抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦的性质

1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到：

当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若

抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若 抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-= 3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=

4、焦点弦常用结论：

结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=px

y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04

)2(2

2222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和4

21p x x = 结论2：p x x AB ++=21

证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++

=+=2121)2

()2( 结论3：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p AB = 证: (1)若2π

θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2

(2)若2π

θ≠时, 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y y θsin 24422221p p k

p y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ 结论4： 过焦点的弦中通径长最小

p p 2sin 21sin 22≥∴

≤θ

θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8

3

2为定值p AB S oAB =∆ 011sin sin 22

OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θϑ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅22sin p θ=238OAB S P AB ∆∴= 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知

2221

11AB

BF

AF BB AA MM =+=+= 故结论得证

结论6：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=

同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F

结论7：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F

M ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2

121214M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1

11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点

111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥AB

BF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM

︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121

AB B M AM =+ ()()()212

12112

42MM MM BB AA BF AF ==+=+= 结论8： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线

（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴

（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y p p

y y x y k oB oA 221211

1122,221-=-====

，而221p y y -= 所以122

2

22oB oA k p y y p p k =-=-=所以三点共线。同理可征（2）（3）（4） 结论9： p FB FA 211=+ 证：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为

E,θ的倾斜角为

因为直线L 则θθcos 1cos -=

∴=+=+=P AF AF AF P FR EF ER P AF θcos 11-=∴ 同理可得

P BF θcos 11+= ∴p FB FA 211=+