勾股定理经典例题详解

7、如果 ΔABC 的三边分别为 a、 b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，判断 ΔABC 的形状。
思路点拨 ：要判断 Δ ABC 的形状，需要找到 a、b、 c 的关系，而题目中只有条件
a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c ，故只有从该条件入手，解决问题。
解析 ：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，得 ： a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0, ∴ (a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0 。 ∵ (a-3) 2≥ 0, (b-4) 2≥0, (c-5) 2≥0。
.
所以，甲的面积 =乙和丙的面积和，即：
.
方法四： 如图（ 4 ）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以
。
知识点三：勾股定理的作用 1．已知直角三角形的两条边长求第三边；
边的关系；
3．用于证明平方关系的问题； 段。
2．已知直角三角形的一条边，求另两
4．利用勾股定理，作出长为
的线
2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数 满足不定方程 x2+y2=z2 的三个正整数， 称为勾股数 （又称为高数或毕达哥拉斯数） ，
∴
（在 中，如果一个锐角等于
，
那么它所对的直角边等于斜边的一半） .
根据勾股定理，在
中，
根据勾股定理，在
. 中，
.
∴
.
总结升华 ：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用
有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理
.
. 当题目中没
举一反三 【变式 1】如图， 已知：
，
.
，
于 P. 求证：
形使用。
解析： (1) 在△ ABC 中，∠ C=90°， a=6 ，c=10,b=
(2) 在△ ABC 中，∠ C=90°， a=40 ，b=9,c=
(3) 在△ ABC 中，∠ C=90°， c=25 ， b=15,a= 总结升华： 有一些题目的图形较复杂， 但中心思想还是化为直角三角形来解决。 如： 不规则图形的面积， 可转化为特殊图形求解， 本题通过将图形转化为直角三角形的方法， 把四边形面积转化为三角形面积之差或和。
思路点拨 ：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算 线路长，然后进行比较，得出结论．
解析 ：设正方形的边长为 1 ，则图（ 1）、图（ 2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD＝ 3， AB+BC+CD＝3 图（ 3）中，在 Rt △ ABC 中
同理
∴图（ 3）中的路线长为 图（ 4）中，延长 EF 交 BC 于 H，则 FH⊥BC，BH＝ CH
.
半径，
以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为 。
类型五：逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：猫有四只脚．（正确）
2．原命题：对顶角相等（正确）
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
三角形。
经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在 Rt△ABC 中，∠ C=90° (1) 已知 a=6， c=10 ，求 b， (2) 已知 a=40 ，b=9 ，求 c； (3) 已知 c=25 ，b=15 ，
求 a. 思路点拨 : 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变
角。
（ 3）理解勾股定理的一些变式：
c2=a2+b2 , a2=c2 -b2， b2=c2 -a2 ，
c2=(a+b) 2-2ab
知识点二：用面积证明勾股定理
方法一： 将四个全等的直角三角形拼成如图（ 1）所示的正方形。
图（ 1）中
，所以
。
方法二： 将四个全等的直角三角形拼成如图（ 2）所示的正方形。
＝
＝
答：最短路程约为１０．７７ cm ．
类型四：利用勾股定理作长为
的线段
5、作长为 、 、 的线段。
≈１０．７７（ cm ）（勾股定理）．
思路点拨： 由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于
角边为 和 1 的直角三角形斜边长就是 作法 ：如图所示
，类似地可作 。
，直
（1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角△ ACB，使 AB 为斜边；
=5 2－ 32 =16 ∴AB= 4 ∴AB 的长是 4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在
中，
，
，
. 求： BC 的长 .
思路点拨 ：由条件 于 D，则有
，想到构造含
角的直角三角形，为此作
， 求出 BC 的长 .
解析 ：作 ∴
，再由勾股定理计算出 AD、DC 的长，进而
于 D，则因
，
（ 的两个锐角互余）
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.
思路点拨 : 图中已有两个直角三角形，但是还没有以 BP 为边的直角三角形 . 因此，
我们考虑构造一个以 BP 为一边的直角三角形 . 所以连结 BM. 这样，实际上就得到了 4
个直角三角形 . 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系
.
解析 ：连结 BM ，根据勾股定理，在
ABC 是直角三角形是解
举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门
2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图 ?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度 是否小于 CH．如图所示，点 D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD⊥ＡＢ， 与地面交于 H．
（2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角
。斜边为
；
（3 ）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
，这样斜边 、 、 、
的长度就是
、、 、。 总结升华： （ 1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的； （ 2）取单位长时可自 定。一般习惯用国际标准的单位，如 1cm 、1m 等，我们作图时只要取定一个长为单位 即可。
中，
.
而在
中，则根据勾股定理有
.
∴ 又∵
（已知），
∴
.
在
中，根据勾股定理有
，
∴
.
【变式 2】已知：如图，∠ B=∠D=90 °，∠ A=60 °， AB=4， CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。
分析 ：如何构造直角三角形是解本题的关键， 可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于 F， 或延长 AD、 BC 交于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选 第三种较为简单。
举一反三 【变式】在把
看作是直角三角形的斜边，
，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是
3 和 1。
作法 ：如图所示在数轴上找到 A 点，使 OA=3，作 AC⊥ OA 且截取 AC=1，以 OC为
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举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm ，高ＡＢ为 4cm ，ＢＣ是上底面的直 径．一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程．
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解：
如图，在 Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０ （提问：勾股定理）
cm， 根据勾股定理得
∴ AC＝
显然，以 x,y,z 为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的： ①3、4、 5② 5、12 、13 ；③ 8、15、 17；④ 7、24、 25；⑤ 10 、24、26 ；⑥ 9、40 、
41 ． 如果 (a,b,c)是勾股数，当 t>0 时，以 at,bt,ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角
解： OC＝1 米 ( 大门宽度一半 )， OD＝ 0.8 米 （卡车宽度一半） 在 Rt△ OCD 中，由勾股定理得：
CD＝
＝
＝０ .６米，
CＨ＝０ .６＋２ .３＝２ .９（米）＞２ .５（米）．
因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门．
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（二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进 行电网改造，某地有四个村庄 A、B、 C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计 划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助 计算一下，哪种架设方案最省电线．
.
勾股定理经典例题详解
知识点一：勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为： a， b，斜边长为 c，那么 a2＋ b2＝ c2．即直
角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
要点诠释： （ 1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三
C 点。
.
思路点拨： 把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。 解析 ：（ 1）过 B 点作 BE//AD
∴∠ DAB=∠ABE=60 ° ∵ 30° +∠CBA+∠ ABE=180 ° ∴∠ CBA=90 ° 即△ ABC 为直角三角形
由已知可得： BC=500m ， AB=
由勾股定理可得：
所以 （ 2）在 Rt△ABC 中，