶点重合时，PQ被正方形上下两边所截线段最长，此时点Q的坐标为（，）或（，）．14．如图，已知二次函数的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为点P．（1）求这个二次函数解析式；（2）设D为x轴上一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；（3）作直线AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，在直线AP上是否存在点N，使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝﹣，故点C坐标为（3，0），点P（1，﹣2）；（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，设：∠DPC＝∠BAC＝α，由题意得：AB＝2，AC＝6，BC＝4，PC＝2，S＝×AC×BH＝×BC×y A，△ABC解得：BH＝2，sinα＝＝＝，则tanα＝，由题意得：GC＝2＝PG，故∠PCB＝45°，延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD＝MC＝x，在△PMD中，tanα＝＝＝，解得：x＝2，则CD＝x＝4，故点P（7，0）；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，直线AP表达式中的k值为：＝﹣2，则直线A′N表达式中的k值为，设直线A′N的表达式为：y＝x+b，将点A′坐标代入上式并求解得：b＝，故直线A′N的表达式为：y＝x+…①，当x＝1时，y＝4，故点M（1，4），同理直线AP的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②两个方程并求解得：x＝﹣，故点N（﹣，）．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x 轴分別交于C、D两点（点C在点D的左侧）．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，连接OM．①求MN的最大值；②当△OMN为直角三角形时，直接写出点M的坐标；（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分別交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝﹣（x +1）2+4，即y ＝﹣x 2﹣2x +3． （2）①设直线OB 对应的函数表达式为y ＝kx （k ≠0）， 将B （﹣2，3）代入y ＝kx ，得：3＝﹣2k ，解得：k ＝﹣，∴直线OB 对应的函数表达式为y ＝﹣x ．联立直线OB 和抛物线的函数表达式成方程组，得：，解得：，．设点M 的坐标为（m ，﹣m 2﹣2m +3）（﹣2＜m ＜），则点N 的坐标为（m 2+m ﹣2，﹣m 2﹣2m +3），∴MN ＝m ﹣（m 2+m ﹣2）＝﹣m 2﹣m +2＝﹣（m +）2+．∵﹣＜0，∴当m ＝﹣时，MN 最大，最大值为．②∵MN ∥x 轴， ∴∠ONM ≠90°，∴分两种情况考虑（如图3所述）： （i ）当∠OMN ＝90°时，线段OM 在y 轴上． ∵当m ＝0时，y ＝﹣m 2﹣2m +3＝3， ∴点M 的坐标为（0，3）； （ii ）当∠MON ＝90°时，OM ⊥OB ， ∵点B 的坐标为（﹣2，3）， ∴点（3，2）在直线OM 上，∴直线OM 对应的函数表达式为y ＝x ．联立直线OM和抛物线的函数表达式成方程组，得：，解得：（不合题意，舍去），，∴点M的坐标为（，）．综上所述：点M的坐标为（0，3）或（，）．（3）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴点C的坐标为（﹣3，0），点D的坐标为（1，0）．设点P的坐标为（n，﹣n2﹣2n+3）（﹣1＜n＜1）．∵点C的坐标为（﹣3，0），点D的坐标为（1，0），∴直线CP对应的函数表达式为y＝（1﹣n）x+3﹣3n，直线DP对应的函数表达式为y＝﹣（n+3）x+n+3（可利用待定系数法求出）．∵点A的坐标为（﹣1，4），AE∥y轴，∴直线AE对应的函数表达式为x＝﹣1．当x＝﹣1时，y＝（1﹣n）x+3﹣3n＝2﹣2n，y＝﹣（n+3）x+n+3＝2n+6，∴点F的坐标为（﹣1，2﹣2n），点G的坐标为（﹣1，2n+6），∴EF＝2﹣2n，EG＝2n+6，∴EF+EG＝8．∴EF+EG的和为定值，该定值为8．16．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，①连接BC 、CD 、BD ，设BD 交直线AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2．求：的最大值；②如图2，是否存在点D ，使得∠DCA ＝2∠BAC ？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）根据题意得A （﹣4，0），C （0，2），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A ．C 两点，∴，∴b ＝﹣，c ＝2，∴y ＝﹣x 2﹣x +2；（2）①如图1，令y ＝0，∴﹣x 2﹣x +2＝0，∴x 1＝﹣4，x 2＝1，∴B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1：S 2＝DE ：BE ＝DM ：BN ，设D （a ，﹣a 2﹣a +2），∴M （a ， a +2），∵B （1.0），∴N （1，），∴S 1：S 2＝DM ：BN ＝（﹣a 2﹣2a ）：＝﹣（a +2）2+；∴当a ＝﹣2时，S 1：S 2的最大值是；②∵A （﹣4，0），B （1，0），C （0，2），∴AC ＝2，BC ＝，AB ＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P （﹣，0），∴PA ＝PC ＝PB ＝，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan （2∠BAC ）＝，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，如图2，∴∠DCA＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，∴∠CDG＝∠BAC，∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，即RC：DR＝，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR＝﹣a，RC＝﹣a2﹣a，∴（﹣a2﹣a）：（﹣a）＝1：2，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣2，∴x D＝﹣2，∴yD＝3，∴点D的坐标为（﹣2，3）．。
二次函数含参数分类讨论综合问题(函数)-全国各地2019中考数学压轴题函数大题题型分类汇编(解析版)
2019全国各地中考数学压轴大题函数综合八、二次函数含参数分类讨论综合问题1.（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+3，∴顶点坐标为（﹣1，2）；（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；2.（2019•杭州）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x1＝0，x2＝1，∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，当x＝时，y＝﹣，∴乙说点的不对；（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，∴mn＝[﹣][﹣]∵0＜x1＜x2＜1，∴0≤﹣≤，0≤﹣≤，∴0＜mn＜．3.（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值．解：（1）令y＝0，则﹣，解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），函数图象的对称轴为直线，∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴，∴n＝1，∴，∴m，n的值分别为，1．4.（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m＝﹣，n＝，∴n＝，∴n＝2b﹣m2，（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0≤b≤8，∴﹣4≤x＝﹣≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4≤b≤8，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；5.（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，∴a≤且a≠0；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；6.（2019•大连）把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．（1）填空：t的值为2m﹣1（用含m的代数式表示）（2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；（3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a），C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1，t＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）a＝﹣1时，C1：y＝﹣（x﹣1）2+4，①当t＜1时，x＝时，有最小值y2＝，x＝t时，有最大值y1＝﹣（t﹣1）2+4，则y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣＝1，无解；②1≤t时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝≠1（舍去）；③当t时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝t时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1，解得：t＝0或2（舍去0），故C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；（3）m＝0，C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，点A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，当C2过点A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝，当C2过点D′时，同理可得：a＝1，故：0＜a或a≥1；当a＜0时，当C2过点D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣，故：a≤﹣；综上，故：0＜a或a≥1或a≤﹣．7.（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．解：（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为（3，0），代入y＝x2+bx+c，得：，解得，所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图所示：由抛物线解析式知C（0，﹣3），则OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，∴OP＝OB tan∠OBP＝3，∴CP＝3；若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，∴OP′＝OB tan∠OBP′＝33，∴CP＝33；综上，CP的长为3或33；（3）若a+1＜1，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1（正值舍去）；若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；若a＞1，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2（负值舍去）；综上，a的值为1或2．8.（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝3﹣1；（Ⅲ）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM ＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b +）﹣（﹣）]＝，∴b＝4．。
2019中考二次函数压轴题专题分类训练(word文档良心出品)
中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．图22.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．3．(2012铜仁)如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．C ED GAxy OB F题型二：构造直角三角形【例2】（2010山东聊城）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．E【变式练习】1．（2012广州）如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．2.（2009成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS∠BCO＝10。
二次函数定值与最值综合问题(函数)-全国各地2019中考数学压轴题函数大题题型分类汇编(解析版)
2019全国各地中考数学压轴大题函数综合七、二次函数定值与最值综合问题1.（2019•黄石）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，点M坐标为（2，﹣3）；（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），S四边形AMBC＝AB（y C﹣y D）＝×6×（9+3）＝36；（3）y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）2﹣3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y＝x2，则定点D与动点P之间距离PD＝＝，∵，PD有最小值，当x2＝3m﹣时，PD最小值d＝＝．2.（2019•张家界）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）；（2）∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AM＝MB＝AB sin45°＝＝AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，∴四边形ADBM为正方形；（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），则S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）；（4）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为．3.（2019•泰州）已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．①求m，k的值；②直接写出当y1＞y2时x的范围；（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m ﹣n的值；②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C 间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），则BD＝2+n﹣m，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2则BD＝BC或BD＝DC，即：2+n﹣m＝m﹣n，或m﹣（2+n）＝2即：m﹣n＝1或4；②点E的横坐标为：，d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1．4.（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）∴解得：∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3（2）①若点P在x轴下方，如图1，延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1∴B（﹣3，0）∵A（1，0），C（0，﹣3）∴OA＝1，OC＝3，AC＝，AB＝4∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝，cos∠ACO＝∵AB＝AH，G为BH中点∴AG⊥BH，BG＝GH∴∠BAG＝∠HAG，即∠P AB＝2∠BAG∵∠P AB＝2∠ACO∴∠BAG＝∠ACO∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝∴BG＝AB＝∴BH＝2BG＝∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝，cos∠HBI＝∴HI＝BH＝，BI＝BH＝∴x H＝﹣3+＝﹣，y H＝﹣，即H（﹣，﹣）设直线AH解析式为y＝kx+a∴解得：∴直线AH：y＝x﹣∵解得：（即点A），∴P（﹣，﹣）②若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称∴H'（﹣，）设直线AH'解析式为y＝k'x+a'∴解得：∴直线AH'：y＝﹣x+∵解得：（即点A），∴P（﹣，）综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．（3）DM+DN为定值∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1∴D（﹣1，0），x M＝x N＝﹣1设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）设直线AQ解析式为y＝dx+e∴解得：∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3当x＝﹣1时，y M＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6设直线BQ解析式为y＝mx+n∴解得：∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3当x＝﹣1时，y N＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．5.（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）∴解得：∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3（2）在y轴上存在点P，使得△P AM为直角三角形．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴顶点M（1，4）∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20设点P坐标为（0，p）∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2①若∠P AM＝90°，则AM2+AP2＝MP2∴20+9+p2＝17﹣8p+p2解得：p＝﹣∴P（0，﹣）②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2∴9+p2+17﹣8p+p2＝20解得：p1＝1，p2＝3∴P（0，1）或（0，3）③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2∴20+17﹣8p+p2＝9+p2解得：p＝∴P（0，）综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△P AM为直角三角形．（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H∵DG⊥x轴于点G∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°∴四边形IEGH是矩形∵点I为△ADG的内心∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG∴矩形IEGH是正方形设点I坐标为（m，n）∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m∵DA＝OA＝3∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m∴DG＝DH+HG＝m+n∵DG2+AG2＝DA2∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0配方得：（m﹣）2+（n+）2＝∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动∴当点I在线段CQ上时，CI最小∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为．6.（2019•滨州）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠P AD的值．解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），当y＝0时，0＝﹣x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∵PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（﹣t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得，t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，﹣），当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠P AD的值是或．7.（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE＝PF，∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，∴＝，∴．∴PE+P A的最小值是3．8.（2019•达州）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，，解得b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）∵抛物线顶点C（﹣1，4），∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H（﹣1，0），在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，∴tan∠COH＝＝4，∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，∴当∠ACO＝∠CDO时，tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，如图1，当点D在对称轴左侧时，∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，∴△AOC∽△ACD，∴＝，∵AC＝＝2，AO＝1，∴＝，∴AD＝20，∴OD＝19，∴D（﹣19，0）；当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝1的对称点D'的坐标为（17，0），∴点D的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），将P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，得，，解得，k＝﹣a﹣3，b＝a+3，∴y P A＝（﹣a﹣3）x+a+3，当x＝0时，y＝a+3，∴N（0，a+3），如图2，∵S△BPM＝S△BP A﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，∴S△BPM﹣S△EMN＝S△BP A﹣S△EBO﹣S△AON＝×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣×3×3﹣×1×（a+3）＝﹣2a2﹣a＝﹣2（a+）2+，由二次函数的性质知，当a＝﹣时，S△BPM﹣S△EMN有最大值，∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n，∴m﹣n的最大值为．9.（2019•恩施州）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．10.（2019•鞍山）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标．（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．解：（1）将点A（3，4），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，得：，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）如图1，过点P作PE∥x轴，交AB于点E，∵A（3，4），AD⊥x轴，∴D（3，0），∵B（﹣1，0），∴BD＝3﹣（﹣1）＝4，∵S△AQD＝2S△APQ，△AQD与△APQ是等高的两个三角形，∴，∵PE∥x轴，∴△PQE∽△DQB，∴，∴，∴PE＝2，∴可求得直线AB的解析式为y＝x+1，设E（x，x+1），则P（x﹣2，x+1），将点P坐标代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（x+2）2+3（x+2）+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝3，当x＝3时，x﹣2＝32＝1，x+1＝31＝4，∴点P（1，4）；当x＝3时，x﹣2＝32＝1，x+1＝31＝4，∴P（1，4），∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，∴﹣1＜x﹣2＜3，∴点P的坐标为（1，4）或（1，4）；（3）由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，∴C（0，4），∵A（3，4），∴AC∥x轴，∴∠OCA＝90°，∴GH⊥MN，∴∠GHM＝90°，在四边形CGHM中，∠GCM+∠GHM＝180°，∴点C、G、H、M共圆，如图2，连接CH，则∠GCH＝∠GMH＝60°，∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上，∴当BH⊥CH时，BH最小，过点H作HP⊥x轴于点P，并延长PH交AC于点Q，∵∠GCH＝60°，∴∠HCM＝30°，又BH⊥CH，∴∠BHC＝90°，∴∠BHP＝∠HCM＝30°，设OP＝a，则CQ＝a，∴QH a，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴BP＝1+a，在Rt△BPH中，HP（a+1），BH2（1+a），∵QH+HP＝AD＝4，∴a（a+1）＝4，解得a，∴BH最小＝2（1+a）．11.（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC 面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、P A，当点P运动到某一位置时，PC+P A 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1∴A（1，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8 ∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18 （可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解）（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴＝＝，∴PD＝AP∴PC+P A＝PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+P A＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+P A的最小值为12.（2019•遵义）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时P A+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：y＝x，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x），则S△MOC MH×x C（﹣x2+4x﹣x）x2x，∵0，故x，故当点M（，）时，S△MOC最大值为．13.（2019•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y x2x+2，同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，将点FB代入一次函数表达式，同理可得直线BF的表达式为：y x+1，设点P（x，x2x+2），则点H（x，x+1），S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB4×1PH×BO＝2+2（x2x+2x﹣1）＝7，解得：x＝2或，故点P（2，3）或（，）；（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接P A″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A″（3，0），同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，联立①③并解得：x，即点M（，），点M沿ED向下平移2个单位得：N（，）．14.（2019•锦州）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．解：（1）在y x+3中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝4，∴A（4，0），B（0，3），将A（4，0），B（0，3）分别代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2x+3．（2）存在．如图1，过点B作BH⊥CD于H，设C（t，0），则D（t，），E（t，），H（t，3）；∴EC，AC＝4﹣t，BH＝t，DH＝﹣t2t，DE＝﹣t2+4t∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE①当△BDE∽△ACE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，∴，即：BD•CE＝AC•DE∴t（）＝（4﹣t）×（﹣t2+4t），解得：t1＝0（舍去），t2＝4（舍去），t3，∴D（，3）②当△DBE∽△ACE时，∠BDE＝∠CAE∵BH⊥CD∴∠BHD＝90°，∴tan∠BDE＝tan∠CAE，即：BH•AC＝CE•DH∴t（4﹣t）＝（）（﹣t2t），解得：t1＝0（舍），t2＝4（舍），t3，∴D（，）；综上所述，点D的坐标为（，3）或（，）；（3）如图2，∵四边形DEGF是平行四边形∴DE∥FG，DE＝FG设D（m，），E（m，），F（n，），G（n，），则：DE＝﹣m2+4m，FG＝﹣n2+4n，∴﹣m2+4m＝﹣n2+4n，即：（m﹣n）（m+n﹣4）＝0，∵m﹣n≠0∴m+n﹣4＝0，即：m+n＝4过点G作GK⊥CD于K，则GK∥AC∴∠EGK＝∠BAO∴cos∠EGK＝cos∠BAO，即：GK•AB＝AO•EG∴5（n﹣m）＝4EG，即：EG（n﹣m）∴DEGF周长＝2（DE+EG）＝2[（﹣m2+4m）（n﹣m）]＝﹣2∵﹣2＜0，∴当m时，∴▱DEGF周长最大值，∴G（，），当E，G互换时，结论也成立，此时G（，）．15.（2019•烟台）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y（x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）解：（1）C（0，3）∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3，∵D在y上，∴D（2，3），将点A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，∴a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）M（1，4），B（3，0），作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'（﹣1，4），D'（2，﹣3），∴M'D'直线的解析式为y x∴N（，0），F（0，）；（3）设P（0，t），N（r，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时此时圆心N到BD的距离最小，圆心角∠DNB最大，则，∠BPD 的度数最大；∴PN＝ND，∴r，∴t2﹣6t﹣4r+13＝0，易求BD的中点为（，），直线BD的解析式为y＝﹣3x+9，∴BD的中垂线解析式y x，N在中垂线上，∴t r，∴t2﹣18t+21＝0，∴t＝9+2或t＝9﹣2，∵圆N与y轴相切，∴圆心N在D点下方，∴0＜t＜3，∴t＝9﹣2．。
2019年中考专题：二次函数压轴题(精编含解析)
1．在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点 A（1，0）、B（4，0），C（0，2）三 点，直线 y＝kx+t 经过 B、C 两点，点 D 是抛物线上一个动点，过点 D 作 y 轴的平行线，与直线 BC 相 交于点 E． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）当点 D 在直线 BC 下方的抛物线上运动，使线段 DE 的长度最大时，求点 D 的坐标； （3）点 D 在运动过程中，若使 O、C、D、E 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的 所有点 D 的坐标．
令 m2﹣2m＝2，
解得 m＝2
，
∴此时 D（2+2 ，3﹣ ）或（2﹣2 ，3+ ），
综上所述，点 D 的坐标是（2，﹣1）或（2+2 ，3﹣ ）或（2﹣2 ，3+ ）时，都可以使 O、C、D、E 为顶点的四边形为平行四边形．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及 平行四边形的判定与性质等知识点．
，利用二次函数的性质，即可求得当△
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式 m＝（n﹣ ）2﹣ ，然后根据 n 的取值得 到最小值．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得： ， ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+3；
（2）令﹣x2+2x+3＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3， 即 B（3，0）， 设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b′，
∴
，
解得：
，
∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3，
设 P（a，3﹣a），则 D（a，﹣a2+2a+3），
2019中考二次函数压轴题整理
中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P 是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD 的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S 和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x 轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．对应练习13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形P ACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．。
2019年数学中考总复习：压轴题专项训练(二次函数)精编习题
2019年数学中考总复习：二次函数压轴题专项训练（一）1．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（2，0），点B（0，2），动点D以1个单位长度/秒的速度从点A出发向x轴负半轴运动，同时动点E以个单位长度/秒的速度从点B出发向y轴负半轴运动，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F（1）求∠OAB度数；（2）当t为何值时，四边形ADEF为菱形，请求出此时二次函数解析式；（3）是否存在实数t，使△AGF为直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D是第四象限内该抛物线上一动点，连AC、AD与抛物线对称轴分别交于点M、N，延长DC交抛物线对称轴于点E．（1）直接写出线段AB的长；（2）若∠CAB＝∠DAB，求的值；（3）若在第三象限内该抛物线上有一点P，使得以A、B、P为项点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．3．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣交x轴正半轴于点A （5，0），交y轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接AP，将射线AP绕点A逆时针旋转60°，与过点P且垂直于AP的直线交于点C，设点P横坐标为t，点C的横坐标为m，求m与t之间的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，过点C作直线交x轴于点D，在x轴上取点F，连接FP，点E为AC的中点，连接ED，若F的横坐标为，∠AFP＝∠CDE，且∠FAP+∠ACD＝180°，求m的值．4．如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点P是直线BC上方抛物线上的一动点，PE∥y轴，交直线BC于点E连接AP，交直线BC 于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当AD＝2PD时，求点P的坐标；（3）求线段PE的最大值；（4）当线段PE最大时，若点F在直线BC上且∠EFP＝2∠ACO，直接写出点F的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1），点B（﹣9，10），抛物线y＝2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作x轴的平行线，与抛物线交于点C，点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P运动到抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2019年数学中考总复习：二次函数压轴题专项训练（二）6．二次函数y＝ax2+x+3的图象与x轴分别相交于A、B两点，且A（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）如图1，求抛物线解析式（2）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，设点P的横坐标为t（t＞1），连接PC、PB、BC．设△PBC的面积为s，求s与t的函数关系式．（3）如图3，在（2）的条件下当s＝时，点Q为第二象限抛物线上一点，连接PQ交y 轴于点E，延长PQ交x轴于点M，点N在点C上方的y轴上，连接MN，若MP平分∠NMB，MN＝5CN，且OM＜ON．将线段PQ绕点P逆时针旋转45°得到线段PR，求点R的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C （﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C 运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？（3）动点P、Q运动过程中，是否存在某一时刻，使△PQF是等腰三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线经过y＝ax2+bx+c点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线解析式和直线AC的解析式；（2）若点P是第四象限抛物线上的一点，若S△PAC＝10，求点P的坐标；（3）如图2，点M是线段AC上的一个动点（不与A、C重合），经过A、M、O三点的圆与过A且垂直于AC的直线交于点N，求当S△OMN 最小时点M的坐标及S△OMN最小值．9．在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，点A的坐标为（0，），点D为抛物线的顶点．（1）如图1，求拋物线的顶点D的坐标；（2）如图2，点P是第一象限内对称轴右侧拋物线上一点，连接PB，过点D作DQ⊥BP 于点H，交x轴于点Q，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CE∥y轴交BP的延长线于点E，点F为CE的中点，连接FQ，若∠DQC+∠CQF＝135°，求点P的坐标．10．如图，抛物线y＝ax2+bx的对称轴为y轴，且经过点（，），P为抛物线上一点，A （0，）．（1）求抛物线解析式；（2）Q为直线AP上一点，且满足AQ＝2AP．当P运动时，Q在某个函数图象上运动，试写出Q点所在函数的解析式；（3）如图2，以PA为半径作⊙P与x轴分别交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求点P的横坐标．2019年数学中考总复习：二次函数压轴题专项训练（三）11．如图，抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，﹣1），点B （9，﹣10），AC∥x轴，点P是直线AC上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC上，联结BC、BD．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标；（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标；（3）点Q在抛物线对称轴上，如果△BCD∽△CPQ，求点Q的坐标．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，EC∥x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线y＝﹣x上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，以直线x＝1为对称轴的抛物线恰好经过A（0，4），B（4，0）两点，连结AB．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）点C为线段AB上一动点，延长OC交抛物线于点D，连结BD．若△AOC与△BCD的面积相等，求点C的坐标．（3）设k＝，求k的最大值．15．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C（1）填空：b＝，c＝，点C的坐标为．（2）如图1，若点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m．PQ与OQ的比值为y，求y与m的数学关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值．（3）如图2，若点P是第四象限的抛物线上的一点．连接PB与AP，当∠PBA+∠CBO＝45°时．求△PBA的面积．。
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中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．图22.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2+ bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积．3．(2012铜仁)如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．题型二：构造直角三角形【例2】（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，C E D GAxy OB F并求此时点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点，求使∠PCB ＝90º的点P 的坐标．【变式练习】1．（2012广州）如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．2.（2009成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS∠BCO＝310。
E（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3）过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?3.(2012杭州) 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k （x 2+x ﹣1）的图象交于点A （1，k ）和点B （﹣1，﹣k ）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值4.如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .（1）求点A 的坐标； （2)当b =0时（如图（2）），ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b ，使得BOC 是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b ；若不存在，说明理由.题型三：构造等腰三角形【例3】如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上是否存在一点Q 使得△ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；yxCBAOE yxCBAOE 第26题图（1）图（2）（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ． ①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．2.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ．（1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．3．（2010黄冈）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出AC By x0 11t值，若不存在请说明理由.题型四：构造相似三角形【例4】（2011临沂）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】1.（2012天水）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7)，且顶2. 如图，二次函数的图象经过点D(0，39点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【例5】（2012苏州）如图，已知抛物线y=x2 - (b+1)x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式练习】1.(2012上海宝山)如图，平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，将线段AB 绕点A 逆时针方向旋转90°，点B 落在点C 处，直线BC 与x 轴的交于点D ．（1）试求出点D 的坐标；（2）试求经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E 的坐标；（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F ，使得以点A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似．2．（2012上海杨浦区）已知直线112y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，使点A 落在点C ，点B 落在点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A 、D 、C ，其对称轴与直线AB 交于点P ，（1）求抛物线的表达式； （2）求∠POC 的正切值；（3）点M 在x 轴上，且△ABM 与△APD 相似，求点M 的坐标。
(图7)11 xyBAOy13．（2012宁波）如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象交x 轴于A （﹣1，0），B （2，0），交y 轴于C （0，﹣2），过A ，C 画直线． （1）求二次函数的解析式；（2）点P 在x 轴正半轴上，且P A =PC ，求OP 的长；（3）点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ． ①若M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC （点C 与点A 对应），求点M 的坐标； ②若⊙M 的半径为，求点M 的坐标．题型五：构造梯形【例6】已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． （1）求点D 的坐标；（2）抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】1.已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N 的坐标及梯形AOMN的面积．2.（2011义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．3.如图1，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－1），△ABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．题型六：构造平行四边形【例7】（2010陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （—1，0），B （3，0），C （0，—1）三点。