高三数学总复习文科 第2章 第1节 函数及其表示

第二章函数、导数及其应用[重点关注]

1．从近五年全国卷高考试题来看，函数、导数及其应用是每年高考命题的重点与热点，既有客观题，又有解答题，中高档难度．

2．函数的概念、图象及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、图象是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热点．3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用是高考的重点与热点．

4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合与创新．

[导学心语]

1．注重基础：对函数的概念、图象、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用，要熟练掌握并灵活应用.

2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系．3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．

第一节函数及其表示

————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超

过三段)．

1．函数与映射的概念

函数映射

两集合

A，B

设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合

对应关

系

f：A→B

如果按照某种确定的对应关系

f，使对于集合A中的任意一个

数x，在集合B中都有唯一确

定的数f(x)和它对应

如果按某一个确定的对应关系

f，使对于集合A中的任意一个

元素x，在集合B中都有唯一

确定的元素y与之对应

名称

称f：A→B为从集合A到集合

B的一个函数

称f：A→B为从集合A到集合

B的一个映射

记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )

(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )

(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1

x －3

的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫

32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫

32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)

C [由题意知⎩⎨⎧

2x －3≥0，x －3≠0，

解得x ≥3

2且x ≠3.]

3．(2017·南昌一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

x ，x ＞0，

2－x ，x ≤0，则f (f (－4))＝________.

4 [∵f (－4)＝24＝16，∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.]

4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.

－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.] 5．给出下列四个命题：

①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． ① [由函数的定义知①正确．

∵满足⎩⎨⎧

x －3≥0，

2－x ≥0

的x 不存在，∴②不正确．

∵y ＝2x (x ∈N)的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．]

求函数的定义域

(1)(2016·江苏高考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． (2)(2017·郑州模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )

x －1

的定义域是________．

(1)[－3,1] (2)[0,1) [(1)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．

(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．]

[规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．

2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．

[变式训练1] (1)函数f (x )＝1－2x ＋1

x ＋3

的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]

C ．(－∞，－3)∪(－3,0]

D ．(－∞，－3)∪(－3,1]

(2)已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________. (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12，2 [(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎨⎧

1－2x ≥0，x ＋3＞0，解得

⎩⎨⎧

x ≤0，

x ＞－3，

∴－3＜x ≤0. (2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]，