2018海淀一模数学文科试题(含答案)

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2018年高考文科数学全国卷1(含详细答案)

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数学试题 第1页(共22页)数学试题 第2页(共22页)绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}02A =,,{}21012B =--,,,,,则A B =( )A .{}02,B .{}12,C .{}0D .{}21012--,,,, 2.设121iz i i-=++,则z =( ) A .0 B .12C .1 D3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( ) A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.已知椭圆C :22214x y a +=的一个焦点为()2,0,则C 的离心率( ) A .13B .12CD5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( ) A.B .12πC.D .10π6.设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00,处的切线方程为( ) A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x =7.在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =( )A .3144AB AC - B .1344AB AC -C .3144AB AC +D .1344AB AC +8.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则( ) A .()f x 的最小正周期为π,最大值为3B .()f x 的最小正周期为π,最大值为4C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为3D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为49.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( ) A.B.C .3D .210.在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒,则该长方体的体积为( )A .8B.C.D.11.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点()1,A a ,()2,B b ,且2cos 23α=,则a b -=( )A .15BCD .1-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试题 第3页(共22页)数学试题 第4页(共22页)12.设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩,≤,,则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是( )A .(]1-∞,B .()0+∞,C .()10-,D .()0-∞,二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数()()22log f x x a =+,若()31f =,则a =________.14.若x y ,满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤,则32z x y =+的最大值为________.15.直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则AB = ________. 16.ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则ABC △的面积为________.三、解答题(共70分。

高考数学试题-2018年北京海淀区高考一模试题解析:数学(文) 最新

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海淀区高三年级第二学期期中练习数 学(文科)第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (海淀·文科·题1)1.在复平面内,复数()i 1i -(i 是虚数单位)对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【解析】 A ;()i 1i 1i -=+,对应的点为()1,1位于第一象限.(海淀·文科·题2)2.sin 75cos30cos75sin 30︒︒-︒︒的值为( )A .1B .12CD【解析】 C ;()sin 75cos30cos75sin 30sin 7530sin 45︒︒-︒︒=︒-︒=︒=.(海淀·文科·题3)3.已知向量,a b ,则“a b ∥”是“+=a b 0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【解析】 B ;必要性:+=a b 0⇔=-a b ,从而有a b ∥;充分性:当a b ∥时,可以取2=a b ,从而3+=a b b ,当≠b 0时+≠a b 0. 综上,“a b ∥”是“+=a b 0”的必要不充分条件.(海淀·文科·题4)4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足32132S S-=,则数列{}n a 的公差是( )A .12B .1C .2D .3【解析】 C ;3123133S a a a a d =++=+,21212S a a a d =+=+;∴()32113222S S d d a d a ⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭,因此2d =.(海淀·文科·题5)5.在同一坐标系中画出函数log a y x =,x y a =,y x a =+的图象,可能正确的是( )【解析】 D ;BACDy x a =+在B 、C 、D 三个选项中对应的1a >,只有选项D 的图象正确.(海淀·文科·题6)6.一个体积为则这个三棱柱的左视图的面积为( )第 5 题A. B .8 C. D .12 【解析】 A ;设该三棱柱底面边长为a ,高为h,则左视图面积为.由三视图可得:2h ==,解得43a h =⎧⎨=⎩.于是=为所求.(海淀·文科·题7) 7.给出下列四个命题:①若集合A 、B 满足A B A =,则A B ⊆;②给定命题,p q ,若“p q ∨”为真,则“p q ∧”为真; ③设,,a b m ∈R ,若a b <,则22am bm <;④若直线1:10l ax y ++=与直线2:10l x y -+=垂直,则1a =. 其中正确命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4 【解析】 B ;命题①和④正确.(海淀·文科·题8)81by +=与圆221x y +=相交于A ,B 两点(其中,a b 是实数),且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点),则点(),P a b 与点()0,1之间距离的最大值为( ) A1 B .2 CD1 【解析】 A ;圆221x y +=的圆心到直线1by +=的距离为=,∴2222a b +=,即2212b a +=.因此所求距离为椭圆2212b a +=上点(),P a b 到焦点()0,1的距离,其最大值为1.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. (海淀·文科·题9)9.若0x >,则4y x x=+的最小值是___________.【解析】 4;44244x x x x +⋅==≥2,当且仅当4x x=,即2x =时取等号.(海淀·文科·题10)10.已知动点P 到定点()2,0的距离和它到定直线:2l x =-的距离相等,则点P 的轨迹方程为_________. 【解析】 28y x =;由已知,该轨迹为2p =,定点为()0,0,对称轴为x 轴的抛物线,即28y x =.(海淀·文科·题11)11.已知不等式组y x y x x a ⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≤,表示的平面区域的面积为4,点(),P x y 在所给平面区域内,则2z x y =+的最大值为______. 【解析】 6;z = 2x + yyOxx = ay = - xy = x可行域面积为2a ,∴2a =因此当2,2x y ==时,2x y +取最大值,为6.(海淀·文科·题12)12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况,抽查了100名同学,统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图(如图).则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为 .【解析】30;由10.040.120.140.052x ++++=,解得0.15x =.于是在这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为0.15100230⨯⨯=.(海淀·文科·题13)13.已知程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是_______________.【解析】 12;∵()202mod 3i ==,∴对应的12a =.(海淀·文科·题14)14.在平面直角坐标系中,点集(){}22,|1A x y xy =+≤,(){},|11,11B x y x y =--≤≤≤≤,则(1)点集(){}1111(,)3,1,,P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____; (2)点集{}12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 . 【解析】 π,12π+;(1) 如左图所示,点集P 是以()3,1为圆心1为半径的圆,其表示区域的面积为π;(2) 如右图所示,点集Q 是由四段圆弧以及连结它们的四条切线段围成的区域,其面积为12π+.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (海淀·文科·题15) 15. (本小题满分13分)已知函数()()sin f x A x ωϕ=+,x ∈R (其中0A >,0ω>,ππ22ϕ-<<),其部分图象如图所示.(I )求()f x 的解析式;(II )求函数ππ()44g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应的x 值.【解析】 (I )由图可知,1A =,π42T =,所以2πT =∴1ω=又ππsin 144f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且ππ22ϕ-<<,所以π4ϕ=所以π()sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(II )由(I )π()sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以ππ()44g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππππsin sin 4444x x ⎛⎫⎛⎫++⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin 2x x π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭cos sin x x =⋅1sin 22x =因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以2[0,π]x ∈,sin 2[0,1]x ∈.故11sin 20,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,当π4x =时,()g x 取得最大值12.(海淀·文科·题16) 16.(本小题满分13分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次,其中O 为圆心,且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等. 假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时,返相应金额的优惠券.(例如:某顾客消费了218元,第一次转动获得了20元,第二次获得了10元,则其共获得了30元优惠券.)顾客甲和乙都到商场进行了消费,并按照规则参与了活动.(I )若顾客甲消费了128元,求他获得优惠券面额大于0元的概率?(II )若顾客乙消费了280元,求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率?【解析】(I)设“甲获得优惠券”为事件A因为假定指针停在任一位置都是等可能的,而题中所给的三部分的面积相等,所以指针停在20元,10元,0元区域内的概率都是13.顾客甲获得优惠券,是指指针停在20元或10元区域,根据互斥事件的概率,有112 ()333P A=+=,所以,顾客甲获得优惠券面额大于0元的概率是23.(II)设“乙获得优惠券金额不低于20元”为事件B因为顾客乙转动了转盘两次,设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为x元,第二次获得优惠券金额为y元,则基本事件空间Ω可以表示为:{} (20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20),(0,10),(0,0),即Ω中含有9个基本事件,每个基本事件发生的概率为19.而乙获得优惠券金额不低于20元,是指20x y+≥,所以事件B中包含的基本事件有6个,所以乙获得优惠券额不低于20元的概率为62 ()93 P B==答:甲获得优惠券面额大于0元的概率为23,乙获得优惠券金额不低于20元的概率为23.(海淀·文科·题17)17.(本小题满分14分)如图:在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD是菱形,60ABC∠=︒,PA⊥平面ABCD,点M、N分别为BC、PA的中点,且2PA AB==.(I)证明:BC⊥平面AMN;(II)求三棱锥N AMC-的体积;(III)在线段PD上是否存在一点E,使得NM∥平面ACE;若存在,求出PE的长;若不存在,说明理由.【解析】(Ⅰ)因为ABCD为菱形,所以AB BC=又60ABC∠=︒,所以AB BC AC==,又M为BC中点,所以BC AM⊥而PA⊥平面A B C D,BC⊂平面A B C D,所以PA BC⊥又PA AM A=,所以BC⊥平面AMN(II)因为11122AMCS AM CM∆=⋅==又PA⊥底面ABCD,2PA=,所以1AN=所以,三棱锥N AMC-的体积13V=AMCS AN∆⋅113==(III)存在取PD中点E,连结NE,EC,AE,NMAC BP因为N ,E 分别为PA 、PD 中点,所以NE AD ∥且12NE AD = 又在菱形ABCD 中,CM AD ∥,12CM AD =所以NE MC ∥,NE MC =,即MCEN 是平行四边形 所以//NM EC ,又EC ⊂平面ACE ,NM ⊄平面ACE所以MN //平面ACE ,即在PD 上存在一点E ,使得NM ∥平面ACE ,此时12PE PD ==.(海淀·文科·题18) 18.(本小题满分14分)已知函数2()1f x x =-与函数()ln (0)g x a x a =≠.(I )若()f x ,()g x 的图象在点()1,0处有公共的切线,求实数a 的值; (II )设()()2()F x f x g x =-,求函数()F x 的极值. 【解析】 (I )因为(1)0f =,(1)0g =,所以点()1,0同时在函数()f x ,()g x 的图象上 因为2()1f x x =-,()ln g x a x =,()2f x x '=,()ag x x'=由已知,得(1)(1)f g ''=,所以21a=,即2a =(II )因为2()()2()12ln F x f x g x x a x =-=--(0)x >所以222()()2a x a F x x x x-'=-=当0a <时,因为0x >,且20,x a ->所以()0F x '>对0x >恒成立, 所以()F x 在()0,+∞上单调递增,()F x 无极值当0a >时,令()0F x '=,解得1x =2x = 所以当0x >时,()F x ',()F x 的变化情况如下表:2121ln F a a a a =--=--.综上,当0a <时,函数()F x 在()0,+∞上无极值;当0a >时,函数()F x 在x =1ln a a a --.(海淀·文科·题19) 19.(本小题满分13分)已知椭圆C 的对称中心为原点O ,焦点在x 轴上,离心率为12,且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭0在该椭圆上. (I )求椭圆C 的方程;(II )过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,若AOB ∆,求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程.【解析】 (I )设椭圆C 的方程为22221x y a b+=(0)a b >>,由题意可得12c e a ==,又222a b c =+,所以2234b a =因为椭圆C 经过31,2⎛⎫⎪⎝⎭,代入椭圆方程有22914134a a +=,解得2a =所以1c =,2413b =-=故椭圆C 的方程为22143x y +=.(Ⅱ)解法一:当直线l x ⊥轴时,计算得到:31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,1113||||13222AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=,不符合题意.当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为:(1)y k x =+,0k ≠由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,得2222(34)84120k x k x k +++-=显然0∆>成立,设()11,A x y ,()22,B x y ,则2122834k x x k +=-+,212241234k x x k -⋅=+又||AB==即2212(1)||34k AB k +==+又圆O的半径r ==所以1||2AOB S AB r ∆=⋅⋅22112(1)234k k +=⋅+= 化简,得4217180k k +-=,即22(1)(1718)0k k -+=,解得211k =,2218k =-(舍) 所以r ==O 的方程为2212x y +=. (Ⅱ)解法二:设直线l 的方程为1x ty =-, 由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x ,得22(43)690t y ty +--=因为0∆>恒成立,设()11,A x y ,()22,B x y , 则12122269,4343t y y y y t t+=⋅=-++所以12||y y -==所以1121||||2AOB S F O y y ∆=⋅⋅-==化简得到4218170t t --=,即22(1817)(1)0t t +-=,解得211,t =221718t =-(舍) 又圆O的半径为r ==所以r =O 的方程为:2212x y +=(海淀·文科·题20) 20.(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足:10a =,21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数,2,3,4,n =.(Ⅰ)求345,,a a a 的值; (Ⅱ)设121n n b a -=+,1,2,3,n =,求证:数列{}n b 是等比数列,并求出其通项公式;(III )对任意的2m ≥,*m ∈N ,在数列{}n a 中是否存在连续的2m 项构成等差数列?若存在,写出这2m 项,并证明这2m 项构成等差数列;若不存在,说明理由.【解析】 (Ⅰ)因为11a =,所以21123a a =+=,3115222a a =+=,42127a a =+=,52113222a a =+=(Ⅱ)由题意,对于任意的正整数n ,121n n b a -=+,所以121n n b a +=+又122221(21)12(1)2n n n n a a a b -+=++=+= 所以12n n b b +=.又11112112b a a -=+=+=所以{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列,所以2n n b =(III )存在.事实上,对任意的2m ≥,*k ∈N ,在数列{}n a 中,22122221,,,,m m m m m a a a a +++-这连续的2m 项就构成一个等差数列我们先来证明:“对任意的2n ≥,*n ∈N ,()10,2n k -∈,*k ∈N ,有12212n n k k a -+=--” 由(II )得1212n n n b a -=+=,所以1221n n a -=-. 当k 为奇数时,1121221222112222n n n k k k a a a ----++-+=+=+当k 为偶数时,112222221212n n n k k k a a a ---+++=+=+记111,221,212kk p k k k p ⎧=⎪⎪=⎨-⎪=+⎪⎩,其中1p *∈N .因此要证12212n n k ka -+=--,只需证明21112212n n k k a --+=--,其中()210,2n k -∈,*1k ∈N(这是因为若21112212n n k k a --+=--,则当112k k -=时,则k 一定是奇数, 有1121221222112222n n n k k k a a a ----++-+=+=+=11111122212212122222n n n k k k ---⎛⎫ ⎪⎛⎫+--=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭; 当12kk =时,则k 一定是偶数,有112222221212n n n k k k a a a ---+++=+=+=11121221122121222n n n k k k --⎛⎫ ⎪⎛⎫+--=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭)如此递推,要证21112212n n k k a --+=--, 只要证明32222212n n k ka --+=--,其中1122112,221,212k k p k k k p ⎧=⎪⎪=⎨-⎪=+⎪⎩,其中2p *∈N .,()320,2n k -∈,*2k ∈N如此递推下去,我们只需证明12222212n n k ka --+=--,()120,2n k -∈,*2n k -∈N即1221115213222a +=--=-=,即352a =,由(I )可得,所以对2n ≥,*n ∈N ,()10,2n k -∈,*k ∈N ,有12212n n k ka -+=--,对任意的2m ≥,*m ∈N ,12212m m i i a ++=--,1211212m m i i a ++++=--,其中()0,21m i ∈-,*i ∈N , 所以21212m m i i a a +++-=-又1221m m a +=-,1211212m m a ++=--,所以21212m m a a +-=-所以22122221,,,...,m m m m m a a a a +++-这连续的2m项,是首项为1221m m a +=-,公差为12-的等差数列.说明:当21m m >(其中12m ≥,*1m ∈N ,*2m ∈N )时, 因为2222222122221,,,...,m m m m m a a a a +++-构成一个项数为22m 的等差数列,所以从这个数列中任取连续的12m 项,也是一个项数为12m ,公差为12-的等差数列.。

2018年全国高考文科数学试题及答案(全国1卷)

2018年全国高考文科数学试题及答案(全国1卷)

文科数学试题 第1页(共12页) 2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{0,2}A =,{2,1,0,1,2}B =--,则A B =IA .{0,2}B .{1,2}C .{0}D .{2,1,0,1,2}-- 2.设1i 2i 1iz -=++,则||z = A .0 B .12 C .1 D3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.已知椭圆22214x y C a +=:的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为 A .13 B .12 C.2 D.35.已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为A. B .12πC. D .10π 6.设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x =。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学(二)本试卷满分150分,考试时间120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题纸上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$,$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$,若 $A\cap B=A$,则实数 $a$ 的取值范围是A。

$(-4,-3)$B。

$[-4,-3]$C。

$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。

$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$,则 $z$ 的实部与虚部的和为A。

$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。

$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。

$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议,从景区出口处随机选取 $5$ 人,其中 $3$ 人为跟团游客,$2$ 人为自驾游散客,并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷,则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。

$\frac{2}{3}$B。

$\frac{1}{5}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$,斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$,与双曲线的渐近线分别交于 $M$,$N$ 两点,点 $M$ 在线段$AN$ 上,则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。

2018年北京市海淀区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2018年北京市海淀区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2018年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A={0,a},B={x|﹣1<x<2},且A⊆B,则a可以是()A.﹣1B.0C.l D.22.(5分)已知向量=(l,2),=(﹣1,0),则+2=()A.(﹣1,2)B.(﹣1,4)C.(1,2)D.(1,4)3.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.2B.6C.8D.104.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M,P(x,y)为M中任意一点,则y﹣x的最大值为()A.1B.2C.﹣1D.﹣25.(5分)已知a,b为正实数,则“a>1,b>1”是“lga+lgb>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(5分)如图所示,一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动,用垂直于竖直墙面的水平光线照射,该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S,则S的值不可能是()A.1B.C.D.7.(5分)下列函数f(x)中,其图象上任意一点P(x,y)的坐标都满足条件y≤|x|的函数是()A.f(x)=x3B.C.f(x)=e x﹣1D.f(x)=ln(x+1)8.(5分)已知点M在圆C1:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1上,点N在圆C2:(x+1)2+(y+1)2=1上,则下列说法错误的是()A.的取值范围为B.取值范围为C.的取值范围为D.若,则实数λ的取值范围为二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)复数=.10.(5分)已知点(2,0)是双曲线C:的一个顶点,则C的离心率为.11.(5分)直线(t 为参数)与曲线(θ为参数)的公共点个数为.12.(5分)在△ABC中,若c=2,,,则sin C=,cos2C=.13.(5分)一次数学会议中,有五位教师来自A,B,C三所学校,其中A学校有2位,B学校有2位,C学校有1位.现在五位教师排成一排照相,若要求来自同一所学校的教师不相邻,则共有种不同的站队方法.14.(5分)设函数.①若f(x)有两个零点,则实数a的取值范围是;②若a≤﹣2,则满足f(x)+f(x﹣1)>﹣3的x的取值范围是.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)已知.(I )求的值;(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.16.(13分)流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气月平均相对湿度过大或过小时,都有利J=﹣些病毒繁殖和传播,科学测定,当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时,有利于病毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度(I)从上表12个月中,随机取出1个月,求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率;(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月,记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X,求X的分布列;(Ⅲ)若a+b=108,设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M,求M的最大值和最小值.(只需写出结论)17.(14分)已知三棱锥P﹣ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形ABCD为边长为的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥P﹣ABC中:(I)证明:平面P AC⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值;(Ⅲ)若点M在棱PC上,满足,,点N在棱BP上,且BM⊥AN,求的取值范围.18.(13分)已知函数f(x)=.(I)当a=0时,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)当a>0时,若函数f(x)的最大值为,求a的值.19.(14分)已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,且点T(2,1)在椭圆C上,设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,直线TP,TQ分别与x轴正半轴交于M,N两点.(I)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)判断|OM|+|ON|的值是否为定值,并证明你的结论.20.(13分)设A=(a i,j)n×n=是由1,2,3,…,n2组成的n行n列的数表(每个数恰好出现一次),n≥2且n∈N*.既是第i行中的最大值,也是第j列中的最若存在1≤i≤n,1≤j≤n,使得a i,j小值,则称数表A为一个“N﹣数表”a i为数表A的一个“N﹣值”,,j对任意给定的n,所有“N﹣数表”构成的集合记作Ωn.(1)判断下列数表是否是“N﹣(2)数表”.若是,写出它的一个“N﹣(3)值”;,;(Ⅱ)求证:若数表A是“N﹣数表”,则A的“N﹣值”是唯一的;(Ⅲ)在Ω19中随机选取一个数表A,记A的“N﹣值”为X,求X的数学期望E(X).2018年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A={0,a},B={x|﹣1<x<2},且A⊆B,则a可以是()A.﹣1B.0C.l D.2【解答】解:∵集合A={0,a},B={x|﹣1<x<2},且A⊆B,∴﹣1<a<2,∴a可以是1.故选:C.2.(5分)已知向量=(l,2),=(﹣1,0),则+2=()A.(﹣1,2)B.(﹣1,4)C.(1,2)D.(1,4)【解答】解:根据题意,向量=(l,2),=(﹣1,0),则2=(﹣2,0)则+2=(﹣1,2);故选:A.3.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.2B.6C.8D.10【解答】解:当k=0时,满足继续循环的条件,则S=0,k=1;当k=1时,满足继续循环的条件,则S=2,k=2;当k=2时,满足继续循环的条件,则S=10,k=3;当k=3时,不满足继续循环的条件,故输出的S=10,故选:D.4.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M,P(x,y)为M中任意一点,则y﹣x的最大值为()A.1B.2C.﹣1D.﹣2【解答】解:根据题意知,A(﹣2,﹣1),B(2,﹣1),C(4,2),D(0,2);设z=y﹣x;平移目标函数z=y﹣x,当目标函数过点D时,y﹣x取得最大值为2﹣0=2.故选:B.5.(5分)已知a,b为正实数,则“a>1,b>1”是“lga+lgb>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:由lga+lgb>0得lgab>0,即ab>1,当a>1,b>1时,ab>1成立,当a=4,b=,满足ab>1,但b>1不成立,则“a>1,b>1”是“lga+lgb>0”的充分不必要条件,故选:A.6.(5分)如图所示,一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动,用垂直于竖直墙面的水平光线照射,该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S,则S的值不可能是()A.1B.C.D.【解答】解:由题意知,棱长为1的正方体在竖直墙面上的投影面积S的最小值为正方形,且边长为1,其面积为1;最大值为矩形,且相邻的两边长为1和,其面积为1×=;∴S的取值范围是[1,];又<,∴不可能的是选项D.故选:D.7.(5分)下列函数f(x)中,其图象上任意一点P(x,y)的坐标都满足条件y≤|x|的函数是()A.f(x)=x3B.C.f(x)=e x﹣1D.f(x)=ln(x+1)【解答】解:函数f(x)图象上任意一点P(x,y)的坐标都满足条件y≤|x|的函数的图象位于下图中的①、②或④的区域,在A中,f(x)=x3的图象位于③,④的部分区域,故A错误;在B中,f(x)=的图象位于②③的部分区域,故B错误;在C中,f(x)=e x﹣1的图象位于①②③④的部分区域,故C错误;在D中,f(x)=ln(x+1)的图象位于②的区域,故D正确.故选:D.8.(5分)已知点M在圆C1:(x﹣1)2+(y﹣1)2=1上,点N在圆C2:(x+1)2+(y+1)2=1上,则下列说法错误的是()A.的取值范围为B.取值范围为C.的取值范围为D.若,则实数λ的取值范围为【解答】解:∵M在圆C1上,点N在圆C2上,∴∠MON≥90°,∴≤0,又OM≤+1,ON≤+1,∴当OM=+1,ON=+1时,取得最小值(+1)2cosπ=﹣3﹣2,故A正确;设M(1+cosα,1+sinα),N(﹣1+cosβ,﹣1+sinβ),则=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),∴||2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos(α﹣β)+2,∴0≤||≤2,故B错误;∵两圆外离,半径均为1,|C1C2|=2,∴2﹣2≤|MN|≤2+2,即2﹣2≤||≤2+2,故C正确;∵﹣1≤|OM|≤+1,≤|ON|≤+1,∴当时,≤﹣λ≤,解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2,故D正确.故选:B.二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)复数=1+i.【解答】解:==i+1.故答案为:1+i.10.(5分)已知点(2,0)是双曲线C:的一个顶点,则C的离心率为.【解答】解:根据题意,点(2,0)是双曲线C:的一个顶点,则a=2,双曲线的方程为,则b=1,则c==,则双曲线的离心率e==;故答案为:.11.(5分)直线(t为参数)与曲线(θ为参数)的公共点个数为2.【解答】解:直线(t为参数)消去参数t,得x﹣2y=0,曲线(θ为参数)消去参数,得(x﹣2)2+y2=1,联立,得或.∴直线(t为参数)与曲线(θ为参数)的公共点个数为2.故答案为:2.12.(5分)在△ABC中,若c=2,,,则sin C=,cos2C=.【解答】解:△ABC中,若c=2,,,利用正弦定理:,则:,所以:cos2C=1﹣2sin2C=1﹣=.故答案为:.13.(5分)一次数学会议中,有五位教师来自A,B,C三所学校,其中A学校有2位,B学校有2位,C学校有1位.现在五位教师排成一排照相,若要求来自同一所学校的教师不相邻,则共有48种不同的站队方法.【解答】解:有五位教师来自A,B,C三所学校,其中A学校有2位,B学校有2位,C学校有1位.现在五位教师排成一排照相,要求来自同一所学校的教师不相邻,先安排A学校和C学校的三位老师,有中排法,再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中,并对B学校的两位老师进行排序,有=24种排法,由乘法原理得不同的排列方法有:=48种,故答案为:48.14.(5分)设函数.①若f(x)有两个零点,则实数a的取值范围是(﹣,];②若a≤﹣2,则满足f(x)+f(x﹣1)>﹣3的x的取值范围是(﹣1,+∞).【解答】解:①若a=0,则f(x)=,由f(x)=0,可得x=0,x=﹣,符合题意;若a<0,x=0符合题意;若x=﹣符合题意,则a>﹣,即为﹣<a<0;若a>0,则x=0和x=﹣符合题意,可得a≤,综上可得,a的范围是(﹣,];②若x<a≤﹣2,则x﹣1<a﹣1≤﹣3,f(x)的导数为3x2﹣3>0,可得f(x)<f(﹣2)=﹣2,f(x﹣1)<﹣27+9=﹣18,即有f(x)+f(x﹣1)<﹣30,不符题意;则x≥a,若x﹣1≥a,f(x)+f(x﹣1)>﹣3,即为x+x﹣1>﹣3,解得x>﹣1;若a﹣1≤x﹣1<a,f(x)+f(x﹣1)>﹣3,即为x+(x﹣1)3﹣3(x﹣1)>﹣3,化为x3﹣3x2+x+5>0,由于a≤﹣2,且a≤x<a+1,可得g(x)=x3﹣3x2+x+5的导数g′(x)=3x2﹣6x+1>0,即g(x)在[a,a+1)递增,g(a)取得最小值,且为a3﹣3a2+a+5,且a3﹣3a2+a+5,而在a≤﹣2时,a3﹣3a2+a+5递增,且为负值,不符题意.综上可得a的范围是(﹣1,+∞).故答案为:(﹣,],(﹣1,+∞).三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)已知.(I )求的值;(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.【解答】解:(Ⅰ)直接将x =带入,可得:==2.(Ⅱ)由=因为函数y=sin x 的单调递增区间为(k∈Z),令(k∈Z),解得(k∈Z),故f(x )的单调递增区间为(k∈Z).16.(13分)流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气月平均相对湿度过大或过小时,都有利J=﹣些病毒繁殖和传播,科学测定,当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时,有利于病毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度(I )从上表12个月中,随机取出1个月,求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖 和传播的概率;(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月,记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X ,求X 的分布列; (Ⅲ)若a +b =108,设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M ,求M 的最大值和最小值.(只需写出结论) 【解答】(本题满分13分)解:(Ⅰ)设事件A :从上表12个月中,随机取出1个月, 该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用A i 表示事件抽取的月份为第i 月,则Ω={A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A 7,A 8,A 9,A 10,A 11,A 12}共12个基本事件, A ={A 2,A 6,A 8,A 9,A 10,A 11}共6个基本事件,所以,该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率.(4分)(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中,甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月,故X 所有可能的取值为0,1,2.,,随机变量X的分布列为:(Ⅲ)a+b=108,设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M,则M的最大值为58%,最小值为54%.(13分)17.(14分)已知三棱锥P﹣ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形ABCD为边长为的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥P﹣ABC中:(I)证明:平面P AC⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值;(Ⅲ)若点M在棱PC上,满足,,点N在棱BP上,且BM⊥AN,求的取值范围.【解答】(本题满分14分)证明:(Ⅰ)证法一:设AC的中点为O,连接BO,PO.由题意,PO=1,AO=BO=CO=1因为在△P AC中,P A=PC,O为AC的中点所以PO⊥AC,因为在△POB中,PO=1,OB=1,所以PO⊥OB因为AC∩OB=O,AC,OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC(4分)所以平面P AC⊥平面ABC证法二:设AC的中点为O,连接BO,PO.因为在△P AC中,P A=PC,O为AC的中点,所以PO⊥AC,因为P A=PB=PC,PO=PO=PO,AO=BO=CO所以△POA≌△POB≌△POC所以∠POA=∠POB=∠POC=90°所以PO⊥OB因为AC∩OB=O,AC,OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC(4分)所以平面P AC⊥平面ABC证法三:设AC的中点为O,连接PO,因为在△P AC中,P A=PC,所以PO⊥AC设AB的中点Q,连接PQ,OQ及OB.因为在△OAB中,OA=OB,Q为AB的中点所以OQ⊥AB.因为在△P AB中,P A=PB,Q为AB的中点所以PQ⊥AB.因为PQ∩OQ=Q,PQ,OQ⊂平面OPQ所以AB⊥平面OPQ因为OP⊂平面OPQ所以OP⊥AB因为AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面P AC(4分)所以平面P AC⊥平面ABC解:(Ⅱ)由PO⊥平面ABC,OB⊥AC,如图建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(﹣1,0,0),P(0,0,1)由OB⊥平面APC,故平面APC的法向量为由,设平面PBC的法向量为,则由得:令x=1,得y=1,z=1,即由二面角A﹣PC﹣B是锐二面角,所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为(9分)(Ⅲ)设,0≤μ≤1,,,令得(1﹣λ)•1+(﹣1)•(1﹣μ)+λ•μ=0即,μ是关于λ的单调递增函数,当时,,所以.(14分)18.(13分)已知函数f(x)=.(I)当a=0时,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)当a>0时,若函数f(x)的最大值为,求a的值.【解答】解:(Ⅰ)当a=0时,,故,令f'(x)>0,得0<x<e;故f(x)的单调递增区间为(0,e)(4分)(Ⅱ)方法1:令则由,故存在,g(x0)=0故当x∈(0,x0)时,g(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,g(x)<0故故,解得(13分)故a的值为e2.(Ⅱ)方法2:f(x)的最大值为的充要条件为:对任意的x∈(0,+∞),且存在x0∈(0,+∞),使得,等价于对任意的x∈(0,+∞),a≥e2lnx﹣x且存在x0∈(0,+∞),使得a≥e2lnx0﹣x0,等价于g(x)=e2lnx﹣x的最大值为a.∵,令g'(x)=0,得x=e2.x,g′(x),g(x)的变化如下:故g(x)的最大值为g(e2)=e2lne2﹣e2=e2,即a=e2.(13分)19.(14分)已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,且点T(2,1)在椭圆C上,设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,直线TP,TQ分别与x轴正半轴交于M,N两点.(I)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)判断|OM|+|ON|的值是否为定值,并证明你的结论.【解答】解:(Ⅰ)由题意,解得:,,故椭圆C的标准方程为;(Ⅱ)根据题意,假设直线TP或TQ的斜率不存在,则P点或Q点的坐标为(2,﹣1),直线l的方程为,即.联立方程,得x2﹣4x+4=0,此时,直线l与椭圆C相切,不合题意.故直线TP和TQ的斜率存在.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线,直线故,由直线,设直线(t≠0)联立方程,当△>0时,x1+x2=﹣2t,,|OM|+|ON|=====4.20.(13分)设A=(a i,j)n×n=是由1,2,3,…,n2组成的n行n列的数表(每个数恰好出现一次),n≥2且n∈N*.若存在1≤i≤n,1≤j≤n,使得a i,j既是第i行中的最大值,也是第j列中的最小值,则称数表A为一个“N﹣数表”a i,j为数表A的一个“N﹣值”,对任意给定的n,所有“N﹣数表”构成的集合记作Ωn.(1)判断下列数表是否是“N﹣(2)数表”.若是,写出它的一个“N﹣(3)值”;,;(Ⅱ)求证:若数表A是“N﹣数表”,则A的“N﹣值”是唯一的;(Ⅲ)在Ω19中随机选取一个数表A,记A的“N﹣值”为X,求X的数学期望E(X).【解答】(本题满分13分)解:(Ⅰ)A是“N﹣数表”,其“N﹣值”为3,B不是“N﹣数表”.(3分)证明:(Ⅱ)假设a i,j 和a i',j'均是数表A的“N﹣值”,①若i=i',则a i,j=max{a i,1,a i,2,…,a i,n}=max{a i',1,a i',2,…,a i',n}=a i',j';②若j=j',则a i,j=min{a1,j,a2,j,…,a n,j}=min{a1,j',a2,j',…,a n,j'}=a i',j';③若i≠i',j≠j',则一方面a i,j=max{a i,1,a i,2,…,a i,n}>a i,j'>min{a1,j',a2,j',…,a n,j'}=a i',j',另一方面a i',j'=max{a i',1,a i',2,…,a i',n}>a i',j>min{a1,j,a2,j,…,a n,j}=a i,j;矛盾.即若数表A是“N﹣数表”,则其“N﹣值”是唯一的.(8分)解:(Ⅲ)解法1:对任意的由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表A=(a i,j )19×19.定义数表B=(b j,i )19×19如下,将数表A的第i行,第j列的元素写在数表B的第j行,第i列,即b j,i =a i,j(其中1≤i≤19,1≤j≤19)由题意,得:①数表B是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表②数表B的第j行的元素,即为数表A的第j列的元素③数表B的第i列的元素,即为数表A的第i行的元素④若数表A中,a i,j是第i行中的最大值,也是第j列中的最小值则数表B中,b j,i是第i列中的最大值,也是第j行中的最小值.定义数表C=(c j,i )19×19如下,其与数表B对应位置的元素的和为362,即c j,i =362﹣b j,i(其中1≤i≤19,1≤j≤19)由题意得:①数表C是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表②若数表B中,b j,i是第i列中的最大值,也是第j列中的最小值则数表C中,c j,i是第i列中的最小值,也是第j列中的最大值特别地,对由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表A=(a i,j )19×19①数表C是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表②若数表A中,a i,j是第i行中的最大值,也是第j列中的最小值则数表C中,c j,i是第i列中的最小值,也是第j列中的最大值即对任意的A∈Ω19,其“N﹣值”为a i,j(其中1≤i≤19,1≤j≤19),则C∈Ω19,且其“N﹣值”为c j,i =362﹣b j,i=362﹣a i,j.记C=T(A),则T(C)=A,即数表A与数表C=T(A)的“N﹣值”之和为362,故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对,使得每对数表的“N﹣值”之和为362,故X的数学期望E(X)=181.(13分)解法2:X所有可能的取值为19,20,21,…,341,342,343.记Ω19中使得X=k的数表A的个数记作n k,k=19,20,21,…,341,342,343,则.则,则,故,E(X)=181.(13分)。

2018年北京市海淀区高三4月一模文科数学试题及答案 精

2018年北京市海淀区高三4月一模文科数学试题及答案 精

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 (文科) 2018.4 本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N | N | ,则AB =A. {1,2}B. {3,4,5}C.{4,5,6}D.{3,4,5,6} 2.等差数列{}n a 中, 2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为A. 14B. 183. 某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的x 值为5为A. 12B. 1C. 2D.1-4. 已知0a >,下列函数中,在区间(0,)a 上一定是减函数的是 A. ()f x ax b =+ B. 2()21f x x ax =-+ C. ()x f x a = D. ()log a f x x =5. 不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域,则k 的值为A. 0B. 1C. 2D.3 6. 命题:p ∃,α∈R sin(π)cos αα-=;命题:q 0,m ∀>双曲线22221x y m m-=则下面结论正确的是A. p 是假命题B.q ⌝是真命题C. p ∧q 是假命题D. p ∨q 是真命题 7.已知曲线()ln f x x =在点00(,())x f x 处的切线经过点(0,1)-,则0x 的值为 A. 1eB. 1C. eD.108. 抛物线24y x =的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,当FPM ∆为等边三角形时,其面积为A. B. 4 C. 6D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在复平面上,若复数1+i b (b ∈R )对应的点恰好在实轴上,则b =_______. 10.若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ,则⋅a b 的值为______. 11.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为______.12.在ABC ∆中,若4,2,a b ==1cos 4A =,则______.c =13.已知函数22, 0,(), 0x a x f x x ax a x ⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是_____. 14.已知函数()y f x =,任取t ∈R ,定义集合:侧视图{|t A y =()y f x =,点(,())P t f t ,(,())Q x f x 满足||PQ ≤. 设,t t M m 分别表示集合t A中元素的最大值和最小值,记()t t h t M m =-.则 (1) 若函数()f x x =,则(1)h =______; (2)若函数π()sin 2f x x =,则()h t 的最小正周期为______.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. (本小题满分13分)已知函数2()2cos )f x x x =--.(Ⅰ)求π()3f 的值和()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数在区间ππ[,]63-上的最大值和最小值.16. (本小题满分13分)在某大学自主招生考试中,所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人.(I )求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数; (II )若等级A ,B ,C ,D ,E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;(Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为A 的概率.17. (本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,ABC ∆是正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,又30CAD ∠=,4PA AB ==,点N 在线段PB 上,且13PN NB =.(Ⅰ)求证:BD PC ⊥; (Ⅱ)求证://MN 平面PDC ;(Ⅲ)设平面PAB 平面PCD =l ,试问直线l 是否与直线CD 平行,请说明理由.18. (本小题满分13分)函数31()3f x x kx =-,其中实数k 为常数.(I) 当4k =时,求函数的单调区间; (II) 若曲线()y f x =与直线y k =只有一个交点,求实数k的取值范围.19. (本小题满分14分)已知圆M :227(3x y +=,若椭圆C:22221x y a b+=(0a b >>)的右顶点为圆M (I )求椭圆C 的方程;(II )已知直线l :y kx =,若直线l 与椭圆C 分别交于A ,B 两点,与圆M 分别交于G ,H 两点(其中点G 在线段AB 上),且AG BH =,求k 的值.20. (本小题满分13分)设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点,其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-,B A y y y ∆=-,若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠,则称点B 为点A 的“相关点”,记作:()B A τ=.(Ⅰ)请问:点(0,0)的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆的方程;若不在,说明理由;(Ⅱ)已知点(9,3),(5,3)H L ,若点M 满足(),()M H L M ττ==,求点M 的坐标; (Ⅲ)已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈∈Z Z 为一个定点,点列{}i P 满足:1(),i i P P τ-=其中1,2,3,...,i n =,求0nP P 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 (文)参考答案及评分标准2018.4说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分)三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.(本小题满分13分) 解:(I)2π1()2)1322f =--=………………2分 因为2()2cos )f x x x =--222(3sin cos cos )x x x x =-+- 22(12sin )x x =-+………………4分212sin x x =-cos2x x =………………6分π= 2sin(2)6x +………………8分所以 ()f x 的周期为2π2ππ||2T ω===………………9分 9. 0 10. 21-11.16 12.4 13. 4a >14.2,2(II )当ππ[,]63x ∈-时, π2π2[,]33x ∈-,ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当6x π=-时,函数取得最小值()16f π-=-………………11分当6x π=时,函数取得最大值()26f π=………………13分16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人, 所以该考场有100.2540÷=人………………2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………4分(II )求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………8分(Ⅲ)因为两科考试中,共有6人得分等级为A ,又恰有两人的两科成绩等级均为A ,所以还有2人只有一个科目得分为A ………………9分设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是A 的同学,则在至少一科成绩等级为A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为{Ω={甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有6个基本事件 ………………11分设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ,所以事件B 中包含的基本事件有1个,则1()6P B =. ………………13分 17.解:(I )证明:(I) 因为ABC ∆是正三角形,M 是AC 中点, 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面,BD ⊂平面ABCD ,PA BD ⊥………………2分 又PA AC A =,所以BD ⊥平面PAC ………………4分 又PC ⊂平面PAC ,所以BD PC ⊥………………5分(Ⅱ)在正三角形ABC 中,BM =………………6分 在ACD ∆,因为M 为AC 中点,DM AC ⊥,所以AD CD =30CAD ∠=,所以,DM =:3:1BM MD =………………8分 所以::BN NP BM MD =,所以//MN PD ………………9分又MN ⊄平面PDC ,PD ⊂平面PDC ,所 以//MN 平面PDC ………………11分(Ⅲ)假设直线//l CD ,因为l ⊂平面PAB ,CD ⊄平面PAB , 所以//CD 平面PAB ..................12分 又CD ⊂平面ABCD ,平面PAB 平面ABCD AB =,所以//CD AB (13)分这与CD 与AB 不平行,矛盾所以直线l 与直线CD 不平行………………14分18.解:(I )因为2'()f x x k =-………………2分当4k =时,2'()4f x x =-,令2'()40f x x =-=,所以122,2x x ==-'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表:………………4分所以()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-,(2,)+∞ 单调递减区间是(2,2)-………………6分(II )令()()g x f x k =-,所以()g x 只有一个零点………………7分 因为2'()'()g x f x x k ==- 当k =时,3()g x x =,所以()g x 只有一个零点0 ………………8分 当0k <时,2'()0g x x k =->对R x ∈成立,所以()g x 单调递增,所以()g x 只有一个零点………………9分当0k >时,令2'()'()0g x f x x k ==-=,解得1x =2x =……………10分 所以'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表:()g x 有且仅有一个零点等价于(0g <………………11分即2(03g k =<,解得904k <<………………12分 综上所述,k 的取值范围是94k <………………13分 19.解:(I)设椭圆的焦距为2c ,因为a =,c a =,所以1c =………………2分 所以1b = 所以椭圆C :2212x y +=………………4分 (II )设A (1x ,1y ),B (2x ,2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ,B ,则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩所以22(12)20k x +-=, 则120x x +=,122212x x k =-+………………6分所以AB ==8分 点M()到直线l的距离d =………………10分则GH =………………11分 显然,若点H 也在线段AB 上,则由对称性可知,直线y kx =就是y 轴,矛盾, 因为AG BH =,所以AB GH =所以22228(1)724()1231k k k k +=-++ 解得21k =,即1k =±………………20.解: (I)因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数) 故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=,所以点(0,0)的“相关点”有8个………………1分又因为22()()5x y ∆+∆=,即2211(0)(0)5x y -+-= 所以这些可能值对应的点在以(0,0)3HGB A分(II)设(,)M M M x y ,因为(),()M H L M ττ== 所以有|9||3|3M M x y -+-=,|5||3|3M M x y -+-=………………5分 所以|9||5|M M x x -=-,所以7,M x =2M y =或4M y = 所以(7,2)M 或(7,4)M ………………7分 (III)当*2,N n k k =∈时,0||n P P 的最小值为0………………8分当=1n 时,可知0||n P P 9分 当=3n 时,对于点P ,按照下面的方法选择“相关点”,可得300(,+1)P x y : 000(,)P x y →100200300(+2,+1)(+1,+3)(,+1)P x y P x y P x y →→ 故0||n P P 的最小值为1………………11分 当231,,*, N n k k k =+>∈时,对于点P ,经过2k 次变换回到初始点000(,)P x y ,然后经过3次变换回到00(,+1)n P x y ,故0||n P P 的最小值为1综上,当=1n 时,0||n P P 当*2,N n k k =∈时,0||n P P 的最小值为0 当21*, N n k k =+∈时,0||n P P 的最小值为1 ………………13分。

北京市海淀区2018年高三一模数学文科试题

北京市海淀区2018年高三一模数学文科试题

2018年海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 (文科)本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.52i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -2. 已知集合{}{}1,0,1,sin π,,A B y y x x A AB =-==∈=则A.{}1-B.{}0C. {}1 D.Æ 3. 抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有 A.0个B.1个C. 2个D. 4个4. 平面向量,a b 满足||2=a ,||1=b ,且,a b 的夹角为60︒,则()⋅+a a b = A.1 B. 3 C.5D. 75. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是A B C D6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1S ,22S a +,3S 成等差数列,则数列{}n a 的公比为A .1B .2C .12D .3 7. 已知()x f x a =和()x g x b =是指数函数,则“(2)(2)f g >”是“a b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件OyxOyxOyxOyx8. 已知(1,0)A ,点B 在曲线:G ln y x =上,若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点,则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为A .0B .1C .2D .4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 科技活动后,3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),要求6人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,那么不同的站法种数是______. (用数字作答)10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案,则所用时间最少的方案是_______方案一: 方案二: 方案三:11. 在ABC ∆中,3a =,5b =,120C =,则sin ______,_______.sin Ac B== 12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型:①()x f x p q =⋅,(0,1)q q >≠;②()log (0,1)xp f x q p p =+>≠;③2()f x x px q =++.能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为_________(填写相应函数的序号),若所选函数满足(1)10,(3)2f f ==,则()f x =_____________.13.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为__________.14. 设不等式组20,20x y x ay ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω,不等式221x y +≤表示的平面区域为2Ω.(1) 若1Ω与2Ω有且只有一个公共点,则a =;俯视图主视图侧视图(2) 记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积,则函数()S a 的取值范围是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 已知222b c a bc +=+.(Ⅰ)求A 的大小;(Ⅱ)如果cos =B ,2b =,求△ABC 的面积.16.(本小题满分13分)在某批次的某种灯泡中,随机地抽取200个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品,寿命小于300天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出a ,b 的值;(Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个,如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按.三个..等级分层抽样......所得的结果相同,求n 的最小值; (Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用,若以上述频率作为概率,用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数,求X 的分布列和数学期望.17. (本小题满分14分)如图1,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,D 为AC 中点,AE BD ⊥于E (不同于点D ),延长AE 交BC 于F ,将△ABD 沿BD 折起,得到三棱锥1A BCD -,如图2所示.(Ⅰ)若M 是FC 的中点,求证:直线DM //平面1A EF ; (Ⅱ)求证:BD ⊥1A F ;(Ⅲ)若平面1A BD ⊥平面BCD ,试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直?并说明理由.18. (本小题满分13分)已知函数()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立.19. (本小题满分14分)已知1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22:24C x y +=上两点,点M 的坐标为(1,0).(Ⅰ)当,A B 关于点(1,0)M 对称时,求证:121x x ==;(Ⅱ)当直线AB 经过点(0,3) 时,求证:MAB ∆不可能为等边三角形.20. (本小题满分13分)在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)()A n :123,,,,n A A A A 与()B n :123,,,,n B B B B ,其中3n ≥,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段11i i i i A A B B ++⊥,其中1,2,3,,1i n =-,则称()A n 与()B n 互为正交点列.1图 图 2(Ⅰ)试判断(3)A :123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与(3)B :123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 是否互为正交点列,并说明理由;(Ⅱ)求证:(4)A :12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列(4)B ; (Ⅲ)是否存在无正交点列(5)B 的有序整数点列(5)A ?并证明你的结论.。

2018年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)

2018年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)

2018年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A={0, a},B={x|−1<x<2},且A⊆B,则a可以是()A.−1B.0C.1D.22. 已知向量a→=(l, 2),b→=(−1, 0),则a→+2b→=()A.(−1, 2)B.(−1, 4)C.(1, 2)D.(1, 4)3. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.2B.6C.8D.104. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M,P(x, y)为M中任意一点,则y−x的最大值为()A.1B.2C.−1D.−25. 已知a,b为正实数,则“a>1,b>1”是“lga+lgb>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 如图所示,一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动,用垂直于竖直墙面的水平光线照射,该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S,则S的值不可能是()A.1B.65C.43D.327. 下列函数f(x)中,其图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y ≤|x|的函数是( )A.f(x)=x 3B.f(x)=√xC.f(x)=e x −1D.f(x)=ln(x +1)8. 已知点M 在圆C 1:(x −1)2+(y −1)2=1上,点N 在圆C 2:(x +1)2+(y +1)2=1上,则下列说法错误的是( )A.OM →∗ON →的取值范围为[−3−2√2,0brackB.|OM →+ON →|取值范围为[0,2√2brackC.|OM →−ON →|的取值范围为[2√2−2,2√2+2brackD.若OM →=λON →,则实数λ的取值范围为[−3−2√2,−3+2√2brack二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.复数2i 1+i =________.已知点(2, 0)是双曲线C:x 2a 2−y 2=1的一个顶点,则C 的离心率为________.直线 {x =2t y =t (t 为参数)与曲线{x =2+cosθy =sinθ(θ为参数)的公共点个数为________.在△ABC 中,若c =2,a =√3,∠A =π6,则sinC =________,co s2C =________.一次数学会议中,有五位教师来自A ,B ,C 三所学校,其中A 学校有2位,B 学校有2位,C 学校有1位.现在五位教师排成一排照相,若要求来自同一所学校的教师不相邻,则共有________种不同的站队方法.设函数f(x)={x,x ≥a x 3−3x,x <a. ①若f(x)有两个零点,则实数a 的取值范围是________;②若a ≤−2,则满足f(x)+f(x −1)>−3的x 的取值范围是________.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.已知f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x −1.(I)求f(π6)的值;(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气月平均相对湿度过大或过小时,都有利J=−些病毒繁殖和传播,科学测定,当空气月平均相对湿度大于65010或小于40%时,有利于病毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度殖和传播的概率;(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月,记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X,求X的分布列;(Ⅲ)若a+b=108,设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M,求M的最大值和最小值.(只需写出结论)已知三棱锥P−ABC(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形ABCD为边长为√2的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥P−ABC中:(I)证明:平面PAC⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A−PC−B的余弦值;(Ⅲ)若点M在棱PC上,满足CMCP=λ,λ∈[13,23],点N在棱BP上,且BM⊥AN,求BNBP的取值范围.已知函数f(x)=lnxx+a.(I)当a=0时,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)当a>0时,若函数f(x)的最大值为1e2,求a的值.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,且点T(2, 1)在椭圆C上,设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,直线TP,TQ分别与x轴正半轴交于M,N两点.(I)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)判断|OM|+|ON|的值是否为定值,并证明你的结论.设A=(a i,j)n×n={a1,1a1,2⋯a1,na2,1a2,2⋯a2,n⋮⋮⋱⋮a n,1a n,2⋯a n,n}是由1,2,3,…,n2组成的n行n列的数表(每个数恰好出现一次),n≥2且n∈N∗.若存在1≤i≤n,1≤j≤n,使得a i,j既是第i行中的最大值,也是第j列中的最小值,则称数表A为一个“N−数表”a i,j为数表A的一个“N−值”,对任意给定的n,所有“N−数表”构成的集合记作Ωn.判断下列数表是否是“N−(2)数表”.若是,写出它的一个“N−(3)值”;A={123456789},B={147825693};(Ⅱ)求证:若数表A是“N−数表”,则A的“N−值”是唯一的;(Ⅲ)在Ω19中随机选取一个数表A,记A的“N−值”为X,求X的数学期望E(X).参考答案与试题解析2018年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由集合A={0, a},B={x|−1<x<2},且A⊆B,得到−1<a<2,由此能求出结果.【解答】∵集合A={0, a},B={x|−1<x<2},且A⊆B,∴−1<a<2,∴a可以是1.2.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据题意,由向量的坐标计算公式直接计算即可得答案.【解答】根据题意,向量a→=(l, 2),b→=(−1, 0),则2b→=(−2, 0)则a→+2b→=(−1, 2);3.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案.【解答】当k=0时,满足继续循环的条件,则S=0,k=1;当k=1时,满足继续循环的条件,则S=2,k=2;当k=2时,满足继续循环的条件,则S=10,k=3;当k=3时,不满足继续循环的条件,故输出的S=10,4.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】根据题意写出A、B、C、D点的坐标,设z=y−x,平移目标函数z,找最优解,求出z的最大值.【解答】根据题意知,A(−2, −1),B(2, −1),C(4, 2),D(0, 2);设z=y−x;平移目标函数z=y−x,当目标函数过点D时,y−x取得最大值为2−0=(2)5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据对数的运算法则以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】由lga+lgb>0得lgab>0,即ab>1,当a>1,b>1时,ab>1成立,当a=4,b=1,满足ab>1,但b>1不成立,2则“a>1,b>1”是“lga+lgb>0”的充分不必要条件,6.【答案】D【考点】平行投影及平行投影作图法【解析】由题意求得正方体在竖直墙面上投影面积的最小值和最大值即可.【解答】由题意知,棱长为1的正方体在竖直墙面上的投影面积S的最小值为正方形,且边长为1,其面积为1;最大值为矩形,且相邻的两边长为1和√2,其面积为1×√2=√2;∴S的取值范围是[1, √2];又√2<3,2∴不可能的是选项D.7.【答案】D【考点】函数的求值【解析】函数f(x)图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y≤|x|的函数的图象位于下图中的①或②的区域,由此能求出结果.函数f(x)图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件y ≤|x|的函数的图象位于下图中的①或②的区域,在A 中,f(x)=x 3的图象位于③,④的部分区域,故A 错误;在B 中,f(x)=√x 的图象位于②③的部分区域,故B 错误;在C 中,f(x)=e x −1的图象位于①②③④的部分区域,故C 错误;在D 中,f(x)=ln(x +1)的图象位于②的区域,故D 正确.8.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据两圆的对称关系和OM ,ON 的范围进行判断.【解答】∵ M 在圆C 1上,点N 在圆C 2上,∴ ∠MON ≥90∘,∴ OM →∗ON →≤0,又OM ≤√2+1,ON ≤√2+1,∴ 当OM =√2+1,ON =√2+1时,OM →∗ON →取得最小值(√2+1)2cosπ=−3−2√2,故A 正确; 设M(1+cosα, 1+sinα),N(−1+cosβ, −1+sinβ),则OM →+ON →=(cosα+cosβ, sinα+sinβ),∴ |OM →+ON →|2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos(α−β)+2,∴ 0≤|OM →+ON →|≤2,故B 错误;∵ 两圆外离,半径均为1,|C 1C 2|=2√2,∴ 2√2−2≤|MN|≤2√2+2,即2√2−2≤|OM →−ON →|≤2√2+2,故C 正确; ∵ √2−1≤|OM|≤√2+1,√2−1≤|ON|≤√2+1,∴ 当OM →=λON →时,√2−1√2+1≤−λ≤√2+1√2−1,解得−3−2√2≤λ≤−3+2√2,故D 正确. 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.【答案】1+i【考点】复数的运算【解析】利用复数的除法运算法则即可得出.【解答】2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i +1.√52【考点】双曲线的特性【解析】根据题意,由双曲线的顶点坐标可得a 的值,结合b 的值计算可得c 的值,由双曲线的离心率公式计算可得答案.【解答】根据题意,点(2, 0)是双曲线C:x 2a −y 2=1的一个顶点, 则a =2,双曲线的方程为x 2a 2−y 2=1,则b =1,则c =√a 2+b 2=√5,则双曲线的离心率e =c a =√52; 【答案】2【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】直线消去参数t ,得x −2y =0,曲线消去参数,得(x −2)2+y 2=1,联立{x −2y =0(x −2)2+y 2=1,能求出交点个数. 【解答】直线 {x =2t y =t(t 为参数)消去参数t ,得x −2y =0, 曲线{x =2+cosθy =sinθ(θ为参数)消去参数,得(x −2)2+y 2=1, 联立{x −2y =0(x −2)2+y 2=1 ,得{x =2y =1 或{x =65y =35 . ∴ 直线 {x =2t y =t (t 为参数)与曲线{x =2+cosθy =sinθ(θ为参数)的公共点个数为2. 【答案】 √3, 【考点】三角形求面积【解析】直接利用正弦定理的三角函数关系式的恒等变换求出结果.【解答】△ABC 中,若c =2,a =√3,∠A =π6,利用正弦定理:a sinA =c sinC ,则:sinC =√33, 所以:cos2C =1−2sin 2C =1−23=13.【答案】48【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】先安排A 学校和C 学校的三位老师,有A 22中排法,再把B 学校的两位老师插空排到A 学校和C 学校的三位老师的空位中,并对B 学校的两位老师进行排序,有A 42A22=24种排法,最后根据乘法运算,由此能求出结果.【解答】有五位教师来自A ,B ,C 三所学校,其中A 学校有2位,B 学校有2位,C 学校有1位. 现在五位教师排成一排照相,要求来自同一所学校的教师不相邻,先安排A 学校和C 学校的三位老师,有A 22中排法,再把B 学校的两位老师插空排到A 学校和C 学校的三位老师的空位中,并对B 学校的两位老师进行排序,有A 42A22=24种排法,由乘法原理得不同的排列方法有:A 22∗A 42A22=48种,【答案】(−√3, √3],(−1, +∞)【考点】分段函数的应用【解析】①讨论a =0,a >0,a <0,结合零点定义,解方程即可得到所求范围; ②若a ≤−2,讨论x <a ,x ≥a ,若x −1≥a ;a −1≤x −1<a ,结合分段函数解析式,以及函数的单调性和不等式的解法,即可得到所求范围.【解答】①若a =0,则f(x)={x,x ≥0x 3−3x,x <0, 由f(x)=0,可得x =0,x =−√3,符合题意;若a <0,x =0符合题意;若x =−√3符合题意,则a >−√3,即为−√3<a <0;若a >0,则x =0和x =−√3符合题意,可得a ≤√3,综上可得,a 的范围是(−√3, √3];②若x <a ≤−2,则x −1<a −1≤−3,f(x)的导数为3x 2−3>0,可得f(x)<f(−2)=−2,f(x −1)<−27+9=−18,即有f(x)+f(x −1)<−30,不符题意;则x ≥a ,若x −1≥a ,f(x)+f(x −1)>−3,即为x +x −1>−3,解得x >−1;若a −1≤x −1<a ,f(x)+f(x −1)>−3,即为x +(x −1)3−3(x −1)>−3,化为x 3−3x 2+x +5>0,由于a ≤−2,且a ≤x <a +1,可得g(x)=x 3−3x 2+x +5的导数g′(x)=3x 2−6x +1>0,即g(x)在[a, a +1)递增,g(a)取得最小值,且为a 3−3a 2+a +5,且a3−3a2+a+5,而在a≤−2时,a3−3a2+a+5递增,且为负值,不符题意.综上可得a的范围是(−1, +∞).三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.【答案】(Ⅰ)直接将x=π6带入,可得:f(π6)=2√3sinπ6cosπ6+2cos2π6−1=2√3×12×√32+2×(√32)2−1=2.(Ⅱ)由f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ−π2,2kπ+π2brack(k∈Z),令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z),故f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6brack(k∈Z).【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】(I)直接将x=π6带入计算即可.(Ⅱ)利用二倍角和辅助角公司化简,即可求f(x)的单调递增区间.【解答】(Ⅰ)直接将x=π6带入,可得:f(π6)=2√3sinπ6cosπ6+2cos2π6−1=2√3×12×√32+2×(√32)2−1=2.(Ⅱ)由f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)因为函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ−π2,2kπ+π2brack(k∈Z),令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z),故f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6brack(k∈Z).【答案】(本题满分1(Ⅰ)设事件A:从上表12个月中,随机取出1个月,该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播.用A i表示事件抽取的月份为第i月,则Ω={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12}共12个基本事件,A={A2, A6, A8, A9, A10, A11}共6个基本事件,所以,该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率P(A)=612=12.(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中,甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月,故X所有可能的取值为0,1,2.P(X=0)=C42C62=615=25,P(X=1)=C21C41C62=815,P(X=2)=C22C62=115随机变量X的分布列为:(Ⅲ)a+b=108,设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M,则M的最大值为58%,最小值为54%.【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)设事件A:从上表12个月中,随机取出1个月,该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播.用A i表示事件抽取的月份为第i月,利用列举法能求出该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率.(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中,甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月,X所有可能的取值为0,1,2.分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列.(Ⅲ)a+b=108,设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M,由此能求出M的最大值,最小值.【解答】(本题满分1(Ⅰ)设事件A:从上表12个月中,随机取出1个月,该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播.用A i表示事件抽取的月份为第i月,则Ω={A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A11, A12}共12个基本事件,A={A2, A6, A8, A9, A10, A11}共6个基本事件,所以,该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率P(A)=612=12.(Ⅱ)在第一季度和第二季度的6个月中,甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月,故X所有可能的取值为0,1,2.P(X=0)=C42C62=615=25,P(X=1)=C21C41C62=815,P(X=2)=C22C62=115随机变量X的分布列为:(Ⅲ)a+b=108,设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M,则M的最大值为58%,最小值为54%.【答案】(本题满分1证明:(Ⅰ)证法一:设AC的中点为O,连接BO,PO.由题意PA=PB=PC=√2,PO=1,AO=BO=CO=1因为在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点所以PO⊥AC,因为在△POB中,PO=1,OB=1,PB=√2所以PO⊥OB因为AC∩OB=O,AC,OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法二:设AC的中点为O,连接BO,PO.因为在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点,所以PO⊥AC,因为PA=PB=PC,PO=PO=PO,AO=BO=CO所以△POA≅△POB≅△POC所以∠POA=∠POB=∠POC=90∘所以PO⊥OB因为AC∩OB=O,AC,OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法三:设AC的中点为O,连接PO,因为在△PAC中,PA=PC,所以PO⊥AC设AB的中点Q,连接PQ,OQ及OB.因为在△OAB中,OA=OB,Q为AB的中点所以OQ⊥AB.因为在△PAB中,PA=PB,Q为AB的中点所以PQ⊥AB.因为PQ∩OQ=Q,PQ,OQ⊂平面OPQ所以AB⊥平面OPQ因为OP⊂平面OPQ所以OP⊥AB因为AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC(2)由PO⊥平面ABC,OB⊥AC,如图建立空间直角坐标系,则O(0, 0, 0),C(1, 0, 0),B(0, 1, 0),A(−1, 0, 0),P(0, 0, 1) 由OB ⊥平面APC ,故平面APC 的法向量为OB →=(0,1,0) 由BC →=(1,−1,0),PC →=(1,0,−1) 设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z),则 由{n ⋅BC →=0n ⋅PC →=0得:{x −y =0x −z =0 令x =1,得y =1,z =1,即n →=(1,1,1)cos <n →,OB →>=n →⋅OB →|n →|⋅|OB →|=√3⋅1=√33由二面角A −PC −B 是锐二面角, 所以二面角A −PC −B 的余弦值为√33(Ⅲ)设BN →=μBP →,0≤μ≤1,BM →=BC →+CM →=BC →+λCP →=(1,−1,0)+λ(−1,0,1)=(1−λ,−1,λ),AN →=AB →+BN →=AB →+μBP →=(1,1,0)+μ(0,−1,1)=(1,1−μ,μ), 令BM →⋅AN →=0得(1−λ)⋅1+(−1)⋅(1−μ)+λ⋅μ=0即μ=λ1+λ=1−11+λ,μ是关于λ的单调递增函数, 当λ∈[13,23]时,μ∈[14,25], 所以BNBP ∈[14,25].【考点】二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)法一:设AC的中点为O,连接BO,PO.推导出PO⊥AC,PO⊥OB,从而PO⊥平面ABC,由此能证明平面PAC⊥平面ABC.法二:设AC的中点为O,连接BO,PO.推导出PO⊥AC,△POA≅△POB≅△POC,∠POA=∠POB=∠POC=90∘,进而PO⊥OB,由此能证明PO⊥平面ABC,从而平面PAC⊥平面ABC.法三:设AC的中点为O,连接PO,推导出PO⊥AC,设AB的中点Q,连接PQ,OQ及OB.推导出OQ⊥AB.PQ⊥AB.从而AB⊥平面OPQ,进而OP⊥AB,由此能证明PO⊥平面ABC,从而平面PAC⊥平面ABC.(Ⅱ)由PO⊥平面ABC,OB⊥AC,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A−PC−B的余弦值.(Ⅲ)设BN→=μBP→,0≤μ≤1,利用向量法能求出BN的取值范围.BP【解答】(本题满分1证明:(Ⅰ)证法一:设AC的中点为O,连接BO,PO.由题意PA=PB=PC=√2,PO=1,AO=BO=CO=1因为在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点所以PO⊥AC,因为在△POB中,PO=1,OB=1,PB=√2所以PO⊥OB因为AC∩OB=O,AC,OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法二:设AC的中点为O,连接BO,PO.因为在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点,所以PO⊥AC,因为PA=PB=PC,PO=PO=PO,AO=BO=CO所以△POA≅△POB≅△POC所以∠POA=∠POB=∠POC=90∘所以PO⊥OB因为AC∩OB=O,AC,OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC证法三:设AC的中点为O,连接PO,因为在△PAC中,PA=PC,所以PO⊥AC设AB的中点Q,连接PQ,OQ及OB.因为 在△OAB 中,OA =OB ,Q 为AB 的中点 所以 OQ ⊥AB .因为 在△PAB 中,PA =PB ,Q 为AB 的中点 所以 PQ ⊥AB .因为 PQ ∩OQ =Q ,PQ ,OQ ⊂平面OPQ 所以 AB ⊥平面OPQ 因为 OP ⊂平面OPQ 所以 OP ⊥AB因为 AB ∩AC =A ,AB ,AC ⊂平面ABC 所以 PO ⊥平面ABC 因为 PO ⊂平面PAC所以 平面PAC ⊥平面ABC(2)由PO ⊥平面ABC ,OB ⊥AC ,如图建立空间直角坐标系,则 O(0, 0, 0),C(1, 0, 0),B(0, 1, 0),A(−1, 0, 0),P(0, 0, 1) 由OB ⊥平面APC ,故平面APC 的法向量为OB →=(0,1,0) 由BC →=(1,−1,0),PC →=(1,0,−1) 设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z),则 由{n ⋅BC →=0n ⋅PC →=0得:{x −y =0x −z =0 令x =1,得y =1,z =1,即n →=(1,1,1)cos <n →,OB →>=n →⋅OB →|n →|⋅|OB →|=3⋅1=√33由二面角A −PC −B 是锐二面角,所以二面角A −PC −B 的余弦值为√33(Ⅲ)设BN →=μBP →,0≤μ≤1,BM →=BC →+CM →=BC →+λCP →=(1,−1,0)+λ(−1,0,1)=(1−λ,−1,λ),AN →=AB →+BN →=AB →+μBP →=(1,1,0)+μ(0,−1,1)=(1,1−μ,μ), 令BM →⋅AN →=0得(1−λ)⋅1+(−1)⋅(1−μ)+λ⋅μ=0 即μ=λ1+λ=1−11+λ,μ是关于λ的单调递增函数,当λ∈[13,23]时,μ∈[14,25], 所以BNBP ∈[14,25].【答案】(1)当a =0时,f(x)=lnx x,故f ′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2,令f ′(x)>0,得0<x <e ; 故f(x)的单调递增区间为(0, e) (2)方法1:f ′(x)=x+ax−lnx (x+a)2=1+a x−lnx (x+a)2令g(x)=1+ax −lnx 则g ′(x)=−ax −1x =−x+a x <0由g(e)=ae >0,g(e a+1)=1+ae a+1−(1+a)=a ⋅(1e a+1−1)<0 故存在x 0∈(e,e a+1),g(x 0)=0故当x ∈(0, x 0)时,g(x)>0;当x ∈(x 0, +∞)时,g(x)<0故f(x 0)=1e 2故{1+ax 0−lnx 0=0lnx 0x 0+a =1e 2,解得{x 0=e 2a =e 2故a的值为e2.(2)方法2:f(x)的最大值为1e2的充要条件为:对任意的x∈(0, +∞),lnxx+a ≤1e2且存在x0∈(0, +∞),使得lnx0x0+a=1e2,等价于对任意的x∈(0, +∞),a≥e2lnx−x且存在x0∈(0, +∞),使得a≥e2lnx0−x0,等价于g(x)=e2lnx−x的最大值为a.∵g′(x)=e2x−1,令g′(x)=0,得x=e2.x,g′(x),g(x)的变化如下:故g(x)的最大值为g(e2)=e2lne2−e2=e2,即a=e2.【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可;(Ⅱ)法一:求出函数的导数,令g(x)=1+ax−lnx,求出存在x0∈(e,e a+1),使得g(x0)=0,得到关于a,x0的方程组,解出即可;法二:分离参数a,问题等价于对任意的x∈(0, +∞),a≥e2lnx−x且存在x0∈(0, +∞),使得a≥e2lnx0−x0,等价于g(x)=e2lnx−x的最大值为a,求出g(x)的最大值,从而求出a的范围即可.【解答】(1)当a=0时,f(x)=lnxx,故f′(x)=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2,令f′(x)>0,得0<x<e;故f(x)的单调递增区间为(0, e)(2)方法1:f′(x)=x+ax−lnx(x+a)2=1+ax−lnx(x+a)2令g(x)=1+ax−lnx则g′(x)=−ax2−1x=−x+ax2<0由g(e)=ae >0,g(e a+1)=1+ae−(1+a)=a⋅(1e−1)<0故存在x0∈(e,e a+1),g(x0)=0故当x∈(0, x0)时,g(x)>0;当x∈(x0, +∞)时,g(x)<0故f(x 0)=1e 2故{1+ax 0−lnx 0=0lnx 0x 0+a=1e2,解得{x 0=e 2a =e 2 故a 的值为e 2.(2)方法2:f(x)的最大值为1e 2的充要条件为: 对任意的x ∈(0, +∞),lnx x+a≤1e且存在x 0∈(0, +∞),使得lnx 0x 0+a=1e 2, 等价于对任意的x ∈(0, +∞),a ≥e 2lnx −x 且存在 x 0∈(0, +∞),使得a ≥e 2lnx 0−x 0,等价于g(x)=e 2lnx −x 的最大值为a . ∵ g ′(x)=e 2x−1,令g ′(x)=0,得x =e 2. x ,g′(x),g(x)的变化如下:故g(x)的最大值为g(e 2)=e 2lne 2−e 2=e 2,即a =e 2.【答案】(Ⅰ)由题意{ 4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32 ,解得:a =2√2,b =√2,c =√6 故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1;(Ⅱ)根据题意,假设直线TP 或TQ 的斜率不存在,则P 点或Q 点的坐标为(2, −1), 直线l 的方程为y +1=12(x −2),即y =12x −2.联立方程{x 28+y 22=1y =12x −2 ,得x 2−4x +4=0, 此时,直线l 与椭圆C 相切,不合题意. 故直线TP 和TQ 的斜率存在. 设P(x 1, y 1),Q(x 2, y 2),则直线TP:y −1=y 1−1x 1−2(x −2),直线TQ:y −1=y 2−1x 2−2(x −2)故|OM|=2−x 1−2y1−1,|ON|=2−x 2−2y 2−1 由直线OT:y =12x ,设直线PQ:y =12x +t(t ≠0) 联立方程,{x 28+y 22=1y =12x +t ⇒x 2+2tx +2t 2−4=0 当△>0时,x 1+x 2=−2t ,x 1∗x 2=2t 2−4, |OM|+|ON|=4−(x 1−2y 1−1+x 2−2y 2−1)=4−(x 1−212x 1+t−1+x 2−212x 2+t−1)=4−x 1x 2+(t−2)(x 1+x 2)−4(t−1)14x 1x 2+12(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2=4−2t 2−4+(t−2)(−2t)−4(t−1)14(2t 2−4)+12(t−1)∗(−2t)+(t−1)2=4.【考点】 椭圆的定义 【解析】(Ⅰ)根据题意,由椭圆的几何性质分析可得{ 4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32 ,解可得a 、b 的值,将a 、b的值代入椭圆方程,即可得答案;(Ⅱ)根据题意,假设直线TP 或TQ 的斜率不存在,联立直线与椭圆的方程分析可得直线l 与椭圆C 相切,不合题意,则直线TP 和TQ 的斜率存在,进而设P(x 1, y 1),Q(x 2, y 2),由此表示直线TP 或TQ 的方程,联立直线与椭圆的方程,由根与系数的关系表示|OM|+|ON|的值,即可得答案. 【解答】(Ⅰ)由题意{4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32,解得:a =2√2,b =√2,c =√6 故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1;(Ⅱ)根据题意,假设直线TP 或TQ 的斜率不存在,则P 点或Q 点的坐标为(2, −1), 直线l 的方程为y +1=12(x −2),即y =12x −2. 联立方程{x 28+y 22=1y =12x −2 ,得x 2−4x +4=0, 此时,直线l 与椭圆C 相切,不合题意.故直线TP 和TQ 的斜率存在. 设P(x 1, y 1),Q(x 2, y 2),则直线TP:y −1=y 1−1x 1−2(x −2),直线TQ:y −1=y 2−1x 2−2(x −2)故|OM|=2−x 1−2y1−1,|ON|=2−x 2−2y 2−1 由直线OT:y =12x ,设直线PQ:y =12x +t(t ≠0) 联立方程,{x 28+y 22=1y =12x +t⇒x 2+2tx +2t 2−4=0 当△>0时,x 1+x 2=−2t ,x 1∗x 2=2t 2−4, |OM|+|ON|=4−(x 1−2y 1−1+x 2−2y 2−1)=4−(x 1−212x 1+t−1+x 2−212x 2+t−1)=4−x 1x 2+(t−2)(x 1+x 2)−4(t−1)14x 1x 2+12(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2=4−2t 2−4+(t−2)(−2t)−4(t−1)14(2t 2−4)+12(t−1)∗(−2t)+(t−1)2=4.【答案】 (本题满分1(Ⅰ)A 是“N −数表”,其“N −值”为3,B 不是“N −数表”.证明:(Ⅱ)假设a i,j 和a i ′,j ′均是数表A 的“N −值”,①若i =i ′,则a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }=a i ′,j ′;②若j =j ′,则a i,j =min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=min{a 1,j′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′; ③若i ≠i ′,j ≠j ′,则一方面a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }>a i,j′>min{a 1,j ′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′,另一方面a i ′,j ′=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }>a i ′,j >min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=a i,j ; 矛盾.即若数表A 是“N −数表”,则其“N −值”是唯一的.(Ⅲ)解法1:对任意的由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19. 定义数表B =(b j,i )19×19如下,将数表A 的第i 行,第j 列的元素写在数表B 的第j 行,第i 列,即b j,i =a i,j (其中1≤i ≤19,1≤j ≤19) 由题意,得:①数表B 是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表 ②数表B 的第j 行的元素,即为数表A 的第j 列的元素 ③数表B 的第i 列的元素,即为数表A 的第i 行的元素④若数表A 中,a i,j 是第i 行中的最大值,也是第j 列中的最小值 则数表B 中,b j,i 是第i 列中的最大值,也是第j 行中的最小值.定义数表C =(c j,i )19×19如下,其与数表B 对应位置的元素的和为362,即c j,i =362−b j,i (其中1≤i ≤19,1≤j ≤19)由题意得:①数表C 是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表②若数表B 中,b j,i 是第i 列中的最大值,也是第j 列中的最小值则数表C 中,c j,i 是第i 列中的最小值,也是第j 列中的最大值特别地,对由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19 ①数表C 是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表②若数表A 中,a i,j 是第i 行中的最大值,也是第j 列中的最小值则数表C 中,c j,i 是第i 列中的最小值,也是第j 列中的最大值即对任意的A ∈Ω19,其“N −值”为a i,j (其中1≤i ≤19,1≤j ≤19), 则C ∈Ω19,且其“N −值”为c j,i =362−b j,i =362−a i,j .记C =T(A),则T(C)=A ,即数表A 与数表C =T(A)的“N −值”之和为362, 故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对,使得每对数表的“N −值”之和为362, 故X 的数学期望E(X)=181.解法2:X 所有可能的取值为19,20,21,…,341,342,343.记Ω19中使得X =k 的数表A 的个数记作n k ,k =19,20,21,…,341,342,343,则n k =192×C k−118×C 361−k 18×[(182)!brack .则n 362−k =192×C 361−k 18×C k−118×[(182)!brack =n k ,则E(X)=∑∗k=19343nk k ∑k=19343nk =∑∗k=19343n362−k k∑k=19343nk =∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk ,故2E(X)=∑∗k=19343nk k∑k=19343nk +∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk =362,E(X)=181. 【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)A 是“N −数表”,其“N −值”为3,B 不是“N −数表”.(Ⅱ)假设a i,j 和a i ′,j ′均是数表A 的“N −值”,若i =i ′,则a i,j =a i ′,j ′;若j =j ′,则a i,j =a i ′,j ′;若i ≠i ′,j ≠j ′,一方面a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }>a i,j ′>min{a 1,j ′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′,另一方面a i ′,j ′=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }>a i ′,j >min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=a i,j ;矛盾.由此能证明数表A 是“N −数表”,则其“N −值”是唯一的.(Ⅲ)法1:对任意的由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19.定义数表B =(b j,i )19×19如下,将数表A 的第i 行,第j 列的元素写在数表B 的第j 行,第i 列,即b j,i =a i,j (其中1≤i ≤19,1≤j ≤19),则数表B 中,b j,i 是第i 列中的最大值,也是第j 行中的最小值.定义数表C =(c j,i )19×19如下,其与数表B 对应位置的元素的和为362,即c j,i =362−b j,i (其中1≤i ≤19,1≤j ≤19),则数表C 中,c j,i 是第i 列中的最小值,也是第j 列中的最大值,由此能求出X 的数学期望E(X). 法2:X 所有可能的取值为19,20,21,…,341,342,343.记Ω19中使得X =k 的数表A 的个数记作n k ,k =19,20,21,…,341,342,343,则n k =192×C k−118×C 361−k 18×[(182)!brack .由此能求出E(X).【解答】(本题满分1(Ⅰ)A 是“N −数表”,其“N −值”为3,B 不是“N −数表”.证明:(Ⅱ)假设a i,j 和a i ′,j ′均是数表A 的“N −值”,①若i =i ′,则a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }=a i ′,j ′;②若j =j ′,则a i,j =min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=min{a 1,j′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′;③若i ≠i ′,j ≠j ′,则一方面a i,j =max{a i,1, a i,2, ..., a i,n }>a i,j ′>min{a 1,j ′, a 2,j ′, ..., a n,j ′}=a i ′,j ′,另一方面a i ′,j ′=max{a i ′,1, a i ′,2, ..., a i ′,n }>a i ′,j >min{a 1,j , a 2,j , ..., a n,j }=a i,j ; 矛盾.即若数表A 是“N −数表”,则其“N −值”是唯一的.(Ⅲ)解法1:对任意的由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19. 定义数表B =(b j,i )19×19如下,将数表A 的第i 行,第j 列的元素写在数表B 的第j 行,第i 列,即b j,i =a i,j (其中1≤i ≤19,1≤j ≤19)由题意,得:①数表B 是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表②数表B 的第j 行的元素,即为数表A 的第j 列的元素③数表B 的第i 列的元素,即为数表A 的第i 行的元素④若数表A 中,a i,j 是第i 行中的最大值,也是第j 列中的最小值则数表B 中,b j,i 是第i 列中的最大值,也是第j 行中的最小值.定义数表C =(c j,i )19×19如下,其与数表B 对应位置的元素的和为362, 即c j,i =362−b j,i (其中1≤i ≤19,1≤j ≤19)由题意得:①数表C 是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表②若数表B 中,b j,i 是第i 列中的最大值,也是第j 列中的最小值则数表C 中,c j,i 是第i 列中的最小值,也是第j 列中的最大值特别地,对由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表A =(a i,j )19×19 ①数表C 是由1,2,3,…,361组成的19行19列的数表②若数表A 中,a i,j 是第i 行中的最大值,也是第j 列中的最小值则数表C 中,c j,i 是第i 列中的最小值,也是第j 列中的最大值即对任意的A ∈Ω19,其“N −值”为a i,j (其中1≤i ≤19,1≤j ≤19), 则C ∈Ω19,且其“N −值”为c j,i =362−b j,i =362−a i,j .记C =T(A),则T(C)=A ,即数表A 与数表C =T(A)的“N −值”之和为362, 故可按照上述方式对Ω19中的数表两两配对,使得每对数表的“N −值”之和为362, 故X 的数学期望E(X)=181.解法2:X 所有可能的取值为19,20,21,…,341,342,343.记Ω19中使得X =k 的数表A 的个数记作n k ,k =19,20,21,…,341,342,343,则n k =192×C k−118×C 361−k 18×[(182)!brack .则n 362−k =192×C 361−k 18×C k−118×[(182)!brack =n k ,则E(X)=∑∗k=19343nk k ∑k=19343nk =∑∗k=19343n362−k k∑k=19343nk =∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk ,故2E(X)=∑∗k=19343nk k∑k=19343nk +∑∗k=19343nk (362−k)∑k=19343nk =362,E(X)=181.。

2018年新课标I、II、III数学(文)(理)高考真题试卷(Word版含答案)

2018年新课标I、II、III数学(文)(理)高考真题试卷(Word版含答案)

2018 年一般高等学校招生全国一致考试( Ⅰ卷 )文科数学注意事项:1.答卷前,考生务势必自己的九名、考生号等填写在答题卡和试卷指定地点上.2.回答选择题时,选出每题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需变动,用橡皮擦洁净后,再选涂其余答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(此题共 12 小题,每题 5 分,共60 分.在每题给出的四个选项中,只有一项是切合题目要求的.)1.已知会合 A 0,2 ,B 2 , 1,0 ,1,2 ,则AIB ()A. 0,2 B. 1,2 C. 0 D. 2, 1,0 ,1,21 i,则 z ()2.设z 2i1 iA.0 B.1C. 1 D. 2 23.某地域经过一年的新乡村建设,乡村的经济收入增添了一倍.实现翻番.为更好地认识该地域乡村的经济收入变化状况,统计了该地域新乡村建设前后乡村的经济收入组成比率.获得以下饼图:则下边结论中不正确的选项是()A.新乡村建设后,栽种收入减少B.新乡村建设后,其余收入增添了一倍以上C.新乡村建设后,养殖收入增添了一倍D.新乡村建设后,养殖收入与第三家产收入的总和超出了经济收入的一半4.记 S n为等差数列a n的前n项和.若 3S3 S2 S4, a1 2 ,则 a3 ()A.12 B.10 C.10 D. 125.设函数 f x x 3a 1 x 2ax .若 f x 为奇函数, 则曲线 yf x 在点 0 ,0 处的切线方程为()A . y2xB . y xC . y 2xD . y x6.在 △ ABC 中, AD 为 BC 边上的中线,uuurE 为 AD 的中点,则 EB ()A . 3 uuur1 uuurB . 1 uuur 3 uuur4 AB4 AC 4 AB AC4 C . 3 uuur 1 uuur D . 1 uuur 3 uuur 4 AB4 AC4 AB AC47.某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图以下图,圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ,则在此圆柱 侧面上,从 M 到 N的路径中,最短路径的长度为( )A .2 17B .2 5C .3D .28.设抛物线 C :y24 x 的焦点为 F ,过点2 ,0 且斜率为2的直线与 C 交于 M , N 两点,3uuuur uuur ()则FM FNA .5B . 6C .7D . 89.已知函数 f xx, ≤0 , f xf x x a (),若 g x 存在 2 个零点, 则 a 的exln x ,x 0取值范围是A . 1,0B . ,C . 1,D . 1,10.下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆组成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边 BC ,直角边 AB , AC , △ ABC 的三边所围成的地区记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p 1 , p 2 , p 3 ,则( )A . p 1 p 2B . p 1 p 3C . p 2 p 3D . p 1 p 2p 3211.已知双曲线 C :xy 2 1 , O 为坐标原点, F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐 3近线的交点分别为 M , N .若 △ OMN 为直角三角形,则 MN () A .3B . 3C .2 3D . 4212.设函数 f x2 x, ≤ 0,则知足 f x 1f 2x 的 x 的取值范围是()x 01,yA .,1B . 0,C . 1,0D . ,0二、填空题(此题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)13.已知函数 f xlog 2 x 2 a ,若 f 31 ,则 a________.x 2 y 2 ≤ 014.若 x ,y 知足拘束条件x ≥ 0 ,则 z3x 2 y 的最大值为 ________.y 1y ≤ 015.直线 y x 1 与圆 x 2y 2 2 y 3 0 交于 A ,B 两点,则 AB________ .16. △ ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,已知 b sinC csin B4asin Bsin C ,b 2c 2 a 2 8 ,则 △ ABC 的面积为 ________.三、解答题(共70 分。

(完整版)2018年高考全国卷1文科数学试题及含答案

(完整版)2018年高考全国卷1文科数学试题及含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己の姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目の答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出の四个选项中,只有一项是符合题目要求の。

1.已知集合{}02A =,,{}21012B =--,,,,,则A B =I A .{}02,B .{}12,C .{}0D .{}21012--,,,, 2.设1i2i 1iz -=++,则z = A .0B .12C .1D .23.某地区经过一年の新农村建设,农村の经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村の经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村の经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确の是 A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入の总和超过了经济收入の一半4.已知椭圆C :22214x y a +=の一个焦点为(20),,则C の离心率为A .13B .12C .22D .2235.已知圆柱の上、下底面の中心分别为1O ,2O ,过直线12O O の平面截该圆柱所得の截面是面积为8の正方形,则该圆柱の表面积为 A .122πB .12πC .82πD .10π6.设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00,处の切线方程为A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x =7.在△ABC 中,AD 为BC 边上の中线,E 为AD の中点,则EB =u u u rA .3144AB AC -u u ur u u u r B .1344AB AC -u u ur u u u r C .3144AB AC +u u ur u u u rD .1344AB AC +u u ur u u u r8.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则 A .()f x の最小正周期为π,最大值为3 B .()f x の最小正周期为π,最大值为4 C .()f x の最小正周期为2π,最大值为3 D .()f x の最小正周期为2π,最大值为49.某圆柱の高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上の点M 在正视图上の对应点为A ,圆柱表面上の点N 在左视图上の对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N の路径中,最短路径の长度为 A .217 B .25 C .3D .210.在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成の角为30︒,则该长方体の体积为 A .8B .62C .82D .8311.已知角αの顶点为坐标原点,始边与x 轴の非负半轴重合,终边上有两点()1A a ,,()2B b ,,且 2cos 23α=,则a b -=A .15BCD .112.设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩,≤,,则满足()()12f x f x +<のx の取值范围是A .(]1-∞-,B .()0+∞,C .()10-,D .()0-∞,二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数()()22log f x x a =+,若()31f =,则a =________.14.若x y ,满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤,则32z x y =+の最大值为________.15.直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则AB =________.16.△ABC の内角A B C ,,の对边分别为a b c ,,,已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则△ABC の面积为________.三、解答题:共70分。

2018年全国高考文科数学试题及答案-全国1

2018年全国高考文科数学试题及答案-全国1

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{0,2}A ,{2,1,0,1,2}B,则AB =A .{0,2}B .{1,2}C .{0}D .{2,1,0,1,2}--2.设1i2i 1iz -=++,则||z = A .0B .12C .1D .23.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是 A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.已知椭圆22214x y C a +=:的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为A .13B .12C .22D .2235.已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A .122πB .12πC .82πD .10π6.设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x =7.在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =C .3144AB AC + D .1344AB AC + 8.已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+,则 A .()f x 的最小正周期为π,最大值为3 B .()f x 的最小正周期为π,最大值为4 C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为3 D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为49.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为A .217B .25C .3D .210.在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒,则该长方体的体积为A .8B .62C .82D .8311.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点(1,)A a ,(2,)B b ,且2cos23α=,则||a b -=A .15B .5 C .25D .112.设函数2,0,()1,0,x x f x x -⎧=⎨>⎩≤ 则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是A .(,1]-∞-B .(0,)+∞C .(1,0)-D .(,0)-∞二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2018年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

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第 3 页(共 28 页)
18.(12 分)如图,在平行四边形 ABCM 中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以 AC 为 折痕将△ACM 折起,使点 M 到达点 D 的位置,且 AB⊥DA.
(1)证明:平面 ACD⊥平面 ABC; (2)Q 为线段 AD 上一点,P 为线段 BC 上一点,且 BP=DQ= DA,求三棱锥
A.12 π
B.12π
C.8 π
D.10π
【考点】LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 菁优网版权所有
【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.
【分析】利用圆柱的截面是面积为 8 的正方形,求出圆柱的底面直径与高,然后
求解圆柱的表面积.
【解答】解:设圆柱的底面直径为 2R,则高为 2R,
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于 0.35m3 的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按 365 天计算,
同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
20.(12 分)设抛物线 C:y2=2x,点 A(2,0),B(﹣2,0),过点 A 的直线 l 与 C 交于 M,N 两点.
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5 分)已知集合 A={0,2},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则 A∩B=( )
A.{0,2}
B.{1,2}
C.{0}
D.{﹣2,﹣1,0,1,2}
【考点】1E:交集及其运算. 菁优网版权所有
问题解决问题的能力.

2018年普通高考全国123卷文科数学(含参考答案)

2018年普通高考全国123卷文科数学(含参考答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)文科数学一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}02A =,,{}21012B =--,,,,,则A B =I () A .{}02, B .{}12, C .{}0 D .{}21012--,,,, 2.设121i z i i-=++,则z =()A .0B .12C .1D 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是() A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.已知椭圆C :22214x y a +=的一个焦点为()2,0,则C 的离心率()A .13B .12CD 5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为() A .B .12πC .D .10π6.设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00,处的切线方程为()A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x = 7.在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =u u u r()A .3144AB AC -u u u r u u u r B .1344AB AC -u u u r u u u rC .3144AB AC +u u u r u u u r D .1344AB AC +u u u r u u u r8.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则() A .()f x 的最小正周期为π,最大值为3 B .()f x 的最小正周期为π,最大值为4 C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为3 D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为49.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为() A .217B .25C .3D .210.在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒,则该长方体的体积为()A .8B .62C .82D .8311.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点()1,A a ,()2,B b ,且2cos 23α=,则a b -=()A .15B .5 C .25 D .112.设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩,≤,,则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()A .(]1-∞,B .()0+∞,C .()10-,D .()0-∞,二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知函数()()22log f x x a =+,若()31f =,则a =________.14.若x y ,满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤,则32z x y =+的最大值为________.15.直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则AB =________.16.ABC△的内角A B C,,的对边分别为a b c,,,已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则ABC △的面积为________.三、解答题(共70分。

2018年高考全国卷1文科数学试题及含答案

2018年高考全国卷1文科数学试题及含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己の姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目の答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出の四个选项中,只有一项是符合题目要求の。

1.已知集合{}02A =,,{}21012B =--,,,,,则A B =I A .{}02,B .{}12,C .{}0D .{}21012--,,,, 2.设1i2i 1iz -=++,则z = A .0B .12C .1D .23.某地区经过一年の新农村建设,农村の经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村の经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村の经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确の是 A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入の总和超过了经济收入の一半4.已知椭圆C :22214x y a +=の一个焦点为(20),,则C の离心率为A .13B .12C .22D .2235.已知圆柱の上、下底面の中心分别为1O ,2O ,过直线12O O の平面截该圆柱所得の截面是面积为8の正方形,则该圆柱の表面积为 A .122πB .12πC .82πD .10π6.设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00,处の切线方程为A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x =7.在△ABC 中,AD 为BC 边上の中线,E 为AD の中点,则EB =u u u rA .3144AB AC -u u ur u u u r B .1344AB AC -u u ur u u u r C .3144AB AC +u u ur u u u rD .1344AB AC +u u ur u u u r8.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则 A .()f x の最小正周期为π,最大值为3 B .()f x の最小正周期为π,最大值为4 C .()f x の最小正周期为2π,最大值为3 D .()f x の最小正周期为2π,最大值为49.某圆柱の高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上の点M 在正视图上の对应点为A ,圆柱表面上の点N 在左视图上の对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N の路径中,最短路径の长度为 A .217 B .25 C .3D .210.在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成の角为30︒,则该长方体の体积为 A .8B .62C .82D .8311.已知角αの顶点为坐标原点,始边与x 轴の非负半轴重合,终边上有两点()1A a ,,()2B b ,,且 2cos 23α=,则a b -=A .15BCD .112.设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩,≤,,则满足()()12f x f x +<のx の取值范围是A .(]1-∞-,B .()0+∞,C .()10-,D .()0-∞,二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数()()22log f x x a =+,若()31f =,则a =________.14.若x y ,满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤,则32z x y =+の最大值为________.15.直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则AB =________.16.△ABC の内角A B C ,,の对边分别为a b c ,,,已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则△ABC の面积为________.三、解答题:共70分。

2018年高考全国卷1文科数学试题及含答案

2018年高考全国卷1文科数学试题及含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}02A =,,{}21012B =--,,,,,则A B =A .{}02,B .{}12,C .{}0D .{}21012--,,,, 2.设1i2i 1iz -=++,则z = A .0B .12C .1D .23.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是 A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.已知椭圆C :22214x y a +=的一个焦点为(20),,则C 的离心率为A .13B .12C .22D .2235.已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A .122πB .12πC .82πD .10π6.设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00,处的切线方程为A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x =7.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB = A .3144AB AC - B .1344AB AC - C .3144AB AC +D .1344AB AC + 8.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则 A .()f x 的最小正周期为π,最大值为3 B .()f x 的最小正周期为π,最大值为4 C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为3 D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为49.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3D .210.在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒,则该长方体的体积为 A .8B .62C .82D .8311.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点()1A a ,,()2B b ,,且 2cos 23α=,则a b -=A .15BCD .112.设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩,≤,,则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A .(]1-∞-,B .()0+∞,C .()10-,D .()0-∞,二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数()()22log f x x a =+,若()31f =,则a =________.14.若x y ,满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤,则32z x y =+的最大值为________.15.直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则AB =________.16.△ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则△ABC 的面积为________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

2018年高考真题全国3卷文科数学(附答案解析)

2018年高考真题全国3卷文科数学(附答案解析)
1
13.
2
【解析】
【分析】
由两向量共线的坐标关系计算即可.
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ,并将完成生产任务所需时间超 过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表:
超过 m
不超过 m
第一种生产方式 第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
则 P (A ∪ B=) P (A) + P (B) + P (AB=) 1
= 因为 P (A) 0= .45, P (AB) 0.15
所以 P (B) = 0.4 ,
故选 B. 点睛:本题主要考查事件的基本关系和概率的计算,属于基础题. 6.C 【解析】 【详解】
分析:将函数
f
(
x
)
=
tanx 1+ tan2
Q= SVABC
= 3 AB2 9 3 4
∴AB = 6 , Q 点 M 为三角形 ABC 的中心 ∴BM = 2 BE = 2 3
3 ∴ RtVOMB 中,有 OM = OB2 − BM 2 = 2
∴DM = OD + OM = 4 + 2 = 6
( ) ∴ VD−ABC
= 1×9 max 3
3 × 6 = 18
分析:确定函数 y = lnx 过定点(1,0)关于 x=1 对称点,代入选项验证即可。
详解:函数 y = lnx 过定点(1,0),(1,0)关于 x=1 对称的点还是(1,0),只有=y ln (2 − x )
过此点。 故选项 B 正确 点睛:本题主要考查函数的对称性和函数的图像,属于中档题。 8.A 【解析】
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2018海淀一模数学文科试题(含答案)海淀区高三年级第二学期期中练习数学(文科)2018.4本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将答题纸交回。

第一部分(选择题,共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{0,},{12}A a B x x ==-<< | ,且A B ⊆,则a 可以是(A)1-(B )0(C )1(D )2 (2)已知向量(1,2),(1,0)==-a b ,则+2=a b (A) (1,2)-(B )(1,4)-(C )(1,2)(D )(1,4) (3)下列函数满足()()0f x f x -+=的是(A) ()f x x =(B )()ln f x x = (C )1()1f x x =-(D )()cos f x x x =(4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为(A) 2 (B )6条件(8)已知直线l :(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A ,B 两点,M 是线段AB 中点,则M 到直线3460x y --=的距离的最大值为(A) 2(B ) 3 (C )4(D ) 5第二部分(非选择题,共110分) 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(9)复数2i 1i=+____. (10)已知点(2,0)是双曲线:C 2221x y a-=的一个顶点,则C 的离心率为. (11)在ABC ∆中,若2,3,6c a A π==∠=,则sin C =,cos2C =.(12)某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是____.(13)已知函数1()cos f x x x =+,给出下列结论: ①()f x 在(0,)2π上是减函数;②()f x 在(0,π)上的最小值为2;π③()f x在(0,2)π上至少有两个零点.其中正确结论的序号为____.(写出所有正确结论的序号)(14)将标号为1,2,……,20的20张卡片放入下列表格中,一个格放入一张卡片.把每列标号最小的卡片选出,将这些卡片中标号最大的数设为a;把每行标号最大的卡片选出,将这些卡片中标号最小的数设为b.甲同学认为a有可能比b大,乙同学认为a和b有可能相等.那么甲乙两位同学中说法正确的同学是___________.三、解答题共6小题,共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

(15)(本小题13分)已知等比数列{}n a满足11a=,521=8a a.(Ⅰ)求数列{}na 的通项公式;(Ⅱ)试判断是否存在正整数n ,使得{}na 的前n 项和nS 为52?若存在,求出n 的值;若不存在,说明理由.(16)(本小题13分)函数()3sin()(0,||)2f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示,其中0x 是函数()f x 的零点.(Ⅰ)写出,ωϕ及0x 的值;(Ⅱ)求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值.(17)(本小题13分)流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定,当空气相对湿度大于65%或小于40%时,病毒繁殖滋生较快,当空气相对湿度在45%%55时,病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据,整理得到数据分组及频数分布表,其中为了记录方便,将空气相对湿度在%%a b时记为区间[)a,b.组1 2 3 4 5 6 7 8 号分[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95)组频2 3 15 30 50 75 120 5 数(Ⅰ)求上述数据中空气相对湿度使病菌死亡较快的频率;(Ⅱ)从区间[15,35)的数据中任取两个数据,求恰有一个数据位于[25,35)的概率;(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组(只需写出结论).(18)(本小题14分)如图,四棱锥ABCDAD//,E 中,BC112AD AB AE BC ====,且⊥BC 平面ABE ,M 为棱CE 的中点. (Ⅰ)求证://DM 平面ABE ; (Ⅱ)求证:平面CDE ⊥平面CBE ;(Ⅲ)当四面体D ABE -的体积最大时,判断直线AE 与直线CD 是否垂直,并说明理由.(19)(本小题14分)已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -,离心率为12.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设点A 是椭圆C 的右顶点,过点1F 的直线与椭圆C 交于,P Q 两点,直线,AP AQ 与直线4x =-分别交于M 、N 两点. 求证:点1F 在以MN 为直径的圆上.(20)(本小题13分)已知函数()esin xf x x ax=-.(Ⅰ)当0a =时,求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程;(Ⅱ)当0a ≤时,判断()f x 在3[0,]4π上的单调性,并说明理由;(Ⅲ)当1a <时,求证:3[0,]4x π∀∈,都有()0f x ≥.2018文科参考答案一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.题1 2 3 4 5 6 7 8号答C AD D D B C C案二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.1i10.511.3133,12.3+32π 13.①③ 14.乙三.解答题:本大题共6小题,共80分。

解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.解:(Ⅰ)设{}n a 的公比为q , 因为 521=8a a ,且352=a a q ,所以318q =,………………2分得21=q ………………4分 所以1111(1,2,)2n n n a a q n --===………………6分(Ⅱ)不存在n ,使得{}na 的前n 项和nS 为52………………7分 因为11a =,21=q ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn S 2112211211 ………………10分 方法1: 令52nS =,则152(1)22n-= 得24n =-,该方程无解. ………………13分 所以不存在n,使得{}n a 的前n 项和n S 为52.方法2:因为对任意*∈N n ,有1211<-n,所以22112<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S ………………13分所以不存在n ,使得{}na 的前n 项和nS 为52。

16.解:(Ⅰ)0112,,.612x ππωϕ===………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,()3sin(2)6f x x π=+ ………………7分因为[,0]2x π∈-, 所以52[,]666x πππ+∈-………………9分当2=,62x ππ+- 即 =3x π-时,()f x 的最小值为3-. ………………11分当2=,66x ππ+即=0x 时,()f x 的最大值为32. ………………13分17.解:(Ⅰ)由已知,当空气相对湿度在45%%55时,病毒死亡较快. 而样本在[45,55)上的频数为30, 所以所求频率为301=30010………………3分(Ⅱ)设事件A为“从区间[15,35)的数据中任取两个数据,恰有一个数据位于[25,35)”…………………….…4分设区间[15,25)中的两个数据为12,a a,区间[25,35)中的三个数据为123b b b,,,因此,从区间[15,35)的数据中任取两个数据,包含12111213212223121323a a ab a b a b a b a b a b b b b b b b(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)共10个基本事件,…………………….…6分而事件A包含111213212223a b a b a b a b a b a b共6个基(,),(,),(,),(,),(,),(,)本事件,…………………….…8分所以63P A==.()105…………………….…10分(Ⅲ)第6组.…………………….…13分18.(Ⅰ)证明:取线段EB的中点N,连接,MN AN.DABCMEN因为M 为棱CE 的中点, 所以在CBE ∆中//MN BC ,12MN BC =. (1)分又//AD BC,12AD BC =, 所以//,MN AD MN AD =. 所以四边形DMNA 是平行四边形,所以//DM AN .…………………….…2分又DM ⊄平面ABE , AN ⊂平面ABE ,所以//DM 平面ABE . …………………….…4分(Ⅱ)因为AE AB =,N 为EB 中点, 所以AN BE ⊥.…………………….…5分又BC⊥平面ABE,AN⊂平面ABE,所以BC AN⊥.…………………….…6分又BC BE B=,所以AN⊥平面BCE.…………………….…7分又//DM AN,所以DM⊥平面BCE.…………………….…8分因为DM⊂平面CDE,所以平面CDE⊥平面CBE..…………………….…9分(Ⅲ)⊥.AE CD.…………………….…10分设EABθ∠=,则四面体D ABE的体积-sin V AE AB AD θ⨯⋅⋅⋅11=321sin 6θ=. ………………….…11分当90θ=︒,即AE AB ⊥时体积最大. .…………………….…12分又BC ⊥平面ABE ,AE ⊂平面ABE , 所以AE BC ⊥..…………………….…13分 因为BCAB B=,所以AE ⊥平面ABC . 因为CD ⊂平面ABCD , 所以AE CD ⊥..…………………….…14分 19.解:(Ⅰ)由题意,设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>> ,则222112c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩ .…………………….…2分得2, 3.a b == .…………………….…4 , 所以椭圆方程为221.43x y += .…………………….…5分(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得(2,0)A .当直线PQ 不存在斜率时,可得33(1,),(1,)22P Q --- 直线AP 方程为()122y x =--,令4,x =-得(4,3)M -, 同理,得(4,3)N --.所以()()113,3,3,3FM F N =-=--,得110F M F N ⋅=.所以190MF N ∠=︒,1F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…7分 当直线PQ 存在斜率时,设PQ 方程为()1y k x =+ ,()11,y x P 、()22,y x Q .由()221143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22223484120k xk x k +++-=.显然0∆>,221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++, .…………………….…8分直线AP 方程为11(2)2y y x x =--,得116(4,)2yM x --- , 同理,226(4,)2y N x ---. .…………………….…9分 所以12111266(3,),(3,)22yy F M F N x x --=-=---.121112369(2)()y y F M F N x x ⋅=+--2 .…………………….…10分 因为()()11221,1y k x y k x =+=+所以2121212123636(1)(1)(2)()(2)()y y k x x x x x x ++----=22 .…………………….…11分()()212121212222222222223612()441283436()3441216121634936369k x x x x x x x x k k k k k k k k k k k +++=-++--+++=-++++-⋅==-所以110F M F N ⋅=..…………………….…13分所以90MFN ∠=︒,F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…14分 综上,F 在以MN 为直径的圆上.20.解:(Ⅰ)当0a =时,()sin xf x e x =,'()(sin cos )x f x e x x x R =+∈,..…………………….…1分得'(0) 1.f =.…………………….…2分又0(0)sin 0=0f e =,.…………………….…3分所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为.y x =.…………………….…4分方法1: (Ⅱ)因为()sin xf x ex ax=-,所以'()(sin cos )xf x e x x a =+-.2sin(+)4x e x aπ=-.…………………….…5分因为3[0,]4x π∈,所以[,]44x πππ+∈. .…………………….…6分所以2sin()04x e x π+≥. (7)分所以 当0a ≤时,'()0f x ≥, 所以()f x 在区间3[0,]4π单调递增. .…………………….…8分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当0a ≤时,()f x 在区间3[0,]4π单调递增,所以3[0,]4x π∈时,()(0)0f x f ≥=. .…………………….…9分当01a <<时,设()'()g x f x =,则 '()(sin cos )(cos sin )2cos x x x g x e x x e x x e x =++-=,(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表:x(0,)2π2π 3(,)24ππ34π'()g x + 0-()g x1a-极大值a-所以'()f x 在[0,]2π上单调递增,在3(,]24ππ上单调递减.…………………….…10分因为'(0)10f a =->,3'()04f a π=-<, 所以存在唯一的实数03(,)24x ππ∈,使得0'()0f x =,.…………………….…11分且当0(0,)x x ∈时,'()0f x >,当03(,]4x x π∈时,'()0f x <, 所以()f x 在0[0,]x 上单调递增,()f x 在03[,]4x π上单调递减..…………………….…12分又 (0)0f =,33244323232()3042422f e a e ππππ=->⨯->>, 所以当01a <<时,对于任意的3[0,]4x π∈,()0f x ≥. 综上所述,当1a <时,对任意的3[0,]4x π∈,均有()0f x ≥. …………………….…13分方法2:(Ⅱ)因为()sin xf x e x ax=-,所以'()(sin cos )x f x e x x a =+-..…………………….…5分令()'()g x f x =, 则'()(sin cos )(cos sin )2cos x x x g x e x x e x x e x =++-=,.…………………….…6分(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表:x(0,)2π2π 3(,)24ππ34π'()g x + 0-()g x1a-极大值a-…………………….…7分当0a ≤时,3(0)10,()04g a g a π=->=-≥.所以3[0,]4x π∈时,()0g x ≥,即'()0f x ≥,所以()f x 在区间3[0,]4π单调递增..…………………….…8分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当0a ≤时,()f x 在区间3[0,]4π单调递增,所以3[0,]4x π∈时,()(0)0f x f ≥=. .…………………….…9分当01a <<时, 由(Ⅱ)可知,'()f x 在[0,]2π上单调递增,在3(,]24ππ上单调递减,因为'(0)10f a =->,3'()04f a π=-<, 所以存在唯一的实数03(,)24x ππ∈,使得0'()0f x =,.…………………….…11分且当0(0,)x x ∈时,'()0f x >,当03(,]4x x π∈时,'()0f x <, 所以()f x 在0[0,]x 上单调递增,()f x 在03[,]4x π上单调递减. …………………….…12分又 (0)0f =,33244323232()30442e f e a e ππππ-=->->>,所以当01a <<时,对于任意的3[0,]4x π∈,()0f x ≥. 综上所述,当1a <时,对任意的3[0,]4x π∈,均有()0f x ≥..…………………….…13分。

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