环境系统数学模型

是能使各测量值 的平方和

yi 与线性方程各计算值 yi 的偏差
z yi (m1 x1 m2 x2 ... mn xn b)
i 1

m
2
最小的线性方程。因此，根据极值存在条件，对 一元线性分析，有
假定有n个待定参数，其中 i (i 1,2,...,n) 的搜索区间为 [ai , bi ]，如果把区间分成 mi 等分，分点为 i( k ) (k 0,1,...,mi ), 其中
Байду номын сангаас
模型既包含由数学符号组成的数学公式，也包括用框
图或文字表达的计算方法和计算过程。
1
2
3
抽象性、系 统性
发现事物的 本质特征
速度快、费 用低

1 按变量和时间的关系：
动态模型与稳态模型

2 按用途分类 模拟模型和管理模型

延续上一个讨论问题，
问题：

如何建立这种污染物的降解规律的数学模

模型的结构选择




(1)白箱模型 根据对系统的结构和性质的了解 , 以客观事物变化遵循的物 理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。 这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。 (2)灰箱模型 即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中 , 几乎每个模 型都包含一个或多个待定参数 , 这些待定参数一般无法由过 程机理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果。 (3)黑箱模型 即输入-输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模 型。它们可在日常例行观察中积累 , 也可由专门实验获得。 根据对系统输入输出数据的观测 , 在数理统计基础上建立起 经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。
型？

1、准备阶段 2、系统认识阶段； 3、系统建模阶段；


4、模型参数估计；
5、模型求解阶段； 6、模型检验阶段；
建立数学模型的步骤
观测数 据组Ⅰ
模型结 构选择
参数 估计
检验与验 证
模型 应用
观测数据组Ⅱ

建模者要在弄清问题的社会背景、建模的 目的或目标的前提下，尽可能详细而又全 面的收集和建模有关的资料。
y 1x , z 2 x
1
2

经验公式法即时通过对所估计参数对相关
因素的关系曲线进行函数选配，并拟合而
得。

在使用经验公式时，要求系统的条件与总 结经验公式时的系统条件相近，否则会有 较大偏差。

如果系统模型公式可以直接描述为一条直
线，或经变量变换后能转换为直线时，均
可用图解法估计参数。
1.4.3 最小二乘法




又称线性回归分析，适合于自变量 xi (i 1～n)与 因变量 y 之间呈线性关系的情况，或通过数学变换 后可转换为线性关系的情况。 线性回归分析的原理基于以下两点假设： (1) 所有自变量的值均不存在误差，因变量的值 yi 则 含有测量误差； (2) 与各测量值 yi 拟合得最好的线性方程

某实验室正在研究一种污染物在某一处理过 程中的降解规律，希望其降解规律的研究能 对工程实际有指导意义，

讨论 ：
其研究结果的最佳表达形式是什么？为什么？
根据所观察到的现象，及实践经验，归结成一套反映 其数量关系的数学关系式与算法，用以描述对象的运 动规律，这套公式和算法称为数学模型。广义的数学

r
( y y)( y y)
i 1 i i
n
( y y) ( y y)
2 i 1 i i 1 i
n
n
2

相对误差的定义
ei

yi yi yi

如果有n组观测值与相应的计算值，可得到n个相 对误差值，将这n个误差值从小到大排列，可以求 得小于某一误差值的误差出现的频率，以及累积 频率为10%，50%，90%的误差，通过分析这三 个误差的数值，可以确定模型的精度。


由于环境模型使用的一般都是灰箱模型，其中至 少存在一个待定参数，需要通过实验观测数据进 行估计。 1、经验公式法； 2、图解法； 3、最小二乘法； 4、网格法； 5、最速下降法； 6、遗传算法；


是人们在研究某一具体问题时，有些参数的使用频 率很高，研究者在积累了大量数据后提出的经验计 算方法。 如布里吉斯提出的计算大气污染物扩散参数的幂函 数表达式

选定一初始点，从此点出发，沿其负梯度
方向取一定步长进行寻查，求得在此方向
上的近似极小点， 然后再从此点出发，沿
新的负梯度方向也取一定的步长进行寻查，
如此继续，直到满足给定的精度。

传统解析方法
计算机数值模拟

1.6.1 模型的精确度检验，
1.6.2 模型的可靠性检验。
1、图形表示法 2、相关系数法 3、相对误差法

中值误差与统计学上的的概率误差是一致 的，因此中值误差的数值既可以从误差分 布的累积曲线上求出，也可以按下式计算：
e0.5
y y i i yi i 1 0.6745 n 1
n
2
任何数学模型都是建立在一些参数基础上 的，尤其是灰箱模型和黑箱模型。这些参 数多是用一组或几组输入、输出数据来确 定。 而任何数据的获取都会存在一定的误差， 这样必然会导致所估计的参数存在一定的 不确定性。 模型的可靠性即是估计这种不确定性对模 型的精度有多大的影响。
i( 0 ) ai , i( m ) bi，于是，参数空间 i (1 ,..., n )被划分成m1 m2 ... m1个网格。
可以通过计算所有网格 顶点上的目标函数 值，并选取其中最小的 值所对应的参数值 作为最优估计值。如果 参数值还不够精确， 则可以在当前最优的网 格内，用更细的 网格搜索。
例：我们要建一个工业园区的工业污水集 中处理厂，需要收集哪些相关资料。

1、分析系统有关成分和因素；
2、对数据进行整理与分析，通常要绘制变量
的时间过程线，空间关系曲线或表格，从
中考察和分析事物的时空变化规律。
1、状态空间法(质量平衡法) 2、量纲分析法； 3、概率统计法； 4、数量化理论法； 5、灰色系统建模法； 6、人工神经网络； 7、层次分析法； 8、投影寻踪法；