高一数学必修一对数及对数函数知识点总结

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数学高一知识点对数

数学高一知识点对数数学高一知识点：对数一、引言对数是数学中非常重要的一个概念，它在许多数学领域和实际应用中都有重要的作用。

在高中数学中，对数是基础知识点之一，理解和掌握对数的概念、性质和运算规律对于学好数学课程具有重要意义。

本文将介绍对数的基本概念、对数的运算以及对数的实际应用。

二、对数的基本概念1. 对数的定义在数学中，对数是指以某一固定正数为底数，将另一个正数表示为指数的幂的运算。

设a为正数且a≠1，b为正实数，则以a为底b的对数写作logₐ b。

2. 对数的性质对数具有以下基本性质：(1) logₐ a = 1，即底数与真数相等时，对数等于1；(2) logₐ (mn) = logₐ m + logₐ n，即对数的底数相同，对应真数的乘法等于对数的加法；(3) logₐ (m/n) = logₐ m - logₐ n，即对数的底数相同，对应真数的除法等于对数的减法；(4) logₐ (a^m) = m，即以a为底，底数与对数相等时，对数等于指数。

三、对数的运算规律1. 对数的乘法规律logₐ (mn) = logₐ m + logₐ n2. 对数的除法规律logₐ (m/n) = logₐ m - logₐ n3. 对数的幂运算规律logₐ (a^m) = m4. 对数的换底公式若a、b、c为正数且a≠1，b≠1，c≠1，则有：logₐ b = logc b / logc a四、对数的实际应用对数在许多实际问题中具有重要应用，以下是一些常见的实际应用场景：1. 音量的测量在声学中，音量是以分贝（dB）表示的。

分贝是用对数来描述的，它可以比较不同声音的强度，从而更好地理解和分析声音的变化。

2. pH值的测量在化学中，pH值是用于测量溶液的酸碱性的指标。

pH值是通过对数计算得出的，根据不同物质的酸碱性，可以对其进行分类和判断。

3. 经济增长的分析对数还可以用于分析经济增长。

在经济学中，人均收入和GDP 增长率通常使用对数来进行测算和比较，以更好地衡量和分析国家经济的发展情况。

高一上册数学对数知识点

高一上册数学对数知识点对数是数学中一种重要的运算形式，能够将指数运算转化为对数运算，从而简化计算过程。

它在解决指数方程、评估指数函数的值以及处理复杂的数学问题方面起着重要作用。

在高中数学课程中，学习对数是必不可少的一部分。

下面我将为大家介绍高一上册数学中的几个重要的对数知识点。

一、对数的定义与性质1. 对数的定义：对于正数a（a≠1）和正数x，如果满足a^x=b （b>0），那么称x为以a为底b的对数，记作logₐb=x。

其中，a 被称为对数的底数，b被称为真数。

2. 对数的性质：（1）logₐ1=0，任何数的以自身为底的对数等于1。

（2）logₐa=1，任何数以其自身为底的对数等于1。

（3）logₐ(a*b)=logₐa+logₐb，任何两个正数的乘积的对数等于它们的对数之和。

（4）logₐ(a/b)=logₐa-logₐb，任何两个正数的商的对数等于它们的对数之差。

（5）logₐ(a^p)=p*logₐa，任何数的幂的对数等于指数与幂的底数的对数乘积。

二、常用对数与自然对数1. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，常用对数的记作logb，其中b表示真数。

常用对数的底数为10，即log₁₀b。

2. 自然对数：以自然常数e（约等于2.71828）为底的对数称为自然对数，自然对数的记作lnx，其中x表示真数。

三、对数运算的应用1. 对数方程：对数方程是指以对数形式表示的方程。

通过对数的性质，可以将一些指数方程转化为对数方程，从而更方便地解决问题。

2. 指数函数：指数函数是以指数形式表示的函数，具有形如f(x)=a^x的表达式，其中a为底数。

对数函数则是指数函数的逆运算，可以通过对数函数求解指数函数的值。

3. 对数尺度：对数尺度在测量和表达某些现象时往往更加合适。

例如在地震的震级表中，每增加一个单位的震级，地震的能量就增加10倍。

四、常用对数的换底公式1. 换底公式：对于任意正数a、b以及正整数n，换底公式为logₐb=logₐn * lognb。

对数知识点归纳总结高中

对数知识点归纳总结高中一、对数的基本概念1. 指数指数是用来表示一个数的乘方的指数。

对数与指数是互为逆运算的。

如果a的x次方等于b，那么x就是以a为底b的对数，记作x=logab。

其中，a被称为对数的底，b被称为真数，x被称为指数。

2. 对数的性质对数的性质包括：（1）对数的基本定义：loga1=0, logaa=1（2）对数的唯一性：对于任意的a>0，且a≠1，b>0，b>0且b≠1，则a的对数是唯一的。

（3）对数的运算性质：logab+logac=loga(bc)，logab-logac=loga(b/c)，nlogab=loga(b^n)。

3. 对数的运算对数可以进行加法、减法、乘法和除法运算，其中乘方运算是对数最基本的运算。

对数的运算基于对数的定义和性质。

通过对数的运算，可以简化复杂的乘方运算，进而求解各种数学问题。

4. 对数的换底公式对数的换底公式是指当对数的底不同时，如何求解两个底不同的对数之间的关系。

对数换底公式为：logab=logcb/logca。

5. 对数方程对数方程是指方程中包含对数的运算。

通过对数方程的变形和化简，可以求解出未知数的值。

对数方程在实际问题中有着广泛的应用，如生物学、物理学和经济学等领域。

6. 对数不等式对数不等式是指包含对数的不等式。

对数不等式可以通过对数的性质和运算来进行求解。

对数不等式在数学推导和应用问题中有着重要的作用。

二、常用对数1. 自然对数自然对数是以常数e（约等于2.71828）为底的对数。

自然对数在数学和物理中有着广泛的应用，如求解指数函数、微积分和概率统计等问题。

2. 常用对数常用对数是以10为底的对数。

常用对数在数学、工程和科学中常常用到，方便计算和表述。

3. 底为2的对数底为2的对数在计算机和信息技术领域有着特殊的应用，如计算机存储容量的衡量、数据压缩和信息传输等方面。

三、对数的应用1. 对数函数对数函数是指以对数形式表达的函数。

数学必修一第四章知识点总结

高中数学人教必修第一册第四章知识点讲解对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：a x 的系数：1a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y ＝log(a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ．解析：答案：2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)性质定义域R (0，＋∞)值域(0，＋∞)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a 对对数函数的图象的影响①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y ＝1来切，自左到右a 变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a，43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C4的a 值依次为()A 43，35，110B 43，110，35C ．43，，35，110D ．43110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4，43，35，110．答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：①由y ＝f (x )解出x ，即用y 表示出x ；②把x 替换为y ，y 替换为x ；③根据y ＝f (x )的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝()A ．log 2xB ．12xC ．12log xD ．2x－2解析：因为函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2．故f (x )＝log 2x ．答案：A【例3－2】函数f (x )＝3x (0＜x ≤2)的反函数的定义域为()A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)解析：∵0＜x ≤2，∴1＜3x ≤9，即函数f (x )的值域为(1,9]．故函数f (x )的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点()A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过点(5,1)．答案：A 4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)中仅含有一个常数a ，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f (m )＝n 或图象过点(m ，n )等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n ＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n (k ＞0，且k ≠1)，则解得a ＝k ＞0．还可以直接写出1na m =，再利用指数幂的运算性质化简1nm ．例如：解方程log a 4＝－2，则a －2＝4，由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a =±．又a ＞0，所以12a =．当然，也可以直接写出124a -=，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a ---====．【例4－1】已知f (e x )＝x ，则f (5)＝()A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：(方法一)令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ．所以f (5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5．答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值．分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19．∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ．∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例4－3】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝5(2x －1)(5x －4)；(3)y =．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log(43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．(3)对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4．又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]．令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例7－1】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ．又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立，∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0．∴b ＝－2．答案：－2,2【例7－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝log a x在定义域上是增函数，则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，函数y＝log a x在定义域上是减函数，则有log aπ＜log a3.141．综上所得，当a＞1时，log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，log aπ＜log a3.141．【例8－2】若a2＞b＞a＞1，试比较log a ab，log bba，log b a，log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab＜1．∴log a ab＜0，log a b＞log a a＝1，log b1＜log b a＜log b b，即0＜log b a＜1．由于1＜b a ＜b ，∴0＜log b b a ＜1．由log b a －log b ba＝2log b a b ，∵a 2＞b ＞1，∴2ab＞1．∴2log b a b ＞0，即log b a ＞log b b a．∴log a b ＞log b a ＞log b b a ＞log a ab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-；(2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32．(2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )∞设u ＝3－2x ，x ∞∵u ＝3－2x ∞y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝log 2(3－2x )∞∴函数y ＝log 2(3－2x )∞【例10－1】求函数y ＝log a (a －a x )解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．析规律判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a aa ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；(3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )例如，判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x -＋log )a x )＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例11】已知函数f (x )＝1log 1axx+-(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )，又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数．(3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0．故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y (单位：km/s)关于燃料重量x (单位：吨)的函数关系式为y ＝k ln(m ＋x )－k )＋4ln 2(k ≠0)，其中m 是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m 吨时，火箭的最大速度是4km/s ．(1)求y ＝f (x )；(2)已知长征二号F 型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8km/s ，求装载的燃料重量(e ＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x ＝(－1)m 时，y ＝4，则4＝k ln[m ＋－1)m ]－k ln()＋4ln 2，解得k ＝8．所以y ＝8ln(m ＋x )－)＋4ln 2，即y ＝8ln m xm+．(2)由于m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x ，令479.888ln479.8x=-，解得x ≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。

高一必修一对数函数知识点

高一必修一对数函数知识点对数函数是高中数学中的一个重要内容，它涉及到了指数函数和对数函数的关系。

对数函数的学习对于高中数学学习的深入理解和能力的发展非常重要。

本文将为大家介绍高一必修一对数函数的主要知识点，并通过示例来加深理解。

一、对数函数的定义和性质1. 对数函数的定义：对数函数y=loga(x)定义为y=a^x，其中a>0且a≠1。

其中，a称为底数，x称为指数，y称为对数。

2. 对数函数的性质：- 当x>0时，对数函数y=loga(x)是严格单调递增函数。

- 当0<a<1时，对数函数关于x轴对称。

- 当a>1时，对数函数关于y轴对称。

二、对数函数的图像和性质1. 对数函数的图像：对数函数的图像随着底数a的不同而变化，当底数a>1时，对数函数的图像呈现上升的指数形状；当0<a<1时，对数函数的图像呈现下降的指数形状。

2. 对数函数的常用性质：- 对数函数的定义域为(0, +∞)，值域为(-∞, +∞)。

- 对数函数的图像经过点(1, 0)，即loga(1) = 0。

- 对数函数在x=1时取到最小值，即loga(1) = 0。

- 对数函数在x→+∞时，值趋近于正无穷；在x→0+时，值趋近于负无穷。

三、对数函数的基本性质1. 对数函数的指数运算：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)- loga(x^p) = p·loga(x)2. 对数函数的换底公式：- loga(x) = logb(x) / logb(a)四、对数方程和对数不等式1. 对数方程的求解：- 求解对数方程时，需要根据对数函数的性质来进行等式变形和求解。

2. 对数不等式的求解：- 求解对数不等式时，需要根据对数函数的性质来确定不等式的取值范围。

五、常用对数的计算常用对数是以10为底的对数，用logx表示。

数学高一log知识点

数学高一log知识点在高中数学学科中，对于log（对数）的学习是非常重要的，它是数学中的一个重要概念，有广泛的应用。

在高一阶段，我们将深入学习log的相关知识点，本文将为大家介绍数学高一log知识点的相关内容。

一、对数的定义和性质1. 定义：对数是用以指出一个数与另外一个数的乘积相等的指数的运算。

设a、b为正数，a ≠ 1，b > 0，则称满足等式a^x = b 的x为以a为底b的对数，记作logₐb。

2. 常用性质：a) logₐa = 1，即一个数以自身为底的对数等于1；b) logₐ1 = 0，即一个数以底为1的对数等于0；c) logₐx = -logₓa，对数的底变换公式；d) logₐmn = logₐm + logₐn，对数相乘的性质；e) logₐ(m/n) = logₐm - logₐn，对数相除的性质。

二、 log的运算法则1. 指数与对数的互化a) 对数互化为指数：对于等式a^x = b，两边取以a为底的对数，即可得x = logₐb；b) 指数互化为对数：对于等式x = logₐb，两边取底为a的指数，即可得a^x = b。

2. 对数的换底公式a) 如果已知logₐb，要将其换底为logₓb，则可以运用换底公式logₐb = logₓb / logₓa来计算；b) 换底公式的推导过程：假设logₓb = m，即x^m = b，两边同时取以a为底的对数，得到logₐ(x^m) = logₐb，再利用乘法性质得(logₓa) (logₐx) = logₓb，进一步化简即可推导得到换底公式。

3. log的乘方和开方运算a) logₐm^k = k logₐm；b) logₐ√b = 1/2 logₐb。

三、对数方程与不等式1. 对数方程的解法a) 将对数方程转化为指数方程进行求解；b) 运用对数运算法则，将方程化简为形式简单的等式，并解得未知数的值。

2. 对数不等式的解法a) 将对数不等式转化为指数不等式进行求解；b) 利用对数的单调性，将不等式不等式化简为形式简单的等式，并得到未知数的取值范围。

第四章-§1-对数的概念-§2-对数的概念高中数学必修第一册北师大版

例1-4 ［教材改编P106 A组T2］［多选题］(2024·湖南省长沙市期末)下列说法中正
确的是(
AB
)
A.lg lg 10 = 0
B.lg ln e = 0
C.若10 = lg ,则 = 10
【解析】∵ lg 10 = 1,
∴ lg lg 10 = lg 1 = 0,A正确；
∵ ln e = 1,∴ lg ln e = lg 1 = 0,B正确；
∴

4
4
3

4
= 81,即3 = 34 ,
= 4,即 = 16,故log 4 3 81 = 16.
（3）log
2+ 3
2− 3 .
【解析】设 = log
故log
2+ 3
2+ 3
2 − 3 = log
2 − 3 = −1.
2+ 3
2+ 3
−1
,∴ = −1,
例1-3 (2024·山东省聊城一中月考)对数式log
1
⋅
1
log + log −
=
方法2 当 = 1时，左边=右边= 0.
当 ≠ 1时，左边
=
lg
lg +
+
综上，log
lg
lg −
+
=
lg ⋅lg[ + − ]
lg + ⋅lg −
+ log
−
= 2log
=2
lg
⋅
lg +
例15 设,,是直角三角形的三边长，其中为斜边，且 + ≠ 1, − ≠ 1，求证:

高一对数部分知识点

高一对数部分知识点一、对数的概念对数是数学中的一个概念，它描述的是一个数在某个底数下的指数。

对数的定义可以表示为：设正数a、b（a≠1），若满足a的x次方等于b，那么x就是以a为底b的对数，记作x=logₐb。

二、对数运算法则1.【换底公式】设a、b、c为正数且a≠1，则logₐb=logc₈logₐc。

2.【乘法公式】设a、b、m为正数且a≠1，则logₐ(mn)=logₐm+logₐn。

3.【除法公式】设a、b、m为正数且a≠1，则logₐ(m/n)=logₐm-logₐn。

4.【幂公式】设a、b、m为正数且a≠1，则logₐb^m=mlogₐb。

5.【对数函数的性质】设a、b为正数且a≠1，n为正整数，则：（1）logₐa=1；（2）logₐ1=0；（3）logₐa=logₐb→a=b；（4）logₐa=1/logaₐ；（5）logab=logab；（6）若a>b>1则logₐa>logₐb。

三、对数的应用对数在各个领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用：1.科学计数法：当数据过大或过小时，可以用对数来表示，便于计算和理解。

2.测量：在一些测量中，对数的运算可以更好地表达测量结果，例如地震的里氏震级。

3.经济学：对数在经济学中的应用尤为重要，比如描述利率、物价指数等指标变化幅度。

4.音乐学：音乐的音高经常使用以2为底的对数来表示，方便演奏和理解音乐。

四、对数函数与指数函数对数函数是指对数运算的函数形式，指数函数是指指数运算的函数形式。

对数函数和指数函数是互为反函数的关系，它们之间存在以下关系：1.对数函数：y=logₐx，其中x为正数，a为底数，y为对数。

2.指数函数：y=aˣ，其中a为正数且不等于1，x为指数，y为底数。

五、常用对数和自然对数常用对数是指以10为底的对数，自然对数是指以e（自然对数的底数，约等于2.71828）为底的对数。

在计算中，常用对数和自然对数有着重要的作用。

高中数学重点知识总结——对数函数及对数函数图象性质知识点总结

高中数学重点知识总结对数函数及对数函数图象性质一、对数函数的概念一般地，函数log a y x =（0a >且1a ≠），叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是()0,+∞。

二、对数函数的图象三、对数函数图象的性质1.图象都过定点()0,1。

定义域：()0,+∞，值域：R 。

2.01a <<时，为定义域上的减函数；.1a >时，为定义域上的增函数。

3.底数越大，在直线1x =的右侧越靠近x 轴，即“底大图低”。

四、对数函数图象的对称性由图象可得，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称。

五、反函数1.互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换。

2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数。

如3x y =与3log y x =互为反函数。

3.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称。

六、指、对、幂函数的增长快慢比较任给三个单调增的指数函数、对数函数、幂函数，总存在一点0x ，使得0x x >时下面两种情况同时成立。

（1）函数值的大小关系：指数>幂函数>对数函数。

（2）函数值的增长速率：指数>幂函数>对数函数。

七、高中阶段常见的考查方式1.求对数函数在某区间上的单调性、最值、值域。

2.求对数函数的复合函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等。

3.根据几个对数函数的图象判断底的大小关系。

4.根据对数函数的底，判断对应的函数图象。

5.跟据对数式值的正负找不等式关系。

如：若log 0a b >，则1,1a b >>或01,01a b <<<<。

若log 0a b <，则1,01a b ><<或01,1a b <<>。

6.给出对数函数简单变形或与其他函数复合后的解析式，选大致图象选项，或判断奇偶性。

7.构造对数函数比较两个实数的大小，或判断两个实数的正负。

高中数学必修一《对数函数》

答案：1
C．6
D．1
()
知识点二换底公式 (一)教材梳理填空
logcb logab＝ logca
对数换底公式．
(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．我们把上式叫做
[微思考] 换底公式中底数c是特定数还是任意数？
提示：是大于0且不等于1的任意数．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)由换底公式可得 logab＝lloogg－－22ba.
()
(3)loga(xy)＝logax·logay.
()
(4)log2(－5)2＝2log2(－5)．
()
答案：(1)× (2)× (3)× (3)×
2．计算log84＋log82等于
A．log86
B．8
答案：D
3．log 1 27－log 1 9＝________.
3
3
答案：－1
4．2lg 4＋lg58＝________.
法二：原式
＝lglg1225＋llgg245＋llgg
5lg 8lg
25＋llgg245＋lglg1825
＝3llgg25＋22llgg
52＋3llgg52llgg
25＋22llgg
25＋33llgg
2 5
＝133llgg253llgg52＝13.
法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)
aamn ＝am－n (am)n＝amn
logaN＝b loga(MN)＝logaM＋logaN
logaMN ＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM
(二)基本知能小试
1．判断正误：

高一数学必修一对数知识点

高一数学必修一对数知识点一、什么是对数对数是数学中一个很重要的概念，它与指数运算密切相关。

对数通常用来表示通过指数运算得到的结果。

在数学中，我们以log为符号，表示对数。

这里的底数通常是10，因此常用的对数就是以10为底的对数，简称为常用对数。

常用对数的符号是lg。

例如，如果我们有一个等式10^2=100，我们可以用对数来表达为：lg100=2。

这里的2就是这个数的对数。

二、对数的特性对数有一些特性，掌握这些特性可以更好地理解和应用对数。

1. 对数相加等于两个数相乘的对数：log(ab)=loga+logb。

这个特性称为对数的乘法法则。

2. 对数相减等于两个数相除的对数：log(a/b)=loga-logb。

这个特性称为对数的除法法则。

3. 底数为10的对数称为常用对数，它的特点是对数值与所表示的数的数量级相等。

4. 任何数的对数都必须大于0，即对数的底数必须大于1。

三、对数的应用1. 对数在科学计算中经常使用，尤其是当数据的数量级很大或很小时。

例如，天文学家用对数来表示星星的亮度等级，地震学家用对数来表示地震的震级等。

2. 对数在解决指数方程和指数不等式时非常有用。

通过运用对数的性质，我们可以将指数方程转化为对数方程，进而求解。

3. 对数还可以用于解决百分数和利率的问题。

当我们需要计算复利时，可以使用对数来简化计算过程。

四、对数的计算方法1. 利用对数的乘法法则和除法法则，我们可以将任意一个数转化为以某个底数为底的对数。

2. 计算对数时，可以利用科学计算器上的对数函数。

通常，对数函数的按键上标有log或lg的符号。

3. 当底数不是10时，我们可以利用换底公式来计算对数。

换底公式是loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中c可以是任意不等于1的数。

五、对数的常见错误1. 计算对数时，一定要记得给出底数，否则对数没有意义。

2. 在使用对数进行计算时，一定要保证输入的数值大于0，否则计算结果将出错。

高中数学知识点全总结对数

高中数学知识点全总结对数一、对数的概念与性质对数是数学中一个重要的概念，它与指数函数有着密切的关系。

对数的定义是基于指数的逆运算，其形式为：如果 \(a^x=b\)，那么 \(x\) 就是以 \(a\) 为底 \(b\) 的对数，记作 \(x = \log_a b\)，其中\(a\) 称为对数的底数，\(b\) 称为真数。

1.1 常用对数在实际应用中，以 10 为底的对数被称为常用对数，记作 \(\log_{10} b\)，简写为 \(\log b\)。

以自然数 \(e\)（约等于 2.71828）为底的对数称为自然对数，记作 \(\ln b\)。

1.2 对数的性质对数具有以下基本性质，这些性质在解决对数方程和简化对数表达式时非常有用：- \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)- \(\log_a (x/y) = \log_a x - \log_a y\)- \(\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x\)- \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\)（换底公式）二、对数的运算法则对数的运算法则与指数的运算法则相对应，是解决高中数学问题时不可或缺的工具。

掌握对数的运算法则，可以帮助我们更快地解决涉及乘法、除法、幂运算的对数问题。

2.1 乘法变加法当面对两个相同底数的对数相乘时，可以将乘法转换为加法：\(\log_a (x^n) = n \cdot \log_a x\)2.2 除法变减法同样地，当进行相同底数的对数相除时，可以将除法转换为减法：\(\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\)2.3 幂运算对于对数的幂运算，可以将幂移到对数前面：\(\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x\)三、对数的应用对数在实际问题中有广泛的应用，特别是在处理涉及增长和衰减的问题时。

高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log aNM=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象a <11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算）1．求下列各式的值．（1）355log ＋212log 1505log －145log ；（2）log 2125×log 318×log 519.练习题 1．计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278；2.log 535＋212log －log 5150－log 514； 3.log 2125×log 318×log 519.4. 3991log log 4log 32+-． 5. 4lg 2lg 5lg 22+-221(6).log 24lg log lg 2log 32+-- 7.2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++例2．已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z＞1. (1)求证：2x ＋1y ＝2z； (2)试比较3x 、4y 、6z 的大小．练习题．已知log 189＝a ，18b＝5，用a 、b 表示log 3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数()22log 1x f x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式22a a x--<的解集为B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．2．设函数22log (22)y ax x =-+定义域为A ．（1）若A R =，求实数a 的取值范围；（2）若22log (22)2ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．练习题1．已知函数()()2lg 21f x ax x =++（1）若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域；（2）若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围及()f x 的定义域2 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及其单调性）例题1．已知定义域为R 的函数f(x)为奇函数，且满足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x－1. (1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(12log 24)的值．2. 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.3.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.4．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （Ⅰ）求函数()y f x =的定义域；（Ⅱ）判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅲ）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)(a ＞0，a≠1) (1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的取值范围2．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(0)0f =，当0x >时，12()log f x x =.（1）求函数()f x 的解析式；（2）解不等式2(1)2f x ->-；3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．（Ⅰ）求(0)f ，(1)f ；（Ⅱ）求函数()f x 的表达式；（Ⅲ）若(1)1f a -<-，求a 的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是C D2.求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.3．设f(x)＝|lg x|，a ，b 为实数，且0＜a ＜b. (1)求方程f(x)＝1的解； (2)若a ，b 满足f(a)＝f(b)＝2f 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭，求证：a·b＝1，2a b+＞1.练习题：1．已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a -=11log )(，记)()(2)(x g x f x F += （1）求函数)(x F 的定义域及其零点；（2）若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围.2．已知函数f(x)＝log 4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23x a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．3.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于题型五：函数方程1方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.2.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为4．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数）.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若2a =，[]1,9x ∈,求函数()f x 的值域；（Ⅲ）若函数()f x y a =的图像恒在直线21y x =-+的上方，求实数a 的取值范围.5．已知函数221log log (28).242x xy x =⋅⋅≤≤ （Ⅰ）令x t 2log =，求y 关于t 的函数关系式及t 的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x 的值.6.设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.。

高一对数知识点高中总结

高一对数知识点高中总结对数是数学中的一个重要概念，它在高中数学中扮演着重要角色。

在高一阶段，我们学习了许多关于对数的知识点，通过总结和归纳，可以更好地理解和应用这些知识。

本文将对高一阶段的对数知识点进行整理和总结。

一、对数的定义和性质对数的定义是：如果一个正数a不等于1，且b大于0，那么称符号logₐb为以a为底b的对数，记作logₐb=c。

对数具有以下性质：1. logₐ1=0，因为a的0次方等于1。

2. logₐa=1，因为a的1次方等于a。

3. logₐ(㏑ₐb+㏑ₐc)=logₐb+c，对数的乘法公式。

4. logₐ(b/c)=logₐb-logₐc，对数的除法公式。

二、换底公式和常用对数对数的底数可以是任意正数，但常用的对数底数是10和e（自然对数）。

1. 换底公式：如果知道了一个数的对数以及底数，可以通过换底公式将其转化为另一个底数的对数。

换底公式为：logₐb=㏑b/㏑a。

2. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，常用对数的符号是㏑，常用对数表是我们常用的工具之一。

三、对数方程和对数不等式对数方程和对数不等式是对数的应用之一，要解决对数方程和对数不等式，需要利用对数的性质和换底公式，通过变量的替换和代数运算来求解。

1. 对数方程：是形如logₐx=b的方程，其中a、b为已知常数，x为未知数。

求解对数方程时，可以通过对数的性质和换底公式进行变换，最终得出x的值。

2. 对数不等式：是形如㏑ₐx>b的不等式，其中a、b为已知常数，x为未知数。

求解对数不等式时，需要注意不等式的取值范围，并通过对数的性质和换底公式进行变换，找到x的取值范围。

四、指数函数与对数函数的图像和性质在高一阶段，我们学习了指数函数和对数函数的图像和性质，这对我们理解对数与指数的关系、解决相关问题非常有帮助。

1. 指数函数的图像和性质：指数函数y=a^x的图像呈现出递增或递减的特点，且过原点。

指数函数具有指数遇加法、指数遇乘法和指数函数的值域等性质。

高一数学必修一函数知识点总结

二、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2．值域 : 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .(2) 画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．5．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。

但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值．（1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性）例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。

高一数学必修一对数知识点

高一数学必修一对数知识点对数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

在高一数学必修一课程中，掌握对数的相关知识点对于学习和解题都非常关键。

本文将介绍高一数学必修一中与对数相关的几个重要知识点。

一、对数的定义和性质对数是指数运算的逆运算，用于描述指数运算中的幂次关系。

设a和b是正实数且a≠1，若a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=log_a b。

对数的性质包括对数的定义、对数的唯一性和对数的计算规则。

二、常用对数和自然对数常用对数以10为底，通常记作lgx或logx，其中x是正实数。

自然对数以常数e（自然对数的底）为底，通常记作lnx，其中x是正实数。

常用对数和自然对数在科学和工程计算中经常使用，掌握其使用方法和性质对于解题和应用都具有重要意义。

三、对数函数与指数函数的性质对数函数和指数函数是互为反函数的函数。

指数函数y=a^x （a>0，a≠1）是底为a的对数函数y=log_a x的反函数，反之亦然。

对数函数和指数函数的图像具有一些特殊的性质，如对数函数的图像在直线y=x上对称。

四、对数方程和对数不等式对数方程是指形如log_a f(x)=b的方程，其中a是正实数，a≠1；f(x)是一个关于x的已知函数，b是常数。

对数不等式是指形如log_a f(x)<b或log_a f(x)>b的不等式，其中a是正实数，a≠1；f(x)是一个关于x的已知函数，b是常数。

解对数方程和对数不等式需要运用对数的性质和计算规则。

五、指数函数与对数函数的应用指数函数和对数函数在实际问题中具有广泛的应用。

例如，指数函数可以用于描述金融领域中的复利计算，对数函数可以用于描述物理学中的衰减和增长现象。

掌握指数函数和对数函数的应用方法，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。

以上就是高一数学必修一中与对数相关的几个重要知识点的简要介绍。

对数作为数学的一个重要概念，在不同领域都具有广泛的应用价值。

通过学习和掌握这些知识点，我们能够更好地理解数学中的对数运算，并能够灵活地运用于实际问题中。

高一数学上册知识点整理：对数函数、反比例函数

高一数学上册知识点整理：对数函数、反比例函数一、对数函数1. 对数函数的定义对数函数是指形如 y = log_a(x) 的函数，其中 a 是一个正实数且不等于 1，x 是正实数。

a 被称为对数函数的底数，x 被称为对数函数的真数，y 被称为对数函数的对数。

2. 对数函数的性质•当 x > 1 时，对数函数是递增函数，即随着 x 的增大，对数函数的值也增大。

•当 0 < x < 1 时，对数函数是递减函数，即随着 x 的增大，对数函数的值减小。

•对数函数的图像为一个由左至右递增或递减的曲线，且经过点 (1,0)。

•对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

3. 常见对数函数的性质•log_a(1) = 0，对数函数的底数 a 的对数为 1 的对数为 0。

•log_a(a) = 1，任何数以自身为底的对数都等于 1。

•log_a(x * y) = log_a(x) + log_a(y)，对数函数中的乘法转换为加法。

•log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)，对数函数中的除法转换为减法。

•log_a(x^p) = p * log_a(x)，对数函数中的指数转换为系数。

二、反比例函数1. 反比例函数的定义反比例函数是指形如 y = k/x 的函数，其中 k 为非零常数。

反比例函数的图像是一个双曲线。

2. 反比例函数的性质•反比例函数的定义域为除了 x = 0 的所有实数，值域也为除了 y = 0 的所有实数。

•当 x > 0 时，反比例函数是递减函数，即随着 x 的增大，反比例函数的值减小。

•当 x < 0 时，反比例函数是递增函数，即随着 x 的减小，反比例函数的值增大。

•反比例函数的图像有两个渐进线：y = 0 和 x = 0。

•反比例函数的最小值为 k，当 x 趋近于无穷大或负无穷大时，函数的值趋近于零。

3. 反比例函数的应用•反比例函数常用于描述两个物体之间的关系，如材料的密度与体积之间的关系等。