人教版九年级上册数学 二次函数专题练习(word版
人教版数学九年级上册 二次函数单元复习练习(Word版 含答案)

人教版数学九年级上册二次函数单元复习练习(Word版含答案)一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)1.如图,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,抛物线上一点D的坐标为(4,3)(1)求该二次函数所对应的函数解析式;(2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点,PE//x轴,PF//y轴,求线段EF的最大值;(3)如图2,点M是线段CD上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点N,当△CBN是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标.【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)EF的最大值为24;(3)M点坐标为可以为(2,3),(552+,3),(552-,3).【解析】【分析】(1)根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上,设二次函数解析式的交点式,将D点坐标代入求出a的值,最后将二次函数的交点式转化成一般式形式.(2)由题意可知点P在二次函数图象上,坐标为(p,p2﹣4p+3).又因为PF//y轴,点F 在直线BC上,P的坐标为(p,﹣p+3),在Rt△FPE中,可得FE2PF,用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值.(3)根据题意求△CBN是直角三角形,分为∠CBN=90°和∠CNB=90°两类情况计算,利用三角形相似知识进行分析求解.【详解】解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣b)(x﹣c),∵y=ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为(1,0)和(3,0),∴二次函数解析式:y=a(x﹣1)(x﹣3).又∵点D(4,3)在二次函数上,∴(4﹣3)×(4﹣1)a=3,∴解得:a=1.∴二次函数的解析式:y=(x﹣1)(x﹣3),即y=x2﹣4x+3.(2)如图1所示.因点P 在二次函数图象上,设P (p ,p 2﹣4p+3). ∵y =x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C , ∴点C 的坐标为(0,3). 又∵点B 的坐标为B (3,0), ∴OB =OC∴△COB 为等腰直角三角形. 又∵PF//y 轴,PE//x 轴, ∴△PEF 为等腰直角三角形. ∴EF 2PF .设一次函数的l BC 的表达式为y =kx+b , 又∵B (3,0)和C (0,3)在直线BC 上,303k b b +=⎧⎨=⎩, 解得:13k b =-⎧⎨=⎩,∴直线BC 的解析式为y =﹣x+3. ∴y F =﹣p+3.FP =﹣p+3﹣(p 2﹣4p+3)=﹣p 2+3p . ∴EF 2p 22. ∴线段EF 的最大值为,EF max 42-24. (3)①如图2所示:若∠CNB =90°时,点N 在抛物线上,作MN//y 轴,l//x 轴交y 轴于点E , BF ⊥l 交l 于点F .设点N 的坐标为(m ,m 2﹣4m+3),则点M 的坐标为(m ,3), ∵C 、D 两点的坐标为(0,3)和(4,3), ∴CD ∥x 轴.又∵∠CNE =∠NBF ,∠CEN =∠NFB =90°, ∴△CNE ∽△NBF . ∴CE NE =NFBF, 又∵CE =﹣m 2+4m ,NE =m ;NF =3﹣m ,BF =﹣m 2+4m ﹣3,∴24m mm-+=2343m m m --+-,化简得:m 2﹣5m+5=0. 解得:m 1=552+,m 2=552-.∴M 点坐标为(55+,3)或(55-,3)②如图3所示:当∠CBN =90°时,过B 作BG ⊥CD , ∵∠NBF =∠CBG ,∠NFB =∠BGC =90°, ∴△BFN ∽△CGB . ∵△BFN 为等腰直角三角形, ∴BF =FN ,∴0﹣(m 2﹣4m+3)=3﹣m . ∴化简得,m 2﹣5m+6=0. 解得,m =2或m =3(舍去) ∴M 点坐标为,(2,3).综上所述,满足题意的M 点坐标为可以为(2,3),(52+,3),(52-,3).【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式,二次函数和三角函数求值,三角形相似等相关知识点;同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系.2.在平面直角坐标系中,将函数y =x 2﹣2mx+m (x≤2m ,m 为常数)的图象记为G ,图象G 的最低点为P(x 0,y 0). (1)当y 0=﹣1时,求m 的值. (2)求y 0的最大值.(3)当图象G 与x 轴有两个交点时,设左边交点的横坐标为x 1,则x 1的取值范围是 .(4)点A 在图象G 上,且点A 的横坐标为2m ﹣2,点A 关于y 轴的对称点为点B ,当点A 不在坐标轴上时,以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ,使点C 、D 落在x 轴上,当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时,直接写出m 的取值范围.【答案】(1或﹣1;(2)14;(3)0<x 1<1;(4)m =0或m >43或23≤m <1【解析】 【分析】(1)分m >0,m =0,m <0三种情形分别求解即可解决问题; (2)分三种情形,利用二次函数的性质分别求解即可;(3)由(1)可知,当图象G 与x 轴有两个交点时,m >0,求出当抛物线顶点在x 轴上时m 的值,利用图象法判断即可;(4)分四种情形:①m <0,②m =0,③m >1,④0<m≤1,分别求解即可解决问题. 【详解】解:(1)如图1中,当m >0时,∵y=x2﹣2mx+m=(x﹣m)2﹣m2+m,图象G是抛物线在直线y=2m的左侧部分(包括点D),此时最底点P(m,﹣m2+m),由题意﹣m2+m=﹣1,解得m=51+或51-+(舍弃),当m=0时,显然不符合题意,当m<0时,如图2中,图象G是抛物线在直线y=2m的左侧部分(包括点D),此时最底点P是纵坐标为m,∴m=﹣1,综上所述,满足条件的m的值为512或﹣1;(2)由(1)可知,当m>0时,y0=﹣m2+m=﹣(m﹣12)2+14,∵﹣1<0,∴m=12时,y0的最大值为14,当m=0时,y0=0,当m<0时,y0<0,综上所述,y0的最大值为14;(3)由(1)可知,当图象G与x轴有两个交点时,m>0,当抛物线顶点在x轴上时,4m2﹣4m=0,∴m=1或0(舍弃),∴观察观察图象可知,当图象G与x轴有两个交点时,设左边交点的横坐标为x1,则x1的取值范围是0<x1<1,故答案为0<x1<1;(4)当m<0时,观察图象可知,不存在点A满足条件,当m=0时,图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小,满足条件,如图3中,当m>1时,如图4中,设抛物线与x轴交于E,F,交y轴于N,观察图象可知当点A在x轴下方或直线x=﹣m和y轴之间时(可以在直线x=﹣m上)时,满足条件.则有(2m﹣2)2﹣2m(2m﹣2)+m<0,解得m>43,或﹣m≤2m﹣2<0,解得23≤m<1(不合题意舍弃),当0<m≤1时,如图5中,当点A在直线x=﹣m和y轴之间时(可以在直线x=﹣m上)时,满足条件.即或﹣m≤2m ﹣2<0, 解得23≤m <1, 综上所述,满足条件m 的值为m =0或m >43或23≤m <1. 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,矩形的性质,最值问题,不等式等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.3.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -. (1)若点(2,0)-也在该抛物线上,请用含a 的关系式表示b ;(2)若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足:当120x x <<时,()()12120x x y y --<;当120x x <<时,()()12120x x y y -->;若以原点O 为圆心,OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C (点B 在点C 左侧),且ABC ∆有一个内角为60,求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,若点P 与点O 关于点A 对称,且O 、M 、N 三点共线,求证:PA 平分MPN ∠.【答案】(1)21b a =-;(2)22y x =-;(3)见解析.【解析】 【分析】(1)把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式,然后整理函数式即可得到答案. (2)根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上,进而可得出0b =,由抛物线的对称性可得出ABC ∆为等腰三角形,结合其有一个60︒的内角可得出ABC ∆为等边三角形,设线段BC 与y 轴交于点D ,根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标,再利用待定系数法可求出a 值,此题得解;(3)由(1)的结论可得出点M 的坐标为1(x ,212)x -+、点N 的坐标为2(x ,222)x-+,由O、M、N三点共线可得出212xx=-,进而可得出点N及点'N的坐标,由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N在直线PM上,进而即可证出PA平分MPN∠.【详解】解:(1)把点()0,2-、()2,0-分别代入,得2420ca b c=-⎧⎨-+=⎩.所以21b a=-.(2),如图1,当120x x<<时,()()1212x x y y--<,12x x∴-<,12y y->,∴当0x<时,y随x的增大而减小;同理:当0x>时,y随x的增大而增大,∴抛物线的对称轴为y轴,开口向上,b∴=.OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C,ABC∴∆为等腰三角形,又ABC∆有一个内角为60︒,ABC∴∆为等边三角形.设线段BC与y轴交于点D,则BD CD=,且30OCD∠=︒,又2OB OC OA===,·303CD OC cos∴=︒=,·301OD OC sin=︒=.不妨设点C在y轴右侧,则点C的坐标为31).点C在抛物线上,且2c=-,0b=,321a∴-=,1a∴=,∴抛物线的解析式为22y x=-.(3)证明:由(1)可知,点M的坐标为1(x,212)x-,点N的坐标为2(x,222)x-.如图2,直线OM的解析式为()11y k x k=≠.O、M、N三点共线,1x∴≠,2x≠,且22121222x xx x--=,121222x xx x∴-=-,()1212122x xx xx x-∴-=-,122x x∴=-,即212xx=-,∴点N的坐标为12(x-,2142)x-.设点N关于y轴的对称点为点'N,则点'N的坐标为12(x,2142)x-.点P是点O关于点A的对称点,24OP OA∴==,∴点P的坐标为()0,4-.设直线PM的解析式为24y k x=-,点M的坐标为1(x,212)x-,212124x k x∴-=-,21212x k x +∴=,∴直线PM 的解析式为21124x y x x +=-.()222111221111224224·42x x x x x x x +-+-==-, ∴点'N 在直线PM 上,PA ∴平分MPN ∠. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次(二次)函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出a 、b 满足的关系式;(2)①利用等边三角形的性质找出点C 的坐标;②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N 在直线PM 上.4.定义:对于已知的两个函数,任取自变量x 的一个值,当0x ≥时,它们对应的函数值相等;当0x <时,它们对应的函数值互为相反数,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:正比例函数y x =,它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩.(1)已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上,求a 的值; (2)已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时,求m 的值; ②当33x -≤≤时,求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. (3)在平面直角坐标系中,点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭,连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x xn =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】(1)1;(2)①22- ;②max 432y =,min 12y =-;(3)31n -<≤-,514n <≤【解析】 【分析】(1)先求出5y ax =-的相关函数,然后代入求解,即可得到答案;(2)先求出二次函数的相关函数,①分为m <0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可; ②当-3≤x <0时,y=x 2-4x+12,然后可 此时的最大值和最小值,当0≤x≤3时,函数y=-x 2+4x-12,求得此时的最大值和最小值,从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值; (3)首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值,然后结合函数图象可确定出n 的取值范围. 【详解】解:(1)根据题意,一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩,∴把点()5,10A -代入5y ax =-+,则(5)510a -⨯-+=,∴1a =;(2)根据题意,二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩,①当m <0时,将B (m ,32)代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=,解得:m=2 当m≥0时,将B (m ,32)代入y=-x 2+4x-12得:-m 2+4m-12=32,解得:或m=2.综上所述:m=2-或m=2+或m=2- ②当-3≤x <0时,y=x 2-4x+12,抛物线的对称轴为x=2,此时y 随x 的增大而减小, ∴当3x =-时,有最大值,即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=, ∴此时y 的最大值为432. 当0≤x≤3时,函数y=-x 2+4x 12-,抛物线的对称轴为x=2, 当x=0有最小值,最小值为12-, 当x=2时,有最大值,最大值y=72. 综上所述,当-3≤x≤3时,函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432,最小值为12-;(3)如图1所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点.∴当x=2时,y=1,即-4+8+n=1,解得n=-3.如图2所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点.∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1,∴-n=1,解得:n=-1.∴当-3<n≤-1时,线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.如图3所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点.∵抛物线y=-x2+4x+n经过点(0,1),∴n=1.如图4所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M (12-,1), ∴14+2-n=1,解得:n=54. ∴1<n≤54时,线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点. 综上所述,n 的取值范围是-3<n≤-1或1<n≤54. 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系,求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键.5.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0).(1)若b =1,a =﹣12c ,求证:二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点; (2)若a <0,c =0,且对于任意的实数x ,都有y ≤1,求4a +b 2的取值范围;(3)若函数图象上两点(0,y 1)和(1,y 2)满足y 1•y 2>0,且2a +3b +6c =0,试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2)240a b +≤ ;(3)12323b a <-< 【解析】 【分析】(1)根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论; (2)根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标,再整理即可;(3)将(0,y 1)和(1,y 2)分别代入函数解析式,由y 1•y 2>0,及2a +3b +6c =0,得不等式组,变形即可得出答案. 【详解】解:(1)证明:∵y =ax 2+bx+c (a≠0), ∴令y =0得:ax 2+bx+c =0 ∵b =1,a =﹣12c ,∴△=b 2﹣4ac =1﹣4(﹣12c )c =1+2c 2, ∵2c 2≥0,∴1+2c 2>0,即△>0,∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点; (2)∵a <0,c =0,∴抛物线的解析式为y =ax 2+bx ,其图象开口向下, 又∵对于任意的实数x ,都有y≤1,∴顶点纵坐标214b a-≤,∴﹣b 2≥4a , ∴4a+b 2≤0;(3)由2a+3b+6c =0,可得6c =﹣(2a+3b ), ∵函数图象上两点(0,y 1)和(1,y 2)满足y 1•y 2>0, ∴c (a+b+c )>0, ∴6c (6a+6b+6c )>0,∴将6c =﹣(2a+3b )代入上式得,﹣(2a+3b )(4a+3b )>0, ∴(2a+3b )(4a+3b )<0, ∵a≠0,则9a 2>0, ∴两边同除以9a 2得,24()()033b b a a ++<, ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩,∴4233b a -<<-, ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是:12323b a <-<. 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.6.如图1,在平面直角坐标系中,O 为原点,抛物线2y ax bx c =++经过、、A B C 三点,且其对称轴为1,x =其中点(C ,点()3,0B .(1)求抛物线的解析式;(2)①如图(1),点D 是直线CB 上方抛物线上的动点,当四边形DCAB 的面积取最大值时,求点D 的坐标;②如图(2),连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠,请直接写出点M 的横坐标.【答案】(1)23233=y x ;(2)①D 3532,,②233+2 【解析】 【分析】(1)根据点(3C ,点()3,0B ,利用待定系数法,可得函数解析式;(2)①先求出直线BC 的解析式,当直线m 与抛物线只有一个交点时,点D 到BC 的距离最远,此时△BCD 取最大值,故四边形DCAB 有最大值,求出b 的值代入原式即可得到答案; ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠,通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE 的解析式,可得答案. 【详解】解:(1)由题意得:120933baa b⎧-=⎪⎨⎪=++⎩解得323a,b故抛物线的解析式是23233=-++y x x.图(1)图(2)(2)①设直线BC的解析式为3.∵直线BC过点B(3,0),∴3则k=33-,故直线BC解析式为y=33设直线m解析式为3y x b,且直线m∥直线BC当直线m与抛物线只有一个交点时,点D到BC的距离最远,此时△BCD取最大值,故四边形DCAB有最大值.令23323b3+=+23-333330x x b当2Δ(-33)-43(333)0b时直线m与抛物线有唯一交点解之得:73,b代入原式可求得:32x = ∴D 353(,).24图(3)过D 作DP ∥y 轴交CB 于点P ,△DCB 面积=△DPC 面积+△DPB 面积,∴D 3532⎛ ⎝⎭②存在,点M 的横坐标为313+2 解题提示:如图3符合条件的直线有两条: CM 1和CM 2(分别在CB 的上方和下方) ∵在Rt △ACO 中,∠ACO=30°,在Rt △COB 中,∠CBO=30°, ∴∠BCM 1=∠BCM 2=15° ∵△BCE 中,∠BCE=∠BEC 2=15° ∴BC=BE=23则E (33+0)设直线CE 解析式为:3y kx =+ ∴0(323)3k解之得:32 ∴直线CE 解析式为:(32)3yx∴2323333(32)3y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩解得:x 1=0,x 23-1∵ 在Rt △OCF 中,∠CBO=30°,∠BCF=15°∴在Rt△COF中,∠CFO=45°∴OC=OF=3∴F(3,0)∴直线CF的解析式为-3y x∴23233-3y x xy x⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩解之得:30x=(舍去),43+2x即点M的横坐标为:23-1或3+2【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求二次函数解析式,理解坐标与图形性质是解题关键.7.如图,已知抛物2(0)y ax bx c a=++≠经过点,A B,与y轴负半轴交于点C,且OC OB=,其中B点坐标为(3,0),对称轴l为直线12x=.(1)求抛物线的解析式;(2) 在x轴上方有一点P,连接PA后满足PAB CAB∠=∠,记PBC∆的面积为S,求当10.5S=时点P的坐标(3)在(2)的条件下,当点P恰好落在抛物线上时,将直线BC上下平移,平移后的10.5S=时点P的坐标;直线y x t=+与抛物线交于,C B''两点(C'在B'的左侧),若以点,,C B P''为顶点的三角形是直角三角形,求出t的值.【答案】(1)211322y x x=--(2)(2,6)(3)19或32【解析】【分析】(1)确定点A 的坐标,再进行待定系数法即可得出结论;(2)确定直线AP 的解析式,用m 表示点P 的坐标,由面积关系求S 和m 的函数关系式即可求解;(3)先确定点P 的坐标,当'''90B PC ∠=,利用根与系数的关系确定'''B C 的中点E 的坐标,利用''2B C PE =建立方程求解,当''''90PC B ∠=时,确定点G 的坐标,进而求出直线''C G 的解析式,得出点''C 的坐标即可得出结论. 【详解】(1)∵OC OB =,且B 点坐标为(3,0), ∴C 点坐标为(0,3)-.设抛物线解析式为21()2y a x k =-+.将B 、C 两点坐标代入得2504134a k a k ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩,解得12258a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴抛物线解析式为22112511()-322822y x x x =-=--. (2)如图1,设AP 与y 轴交于点'C .∵PAB CAB ∠=∠,OA OA =,90AOC AOC ∠'=∠=︒, ∴AOC ∆≌AOC ∆', ∴3OC OC ='=, ∴(0,3)C '. ∵对称轴l 为直线12x =, ∴(2,0)A -, ∴直线AP 解析式为332y x =+, ∵(3,0)B ,(0,-3)C , ∴直线BC 解析式为-3y x =, ∴313(3)622PF x x x =+--=+, ∴13924PBC S OB PF x ∆=⨯⨯=+, ∵10.5S =,∴3910.54x +=, ∴2x =.此时P 点的坐标为(2,6).(3)如图2,由211-322332y x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得6,12P (),当90C PB ∠=''︒时,取''B C 的中点E ,连接PE . 则2B C PE ''=,即224B C PE =''. 设1122(,),(,)B x y C x y ''.由211-322y x x y x t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得23(26)0x x t --+=, ∴12123,(26)x x x x t +==-+, ∴点33(,)22E t +, 222221212121212()()2()2()41666B C x x y y x x x x x x t ⎡⎤=-+-=-+-=+⎣=⎦'',222233261(6)(1221222PE t t t =-+-=-+),∴226116664(21)2t t t +=-+, 解得:19t =或6(舍去),当90PC B ''''∠=︒时,延长C P ''交BC 于H ,交x 轴于G . 则90,45BHG PGO ∠=︒∠=︒,过点P 作PG x ⊥轴于点Q ,则12GQ PQ ==, ∴(18,0)G ,∴直线C G ''的解析式为18y x =-+,由211-322-18y x x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得725x y =-⎧⎨=⎩或612x y =⎧⎨=⎩(舍去), ∴(7,25)C '-',将(7,25)C '-'代入y x t =+中得32t =.综上所述,t 的值为19或32.【点睛】本题主要考查了待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法、根与系数的关系、直角三角形的性质,属于二次函数综合题.8.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其顶点为P ,连接PA 、AC 、CP ,过点C 作y 轴的垂线l .(1)P 的坐标 ,C 的坐标 ;(2)直线1上是否存在点Q ,使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(3,4),(0,﹣5);(2)存在,点Q 的坐标为:(92,﹣5)或(212,﹣5)【解析】【分析】(1)利用配方法求出顶点坐标,令x=0,可得y=-5,推出C(0,-5);(2)直线PC的解析式为y=3x-5,设直线交x轴于D,则D(53,0),设直线PQ交x轴于E,当BE=2AD时,△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍,分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解:(1)∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣(x﹣3)2+4,∴顶点P(3,4),令x=0得到y=﹣5,∴C(0,﹣5).故答案为:(3,4),(0,﹣5);(2)令y=0,x2﹣6x+5=0,解得:x=1或x=5,∴A(1,0),B(5,0),设直线PC的解析式为y=kx+b,则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩,解得:35 kb=⎧⎨=-⎩,∴直线PC的解析式为:y=3x﹣5,设直线交x轴于D,则D(53,0),设直线PQ交x轴于E,当BE=2AD时,△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍,∵AD=23,∴BE=43,∴E(113,0)或E′(193,0),则直线PE 的解析式为:y =﹣6x +22, ∴Q (92,﹣5), 直线PE ′的解析式为y =﹣65x +385, ∴Q ′(212,﹣5), 综上所述,满足条件的点Q 的坐标为:(92,﹣5)或(212,﹣5); 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.9.在平面直角坐标系中,二次函数y =ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A (﹣3,0),B (1,0)两点,与y 轴交于点C .(1)求这个二次函数的关系解析式;(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,是否存在点P ,使△ACP 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由;(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q ,使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,说明理由;【答案】(1)224233y x x =--+;(2)存在,点P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,使△PAC 的面积最大;(3)存在点Q ,使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形.Q 点坐标为:Q 1(2,3),Q 2(3,1),Q 3(﹣1,﹣1),Q 4(﹣2,1).【解析】【分析】(1)直接把点A (﹣3,0),B (1,0)代入二次函数y =ax 2+bx+2求出a 、b 的值即可得出抛物线的解析式;(2)设点P 坐标为(m ,n ),则n =﹣23m 2﹣43m+2,连接PO ,作PM ⊥x 轴于M ,PN ⊥y 轴于N .根据三角形的面积公式得出△PAC 的表达式,再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可;(3)以BC 为边,在线段BC 两侧分别作正方形,正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”,因此有四个点符合题意要求,再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ,过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ,根据全等三角形的判定定理得出△Q 1CD ≌△CBO ,△CBO ≌△BQ 2E ,故可得出各点坐标.【详解】(1)∵抛物线y =ax 2+bx+2过点A (﹣3,0),B (1,0),∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得 ∴二次函数的关系解析式为y =﹣23x 2﹣43x+2; (2)存在.∵如图1所示,设点P 坐标为(m ,n ),则n =﹣23m 2﹣43m+2. 连接PO ,作PM ⊥x 轴于M ,PN ⊥y 轴于N .则PM =﹣23m 2﹣43m+2.,PN =﹣m ,AO =3. ∵当x =0时,y =﹣23×0﹣43×0+2=2, ∴OC =2,∴S △PAC =S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO =12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO =12×3×(﹣23m 2﹣43m+2)+12×2×(﹣m )﹣12×3×2 =﹣m 2﹣3m∵a =﹣1<0∴函数S △PAC =﹣m 2﹣3m 有最大值∴当m =﹣2b a =﹣32时,S △PAC 有最大值. ∴n =﹣23m 2﹣43m+2=﹣23×(﹣32)2﹣43×(﹣32)+2=52, ∴存在点P (﹣32,52),使△PAC 的面积最大.(3)如图2所示,以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3,则点Q 1,Q 2,Q 3,Q 4为符合题意要求的点.过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ,过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E , ∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∠3+∠4=90°,∴∠1=∠3,∠2=∠4,在△Q 1CD 与△CBO 中,∵11324Q C BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△Q 1CD ≌△CBO ,∴Q 1D =OC =2,CD =OB =1,∴OD =OC+CD =3,∴Q 1(2,3);同理可得Q 4(﹣2,1);同理可证△CBO ≌△BQ 2E ,∴BE =OC =2,Q 2E =OB =1,∴OE =OB+BE =1+2=3,∴Q 2(3,1),同理,Q 3(﹣1,﹣1),∴存在点Q ,使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形.Q 点坐标为:Q 1(2,3),Q 2(3,1),Q 3(﹣1,﹣1),Q 4(﹣2,1).【点睛】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数解析式,二次函数极值、全等三角形的判定与性质,正方形及等腰直角三角形的性质等知识,涉及面较广,难度较大.10.如图,经过原点的抛物线2y ax x b =-+与直线2y =交于A ,C 两点,其对称轴是直线2x =,抛物线与x 轴的另一个交点为D ,线段AC 与y 轴交于点B .(1)求抛物线的解析式,并写出点D 的坐标;(2)若点E 为线段BC 上一点,且2EC EA -=,点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点,连接PE ,过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ,连接PF ,探究在P 点运动过程中,线段PE ,PF 有何数量关系?并证明所探究的结论;(3)设抛物线顶点为M ,求当t 为何值时,DMF ∆为等腰三角形?【答案】(1)214y x x =-;点D 的坐标为(4,0);(2)5PF PE =,理由见解析;(3)51t +=98t = 【解析】【分析】(1)先求出a 、b 的值,然后求出解析式,再求出点D 的坐标即可;(2)由题意,先求出点E 的坐标,然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽,得到2EF PE =,结合勾股定理,即可得到答案;(3)根据题意,可分为三种情况进行分析:FM FD =或DF DM =或FM MD =,分别求出三种情况的值即可.【详解】解:(1)∵抛物线2y ax x b =-+经过原点, ∴0b =.又抛物线的对称轴是直线2x =,∴122a --=,解得:14a =. ∴抛物线的解析式为:214y x x =-. 令2104y x x =-=, 解得:10x =,24x =.∴点D 的坐标为(4,0).(2)线段PE 、PF 的数量关系为:5PF PE =.证明:由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ,如图①,AE EG GC +=,∴EG GC AE =-,∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-,∵2EC EA -=,∴1EG =,∴(1,2)E ,过点E 作EH x ⊥轴于H ,则2EH OB ==.∵PE EF ⊥,∴90PEF ∠=︒,∵BE EH ⊥,∴90BEH ∠=︒.∴PEB HEF ∠=∠. 在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中,∵PEB HEF ∠=∠,90EHF EBP ∠=∠=︒,∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽,∴12PE BE EF HE ==, ∴2EF PE =. 在Rt PEF ∆中,由勾股定理得:222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=,∴5PF PE =.(3)由2211(2)144y x x x =-=--, ∴顶点M 坐标为(2,1)-.若DMF ∆为等腰三角形,可能有三种情形:(I )若FM FD =.如图②所示:连接MG 交x 轴于点N ,则90MNF ∠=︒,∵(4,0)D , ∴2222125MD MN ND =+=+=设FM FD k ==,则2NF k =-.在Rt MNF ∆中,由勾股定理得:222NF MN MF +=,∴22(2)1k k -+=,解得:54k =, ∴54FM =,34NF =, ∴1MN =,即点M 的纵坐标为1-;令1y =-,则2114x x -=-, ∴2x =,即ON=2, ∴OF=114, ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵(1,2)E ,∴1,2BE BP t ==-, ∴221(2)PE t =+-, ∴251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中,由勾股定理,得222OP OF PF +=,∴22211()55(2)4t t +=+-, ∴98t =. (II )若DF DM =.如图③所示:此时5FD DM == ∴45OF =, ∴(45,0)F ,由(I )知,221(2)PE t =+-,251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中,由勾股定理,得222OP OF PF +=, ∴222(45)55(2)t t +-=+- ∴512t =. (III )若FM MD =.由抛物线对称性可知,此时点F 与原点O 重合.∵PE EF ⊥,点P 在直线AC 上方,与点P 在线段OB 上运动相矛盾,故此种情形不存在.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到相似三角形的判定和性质,一次函数的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,以及勾股定理等知识,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.。
人教版数学九年级上册 二次函数(篇)(Word版 含解析)

人教版数学九年级上册 二次函数(篇)(Word 版 含解析)一、初三数学 二次函数易错题压轴题(难)1.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线L :y =ax 2﹣4ax (a >0)与x 轴正半轴交于点A .抛物线L 的顶点为M ,对称轴与x 轴交于点D .(1)求抛物线L 的对称轴.(2)抛物线L :y =ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L ',抛物线L '的顶点为M ',若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形,求L '的表达式.(3)在(2)的条件下,点P 在抛物线L 上,且位于第四象限,点Q 在抛物线L '上,是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点P 坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1)2x =;(2)2122y x x =-+ ;(3)存在,P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)根据抛物线的对称轴公式计算即可.(2)利用正方形的性质求出点M ,M ′的坐标即可解决问题.(3)分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可.【详解】解:(1)∵抛物线L :y =ax 2﹣4ax (a >0),∴抛物线的对称轴x =﹣42a a-=2. (2)如图1中,对于抛物线y=ax2﹣4ax,令y=0,得到ax2﹣4ax=0,解得x=0或4,∴A(4,0),∵四边形OMAM′是正方形,∴OD=DA=DM=DM′=2,∴M((2,﹣2),M′(2,2)把M(2,﹣2)代入y=ax2﹣4ax,可得﹣2=4a﹣8a,∴a=12,∴抛物线L′的解析式为y=﹣12(x﹣2)2+2=﹣12x2+2x.(3)如图3中,由题意OD=2.当OD为平行四边形的边时,PQ=OD=2,设P(m,12m2﹣2m),则Q[m﹣2,﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)]或[m+2,﹣12(m+2)2+2(m+2)],∵PQ∥OD,∴12m2﹣2m=﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)或12m2﹣2m=﹣12(m+2)2+2(m+2),解得m=3±3或1±3,∴P(3+3,3)或(3﹣3,﹣3)或(1﹣3,3)和(1+3,﹣3),当OD是平行四边形的对角线时,点P的横坐标为1,此时P(1,﹣32 ),综上所述,满足条件的点P的坐标为(3+3,3)或(3﹣3,﹣3)或(1﹣3,3)和(1+3,﹣3)或(1,﹣32 ).【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题2.如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+2(2)存在,P1(,4),P2(,),P3(,﹣)(3)当点E运动到(2,1)时,四边形CDBF的面积最大,S四边形CDBF的面积最大=.【解析】试题分析:(1)将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组,解方程组即可得出m、n的值;(2)根据二次函数的解析式可得对称轴方程,由勾股定理求出CD的值,以点C为圆心,CD为半径作弧交对称轴于P1;以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2,P3;作CH 垂直于对称轴与点H,由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论;(3)由二次函数的解析式可求出B点的坐标,从而可求出BC的解析式,从而可设设E点的坐标,进而可表示出F的坐标,由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式,由二次函数的性质就可以求出结论.试题解析:(1)∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A(﹣1,0),C(0,2).解得:,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+2;(2)∵y=﹣x2+x+2,∴y=﹣(x﹣)2+,∴抛物线的对称轴是x=.∴OD=.∵C(0,2),∴OC=2.在Rt△OCD中,由勾股定理,得CD=.∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形,∴CP1=CP2=CP3=CD.作CH⊥x轴于H,∴HP1=HD=2,∴DP1=4.∴P1(,4),P2(,),P3(,﹣);(3)当y=0时,0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1,x2=4,∴B(4,0).设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象,得,解得:,∴直线BC的解析式为:y=﹣x+2.如图2,过点C作CM⊥EF于M,设E(a,﹣a+2),F(a,﹣a2+a+2),∴EF=﹣a2+a+2﹣(﹣a+2)=﹣a2+2a(0≤x≤4).∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN,=+a(﹣a2+2a)+(4﹣a)(﹣a2+2a),=﹣a2+4a+(0≤x≤4).=﹣(a﹣2)2+∴a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,∴E(2,1).考点:1、勾股定理;2、等腰三角形的性质;3、四边形的面积;4、二次函数的最值3.二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ,顶点为P ,直线PA 与x 轴交于点B .(1)当m =1时,求顶点P 的坐标;(2)若点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上,且0b m ->,试求a 的取值范围;(3)在第一象限内,以AB 为边作正方形ABCD .①求点D 的坐标(用含m 的代数式表示);②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,请直接写出符合条件的整数m 的值.【答案】(1)P (2,13);(2)a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①D (m ,m +3); ②2,3,4.【解析】【分析】(1)把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中,进而求顶点P 的坐标即可;(2)把点Q (a ,b )代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中,根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组,解出a 的取值范围即可; (3)①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标,得到OA 的长,再根据待定系数法求出直线AP 的解析式,进而求出与x 轴的交点B 的坐标,得到OB 的长;通过证明△ADF ≌△ABO ,得到AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,求出点D 的坐标;②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,由①同理可得:C (m+3,3),分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况,进行讨论m 可能取的整数值即可.【详解】解:(1)当m =1时,二次函数为212163y x x =-+, ∴顶点P 的坐标为(2,13); (2)∵点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上, ∴2263m m b a a m =-+, 即:2263m m b m a a -=- ∵0b m ->,∴2263m m a a ->0, ∵m >0, ∴2263a a ->0, 解得:a <0或a >4,∴a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①如下图,过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+, ∴顶点P (2,3m ), 当x=0时,y=m ,∴点A (0,m ),∴OA=m ;设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0),把点A (0,m ),点P (2,3m )代入,得: 23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩, 解得:3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m , 当y=0时,x=3,∴点B (3,0);∴OB=3;∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB ,∠DAF+∠FAB=90°,且∠OAB+∠FAB =90°,∴∠DAF=∠OAB ,在△ADF 和△ABO 中, DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADF ≌△ABO (AAS ),∴AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,∴点D 的坐标为:(m ,m+3);②由①同理可得:C (m+3,3),∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,∴当x =m 时,3y m ≤+,可得322363m m m m -+≤+,化简得:32418m m -≤.∵0m >,∴2184m m m -≤,∴218(2)4m m--≤, 显然:m =1,2,3,4是上述不等式的解,当5m ≥时,2(2)45m --≥,18 3.6m ≤,此时,218(2)4m m-->, ∴符合条件的正整数m =1,2,3,4; 当x = m +3时,y ≥3,可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥, ∵0m >,∴21823m m m ++≥,即218(1)2m m++≥, 显然:m =1不是上述不等式的解,当2m ≥时,2(1)211m ++≥,189m ≤,此时,218(1)2m m++>恒成立, ∴符合条件的正整数m =2,3,4;综上:符合条件的整数m 的值为2,3,4.【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用,熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键.4.如图,已知点()1,2A 、()()5,0B n n >,点P 为线段AB 上的一个动点,反比例函数()0k y x x=>的图像经过点P .小明说:“点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值逐渐增大,当点P 在点A 位置时k 值最小,在点B 位置时k 值最大.”(1)当1n =时.①求线段AB 所在直线的函数表达式.②你完全同意小明的说法吗?若完全同意,请说明理由;若不完全同意,也请说明理由,并求出正确的k 的最小值和最大值.(2)若小明的说法完全正确,求n 的取值范围.【答案】(1)①1944y x =-+;②不完全同意小明的说法;理由见详解;当92x =时,k有最大值8116;当1x =时,k 有最小值2;(2)109n ≥; 【解析】【分析】(1)①直接利用待定系数法,即可求出函数的表达式; ②由①得直线AB 为1944y x =-+,则21944k x x =-+,利用二次函数的性质,即可求出答案;(2)根据题意,求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+,设点P 为(x ,k x ),则得到221044n n k x x --=-,讨论最高项的系数,再由一次函数及二次函数的性质,得到对称轴52b a-≥,即可求出n 的取值范围. 【详解】解:(1)当1n =时,点B 为(5,1),①设直线AB 为y ax b =+,则251a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得:1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴1944y x =-+; ②不完全同意小明的说法;理由如下: 由①得1944y x =-+, 设点P 为(x ,k x),由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+, ∴22191981()444216k x x x =-+=--+; ∵104-<, ∴当92x =时,k 有最大值8116; 当1x =时,k 有最小值2;∴点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值先增大后减小,当点P 在点A 位置时k 值最小,在92x =的位置时k 值最大. (2)∵()1,2A 、()5,B n ,设直线AB 为y ax b =+,则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩,解得:24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, ∴21044n n y x --=+, 设点P 为(x ,k x ),由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-, 当204n -=,即n=2时,2k x =,则k 随x 的增大而增大,如何题意; 当n≠2时,则对称轴为:101042242n n x n n --==--; ∵点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值逐渐增大,当点P 在点A 位置时k 值最小,在点B 位置时k 值最大.即k 在15x ≤≤中,k 随x 的增大而增大; 当204n ->时,有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩,解得:26n n >⎧⎨≥-⎩, ∴不等式组的解集为:2n >; 当204n -<时,有 ∴20410524n n n -⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩,解得:1029n ≤<, ∴综合上述,n 的取值范围为:109n ≥.【点睛】本题考查了二次函数的性质,反比例函数的性质,一次函数的性质,以及解不等式组,解题的关键是熟练掌握所学的知识,掌握所学函数的性质进行解题,注意利用分类讨论的思想进行分析.5.如图,抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,点D 为抛物线的顶点.点A 坐标的为3,0,点C 的坐标为()0,3.(Ⅰ)求抛物线的解析式;(Ⅱ)点M 为线段AB 上一点(点M 不与点A 、B 重合),过点M 作i 轴的垂线,与直线AC 交于点E ,与抛物线交于点P ,过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ,过点Q 作QN x ⊥轴于点N .若点P 在点Q 左边,当矩形PMNQ 的周长最大时,求AEM △的面积;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当矩形PMNQ 的周长最大时,连接DQ ,过抛物线上一点F 作y 轴的平行线,与直线AC 交于点G (点G 在点F 的上方).若=22FG DQ ,求点F 的坐标.【答案】(Ⅰ)223y x x =--+;(Ⅱ)12;(Ⅲ)()4,5F --或()1,0 【解析】【分析】(Ⅰ)将点A ,点C 坐标代入解析式可求解;(Ⅱ)设M (x ,0),P (x ,-x 2-2x+3),利用对称性可求点Q (-2-x ,-x 2-2x+3),可求MP=-x 2-2x+3,PQ=-2-x-x=-2-2x ,则可用x 表示矩形PMNQ 的周长,由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时,点P 的坐标,即可求点E ,点M 的坐标,由三角形面积公式可求解;(Ⅲ)先求出点D 坐标,即可求2FG=4,设F (m ,-m 2-2m+3),则G (m ,m+3),用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解.【详解】 解:(Ⅰ)依题意()()2330{3b c c --+⨯-+==解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+(Ⅱ)2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ,()2,23P x x x --+,其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+,222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时,d 取最大值,此时,(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则303k b b -+=⎧⎨=⎩,解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3yx 将2x =-代入3yx ,得1y = ∴(2,1)E -,∴1EM =∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当矩形PMNQ 的周长最大时,2x =-此时点()0,3Q ,与点C 重合,∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ,则1DK =,4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形,2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+,则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=,解得14m =-,21m =当4m =-时,2235m m --+=-当1m =时,2230m m --+=.∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的性质,矩形的性质,等腰直角三角形的性质等,利用参数表示线段的长度是本题的关键.6.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其顶点为P ,连接PA 、AC 、CP ,过点C 作y 轴的垂线l .(1)P 的坐标 ,C 的坐标 ;(2)直线1上是否存在点Q ,使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(3,4),(0,﹣5);(2)存在,点Q的坐标为:(92,﹣5)或(212,﹣5)【解析】【分析】(1)利用配方法求出顶点坐标,令x=0,可得y=-5,推出C(0,-5);(2)直线PC的解析式为y=3x-5,设直线交x轴于D,则D(53,0),设直线PQ交x轴于E,当BE=2AD时,△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍,分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解:(1)∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣(x﹣3)2+4,∴顶点P(3,4),令x=0得到y=﹣5,∴C(0,﹣5).故答案为:(3,4),(0,﹣5);(2)令y=0,x2﹣6x+5=0,解得:x=1或x=5,∴A(1,0),B(5,0),设直线PC的解析式为y=kx+b,则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩,解得:35 kb=⎧⎨=-⎩,∴直线PC的解析式为:y=3x﹣5,设直线交x轴于D,则D(53,0),设直线PQ交x轴于E,当BE=2AD时,△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍,∵AD=23,∴BE=43,∴E(113,0)或E′(193,0),则直线PE的解析式为:y=﹣6x+22,∴Q(92,﹣5),直线PE′的解析式为y=﹣65x+385,∴Q′(212,﹣5),综上所述,满足条件的点Q的坐标为:(92,﹣5)或(212,﹣5);【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.7.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A 在点B的左侧.(1)如图1,当k=1时,直接写出A,B两点的坐标;(2)在(1)的条件下,点P 为抛物线上的一个动点,且在直线AB 下方,试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标;(3)如图2,抛物线y=x 2+(k ﹣1)x ﹣k (k >0)与x 轴交于点C 、D 两点(点C 在点D 的左侧),在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)A(-1,0) ,B(2,3)(2)△ABP 最大面积s=1927322288⨯⨯=; P (12,﹣34) (3)存在;k=25 【解析】【分析】(1) 当k=1时,抛物线解析式为y=x 2﹣1,直线解析式为y=x+1,然后解方程组211y x y x ⎧=⎨=+⎩﹣即可; (2) 设P (x ,x 2﹣1).过点P 作PF ∥y 轴,交直线AB 于点F ,则F (x ,x+1),所以利用S △ABP =S △PFA +S △PFB ,,用含x 的代数式表示为S △ABP=﹣x 2+x+2,配方或用公式确定顶点坐标即可.(3) 设直线AB :y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ,用k 分别表示点E 的坐标,点F 的坐标,以及点C 的坐标,然后在Rt △EOF 中,由勾股定理表示出EF 的长,假设存在唯一一点Q ,使得∠OQC=90°,则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ,设点N 为OC 中点,连接NQ ,根据条件证明△EQN ∽△EOF ,然后根据性质对应边成比例,可得关于k 的方程,解方程即可.【详解】解:(1)当k=1时,抛物线解析式为y=x 2﹣1,直线解析式为y=x+1.联立两个解析式,得:x 2﹣1=x+1,解得:x=﹣1或x=2,当x=﹣1时,y=x+1=0;当x=2时,y=x+1=3,∴A (﹣1,0),B (2,3).(2)设P (x ,x 2﹣1).如答图2所示,过点P 作PF ∥y 轴,交直线AB 于点F ,则F (x ,x+1).∴PF=y F ﹣y P =(x+1)﹣(x 2﹣1)=﹣x 2+x+2.S △ABP =S △PFA +S △PFB =PF(xF ﹣xA )+PF (xB ﹣xF )=PF (xB ﹣xA )=PF∴S △ABP=(﹣x 2+x+2)=﹣(x ﹣12)2+278 当x=12时,yP=x 2﹣1=﹣34. ∴△ABP 面积最大值为,此时点P 坐标为(12,﹣34). (3)设直线AB :y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ,则E (﹣1k ,0),F (0,1),OE=1k,OF=1. 在Rt △EOF 中,由勾股定理得:EF=22111=k k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭.令y=x 2+(k ﹣1)x ﹣k=0,即(x+k )(x ﹣1)=0,解得:x=﹣k 或x=1.∴C (﹣k ,0),OC=k .假设存在唯一一点Q ,使得∠OQC=90°,如答图3所示,则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ,根据圆周角定理,此时∠OQC=90°. 设点N 为OC 中点,连接NQ ,则NQ ⊥EF ,NQ=CN=ON=2k . ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2k . ∵∠NEQ=∠FEO ,∠EQN=∠EOF=90°,∴△EQN ∽△EOF ,∴NQ EN OF EF =,即:1221k k k k-=, 解得:25, ∵k >0,∴25.∴存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,此时k=25.考点:1.二次函数的性质及其应用;2.圆的性质;3.相似三角形的判定与性质.8.如图,已知抛物线2y x bx c=-++与x轴交于A,B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中点A的坐标是()1,0,点C的坐标是()2,3-,抛物线的顶点为点D.(1)求抛物线和直线AC的解析式.(2)若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求APC∆的面积的最大值及此时点P的坐标.(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点E,点M为直线AC上的任意一点,过点M作//MN DE交抛物线于点N,以D,E,M,N为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出点M的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)y=-x2-2x+3,y=-x+1;(2)最大值为278,此时点P(12-,154);(3)能,(0,1),(1172-+317-)或(1172--,3172)【解析】【分析】(1)直接利用待定系数法进行求解,即可得到答案;(2)设点P(m,-m2-2m+3),则Q(m,-m+1),求出PQ的长度,结合三角形的面积公式和二次函数的性质,即可得到答案;(3)根据题意,设点M(t,-t+1),则点N(t,-t2-2t+3),可分为两种情况进行分析:①当点M在线段AC上时,点N在点M上方;②当点M在线段AC(或CA)延长线上时,点N在点M下方;分别求出点M的坐标即可.【详解】解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(1,0),C(-2,3),∴10423b cb c-++=⎧⎨--+=⎩,,解得:23bc=-⎧⎨=⎩,.∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.设直线AC 的解析式为y=kx+n .将点A ,C 坐标代入,得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩,,解得11k n =-⎧⎨=⎩,. ∴直线AC 的解析式为y=-x+1.(2)过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q .设点P(m ,-m 2-2m+3),则Q(m ,-m+1).∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2.∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++. ∴当m=12-时,S △APC 最大,最大值为278,此时点P(12-,154). (3)能.∵y=-x 2-2x+3,点D 为顶点,∴点D(-1,4),令x=-1时,y=-(-1)+1=2,∴点E(-1,2).∵MN ∥DE ,∴当MN=DE=2时,以D ,E ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形.∵点M 在直线AC 上,点N 在抛物线上,∴设点M(t ,-t+1),则点N(t ,-t 2-2t+3).①当点M 在线段AC 上时,点N 在点M 上方,则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2.∴-t 2-t+2=2,解得:t=0或t=-1(舍去).∴此时点M 的坐标为(0,1).②当点M 在线段AC (或CA )延长线上时,点N 在点M 下方,则MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2.∴t 2+t-2=2,解得:t=12-+或t=12-. ∴此时点M). 综上所述,满足条件的点M 的坐标为:(0,1【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式;(2)利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题;(3)利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置.9.如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上,边OB在y轴的负半轴上.且AO=12,OB=9.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A和点B.(1)求抛物线的表达式;(2)在第二象限的抛物线上找一点M,连接AM,BM,AB,当△ABM面积最大时,求点M的坐标;(3)点D是线段AO上的动点,点E是线段BO上的动点,点F是射线AC上的动点,连接EF,DF,DE,BD,且EF是线段BD的垂直平分线.当CF=1时.①直接写出点D的坐标;②若△DEF的面积为30,当抛物线y=﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时,请直接写出此时的抛物线的表达式.【答案】(1)y=﹣x2﹣514x﹣9;(2)M(﹣6,31.5);(3)①(﹣50)或(﹣3,0),②y=﹣x2﹣133x﹣4【解析】【分析】(1)利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题.(2)如图1中,设M(m,﹣m2﹣514m﹣9),根据S△ABM=S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题即可.(3)①分两种情形:如图2中,当点F在AC的延长线设时,连接DF,FB.设D(m,0).根据FD=FB,构建方程求解.当点F在线段AC上时,同法可得.②根据三角形的面积求出D,E的坐标,再利用待定系数法解决问题即可.【详解】解:(1)由题意A(﹣12,0),B(0,﹣9),把A,B的坐标代入y=﹣x2+bx+c,得到9 144120cb c=-⎧⎨--+=⎩,解得:5149bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣514x﹣9.(2)如图1中,设M(m,﹣m2﹣514m﹣9),S△ABM=S△ACM+S△MBC﹣S△ACB=12×9×(m+12)+12×12×(﹣m2﹣514m﹣9+9)﹣12×12×9=﹣6m2﹣72m=﹣6(m+6)2+216,∵﹣6<0,∴m=﹣6时,△ABM的面积最大,此时M(﹣6,31.5).(3)①如图2中,当点F在AC的延长线设时,连接DF,FB.设D(m,0).∵EF垂直平分线段BD,∴FD=FB,∵F (﹣12,﹣10),B (0,﹣9),∴102+(m+12)2=122+12,∴m =﹣12﹣35(舍弃)或﹣12+35,∴D (﹣12+35,0).当点F 在线段AC 上时,同法可得D (﹣3,0),综上所述,满足条件的点D 的坐标为(﹣12+35,0)或(﹣3,0).故答案为(﹣12+35,0)或(﹣3,0).②由①可知∵△EF 的面积为30,∴D (﹣3,0),E (0,﹣4),把D ,E 代入y =﹣x 2+b′x+c′,可得'493''0c b c =-⎧⎨--+=⎩, 解得:13'3'4b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣133x ﹣4. 故答案为:y =﹣x 2﹣133x ﹣4. 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.10.在平面直角坐标系xOy 中(如图),已知二次函数2y ax bx c =++(其中a 、b 、c 是常数,且a ≠0)的图像经过点A (0,-3)、B (1,0)、C (3,0),联结AB 、AC . (1)求这个二次函数的解析式;(2)点D 是线段AC 上的一点,联结BD ,如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=,求tan ∠DBC 的值; (3)如果点E 在该二次函数图像的对称轴上,当AC 平分∠BAE 时,求点E 的坐标.【答案】(1)243y x x =-+-;(2)32;(3)E (2,73-) 【解析】【分析】 (1)直接利用待定系数法,把A 、B 、C 三点代入解析式,即可得到答案;(2)过点D 作DH ⊥BC 于H ,在△ABC 中,设AC 边上的高为h ,利用面积的比得到32AD DC =,然后求出DH 和BH ,即可得到答案; (3)延长AE 至x 轴,与x 轴交于点F ,先证明△OAB ∽△OFA ,求出点F 的坐标,然后求出直线AF 的方程,即可求出点E 的坐标.【详解】解:(1)将A (0,-3)、B (1,0)、C (3,0)代入20y ax bx c a =++≠()得,03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩,∴此抛物线的表达式是:243y x x =-+-.(2)过点D 作DH ⊥BC 于H ,在△ABC 中,设AC 边上的高为h ,则11:():():3:222ABD BCD S S AD h DC h AD DC ∆∆=⋅⋅==, 又∵DH//y 轴,∴25CH DC DH OC AC OA ===. ∵OA=OC=3,则∠ACO=45°,∴△CDH 为等腰直角三角形,∴26355CH DH ==⨯=. ∴64255BH BC CH =-=-=. ∴tan ∠DBC=32DH BH =. (3)延长AE 至x 轴,与x 轴交于点F ,∵OA=OC=3,∴∠OAC=∠OCA=45°,∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ,∠OFA=∠OCA -∠FAC=45°-∠FAC ,∵∠BAC=∠FAC , ∴∠OAB=∠OFA .∴△OAB ∽△OFA ,∴13OB OA OA OF ==. ∴OF=9,即F (9,0);设直线AF 的解析式为y=kx+b (k≠0),可得093k b b =+⎧⎨-=⎩ ,解得133k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩, ∴直线AF 的解析式为:133y x =-, 将x=2代入直线AF 的解析式得:73y =-, ∴E (2,73-). 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质,二次函数的性质,求二次函数的解析式,等腰直角三角形的判定和性质,求一次函数的解析式,解题的关键是掌握二次函数的图像和性质,以及正确作出辅助线构造相似三角形.。
人教版九年级数学上学期(第一学期)《二次函数》同步练习及答案.docx

第二十六章二次函数26.1 二次函数(一)1.矩形周长是20cm,一边长是x㎝,面积是y㎝2,则y与x的函数关系式是,这个函数称作次函数.2.下列函数y=0.5x-1,y=3x2,y=0.5x2-4x+1,y=x(x-2),y=(x-1)2-x2中,二次函数的个数为( )(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个3.k取哪些值时,函数y=(k2-k)x2+kx+(k+1)是以x为自变量是一次函数?二次函数?4.已知等腰直角三角形的斜边长为xcm,面积为ycm2,请写出y与x的函数关系式,并判断它是什么函数?5.如图,正方形ABCD边长是4,E、F分别在BC、CD上,设ΔAEF面积是y,EC=x,如果CE=CF,试求出y与x的函数关系及自变量取值范围,并判定y是x的什么函数?6.已知二次函数y=ax2+c,当x=0时,y=-3;当x=1时,y=-1,求当x=-2时,y的值.7.一块矩形耕地大小尺寸如下图,要在这块地上沿东西方向挖一条水渠,沿南北方向挖两条水渠,水渠宽为xm,余下的可耕地面积为ym2,(1)请你写出y与x之间的函数关系式.(2)根据你写出的函数关系式,求出水渠宽为1m时,余下的可耕地面积为多少?(3)若耕除去水渠剩余部分面积为4408m2,求此时水渠的宽度.26.1二次函数(二)1.已知函数y=ax2的图象过点(2,-4),则a=,对称轴是,顶点坐标是,抛物线的开口方向,抛物线的顶点是最点.2.下列关于函数y=-0.5x2的图象说法( )①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点(0,0).其中正确的有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个3.已知函数y=x2的图象过点(a,b),则它必通过的另一点是( )(A)(a,-b) (B)(-a,b)(C)(-a,-b) (D)(b,a)4.抛物线y=ax2过A(-1,2),试判断B(-2,-3),C(,)是否在抛物线上.5、已知正方形的对角线长为x,面积为y.(1)写出y与x的函数关系;(2)画出这个函数的图象草图.6.抛物线y=ax2(a≠0)与直线y=4x-3交于点A(m,1),求:(1)点A的坐标及抛物线顶点C的坐标和对称轴;(2)抛物线y=ax2与直线y=4x-3是否还有其他交点?若有,请求出这个交点B的坐标,若没有,请说明理由. 并求点A、B、C三点构成的三角形的面积.2.6.1二次函数(三)1.函数y=-1.5x2+2的图象开口方向,对称轴是,顶点坐标是,当x=时,y最大.2.把抛物线y=-x2向上平移4个单位后,得到的抛物线的函数解析式为,平移后的抛物线的顶点坐标是,对称轴是,与y轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标是.3.将抛物线y=2x2-3通过下列( )平移后得到抛物线y=2x2,(A)向下平移3个单位(B)向上平移3个单位(C)向下平移2个单位(D)向上平移2个单位4.已知抛物线的对称轴是y轴,顶点的纵坐标为5,且过点(1,2)求这条抛物线的解析式.5.抛物线y=ax2+c顶点是(0,2),且形状及开口方向与y=-0.5x2相同.(1)确定a、c的值;(2)画出这个函数的图象.6.在同一坐标系中,画出函数y=-x2+2与y=x2-2的图像请分别说出图象的顶点坐标、对称轴及开口方向,并比较两个图像之间有何联系?26.1二次函数(四)1.抛物线y=3(x-2)2的对称轴是( )(A)直线x=2 (B)直线x=-2 (C)y 轴 (D)x 轴2.将抛物线y=3x 2向左平移3个单位所得的抛物线的函数关系式为( )A 、332-=x y B 、2)3(3-=x y C 、332+=x y D 、2)3(3+=x y3.抛物线2)1(--=x y 是由抛物线向平移个单位得到的,平称后的抛物线对称轴是,顶点坐标是,当x=时,y 有最值,其值是.4.用配方法把下列函数化成y=a(x-h)2的形式,并指出开口方向,顶点坐标和对称轴.(1)y=x 2+4x+4(2)y=- x 2+3x-(3)y=2x 2-4x5、已知二次函数图像的顶点在x 轴上,且图像经过点(2,-2)与(-1,-8)求此函数解析式.6.抛物线2)2(-=x a y 经过(1,-1).(1)确定a 的值;(2)画出这个函数图象; (3)求出抛物线与坐标轴的交点坐标.2.6.1 二次函数(五) 1、填表2、下列抛物线顶点是(2,1)的是( )A.1)2(22--=x yB.2)1(32+-=x y C.1)2(22+-=x y D.2)1(42+-=x y 3、抛物线23x y =先向上平移2个单位,后向右平移3个单位,所得抛物线是( )A.2)3(32-+=x y B.2)3(32++=x y C.2)3(32--=x y D.2)3(32+-=x y 4、抛物线的顶点在(-1,-2)且又过(-2,-1). (1)确定抛物线的解析式; (2)画出这个函数的图象.综合与运用5、如图所示,求:(1)抛物线的解析式,(2)抛物线与x 轴的交点坐标.6.某同学在推铅球时,推球经过的路线是抛物线的一部分(如图),出手处A 点坐标是(0,2),最高点B 坐标是(6,5),(1)求此抛物线的函数表达式.(2)你能算出这位学生推出的铅球有多远吗?拓展与探索7.如图,在一幢建筑物里,从10m 高的窗户处用水管斜着向外喷水,喷出的水,在垂直于墙壁的平面内画出一条抛物线,其顶点离墙1m,并且在离墙3m 处落到地面上,问抛物线的顶点比喷出的水高出多少?26.1二次函数(六)1、二次函数322+-=x x y 的顶点坐标是( ) A 、(1,0) B 、(1,2) C 、(2,1) D 、(―1,―2)2、二次函数y= x 2+x-1的图像是由函数y=x 2的图像先向平移个单位,再向平移个单位得到的. 3、用配方法求下列抛物线的顶点坐标和对称轴(1)x x y -=2(2)122+--=x x y4、写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标,当x 为何值时,y 有最大(小)值?并求其值. (1)y=-x 2+3x-2 (2))12)(2(--=x x y综合与运用5、有一矩形的苗圃,其四周是总长为40m 篱笆,假设它的一边长为xm ,面积为2ym . (1)y 随x 的变化的规律是什么?请分别用函数的表达式、表格、函数的图象表示出; (2)由函数的图象指出当x 取何值时,苗圃的面积最大?最大面积是多少?6、有一条长为7.2m 的木料,做成如图所示的“日”字形的窗柜,窗柜的宽和高各取多少时,这个窗的面积S 最大?最大面积是多少?(不考虑木料加工时的损耗和中间木柜所占的面积)7、心理学家发现,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位:min)之间满足函数关系y=-0.1x 2+2.6x+43 (0≤x ≤30),y 值越大,表示接受能力越强.(1)x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内,学生的接受能力逐步降低? (2)第10min 时,学生的接受能力是多少? (3)多长时间内,学生的接受能力最强? 复习巩固1、下列函数中,是二次函数的是( )A 、y=0.5(x-3)xB 、y=(x+2)(x-2)-x 2C 、y=-0.75xD 、y=2、抛物线1)1(22+-=x y 的顶点是( ) A 、(1,1) B 、(-1,1) C 、(1,-1) D 、(-1,-1)3、顶点是(-2,0),开口方向、形状与抛物线y=0.5x 2相同的抛物线是( )A 、y=0.5(x-2)2B 、y=0.5(x+2)2C 、y=-0.5(x-2)2D 、y=-0.5(x+2)2 4、抛物线32+=x y 向右平移2个单位,再向上平移3个单位,所得新的抛物线是. 5、写出一个开口向下且对称轴是x=-2的二次函数解析式 6、将二次函数222---=x x y 经配方后得( )A 、3)1(2---=x y B 、3)1(2-+-=x yC 、1)1(2---=x yD 、1)1(2-+-=x y 7、二次函数42-=x y 与x 轴的交点坐标为,8、二次函数a x ax y ++=42的最大值是3,则=a9、将一根铁丝长为x,围成一个等边三角形,则面积S 与周长x 的关系式为. 10、 根据下列条件,分别确定二次函数中字母系数的值:(1)抛物线c x x y ++=42的顶点在x 轴上;c= (2)抛物线232+-=x ax y 的图像经过点(-1,3)a= (3)抛物线52+-=bx x y 的对称轴是直线x=-2,b=综合与运用11、如图,有一直角梯形的苗圃,它的两邻边借用夹角是135°的两围墙,另外两边用总长为30m的篱笆,问篱笆的两边各是多少米时,苗圃的面积最大?最大面积是多少?12、某商场将进价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明:这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就减少10个.(1)为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时应进台灯多少个?(2)如果商场要想每月的销售利润最多,这种台灯的售价又将定为多少?这时应进台灯多少个?13.某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售,在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上,对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测,提供了两个方面的信息,如图甲、乙两图请你根据图象提供的信息说明:(1)在3月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多少元?(收益=售价-成本)(2)哪个月出售这种蔬菜每千克的收益最大?说明理由.拓展与探索14、已知二次函数y=-0.5x 2+x+1.5 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴; (2)画出这个函数的图象;(3)根据图象回答:当x 取哪些值时,y =0,y >0,y <0第二十六章答案 26.1二次函数(一)1、x x y 102+-=,二. 2、B 3、k=1,k ≠0且k ≠1.4、241x y =它是二次函数 5、x x y 4212+-= 0<x<4,二次 6、5 7(1)480020022+-=x x y , (2)4602m 2, (3)此时水渠的宽度是2m.26、1二次函数(二)1、-1 y 轴 (0,0) 向下 高 2、D 3、B 4、点B 不在,点C 在 5、(1)221x y = (2)略 6、A 7(1)A(1,1) 顶点C(0,0)对称轴是y 轴.(2)(3,9)3 26、1二次函数(三)1、 下、y 轴、(0,2),1,2 2、42+-=x y (0,4) y 轴 (0,4) (2,0)(-2,0) 3、B 4、532+-=x y 5、(1)2,21=-=c a (2)略 6、顶点坐标分别是(0,2)(0,-2) 对称轴都是y 轴,开口方向向下与向上,两个图象关于x 轴对称, 6、 26.1二次函数(四)1、A 2、D 3、2x y -= 右 1 直线x=1 1 大草原0 4、(1)2)2(+=x y 开口向上, 顶点(-2,0)对称轴是直线x=-2 (2)2)3(21--=x y 开口向下,顶点(3,0)对称轴是直线x=3 5、2)5(92--=x y 或2)1(2--=x y ,6、(1)-1,(2)略(3) (0,-4)(2,0) 26.1二次函数(五)1、略 2、C 3、D 4、(1)2)1(2-+=x y (2)略5、(1)3)2(432+--=x y (2)(0,0) (4,0 ) 6、(1)5)6(1212+--=x y (2)1526+ 7、310 26.1二次函数(六)1、B 2、左 2 下 2 3、(1)41)21(2--=x y 顶点()41,21- 对称轴是直线21=x (2)2)1(2++-=x y 顶点(-1,2)对称轴是直线x=-1, 4、(1)25)3(212+--=x y 开口向下,顶点(3,)25对称轴是直线x=3,当x=3时,y 有最大值是35 (2)87)45(22--=x y 开口向上,顶点()87,45- 对称轴是直线x=45,当x= 45时,y 有最小值87- 5、(1)变化规律是二次函数、x x y 202+-= 表格与图象略,(2)当x=10m 时,y 的最大值是100m 2,6、宽为,21m ⋅高为m 8.1,最大面积为216.2m . 7、(1) 0≤x ≤13 13<x ≤30 (3)x=13复习题1、A 2、A 3、B 4、6)2(2+-=x y 5、不唯一如2)2(+-=x y 6、D 7、(2,0) (-2,0)8、4或-1 9、2363x y = 10、(1)4 (2)-2 (3)-4 11、直角腰为10m,下底边为20m,最大面积为150m 2.12、(1)当售价定为50元时,销售量为500个,当售价定为80元时,销售量为200个,(2)当售价定为65元时,销售量为350个,获利最大是1225元.13、(1)1元,(2)每千克售价关于月份的函数关系式为7321+-=x y ,每千克成本关于月份的函数关系式1)6(3122+-=x y ,每千克的收益21y y y -=,故37)5(312+--=x y ,当x=5时,y 最大值37, 14、(1)2)1(212+--=x y 顶点点坐标(1,2) 对称轴是直线x=1,(2)略 (3)当x=-1或x=3时,y=0,当-1<x<3时y>0,当x<-1或x>3时,y<0.。
人教版九年级数学上册二次函数图像性质练习题.docx

人教版九年级数学上册二次函数图像性质练习题.docx 马鸣风萧萧初中数学试卷马鸣风萧萧初三数学二次函数图像性质练习题函数 y a x h 2的图象与性质1 、抛物线 y 1 x 32 ,顶点坐标是,当 x 时, y 随 x 的增大而减小,2函数有最值。
2 、试写出抛物线 y 3x 2 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
(1)右移 2 个单位;( 2 )左移2个单位;( 3 )先左移 1 个单位,再右移 4 个单位。
33 、请你写出函数y2x 2 1 具有的共同性质(至少 2 个)。
x 1 和y4 、二次函数y 2 1a x h 的图象如图:已知 a ,OA=OC ,试求该抛物线的解析式。
2 5 、抛物线y 3(x 3)2与 x 轴交点为 A ,与 y 轴交点为 B ,求 A、B 两点坐标及⊿ AOB 的面积。
6 、二次函数y a( x 4)2 ,当自变量 x 由 0 增加到 2 时,函数值增加 6 。
求:( 1 )求出此函数关系式。
( 2 )说明函数值 y 随 x 值的变化情况。
7 、已知抛物线y x2(k 2) x 9 的顶点在坐标轴上,求k 的值。
马鸣风萧萧9 .二次函数y ax 2的图像开口向____,对称轴是____,顶点坐标是____,图像有最___点,x___时, y 随 x 的增大而增大, x ___时, y 随 x 的增大而减小。
10 .关于 y 1 x2, y x2 , y 3x2的图像,下列说法中不正确的是()3A .顶点相同B.对称轴相同 C .图像形状相同 D .最低点相同11 .两条抛物线 y x2 与 y x2 在同一坐标系内,下列说法中不正确的是()A .顶点相同B .对称轴相同C.开口方向相反 D .都有最小值12 .在抛物线 y x2 上,当 y< 0 时, x 的取值范围应为()A . x> 0B .x < 0 C. x ≠ 0 D . x≥ 013 .对于抛物线y x2与 y x2下列命题中错误的是()A .两条抛物线关于x 轴对称B .两条抛物线关于原点对称C .两条抛物线各自关于y 轴对称D .两条抛物线没有公共点14 .抛物线 y= - b x2+ 3 的对称轴是___,顶点是___。
人教版版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习(word版含答案)

人教版九年级上册数学期中常考题《二次函数的图像和性质》专项复习一.选择题(共5小题)1.(日喀则市一模)下列函数中是二次函数的为()A.y=3x﹣1B.y=3x2﹣1C.y=(x+1)2﹣x2D.y=x3+2x﹣32.(舒城县期末)下列y关于x的函数中,属于二次函数的是()A.y=x﹣1B.y=C.y=(x﹣1)2﹣x2D.y=﹣2x2+13.(阜宁县期末)下列函数中,不是二次函数的是()A.y=1﹣x2B.y=2(x﹣1)2+4C.y=(x﹣1)(x+4)D.y=(x﹣2)2﹣x24.(中江县模拟)二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是()A.B.C.D.5.(合川区校级期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是()A .B .C .D .二.填空题(共5小题)6.(林州市期中)当m=时,y =(m 2﹣1)是二次函数.7.(仙游县期中)若y =(m +1)x 2+mx ﹣1是关于x 的二次函数,则m 满足 . 8.如果函数y =(m +1)x+2是二次函数,那么m = .9.已知两个二次函数的图象如图所示,那么a 1 a 2(填“>”、“=”或“<”).10.用“描点法”画二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象时,列出了如下表格:x … 1 2 3 4 … y =ax 2+bx +c…﹣13…那么该二次函数在x =0时,y = .三.解答题(共5小题)11.已知函数y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数,求m的值;(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?12.已知y=(m﹣1)x是关于x的二次函数,求m的值.13.已知二次函数y=﹣x2+4x.(1)写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴;(2)在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象(列表、描点、连线);(3)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围.14.小明利用函数与不等式的关系,对形如(x﹣x1)(x﹣x2)…(x﹣x n)>0(n为正整数)的不等式的解法进行了探究.(1)下面是小明的探究过程,请补充完整:①对于不等式x﹣3>0,观察函数y=x﹣3的图象可以得到如表格:x的范围x>3x<3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3>0的解集为x>3.②对于不等式(x﹣3)(x﹣1)>0,观察函数y=(x﹣3)(x﹣1)的图象可以得到如表表格:x的范围x>31<x<3x<1y的符号+﹣+由表格可知不等式(x﹣3)(x﹣1)>0的解集为.③对于不等式(x﹣3)(x﹣1)(x+1)>0,请根据已描出的点画出函数y=(x﹣3)(x﹣1)(x+1)的图象;观察函数y=(x﹣3)(x﹣1)(x+1)的图象补全下面的表格:x的范围x>31<x<3﹣1<x<1x<﹣1y的符号+﹣由表格可知不等式(x﹣3)(x﹣1)(x+1)>0的解集为.……小明将上述探究过程总结如下:对于解形如(x﹣x1)(x﹣x2)……(x﹣x n)>0(n为正整数)的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集.(2)请你参考小明的方法,解决下列问题:①不等式(x﹣6)(x﹣4)(x﹣2)(x+2)>0的解集为.②不等式(x﹣9)(x﹣8)(x﹣7)2>0的解集为.15.下表给出一个二次函数的一些取值情况:x…01234…y…30﹣103…(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象;(2)根据图象说明:当x取何值时,y的值大于0?参考答案一.选择题(共5小题)1.(日喀则市一模)下列函数中是二次函数的为()A.y=3x﹣1B.y=3x2﹣1C.y=(x+1)2﹣x2D.y=x3+2x﹣3【考点】二次函数的定义.【分析】根据二次函数的定义,可得答案.【解答】解:A、y=3x﹣1是一次函数,故A错误;B、y=3x2﹣1是二次函数,故B正确;C、y=(x+1)2﹣x2不含二次项,故C错误;D、y=x3+2x﹣3是三次函数,故D错误;故选:B.【点评】本题考查了二次函数的定义,形如y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,要先化简再判断.2.(舒城县期末)下列y关于x的函数中,属于二次函数的是()A.y=x﹣1B.y=C.y=(x﹣1)2﹣x2D.y=﹣2x2+1【考点】二次函数的定义.【专题】函数思想.【分析】整理成一般形式,根据二次函数定义即可解答.【解答】解:A、该函数中自变量x的次数是1,属于一次函数,故本选项错误;B、该函数是反比例函数,故本选项错误;C、由已知函数关系式得到:y=﹣2x+1,属于一次函数,故本选项错误;D、该函数符合二次函数定义,故本选项正确.故选:D.【点评】考查了二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y═ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式.3.(阜宁县期末)下列函数中,不是二次函数的是()A.y=1﹣x2B.y=2(x﹣1)2+4C.y=(x﹣1)(x+4)D.y=(x﹣2)2﹣x2【考点】二次函数的定义.【分析】将各函数整理成一般式后根据二次函数定义判断即可.【解答】解:A、y=1﹣x2是二次函数;B、y=2(x﹣1)2+4=2x2﹣4x+6,是二次函数;C、y=(x﹣1)(x+4)=x2+x﹣2,是二次函数;D、y=(x﹣2)2﹣x2=﹣4x+4,是一次函数;故选:D.【点评】本题主要考查二次函数的定义,掌握二次函数的定义:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数是解题的关键.4.(中江县模拟)二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c,它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是()A.B.C.D.【考点】正比例函数的图象;二次函数的图象.【分析】根据二次函数的开口方向,与y轴的交点;一次函数经过的象限,与y轴的交点可得相关图象.【解答】解:∵一次函数和二次函数都经过y轴上的(0,c),∴两个函数图象交于y轴上的同一点,排除B、C;当a>0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除D;当a<0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,A正确;故选:A.【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质;用到的知识点为:二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标;一次函数的一次项系数大于0,图象经过一、三象限;小于0,经过二、四象限;二次函数的二次项系数大于0,图象开口向上;二次项系数小于0,图象开口向下.5.(合川区校级期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是()A.B.C.D.【考点】一次函数的图象;二次函数的图象.【专题】一次函数及其应用;二次函数图象及其性质;几何直观;推理能力.【分析】由y=ax2+bx+c的图象判断出a<0,b<0,于是得到一次函数y=ax+b的图象经过二,三,四象限,即可得到结论.【解答】解:∵y=ax2+bx+c的图象的开口向下,∴a<0,∵对称轴在y轴的左侧,∴b<0,∴一次函数y=ax+b的图象经过二,三,四象限.【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象,解题的关键是明确二次函数的性质,由函数图象可以判断a、b的取值范围.二.填空题(共5小题)6.(林州市期中)当m=2时,y=(m2﹣1)是二次函数.【考点】二次函数的定义.【专题】二次函数图象及其性质;模型思想.【分析】利用二次函数定义可得m2﹣m=2,且m2﹣1≠0,再解出m的值即可.【解答】解:由题意得:m2﹣m=2,且m2﹣1≠0,解得:m=2,故答案为:2.【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是注意二次函数的二次项系数不为零.7.(仙游县期中)若y=(m+1)x2+mx﹣1是关于x的二次函数,则m满足m≠﹣1.【考点】二次函数的定义.【专题】二次函数图象及其性质;模型思想.【分析】利用二次函数定义可得m+1≠0,再解不等式即可.【解答】解:由题意得:m+1≠0,解得:m≠﹣1,故答案为:m≠﹣1.【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.8.如果函数y=(m+1)x+2是二次函数,那么m=2.【考点】二次函数的定义.【专题】二次函数图象及其性质;符号意识.【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值.【解答】解:∵函数y=(m+1)x+2是二次函数,∴m2﹣m=2,(m﹣2)(m+1)=0,解得:m1=2,m2=﹣1,∴m≠﹣1,故m=2.故答案为:2.【点评】此题主要考查了二次函数的定义,正确得出m的方程是解题关键.9.已知两个二次函数的图象如图所示,那么a1>a2(填“>”、“=”或“<”).【考点】二次函数的图象.【专题】二次函数图象及其性质;几何直观;推理能力.【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案.【解答】解:如图所示y=a1x2的开口大于y=a2x2的开口,开口向下,则a2<a1<0,故答案为:>.【点评】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键.10.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,列出了如下表格:x…12 3 4…y=…0﹣1 0 3 …ax2+bx+c那么该二次函数在x=0时,y=3.【考点】二次函数的图象.【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值,确定二次函数的对称轴,利用抛物线的对称性找到当x=0时,y的值即可.【解答】解:由上表可知函数图象经过点(1,0)和点(3,0),∴对称轴为x=2,∴当x=4时的函数值等于当x=0时的函数值,∵当x=4时,y=3,∴当x=0时,y=3.故答案是:3.【点评】本题考查了二次函数的图象的性质,利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键.三.解答题(共5小题)11.已知函数y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数,求m的值;(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?【考点】一次函数的定义;二次函数的定义.【专题】函数思想.【分析】(1)根据二次项的系数等于零,一次项的系数不等于零,可得方程和不等式,根据解方程和不等式,可得答案;(2)根据二次项的系数不等于零,可得不等式,根据不等式,可得答案.【解答】解:(1)依题意得∴∴m=0;(2)依题意得m2﹣m≠0,∴m≠0且m≠1.【点评】本题考查了二次函数的定义,二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键.12.已知y=(m﹣1)x是关于x的二次函数,求m的值.【考点】二次函数的定义.【专题】常规题型.【分析】根据二次函数定义可得m2+2m﹣1=2且m﹣1≠0,再解即可.【解答】解:∵y=(m﹣1)x是关于x的二次函数,∴m2+2m﹣1=2,解得m=1或﹣3,∵m﹣1≠0,∴m≠1,∴m=﹣3.【点评】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.13.已知二次函数y=﹣x2+4x.(1)写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴;(2)在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象(列表、描点、连线);(3)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围.【考点】二次函数的图象;二次函数的性质.【分析】(1)把一般式化成顶点式即可求得;(2)首先列表求出图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.(3)根据图象从而得出y<0时,x的取值范围.【解答】解:(1)∵y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,∴对称轴是过点(2,4)且平行于y轴的直线x=2;(2)列表得:x…﹣1012345…y…﹣503430﹣5…描点,连线.(3)由图象可知,当y<0时,x的取值范围是x<0或x>4.【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数的图象,从而求出y<0时,x的取值.14.小明利用函数与不等式的关系,对形如(x﹣x1)(x﹣x2)…(x﹣x n)>0(n为正整数)的不等式的解法进行了探究.(1)下面是小明的探究过程,请补充完整:①对于不等式x﹣3>0,观察函数y=x﹣3的图象可以得到如表格:x的范围x>3x<3y的符号+﹣由表格可知不等式x﹣3>0的解集为x>3.②对于不等式(x﹣3)(x﹣1)>0,观察函数y=(x﹣3)(x﹣1)的图象可以得到如表表格:x的范围x>31<x<3x<1y的符号+﹣+由表格可知不等式(x﹣3)(x﹣1)>0的解集为x>3或x<1.③对于不等式(x﹣3)(x﹣1)(x+1)>0,请根据已描出的点画出函数y=(x﹣3)(x﹣1)(x+1)的图象;观察函数y=(x﹣3)(x﹣1)(x+1)的图象补全下面的表格:x的范围x>31<x<3﹣1<x<1x<﹣1y的符号+﹣+﹣由表格可知不等式(x﹣3)(x﹣1)(x+1)>0的解集为x>3或﹣1<x<1.……小明将上述探究过程总结如下:对于解形如(x﹣x1)(x﹣x2)……(x﹣x n)>0(n为正整数)的不等式,先将x1,x2…,x n按从大到小的顺序排列,再划分x的范围,然后通过列表格的办法,可以发现表格中y的符号呈现一定的规律,利用这个规律可以求这样的不等式的解集.(2)请你参考小明的方法,解决下列问题:①不等式(x﹣6)(x﹣4)(x﹣2)(x+2)>0的解集为x>6或2<x<4或x<﹣2.②不等式(x﹣9)(x﹣8)(x﹣7)2>0的解集为x>9或x<8且x≠7.【考点】一次函数的图象;一次函数与一元一次不等式;二次函数的图象.【专题】一元一次不等式(组)及应用;一次函数及其应用;二次函数图象及其性质.【分析】(1)②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集;③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集;(2)①根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集;②根据小明的方法,可以直接写出该不等式的解集.【解答】解:(1)②由表格可知不等式(x﹣3)(x﹣1)>0的解集为x>3或x<1,故答案为:x>3或x<1;③图象如右图所示,当﹣1<x<1时,(x﹣3)(x﹣1)(x+1)>0,当x<﹣1时,(x﹣3)(x﹣1)(x+1)<0,由表格可知不等式(x﹣3)(x﹣1)(x+1)>0的解集为x>3或﹣1<x<1,故答案为:+,﹣,x>3或﹣1<x<1;(2)①不等式(x﹣6)(x﹣4)(x﹣2)(x+2)>0的解集为x>6或2<x<4或x<﹣2,故答案为:x>6或2<x<4或x<﹣2;②不等式(x﹣9)(x﹣8)(x﹣7)2>0的解集为x>9或x<8且x≠7,故答案为:x>9或x<8且x≠7【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,写出相应的不等式的解集.15.下表给出一个二次函数的一些取值情况:x…01234…y…30﹣103…(1)请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象;(2)根据图象说明:当x取何值时,y的值大于0?【考点】二次函数的图象.【专题】常规题型.【分析】(1)先利用描点、连线的方法画出图形;(2)找出函数图象位于x轴上方时,自变量x的范围即可.【解答】解:(1)描点、连线得:(2)由函数图象可知:当x<1或x>3时,y>0.【点评】本题主要考查的是二次函数的图形,数形结合是解题的关键.。
(完整word版)二次函数专题训练(正方形的存在性问题)含答案

二次函数专题训练(正方形的存在性)1.如图,已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象经过点 A ( l , 0), B(﹣ 3,0),与 y 轴交于点C,抛物线的极点为 D ,对称轴与x 轴订交于点E,连结 BD .( 1)求抛物线的分析式.( 2)若点 P 在直线 BD 上,当 PE=PC 时,求点P 的坐标.( 3)在( 2)的条件下,作PF⊥ x 轴于 F,点 M 为 x 轴上一动点,N 为直线 PF 上一动点, G 为抛物线上一动点,当以点F, N ,G,M 四点为极点的四边形为正方形时,求点M 的坐标.2.如图,抛物线y= ﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B,与 y 轴交于点C,点 B 坐标为( 6,0),点 C 坐标为( 0, 6),点 D 是抛物线的极点,过点 D 作 x 轴的垂线,垂足为E,连结 BD .( 1)求抛物线的分析式及点 D 的坐标;( 2)点 F 是抛物线上的动点,当∠FBA= ∠ BDE 时,求点 F 的坐标;( 3)若点 M 是抛物线上的动点,过点M 作 MN ∥x 轴与抛物线交于点N ,点 P 在 x 轴上,点 Q 在座标平面内,以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ,请写出点Q 的坐标.3.如图,已知抛物线y=ax2 +bx﹣ 3 过点 A (﹣ 1, 0), B( 3,0),点 M 、 N 为抛物线上的动点,过点M 作MD ∥ y 轴,交直线 BC 于点 D ,交 x 轴于点 E.过点 N 作 NF ⊥ x 轴,垂足为点 F( 1)求二次函数 y=ax2+bx ﹣ 3 的表达式;( 2)若 M 点是抛物线上对称轴右边的点,且四边形MNFE 为正方形,求该正方形的面积;( 3)若 M 点是抛物线上对称轴左边的点,且∠DMN=90°, MD=MN ,请直接写出点M 的横坐标.4.(2015 贵州省毕节地域) 如图,抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A (﹣ 1,0), B( 3, 0)两点,极点M 关于 x 轴的对称点是M′.( 1)求抛物线的分析式;( 2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C,求△ CAB 的面积;( 3)能否存在过A, B 两点的抛物线,其极点P 对于 x 轴的对称点为Q,使得四边形APBQ 为正方形?若存在,求出此抛物线的分析式;若不存在,请说明原因.5. (2016 辽宁省铁岭市 ) .如图,抛物线y= ﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A ,点 B,与 y 轴交于点C,点 B 坐标为( 6,0),点 C 坐标为( 0,6),点 D 是抛物线的极点,过点 D 作 x 轴的垂线,垂足为E,连结 BD .( 1)求抛物线的分析式及点 D 的坐标;( 2)点 F 是抛物线上的动点,当∠FBA= ∠ BDE 时,求点 F 的坐标;( 3)若点 M 是抛物线上的动点,过点M作MN∥ x轴与抛物线交于点N ,点 P 在 x 轴上,点 Q 在平面内,以线段 MN 为对角线作正方形MPNQ ,请直接写出点Q 的坐标.二次函数专题训练(正方形的存在性)6.(2016 广东省茂名市 ) .如图,抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过 A (﹣ 1, 0), B(3,0)两点,且与 y 轴交于点 C,点 D 是抛物线的极点,抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 E,连结 BD .(1)求经过 A ,B ,C 三点的抛物线的函数表达式;(2)点 P 是线段 BD 上一点,当 PE=PC 时,求点 P 的坐标;( 3)在( 2)的条件下,过点P 作 PF⊥x 轴于点 F, G 为抛物线上一动点,M 为 x 轴上一动点, N 为直线PF 上一动点,当以F、 M 、 G 为极点的四边形是正方形时,恳求出点M 的坐标.二次函数专题训练(正方形的存在性问题)参照答案1.如图,已知抛物线 y=x 2+bx+c 的图象经过点 A ( l , 0), B(﹣ 3,0),与 y 轴交于点 C,抛物线的极点为D ,对称轴与 x 轴订交于点 E,连结 BD .( 1)求抛物线的分析式.( 2)若点 P 在直线 BD 上,当 PE=PC 时,求点P 的坐标.( 3)在( 2)的条件下,作PF⊥ x 轴于 F,点 M 为 x 轴上一动点,N 为直线 PF 上一动点, G 为抛物线上一动点,当以点F, N ,G,M 四点为极点的四边形为正方形时,求点M 的坐标.【解答】解:( 1)∵抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点 A ( 1, 0), B(﹣ 3,0),∴,∴,∴抛物线的分析式为y=x2+2x ﹣ 3;( 2)由( 1)知,抛物线的分析式为y=x 2+2x ﹣ 3;∴C( 0,﹣ 3),抛物线的极点 D(﹣ 1,﹣ 4),∴E(﹣ 1, 0),设直线 BD 的分析式为y=mx+n ,∴,∴,∴直线BD 的分析式为y= ﹣ 2x ﹣6,设点 P( a,﹣ 2a﹣ 6),∵ C( 0,﹣ 3), E(﹣ 1, 0),依据勾股定理得,PE2=( a+1)2+(﹣ 2a﹣ 6)2,22 2PC =a +(﹣ 2a﹣ 6+3 ),∵PC=PE,∴( a+1)2+(﹣ 2a﹣ 6)2 =a2+(﹣ 2a﹣ 6+3 )2,∴a=﹣ 2,∴ y= ﹣ 2×(﹣ 2)﹣ 6=﹣ 2,∴P(﹣ 2,﹣ 2),(3)如图,作 PF⊥ x 轴于 F,∴ F(﹣ 2, 0),设 M ( d, 0),∴ G( d, d2+2d ﹣ 3), N(﹣ 2, d2+2d﹣ 3),∵以点 F, N ,G, M 四点为极点的四边形为正方形,必有FM=MG ,∴|d+2|=|d2+2d ﹣ 3|,∴ d= 或 d= ,∴点 M 的坐标为(, 0),(, 0),(, 0),(, 0).2.如图,抛物线y= ﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B,与 y 轴交于点C,点 B 坐标为( 6,0),点 C 坐标为( 0, 6),点 D 是抛物线的极点,过点 D 作 x 轴的垂线,垂足为E,连结 BD .( 1)求抛物线的分析式及点 D 的坐标;( 2)点 F 是抛物线上的动点,当∠FBA= ∠ BDE 时,求点 F 的坐标;( 3)若点 M 是抛物线上的动点,过点M 作 MN ∥ x 轴与抛物线交于点N,点 P 在 x 轴上,点Q 在座标平面内,以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ,请写出点Q 的坐标.【解答】解:( 1)把 B 、C 两点坐标代入抛物线分析式可得,解得,∴抛物线分析式为y=﹣x2+2x+6 ,∵ y= ﹣x2+2x+6= ﹣(x﹣2)2+8,∴ D(2,8);( 2)如图 1,过 F 作 FG⊥ x 轴于点 G,设 F( x,﹣x2+2x+6 ),则 FG=|﹣x2+2x+6| ,∵∠ FBA= ∠BDE ,∠ FGB= ∠ BED=90°,∴△ FBG ∽△ BDE ,∴=,∵ B(6,0),D(2,8),∴ E( 2,0), BE=4 ,DE=8 , OB=6 ,∴ BG=6 ﹣ x,∴=,当点 F 在 x 轴上方时,有=,解得x=﹣1或x=6(舍去),此时F点的坐标为(﹣1,);当点 F 在 x 轴下方时,有=﹣,解得x=﹣3或x=6(舍去),此时F 点坐标为(﹣ 3,﹣);综上可知 F 点的坐标为(﹣1,)或(﹣3,﹣);( 3)如图 2,设对角线MN 、 PQ 交于点 O′,∵点 M 、 N 对于抛物线对称轴对称,且四边形MPNQ 为正方形,∴点 P 为抛物线对称轴与x 轴的交点,点Q 在抛物线的对称轴上,设Q(2, 2n),则 M 坐标为( 2﹣ n,n),∵点 M 在抛物线 y= ﹣ x2+2x+6 的图象上,∴ n=﹣(2﹣n)2+2(2﹣n)+6,解得n=﹣1+或n=﹣1﹣,∴知足条件的点Q 有两个,其坐标分别为(2,﹣ 2+2)或(2,﹣2﹣2).3.如图,已知抛物线y=ax2 +bx﹣ 3 过点 A (﹣ 1, 0), B( 3,0),点 M 、 N 为抛物线上的动点,过点M 作MD ∥ y 轴,交直线 BC 于点 D ,交 x 轴于点 E.过点 N 作 NF ⊥ x 轴,垂足为点 F( 1)求二次函数 y=ax2+bx ﹣ 3 的表达式;( 2)若 M 点是抛物线上对称轴右边的点,且四边形MNFE 为正方形,求该正方形的面积;( 3)若 M 点是抛物线上对称轴左边的点,且∠DMN=90°, MD=MN ,请直接写出点M 的横坐标.【解答】解:( 1)把 A (﹣ 1, 0),B ( 3, 0)代入 y=ax 2+bx ﹣ 3,得:,解得,故该抛物线分析式为:y=x 2﹣2x﹣ 3;(2)由( 1)知,抛物线分析式为: y=x 2﹣2x﹣ 3=( x﹣ 1)2﹣ 4,∴该抛物线的对称轴是 x=1 ,极点坐标为( 1,﹣ 4).如图,设点 M 坐标为( m, m2﹣2m﹣ 3),此中 m> 1,∴ME=| ﹣ m2+2m+3|,∵M 、 N 对于 x=1 对称,且点 M 在对称轴右边,∴点 N 的横坐标为 2﹣ m,∴MN=2m ﹣ 2,∵四边形MNFE 为正方形,∴ME=MN ,∴|﹣ m2+2m+3|=2m ﹣ 2,分两种状况:①当﹣ m2+2m+3=2m ﹣ 2 时,解得: m1= 、 m2=﹣(不切合题意,舍去),当 m= 时,正方形的面积为( 2 ﹣2)2=24 ﹣ 8 ;②当﹣ m2 3 4=2﹣(不切合题意,舍去),+2m+3=2 ﹣ 2m 时,解得: m =2+ , m当 m=2+ 时,正方形的面积为[2 (2+ )﹣ 2]2=24+8 ;综上所述,正方形的面积为24+8 或 24﹣ 8 .( 3)设 BC 所在直线分析式为y=px+q ,把点 B (3, 0)、C( 0,﹣ 3)代入表达式,得:,解得:,∴直线 BC 的函数表达式为y=x﹣ 3,设点 M 的坐标为( t, t2﹣ 2t﹣ 3),此中 t <1,则点 N( 2﹣ t, t2﹣2t﹣ 3),点 D ( t, t﹣ 3),∴MN=2 ﹣ t﹣t=2 ﹣2t, MD=|t 2﹣ 2t﹣ 3﹣ t+3|=|t2﹣3t|.∵ MD=MN ,∴ |t2﹣ 3t|=2﹣ 2t,分两种状况:①当 t2﹣ 3t=2﹣ 2t 时,解得 t 1=﹣ 1, t2=2 (不切合题意,舍去).二次函数专题训练(正方形的存在性)②当 3t﹣ t2=2﹣ 2t 时,解得3 2(不切合题意,舍去).t = , t =综上所述,点 M 的横坐标为﹣ 1 或.4.(2015 贵州省毕节地域 ) 如图,抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A (﹣ 1,0), B( 3, 0)两点,极点M 关于 x 轴的对称点是M′.( 1)求抛物线的分析式;( 2)若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C,求△ CAB 的面积;( 3)能否存在过A, B 两点的抛物线,其极点P 对于 x 轴的对称点为Q,使得四边形APBQ 为正方形?若存在,求出此抛物线的分析式;若不存在,请说明原因.剖析:(1)依据待定系数法,可得函数分析式;( 2)依据轴对称,可得M′的坐标,依据待定系数法,可得AM′的分析式,依据解方程组,可得B点坐标,依据三角形的面积公式,可得答案;( 3)依据正方形的性质,可得P、 Q 点坐标,依据待定系数法,可得函数分析式.解答:解:( 1)将 A 、 B 点坐标代入函数分析式,得,解得,抛物线的分析式y=x 2﹣ 2x﹣ 3;( 2)将抛物线的分析式化为极点式,得 y= ( x﹣1)2﹣ 4, M点的坐标为( 1,﹣ 4), M′点的坐标为( 1, 4),设AM′的分析式为 y=kx+b ,将 A 、M′点的坐标代入,得,解得,AM′的分析式为y=2x+2 ,联立 AM′与抛物线,得,解得,C点坐标为( 5,12). S△ABC = ×4×12=24;( 3)存在过 A ,B 两点的抛物线,其极点P 对于 x 轴的对称点为Q,使得四边形APBQ 为正方形,由 ABPQ 是正方形, A (﹣ 1, 0) B ( 3, 0),得P( 1,﹣ 2), Q( 1, 2),或 P(1, 2), Q( 1,﹣ 2),将 A 点坐标代入函数分析式,得a(﹣ 1﹣ 1)2﹣ 2=0 ,解得 a=,抛物线的分析式为y=(x﹣1)2﹣2,②当 P( 1, 2)时,设抛物线的分析式为 y=a( x﹣ 1)2+2,将 A点坐标代入函数分析式,得 a(﹣ 1﹣ 1)2+2=0 ,解得 a=﹣,抛物线的分析式为y=﹣(x﹣1)2+2,综上所述: y=(x﹣1)2﹣2或y=﹣(x﹣1)2+2,使得四边形APBQ 为正方形.5. (2016 辽宁省铁岭市 ) .如图,抛物线y= ﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A ,点 B,与 y 轴交于点C,点 B坐标为( 6,0),点 C 坐标为( 0,6),点 D 是抛物线的极点,过点 D 作 x 轴的垂线,垂足为E,连结 BD .( 1)求抛物线的分析式及点 D 的坐标;( 2)点 F 是抛物线上的动点,当∠ FBA=∠ BDE时,求点 F 的坐标;( 3)若点 M 是抛物线上的动点,过点M作MN∥ x轴与抛物线交于点N ,点 P 在 x 轴上,点 Q 在平面内,以线段 MN 为对角线作正方形MPNQ ,请直接写出点Q 的坐标.剖析( 1)由点 B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的分析式,再利用配方法将抛物线分析式变形成极点式即可得出结论;( 2)设线段 BF 与 y 轴交点为点 F′,设点 F′的坐标为( 0, m),由相像三角形的判断及性质可得出点F′的坐标,依据点B、F′的坐标利用待定系数法可求出直线BF 的分析式,联立直线BF 和抛物线的分析式成方程组,解方程组即可求出点 F 的坐标;( 3)设对角线 MN 、 PQ 交于点 O′,如图 2 所示.依据抛物线的对称性联合正方形的性质可得出点P、 Q 的地点,设出点Q 的坐标为( 2, 2n),由正方形的性质可得出点M 的坐标为(2﹣n, n).由点 M 在抛物线图象上,即可得出对于n 的一元二次方程,解方程可求出n 值,代入点Q 的坐标即可得出结论.解答解:( 1)将点 B ( 6,0)、 C( 0, 6)代入 y=﹣x2+bx+c 中,得:,解得:,∴ 抛物线的分析式为y= ﹣x2+2x+6 .∵ y= ﹣x2+2x+6= ﹣(x﹣2)2+8,∴点 D 的坐标为( 2, 8).(2)设线段 BF 与 y 轴交点为点 F′,设点 F′的坐标为( 0,m),如图 1 所示.∵∠ F′BO=∠ FBA= ∠ BDE ,∠ F′OB=∠ BED=90°,∴△ F′BO∽△ BDE ,∴.∵点 B (6, 0),点 D( 2, 8),11∴点 E( 2, 0),BE=6 ﹣ 4=4 , DE=8 ﹣ 0=8 ,OB=6 ,∴OF′=?OB=3,∴点 F′(0, 3)或( 0,﹣ 3).设直线 BF 的分析式为y=kx±3,则有 0=6k+3 或 0=6k﹣ 3,解得: k= ﹣或k=,∴直线 BF 的分析式为y=﹣x+3 或 y=x﹣ 3.联立直线 BF 与抛物线的分析式得:① 或② ,解方程组①得:或(舍去),∴ 点F的坐标为(﹣1,);解方程组②得:或(舍去),∴ 点F的坐标为(﹣3,﹣).综上可知:点 F 的坐标为(﹣ 1,)或(﹣ 3,﹣).( 3)设对角线 MN 、 PQ 交于点 O′,如图 2 所示.∵点 M 、 N 对于抛物线对称轴对称,且四边形MPNQ 为正方形,∴点 P 为抛物线对称轴与x 轴的交点,点 Q 在抛物线对称轴上,设点 Q 的坐标为(2, 2n),则点 M 的坐标为( 2 ﹣ n, n).∵点 M 在抛物线 y= ﹣x2+2x+6 的图象上,∴ n=﹣+2( 2﹣ n) +6,即 n2+2n ﹣ 16=0,解得: n1= ﹣ 1 , n2 =﹣﹣1.∴点 Q 的坐标为(2,﹣ 1)或( 2,﹣﹣ 1).6. (2016 广东省茂名市 ) 】.如图,抛物线 y= ﹣ x2 +bx+c 经过 A (﹣ 1,0), B( 3,0)两点,且与 y 轴交于点 C,点 D 是抛物线的极点,抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 E,连结 BD .(1)求经过 A ,B ,C 三点的抛物线的函数表达式;(2)点 P 是线段 BD 上一点,当 PE=PC 时,求点 P 的坐标;( 3)在( 2)的条件下,过点P 作 PF⊥x 轴于点 F, G 为抛物线上一动点,M 为 x 轴上一动点, N 为直线PF 上一动点,当以F、 M 、 G 为极点的四边形是正方形时,恳求出点M 的坐标.剖析( 1)利用待定系数法求出过A, B,C 三点的抛物线的函数表达式;12( 2)连结 PC、PE,利用公式求出极点 D 的坐标,利用待定系数法求出直线BD 的分析式,设出点P 的坐标为( x,﹣ 2x+6 ),利用勾股定理表示出PC2和 PE2,依据题意列出方程,解方程求出x 的值,计算求出点 P 的坐标;(3)设点 M 的坐标为( a, 0),表示出点 G 的坐标,依据正方形的性质列出方程,解方程即可.解答解:( 1)∵抛物线 y= ﹣x2+bx+c 经过 A (﹣ 1, 0), B ( 3, 0)两点,∴,解得,,∴ 经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式为y= ﹣ x2+2x+3 ;( 2)如图 1,连结 PC、PE, x= ﹣=﹣=1,当x=1 时, y=4 ,∴点 D 的坐标为( 1, 4),设直线 BD 的分析式为: y=mx+n ,则,解得,,∴ 直线BD的分析式为y= ﹣ 2x+6,设点 P 的坐标为( x,﹣ 2x+6),则PC2=x 2+(3+2x ﹣ 6)2,PE2=( x﹣ 1)2+(﹣ 2x+6 )2,∵PC=PE,∴x2+(3+2x ﹣6)2=(x﹣1)2+(﹣2x+6 )2,解得, x=2,则 y= ﹣2×2+6=2 ,∴点 P 的坐标为( 2, 2);(3)设点 M 的坐标为( a, 0),则点 G 的坐标为( a,﹣ a2 +2a+3),∵以 F、M 、 G 为极点的四边形是正方形,∴ FM=MG ,即 |2﹣ a|=|﹣ a2 +2a+3|,当 2﹣ a=﹣ a2+2a+3 时,整理得,a2﹣ 3a﹣1=0 ,解得, a=,当2﹣ a=﹣(﹣ a2+2a+3)时,整理得, a2﹣ a﹣5=0 ,解得, a= ,∴当以 F、M 、G 为极点的四边形是正方形时,点 M 的坐标为(,0),(,0),(,0),(, 0).13。
人教版九年级数学上册 二次函数单元测试与练习(word解析版)

人教版九年级数学上册二次函数单元测试与练习(word解析版)一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)1.如图①是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上点E处,如图②;(Ⅱ)在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上点B′处,如图③,两次折痕交于点O;(Ⅲ)展开纸片,分别连接OB、OE、OC、FD,如图④.(探究)(1)证明:OBC≌OED;(2)若AB=8,设BC为x,OB2为y,是否存在x使得y有最小值,若存在求出x的值并求出y的最小值,若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析;(2)x=4,16【解析】【分析】(1)连接EF,根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质,运用SAS证明OBC≌OED即可;(2)连接EF、BE,再证明△OBE是直角三角形,然后再根据勾股定理得到y与x的函数关系式,最后根据二次函数的性质求最值即可.【详解】(1)证明:连接EF.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ABC=∠BCD=∠ADE=∠DAF=90°由折叠得∠DEF=∠DAF,AD=DE∴∠DEF=90°又∵∠ADE=∠DAF=90°,∴四边形ADEF是矩形又∵AD=DE,∴四边形ADEF是正方形∴AD=EF=DE,∠FDE=45°∵AD=BC,∴BC=DE由折叠得∠BCO=∠DCO=45°∴∠BCO=∠DCO=∠FDE.∴OC=OD.在△OBC与△OED中,BC DEBCO FDEOC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,∴△OBC≌△OED(SAS);(2)连接EF、BE.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=8.由(1)知,BC=DE∵BC=x,∴DE=x∴CE=8-x由(1)知△OBC≌△OED∴OB=OE,∠OED=∠OBC.∵∠OED+∠OEC=180°,∴∠OBC+∠OEC=180°.在四边形OBCE中,∠BCE=90°,∠BCE+∠OBC+∠OEC+∠BOE=360°,∴∠BOE=90°.在Rt△OBE中,OB2+OE2=BE2.在Rt△BCE中,BC2+EC2=BE2.∴OB2+OE2=BC2+CE2.∵OB2=y,∴y+y=x2+(8-x)2.∴y=x2-8x+32∴当x=4时,y有最小值是16.【点睛】本题是四边形综合题,主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点,灵活应用所学知识是解答本题的关键.2.二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ,顶点为P ,直线PA 与x 轴交于点B .(1)当m =1时,求顶点P 的坐标;(2)若点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上,且0b m ->,试求a 的取值范围; (3)在第一象限内,以AB 为边作正方形ABCD .①求点D 的坐标(用含m 的代数式表示);②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,请直接写出符合条件的整数m 的值.【答案】(1)P (2,13);(2)a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①D (m ,m +3); ②2,3,4.【解析】【分析】(1)把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中,进而求顶点P 的坐标即可;(2)把点Q (a ,b )代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中,根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组,解出a 的取值范围即可; (3)①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标,得到OA 的长,再根据待定系数法求出直线AP 的解析式,进而求出与x 轴的交点B 的坐标,得到OB 的长;通过证明△ADF ≌△ABO ,得到AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,求出点D 的坐标;②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,由①同理可得:C (m+3,3),分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况,进行讨论m 可能取的整数值即可.【详解】解:(1)当m =1时,二次函数为212163y x x =-+, ∴顶点P 的坐标为(2,13); (2)∵点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上, ∴2263m m b a a m =-+, 即:2263m m b m a a -=- ∵0b m ->,∴2263m m a a ->0, ∵m >0, ∴2263a a ->0, 解得:a <0或a >4,∴a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①如下图,过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+, ∴顶点P (2,3m ), 当x=0时,y=m ,∴点A (0,m ),∴OA=m ;设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0),把点A (0,m ),点P (2,3m )代入,得: 23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩, 解得:3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m , 当y=0时,x=3,∴点B (3,0);∴OB=3;∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB ,∠DAF+∠FAB=90°,且∠OAB+∠FAB =90°,∴∠DAF=∠OAB ,在△ADF 和△ABO 中, DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADF ≌△ABO (AAS ),∴AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,∴点D 的坐标为:(m ,m+3);②由①同理可得:C (m+3,3),∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,∴当x =m 时,3y m ≤+,可得322363m m m m -+≤+,化简得:32418m m -≤. ∵0m >,∴2184m m m -≤,∴218(2)4m m--≤, 显然:m =1,2,3,4是上述不等式的解,当5m ≥时,2(2)45m --≥,18 3.6m ≤,此时,218(2)4m m-->, ∴符合条件的正整数m =1,2,3,4; 当x = m +3时,y ≥3,可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥,∵0m >,∴21823m m m ++≥,即218(1)2m m++≥, 显然:m =1不是上述不等式的解,当2m ≥时,2(1)211m ++≥,189m ≤,此时,218(1)2m m++>恒成立, ∴符合条件的正整数m =2,3,4;综上:符合条件的整数m 的值为2,3,4.【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用,熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键.3.如图,在平面直角坐标系x O y 中,抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A 、B 、C 三点,已知点A (-3,0),B (0,3),C (1,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点,(不与点A 、B 重合),过点P 作x 轴的垂线,垂足为F ,交直线AB 于点E ,作PD ⊥AB 于点D .动点P 在什么位置时,△PDE 的周长最大,求出此时P 点的坐标;(3)在直线x = -2上是否存在点M ,使得∠MAC = 2∠MCA ,若存在,求出M 点坐标.若不存在,说明理由.【答案】(1)y=-x 2-2x+3;(2)点(-32,154),△PDE 的周长最大;(3)点M (-2,3)或(-2,3【解析】【分析】(1)将A 、B 、C 三点代入,利用待定系数法求解析式;(2)根据坐标发现,△AOB 是等腰直角三角形,故只需使得PD 越大,则△PDE 的周长越大.联立直线AB 与抛物线的解析式可得交点P 坐标;(3)作点A 关于直线x=-2的对称点D ,利用∠MAC = 2∠MCA 可推导得MD=CD ,进而求得ME 的长度,从而得出M 坐标【详解】解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A (-3,0),B (0,3),C (1,0),∴93030a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩,解得:123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,所以,抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3;(2)∵A (-3,0),B (0,3),∴OA=OB=3,∴△AOB 是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°,∵PF ⊥x 轴,∴∠AEF=90°-45°=45°,又∵PD ⊥AB ,∴△PDE 是等腰直角三角形,∴PD 越大,△PDE 的周长越大,易得直线AB 的解析式为y=x+3,设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ,联立223y x m y x x =+⎧⎨=--+⎩,消掉y 得,x 2+3x+m-3=0, 当△=9-4(m-3)=0,即m=214时,直线与抛物线只有一个交点,PD 最长, 此时x=-32,y=154,∴点(-32,154),△PDE 的周长最大;(3)设直线x=-2与x 轴交于点E ,作点A 关于直线x=-2的对称点D ,则D (-1,0),连接MA ,MD ,MC .∴MA=MD ,∠MAC=∠MDA=2∠MCA ,∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 , ∴3∴点M (-23)或(-2,3【点睛】本题是动点和最值的考查,在解决动点问题时,寻找出不变量来分析是解题关键,最值问题,通常利用对称来简化分析4.如图,顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A (﹣1,0),B 两点,与y 轴交于点C ,过点C 作CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ,作DE ⊥x 轴,垂足为点E ,双曲线y =6x(x >0)经过点D ,连接MD ,BD .(1)求抛物线的表达式;(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大?【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)N(57,0),F(0,53);(3)t=9﹣15【解析】【分析】(1)由已知求出D点坐标,将点A(-1,0)和D(2,3)代入y=ax2+bx+3即可;(2)作M关于y轴的对称点M',作D关于x轴的对称点D',连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F,则以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长;(3)设P(0,t),作△PBD的外接圆N,当⊙N与y轴相切时,∠BPD的度数最大;【详解】解;(1)C(0,3)∵CD⊥y,∴D点纵坐标是3.∵D在y=6x上,∴D(2,3),将点A(﹣1,0)和D(2,3)代入y=ax2+bx+3,∴a=﹣1,b=2,∴y=﹣x2+2x+3;(2)M(1,4),B(3,0),作M关于y轴的对称点M',作D关于x轴的对称点D',连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F,则以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长;∴M'(﹣1,4),D'(2,﹣3),∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53,∴N(57,0),F(0,53);(3)设P(0,t).∵△PBO和△CDP都是直角三角形,tan∠CDP=32t-,tan∠PBO=3t,令y=tan∠BPD=3233123t tt t-+--,∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0,△=﹣15y2+30y+1=0时,y=151515-+-舍)或y=151515+,∴t=32﹣12×1y,∴t =9﹣215,∴P (0,9﹣215).【点睛】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数的图象及性质,利用轴对称求最短距离,学会利用辅助圆解决问题,属于中考压轴题.5.如图,抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(−1,0),B(4,0),交y 轴于点C ;(1)求抛物线的解析式(用一般式表示);(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D 使S △ABC =23S △ABD ?若存在,请求出点D 坐标;若不存在,请说明理由;(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点E ,求BE 的长.【答案】(1)213222y x x =-++(2)存在,D (1,3)或(2,3)或(5,3-)(3)10【解析】【分析】 (1)由A 、B 的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由条件可求得点D 到x 轴的距离,即可求得D 点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得D 点坐标;(3)由条件可证得BC ⊥AC ,设直线AC 和BE 交于点F ,过F 作FM ⊥x 轴于点M ,则可得BF=BC ,利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标,利用待定系数法可求得直线BE 解析式,联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标,则可求得BE 的长.【详解】解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A (-1,0),B (4,0),∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩,解得:1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴抛物线解析式为:213222y x x =-++; (2)由题意可知C (0,2),A (-1,0),B (4,0),∴AB=5,OC=2,∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5, ∵S △ABC =23S △ABD ,∴S △ABD =315522⨯=,设D (x ,y ), ∴11155222AB y y •=⨯•=, 解得:3y =; 当3y =时,2132322y x x =-++=, 解得:1x =或2x =,∴点D 的坐标为:(1,3)或(2,3); 当3y =-时,2132322y x x =-++=-, 解得:5x =或2x =-(舍去), ∴点D 的坐标为:(5,-3);综合上述,点D 的坐标为:(1,3)或(2,3)或(5,-3); (3)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,∴22125AC =+=,222425BC =+=, ∴222AC BC AB +=,∴△ABC 为直角三角形,即BC ⊥AC ,如图,设直线AC 与直线BE 交于点F ,过F 作FM ⊥x 轴于点M ,由题意可知∠FBC=45°, ∴∠CFB=45°, ∴25CF BC ==∴AO AC OM CF =,即1OM = 解得:2OM =, ∴OC AC FM AF =,即2FM = 解得:6FM =,∴点F 为(2,6),且B 为(4,0), 设直线BE 解析式为y=kx+m ,则2640k m k m +=⎧⎨+=⎩,解得312k m =-⎧⎨=⎩, ∴直线BE 解析式为:312y x =-+;联立直线BE 和抛物线解析式可得:231213222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩, 解得:40x y =⎧⎨=⎩或53x y =⎧⎨=-⎩,∴点E 坐标为:(5,3)-,∴BE == 【点睛】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)中求得D 点的纵坐标是解题的关键,在(3)中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,特别是最后一问,有一定的难度.6.如图1,在平面直角坐标系中,O 为原点,抛物线2y ax bx c =++经过、、A B C 三点,且其对称轴为1,x =其中点(C ,点()3,0B .(1)求抛物线的解析式;(2)①如图(1),点D 是直线CB 上方抛物线上的动点,当四边形DCAB 的面积取最大值时,求点D 的坐标;②如图(2),连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠,请直接写出点M 的横坐标.【答案】(1)23233=y x ;(2)①D 3532,,②233+2 【解析】 【分析】(1)根据点(3C ,点()3,0B ,利用待定系数法,可得函数解析式;(2)①先求出直线BC 的解析式,当直线m 与抛物线只有一个交点时,点D 到BC 的距离最远,此时△BCD 取最大值,故四边形DCAB 有最大值,求出b 的值代入原式即可得到答案; ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠,通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE 的解析式,可得答案. 【详解】解:(1)由题意得:120933baa b⎧-=⎪⎨⎪=++⎩解得323a,b故抛物线的解析式是23233=-++y x x.图(1)图(2)(2)①设直线BC的解析式为3.∵直线BC过点B(3,0),∴3则k=33-,故直线BC解析式为y=33设直线m解析式为3y x b,且直线m∥直线BC当直线m与抛物线只有一个交点时,点D到BC的距离最远,此时△BCD取最大值,故四边形DCAB有最大值.令23323b3+=+23-333330x x b当2Δ(-33)-43(333)0b时直线m与抛物线有唯一交点解之得:73,b代入原式可求得:32x = ∴D 353(,).24图(3)过D 作DP ∥y 轴交CB 于点P ,△DCB 面积=△DPC 面积+△DPB 面积,∴D 3532⎛ ⎝⎭②存在,点M 的横坐标为313+2 解题提示:如图3符合条件的直线有两条: CM 1和CM 2(分别在CB 的上方和下方) ∵在Rt △ACO 中,∠ACO=30°,在Rt △COB 中,∠CBO=30°, ∴∠BCM 1=∠BCM 2=15° ∵△BCE 中,∠BCE=∠BEC 2=15° ∴BC=BE=23则E (33+0)设直线CE 解析式为:3y kx =+ ∴0(323)3k解之得:32 ∴直线CE 解析式为:(32)3yx∴2323333(32)3y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩解得:x 1=0,x 23-1∵ 在Rt △OCF 中,∠CBO=30°,∠BCF=15°∴在Rt △COF 中, ∠CFO=45° ∴OC=OF=3 ∴F (3,0) ∴直线CF 的解析式为-3yx∴23233-3y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩解之得:30x =(舍去),43+2x即点M 的横坐标为:23-1或3+2 【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求二次函数解析式,理解坐标与图形性质是解题关键.7.如图1所示,抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,已知C 点坐标为(0,4),抛物线的顶点的横坐标为72,点P 是第四象限内抛物线上的动点,四边形OPAQ 是平行四边形,设点P 的横坐标为m . (1)求抛物线的解析式;(2)求使△APC 的面积为整数的P 点的个数;(3)当点P 在抛物线上运动时,四边形OPAQ 可能是正方形吗?若可能,请求出点P 的坐标,若不可能,请说明理由;(4)在点Q 随点P 运动的过程中,当点Q 恰好落在直线AC 上时,则称点Q 为“和谐点”,如图(2)所示,请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值.【答案】(1)2214433y x x =-+;(2)9个 ;(3)33,22或44,;(4)33【解析】 【分析】(1)抛物线与y轴交于点C,顶点的横坐标为7 2,则472223cb,即可求解;(2)APC∆的面积PHA PHCS S S,即可求解;(3)当四边形OPAQ 是正方形时,点P 只能在x 轴的下方,此时OAP 为等腰直角三角形,设点(,)P x y,则0x y+=,即可求解;(4)求出直线AP的表达式为:2(1)(6)3y m x,则直线OQ 的表达式为:2(1)3y m x②,联立①②求出Q的坐标,又四边形OPAQ是平行四边形,则AO的中点即为PQ的中点,即可求解.【详解】解:(1)抛物线与y轴交于点C,顶点的横坐标为72,则472223cb,解得1434bc,故抛物线的抛物线为:2214433y x x=-+;(2)对于2214433y x x=-+,令0y=,则1x=或6,故点B、A的坐标分别为(1,0)、(6,0);如图,过点P作//PH y轴交AC于点H,设直线AC的表达式为:y kx b=+由点A(6,0)、C(0,4)的坐标得460bk b,解得423bk,∴直线AC的表达式为:243y x=-+①,设点2214(,4)33P x x x,则点2(,4)3H x x,APC∆的面积221122146(44)212(16)22333PHAPHCS SSPH OA x x x x x,当1x =时,10S =,当6x =时,0S =, 故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个;(3)当四边形OPAQ 是正方形时,点P 只能在x 轴的下方, 此时OAP 为等腰直角三角形,设点(,)P x y ,则0x y +=, 即2214433yx x x ,解得:32x =或4, 故点P 的坐标为3(2,3)2或(4,4)-; (4)设点2214(,4)33P m m m ,为点(6,0)A ,设直线AP 的表达式为:y kx t =+,由点A ,P 的坐标可得260214433kt kmt m m ,解之得:2(1)326(1)3km tm∴直线AP 的表达式为:2(1)(6)3ym x , //AP OQ ,则AP 和OQ 表达式中的k 值相同,故直线OQ 的表达式为:2(1)3ym x ②, 联立①②得:2(1)3243ym x yx ,解得:446mm y x ,则点6(Q m ,44)m, 四边形OPAQ 是平行四边形,则AO 的中点即为PQ 的中点, 如图2,作QC x ⊥轴于点C ,PD x ⊥轴于点D ,∴OC AD =, 则有,66mm,解得:33m,经检验,33m 是原分式方程得跟,则633m,故Q 的横坐标的值为33±. 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等,能熟练应用相关性质是解题的关键.8.如图,已知二次函数1L :()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L :()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ,与x 轴分别相交于A 、B两点(点A 在点B 的左边)和C 、D 两点(点C 在点D 的左边),(1)函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______;当二次函数1L ,2L 的y值同时随着x 的增大而增大时,则x 的取值范围是_______; (2)判断四边形AMDN 的形状(直接写出,不必证明); (3)抛物线1L ,2L 均会分别经过某些定点; ①求所有定点的坐标;②若抛物线1L 位置固定不变,通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形,则抛物线2L 应平移的距离是多少? 【答案】(1)()1,41m --+,13x;(2)四边形AMDN 是矩形;(3)①所有定点的坐标,1L 经过定点()3,1-或()1,1,2L 经过定点()5,1-或()1,1-;②抛物线2L 应平移的距离是423+423-. 【解析】 【分析】(1)将已知抛物线解析式转化为顶点式,直接得到点M 的坐标;结合函数图象填空; (2)利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标,可得AD 的中点为(1,0),MN 的中点为(1,0),则AD 与MN 互相平分,可证四边形AMDN 是矩形;(3)①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----,通过表达式即可得出所过定点;②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可,设平移的距离为x ,根据平移后图形为菱形,由勾股定理可得方程即可求解.【详解】解:(1)12bx a=-=-,顶点坐标M 为(1,41)m --+, 由图象得:当13x 时,二次函数1L ,2L 的y 值同时随着x 的增大而增大.故答案为:(1,41)m --+;13x;(2)结论:四边形AMDN 是矩形.由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得:A 点坐标为41(1m m ---,0),D 点坐标为41(3m m-+,0), 顶点M 坐标为(1,41)m --+,顶点N 坐标为(3,41)m -,AD ∴的中点为(1,0),MN 的中点为(1,0),AD ∴与MN 互相平分,∴四边形AMDN 是平行四边形,又AD MN =,∴□AMDN 是矩形;(3)①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+,故当3x =-或1x =时1y =,即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点,二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----,故当1x =或5x =时1y =-,即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点, ②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点,二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点,如图:四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ,(1,1)H -、(5,1)G -,则组成四边形EFGH 为平行四边形,∴FH ⊥HG ,FH=2,HM=4-x ,设平移的距离为x ,根据平移后图形为菱形, 则EH 1=EF=H 1M=4,由勾股定理可得:FH 2+HM 2=FM 2,即22242(4)x =+-,解得:423x =±, 抛物线1L 位置固定不变,通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形,则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-.【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.9.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax 2+bx+2的图象与x 轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y 轴交于点C .(1)求这个二次函数的关系解析式;(2)求直线AC 的函数解析式;(3)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,是否存在点P ,使△ACP 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由;【答案】(1)y=﹣23x 2﹣43x+2;(2)223y x =+;(3)存在,(35,22-) 【解析】【分析】(1)直接用待定系数法即可解答;(2)先确定C点坐标,设直线AC的函数解析式y=kx+b,最后用待定系数法求解即可;(3)连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N,然后求出△ACP面积的表达式,最后利用二次函数的性质求最值即可.【详解】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+2过点A(﹣3,0),B(1,0),∴093202a ba b=-+⎧⎨=++⎩解得2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴二次函数的关系解析式为y=﹣23x2﹣43x+2;(2)∵当x=0时,y=2,∴C(0,2)设直线AC的解析式为y kx b=+,把A、C两点代入得0=32k bb-+⎧⎨=⎩解得232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC的函数解析式为223y x=+;(3)存在.如图: 连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N设点P坐标为(m,n),则n=224233m m--+),PN=-m,AO=3当x=0时,y=22400233-⨯-⨯+=2,∴点C的坐标为(0,2),OC=2∵PAC PAO PCO ACOS S S S=+-212411322()3223322m m m⎛⎫=⨯⋅--++⨯⋅--⨯⨯⎪⎝⎭=23m m -- ∵a=-1<0 ∴函数S △PAC =-m 2-3m 有最大值 ∴b 当m=()33212-=--⨯- ∴当m=32-时,S △PAC 有最大值n=222423435223332322m m ⎛⎫--+=-⨯-⨯+= ⎪⎝⎭ ∴当△ACP 的面积最大时,P 的坐标为(35,22-). 【点睛】 本题是二次函数压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点,根据题意表示出△PAC 的面积是解答本题的关键.10.如图,已知顶点为M (32,258)的抛物线过点D (3,2),交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C ,点P 是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P 在直线AD 上方时,求△PAD 面积的最大值,并求出此时点P 的坐标; (3)过点P 作直线CD 的垂线,垂足为Q ,若将△CPQ 沿CP 翻折,点Q 的对应点为Q '.是否存在点P ,使Q '恰好落在x 轴上?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)213222y x x =-++;(2)最大值为4,点P (1,3);(3)存在,点P 139313-+). 【解析】【分析】 (1)用待定系数法求解即可;(2)由△PAD 面积S =S △PHA +S △PHD ,即可求解;(3)结合图形可判断出点P 在直线CD 下方,设点P 的坐标为(a ,213222a a -++),当P 点在y 轴右侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可. 【详解】 解:(1)设抛物线的表达式为:y =a (x ﹣h )2+k =a (x ﹣32)2+258, 将点D 的坐标代入上式得:2=a (3﹣32)2+258, 解得:a =﹣12, ∴抛物线的表达式为:213222y x x =-++; (2)当x =0时,y =﹣12x 2+32x +2=2, 即点C 坐标为(0,2), 同理,令y =0,则x =4或﹣1,故点A 、B 的坐标分别为:(﹣1,0)、(4,0),过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ,由点A 、D 的坐标得,直线AD 的表达式为:y =12(x +1), 设点P (x ,﹣12x 2+32x +2),则点H (x ,12x +12), 则△PAD 面积为:S =S △PHA +S △PHD =12×PH ×(x D ﹣x A )=12×4×(﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-)=﹣x 2+2x +3, ∵﹣1<0,故S 有最大值,当x =1时,S 有最大值,则点P (1,3);(3)存在满足条件的点P ,显然点P 在直线CD 下方,设直线PQ 交x 轴于F ,点P 的坐标为(a ,﹣12a 2+32a +2),当P 点在y 轴右侧时(如图2),CQ =a ,PQ =2﹣(﹣12a 2+32a +2)=12a 2﹣32a , 又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P =90°,∠COQ ′=∠Q ′FP =90°,∴∠FQ ′P =∠OCQ ′,∴△COQ ′∽△Q ′FP ,'''Q C Q P CO FQ =,即213222'a a a Q F-=, ∴Q ′F =a ﹣3,∴OQ ′=OF ﹣Q ′F =a ﹣(a ﹣3)=3,CQ =CQ ′22223213CO OQ +=+= 此时a 13P 1393132-+). 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用,综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质,解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通,属于中考常涉及的题目.。
人教版九年级上册数学22.3二次函数与一元二次方程---投球问题专题训练(word、含简单答案)

人教版九年级上册数学22.3二次函数与一元二次方程---投球问题专题训练一、单选题1.一个小球被抛出后,距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足下面函数关系式:()2516h t =--+,则小球距离地面的最大高度是( ).A .1米B .5米C .6米D .-5米 2.为了响应“足球进校国”的目标,兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中,一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h (m )可以用公式h =﹣5t 2+v 0t 表示,其中t (s )表示足球被踢出后经过的时间,v 0(m /s )是足球被踢出时的速度,如果要求足球的最大高度达到20m ,那么足球被踢出时的速度应该达到( ) A .5m /s B .10m /s C .20m /s D .40m /s 3.一名男同学推铅球时,铅球行进中离地的高度()y m 与水平距离之间的关系是21251233y x x =-++,那么铅球推出后落地时距出手地的距离是( ) A .5 3米 B . 4米 C . 8米 D .1?0米 4.一小球被抛出后,距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足下面函数关系式:h=﹣6(t ﹣2)2+7,则小球距离地面的最大高度是( )A .2米B .5米C .6米D .7米 5.把一个小球以30米/秒的速度竖直向上弹出,它在空中的高度h (米)与时间t (秒)的函数关系为2305h t t =-,当小球达到最高点时,小球的运动时间为( ) A .2秒 B .3秒 C .6秒 D .45秒 6.从地面竖直上抛一小球,小球的高度h 米与时间t 秒的关系式是:()230506h t t t =-≤≤,当2t =秒时,h 的值是( )A .40米B .30米C .60米D .100米 7.竖直向上发射的小球的高度()h m 关于运动时间()t s 的函数表达式为2h at bt =+,其图象如图所示.若小球在发射后第2s 与第6s 时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是第( )A .3sB .3.5sC .4sD .6.5s8.林书豪身高1.91m ,在某次投篮中,球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离约为( )A .3.2mB .4mC .4.5mD .4.6m二、填空题9.如图,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行,然后准确落入篮筐内,已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ,则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m .10.如图,以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线. 若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h (单位:m )与飞行时间t (单位:s )之间具有函数关系h =20t -5t 2,则小球飞出______s 时,达到最大高度.11.铅球运行高度y (单位:m )与水平距离x (单位:m )之间的函数关系满足2143123y x x =-++,此运动员能把铅球推出__________m . 12.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系为()215312y x =--+,由此可知铅球推出的距离是______m .13.从地面上竖直向上抛出一小球,小球的高度h (米)与小球的运动时间t (秒)之间的关系式是2305h t t =-(06)t ≤≤,则小球从抛出___________秒后离地面25米. 14.烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高h(m )与飞行时间t (s )的关系式是252012h t t =-++,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要时间为________.15.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h (米)与小球的运动时间t (秒)之间的关系式是()230506h t t t =-≤≤,若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛出______秒时,两个小球在空中的高度相同.16.铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y =﹣112x 2+23x+53,铅球推出后最大高度是_____m ,铅球落地时的水平距离是______m.三、解答题17.从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h (单位:m )与小球的运动时间t (单位:s )之间的关系式是2305h t t =-.(1)小球从抛出到落地经过了多少秒?(2)当小球的运动时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?18.如图,以60米/秒的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h (单位:米)与飞行时间t (单位:秒)之间有下列函数关系:h =30t ﹣5t 2.依据所给信息,解决下列问题: (1)小球的飞行高度是否能达到25米?如果能,需要飞行的时间是多少?(2)小球的飞行高度是否能达到45米?如果能,需要飞行的时间是多少?请直接写出答案: .(3)小球从飞出到落地要用多少时间(设地面是水平的)?19.小明进行铅球训练,他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况.他以水平方向为x 轴方向,1m 为单位长度,建立了如图所示的平面直角坐标系,铅球从y 轴上的A 点出手,运动路径可看作抛物线,在B 点处达到最高位置,落在x 轴上的点C 处.小明某次试投时的数据如图所示.(1)在图中画出铅球运动路径的示意图;(2)根据图中信息,求出铅球路径所在抛物线的表达式;(3)若铅球投掷距离(铅球落地点C 与出手点A 的水平距离OC 的长度)不小于10m ,成绩为优秀.请通过计算,判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀.20.一身高1.8m 的篮球运动员在距篮板4m 处跳起投篮,球在运动员头顶上方0.25m 处出手.按如图所示的直角坐标系,球在空中运行的路线可以用20.2 3.5y x =-+来描述,那么:(1)球能达到的最大高度是多少?(2)球出手时,运动员跳离地面的高度是多少?参考答案:1.C2.C3.D4.D5.B6.A7.C8.B9.410.211.1812.1113.1或514.4s15.2.516. 3 1017.(1)6秒(2)3s ;45m18.(1)小球的飞行高度能达到25米,飞行的时间为1s 或5s ;(2)3s ;(3)6s 19.(1)见解析;(2)()214316y x =--+;(3)达到优秀 20.(1)3.5m ;(2)0.2m .。
人教版九年级上册 第22章 二次函数经典专题88题(共102张)

5
4
4
3
2 1
-4 -3 -2 -13-O1 1 2 x
23. 已知函数 y=3x2m-1-5
(1) 当m=_1 _时,y是关于x的一次函数; (2) 当m=_3_时,y是关于x的二次函数 .
2
24.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大 而增大,则m=__2__. 25.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为(0,2)
18.若二次函数 y=x2-6x+c 的图象经过 A(-1,y1),B(2,y2),C(3
+ 2,y3)三点,则关于 y1,y2,y3 大小关系正确的是( B )
A.y1>y2>y3
B.y1>y3>y2
C.y2>y1>y3
D.y3>y1>y2
19.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,对称轴为直线 x=
44.进价为80元的某件定价100元时,每月可卖出2000件, 价格每上涨1元,销售量便减少5件,那么每月售出衬衣 的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式 为 y=2000-5(x-10.0每) 月利润w(元)与衬衣售价x(元)之 间的函数关系式为 w=[2000-5(x-100)](x-8.0()以上关系 式只列式不化简).
可得4a-2b+c<0,故③正确; 由图象上x=1的点在第四象限得a+b+c<0,由图象上x=-
1的点在第二象限得出 a-b+c>0,则(a+b+c)(a-b+c)<0,
即(a+c)2-b2<0,可得(a+c)2<b2,故④正确.
二、填空题
22.如图,平面直角坐标系中,函数图象的表达式应
人教版九年级数学上册二次函数全章课时练习题及答案.doc

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】26.1 二次函数及其图象专题一 开放题1.请写出一个开口向上,与y 轴交点纵坐标为﹣1,且经过点(1,3)的抛物线的解析 式 .(答案不唯一) 2.(1)若22()m my m m x -=+是二次函数,求m 的值;(2)当k 为何值时,函数221(1)(3)k k y k x k x k --=++-+是二次函数?专题二 探究题3.如图,把抛物线y =x 2沿直线y =x 平移2个单位后,其顶点在直线上的A 处,则平移后抛物线的解析式是( ) A .1)1(2-+=x y B .1)1(2++=x y C .1)1(2+-=x y D .1)1(2--=x y4.如图,若一抛物线y =ax 2与四条直线x =1、 x =2、 y =1、 y =2围成的正方形有公共点,求a 的取值范围.专题三 存在性问题5.如图,抛物线 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,且OA =2,OC =3. (1)求抛物线的解析式;(2)若点D (2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P ,使得△BDP的周长最小?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 注:二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的对称轴是直线x =ab2-.=6.如图,二次函数c x x y +-=221的图象与x 轴分别交于A 、B 两点,顶点M 关于x 轴的对称点是M′.(1)若A (-4,0),求二次函数的关系式; (2)在(1)的条件下,求四边形AMBM′的面积; (3)是否存在抛物线212y x x c =-+,使得四边形AMBM′为正方形?若存在,请求出此抛物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.c bx x y ++-=221【知识要点】1.二次函数的一般形式c bx ax y ++=2(其中a ≠0,a ,b ,c 为常数).2.二次函数2y ax =的对称轴是y 轴,顶点是原点,当a >0时,抛物线的开口向上, 顶点是抛物线的最低点,a 越大,抛物线的开口越小;当a <0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a 越大,抛物线的开口越大. 3.抛物线2()y a x h k =-+的图象与性质:(1)二次函数2()y a x h k =-+的图象与抛物线2y ax =形状相同,位置不同,由抛物线2y ax =平移可以得到抛物线2()y a x h k =-+.平移的方向、距离要根据h ,k 的值确定. (2)①当0a >时,开口向上;当a <0时,开口向下; ②对称轴是直线x h =;③顶点坐标是(h ,k ).4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x =ab2-,顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --.【温馨提示】1.二次函数的一般形式y=ax 2+bx+c 中必须强调a ≠0. 2.当a <0时,a 越小,开口越小,a 越大,开口越大. 3.二次函数的增减性是以对称轴为分界线的.4.当a >0时,二次函数有最小值,若自变量取值范围不包括顶点的横坐标,则距离对称轴最近处,取得函数的最小值;当a <0时,二次函数有最大值,若自变量取值范围不包括顶点的横坐标,则距离对称轴最近处,取得函数的最大值.【方法技巧】1.一般地,抛物线的平移规律是 “上加下减常数项,左加右减自变量”.2.如已知三个点求抛物线解析式,则设一般式y=ax 2+bx+c .3.若已知顶点和其他一点,则设顶点式2()y a x h k =-+.参考答案1. 答案不唯一,如y=x 2+3x ﹣1等.【解析】设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ,∵ 开口向上,∴a >0. ∵其与y 轴交点纵坐标为﹣1,∴c =﹣1.∵经过点(1,3),∴a+b -1=3.令a =1,则b =3,所以y=x 2+3x ﹣1.2.解:(1)由题意,得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,0,222m m m m 解得m =2.(2)由题意,得⎩⎨⎧≠+=--,01,2122k k k 解得k =3.3.C 【解析】把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位,即是将抛物线向上平移一个单位长度后再向右移1个单位长度,再根据“上加下减常数项,左加右减自变量”即可得到平移后的抛物线的解析式为2(1)1=-+y x ,答案为C.4.解:因为四条直线x =1、 x =2、 y =1、 y =2围成正方形ABCD ,所以A (1,2),C (2,1).设过A 点的抛物线解析式为y =a 1x 2,过C 点的抛物线解析式为y =a 2x 2,则a 2≤a ≤a 1. 把A (1,2),C (2,1)分别代入,可求得a 1=2,a 2=14.所以a 的取值范围是14≤a ≤2.5.解:(1)将A (-2,0), C (0,3)代入y =c bx x ++-221得⎩⎨⎧=+--=,022,3c b c 解得b = 12 ,c = 3.∴此抛物线的解析式为 y = 21-x 2+21x +3.(2) 连接AD 交对称轴于点P ,则P 为所求的点.设直线AD 的解析式为y =kx +b. 由已知得⎩⎨⎧=+=+-,22,02b k b k 解得k= 21,b =1.∴直线AD 的解析式为y =21x +1.对称轴为直线x =-a b 2= 21.当x = 21时,y = 45,∴ P 点的坐标为(21,45). 6.解:(1) 把A (-4,0)代入c x x y +-=221,解出c =-12.∴二次函数的关系式为12212--=x x y .(2)如图,xyM'MBA O令y =0,则有211202x x --=,解得14x =-,26x =,∴A (-4,0),B (6,0), ∴AB =10. ∵225)1(21122122--=--=x x x y ,∴M (1, 225-), ∴M ′(1, 225), ∴MM′=25.∴四边形AMBM′的面积=12AB·MM′=21×10×25=125.(3) 存在.假设存在抛物线c x x y +-=221,使得四边形AMBM′为正方形.令y =0,则0212=+-=c x x y ,解得c x 211-±=.∴A (c 211--,0),B (c 211-+,0),∴AB =c 212-. ∵四边形AMBM′为正方形, ∴MM′=c 212-.∵对称轴为直线12=-=abx ,∴顶点M (1, c 21--). 把点M 的坐标代入212y x x c =-+,得c 21--=c +-121,整理得2304c c +-=,解得112c =(不合题意,舍去),232c =-.∴抛物线关系式为23212--=x x y 时, 四边形AMBM′为正方形.【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功,文档内容齐全完整,请放心下载。
九年级数学上册 二次函数专题练习(word版

九年级数学上册二次函数专题练习(word版一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)1.如图,直线y=12x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,抛物线y=ax2﹣32x+c经过A,B两点,与x轴的另一交点为C.(1)求抛物线的解析式;(2)M为抛物线上一点,直线AM与x轴交于点N,当32MNAN=时,求点M的坐标;(3)P为抛物线上的动点,连接AP,当∠PAB与△AOB的一个内角相等时,直接写出点P 的坐标.【答案】(1)y=12x2﹣32x﹣2;(2)点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)点P的坐标为:(﹣1,0)或(32,﹣258)或(173,509)或(3,﹣2).【解析】【分析】(1)根据题意直线y=12x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别为:(0,-2)、(4,0),即可求解;(2)由题意直线MA的表达式为:y=(12m﹣32)x﹣2,则点N(43m-,0),当MNAN=32时,则NHON=32,即4343mmm---=32,进行分析即可求解;(3)根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)直线y=12x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别为:(0,﹣2)、(4,0),则c=﹣2,将点B的坐标代入抛物线表达式并解得:a=12,故抛物线的表达式为:y=12x2﹣32x﹣2①;(2)设点M(m,12m2﹣32m﹣2)、点A(0,﹣2),将点M、A的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线MA的表达式为:y=(12m﹣32)x﹣2,则点N(43m-,0),当MNAN=32时,则NHON=32,即:4343mmm---=32,解得:m=5或﹣2或2或1,故点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)①∠PAB=∠AOB=90°时,则直线AP的表达式为:y=﹣2x﹣2②,联立①②并解得:x=﹣1或0(舍去0),故点P(﹣1,0);②当∠PAB=∠OAB时,当点P在AB上方时,无解;当点P在AB下方时,将△OAB沿AB折叠得到△O′AB,直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P,点P为所求,则BO =OB =4,OA =OA =2,设OH =x ,则sin ∠H =BO OA HB HA'=,即:2444x x =++,解得:x =83,则点H (﹣83,0),.则直线AH 的表达式为:y =﹣34x ﹣2③, 联立①③并解得:x =32,故点P (32,﹣258); ③当∠PAB =∠OBA 时, 当点P 在AB 上方时,则AH =BH ,设OH =a ,则AH =BH =4﹣a ,AO =2, 故(4﹣a )2=a 2+4,解得:a =32, 故点H (32,0), 则直线AH 的表达式为:y =43x ﹣2④, 联立①④并解得:x =0或173(舍去0), 故点P (173,509); 当点P 在AB 下方时, 同理可得:点P (3,﹣2); 综上,点P 的坐标为:(﹣1,0)或(32,﹣258)或(173,509)或(3,﹣2). 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等,要注意分类讨论,解题全面.2.在平面直角坐标系中,二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -,(1,0)B ,与y 轴交于点C .(1)求此抛物线的解析式;(2)点P 是抛物线22y ax bx =+-上的任意一点,过点P 作x 轴的垂线PD ,直线PD交直线AC 于点D .①是否存在点P ,使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.②点Q 是坐标平面内的任意一点,若以O ,C ,Q ,D 为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点Q 的坐标. 【答案】(1)213222y x x =+- (2)①存在,点P 的坐标为(22,12)-+-,(222,12)--+,(2,3)--②1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭,2(2,1)Q -,34525Q ⎝⎭,44525Q ⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】(1)将(4,0)A -,(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可; (2)①先求出△PAC 的面积为4,再求出直线AC 的解析式为122y x =--.设点P 的横坐标为(t ,213222t t +-),利用21442∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解; ②先设出D 点坐标,然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解. 【详解】解:(1)由题意得,将(4,0)A -,(1,0)B 两点坐标代入解析式中:1642020a b a b --=⎧⎨+-=⎩,解得:1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴此抛物线的解析式为213222y x x =+-, 故答案为213222y x x =+-. (2)①存在点P ,使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45.理由如下: 作出如下所示示意图:∵点(4,0)A -,(1,0)B , ∴4OA =,5AB =, 令0x =,则2y =-, ∴(0,2)C -,∴2OC =, ∴1152522ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=, ∴445545PAC ABC S S ∆∆==⨯=, 设直线AC 的解析式为y mx n =+,则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩,解得:122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴直线AC 的解析式为122y x =--.设点P 的横坐标为t ,则其纵坐标为213222t t +-, 即213,222P t t t ⎫⎛+- ⎪⎝⎭. ∵PD x ⊥轴,则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛-- ⎪⎝⎭. ∴2213112222222PD t t t t t ⎫⎛=+----=+ ⎪⎝⎭. ∵22111424222PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯+=+. ∴244t t +=,即2440t t +-=或2440t t ++=, 解得:1222t =-+,2222t =--,32t =-.∴点P 的坐标为(222,12)-+-,(222,12)--+,(2,3)--, 故答案为:(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--. ②分类讨论:情况一:当OC 为菱形的对角线时,此时DO=DC ,即D 点在线段OC 的垂直平分线, ∴D 点坐标(-2,-1),将△OCD 沿y 轴翻折,此时四边形ODCQ 为菱形,故此时Q 点坐标为(2,-1),如下图一所示,情况二:当OQ 为对角线时,DO=DQ ,如下图二所示,DQ=OC=OD=2,设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x x ,则EO=-x ,DE=122x +,在Rt △EDO 中,由勾股定理可知:EO²+ED²=DO², 故221(2)42++=x x ,解得80(),5舍==-x x ,此时Q 点坐标为816,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭,情况三:当OD 为对角线时,OC=OQ=2,如下图三所示:设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ,则EO=|m|,DE=122m +,QE=2-(122m +)=12m , 在Rt △QDO 中,由勾股定理可知:QE²+EO²=QO², 故221()()42+=m m ,解得124545,==-m m ,此时Q 点坐标为4525,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或4525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 综上所述,Q 点的坐标为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭,2(2,1)Q -,34525,55Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭,44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭.故答案为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭,2(2,1)Q -,34525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭,44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,三角形的面积问题,菱形的存在性问题等,属于综合题,具有一定的难度,熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键.3.如图,直线l :y =﹣3x +3与x 轴,y 轴分别相交于A 、B 两点,抛物线y =﹣x 2+2x +b 经过点B .(1)该抛物线的函数解析式;(2)已知点M 是抛物线上的一个动点,并且点M 在第一象限内,连接AM 、BM ,设点M 的横坐标为m ,△ABM 的面积为S ,求S 与m 的函数表达式,并求出S 的最大值; (3)在(2)的条件下,当S 取得最大值时,动点M 相应的位置记为点M '. ①写出点M '的坐标;②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l ',当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l '与线段BM '交于点C ,设点B ,M '到直线l '的距离分别为d 1,d 2,当d 1+d 2最大时,求直线l '旋转的角度(即∠BAC 的度数).【答案】(1)2y x 2x 3=-++;(2)21525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ,258;(3)①57,24M ⎛⎫'⎪⎝⎭;②45° 【解析】 【分析】(1)利用直线l 的解析式求出B 点坐标,再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值.(2)设M 的坐标为(m ,﹣m 2+2m +3),然后根据面积关系将△ABM 的面积进行转化. (3)①由(2)可知m =52,代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值. ②可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值. 【详解】(1)令x =0代入y =﹣3x+3, ∴y =3, ∴B (0,3),把B (0,3)代入y =﹣x 2+2x+b 并解得:b =3, ∴二次函数解析式为:y =﹣x 2+2x+3. (2)令y =0代入y =﹣x 2+2x+3,∴0=﹣x 2+2x+3, ∴x =﹣1或3,∴抛物线与x 轴的交点横坐标为-1和3, ∵M 在抛物线上,且在第一象限内, ∴0<m <3,令y =0代入y =﹣3x+3, ∴x =1,∴A 的坐标为(1,0),由题意知:M 的坐标为(m ,﹣m 2+2m+3), ∴S =S 四边形OAMB ﹣S △AOB =S △OBM +S △OAM ﹣S △AOB=12×m×3+12×1×(-m2+2m+3)-12×1×3=﹣12(m﹣52)2+258,∴当m=52时,S取得最大值258.(3)①由(2)可知:M′的坐标为(52,74).②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段,过点M′作直线l1∥l′,过点B作BF⊥l1于点F,根据题意知:d1+d2=BF,此时只要求出BF的最大值即可,∵∠BFM′=90 ,∴点F在以BM′为直径的圆上,设直线AM′与该圆相交于点H,∵点C在线段BM′上,∴F在优弧'BM H上,∴当F与M′重合时,BF可取得最大值,此时BM′⊥l1,∵A(1,0),B(0,3),M′(52,74),∴由勾股定理可求得:AB10,M′B55M′A 85,过点M′作M′G⊥AB于点G,设BG=x,∴由勾股定理可得:M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2,∴851610﹣x)2=12516﹣x2,∴x =5108, cos ∠M′BG ='BG BM =22,∠M′BG= 45︒ 此时图像如下所示,∵l 1∥l′,F 与M′重合,BF ⊥l 1 ∴∠B M′P=∠BCA =90︒, 又∵∠M′BG=∠CBA= 45︒ ∴∠BAC =45︒. 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题,正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键.4.如图,过原点的抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A (4,0),B 为抛物线的顶点,连接OB ,点P 是线段OA 上的一个动点,过点P 作PC ⊥OB ,垂足为点C . (1)求抛物线的解析式,并确定顶点B 的坐标;(2)设点P 的横坐标为m ,将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°,得△PO′C′,当点O′和点C′分别落在抛物线上时,求相应的m 的值;(3)当(2)中的点C′落在抛物线上时,将抛物线向左或向右平移n (0<n <2)个单位,点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″,是否存在n ,使得四边形OB′C″A 的周长最短?若存在,请直接写出n 的值和抛物线平移的方向,若不存在,请说明理由.【答案】(1)2122y x x =-+,点B (2,2);(2)m=2或209m =;(3)存在;n=27时,抛物线向左平移. 【解析】 【分析】(1)将点A 和点O 的坐标代入解析式,利用待定系数法即可求得二次函数的解析式,然后利用配方法可求得点B 的坐标;(2)由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形,从而可得到点O ′坐标为:(m ,m ),点C′坐标为:(32m ,2m),然后根据点在抛物线上,列出关于m 的方程,从而可解得m 的值;(3)如图,将AC′沿C′B 平移,使得C′与B 重合,点A 落在A′处,以过点B 的直线y=2为对称轴,作A′的对称点A″,连接OA″,由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时,四边形OB′C″A 的周长最短,先求得点B′的坐标,根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离. 【详解】解:(1)把原点O (0,0),和点A (4,0)代入y=12-x 2+bx+c . 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩,∴02c b =⎧⎨=⎩.∴22112(2)222y x x x =-+=--+. ∴点B 的坐标为(2,2).(2)∵点B 坐标为(2,2). ∴∠BOA=45°.∴△PDC 为等腰直角三角形. 如图,过C′作C′D ⊥O′P 于D .∵O′P=OP=m . ∴C′D=12O′P=12m .∴点O′坐标为:(m ,m ),点C′坐标为:(32m ,2m ).当点O′在y=12-x 2+2x 上. 则−12m 2+2m =m . 解得:12m =,20m =(舍去). ∴m=2. 当点C′在y=12-x 2+2x 上, 则12-×(32m )2+2×32m =12m ,解得:1209m =,20m =(舍去). ∴m=209(3)存在n=27,抛物线向左平移. 当m=209时,点C′的坐标为(103,109).如图,将AC′沿C′B 平移,使得C′与B 重合,点A 落在A′处.以过点B 的直线y=2为对称轴,作A′的对称点A″,连接OA″. 当B′为OA″与直线y=2的交点时,四边形OB′C″A 的周长最短. ∵BA′∥AC′,且BA′=AC′,点A (4,0),点C′(103,109),点B (2,2). ∴点A′(83,89). ∴点A″的坐标为(83,289). 设直线OA″的解析式为y=kx ,将点A″代入得:82839k =, 解得:k=76.∴直线OA″的解析式为y=76x . 将y=2代入得:76x=2, 解得:x=127, ∴点B′得坐标为(127,2). ∴n=212277-=. ∴存在n=27,抛物线向左平移.【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点,由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为:(m ,m ),点C′坐标为:(32m ,2m)以及点B′的坐标是解题的关键.5.如图1,抛物线21:C y x b =+交y 轴于()0,1A .(1)直接写出抛物线1C 的解析式______________.(2)如图1,x 轴上两动点,M N 满足:m n X X n -==.若,B C (B 在C 左侧)为线段MN 上的两个动点,且满足:B 点和C 点关于直线:1l x =对称.过B 作BB x '⊥轴交1C 于B ',过C 作CC x '⊥轴交1C 于C ',连接B C ''.求B C ''的最大值(用含n 的代数式表示).(3)如图2,将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C .2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ,其横坐标为m .以OM 为直径作K ,记⊙K 的最高点为Q .若Q 在直线2y x =-上,求m 的值.【答案】(1)21y x =+;(2)1|n -;(3)14m =-或12m =- 【解析】 【分析】(1)将()0,1A 带入抛物线1C 解析式,求得b 的值,即可得到抛物线1C 的解析式; (2)设(),0B q ,则()2,0C q -,求()2B C ''并进行化简,由1n q -≤<且12,qn <-得21n q -<,则当()2maxB C''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,取min 2q q n ==-,带入()2B C '',即可求得()maxB C '';(3)依题意将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ,求得2C 解析式,根据解析式特点设21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,得到222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由圆的特性易求得,⊙K 的最高点点Q 坐标为:2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设Q y k =,则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,化简得到22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,由Q 点在2y x =-上,得2Q k x m =-=-,继而得到231048m m -+=,解得14m =-或12m =-. 【详解】解:(1)将()0,1A 带入抛物线21:C y x b =+,得b=1, 则21:1C y x =+,(2)设(),0B q ,则()2,0C q -, ∴()22222(2)(2)B C q q q q ''⎡⎤=--+--⎣⎦2204020q q =-+()2201q =-,∵1n q -≤<且12,q n <-21n q -<∴,∴()2maxB C''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,min 2q q n ==-,即()22220(21)20(1)B C n n ''=--=-,∴()max1|B C n ''=-,(3)根据题意,将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C , ∴221:8C y x =+, ∴21,8M m m ⎛⎫+⎪⎝⎭, ∴222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,∴由圆的特性易求得,⊙K 的最高点点Q 坐标为:2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设Q y k =,则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, ∴222111428OM k m ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 化简上式得:22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭, ∵Q 点在2y x =-上,则2Q k x m =-=-, ∴k m =-为上述方程的一个解, ∴分析可知1()04k m k m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭, 21148m m m -=+∴,∴231048m m -+=, 解得:114m =-,212m =-(经检验114m =-,212m =-是方程231048m m -+=的解),故14m =-或12m =-. 【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识.解题关键是熟练掌握二次函数的性质,充分利用数形结合的思想.6.如图,已知点()1,2A 、()()5,0B n n >,点P 为线段AB 上的一个动点,反比例函数()0ky x x=>的图像经过点P .小明说:“点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值逐渐增大,当点P 在点A 位置时k 值最小,在点B 位置时k 值最大.”(1)当1n =时.①求线段AB 所在直线的函数表达式.②你完全同意小明的说法吗?若完全同意,请说明理由;若不完全同意,也请说明理由,并求出正确的k 的最小值和最大值.(2)若小明的说法完全正确,求n 的取值范围. 【答案】(1)①1944y x =-+;②不完全同意小明的说法;理由见详解;当92x =时,k 有最大值8116;当1x =时,k 有最小值2;(2)109n ≥;【解析】 【分析】(1)①直接利用待定系数法,即可求出函数的表达式; ②由①得直线AB 为1944y x =-+,则21944k x x =-+,利用二次函数的性质,即可求出答案;(2)根据题意,求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+,设点P 为(x ,kx),则得到221044n n k x x --=-,讨论最高项的系数,再由一次函数及二次函数的性质,得到对称轴52ba -≥,即可求出n 的取值范围. 【详解】解:(1)当1n =时,点B 为(5,1),①设直线AB 为y ax b =+,则251a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得:1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴1944y x =-+; ②不完全同意小明的说法;理由如下: 由①得1944y x =-+, 设点P 为(x ,kx),由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+, ∴22191981()444216k x x x =-+=--+; ∵104-<, ∴当92x =时,k 有最大值8116; 当1x =时,k 有最小值2;∴点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值先增大后减小,当点P 在点A 位置时k 值最小,在92x =的位置时k 值最大. (2)∵()1,2A 、()5,B n , 设直线AB 为y ax b =+,则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩,解得:24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, ∴21044n ny x --=+, 设点P 为(x ,kx),由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-, 当204n -=,即n=2时,2k x =,则k 随x 的增大而增大,如何题意;当n≠2时,则对称轴为:101042242n n x n n --==--;∵点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值逐渐增大,当点P 在点A 位置时k 值最小,在点B 位置时k 值最大.即k 在15x ≤≤中,k 随x 的增大而增大; 当204n ->时,有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩,解得:26n n >⎧⎨≥-⎩,∴不等式组的解集为:2n >; 当204n -<时,有 ∴20410524n n n -⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩,解得:1029n ≤<, ∴综合上述,n 的取值范围为:109n ≥. 【点睛】本题考查了二次函数的性质,反比例函数的性质,一次函数的性质,以及解不等式组,解题的关键是熟练掌握所学的知识,掌握所学函数的性质进行解题,注意利用分类讨论的思想进行分析.7.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0).(1)若b =1,a =﹣12c ,求证:二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点; (2)若a <0,c =0,且对于任意的实数x ,都有y ≤1,求4a +b 2的取值范围;(3)若函数图象上两点(0,y 1)和(1,y 2)满足y 1•y 2>0,且2a +3b +6c =0,试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2)240a b +≤ ;(3)12323b a <-< 【解析】 【分析】(1)根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论; (2)根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标,再整理即可;(3)将(0,y 1)和(1,y 2)分别代入函数解析式,由y 1•y 2>0,及2a +3b +6c =0,得不等式组,变形即可得出答案. 【详解】解:(1)证明:∵y =ax 2+bx+c (a≠0), ∴令y =0得:ax 2+bx+c =0 ∵b =1,a =﹣12c , ∴△=b 2﹣4ac =1﹣4(﹣12c )c =1+2c 2, ∵2c 2≥0,∴1+2c 2>0,即△>0,∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点; (2)∵a <0,c =0,∴抛物线的解析式为y =ax 2+bx ,其图象开口向下, 又∵对于任意的实数x ,都有y≤1,∴顶点纵坐标214b a-≤,∴﹣b 2≥4a , ∴4a+b 2≤0;(3)由2a+3b+6c =0,可得6c =﹣(2a+3b ), ∵函数图象上两点(0,y 1)和(1,y 2)满足y 1•y 2>0, ∴c (a+b+c )>0, ∴6c (6a+6b+6c )>0,∴将6c =﹣(2a+3b )代入上式得,﹣(2a+3b )(4a+3b )>0, ∴(2a+3b )(4a+3b )<0, ∵a≠0,则9a 2>0, ∴两边同除以9a 2得,24()()033b b a a ++<, ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩,∴4233b a -<<-, ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是:12323b a <-<. 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣12x2+bx+c与x轴交于B,C两点,与y轴交于点A,直线y=﹣12x+2经过A,C两点,抛物线的对称轴与x轴交于点D,直线MN与对称轴交于点G,与抛物线交于M,N两点(点N在对称轴右侧),且MN∥x轴,MN=7.(1)求此抛物线的解析式.(2)求点N的坐标.(3)过点A的直线与抛物线交于点F,当tan∠FAC=12时,求点F的坐标.(4)过点D作直线AC的垂线,交AC于点H,交y轴于点K,连接CN,△AHK沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动,移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠,设重叠面积为S,移动时间为t(0≤t5S与t的函数关系式.【答案】(1)y=﹣12x2+32x+2;(2)点N的坐标为(5,-3);(3)点F的坐标为:(3,2)或(173,﹣509);(4)2535,043593535,(4359355)4t tS tt⎧⎛≤≤⎪⎪⎝⎭=-<≤+<≤.【解析】【分析】(1)点A、C的坐标分别为(0,2)、(4,0),将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解;(2)抛物线的对称轴为:x=32,点N的横坐标为:37522+=,即可求解;(3)分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况,分别求解即可;(4)分0≤t3535<t3535<t5【详解】解:(1)直线y=﹣1 2x+2经过A,C两点,则点A、C的坐标分别为(0,2)、(4,0),则c=2,抛物线表达式为:y=﹣12x2+bx+2,将点C坐标代入上式并解得:b=32,故抛物线的表达式为:y=﹣12x2+32x+2…①;(2)抛物线的对称轴为:x=32,点N的横坐标为:37522+=,故点N的坐标为(5,-3);(3)∵tan∠ACO=2142AOCO===tan∠FAC=12,即∠ACO=∠FAC,①当点F在直线AC下方时,设直线AF交x轴于点R,∵∠ACO=∠FAC,则AR=CR,设点R(r,0),则r2+4=(r﹣4)2,解得:r=32,即点R的坐标为:(32,0),将点R、A的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n得:232nm n=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得:432mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩,故直线AR 的表达式为:y =﹣43x +2…②, 联立①②并解得:x =173,故点F (173,﹣509); ②当点F 在直线AC 的上方时, ∵∠ACO =∠F ′AC ,∴AF ′∥x 轴, 则点F ′(3,2);综上,点F 的坐标为:(3,2)或(173,﹣509); (4)如图2,设∠ACO =α,则tanα=12AO CO =,则sinα=5,cosα=5;①当0≤t ≤355时(左侧图), 设△AHK 移动到△A ′H ′K ′的位置时,直线H ′K ′分别交x 轴于点T 、交抛物线对称轴于点S ,则∠DST =∠ACO =α,过点T 作TL ⊥KH , 则LT =HH ′=t ,∠LTD =∠ACO =α,则DT ='52co 5c s 2os L HH T t αα===,DS =tan DT α, S =S △DST =12⨯DT ×DS =254t ; 35<t 35时(右侧图),同理可得:S =''DGS T S 梯形=12⨯DG ×(GS ′+DT ′)=12⨯3+55﹣323594-; 35<t 53594+;综上,S=2535,023593535,()435935(5)4t tt tt t⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎨-<≤⎪⎪+<≤.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等,其中(3)、(4),要注意分类求解,避免遗漏.9.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A 在点B的左侧.(1)如图1,当k=1时,直接写出A,B两点的坐标;(2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标;(3)如图2,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧),在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)A(-1,0) ,B(2,3)(2)△ABP最大面积s=1927322288⨯=; P(12,﹣34)(3)存在;25【解析】【分析】(1)当k=1时,抛物线解析式为y=x2﹣1,直线解析式为y=x+1,然后解方程组211y xy x⎧=⎨=+⎩﹣即可;(2)设P(x,x2﹣1).过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x+1),所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB,,用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2,配方或用公式确定顶点坐标即可.(3)设直线AB:y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F,用k分别表示点E的坐标,点F的坐标,以及点C的坐标,然后在Rt△EOF中,由勾股定理表示出EF的长,假设存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,设点N为OC中点,连接NQ,根据条件证明△EQN∽△EOF,然后根据性质对应边成比例,可得关于k的方程,解方程即可.【详解】解:(1)当k=1时,抛物线解析式为y=x2﹣1,直线解析式为y=x+1.联立两个解析式,得:x2﹣1=x+1,解得:x=﹣1或x=2,当x=﹣1时,y=x+1=0;当x=2时,y=x+1=3,∴A(﹣1,0),B(2,3).(2)设P(x,x2﹣1).如答图2所示,过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x+1).∴PF=y F﹣y P=(x+1)﹣(x2﹣1)=﹣x2+x+2.S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF(xF﹣xA)+PF(xB﹣xF)=PF(xB﹣xA)=PF∴S△ABP=(﹣x2+x+2)=﹣(x﹣12)2+278当x=12时,yP=x2﹣1=﹣34.∴△ABP面积最大值为,此时点P坐标为(12,﹣34).(3)设直线AB:y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F,则E(﹣1k,0),F(0,1),OE=1k,OF=1.在Rt△EOF中,由勾股定理得:22 111=k k+⎛⎫+⎪⎝⎭.令y=x2+(k﹣1)x﹣k=0,即(x+k)(x﹣1)=0,解得:x=﹣k或x=1.∴C(﹣k,0),OC=k.假设存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,如答图3所示,则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ,根据圆周角定理,此时∠OQC=90°. 设点N 为OC 中点,连接NQ ,则NQ ⊥EF ,NQ=CN=ON=2k . ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2k . ∵∠NEQ=∠FEO ,∠EQN=∠EOF=90°, ∴△EQN ∽△EOF ,∴NQ EN OF EF=,即:1221kk k k-=, 解得:k=±25, ∵k >0, ∴k=25. ∴存在唯一一点Q ,使得∠OQC=90°,此时k=25. 考点:1.二次函数的性质及其应用;2.圆的性质;3.相似三角形的判定与性质.10.如图,已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ,B 两点,过点A 的直线l 与抛物线交于点C ,其中点A 的坐标是()1,0,点C 的坐标是()2,3-,抛物线的顶点为点D .(1)求抛物线和直线AC 的解析式.(2)若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点,求APC ∆的面积的最大值及此时点P 的坐标.(3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ,点M 为直线AC 上的任意一点,过点M 作//MN DE 交抛物线于点N ,以D ,E ,M ,N 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出点M 的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)y=-x 2-2x+3,y=-x+1;(2)最大值为278,此时点P(12-,154);(3)能,(0,1),)或【解析】 【分析】(1)直接利用待定系数法进行求解,即可得到答案;(2)设点P(m ,-m 2-2m+3),则Q(m ,-m+1),求出PQ 的长度,结合三角形的面积公式和二次函数的性质,即可得到答案;(3)根据题意,设点M(t ,-t+1),则点N(t ,-t 2-2t+3),可分为两种情况进行分析:①当点M 在线段AC 上时,点N 在点M 上方;②当点M 在线段AC (或CA )延长线上时,点N 在点M 下方;分别求出点M 的坐标即可. 【详解】解:(1)∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1,0),C(-2,3),∴10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩,,解得:23b c =-⎧⎨=⎩,.∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3. 设直线AC 的解析式为y=kx+n . 将点A ,C 坐标代入,得 023k n k n +=⎧⎨-+=⎩,,解得11k n =-⎧⎨=⎩,. ∴直线AC 的解析式为y=-x+1. (2)过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q . 设点P(m ,-m 2-2m+3),则Q(m ,-m+1). ∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2. ∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++.∴当m=12-时,S △APC 最大,最大值为278,此时点P(12-,154).(3)能.∵y=-x 2-2x+3,点D 为顶点, ∴点D(-1,4),令x=-1时,y=-(-1)+1=2, ∴点E(-1,2). ∵MN ∥DE ,∴当MN=DE=2时,以D ,E ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形. ∵点M 在直线AC 上,点N 在抛物线上, ∴设点M(t ,-t+1),则点N(t ,-t 2-2t+3). ①当点M 在线段AC 上时,点N 在点M 上方,则 MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2. ∴-t 2-t+2=2,解得:t=0或t=-1(舍去). ∴此时点M 的坐标为(0,1).②当点M 在线段AC (或CA )延长线上时,点N 在点M 下方,则 MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2. ∴t 2+t-2=2,解得:t=12-+或t=12-.∴此时点M ).综上所述,满足条件的点M 的坐标为:(0,1【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式;(2)利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题;(3)利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置.。
数学九年级上册 二次函数专题练习(word版

数学九年级上册 二次函数专题练习(word 版一、初三数学 二次函数易错题压轴题(难)1.如图,抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点,已知()()1,0,0,3.A C -()1求此抛物线的关系式;()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点,过点P 作y 轴的平行线,交线段BC 于点,D 当BCP 的面积最大时,求点D 的坐标;()3点M 是抛物线上的一动点,当()2中BCP 的面积最大时,请直接写出使45PDM ∠=︒的点M 的坐标【答案】(1)2y x 2x 3=-++;(2)点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭;(3)点M 的坐标为()0,3或113113++⎝⎭【解析】 【分析】(1)由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -,利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.(2)首先设点()2,23,P t t t -++令2230x x -++=,求得()3,0B ,然后设直线BC 的关系式为y kx b =+,由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+,可得()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+,BCP 的面积为()21333,22S PD t t =⨯=-+利用二次函数的性质即可求解; (3)根据PD y 轴,45PDM ∠=︒,分别设DM y x b =+,DM y x b =-+,根据点33D(22,)坐标即可求出b ,再与抛物线联系即可得出点M 的坐标. 【详解】()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++可解得1,3,a c =-=即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++.()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=解得121,3,x x =-= 则点()3,0B .设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠), 将点,B C 的坐标代入,可求得直线BC 的关系式为3y x =-+.∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+设BCP 的面积为,S 则()21333,22S PD t t =⨯=-+ ∴当32t =时,S 有最大值,此时点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()3∵PD y 轴,45PDM ∠=︒第一种情况:令DM y x b =+,33D(22,) 解得:b=0∴223y x y x x =⎧⎨=-++⎩解得:113x =∴11M 22+(, 第二种情况:令DM y x b =-+,33D(22,) 解得:b=3 ∴2323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得:x=0或x=3(舍去) ∴M 03(,)满足条件的点M 的坐标为()0,3或⎝⎭【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题关键.2.如图,过原点的抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A (4,0),B 为抛物线的顶点,连接OB ,点P 是线段OA 上的一个动点,过点P 作PC ⊥OB ,垂足为点C . (1)求抛物线的解析式,并确定顶点B 的坐标;(2)设点P 的横坐标为m ,将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°,得△PO′C′,当点O′和点C′分别落在抛物线上时,求相应的m 的值;(3)当(2)中的点C′落在抛物线上时,将抛物线向左或向右平移n (0<n <2)个单位,点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″,是否存在n ,使得四边形OB′C″A 的周长最短?若存在,请直接写出n 的值和抛物线平移的方向,若不存在,请说明理由.【答案】(1)2122y x x =-+,点B (2,2);(2)m=2或209m =;(3)存在;n=27时,抛物线向左平移. 【解析】 【分析】(1)将点A 和点O 的坐标代入解析式,利用待定系数法即可求得二次函数的解析式,然后利用配方法可求得点B 的坐标;(2)由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形,从而可得到点O′坐标为:(m ,m ),点C′坐标为:(32m ,2m),然后根据点在抛物线上,列出关于m 的方程,从而可解得m 的值;(3)如图,将AC′沿C′B 平移,使得C′与B 重合,点A 落在A′处,以过点B 的直线y=2为对称轴,作A′的对称点A″,连接OA″,由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时,四边形OB′C″A 的周长最短,先求得点B′的坐标,根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离. 【详解】解:(1)把原点O (0,0),和点A (4,0)代入y=12-x 2+bx+c . 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩,∴02c b =⎧⎨=⎩.∴22112(2)222y x x x =-+=--+.∴点B 的坐标为(2,2). (2)∵点B 坐标为(2,2). ∴∠BOA=45°.∴△PDC 为等腰直角三角形. 如图,过C′作C′D ⊥O′P 于D .∵O′P=OP=m . ∴C′D=12O′P=12m . ∴点O′坐标为:(m ,m ),点C′坐标为:(32m ,2m ).当点O′在y=12-x 2+2x 上. 则−12m 2+2m =m . 解得:12m =,20m =(舍去). ∴m=2. 当点C′在y=12-x 2+2x 上, 则12-×(32m )2+2×32m =12m ,解得:1209m =,20m =(舍去). ∴m=209(3)存在n=27,抛物线向左平移.当m=209时,点C′的坐标为(103,109).如图,将AC′沿C′B 平移,使得C′与B 重合,点A 落在A′处.以过点B的直线y=2为对称轴,作A′的对称点A″,连接OA″.当B′为OA″与直线y=2的交点时,四边形OB′C″A的周长最短.∵BA′∥AC′,且BA′=AC′,点A(4,0),点C′(103,109),点B(2,2).∴点A′(83,89).∴点A″的坐标为(83,289).设直线OA″的解析式为y=kx,将点A″代入得:828 39k=,解得:k=76.∴直线OA″的解析式为y=76 x.将y=2代入得:76x=2,解得:x=127,∴点B′得坐标为(127,2).∴n=2122 77 -=.∴存在n=27,抛物线向左平移.【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点,由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为:(m,m),点C′坐标为:(32m,2m)以及点B′的坐标是解题的关键.3.如图,在平面直角坐标系x O y中,抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点,已知点A (-3,0),B(0,3),C(1,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点,(不与点A 、B 重合),过点P 作x 轴的垂线,垂足为F ,交直线AB 于点E ,作PD ⊥AB 于点D .动点P 在什么位置时,△PDE 的周长最大,求出此时P 点的坐标;(3)在直线x = -2上是否存在点M ,使得∠MAC = 2∠MCA ,若存在,求出M 点坐标.若不存在,说明理由.【答案】(1)y=-x 2-2x+3;(2)点(-32,154),△PDE 的周长最大;(3)点M (-2,3)或(-2,3【解析】 【分析】(1)将A 、B 、C 三点代入,利用待定系数法求解析式;(2)根据坐标发现,△AOB 是等腰直角三角形,故只需使得PD 越大,则△PDE 的周长越大.联立直线AB 与抛物线的解析式可得交点P 坐标;(3)作点A 关于直线x=-2的对称点D ,利用∠MAC = 2∠MCA 可推导得MD=CD ,进而求得ME 的长度,从而得出M 坐标 【详解】解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A (-3,0),B (0,3),C (1,0),∴93030a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩,解得:123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,所以,抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3; (2)∵A (-3,0),B (0,3),∴OA=OB=3,∴△AOB 是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°, ∵PF ⊥x 轴,∴∠AEF=90°-45°=45°, 又∵PD ⊥AB ,∴△PDE 是等腰直角三角形,∴PD 越大,△PDE 的周长越大,易得直线AB 的解析式为y=x+3, 设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ,联立223y x my x x =+⎧⎨=--+⎩,消掉y 得,x 2+3x+m-3=0, 当△=9-4(m-3)=0,即m=214时,直线与抛物线只有一个交点,PD 最长,此时x=-32,y=154,∴点(-32,154),△PDE 的周长最大;(3)设直线x=-2与x 轴交于点E ,作点A 关于直线x=-2的对称点D ,则D (-1,0),连接MA ,MD ,MC .∴MA=MD ,∠MAC=∠MDA=2∠MCA , ∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 , ∴3∴点M (-23)或(-2,3 【点睛】本题是动点和最值的考查,在解决动点问题时,寻找出不变量来分析是解题关键,最值问题,通常利用对称来简化分析4.定义:对于已知的两个函数,任取自变量x 的一个值,当0x ≥时,它们对应的函数值相等;当0x <时,它们对应的函数值互为相反数,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:正比例函数y x =,它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. (1)已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上,求a 的值; (2)已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时,求m 的值; ②当33x -≤≤时,求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. (3)在平面直角坐标系中,点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭,连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】(1)1;(2)①2225- ;②max 432y =,min 12y =-;(3)31n -<≤-,514n <≤【解析】 【分析】(1)先求出5y ax =-的相关函数,然后代入求解,即可得到答案;(2)先求出二次函数的相关函数,①分为m <0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可; ②当-3≤x <0时,y=x 2-4x+12,然后可 此时的最大值和最小值,当0≤x≤3时,函数y=-x 2+4x-12,求得此时的最大值和最小值,从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值; (3)首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值,然后结合函数图象可确定出n 的取值范围. 【详解】解:(1)根据题意,一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩,∴把点()5,10A -代入5y ax =-+,则(5)510a -⨯-+=,∴1a =;(2)根据题意,二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩,①当m <0时,将B (m ,32)代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=,解得:m=2 当m≥0时,将B (m ,32)代入y=-x 2+4x-12得:-m 2+4m-12=32,解得:或m=2.综上所述:m=2-或m=2+或m=2- ②当-3≤x <0时,y=x 2-4x+12,抛物线的对称轴为x=2,此时y 随x 的增大而减小, ∴当3x =-时,有最大值,即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=, ∴此时y 的最大值为432. 当0≤x≤3时,函数y=-x 2+4x 12-,抛物线的对称轴为x=2,当x=0有最小值,最小值为12 -,当x=2时,有最大值,最大值y=72.综上所述,当-3≤x≤3时,函数y=-x2+4x12-的相关函数的最大值为432,最小值为12-;(3)如图1所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点.∴当x=2时,y=1,即-4+8+n=1,解得n=-3.如图2所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点.∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1,∴-n=1,解得:n=-1.∴当-3<n≤-1时,线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.如图3所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点.∵抛物线y=-x2+4x+n经过点(0,1),∴n=1.如图4所示:线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点.∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M (12-,1), ∴14+2-n=1,解得:n=54. ∴1<n≤54时,线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点. 综上所述,n 的取值范围是-3<n≤-1或1<n≤54. 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系,求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键.5.定义:函数l 与l '的图象关于y 轴对称,点(),0P t 是x 轴上一点,将函数l '的图象位于直线x t =左侧的部分,以x 轴为对称轴翻折,得到新的函数w 的图象,我们称函数w 是函数l 的对称折函数,函数w 的图象记作1F ,函数l 的图象位于直线x t =上以及右侧的部分记作2F ,图象1F 和2F 合起来记作图象F .例如:如图,函数l 的解析式为1y x =+,当1t =时,它的对称折函数w 的解析式为()11y x x =-<.(1)函数l 的解析式为21y x =-,当2t =-时,它的对称折函数w 的解析式为_______; (2)函数l 的解析式为1²12y x x =--,当42x -≤≤且0t =时,求图象F 上点的纵坐标的最大值和最小值;(3)函数l 的解析式为()2230y ax ax a a =--≠.若1a =,直线1y t =-与图象F 有两个公共点,求t 的取值范围.【答案】(1)()212y x x =+<-;(2)F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩;图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =,最小值为3y =-;(3)当3t =-,1t <≤,5t <<时,直线1y t =-与图象F 有两个公共点. 【解析】 【分析】(1)根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可;(2)先根据题意确定F 的解析式,然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可;(3)先求出当a=1时图像F 的解析式,然后分14t -=-、点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上和点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上三种情况解答,最后根据图像即可解答. 【详解】解:(1)()212y x x =+<-(2)F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩当4x =-时,3y =-,当1x =-时,32y =, 当1x =时,32y =-,当2x =时,1y =, ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =,最小值为3y =-. (3)当1a =时,图象F 的解析式为2223()23()y x x x t y x x x t ⎧=--≥⎨=--+<⎩∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4; a :当14t -=-时,3t =-,∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点;b :当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时,2123t t t -=--,解得1317t -=,2317t +=c :当点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上时,2123t t t -=--+,解得34t =-(舍),41t =14t -=,∴55t = ∴当3171t -<≤或3175t +<<时,直线1y t =-与图象F 有两个公共点; 综上所述:当3t =-,3171t -<≤,3175t +<<时,直线1y t =-与图象F 有两个公共点. 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识,弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =﹣12x 2+bx +c 与x 轴交于B ,C 两点,与y 轴交于点A ,直线y =﹣12x +2经过A ,C 两点,抛物线的对称轴与x 轴交于点D ,直线MN 与对称轴交于点G ,与抛物线交于M ,N 两点(点N 在对称轴右侧),且MN ∥x 轴,MN =7.(1)求此抛物线的解析式. (2)求点N 的坐标.(3)过点A 的直线与抛物线交于点F ,当tan ∠FAC =12时,求点F 的坐标. (4)过点D 作直线AC 的垂线,交AC 于点H ,交y 轴于点K ,连接CN ,△AHK 沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动,移动过程中△AHK 与四边形DGNC 产生重叠,设重叠面积为S ,移动时间为t (0≤t 5S 与t 的函数关系式. 【答案】(1)y =﹣12x 2+32x +2;(2)点N 的坐标为(5,-3);(3)点F 的坐标为:(3,2)或(173,﹣509);(4)25,049494t tS tt⎧⎛≤≤⎪⎪⎝⎭=-<≤+<≤.【解析】【分析】(1)点A、C的坐标分别为(0,2)、(4,0),将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解;(2)抛物线的对称轴为:x=32,点N的横坐标为:37522+=,即可求解;(3)分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况,分别求解即可;(4)分0≤t<t<t【详解】解:(1)直线y=﹣12x+2经过A,C两点,则点A、C的坐标分别为(0,2)、(4,0),则c=2,抛物线表达式为:y=﹣12x2+bx+2,将点C坐标代入上式并解得:b=32,故抛物线的表达式为:y=﹣12x2+32x+2…①;(2)抛物线的对称轴为:x=32,点N的横坐标为:375 22+=,故点N的坐标为(5,-3);(3)∵tan∠ACO=2142AOCO===tan∠FAC=12,即∠ACO=∠FAC,①当点F在直线AC下方时,设直线AF交x轴于点R,∵∠ACO=∠FAC,则AR=CR,设点R(r,0),则r2+4=(r﹣4)2,解得:r=32,即点R的坐标为:(32,0),将点R、A的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n得:230 2nm n=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得:432mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩,故直线AR的表达式为:y=﹣43x+2…②,联立①②并解得:x=173,故点F(173,﹣509);②当点F在直线AC的上方时,∵∠ACO=∠F′AC,∴AF′∥x轴,则点F′(3,2);综上,点F的坐标为:(3,2)或(173,﹣509);(4)如图2,设∠ACO=α,则tanα=12AOCO=,则sinα5,cosα5①当0≤t 35时(左侧图),设△AHK移动到△A′H′K′的位置时,直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S,则∠DST =∠ACO =α,过点T 作TL ⊥KH , 则LT =HH ′=t ,∠LTD =∠ACO =α,则DT ='52co 5c s 2os L HH T t αα===,DS =tan DT α, S =S △DST =12⨯DT ×DS =254t ; 35<t 35时(右侧图),同理可得:S =''DGS T S 梯形=12⨯DG ×(GS ′+DT ′)=12⨯3+55﹣323594-; 35<t 53594+; 综上,S =2535,023593535,(245435935(5)1044t t t t t t ⎧⎛≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨-<≤⎪⎪⎪+<≤⎪⎩.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等,其中(3)、(4),要注意分类求解,避免遗漏.7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -,交y 轴于点C ,且经过点(6,6)D --,连接,AD BD .(1)求该抛物线的函数关系式;(2)△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似,请求出此时点M 、点N 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合),过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ,以PQ 为直径作⊙E ,则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 .(直接写出答案)【答案】(1)2113442y x x =--+;(2)点M (0,32)、点N (34,0)或点M (0,32),N (-3,0)或点M (-1,32)、点N (-3,0)或N (14-,0)、M (-1,32);(3)QH 有最大值,当x=2-时,其最大值为125. 【解析】 【分析】(1)用交点式函数表达式得:y=a (x-2)(x+3),将点D 坐标代入上式即可求解; (2)分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ,两种大情况、四种小情况,分别求解即可; (3)根据题意,利用二次函数的性质和三角函数,QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+,即可求解. 【详解】解:(1)用交点式函数表达式得:y=a (x-2)(x+3), 将点D 坐标代入上式并解得:14a =-, 故函数的表达式为:2113442y x x =--+…①, 则点C (0,32); (2)由题意得:AB=5,AD=10,BD=35, ①∠MAN=∠ABD 时, (Ⅰ)当△ANM ∽△ABD 时,直线AD 所在直线的k 值为34,则直线AM 表达式中的k 值为34-,则直线AM 的表达式为:3(2)4y x =--,故点M (0,32),AD AB AM AN =,则AN=54,则点N (34,0); (Ⅱ)当△AMN ∽△ABD 时, 同理可得:点N (-3,0),点M (0,32), 故点M (0,32)、点N (34,0)或点M (0,32),N (-3,0); ②∠MAN=∠BDA 时, (Ⅰ)△ABD ∽△NMA 时, ∵AD ∥MN ,则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12, AM :y=12-(x-2),则点M (-1,32)、点N (-3,0); (Ⅱ)当△ABD ∽△MNA 时,AD BD AM AN=,即3535AN =, 解得:AN=94,故点N (14-,0)、M (-1,32); 故:点M (-1,32)、点N (-3,0)或N (14-,0)、M (-1,32); 综上,点M (0,32)、点N (34,0)或点M (0,32),N (-3,0)或点M (-1,32)、点N (-3,0)或N (14-,0)、M (-1,32); (3)如图所示,连接PH ,由题意得:tan ∠PQH=43,则cos ∠PQH=35,则直线AD 的表达式为:y=3342x -, 设点P (x ,2113442x x --+),则点Q (x ,3342x -), 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++, ∵3020-<, 故QH 有最大值,当x=2-时,其最大值为125. 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用,涉及到一次函数、圆的基本知识,解直角三角形,相似三角形的判定和性质,其中(2)需要分类求解共四种情况,避免遗漏.8.如图,直线3yx与x 轴、y 轴分别交于点A ,C ,经过A ,C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ,且tan 3CBO ∠=(1)求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标;(2)点P 是射线BD 上一点,问是否存在以点P ,A ,B 为顶点的三角形,与ABC 相似,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)243y x x =++,顶点(2,1)D --;(2)存在,52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】 【分析】(1)利用直线解析式求出点A 、C 的坐标,从而得到OA 、OC ,再根据tan ∠CBO=3求出OB ,从而得到点B 的坐标,然后利用待定系数法求出二次函数解析式,整理成顶点式形式,然后写出点D 的坐标;(2)根据点A 、B 的坐标求出AB ,判断出△AOC 是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求出AC ,∠BAC=45°,再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°,然后分①AB 和BP 是对应边时,△ABC 和△BPA 相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ,过点P 作PE ⊥x 轴于E ,求出BE 、PE ,再求出OE 的长度,然后写出点P 的坐标即可;②AB 和BA 是对应边时,△ABC 和△BAP 相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ,过点P 作PE ⊥x 轴于E ,求出BE 、PE ,再求出OE 的长度,然后写出点P 的坐标即可. 【详解】解:(1)令y=0,则x+3=0, 解得x=-3, 令x=0,则y=3,∴点A (-3,0),C (0,3), ∴OA=OC=3, ∵tan ∠CBO=3OCOB=, ∴OB=1, ∴点B (-1,0),把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得,93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩,解得:143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴该抛物线的解析式为:243y x x =++, ∵y=x 2+4x+3=(x+2)2-1, ∴顶点(2,1)D --;(2)∵A (-3,0),B (-1,0), ∴AB=-1-(-3)=2, ∵OA=OC ,∠AOC=90°, ∴△AOC 是等腰直角三角形, ∴,∠BAC=45°, ∵B (-1,0),D (-2,-1), ∴∠ABD=45°,①AB 和BP 是对应边时,△ABC ∽△BPA , ∴AB ACBP BA =,即22BP =, 解得, 过点P 作PE ⊥x 轴于E ,则BE=PE=23×22=23,∴OE=1+23=53,∴点P的坐标为(-53,-23);②AB和BA是对应边时,△ABC∽△BAP,∴AB ACBA BP=,即2322BP =,解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E,则BE=PE=3222=3,∴OE=1+3=4,∴点P的坐标为(-4,-3);综合上述,当52,33P⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时,以点P,A,B为顶点的三角形与ABC∆相似;【点睛】本题是二次函数综合题型,主要利用了直线与坐标轴交点的求解,待定系数法求二次函数解析式,等腰直角三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,难点在于(2)要分情况讨论.9.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的关系解析式;(2)求直线AC 的函数解析式;(3)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,是否存在点P ,使△ACP 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由;【答案】(1)y=﹣23x 2﹣43x+2;(2)223y x =+;(3)存在,(35,22-) 【解析】【分析】(1)直接用待定系数法即可解答;(2)先确定C 点坐标,设直线AC 的函数解析式y=kx+b ,最后用待定系数法求解即可;(3)连接PO ,作PM⊥x 轴于M ,PN⊥y 轴于N ,然后求出△ACP 面积的表达式,最后利用二次函数的性质求最值即可.【详解】解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx+2过点A (﹣3,0),B (1,0), ∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴二次函数的关系解析式为y=﹣23x 2﹣43x+2; (2)∵当x=0时,y=2,∴C (0,2)设直线AC 的解析式为y kx b =+,把A 、C 两点代入得 0=32k b b -+⎧⎨=⎩ 解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的函数解析式为223y x =+; (3)存在.如图: 连接PO ,作PM⊥x 轴于M ,PN⊥y 轴于N设点P 坐标为(m ,n ),则n=224233m m --+),PN=-m ,AO=3 当x=0时,y=22400233-⨯-⨯+=2,∴点C 的坐标为(0,2),OC=2 ∵PAC PAO PCO ACO S S S S =+-212411322()3223322m m m ⎛⎫=⨯⋅--++⨯⋅--⨯⨯ ⎪⎝⎭ =23m m --∵a=-1<0 ∴函数S △PAC =-m 2-3m 有最大值∴b 当m=()33212-=--⨯- ∴当m=32-时,S △PAC 有最大值n=222423435223332322m m ⎛⎫--+=-⨯-⨯+= ⎪⎝⎭ ∴当△ACP 的面积最大时,P 的坐标为(35,22-). 【点睛】 本题是二次函数压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点,根据题意表示出△PAC 的面积是解答本题的关键.10.平面直角坐标系xOy 中,对于任意的三个点A 、B 、C ,给出如下定义:若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A ,B ,C 三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A ,B ,C 的“三点矩形”.在点A ,B ,C 的所有“三点矩形”中,若存在面积最小的矩形,则称该矩形为点A ,B ,C 的“最佳三点矩形”.如图1,矩形DEFG ,矩形IJCH 都是点A ,B ,C 的“三点矩形”,矩形IJCH 是点A ,B ,C 的“最佳三点矩形”.如图2,已知M (4,1),N (﹣2,3),点P (m ,n ).(1)①若m =1,n =4,则点M ,N ,P 的“最佳三点矩形”的周长为 ,面积为 ;②若m =1,点M ,N ,P 的“最佳三点矩形”的面积为24,求n 的值;(2)若点P在直线y=﹣2x+4上.①求点M,N,P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围;②当点M,N,P的“最佳三点矩形”为正方形时,求点P的坐标;(3)若点P(m,n)在抛物线y=ax2+bx+c上,且当点M,N,P的“最佳三点矩形”面积为12时,﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3,直接写出抛物线的解析式.【答案】(1)①18,18;②或5;(2)①最小值为12,;②点的坐标为或;(3),或.【解析】【分析】(1)①根据题意,易得M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积②先求出和的值,再根据m=1以及M、N、P的“最佳三点矩形”的面积是24,可分析出此矩形的邻边长分别为6、4进而求出n的值(2)①结合图形,易得M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值,分别将对应的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范围②当M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形时,易得边长为6,将对应的值代入y=-2x+4即可求出P点坐标(3)根据题意画出图像,易得抛物线的解析式【详解】解:(1)①如图,过P做直线AB平行于x轴,过N做直线AC平行于y轴,过M做MB平行于y轴,分别交于点A(-2,4)、C(-2,1)、B(4,1)则AC=BM=3,AB=CM=6故周长=(3+6)=18,面积=3=18故M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积分别为18,18;②∵M(4,1),N(-2,3)∴,又∵m=1,点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积为24∴此矩形的邻边长分别为6,4∴n=-1或5(2)如图1,①易得点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值为12;分别将y=3,y=1代入y=-2x+4,可得x分别为,结合图象可知:②当点M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形,边长为6,分别将y=7,y=-3代入y=-2x+4,可得分别为,点P的坐标为(,7)或(,-3)(3)如图2,y=+或y=+【点睛】此题比较灵活,读懂题意,画出图像求解是解题关键。
【3套】人教版九年级数学上册《二次函数》单元测试(Word版有答案)

第 1 页 共 35 页人教版九年级数学上册《二次函数》单元测试(Word 版有答案)一、选择题(本大题有16个小题,共42分.1~10小题各3分,11~16小题各2分) 1.下列函数中,是二次函数的是( )A .y =-2x 27 B .y =1x 2 C .y =2x 2-(2x +1)(x -1) D .y =x 2-3x2.抛物线y =x 2+1的图像大致是( )A B C D 3.抛物线y =(x -1)2+2与y 轴的交点坐标为( )A .(0,1)B .(0,2)C .(1,2)D .(0,3) 4.下列二次函数中,图像以直线x =2为对称轴,且经过点(0,1)的是( )A .y =(x -2)2+1 B .y =(x +2)2+1 C .y =(x -2)2-3 D .y =(x +2)2-3 5.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的x ,y 的部分对应值如下表:则该二次函数图像的对称轴为( )A .y 轴B .直线x =52C .直线x =2D .直线x =326.二次函数y =x 2-x -2的图像如图所示,则函数值y <0时,x 的取值范围是( )A .x <-1B .x >2C .-1<x <2D .x <-1或x >27.将抛物线y =x 2向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线相应的函数表达式是( )A .y =(x +2)2+1 B .y =(x -2)2+1 C .y =(x +2)2-1 D .y =(x -2)2-1 8.已知抛物线y =x 2-x -1与x 轴的一个交点为(m ,0),则代数式m 2-m +2 020的值为( )第 2 页 共 35 页A .2 018B .2 019C .2 020D .2 021 9.下列四个函数图像中,当x >0时,y 随x 的增大而增大的是( )A B C D10.已知函数y =x 2+bx +c 的图像经过点A(1,m),B(3,m).若点M(-2,y 1),N(-1,y 2),K(8,y 3)也在二次函数y =x 2+bx +c 的图像上,则下列结论正确的是( )A .y 1<y 2<y 3B .y 2<y 1<y 3C .y 3<y 1<y 2D .y 1<y 3<y 2 11.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x 轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y =-x 2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是( )A .4米B .3米C .2米D .1米12.二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图像如图所示,对称轴是直线x =1,则下列四个结论错误的是( )A .c >0B .2a +b =0C .b >0D .a -b +c >13.在学习“一次函数与二元一次方程”时,我们知道了两个一次函数图像的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系,请通过此经验推断:在同一平面直角坐标系中,函数y =5x 2-3x +4与y =4x 2-x +3的图像交点个数有( )A .0个B .1个C .2个D .无数个14.已知抛物线y =-x 2-2x +3与x 轴交于A ,B 两点,将这条抛物线的顶点记为C ,连接第 3 页 共 35 页AC ,BC ,则tan ∠CAB 的值为( )A. 12B.55C.255D .2 15.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6 cm ,BC =2 cm ,点P 在边AC 上,从点A 向点C 移动,点Q 在边CB 上,从点C 向点B 移动.若点P ,Q 均以1 cm/s 的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接PQ ,则线段PQ 的最小值是( )A .20 cmB .18 cmC .25 cm D .3 2 cm16.在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),B(2,-1),若抛物线y =2(x -3)2+k 与线段AB 有交点,且与y 轴相交于点C ,则下列四种说法,其中正确的是( )①当k =0时,抛物线y =2(x -3)2+k 与x 轴有唯一公共点; ②当x >4时,y 随x 的增大而增大; ③点C 的纵坐标的最大值为2;④抛物线与x 轴的两交点的距离的最大值为 6.A .①②③B .①②④C .①③④D .②③④ 二、填空题(本大题有3个小题,共12分.17~18小题各3分;19小题有2个空,每空3分)17.已知抛物线y =x 2+x +p(p ≠0)与x 轴有且只有一个交点,则p = . 18.若抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点,则a +c = 19.如图,四边形OABC 是边长为1的正方形,OC 与x 轴正半轴的夹角为15°,点B 在抛物线y =ax 2(a <0)的图像上,则B 点的坐标为( ),a 的值为 .三、解答题(本大题有7个小题,共66分)20.(本小题满分8分)已知二次函数y =-(x -2)2+94.(1)写出这个函数的顶点坐标,与x 轴的交点坐标.第 4 页 共 35 页(2)在给定的坐标系中画出这个函数的图像.21.(本小题满分9分)已知:在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).(1)求抛物线的表达式.(2)设点D 是抛物线上一点,且点D 的横坐标为-2,求△AOD 的面积.22.(本小题满分9分)从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(米)与小球运动时间t(秒)之间的关系为h =18t -4t 2.(1)当t =2时,求小球距离地面的高度. (2)求出小球落地的时间.23.(本小题满分9分)在平面直角坐标系中,抛物线y =x 2-2x +c(c 为常数)的对称轴如图所示,且抛物线过点C(0,c).(1)当c =-3时,(x 1,y 1)在抛物线y =x 2-2x +c 上,求y 1的最小值.(2)若抛物线与x 轴有两个交点,自左向右分别为点A ,B ,且OA =12OB ,求抛物线的表达式.24.(本小题满分10分)某超市销售一种牛奶,进价为每箱24元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36元,每月可销售60箱.市场调查发现:若这种牛奶的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱.设每箱牛奶降价x元(x为正整数),每月的销量为y箱.(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.(2)超市如何定价,才能使每月销售牛奶的利润最大?最大利润是多少元?25.(本小题满分10分)如图,已知抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,P(m,n)为第一象限内抛物线上的一点,点D的坐标为(0,6).(1)OB=4,抛物线的顶点坐标为( ).(2)当n=4时,求点P关于直线BC的对称点P′的坐标.(3)是否存在直线PD,使直线PD所对应的一次函数随x的增大而增大,若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.26.(本小题满分11分)某种植基地种植一种蔬菜,它的成本是每千克2元,售价是每千克3元,年销量为10(万千克).基地准备拿出一定的资金作绿色开发,若每年绿色开发投入的资金为x(万元),该种蔬菜的年销量将是原年销量的n倍,x与n的关系如下表:(1)猜想n与x之间的函数类型是函数,求出该函数的表达式并验证.(2)求年利润W1(万元)与绿色开发投入的资金x(万元)之间的函数关系式(注:年利润W1=销售总额-成本费-绿色开发投入的资金);当绿色开发投入的资金不低于3万元,又不超过5万元时,求此时年利润W1(万元)的最大值.第 5 页共35 页第 6 页 共 35 页(3)若提高种植人员的奖金,发现又增加一部分年销量,经调查发现:再次增加的年销量y(万千克)与每年提高种植人员的奖金z(万元)之间满足y =-z 2+4z ,若基地将投入5万元用于绿色开发和提高种植人员的奖金,应怎样分配这笔资金才能使总年利润达到17万元且绿色开发投入大于奖金投入?(2≈1.44) 答案一、选择题(本大题有16个小题,共42分.1~10小题各3分,11~16小题各2分)二、填空题(本大题有3个小题,共12分.17~18小题各3分;19小题有2个空,每空3分) 17.p =14.18.a +c =-2. 19.(2,-2),-3三、解答题(本大题有7个小题,共66分)20.解:(1)顶点坐标为(2,94),与x 轴的交点坐标为(12,0 ),(72,0 ).(2)图像如图所示. 21.解:(1)把点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)代入y =ax 2+bx +c ,得第 7 页 共 35 页⎩⎪⎨⎪⎧9a +3b +c =0,4a +2b +c =-3,c =-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-2,c =-3. ∴抛物线的表达式为y =x 2-2x -3.(2)把x =-2代入y =x 2-2x -3,得y =5.∴D(-2,5). ∵A(3,0),∴OA =3.∴S △AOD =12×3×5=152.22.解:(1)当t =2时,h =18×2-4×22=20. ∴当t =2时,小球距离地面的高度为20米.(2)令h =0,则18t -4t 2=0,解得t 1=0(不合题意,舍去),t 2=4.5. ∴小球落地的时间是4.5秒. 23.解:(1)当c =-3时,y =x 2-2x -3. ∵抛物线开口向上,有最小值.∴y 1的最小值为4ac -b 24a =4×1×(-3)-(-2)24=-4.(2)①当点A ,B 都在原点的右侧时,设A(m ,0), ∵OA =12OB ,∴B(2m ,0).∵二次函数y =x 2-2x +c 的对称轴为直线x =1,由二次函数的对称性,得1-m =2m -1.解得m =23.∴A(23,0).∵点A 在抛物线y =x 2-2x +c 上,∴0=49-43+c ,解得c =89.此时抛物线的表达式为y =x 2-2x +89.②当点A 在原点的左侧,点B 在原点的右侧时,设A(-n ,0),∵OA =12OB ,且点A ,B 在原点的两侧,∴B(2n ,0).由抛物线的对称性,得n +1=2n -1.解得n =2.∴A(-2,0). ∵点A 在抛物线上y =x 2-2x +c 上, ∴0=4+4+c ,解得c =-8.第 8 页 共 35 页此时抛物线的表达式为y =x 2-2x -8.综上,抛物线的表达式为y =x 2-2x +89或y =x 2-2x -8.24.解:(1)根据题意,得y =60+10x. 由36-x ≥24,得x ≤12. ∴1≤x ≤12,且x 为整数.(2)设所获利润为W ,则W =(36-x -24)(10x +60)=-10x 2+60x +720=-10(x -3)2+810.∴当x =3时,W 取最大值,最大值为810. 而36-3=33.答:超市定价每箱牛奶33元时,才能使每月销售牛奶的利润最大,最大利润是810元. 25.(1)OB =4,抛物线的顶点坐标为(32,254).解:(2)连接CP.当n =4时,-m 2+3m +4=4,解得m 1=3,m 2=0(舍去).∴P 点的坐标为(3,4). ∵OC =4,∴ CP ∥x 轴,CP =3.∵OB =OC =4,∴∠OCB =45°.∴∠BCP =45°. ∴点P ′在y 轴上.∴CP ′=CP =3.∴P ′(0,1). (3)存在.∵点D 的坐标为(0,6),当y =6时,-x 2+3x +4=6.解得x 1=1,x 2=2. ∵直线PD 所对应的一次函数随x 的增大而增大, ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限.∴1<m <2.第 9 页 共 35 页26.(1)猜想n 与x 之间的函数类型是二次函数, 解:(1)设n 与x 的函数关系为n =ax 2+bx +c. 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧c =1,a +b +c =1.5,4a +2b +c =1.8, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-0.1,b =0.6,c =1.∴n 与x 的函数表达式为n =-0.1x 2+0.6x +1.由表可知,当x =3时,代入表达式,得n =-0.1×9+0.6×3+1=1.9. ∴猜想正确.(2)由题意,得W 1=(3-2)×10n -x =-x 2+5x +10, 即W 1=-(x -52)2+654.∵由于投入的资金不低于3万元,又不超过5万元,所以3≤x ≤5,而a =-1<0,抛物线开口向下,且取值范围在顶点右侧,W 1随x 的增大而减小, ∴当x =3时,W 1最大为16万元.(3)设用于绿色开发的资金为a 万元,则用于提高奖金的资金为(5-a)万元, 将a 代入(2)中的W 1=-x 2+5x +10,故W 1=-a 2+5a +10.将(5-a)代入y =-z 2+4z ,故y =-(5-a)2+4(5-a)=-a 2+6a -5, 由于单位利润为1,所以由增加奖金而增加的利润是-a 2+6a -5.所以总年利润W ′1=(-a 2+5a +10)+(-a 2+6a -5)-(5-a)=-2a 2+12a , 因为要使总年利润达到17万,所以-2a 2+12a =17, 整理,得2a 2-12a +17=0,解得a =6+22≈3.7或a =6-22≈2.3,而绿色开发投入要大于奖金投入,所以a =3.7,5-a =1.3.所以用于绿色开发的资金为3.7万元,提高种植人员的奖金为1.3万元.人教新版九年级上学期第22章《二次函数》单元测试卷(含答案)一.选择题1.若关于x的函数y=(2﹣a)x2﹣x是二次函数,则a的取值范围是()A.a≠0 B.a≠2 C.a<2 D.a>2 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中错误的是()A.函数有最小值B.当﹣1<x<2时,y>0C.a+b+c<0D.当x<,y随x的增大而减小3.函数y=﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是()A.(2,﹣1)B.(﹣2,1)C.(﹣2,﹣1)D.(2,1)4.在平面直角坐标系中,抛物线y2与直线y1均过原点,直线经过抛物线的顶点(2,4),则下列说法:①当0<x<2时,y2>y1;②y2随x的增大而增大的取值范围是x<2;③使得y2大于4的x值不存在;④若y2=2,则x=2﹣或x=1.其中正确的有()第10 页共35 页A.1个B.2个C.3个D.4个5.通过配方法将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x﹣h)2+k的形式,此二次函数可变形为()A.y=a(x +)2+B.y=a(x ﹣)2+C.y=a(x+)2+D.y=a(x ﹣)2+6.如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①a+b+c =0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1;④a﹣2b+c>0.其中正确的命题是()A.①②B.②③C.①③D.①②③④7.在同一直角坐标系中,函数y=ax2+b与y=ax+2b(ab≠0)的图象大致如图()A.B.第11 页共35 页C.D.8.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列结论:①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4;②4a+2b+c<0;③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2;④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0;⑤抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<﹣1<x2,且x1+x2>﹣2,则y1<y2其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个9.二次函数y=﹣(x﹣1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为5m,最大值为5n,则m+n的值为()A.0 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣310.抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表所示:从上表可知,下列说法中,错误的是()第12 页共35 页A.抛物线与x轴的一个交点坐标为(﹣2,0)B.抛物线与y轴的交点坐标为(0,6)C.抛物线的对称轴是直线x=0D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的11.已知点E(2,1)在二次函数y=x2﹣8x+m(m为常数)的图象上,则点E关于图象对称轴的对称点坐标是()A.(4,1)B.(5,1)C.(6,1)D.(7,1)12.设A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=﹣(x+1)2+1上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为()A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y3>y1>y2 13.二次函数y=﹣(x﹣1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为()A.B.2 C.D.14.已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或315.已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为()A.y=﹣3(x﹣1)2+3 B.y=3(x﹣1)2+3C.y=﹣3(x+1)2+3 D.y=3(x+1)2+3第13 页共35 页二.填空题16.抛物线y=2(x+1)(x﹣3)的对称轴是.17.二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点,则a的值为.18.已知关于x的函数y=(m﹣1)x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点,则m =.19.正方形边长3,若边长增加x,则面积增加y,y与x的函数关系式为.20.飞机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是s=60t﹣1.5t2.则飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为米.21.抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是.22.如图所示四个二次函数的图象中,分别对应的是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=d x2.则a、b、c、d的大小关系为.23.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)的部分图象如图所示,直线x=1是它的对称轴.若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2<x1<3,则它的另一个根x2的取值范围是.第14 页共35 页三.解答题24.(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2﹣2x﹣1的大致图象.(2)根据方程的根与函数图象之间的关系.将方程x2﹣2x﹣1=0的根在图上近似的表示出来;(描点)(3)观察图象,直接写出方程x2﹣2x﹣1=0的根.(精确到0.1)25.已知抛物线y=﹣x2+bx﹣c的部分图象如图.(1)求b、c的值;(2)分别求出抛物线的对称轴和y的最大值.第15 页共35 页26.下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值:(1)根据表格中的数据,确定b,c,n的值;(2)设y=﹣x2+bx+c,直接写出0≤x≤2时y的最大值.27.某大学生创业团队抓住商机,购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售,每袋成本3元.试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示,其中3.5≤x≤5.5,另外每天还需支付其他各项费用80元.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式;(2)如果每天获得160元的利润,销售单价为多少元?(3)设每天的利润为w元,当销售单价定为多少元时,每天的利润最大?最大利润是第16 页共35 页多少元?28.如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,﹣3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;(2)在x轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不在,请说明理由;(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PA,PB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.第17 页共35 页第 18 页 共 35 页参考答案一.选择题1.解:∵函数y =(2﹣a )x 2﹣x 是二次函数, ∴2﹣a ≠0,即a ≠2, 故选:B .2.解:A 、由图象可知函数有最小值,故正确;B 、由抛物线可知当﹣1<x <2时,y <0,故错误;C 、当x =1时,y <0,即a +b +c <0,故正确;D 、由图象可知在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,故正确.故选:B .3.解:∵y =﹣x 2﹣4x ﹣3=﹣(x 2+4x +4﹣4+3)=﹣(x +2)2+1 ∴顶点坐标为(﹣2,1); 故选:B .4.解:设抛物线解析式为y =a (x ﹣2)2+4, ∵抛物线与直线均过原点, ∴a (0﹣2)2+4=0, ∴a =﹣1,∴y =﹣(x ﹣2)2+4,∴由图象得当0<x <2时,y 2>y 1,故①正确;y 2随x 的增大而增大的取值范围是x <2,故②正确;∵抛物线的顶点(2,4),使得y 2大于4的x 值不存在,故③正确; 把y =2代入y =﹣(x ﹣2)2+4,得 若y 2=2,则x =2﹣或x =2+,故④不正确.其中正确的有3个,故选:C.5.解:y=ax2+bx+c=a(x2+x)+c=a(x2+x+)+c﹣a•=a(x+)2+故选:A.6.解:∵x=1时,y=0,∴a+b+c=0,所以①正确;∵x=﹣=﹣1,∴b=2a,所以②错误;∵点(1,0)关于直线x=﹣1对称的点的坐标为(﹣3,0),∴抛物线与x轴的交点坐标为(﹣3,0)和(1,0),∴ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1,所以③正确;∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,而a+b+c=0,b=2a,∴c=﹣3a,∴a﹣2b+c=﹣3b,∵b>0,∴﹣3b<0,所以④错误.故选:C.7.解:A、由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误;B、由抛物线可知,a<0,b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;C、由抛物线可知a>0,b<0,由直线可知a>0,b>0,故本选项错误;D、由抛物线可知,a<0,b<0,由直线可知,a>0,b<0,故本选项错误.第19 页共35 页故选:B.8.解:①观察图象知最高点为(﹣1,4),故最大值为4正确;②当x=2时,y<0,故4a+2b+c<0正确;③∵抛物线对称轴为x=﹣1,故一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2正确;④使y≤3成立的x的取值范围是x≤﹣2或x≥0,故错误;⑤∵x1<﹣1<x2,且x1+x2>﹣2,∴P(x1,y1)距离对称近,∴y1>y2,故错误;故正确的有①②③3个,故选:C.9.解:二次函数y=﹣(x﹣1)2+5的大致图象如下:.①当m≤0≤x≤n<1时,当x=m时y取最小值,即5m=﹣(m﹣1)2+5,解得:m=﹣4或m=1(舍去).当x=n时y取最大值,即5n=﹣(n﹣1)2+5,解得:n=﹣4或n=1(均不合题意,舍去);②当m≤0≤x≤1≤n时,当x=m时y取最小值,即5m=﹣(m﹣1)2+5,解得:m=﹣4或m=1(舍去).当x=1时y取最大值,即5n=﹣(1﹣1)2+5,解得:n=1,或x=n时y取最小值,x=1时y取最大值,5m=﹣(n﹣1)2+5,n=1,第20 页共35 页∴m=1,∵m<0,∴此种情形不合题意,所以m+n=﹣4+1=﹣3.故选:D.10.解:当x=﹣2时,y=0,∴抛物线过(﹣2,0),∴抛物线与x轴的一个交点坐标为(﹣2,0),故A正确;当x=0时,y=6,∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,6),故B正确;当x=0和x=1时,y=6,∴对称轴为x =,故C错误;当x <时,y随x的增大而增大,∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的,故D正确;故选:C.11.解:由二次函数y=x2﹣8x+m可知对称轴为x=﹣=﹣=4,∵点E(2,1)与点(6,1)关于图象对称轴对称,∴点E关于图象对称轴的对称点坐标是(6,1),故选:C.12.解:∵函数的解析式是y=﹣(x+1)2+1,∴对称轴是x=﹣1,∴点A关于对称轴的点A′是(0,y1),那么点A′、B、C都在对称轴的右边,而对称轴右边y随x的增大而减小,于是y1>y2>y3.故选:A.第21 页共35 页13.解:二次函数y=﹣(x﹣1)2+5的大致图象如下:.①当m<0≤x≤n<1时,当x=m时y取最小值,即2m=﹣(m﹣1)2+5,解得:m=﹣2.当x=n时y取最大值,即2n=﹣(n﹣1)2+5,解得:n=2或n=﹣2(均不合题意,舍去);②当m<0≤x≤1≤n时,当x=m时y取最小值,即2m=﹣(m﹣1)2+5,解得:m=﹣2.当x=1时y取最大值,即2n=﹣(1﹣1)2+5,解得:n=,或x=n时y取最小值,x=1时y取最大值,2m=﹣(n﹣1)2+5,n=,∴m=,第22 页共35 页∵m<0,∴此种情形不合题意,所以m+n=﹣2+=.故选:D.14.解:∵当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小,∴①若h<1≤x≤3,x=1时,y取得最小值5,可得:(1﹣h)2+1=5,解得:h=﹣1或h=3(舍);②若1≤x≤3<h,当x=3时,y取得最小值5,可得:(3﹣h)2+1=5,解得:h=5或h=1(舍);③若1≤h≤3时,当x=h时,y取得最小值为1,不是5,∴此种情况不符合题意,舍去.综上,h的值为﹣1或5,故选:B.15.解:由图知道,抛物线的顶点坐标是(1,3),且过(0,0)点,设二次函数y=a(x﹣1)2+3,把(0,0)代入得0=a+3解得a=﹣3.故二次函数的解析式为y=﹣3(x﹣1)2+3.故选:A.二.填空题(共8小题)16.解:令y=0,则:x=﹣1或x=3,即:函数与x轴交点是(3,0),(﹣1,0),故:对称轴是x=3﹣(3+1)=1答案是x=1.第23 页共35 页17.解:∵二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点,∴a2﹣1=0,∴a=±1,∵a﹣1≠0,∴a≠1,∴a的值为﹣1.故答案为:﹣1.18.解:(1)当m﹣1=0时,m=1,函数为一次函数,解析式为y=2x+1,与x轴交点坐标为(﹣,0);与y轴交点坐标(0,1).符合题意.(2)当m﹣1≠0时,m≠1,函数为二次函数,与坐标轴有两个交点,则过原点,且与x轴有两个不同的交点,于是△=4﹣4(m﹣1)m>0,解得,(m﹣)2<,解得m<或m>.将(0,0)代入解析式得,m=0,符合题意.(3)函数为二次函数时,还有一种情况是:与x轴只有一个交点,与Y轴交于交于另一点,这时:△=4﹣4(m﹣1)m=0,解得:m=.故答案为:1或0或.19.解:由正方形边长3,边长增加x,增加后的边长为(x+3),则面积增加y=(x+3)2﹣32=x2+6x+9﹣9=x2+6x.故应填:y=x2+6x.20.解:s=60t﹣1.5t2=﹣1.5(t﹣20)2+600,则当t=20时,s取得最大值,此时s=600,第24 页共35 页故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为:600m.故答案为:600.21.解:∵当x=﹣4时,y=(﹣4)2+8×(﹣4)﹣4=﹣20,∴抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是(﹣4,﹣20).22.解:因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1,a),(1,b),(1,d),(1,c),所以,a>b>d>c.23.解:由图象可知x=2时,y<0;x=3时,y>0;由于直线x=1是它的对称轴,则由二次函数图象的对称性可知:x=0时,y<0;x=﹣1时,y>0;所以另一个根x2的取值范围为﹣1<x2<0.故答案为:﹣1<x2<0.三.解答题(共5小题)24.解:(1)如下图,y=x2﹣2x﹣1=(x﹣1)2﹣2,作出顶点,作出与x轴的交点,图象光滑.(2)正确作出点M,N;(3)写出方程的根为﹣0.4,2.4.第25 页共35 页25.解:(1)把(1,0),0,3)代入y=﹣x2+bx﹣c得解得b=﹣2,c=﹣3;(2)y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,所以抛物线的对称轴是x=﹣1,最大值为4.26.解:(1)根据表格数据可得,解得,∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5,当x=﹣1时,﹣x2﹣2x+5=6,即n=6;(2)根据表中数据得当0≤x≤2时,y的最大值是5.27.解:(1)设y=kx+b,将x=3.5,y=280;x=5.5,y=120代入,得,解得,则y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560;(2)由题意,得(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80=160,整理,得x2﹣10x+24=0,解得x1=4,x2=6.∵3.5≤x≤5.5,∴x=4.答:如果每天获得160元的利润,销售单价为4元;(3)由题意得:w=(x﹣3)(﹣80x+560)﹣80=﹣80x2+800x﹣1760第26 页共35 页第 27 页 共 35 页=﹣80(x ﹣5)2+240, ∵3.5≤x ≤5.5,∴当x =5时,w 有最大值为240.故当销售单价定为5元时,每天的利润最大,最大利润是240元. 28.解:(1)抛物线的顶点D 的横坐标是2,则x=﹣=2…①,抛物线过是A (0,﹣3),则:函数的表达式为:y =ax 2+bx ﹣3, 把B 点坐标代入上式得:9=25a +5b ﹣3…②, 联立①、②解得:a=,b=﹣,c =﹣3,∴抛物线的解析式为:y=x 2﹣x ﹣3,当x =2时,y=﹣,即顶点D 的坐标为(2,﹣);(2)A (0,﹣3),B (5,9),则AB =13, ①当AB =AC 时,设点C 坐标(m ,0), 则:(m )2+(﹣3)2=132,解得:m =±4,即点C 坐标为:(4,0)或(﹣4,0);②当AB =BC 时,设点C 坐标(m ,0), 则:(5﹣m )2+92=132,解得:m =5, 即:点C 坐标为(5,0)或(5﹣2,0),③当AC =BC 时,设点C 坐标(m ,0), 则:点C 为AB 的垂直平分线于x 轴的交点, 则点C坐标为(,0),故:存在, 点C 的坐标为:(4,0)或(﹣4,0)或(5,0)或(5﹣2,0)或(,0);(3)过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ,设:AB所在的直线过点A(0,﹣3),则设直线AB的表达式为y=kx﹣3,把点B坐标代入上式,9=5k﹣3,则k=,故函数的表达式为:y=x﹣3,设:点P坐标为(m,m2﹣m﹣3),则点H坐标为(m,m﹣3),S△PAB=•PH•x B=(﹣m2+12m),当m=2.5时,S△PAB取得最大值为:,答:△PAB的面积最大值为.第28 页共35 页第 29 页 共 35 页人教版九年级上册第二十二章二次函数单元检测(含答案)(5)一.选择题(30分)1.已知二次函数2y x bx c =++的图象上有38-(,)和58--(,)两点,则此抛物线的对称轴是( )A .直线4x =B .直线3x =C .1x =-D .x =-2.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则abc ,24b ac -, 2a b +,a b c ++这四个式子中,值为正数的有(A .4个B .3个C .2个D .1个3.以知二次函数()20y ax c a =+≠,当x 取1212x x x x ≠,()时,函数值相等,则当x 取12x x +时,函数值为( )A .a c +B .a c -C .c -D .c 4.函数2y ax bx c =-+,的图象经过10-(,)则a b cb c c a a b+++++ 的值是( ) A .3- B .3 C .12 D .12- 5.把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位后,再向上平移3个单位,所得的函数图象顶点是( ) A .(-5,1) B .(1,-5) C .(-1,1) D .(-1,3) 6.若点(2,5),(4,5)在抛物线y =ax 2+bx +c 上,则它的对称轴是直线( )A .ab x -= B .x =1 C .x =2 D .x =37.已知函数4212--=x x y ,当函数值y 随x 的增大而减小时,x 的取值范围是( ) A .x <1 B .x >1 C .x >-2 D .-2<x <48.二次函数y =a(x +k)2+k ,当k 取不同的实数值时,图象顶点所在的直线是( )A .y =xB .x 轴C .y =-xD .y 轴9.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc >0;②a +b +c =2;21>a ③;④b <1.其中正确的结论是( )A .①②B .②③C .②④D .③④ 10.下列命题中,正确的是( ) ①若a +b +c =0,则b 2-4ac <0;②若b =2a +3c ,则一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根; ③若b 2-4ac >0,则二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与坐标轴的公 共点的个数是2或3;④若b >a +c ,则一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根.A .②④B .①③C .②③D .③④第 30 页 共 35 页二.填空题11.抛物线y =-x 2+15有最______点,其坐标是______.12.若抛物线y =x 2-2x -2的顶点为A ,与y 轴的交点为B ,则过A ,B 两点的直线的解析式为____________.13.若抛物线y =ax 2+bx +c(a≠0)的图象与抛物线y =x 2-4x +3的图象关于y 轴对称,则函数y =ax 2+bx +c 的解析式为______.14.若抛物线y =x 2+bx +c 与y 轴交于点A ,与x 轴正半轴交于B ,C 两点,且BC =2,S △ABC=3,则b =______.15.二次函数y =x 2-6x +c 的图象的顶点与原点的距离为5,则c =______. 16.二次函数22212--=x x y 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°,再向左平移3个单位,向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为___________. 17.抛物线22y x x m =--+,若其顶点在x 轴上,则m=___________.18.顶点为25-(-,)且过点114(,-)的抛物线的解析式为 ___________. 三.解答题 19.把二次函数43212+-=x x y 配方成y =a(x+m)2+k 的形式,并求出它的图象的顶点坐标.对称轴方程,y <0时x 的取值范围,并画出图象.20.已知二次函数y =ax 2+bx +c(a≠0)的图象经过一次函数323+-=x y 的图象与x 轴.y 轴的交点,并也经过(1,1)点.求这个二次函数解析式,并求x 为何值时,有最大(最小)值,这个值是什么?第 31 页 共 35 页21.已知二次函数223y ax ax =-+的图象与x 轴交于点A ,点B ,与y 轴交于点C ,其顶点为D ,直线DC 的函数关系式为3y kx =+,又45CBO ∠=︒(1)求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式 (2)求A B C △的面积22.已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴的两个交点分别为A (m ,0),B (n ,0),且4=+n m ,⋅=31n m (1)求此抛物线的解析式; (2)设此抛物线与y 轴的交点为C ,过C 作一条平行x 轴的直线交抛物线于另一点P ,求△ACP 的面积.23.已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-1,0),且经过直线y =x -3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C .(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标;(3)若点M 在第四象限内的抛物线上, 且OM ⊥BC ,垂足为D ,求点M 的坐标.页24.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售,对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研,结果如下:一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲),一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示,其中6月份成本最高(如图乙).根据图象提供的信息解答下面问题:(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润=售价-成本)(2)求出图(乙)中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式; (3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?若该公司能在一个月内售出此种商品30000件,请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?25.(12分)如图,对称轴为直线72x =的抛物线经过点60A (,)和04B (,). (1)求抛物线解析式及顶点坐标;(2)设点()E x y ,是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(3)当平行四边形OEAF 的面积为24时,请判断平行四边形OEAF 是否为菱形?第 33 页 共 35 页《二次函数》单元测试题(答案)一.选择题1.C 2.B 3. D 4.A 5.C 6.D 7.A . 8.C 9.B . 10.C 二.填空题11.高,(0,15) 12.y =-x -2 13.y =x 2+4x +3 14.b =-4.15.c =5或16 16.⋅+--=21212x x y 17.1-; 18.2(2)5y x =-+-;三.解答题 19.221)3(21--=x y 顶点坐标)21,3(-,对称轴方程x =3,当y <0时,2<x <4,20.,325212+-=x x y 当25=x 时,⋅-=81最小值y21.(1)抛物线的解析式为:223y x x =-++;直线DC 的解析式为:3y x =+;(2)6ABC S ∆=. 22.(1)由31,4==+n m n m 得m =1,n =3.∴y =-x 2+4x -3;(2)S △ACP =6. 23.(1)解析式是y =x 2-2x -3. (2)y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴抛物线的顶点坐标为(1,-4).(3) ).2131,2131(+-+∴M 24.解:(1)一件商品在3月份出售时利润为:6-1=5(元).(2) ,84314)6(3122-+-=+--=∴t t t Q 由题知t =3,4,5,6,7. (3) )8431(4322-+--+=-=∴t t t Q M W 12310312+-=t t 311)5(312+-=t 其中t =3,4,5,6,7. ∴当t =5时,311=最小值W 元第 34 页 共 35 页∴该公司在一月份内最少获利11000030000311=⨯元. 25.(1)2214433y x x =-+;顶点725()26-,; (2)242824(16)s x x x =-+-<<;(3)能成为菱形当34E -(,)时。
人教版九年级数学上册 二次函数(篇)(Word版 含解析)

人教版九年级数学上册 二次函数(篇)(Word 版 含解析)一、初三数学 二次函数易错题压轴题(难)1.对于函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),若存在实数x0,使得a 20x +(b+1)x 0+b ﹣2=x0成立,则称x 0为函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点. (1)当a =2,b =﹣2时,求y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;(2)若对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,求实数a 的取值范围;(3)在(2)的条件下,若y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,且直线y =﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线,求实数b 的取值范围.【答案】(1)不动点是﹣1或2;(2)a 的取值范围是0<a <2;(3)b 的取值范围是﹣b <0. 【解析】 【分析】(1)将a =2,b =﹣2代入函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),得y =2x 2﹣x ﹣4,然后令x =2x 2﹣x ﹣4,求出x 的值,即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;(2)对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,可以得到x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)时,对于任何实数b 都有△>0,然后再设t =△,即可求得a 的取值范围;(3)根据y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,可知点A 和点B 均在直线y =x 上,然后设出点A 和点B 的坐标,从而可以得到线段AB 的中点坐标,再根据直线y =﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线,从而可以求得b 的取值范围. 【详解】解:(1)当a =2,b =﹣2时, 函数y =2x 2﹣x ﹣4, 令x =2x 2﹣x ﹣4, 化简,得x 2﹣x ﹣2=0 解得,x 1=2,x 2=﹣1,即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点是﹣1或2; (2)令x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2, 整理,得 ax 2+bx+b ﹣2=0,∵对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点, ∴△=b 2﹣4a (b ﹣2)>0,设t =b 2﹣4a (b ﹣2)=b 2﹣4ab+8a ,对于任何实数b ,t >0, 故(﹣4a )2﹣4×1×8a <0, 解得,0<a <2,即a 的取值范围是0<a <2; (3)由题意可得, 点A 和点B 在直线y =x 上, 设点A (x 1,x 1),点B (x 2,x 2),∵A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点, ∴x 1,x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2=0的两个根, ∴x 1+x 2=﹣b a, ∵线段AB 中点坐标为(122x x +,122x x+), ∴该中点的坐标为(2b a -,2b a-), ∵直线y =﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线,∴点(2b a -,2ba -)在直线y =﹣x+2121a +上, ∴2ba -=21221b a a ++∴﹣b =221a a ≤+a∴0<﹣b ≤4,∴﹣4≤b <0,即b b <0. 【点睛】本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.2.如图,直线y =12x ﹣2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,抛物线y =ax 2﹣32x+c 经过A ,B 两点,与x 轴的另一交点为C . (1)求抛物线的解析式;(2)M 为抛物线上一点,直线AM 与x 轴交于点N ,当32MN AN =时,求点M 的坐标;(3)P为抛物线上的动点,连接AP,当∠PAB与△AOB的一个内角相等时,直接写出点P 的坐标.【答案】(1)y=12x2﹣32x﹣2;(2)点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)点P的坐标为:(﹣1,0)或(32,﹣258)或(173,509)或(3,﹣2).【解析】【分析】(1)根据题意直线y=12x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别为:(0,-2)、(4,0),即可求解;(2)由题意直线MA的表达式为:y=(12m﹣32)x﹣2,则点N(43m-,0),当MNAN =32时,则NHON=32,即4343mmm---=32,进行分析即可求解;(3)根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)直线y=12x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别为:(0,﹣2)、(4,0),则c=﹣2,将点B的坐标代入抛物线表达式并解得:a=12,故抛物线的表达式为:y=12x2﹣32x﹣2①;(2)设点M(m,12m2﹣32m﹣2)、点A(0,﹣2),将点M、A的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线MA的表达式为:y=(12m﹣32)x﹣2,则点N(43m-,0),当MNAN=32时,则NHON=32,即:4343mmm---=32,解得:m=5或﹣2或2或1,故点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)①∠PAB=∠AOB=90°时,则直线AP的表达式为:y=﹣2x﹣2②,联立①②并解得:x=﹣1或0(舍去0),故点P(﹣1,0);②当∠PAB=∠OAB时,当点P在AB上方时,无解;当点P在AB下方时,将△OAB沿AB折叠得到△O′AB,直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P,点P为所求,则BO=OB=4,OA=OA=2,设OH=x,则sin∠H=BO OAHB HA'=,即:2444x x=++,解得:x=83,则点H(﹣83,0),.则直线AH的表达式为:y=﹣34x﹣2③,联立①③并解得:x=32,故点P(32,﹣258);③当∠PAB=∠OBA时,当点P在AB上方时,则AH=BH,设OH=a,则AH=BH=4﹣a,AO=2,故(4﹣a)2=a2+4,解得:a=32,故点H(32,0),则直线AH的表达式为:y=43x﹣2④,联立①④并解得:x=0或173(舍去0),故点P(173,509);当点P在AB下方时,同理可得:点P(3,﹣2);综上,点P的坐标为:(﹣1,0)或(32,﹣258)或(173,509)或(3,﹣2).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等,要注意分类讨论,解题全面.3.如图,过原点的抛物线y=﹣12x2+bx+c与x轴交于点A(4,0),B为抛物线的顶点,连接OB,点P是线段OA上的一个动点,过点P作PC⊥OB,垂足为点C.(1)求抛物线的解析式,并确定顶点B的坐标;(2)设点P的横坐标为m,将△POC绕着点P按顺利针方向旋转90°,得△PO′C′,当点O′和点C′分别落在抛物线上时,求相应的m的值;(3)当(2)中的点C′落在抛物线上时,将抛物线向左或向右平移n(0<n<2)个单位,点B、C′平移后对应的点分别记为B′、C″,是否存在n,使得四边形OB′C″A的周长最短?若存在,请直接写出n的值和抛物线平移的方向,若不存在,请说明理由.【答案】(1)2122y x x =-+,点B (2,2);(2)m=2或209m =;(3)存在;n=27时,抛物线向左平移. 【解析】 【分析】(1)将点A 和点O 的坐标代入解析式,利用待定系数法即可求得二次函数的解析式,然后利用配方法可求得点B 的坐标;(2)由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形,从而可得到点O′坐标为:(m ,m ),点C′坐标为:(32m ,2m),然后根据点在抛物线上,列出关于m 的方程,从而可解得m 的值;(3)如图,将AC′沿C′B 平移,使得C′与B 重合,点A 落在A′处,以过点B 的直线y=2为对称轴,作A′的对称点A″,连接OA″,由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时,四边形OB′C″A 的周长最短,先求得点B′的坐标,根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离. 【详解】解:(1)把原点O (0,0),和点A (4,0)代入y=12-x 2+bx+c . 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩,∴02c b =⎧⎨=⎩. ∴22112(2)222y x x x =-+=--+. ∴点B 的坐标为(2,2).(2)∵点B 坐标为(2,2). ∴∠BOA=45°.∴△PDC 为等腰直角三角形. 如图,过C′作C′D ⊥O′P 于D .∵O′P=OP=m . ∴C′D=12O′P=12m . ∴点O′坐标为:(m ,m ),点C′坐标为:(32m ,2m ).当点O′在y=12-x 2+2x 上. 则−12m 2+2m =m . 解得:12m =,20m =(舍去). ∴m=2. 当点C′在y=12-x 2+2x 上, 则12-×(32m )2+2×32m =12m ,解得:1209m =,20m =(舍去). ∴m=209(3)存在n=27,抛物线向左平移.当m=209时,点C′的坐标为(103,109).如图,将AC′沿C′B 平移,使得C′与B 重合,点A 落在A′处.以过点B 的直线y=2为对称轴,作A′的对称点A″,连接OA″. 当B′为OA″与直线y=2的交点时,四边形OB′C″A 的周长最短.∵BA′∥AC′,且BA′=AC′,点A(4,0),点C′(103,109),点B(2,2).∴点A′(83,89).∴点A″的坐标为(83,289).设直线OA″的解析式为y=kx,将点A″代入得:828 39k=,解得:k=76.∴直线OA″的解析式为y=76 x.将y=2代入得:76x=2,解得:x=127,∴点B′得坐标为(127,2).∴n=2122 77 -=.∴存在n=27,抛物线向左平移.【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点,由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为:(m,m),点C′坐标为:(32m,2m)以及点B′的坐标是解题的关键.4.如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D,作DE⊥x轴,垂足为点E,双曲线y=6x(x>0)经过点D,连接MD,BD.(1)求抛物线的表达式;(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大?【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)N(57,0),F(0,53);(3)t=9﹣15【解析】【分析】(1)由已知求出D点坐标,将点A(-1,0)和D(2,3)代入y=ax2+bx+3即可;(2)作M关于y轴的对称点M',作D关于x轴的对称点D',连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F,则以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长;(3)设P(0,t),作△PBD的外接圆N,当⊙N与y轴相切时,∠BPD的度数最大;【详解】解;(1)C(0,3)∵CD⊥y,∴D点纵坐标是3.∵D在y=6x上,∴D(2,3),将点A(﹣1,0)和D(2,3)代入y=ax2+bx+3,∴a=﹣1,b=2,∴y=﹣x2+2x+3;(2)M(1,4),B(3,0),作M关于y轴的对称点M',作D关于x轴的对称点D',连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F,则以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长;∴M'(﹣1,4),D'(2,﹣3),∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53,∴N(57,0),F(0,53);(3)设P(0,t).∵△PBO和△CDP都是直角三角形,tan∠CDP=32t-,tan∠PBO=3t,令y=tan∠BPD=3233123t tt t-+--,∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0,△=﹣15y2+30y+1=0时,y=151515-+-舍)或y=151515+,∴t=32﹣12×1y,∴t=9﹣215,∴P(0,9﹣215).【点睛】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数的图象及性质,利用轴对称求最短距离,学会利用辅助圆解决问题,属于中考压轴题.5.如图,若抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线y=x﹣3经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点,过点P作PH⊥x轴于点H,交BC于点M,连接PC.①线段PM是否有最大值?如果有,求出最大值;如果没有,请说明理由;②在点P运动的过程中,是否存在点M,恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①有,94;②存在,(2,﹣3)或(32,2﹣2)【解析】【分析】(1)由直线表达式求出点B、C的坐标,将点B、C的坐标代入抛物线表达式,即可求解;(2)①根据PM=(x﹣3)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣(x﹣32)2+94即可求解;②分PM=PC、PM=MC两种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)对于y=x﹣3,令x=0,y=﹣3,y=0,x=3,故点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3),将点B、C的坐标代入抛物线表达式得:9303b cc++=⎧⎨=-⎩,解得:32 cb=-⎧⎨=-⎩,故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3;(2)设:点M (x ,x ﹣3),则点P (x ,x 2﹣2x ﹣3),①有,理由:PM =(x ﹣3)﹣(x 2﹣2x ﹣3)=﹣(x ﹣32)2+94, ∵﹣1<0,故PM 有最大值,当x =32时,PM 最大值为:94; ②存在,理由:PM 2=(x ﹣3﹣x 2+2x+3)2=(﹣x 2+3x )2;PC 2=x 2+(x 2﹣2x ﹣3+3)2;MC 2=(x ﹣3+3)2+x 2;(Ⅰ)当PM =PC 时,则(﹣x 2+3x )2=x 2+(x 2﹣2x ﹣3+3)2,解得:x =0或2(舍去0),故x =2,故点P (2,﹣3);(Ⅱ)当PM =MC 时,则(﹣x 2+3x )2=(x ﹣3+3)2+x 2,解得:x =0或3±2(舍去0和3+2),故x =3﹣2,则x 2﹣2x ﹣3=2﹣42,故点P (3﹣2,2﹣42).综上,点P 的坐标为:(2,﹣3)或(3﹣2,2﹣42).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等,其中(2)②,要注意分类求解,避免遗漏.6.如图,抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,点D 为抛物线的顶点.点A 坐标的为3,0,点C 的坐标为()0,3.(Ⅰ)求抛物线的解析式;(Ⅱ)点M 为线段AB 上一点(点M 不与点A 、B 重合),过点M 作i 轴的垂线,与直线AC 交于点E ,与抛物线交于点P ,过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ,过点Q 作QN x ⊥轴于点N .若点P 在点Q 左边,当矩形PMNQ 的周长最大时,求AEM △的面积;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当矩形PMNQ 的周长最大时,连接DQ ,过抛物线上一点F 作y 轴的平行线,与直线AC 交于点G (点G 在点F 的上方).若=22FG DQ ,求点F的坐标.【答案】(Ⅰ)223y x x =--+;(Ⅱ)12;(Ⅲ)()4,5F --或()1,0 【解析】【分析】(Ⅰ)将点A ,点C 坐标代入解析式可求解;(Ⅱ)设M (x ,0),P (x ,-x 2-2x+3),利用对称性可求点Q (-2-x ,-x 2-2x+3),可求MP=-x 2-2x+3,PQ=-2-x-x=-2-2x ,则可用x 表示矩形PMNQ 的周长,由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时,点P 的坐标,即可求点E ,点M 的坐标,由三角形面积公式可求解;(Ⅲ)先求出点D 坐标,即可求DQ=2,可得FG=4,设F (m ,-m 2-2m+3),则G (m ,m+3),用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解.【详解】 解:(Ⅰ)依题意()()2330{3b c c --+⨯-+== 解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+(Ⅱ)2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ,()2,23P x x x --+,其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+,222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时,d 取最大值,此时,(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+则303k b b -+=⎧⎨=⎩,解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3yx 将2x =-代入3yx ,得1y = ∴(2,1)E -,∴1EM =∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当矩形PMNQ 的周长最大时,2x =-此时点()0,3Q ,与点C 重合,∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ,则1DK =,4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形,2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+,则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=,解得14m =-,21m =当4m =-时,2235m m --+=-当1m =时,2230m m --+=.∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的性质,矩形的性质,等腰直角三角形的性质等,利用参数表示线段的长度是本题的关键.7.如图,已知二次函数1L :()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L :()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ,与x 轴分别相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)和C 、D 两点(点C 在点D 的左边),(1)函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______;当二次函数1L ,2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时,则x 的取值范围是_______;(2)判断四边形AMDN 的形状(直接写出,不必证明);(3)抛物线1L ,2L 均会分别经过某些定点;①求所有定点的坐标;②若抛物线1L 位置固定不变,通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形,则抛物线2L 应平移的距离是多少?【答案】(1)()1,41m --+,13x ;(2)四边形AMDN 是矩形;(3)①所有定点的坐标,1L 经过定点()3,1-或()1,1,2L 经过定点()5,1-或()1,1-;②抛物线2L 应平移的距离是423+423-.【解析】【分析】(1)将已知抛物线解析式转化为顶点式,直接得到点M 的坐标;结合函数图象填空; (2)利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标,可得AD 的中点为(1,0),MN 的中点为(1,0),则AD 与MN 互相平分,可证四边形AMDN 是矩形; (3)①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----,通过表达式即可得出所过定点;②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可,设平移的距离为x ,根据平移后图形为菱形,由勾股定理可得方程即可求解.【详解】解:(1)12b x a=-=-,顶点坐标M 为(1,41)m --+, 由图象得:当13x 时,二次函数1L ,2L 的y 值同时随着x 的增大而增大.故答案为:(1,41)m --+;13x ;(2)结论:四边形AMDN 是矩形.由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得:A 点坐标为41(1m m ---,0),D 点坐标为41(3m m -+,0), 顶点M 坐标为(1,41)m --+,顶点N 坐标为(3,41)m -,AD ∴的中点为(1,0),MN 的中点为(1,0),AD ∴与MN 互相平分,∴四边形AMDN 是平行四边形,又AD MN =,∴□AMDN 是矩形;(3)①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+,故当3x =-或1x =时1y =,即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点,二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----,故当1x =或5x =时1y =-,即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点,②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点,二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点,如图:四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ,(1,1)H -、(5,1)G -,则组成四边形EFGH 为平行四边形,∴FH ⊥HG ,FH=2,HM=4-x ,设平移的距离为x ,根据平移后图形为菱形,则EH 1=EF=H 1M=4,由勾股定理可得:FH 2+HM 2=FM 2,即22242(4)x =+-,解得:43x =±抛物线1L 位置固定不变,通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形,则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-.【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.8.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax 2+bx+2的图象与x 轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y 轴交于点C .(1)求这个二次函数的关系解析式;(2)求直线AC 的函数解析式;(3)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,是否存在点P ,使△ACP 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由;【答案】(1)y=﹣23x 2﹣43x+2;(2)223y x =+;(3)存在,(35,22-) 【解析】【分析】(1)直接用待定系数法即可解答;(2)先确定C 点坐标,设直线AC 的函数解析式y=kx+b ,最后用待定系数法求解即可;(3)连接PO ,作PM⊥x 轴于M ,PN⊥y 轴于N ,然后求出△ACP 面积的表达式,最后利用二次函数的性质求最值即可.【详解】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+2过点A(﹣3,0),B(1,0),∴093202a ba b=-+⎧⎨=++⎩解得2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴二次函数的关系解析式为y=﹣23x 2﹣43x+2;(2)∵当x=0时,y=2,∴C(0,2)设直线AC的解析式为y kx b=+,把A、C两点代入得0=32k bb-+⎧⎨=⎩解得232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC的函数解析式为223y x=+;(3)存在.如图: 连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N设点P坐标为(m,n),则n=224233m m--+),PN=-m,AO=3当x=0时,y=22400233-⨯-⨯+=2,∴点C的坐标为(0,2),OC=2∵PAC PAO PCO ACOS S S S=+-212411322()3223322m m m⎛⎫=⨯⋅--++⨯⋅--⨯⨯⎪⎝⎭=23m m--∵a=-1<0∴函数S△PAC=-m2-3m有最大值∴b 当m=()33212-=--⨯- ∴当m=32-时,S △PAC 有最大值n=222423435223332322m m ⎛⎫--+=-⨯-⨯+= ⎪⎝⎭ ∴当△ACP 的面积最大时,P 的坐标为(35,22-). 【点睛】 本题是二次函数压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点,根据题意表示出△PAC 的面积是解答本题的关键.9.如图,已知顶点为M (32,258)的抛物线过点D (3,2),交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C ,点P 是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P 在直线AD 上方时,求△PAD 面积的最大值,并求出此时点P 的坐标; (3)过点P 作直线CD 的垂线,垂足为Q ,若将△CPQ 沿CP 翻折,点Q 的对应点为Q '.是否存在点P ,使Q '恰好落在x 轴上?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)213222y x x =-++;(2)最大值为4,点P (1,3);(3)存在,点P 139313-+). 【解析】【分析】 (1)用待定系数法求解即可;(2)由△PAD 面积S =S △PHA +S △PHD ,即可求解;(3)结合图形可判断出点P 在直线CD 下方,设点P 的坐标为(a ,213222a a -++),当P 点在y 轴右侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可.【详解】解:(1)设抛物线的表达式为:y =a (x ﹣h )2+k =a (x ﹣32)2+258,将点D 的坐标代入上式得:2=a (3﹣32)2+258, 解得:a =﹣12, ∴抛物线的表达式为:213222y x x =-++; (2)当x =0时,y =﹣12x 2+32x +2=2, 即点C 坐标为(0,2), 同理,令y =0,则x =4或﹣1,故点A 、B 的坐标分别为:(﹣1,0)、(4,0),过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ,由点A 、D 的坐标得,直线AD 的表达式为:y =12(x +1), 设点P (x ,﹣12x 2+32x +2),则点H (x ,12x +12), 则△PAD 面积为:S =S △PHA +S △PHD =12×PH ×(x D ﹣x A )=12×4×(﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-)=﹣x 2+2x +3, ∵﹣1<0,故S 有最大值,当x =1时,S 有最大值,则点P (1,3);(3)存在满足条件的点P ,显然点P 在直线CD 下方,设直线PQ 交x 轴于F ,点P 的坐标为(a ,﹣12a 2+32a +2),当P 点在y 轴右侧时(如图2),CQ =a ,PQ=2﹣(﹣12a2+32a+2)=12a2﹣32a,又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°,∠COQ′=∠Q′FP=90°,∴∠FQ′P=∠OCQ′,∴△COQ′∽△Q′FP,'''Q C Q PCO FQ=,即213222'a aaQ F-=,∴Q′F=a﹣3,∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣(a﹣3)=3,CQ=CQ′=22223213CO OQ+=+=,此时a=13,点P的坐标为(13,93132-+).【点睛】此题考查了二次函数的综合应用,综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质,解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通,属于中考常涉及的题目.10.如图,已知二次函数22(0)y ax ax c a的图象与x轴负半轴交于点A(-1,0),与y轴正半轴交与点B,顶点为P,且OB=3OA,一次函数y=kx+b的图象经过A、B.(1) 求一次函数解析式;(2)求顶点P的坐标;(3)平移直线AB使其过点P,如果点M在平移后的直线上,且3tan2OAM∠=,求点M坐标;(4)设抛物线的对称轴交x轴与点E,联结AP交y轴与点D,若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点,联结QD、QN,请直接写出QD+QN的最小值.【答案】(1) 一次函数的解析式为:y=3x+3(2)顶点P的坐标为(1,4)(3) M点的坐标为:15,2(,39⎛⎫-⎪⎝⎭或23-)(4)最小值为5【解析】【分析】 (1)根据抛物线的解析式即可得出B (0,3),根据OB=3OA ,可求出OA 的长,也就得出了A 点的坐标,然后将A 、B 的坐标代入直线AB 的解析式中,即可得出所求;(2)将(1)得出的A 点坐标代入抛物线的解析式中,可求出a 的值,也就确定了抛物线的解析式进而可求出P 点的坐标;(3)易求出平移后的直线的解析式,可根据此解析式设出M 点坐标(设横坐标,根据直线的解析式表示出纵坐标).然后过M 作x 轴的垂线设垂足为E ,在构建的直角三角形AME 中,可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长,然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标.(本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解.方法一样.)(4)作点D 关于直线x=1的对称点D′,过点D′作D′N ⊥PD 于点N ,根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值.【详解】(1)∵A (-1,0),∴OA=1∵OB=3OA ,∴B (0,3)∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为:y=3x+3(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A (-1,0),与y 轴正半轴交与点B (0,3),∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为:223y x x =-++∴抛物线223y x x =-++的顶点P (1,4)(3)设平移后的直线的解析式为:3y x b =+∵直线3y x b =+过P (1,4)∴b=1∴平移后的直线为31y x =+∵M 在直线31y x =+,且3tan 2OAM ∠=设M (x,3x+1)① 当点M 在x 轴上方时,有31312x x +=+,∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当点M 在x 轴下方时,有31312x x +-=+,∴59x =- ∴25(,9M - 23-)(4)作点D关于直线x=1的对称点D’,过点D’作D’N⊥PD于点N当-x2+2x+3=0时,解得,x=-1或x=3,∴A(-1,0),P点坐标为(1,4),则可得PD解析式为:y=2x+2,令x=0,可得y=2,∴D(0,2),∵D与D′关于直线x=1对称,∴D′(2,2).根据ND′⊥PD,设ND′解析式为y=kx+b,则k=-12,即y=-12x+b,将D′(2,2)代入,得2=-12×2+b,解得b=3,可得函数解析式为y=-12x+3,将两函数解析式组成方程组得:13222y xy x⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩,解得25145xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故N(214 ,) 55,由两点间的距离公式:d=2221445 2255⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴所求最小值为45【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点.同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题.。
人教版九年级数学上册 二次函数专题练习(word版

人教版九年级数学上册 二次函数专题练习(word 版一、初三数学 二次函数易错题压轴题(难)1.对于函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),若存在实数x0,使得a 20x +(b+1)x 0+b ﹣2=x0成立,则称x 0为函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点. (1)当a =2,b =﹣2时,求y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;(2)若对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,求实数a 的取值范围;(3)在(2)的条件下,若y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,且直线y =﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线,求实数b 的取值范围.【答案】(1)不动点是﹣1或2;(2)a 的取值范围是0<a <2;(3)b 的取值范围是﹣b <0. 【解析】 【分析】(1)将a =2,b =﹣2代入函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),得y =2x 2﹣x ﹣4,然后令x =2x 2﹣x ﹣4,求出x 的值,即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;(2)对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,可以得到x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)时,对于任何实数b 都有△>0,然后再设t =△,即可求得a 的取值范围;(3)根据y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,可知点A 和点B 均在直线y =x 上,然后设出点A 和点B 的坐标,从而可以得到线段AB 的中点坐标,再根据直线y =﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线,从而可以求得b 的取值范围. 【详解】解:(1)当a =2,b =﹣2时, 函数y =2x 2﹣x ﹣4, 令x =2x 2﹣x ﹣4, 化简,得x 2﹣x ﹣2=0 解得,x 1=2,x 2=﹣1,即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点是﹣1或2; (2)令x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2, 整理,得 ax 2+bx+b ﹣2=0,∵对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点, ∴△=b 2﹣4a (b ﹣2)>0,设t =b 2﹣4a (b ﹣2)=b 2﹣4ab+8a ,对于任何实数b ,t >0, 故(﹣4a )2﹣4×1×8a <0, 解得,0<a <2,即a 的取值范围是0<a <2; (3)由题意可得, 点A 和点B 在直线y =x 上, 设点A (x 1,x 1),点B (x 2,x 2),∵A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点, ∴x 1,x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2=0的两个根, ∴x 1+x 2=﹣b a, ∵线段AB 中点坐标为(122x x +,122x x+), ∴该中点的坐标为(2b a -,2b a-), ∵直线y =﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线,∴点(2b a -,2ba -)在直线y =﹣x+2121a +上, ∴2ba -=21221b a a ++∴﹣b =221a a ≤+a∴0<﹣b ≤4,∴﹣4≤b <0,即b b <0. 【点睛】本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.2.已知点P(2,﹣3)在抛物线L :y =ax 2﹣2ax+a+k (a ,k 均为常数,且a≠0)上,L 交y 轴于点C ,连接CP .(1)用a 表示k ,并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标; (2)当L 经过(3,3)时,求此时L 的表达式及其顶点坐标;(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图,当a <0时,若L 在点C ,P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,求a 的取值范围;(4)点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)是L 上的两点,若t≤x 1≤t+1,当x 2≥3时,均有y 1≥y 2,直接写出t 的取值范围.【答案】(1)k=-3-a ;对称轴x =1;y 轴交点(0,-3);(2)2y=2x -4x-3,顶点坐标(1,-5);(3)-5≤a <-4;(4)-1≤t ≤2. 【解析】 【分析】(1)将点P(2,-3)代入抛物线上,求得k 用a 表示的关系式;抛物线L 的对称轴为直线2ax==12a--,并求得抛物线与y 轴交点; (2)将点(3,3)代入抛物线的解析式,且k=-3-a ,解得a=2,k=-5,即可求得抛物线解析式与顶点坐标;(3)抛物线L 顶点坐标(1,-a-3),点C ,P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,这四个整点都在x=1这条直线上,且y 的取值分别为-2、-1、0、1,可得1<-a-3≤2,即可求得a 的取值范围;(4)分类讨论取a >0与a <0的情况进行讨论,找出1x 的取值范围,即可求出t 的取值范围. 【详解】解:(1)∵将点P(2,-3)代入抛物线L :2y=ax -2ax+a+k ,∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ;抛物线L 的对称轴为直线-2ax=-=12a,即x =1; 将x=0代入抛物线可得:y=a+k=a+(-3-a)=-3,故与y 轴交点坐标为(0,-3);(2)∵L 经过点(3,3),将该点代入解析式中, ∴9a-6a+a+k=3,且由(1)可得k=-3-a , ∴4a+k=3a-3=3,解得a=2,k=-5,∴L 的表达式为2y=2x -4x-3;将其表示为顶点式:2y=2(x-1)-5, ∴顶点坐标为(1,-5);(3)解析式L 的顶点坐标(1,-a-3),∵在点C ,P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,这四个整点都在x=1这条直线上,且y 的取值分别为-2、-1、0、1, ∴1<-a-3≤2, ∴-5≤a <-4;(4)①当a <0时,∵2x 3≥,为保证12y y ≥,且抛物线L 的对称轴为x=1, ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上, 即t ≥-1且t+1≤3,解得-1≤t ≤2;②当a >0时,抛物线开口向上,t ≥3或t+1≤-1,解得:t ≥3或t ≤-2,但会有不符合题意的点存在,故舍去, 综上所述:-1≤t ≤2. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数的图象及性质,数形结合解题是关键.3.二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ,顶点为P ,直线PA 与x 轴交于点B .(1)当m =1时,求顶点P 的坐标; (2)若点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象上,且0b m ->,试求a 的取值范围;(3)在第一象限内,以AB 为边作正方形ABCD . ①求点D 的坐标(用含m 的代数式表示);②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,请直接写出符合条件的整数m 的值.【答案】(1)P (2,13);(2)a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①D (m ,m +3); ②2,3,4. 【解析】 【分析】(1)把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中,进而求顶点P 的坐标即可;(2)把点Q (a ,b )代入二次函数22(0)63m my x x m m =-+>解析式中,根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组,解出a 的取值范围即可;(3)①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标,得到OA 的长,再根据待定系数法求出直线AP 的解析式,进而求出与x 轴的交点B 的坐标,得到OB 的长;通过证明△ADF ≌△ABO ,得到AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,求出点D 的坐标;②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,由①同理可得:C (m+3,3),分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况,进行讨论m 可能取的整数值即可. 【详解】解:(1)当m =1时,二次函数为212163y x x =-+, ∴顶点P 的坐标为(2,13); (2)∵点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上, ∴2263m mb a a m =-+, 即:2263m mb m a a -=- ∵0b m ->, ∴2263m m a a ->0, ∵m >0,∴2263a a ->0, 解得:a <0或a >4,∴a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①如下图,过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+, ∴顶点P (2,3m), 当x=0时,y=m , ∴点A (0,m ), ∴OA=m ;设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0), 把点A (0,m ),点P (2,3m)代入,得: 23m b mk b =⎧⎪⎨=+⎪⎩, 解得:3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AP 的解析式为y=3m-x+m , 当y=0时,x=3, ∴点B (3,0); ∴OB=3;∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=AB ,∠DAF+∠FAB=90°, 且∠OAB+∠FAB =90°, ∴∠DAF=∠OAB , 在△ADF 和△ABO 中,DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADF ≌△ABO (AAS ),∴AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3, ∴点D 的坐标为:(m ,m+3); ②由①同理可得:C (m+3,3),∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,∴当x =m 时,3y m ≤+,可得322363m mm m -+≤+,化简得:32418m m -≤.∵0m >,∴2184m m m -≤,∴218(2)4m m--≤, 显然:m =1,2,3,4是上述不等式的解,当5m ≥时,2(2)45m --≥,18 3.6m ≤,此时,218(2)4m m-->, ∴符合条件的正整数m =1,2,3,4;当x = m +3时,y ≥3,可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥,∵0m >,∴21823m m m ++≥,即218(1)2m m++≥, 显然:m =1不是上述不等式的解,当2m ≥时,2(1)211m ++≥,189m ≤,此时,218(1)2m m++>恒成立, ∴符合条件的正整数m =2,3,4;综上:符合条件的整数m 的值为2,3,4. 【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用,熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键.4.如图1,抛物线21:C y x b =+交y 轴于()0,1A .(1)直接写出抛物线1C 的解析式______________.(2)如图1,x 轴上两动点,M N 满足:m n X X n -==.若,B C (B 在C 左侧)为线段MN 上的两个动点,且满足:B 点和C 点关于直线:1l x =对称.过B 作BB x '⊥轴交1C 于B ',过C 作CC x '⊥轴交1C 于C ',连接B C ''.求B C ''的最大值(用含n 的代数式表示).(3)如图2,将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C .2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ,其横坐标为m .以OM 为直径作K ,记⊙K 的最高点为Q .若Q 在直线2y x =-上,求m 的值.【答案】(1)21y x =+;(2)251|n -;(3)14m =-或12m =- 【解析】 【分析】(1)将()0,1A 带入抛物线1C 解析式,求得b 的值,即可得到抛物线1C 的解析式; (2)设(),0B q ,则()2,0C q -,求()2B C ''并进行化简,由1n q -≤<且12,qn <-得21n q -<,则当()2maxB C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,取min 2q q n ==-,带入()2B C '',即可求得()maxB C '';(3)依题意将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ,求得2C 解析式,根据解析式特点设21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,得到222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由圆的特性易求得,⊙K 的最高点点Q 坐标为:2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设Q y k =,则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,化简得到22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,由Q 点在2y x =-上,得2Q k x m =-=-,继而得到231048m m -+=,解得14m =-或12m =-. 【详解】解:(1)将()0,1A 带入抛物线21:C y x b =+,得b=1, 则21:1C y x =+,(2)设(),0B q ,则()2,0C q -, ∴()22222(2)(2)B C q q q q ''⎡⎤=--+--⎣⎦2204020q q =-+()2201q =-,∵1n q -≤<且12,q n <-21n q -<∴,∴()2maxB C''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,min 2q q n ==-,即()22220(21)20(1)B C n n ''=--=-,∴()max1|B C n ''=-,(3)根据题意,将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C , ∴221:8C y x =+, ∴21,8M m m ⎛⎫+⎪⎝⎭, ∴222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,∴由圆的特性易求得,⊙K 的最高点点Q 坐标为:2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 设Q y k =,则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,∴222111428OM k m ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 化简上式得:22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭, ∵Q 点在2y x =-上,则2Q k x m =-=-, ∴k m =-为上述方程的一个解, ∴分析可知1()04k m k m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭, 21148m m m -=+∴,∴231048m m -+=, 解得:114m =-,212m =-(经检验114m =-,212m =-是方程231048m m -+=的解),故14m =-或12m =-. 【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识.解题关键是熟练掌握二次函数的性质,充分利用数形结合的思想.5.如图,在平面直角坐标系x O y 中,抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A 、B 、C 三点,已知点A (-3,0),B (0,3),C (1,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点,(不与点A 、B 重合),过点P 作x 轴的垂线,垂足为F ,交直线AB 于点E ,作PD ⊥AB 于点D .动点P 在什么位置时,△PDE 的周长最大,求出此时P 点的坐标;(3)在直线x = -2上是否存在点M ,使得∠MAC = 2∠MCA ,若存在,求出M 点坐标.若不存在,说明理由.【答案】(1)y=-x 2-2x+3;(2)点(-32,154),△PDE 的周长最大;(3)点M (-2,3)或(-2,-3).【解析】【分析】(1)将A 、B 、C 三点代入,利用待定系数法求解析式;(2)根据坐标发现,△AOB 是等腰直角三角形,故只需使得PD 越大,则△PDE 的周长越大.联立直线AB 与抛物线的解析式可得交点P 坐标;(3)作点A 关于直线x=-2的对称点D ,利用∠MAC = 2∠MCA 可推导得MD=CD ,进而求得ME 的长度,从而得出M 坐标【详解】解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A (-3,0),B (0,3),C (1,0),∴93030a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩,解得:123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,所以,抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3;(2)∵A (-3,0),B (0,3),∴OA=OB=3,∴△AOB 是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°,∵PF ⊥x 轴,∴∠AEF=90°-45°=45°,又∵PD ⊥AB ,∴△PDE 是等腰直角三角形,∴PD 越大,△PDE 的周长越大,易得直线AB 的解析式为y=x+3,设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ,联立223y x m y x x =+⎧⎨=--+⎩,消掉y 得,x 2+3x+m-3=0, 当△=9-4(m-3)=0,即m=214时,直线与抛物线只有一个交点,PD 最长, 此时x=-32,y=154,∴点(-32,154),△PDE 的周长最大;(3)设直线x=-2与x 轴交于点E ,作点A 关于直线x=-2的对称点D ,则D (-1,0),连接MA ,MD ,MC .∴MA=MD ,∠MAC=∠MDA=2∠MCA ,∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 , ∴∴点M (-2)或(-2,【点睛】本题是动点和最值的考查,在解决动点问题时,寻找出不变量来分析是解题关键,最值问题,通常利用对称来简化分析6.在平面直角坐标系中,点(),p tq 与(),q tp ()0t ≠称为一对泛对称点.(1)若点()1,2,()3,a 是一对泛对称点,求a 的值;(2)若P ,Q 是第一象限的一对泛对称点,过点P 作PA x ⊥轴于点A ,过点Q 作QB y ⊥轴于点B ,线段PA ,QB 交于点C ,连接AB ,PQ ,判断直线AB 与PQ 的位置关系,并说明理由;(3)抛物线2y ax bx c =++()0a <交y 轴于点D ,过点D 作x 轴的平行线交此抛物线于点M (不与点D 重合),过点M 的直线y ax m =+与此抛物线交于另一点N .对于任意满足条件的实数b ,是否都存在M ,N 是一对泛对称点的情形?若是,请说明理由,并对所有的泛对称点(),M M M x y ,(),N N N x y 探究当M y >N y 时M x 的取值范围;若不是,请说明理由.【答案】(1)23;(2)AB ∥PQ ,见解析;(3)对于任意满足条件的实数b ,都存在M ,N 是一对泛对称点的情形,此时对于所有的泛对称点M(x M ,y M ),N(x N ,y N ),当y M >y N 时,x M 的取值范围是x M <1且x M ≠0【解析】【分析】(1)利用泛对称点得定义求出t 的值,即可求出a.(2)设P ,Q 两点的坐标分别为P (p,tq ),Q (q,tp ),根据题干条件得到A (p,0),B (0,tp ),C (p,tp )的坐标,利用二元一次方程组证出k 1=k 2,所以AB ∥PQ.(3)由二次函数与x 轴交点的特征,得到D 点的坐标;然后利用二次函数与一元二次方程的关系,使用求根公式即可得到答案.【详解】(1)解:因为点(1,2),(3,a )是一对泛对称点,设3t =2解得t =23所以a =t×1=23 (2)解:设P ,Q 两点的坐标分别为P (p,tq ),Q (q,tp ),其中0<p <q ,t >0. 因为PA ⊥x 轴于点A ,QB ⊥y 轴于点B ,线段PA ,QB 交于点C ,所以点A ,B ,C 的坐标分别为:A (p,0),B (0,tp ),C (p,tp )设直线AB ,PQ 的解析式分别为:y =k 1x +b 1,y =k 2x +b 2,其中k 1k 2≠0.分别将点A (p,0),B (0,tp )代入y =k 1x +b 1,得111pk b tp b tp +=⎧⎨=⎩. 解得11k t b tp=-⎧⎨=⎩ 分别将点P (p,tq ),Q (q,tp )代入y =k 2x +b 2,得2222pk b tp qk b tp +=⎧⎨+=⎩. 解得22k t b tp tp =-⎧⎨=+⎩ 所以k 1=k 2.所以AB ∥PQ(3)解:因为抛物线y =ax 2+bx +c (a <0)交y 轴于点D ,所以点D 的坐标为(0,c ).因为DM ∥x 轴,所以点M 的坐标为(x M ,c ),又因为点M 在抛物线y =ax 2+bx +c (a <0)上.可得ax M 2+bx M +c =c ,即x M (ax M +b )=0.解得x M =0或x M =-b a. 因为点M 不与点D 重合,即x M ≠0,也即b ≠0, 所以点M 的坐标为(-b a ,c ) 因为直线y =ax +m 经过点M ,将点M (-b a ,c )代入直线y =ax +m 可得,a·(-b a)+m =c. 化简得m =b +c所以直线解析式为:y =ax +b +c. 因为抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y =ax +b +c 交于另一点N ,由ax 2+bx +c =ax +b +c ,可得ax 2+(b -a )x -b =0.因为△=(b -a )2+4ab =(a +b )2,解得x 1=-b a ,x 2=1. 即x M =-b a ,x N =1,且-b a≠1,也即a +b≠0.所以点N的坐标为(1,a+b+c)要使M(-ba,c)与N(1,a+b+c)是一对泛对称点,则需c=t ×1且a+b+c=t ×(-ba ).也即a+b+c=(-ba )·c也即(a+b)·a=-(a+b)·c.因为a+b≠0,所以当a=-c时,M,N是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b,都存在M,N是一对泛对称点的情形.此时点M的坐标为(-ba,-a),点N的坐标为(1,b).所以M,N两点都在函数y=bx(b≠0)的图象上.因为a<0,所以当b>0时,点M,N都在第一象限,此时 y随x的增大而减小,所以当y M>y N时,0<x M<1;当b<0时,点M在第二象限,点N在第四象限,满足y M>y N,此时x M<0.综上,对于任意满足条件的实数b,都存在M,N是一对泛对称点的情形,此时对于所有的泛对称点M(x M,y M),N(x N,y N),当y M>y N时,x M的取值范围是x M<1且x M≠0.【点睛】本题主要考察了新定义问题,读懂题意是是做题的关键;主要考察了二元一次方程组,二次函数、一元二次方程知识点的综合,把握题干信息,熟练运用知识点是解题的核心.7.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其顶点为P,连接PA、AC、CP,过点C作y轴的垂线l.(1)P的坐标,C的坐标;(2)直线1上是否存在点Q,使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(3,4),(0,﹣5);(2)存在,点Q的坐标为:(92,﹣5)或(212,﹣5)【解析】【分析】(1)利用配方法求出顶点坐标,令x=0,可得y=-5,推出C(0,-5);(2)直线PC的解析式为y=3x-5,设直线交x轴于D,则D(53,0),设直线PQ交x轴于E,当BE=2AD时,△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍,分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解:(1)∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣(x﹣3)2+4,∴顶点P(3,4),令x=0得到y=﹣5,∴C(0,﹣5).故答案为:(3,4),(0,﹣5);(2)令y=0,x2﹣6x+5=0,解得:x=1或x=5,∴A(1,0),B(5,0),设直线PC的解析式为y=kx+b,则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩,解得:35 kb=⎧⎨=-⎩,∴直线PC的解析式为:y=3x﹣5,设直线交x轴于D,则D(53,0),设直线PQ交x轴于E,当BE=2AD时,△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍,∵AD=23,∴BE=43,∴E (113,0)或E ′(193,0), 则直线PE 的解析式为:y =﹣6x +22,∴Q (92,﹣5), 直线PE ′的解析式为y =﹣65x +385, ∴Q ′(212,﹣5), 综上所述,满足条件的点Q 的坐标为:(92,﹣5)或(212,﹣5); 【点睛】 本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.8.如图,已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ,B 两点,过点A 的直线l 与抛物线交于点C ,其中点A 的坐标是()1,0,点C 的坐标是()2,3-,抛物线的顶点为点D .(1)求抛物线和直线AC 的解析式.(2)若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点,求APC ∆的面积的最大值及此时点P 的坐标.(3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ,点M 为直线AC 上的任意一点,过点M 作//MN DE 交抛物线于点N ,以D ,E ,M ,N 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出点M 的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)y=-x 2-2x+3,y=-x+1;(2)最大值为278,此时点P(12-,154);(3)能,(0,1),(1172-+,3172)或(1172--,3172) 【解析】【分析】(1)直接利用待定系数法进行求解,即可得到答案;(2)设点P(m ,-m 2-2m+3),则Q(m ,-m+1),求出PQ 的长度,结合三角形的面积公式和二次函数的性质,即可得到答案;(3)根据题意,设点M(t ,-t+1),则点N(t ,-t 2-2t+3),可分为两种情况进行分析:①当点M 在线段AC 上时,点N 在点M 上方;②当点M 在线段AC (或CA )延长线上时,点N 在点M 下方;分别求出点M 的坐标即可.【详解】解:(1)∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1,0),C(-2,3),∴10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩,,解得:23b c =-⎧⎨=⎩,. ∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3.设直线AC 的解析式为y=kx+n .将点A ,C 坐标代入,得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩,,解得11k n =-⎧⎨=⎩,. ∴直线AC 的解析式为y=-x+1.(2)过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q .设点P(m ,-m 2-2m+3),则Q(m ,-m+1).∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2.∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++. ∴当m=12-时,S △APC 最大,最大值为278,此时点P(12-,154). (3)能.∵y=-x 2-2x+3,点D 为顶点,∴点D(-1,4),令x=-1时,y=-(-1)+1=2,∴点E(-1,2).∵MN ∥DE ,∴当MN=DE=2时,以D ,E ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形.∵点M 在直线AC 上,点N 在抛物线上,∴设点M(t ,-t+1),则点N(t ,-t 2-2t+3).①当点M 在线段AC 上时,点N 在点M 上方,则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2.∴-t 2-t+2=2,解得:t=0或t=-1(舍去).∴此时点M 的坐标为(0,1).②当点M 在线段AC (或CA )延长线上时,点N 在点M 下方,则MN=(-t+1)-(-t2-2t+3)=t2+t-2.∴t2+t-2=2,解得:t=1172-+或t=1172--.∴此时点M的坐标为(117-+,317-)或(117--,317+).综上所述,满足条件的点M的坐标为:(0,1),(117-+,317-)或(117--,317+).【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式;(2)利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题;(3)利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置.9.如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上,边OB在y轴的负半轴上.且AO=12,OB=9.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A和点B.(1)求抛物线的表达式;(2)在第二象限的抛物线上找一点M,连接AM,BM,AB,当△ABM面积最大时,求点M的坐标;(3)点D是线段AO上的动点,点E是线段BO上的动点,点F是射线AC上的动点,连接EF,DF,DE,BD,且EF是线段BD的垂直平分线.当CF=1时.①直接写出点D的坐标;②若△DEF的面积为30,当抛物线y=﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时,请直接写出此时的抛物线的表达式.【答案】(1)y=﹣x2﹣514x﹣9;(2)M(﹣6,31.5);(3)①(﹣50)或(﹣3,0),②y=﹣x2﹣133x﹣4【解析】【分析】(1)利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题.(2)如图1中,设M(m,﹣m2﹣514m﹣9),根据S△ABM=S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题即可.(3)①分两种情形:如图2中,当点F在AC的延长线设时,连接DF,FB.设D(m,0).根据FD=FB,构建方程求解.当点F在线段AC上时,同法可得.②根据三角形的面积求出D,E的坐标,再利用待定系数法解决问题即可.【详解】解:(1)由题意A(﹣12,0),B(0,﹣9),把A,B的坐标代入y=﹣x2+bx+c,得到9 144120cb c=-⎧⎨--+=⎩,解得:5149bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣514x﹣9.(2)如图1中,设M(m,﹣m2﹣514m﹣9),S△ABM=S△ACM+S△MBC﹣S△ACB=12×9×(m+12)+12×12×(﹣m2﹣514m﹣9+9)﹣12×12×9=﹣6m2﹣72m=﹣6(m+6)2+216,∵﹣6<0,∴m=﹣6时,△ABM的面积最大,此时M(﹣6,31.5).(3)①如图2中,当点F 在AC 的延长线设时,连接DF ,FB .设D (m ,0).∵EF 垂直平分线段BD ,∴FD =FB ,∵F (﹣12,﹣10),B (0,﹣9),∴102+(m+12)2=122+12,∴m =﹣12﹣55∴D (﹣50).当点F 在线段AC 上时,同法可得D (﹣3,0),综上所述,满足条件的点D 的坐标为(﹣50)或(﹣3,0).故答案为(﹣50)或(﹣3,0).②由①可知∵△EF 的面积为30,∴D (﹣3,0),E (0,﹣4),把D ,E 代入y =﹣x 2+b′x+c′,可得'493''0c b c =-⎧⎨--+=⎩,解得:13'3'4b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣133x ﹣4. 故答案为:y =﹣x 2﹣133x ﹣4. 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.10.如图,经过原点的抛物线2y ax x b =-+与直线2y =交于A ,C 两点,其对称轴是直线2x =,抛物线与x 轴的另一个交点为D ,线段AC 与y 轴交于点B .(1)求抛物线的解析式,并写出点D 的坐标;(2)若点E 为线段BC 上一点,且2EC EA -=,点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点,连接PE ,过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ,连接PF ,探究在P 点运动过程中,线段PE ,PF 有何数量关系?并证明所探究的结论;(3)设抛物线顶点为M ,求当t 为何值时,DMF ∆为等腰三角形?【答案】(1)214y x x =-;点D 的坐标为(4,0);(2)5PF PE =,理由见解析;(3)512t =或98t = 【解析】【分析】(1)先求出a 、b 的值,然后求出解析式,再求出点D 的坐标即可;(2)由题意,先求出点E 的坐标,然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽,得到2EF PE =,结合勾股定理,即可得到答案;(3)根据题意,可分为三种情况进行分析:FM FD =或DF DM =或FM MD =,分别求出三种情况的值即可.【详解】解:(1)∵抛物线2y ax x b =-+经过原点, ∴0b =.又抛物线的对称轴是直线2x =,∴122a --=,解得:14a =. ∴抛物线的解析式为:214y x x =-. 令2104y x x =-=, 解得:10x =,24x =.∴点D 的坐标为(4,0).(2)线段PE 、PF 的数量关系为:5PF PE =.证明:由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ,如图①,AE EG GC +=,∴EG GC AE =-,∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-,∵2EC EA -=,∴1EG =,∴(1,2)E ,过点E 作EH x ⊥轴于H ,则2EH OB ==.∵PE EF ⊥,∴90PEF ∠=︒,∵BE EH ⊥,∴90BEH ∠=︒.∴PEB HEF ∠=∠.在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中,∵PEB HEF ∠=∠,90EHF EBP ∠=∠=︒,∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽,∴12PE BE EF HE ==, ∴2EF PE =. 在Rt PEF ∆中,由勾股定理得:222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=,∴5PF PE =.(3)由2211(2)144y x x x =-=--, ∴顶点M 坐标为(2,1)-.若DMF ∆为等腰三角形,可能有三种情形:(I )若FM FD =.如图②所示:连接MG 交x 轴于点N ,则90MNF ∠=︒,∵(4,0)D ,∴2222125MD MN ND =+=+=. 设FM FD k ==,则2NF k =-.在Rt MNF ∆中,由勾股定理得:222NF MN MF +=,∴22(2)1k k -+=,解得:54k =, ∴54FM =,34NF =, ∴1MN =,即点M 的纵坐标为1-;令1y =-,则2114x x -=-, ∴2x =,即ON=2,∴OF=114, ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵(1,2)E ,∴1,2BE BP t ==-,∴221(2)PE t =+-,∴251(2)PF t =•+-,在Rt △OPF 中,由勾股定理,得222OP OF PF +=,∴22211()55(2)4t t +=+-, ∴98t =. (II )若DF DM =.如图③所示:此时5FD DM ==∴45OF =,∴(45,0)F ,由(I )知,PE =,PF =在Rt △OPF 中,由勾股定理,得222OP OF PF +=,∴222(455(2)t t +-=+-∴12t =. (III )若FM MD =.由抛物线对称性可知,此时点F 与原点O 重合.∵PE EF ⊥,点P 在直线AC 上方,与点P 在线段OB 上运动相矛盾,故此种情形不存在.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到相似三角形的判定和性质,一次函数的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,以及勾股定理等知识,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.。
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人教版九年级上册数学二次函数专题练习(word版一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)1.已知,抛物线y=-12x2 +bx+c交y轴于点C(0,2),经过点Q(2,2).直线y=x+4分别交x轴、y轴于点B、A.(1)直接填写抛物线的解析式________;(2)如图1,点P为抛物线上一动点(不与点C重合),PO交抛物线于M,PC交AB于N,连MN.求证:MN∥y轴;(3)如图,2,过点A的直线交抛物线于D、E,QD、QE分别交y轴于G、H.求证:CG •CH 为定值.【答案】(1)2122y x x=-++;(2)见详解;(3)见详解.【解析】【分析】(1)把点C、D代入y=-12x2 +bx+c求解即可;(2)分别设PM、PC的解析式,由于PM、PC与抛物线的交点分别为:M、N.,分别求出M、N的代数式即可求解;(3)先设G、H的坐标,列出QG、GH的解析式,得出与抛物线的交点D、E的横坐标,再列出直线AE的解析式,算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证.【详解】详解:(1)∵y=-12x2 +bx+c过点C(0,2),点Q(2,2),∴2122222b cc⎧-⨯++⎪⎨⎪=⎩=,解得:12b c =⎧⎨=⎩. ∴y=-12x 2+x+2; (2) 设直线PM 的解析式为:y=mx ,直线PC 的解析式为:y=kx+2由22122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩得12x 2+(k-1)x=0, 解得:120,22x x k ==-, x p =22p x k =-由21=22y mx y x x =⎧⎪⎨-++⎪⎩得12x 2+(m-1)x-2=0, ∴124bx x a⋅=-=- 即x p•x m =-4,∴x m =4p x -=21k -.由24y kx y x =+⎧⎨=+⎩得x N =21k -=x M , ∴MN ∥y 轴.(3)设G (0,m ),H (0,n ). 设直线QG 的解析式为y kx m =+, 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+22mk -∴=∴直线QG 的解析式为22my x m -=+ 同理可求直线QH 的解析式为22ny x n -=+; 由222122m y x m y x x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得221=222m x m x x -+-++ 解得:122,2x x m ==-2D x m ∴=-同理,2E x n =-设直线AE 的解析式为:y=kx+4,由24122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩, 得12x 2-(k-1)x+2=0 124bx x a∴⋅=-= 即x D x E =4,即(m-2)•(n-2)=4 ∴CG•CH=(2-m )•(2-n )=4.2.如图1,抛物线y =mx 2﹣3mx +n (m ≠0)与x 轴交于点C (﹣1,0)与y 轴交于点B (0,3),在线段OA 上有一动点E (不与O 、A 重合),过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ,交抛物线于点P ,过点P 作PM ⊥AB 于点M . (1)分别求出抛物线和直线AB 的函数表达式; (2)设△PMN 的面积为S 1,△AEN 的面积为S 2,当123625S S = 时,求点P 的坐标; (3)如图2,在(2)的条件下,将线段OE 绕点O 逆时针旋转的到OE ′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E'A+23E'B的最小值.【答案】(1)抛物线y=﹣34x2+94x+3,直线AB解析式为y=﹣34x+3;(2)P(2,32);(3)4103【解析】【分析】(1)由题意令y=0,求出抛物线与x轴交点,列出方程即可求出a,根据待定系数法可以确定直线AB解析式;(2)根据题意由△PNM∽△ANE,推出65PNAN=,以此列出方程求解即可解决问题;(3)根据题意在y轴上取一点M使得OM′=43,构造相似三角形,可以证明AM′就是E′A+23E′B的最小值.【详解】解:(1)∵抛物线y=mx2﹣3mx+n(m≠0)与x轴交于点C(﹣1,0)与y轴交于点B (0,3),则有330nm m n⎧⎨⎩++==,解得433mn⎧⎪⎨⎪-⎩==,∴抛物线239344y x x=-++,令y=0,得到239344x x-++=0,解得:x=4或﹣1,∴A(4,0),B(0,3),设直线AB解析式为y=kx+b,则340bk b+⎧⎨⎩==,解得334kb⎧-⎪⎨⎪⎩==,∴直线AB解析式为y=34-x+3.(2)如图1中,设P(m,239344m m-++),则E(m,0),∵PM⊥AB,PE⊥OA,∴∠PMN=∠AEN,∵∠PNM=∠ANE,∴△PNM∽△ANE,∵△PMN的面积为S1,△AEN的面积为S2,123625SS=,∴65PNAN=,∵NE∥OB,∴AN AEAB OA=,∴AN=54545454(4﹣m),∵抛物线解析式为y=239344x x-++,∴PN=239344m m-++﹣(34-m+3)=34-m2+3m,∴2336455(4)4m mm-+=-,解得m=2或4(舍弃),∴m=2,∴P(2,32).(3)如图2中,在y 轴上 取一点M′使得OM′=43,连接AM′,在AM′上取一点E′使得OE′=OE .∵OE′=2,OM′•OB =43×3=4, ∴OE′2=OM′•OB , ∴OE OBOM OE '='', ∵∠BOE′=∠M′OE′, ∴△M′OE′∽△E′OB ,∴M E OE BE OB '''='=23, ∴M′E′=23B E′,∴AE′+23BE′=AE′+E′M′=AM′,此时AE′+23BE′最小(两点间线段最短,A 、M′、E′共线时),最小值=AM′2244()3+410. 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识,解题的关键是构造相似三角形,找到线段AM ′就是AE′+23BE′的最小值,属于中考压轴题.3.在平面直角坐标系中,二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -,(1,0)B ,与y 轴交于点C .(1)求此抛物线的解析式;(2)点P 是抛物线22y ax bx =+-上的任意一点,过点P 作x 轴的垂线PD ,直线PD交直线AC 于点D .①是否存在点P ,使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.②点Q 是坐标平面内的任意一点,若以O ,C ,Q ,D 为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点Q 的坐标. 【答案】(1)213222y x x =+- (2)①存在,点P 的坐标为(22,12)-+-,(222,12)--+,(2,3)--②1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭,2(2,1)Q -,34525Q ⎝⎭,44525Q ⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】(1)将(4,0)A -,(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可; (2)①先求出△PAC 的面积为4,再求出直线AC 的解析式为122y x =--.设点P 的横坐标为(t ,213222t t +-),利用21442∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解; ②先设出D 点坐标,然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解. 【详解】解:(1)由题意得,将(4,0)A -,(1,0)B 两点坐标代入解析式中:1642020a b a b --=⎧⎨+-=⎩,解得:1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴此抛物线的解析式为213222y x x =+-, 故答案为213222y x x =+-. (2)①存在点P ,使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45.理由如下: 作出如下所示示意图:∵点(4,0)A -,(1,0)B , ∴4OA =,5AB =, 令0x =,则2y =-, ∴(0,2)C -,∴2OC =, ∴1152522ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=, ∴445545PAC ABC S S ∆∆==⨯=, 设直线AC 的解析式为y mx n =+,则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩,解得:122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴直线AC 的解析式为122y x =--.设点P 的横坐标为t ,则其纵坐标为213222t t +-, 即213,222P t t t ⎫⎛+- ⎪⎝⎭. ∵PD x ⊥轴,则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛-- ⎪⎝⎭. ∴2213112222222PD t t t t t ⎫⎛=+----=+ ⎪⎝⎭. ∵22111424222PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯+=+. ∴244t t +=,即2440t t +-=或2440t t ++=, 解得:1222t =-+,2222t =--,32t =-.∴点P 的坐标为(222,12)-+-,(222,12)--+,(2,3)--, 故答案为:(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--. ②分类讨论:情况一:当OC 为菱形的对角线时,此时DO=DC ,即D 点在线段OC 的垂直平分线, ∴D 点坐标(-2,-1),将△OCD 沿y 轴翻折,此时四边形ODCQ 为菱形,故此时Q 点坐标为(2,-1),如下图一所示,情况二:当OQ 为对角线时,DO=DQ ,如下图二所示,DQ=OC=OD=2,设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x x ,则EO=-x ,DE=122x +,在Rt △EDO 中,由勾股定理可知:EO²+ED²=DO², 故221(2)42++=x x ,解得80(),5舍==-x x ,此时Q 点坐标为816,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭,情况三:当OD 为对角线时,OC=OQ=2,如下图三所示:设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ,则EO=|m|,DE=122m +,QE=2-(122m +)=12m , 在Rt △QDO 中,由勾股定理可知:QE²+EO²=QO²,故221()()42+=m m ,解得124545,==-m m ,此时Q 点坐标为4525,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或4525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 综上所述,Q 点的坐标为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭,2(2,1)Q -,34525,55Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭,44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭. 故答案为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭,2(2,1)Q -,34525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭,44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,三角形的面积问题,菱形的存在性问题等,属于综合题,具有一定的难度,熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键.4.如图,在平面直角坐标系x O y 中,抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A 、B 、C 三点,已知点A (-3,0),B (0,3),C (1,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点,(不与点A 、B 重合),过点P 作x 轴的垂线,垂足为F ,交直线AB 于点E ,作PD ⊥AB 于点D .动点P 在什么位置时,△PDE 的周长最大,求出此时P 点的坐标;(3)在直线x = -2上是否存在点M ,使得∠MAC = 2∠MCA ,若存在,求出M 点坐标.若不存在,说明理由.【答案】(1)y=-x 2-2x+3;(2)点(-32,154),△PDE 的周长最大;(3)点M (-2,3)或(-2,3【解析】【分析】 (1)将A 、B 、C 三点代入,利用待定系数法求解析式;(2)根据坐标发现,△AOB 是等腰直角三角形,故只需使得PD 越大,则△PDE 的周长越大.联立直线AB 与抛物线的解析式可得交点P 坐标;(3)作点A 关于直线x=-2的对称点D ,利用∠MAC = 2∠MCA 可推导得MD=CD ,进而求得ME 的长度,从而得出M 坐标【详解】解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A (-3,0),B (0,3),C (1,0),∴93030a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩,解得:123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,所以,抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3;(2)∵A (-3,0),B (0,3),∴OA=OB=3,∴△AOB 是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°,∵PF ⊥x 轴,∴∠AEF=90°-45°=45°,又∵PD ⊥AB ,∴△PDE 是等腰直角三角形,∴PD 越大,△PDE 的周长越大,易得直线AB 的解析式为y=x+3,设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ,联立223y x m y x x =+⎧⎨=--+⎩,消掉y 得,x 2+3x+m-3=0, 当△=9-4(m-3)=0,即m=214时,直线与抛物线只有一个交点,PD 最长, 此时x=-32,y=154,∴点(-32,154),△PDE 的周长最大;(3)设直线x=-2与x 轴交于点E ,作点A 关于直线x=-2的对称点D ,则D (-1,0),连接MA ,MD ,MC .∴MA=MD ,∠MAC=∠MDA=2∠MCA ,∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 , ∴3∴点M (-23)或(-2,3【点睛】本题是动点和最值的考查,在解决动点问题时,寻找出不变量来分析是解题关键,最值问题,通常利用对称来简化分析5.如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D,作DE⊥x轴,垂足为点E,双曲线y=6x(x>0)经过点D,连接MD,BD.(1)求抛物线的表达式;(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大?【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)N(57,0),F(0,53);(3)t=9﹣15【解析】【分析】(1)由已知求出D点坐标,将点A(-1,0)和D(2,3)代入y=ax2+bx+3即可;(2)作M关于y轴的对称点M',作D关于x轴的对称点D',连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F,则以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长;(3)设P(0,t),作△PBD的外接圆N,当⊙N与y轴相切时,∠BPD的度数最大;【详解】解;(1)C(0,3)∵CD⊥y,∴D点纵坐标是3.∵D在y=6x上,∴D(2,3),将点A(﹣1,0)和D(2,3)代入y=ax2+bx+3,∴a=﹣1,b=2,∴y=﹣x2+2x+3;(2)M(1,4),B(3,0),作M关于y轴的对称点M',作D关于x轴的对称点D',连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F,则以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长;∴M'(﹣1,4),D'(2,﹣3),∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53,∴N(57,0),F(0,53);(3)设P(0,t).∵△PBO和△CDP都是直角三角形,tan∠CDP=32t-,tan∠PBO=3t,令y=tan∠BPD=3233123t tt t-+--,∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0,△=﹣15y2+30y+1=0时,y =15415-+(舍)或y =15415+, ∴t =32﹣12×1y, ∴t =9﹣215,∴P (0,9﹣215).【点睛】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数的图象及性质,利用轴对称求最短距离,学会利用辅助圆解决问题,属于中考压轴题.6.如图,抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(−1,0),B(4,0),交y 轴于点C ;(1)求抛物线的解析式(用一般式表示);(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D 使S △ABC =23S △ABD ?若存在,请求出点D 坐标;若不存在,请说明理由;(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点E ,求BE 的长.【答案】(1)213222y x x =-++(2)存在,D (1,3)或(2,3)或(5,3-)(3)10【解析】【分析】 (1)由A 、B 的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由条件可求得点D 到x 轴的距离,即可求得D 点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得D 点坐标;(3)由条件可证得BC ⊥AC ,设直线AC 和BE 交于点F ,过F 作FM ⊥x 轴于点M ,则可得BF=BC ,利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标,利用待定系数法可求得直线BE 解析式,联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标,则可求得BE 的长.【详解】解:(1)∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A (-1,0),B (4,0),∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩,解得:1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴抛物线解析式为:213222y x x =-++; (2)由题意可知C (0,2),A (-1,0),B (4,0),∴AB=5,OC=2,∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5, ∵S △ABC =23S △ABD , ∴S △ABD =315522⨯=, 设D (x ,y ), ∴11155222AB y y •=⨯•=, 解得:3y =;当3y =时,2132322y x x =-++=, 解得:1x =或2x =,∴点D 的坐标为:(1,3)或(2,3);当3y =-时,2132322y x x =-++=-, 解得:5x =或2x =-(舍去),∴点D 的坐标为:(5,-3);综合上述,点D 的坐标为:(1,3)或(2,3)或(5,-3);(3)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,∴AC ==BC ==∴222AC BC AB +=,∴△ABC 为直角三角形,即BC ⊥AC ,如图,设直线AC 与直线BE 交于点F ,过F 作FM ⊥x 轴于点M ,由题意可知∠FBC=45°,∴∠CFB=45°, ∴25CF BC == ∴AO AC OM CF =,即1525OM = 解得:2OM =, ∴OC AC FM AF =,即2535FM = 解得:6FM =,∴点F 为(2,6),且B 为(4,0),设直线BE 解析式为y=kx+m ,则2640k m k m +=⎧⎨+=⎩,解得312k m =-⎧⎨=⎩, ∴直线BE 解析式为:312y x =-+;联立直线BE 和抛物线解析式可得:231213222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩, 解得:40x y =⎧⎨=⎩或53x y =⎧⎨=-⎩, ∴点E 坐标为:(5,3)-, ∴22(54)(3)10BE =-+-=【点睛】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)中求得D 点的纵坐标是解题的关键,在(3)中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,特别是最后一问,有一定的难度.7.如图1,在平面直角坐标系中,O 为原点,抛物线2y ax bx c =++经过、、A B C 三点,且其对称轴为1,x =其中点()0,3C ,点()3,0B .(1)求抛物线的解析式; (2)①如图(1),点D 是直线CB 上方抛物线上的动点,当四边形DCAB 的面积取最大值时,求点D 的坐标;②如图(2),连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠,请直接写出点M 的横坐标.【答案】(1)2323333=-+y x x ;(2)①D 3532,,②233+2 【解析】【分析】(1)根据点(3C ,点()3,0B ,利用待定系数法,可得函数解析式;(2)①先求出直线BC 的解析式,当直线m 与抛物线只有一个交点时,点D 到BC 的距离最远,此时△BCD 取最大值,故四边形DCAB 有最大值,求出b 的值代入原式即可得到答案; ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠,通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE的解析式,可得答案.【详解】解:(1)由题意得:120933baa b⎧-=⎪⎨⎪=++⎩解得323a,33b故抛物线的解析式是2323333=-++y x x.图(1)图(2)(2)①设直线BC的解析式为3.∵直线BC过点B(3,0),∴3则k=3-故直线BC解析式为y=33设直线m 解析式为33y x b,且直线m∥直线BC当直线m与抛物线只有一个交点时,点D到BC的距离最远,此时△BCD取最大值,故四边形DCAB有最大值.令23323-x b-x3333+=++23-333330x x b当2Δ(-33)-43(333)0b时直线m 与抛物线有唯一交点解之得:73,b 代入原式可求得:32x =∴D 353(,).2图(3)过D 作DP ∥y 轴交CB 于点P ,△DCB 面积=△DPC 面积+△DPB 面积,∴D 33,24⎛ ⎝⎭②存在,点M 的横坐标为313+2 解题提示:如图3符合条件的直线有两条: CM 1和CM 2(分别在CB 的上方和下方) ∵在Rt △ACO 中,∠ACO=30°,在Rt △COB 中,∠CBO=30°, ∴∠BCM 1=∠BCM 2=15°∵△BCE 中,∠BCE=∠BEC 2=15°∴BC=BE=23则E (33+0)设直线CE 解析式为:3y kx =+ ∴0(323)3k解之得:32∴直线CE 解析式为:(32)3y x∴23233(32)3y x xy x⎧=-++⎪⎨⎪=-+⎩解得:x1=0,x2=23-1∵在Rt△OCF中,∠CBO=30°,∠BCF=15°∴在Rt△COF中,∠CFO=45°∴OC=OF=3∴F(3,0)∴直线CF的解析式为-3y x∴2323333-3y x xy x⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩解之得:30x=(舍去),43+2x即点M的横坐标为:23-1或3+2【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求二次函数解析式,理解坐标与图形性质是解题关键.8.如图,抛物线2y x bx c=-++的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.点A坐标的为3,0,点C的坐标为()0,3.(Ⅰ)求抛物线的解析式;(Ⅱ)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作i轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作//PQ AB交抛物线于点Q,过点Q作QN x⊥轴于点N.若点P在点Q左边,当矩形PMNQ的周长最大时,求AEM△的面积;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ,过抛物线上一点F 作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若=22FG DQ,求点F的坐标.【答案】(Ⅰ)223y x x =--+;(Ⅱ)12;(Ⅲ)()4,5F --或()1,0 【解析】【分析】(Ⅰ)将点A ,点C 坐标代入解析式可求解;(Ⅱ)设M (x ,0),P (x ,-x 2-2x+3),利用对称性可求点Q (-2-x ,-x 2-2x+3),可求MP=-x 2-2x+3,PQ=-2-x-x=-2-2x ,则可用x 表示矩形PMNQ 的周长,由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时,点P 的坐标,即可求点E ,点M 的坐标,由三角形面积公式可求解;(Ⅲ)先求出点D 坐标,即可求DQ=2,可得FG=4,设F (m ,-m 2-2m+3),则G (m ,m+3),用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解.【详解】 解:(Ⅰ)依题意()()2330{3b c c --+⨯-+== 解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+(Ⅱ)2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ,()2,23P x x x --+,其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+,222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时,d 取最大值,此时,(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+则303k b b -+=⎧⎨=⎩,解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3yx 将2x =-代入3yx ,得1y = ∴(2,1)E -,∴1EM =∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当矩形PMNQ 的周长最大时,2x =-此时点()0,3Q ,与点C 重合,∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ,则1DK =,4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形,2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+,则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=,解得14m =-,21m =当4m =-时,2235m m --+=-当1m =时,2230m m --+=.∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的性质,矩形的性质,等腰直角三角形的性质等,利用参数表示线段的长度是本题的关键. 9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -,交y 轴于点C ,且经过点(6,6)D --,连接,AD BD .(1)求该抛物线的函数关系式;(2)△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似,请求出此时点M 、点N 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合),过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ,以PQ 为直径作⊙E ,则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 .(直接写出答案)【答案】(1)2113442y x x =--+;(2)点M (0,32)、点N (34,0)或点M (0,32),N (-3,0)或点M (-1,32)、点N (-3,0)或N (14-,0)、M (-1,32);(3)QH 有最大值,当x=2-时,其最大值为125. 【解析】【分析】(1)用交点式函数表达式得:y=a (x-2)(x+3),将点D 坐标代入上式即可求解; (2)分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ,两种大情况、四种小情况,分别求解即可; (3)根据题意,利用二次函数的性质和三角函数,QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+,即可求解. 【详解】解:(1)用交点式函数表达式得:y=a (x-2)(x+3),将点D 坐标代入上式并解得:14a =-,故函数的表达式为:2113442y x x =--+…①, 则点C (0,32);(2)由题意得:AB=5,AD=10,BD=,①∠MAN=∠ABD 时,(Ⅰ)当△ANM ∽△ABD 时,直线AD 所在直线的k 值为34,则直线AM 表达式中的k 值为34-, 则直线AM 的表达式为:3(2)4y x =--,故点M (0,32), AD AB AM AN =,则AN=54,则点N (34,0); (Ⅱ)当△AMN ∽△ABD 时,同理可得:点N (-3,0),点M (0,32), 故点M (0,32)、点N (34,0)或点M (0,32),N (-3,0); ②∠MAN=∠BDA 时,(Ⅰ)△ABD ∽△NMA 时,∵AD ∥MN ,则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12, AM :y=12-(x-2),则点M (-1,32)、点N (-3,0); (Ⅱ)当△ABD ∽△MNA 时,AD BDAM AN ==, 解得:AN=94, 故点N (14-,0)、M (-1,32); 故:点M (-1,32)、点N (-3,0)或N (14-,0)、M (-1,32); 综上,点M (0,32)、点N (34,0)或点M (0,32),N (-3,0)或点M (-1,32)、点N (-3,0)或N (14-,0)、M (-1,32); (3)如图所示,连接PH ,由题意得:tan ∠PQH=43,则cos ∠PQH=35, 则直线AD 的表达式为:y=3342x -, 设点P (x ,2113442x x --+),则点Q (x ,3342x -), 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++, ∵3020-<, 故QH 有最大值,当x=2-时,其最大值为125. 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用,涉及到一次函数、圆的基本知识,解直角三角形,相似三角形的判定和性质,其中(2)需要分类求解共四种情况,避免遗漏.10.如图,已知二次函数22(0)y ax ax c a 的图象与x 轴负半轴交于点A (-1,0),与y 轴正半轴交与点B ,顶点为P ,且OB=3OA ,一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B .(1) 求一次函数解析式;(2)求顶点P 的坐标;(3)平移直线AB 使其过点P ,如果点M在平移后的直线上,且3tan 2OAM ∠=,求点M 坐标;(4)设抛物线的对称轴交x 轴与点E ,联结AP 交y 轴与点D ,若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点,联结QD 、QN ,请直接写出QD+QN 的最小值.【答案】(1) 一次函数的解析式为:y=3x+3(2)顶点P 的坐标为(1,4)(3) M 点的坐标为:15,2(,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或 23-)(4【解析】【分析】(1)根据抛物线的解析式即可得出B (0,3),根据OB=3OA ,可求出OA 的长,也就得出了A 点的坐标,然后将A 、B 的坐标代入直线AB 的解析式中,即可得出所求;(2)将(1)得出的A 点坐标代入抛物线的解析式中,可求出a 的值,也就确定了抛物线的解析式进而可求出P 点的坐标;(3)易求出平移后的直线的解析式,可根据此解析式设出M 点坐标(设横坐标,根据直线的解析式表示出纵坐标).然后过M 作x 轴的垂线设垂足为E ,在构建的直角三角形AME 中,可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长,然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标.(本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解.方法一样.)(4)作点D 关于直线x=1的对称点D′,过点D′作D′N ⊥PD 于点N ,根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值.【详解】(1)∵A (-1,0),∴OA=1∵OB=3OA ,∴B (0,3)∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为:y=3x+3(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A (-1,0),与y 轴正半轴交与点B (0,3),∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为:223y x x =-++∴抛物线223y x x =-++的顶点P (1,4)(3)设平移后的直线的解析式为:3y x b =+∵直线3y x b =+过P (1,4)∴b=1∴平移后的直线为31y x =+∵M 在直线31y x =+,且3tan 2OAM ∠=设M (x,3x+1)① 当点M 在x 轴上方时,有31312x x +=+,∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当点M 在x 轴下方时,有31312x x +-=+,∴59x =- ∴25(,9M - 23-) (4)作点D 关于直线x=1的对称点D’,过点D’作D’N ⊥PD 于点N当-x 2+2x+3=0时,解得,x=-1或x=3,∴A (-1,0),P 点坐标为(1,4),则可得PD 解析式为:y=2x+2,令x=0,可得y=2,∴D (0,2),∵D 与D′关于直线x=1对称,∴D′(2,2).根据ND′⊥PD ,设ND′解析式为y=kx+b ,则k=-12,即y=-12x+b , 将D′(2,2)代入,得2=-12×2+b ,解得b=3, 可得函数解析式为y=-12x+3, 将两函数解析式组成方程组得:13222y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩, 解得25145x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 故N (214 ,)55, 由两点间的距离公式:5=,∴所求最小值为45 5【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点.同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题.。