直线与圆及其方程高考真题分类解析

直线与圆及其方程高考真题分类解析（文科全国卷）一、高考考点梳理

（一）、直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线L，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线L重合所成的角，叫作直线L的倾斜角，当直线L和x轴平行时，它的倾斜角为0.

②范围：直线倾斜角的取值范围是[0，π)．

2.直线的斜率

①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率。斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．

②过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为：k＝y

2

－y1

x

2

－x1

.

(二) 、直线方程的五种形式

(三) 、两条直线的平行与垂直

1．两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，

则有l1∥l2⇔k1＝k2. 特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2也平行.

2．两条直线垂直：如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率

不存在时，两条直线也垂直. (四) 、两条直线的交点坐标

1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0

的解一一对应. (1).相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； (2).平行⇔方程组无解； (3).重合⇔方程组有无数个解. (五) 、距离公式 1. 两点间的距离公式

平面上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式为|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 2．点到直线的距离公式：

平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |

A 2＋

B 2

.

3．两条平行直线间的距离公式

:一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离

。

(六) 、线段的中点坐标公式

若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，

则⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝x 1

＋x 2

2，y ＝y 1

＋y 2

2，

(七) 、圆的定义和圆的方程

(八) 、点与圆的位置关系

平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1).d ＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外； (2).d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上； (3).d ＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内. (九) 、判断直线与圆的位置关系的常用方法

设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，

Ax ＋By ＋C ＝0

消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.

(十) 、判断圆与圆的位置关系的常用方法

设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：

二、高考真题题型分类突破

题型一 圆的方程

【例1】（2018全国Ⅱ卷）设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k>0)

的直线L与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求L的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

解析:（1）由题意得F(1,0)，L的方程为y=k(x-1)(k>0).

设A(x

1,y

1

)，B(x

2

,y

2

)，联立y2=4x和y=k(x-1)(k>0)，得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

其中Δ=16k2+16>0，故x

1+x

2

=（2k2+4）/ k2.

所以|AB|= x

1+x

2

+2=（4k2+4）/ k2=8 ，解得k=-1（舍去）或k=1.

故直线L的方程为y=x-1.

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

设所求圆的圆心坐标为(x

0,y

)，则联立y

=-x

+5和(x

+1)2= (x

- y

-1)2/2 + 16，

解得x

0=3，y

=2或x

=11，y

=-6.

故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

题型二直线与圆的综合问题

【例2】（2018全国Ⅲ卷）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P 在圆(x-2)2+y2=2上，则ΔABP面积的取值范围是( )

A．[2,6] B．[4,8] C． D．

解析：因为直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，A（-2,0），B（0,-2），则|AB|= 。因为点P在圆(x-2)2+y2=2上，所以圆心（2,0）到直线x+y+2=0的

距离d

1= 。所以点P到直线x+y+2=0的距离d

2

的取值范围是。

故S

ΔABP =|AB|d

2

= d

2

=[2,6].故选A.

【例3】（2018全国Ⅰ卷）直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点，

则|AB|=________．

解析：圆的标准方程为x2+（y+1）2=4，圆心为(0,-1),半径R=2,

圆心到直线的距离d= ，所以|AB|= = .

【例4】（2017全国Ⅲ卷）在直角坐标系中，曲线与轴交于两点，点的坐标为（0,1）。当变化时，解答下列问题：

（1）能否出现的情况？说明理由；