【精选】全等三角形单元测试卷附答案

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板

45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)

45(a ≤≤得到ABM ，图()2所示．试问：

()1当a 为多少时，能使得图()2中//AB CD ？说出理由，

()2连接BD ，假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ，当00

)45(a ≤≤时，探索

DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．

【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=，即可求出a ；

（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒,由FEM CAM C ∠=∠+∠，

30C ∠=︒， EFM BDC DBM ∠=∠+∠， 45M ∠=︒，即可利用三角形内角和求出答案.

【详解】

()1当a 为15时，//AB CD ，

理由：由图()2，若//AB CD ，则30

BAC C ∠=∠=，

453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-︒=︒，

所以，当a 为15时，//AB CD ． 注意：学生可能会出现两种解法：

第一种：把//AB CD 当做条件求出a 为15， 第二种：把a 为15当做条件证出//AB CD ， 这两种解法都是正确的．

()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒

证明：

,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=︒,

30FEM CAM ∴∠=∠+︒, EFM BDC DBM ∠=∠+∠,

DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠,

180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=︒,

3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+︒+︒=︒,

1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=︒--=︒,

所以，DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105.

【点睛】

此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.

2．（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF . （1）试说明：△AED ≌△AFD ；

（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF 的度数和DE 的长；

（3）如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D 是斜边BC 所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE 2的长.

【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130 【解析】

试题分析：()1由ABE AFC ≌， 得到AE AF =，BAE CAF ∠=∠，

45,EAD ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即

45.DAF ∠=EAD DAF ∠=∠，

从而得到.AED AFD ≌ ()2 由△AED AFD ≌

得到ED FD =，再证明90DCF ∠=︒，

利用勾股定理即可得出结论.

()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2

AH BH BC ===

1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=求出AD 的长，即可求得2DE .

试题解析：()

1ABE AFC ≌，

AE AF =，BAE CAF ∠=∠，

45,EAD ∠=90,BAC ∠= 45,BAE CAD ∴∠+∠= 45,CAF CAD ∴∠+∠=

即45.DAF ∠=

在AED 和AFD 中，{AF AE

EAF DAE AD AD ，

=∠=∠=

.AED AFD ∴≌

()

2AED AFD ≌，

ED FD ∴=，

,90.AB AC BAC =∠=︒

45B ACB ∴∠=∠=︒， 45ACF ，

∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒

设.DE x =

,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==

222,FC DC DF +=

()2

2239.x x ∴+-=

解得： 5.x = 故 5.DE =

()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，

1

4.2

AH BH BC ==

= 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65. 22234DE AD ==或130.

点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.

3．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE ，PE 交CD 于F （1）证明：PC=PE ； （2）求∠CPE 的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE 【解析】 【分析】

(1)、根据正方形得出AB=BC ，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB 得出△ABP ≌△CBP ，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP ，∠DAP=∠DCP ，根据PA=PE 得出∠DAP=∠E ，即∠DCP=∠E ，易得答案；(3)、首先证明△ABP 和△CBP 全等，然后得出PA=PC ，

∠BAP=∠BCP ，然后得出∠DCP=∠E ，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC 是等边三角形，从而得出AP=CE. 【详解】

(1)、在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP 和△CBP 中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP （SAS ）， ∴PA=PC ，∵PA=PE ，