2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用学案

【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲

函数模型及其应用学案

板块一知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1 常见的函数模型

[必会结论]

“f(x)＝x＋(a＞0)”型函数模型

形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0]和(0，]上单调递减．

(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，

当x＜0时，x＝－时取最大值－2.

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )

(2)幂函数比一次函数增长速度快．( )

(3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题

中．( )

(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( )

(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按

九折出售，则每件商品仍能获利．( )

(6)当x＞4时，恒有2x＞x2＞log2x.( )

答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√(6)√2．[2018·长沙模拟]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )

答案C

解析出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞

停留后比原来骑得快，因此排除B.

3．[课本改编]已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( )

B．900米

A．800米

D．1200米

C．1000米

答案A

解析设这个广场的长为x米，则宽为米，所以其周长为l＝2≥800，当且仅当

x＝，即x＝200时取等号．4．[课本改编]某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获

利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )

B．105元

A．118元

D．108元

C．106元

答案D

解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108. 5．[2018·抚顺模拟]某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋

1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们发展到的只数为________．

答案200

解析∵alog33＝100，∴a＝100，y＝100log39＝200. 6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾

驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经

过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)

答案2

解析设n小时后才可以驾车，由题意得0.8(1－50%)n＝2,0.5n＝，即n＝2，即

至少经过2小时后才可以驾驶机动车．

板块二典例探究·考向突破

考向利用函数图象刻画实际问题

例 1 [2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质

量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，

绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是( )

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较

平稳

答案A

解析对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A

错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；

对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A.

触类旁通

用函数图象刻画实际问题的解题思路

将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性

质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．【变式训练1】[2015·北京高考]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽

油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列

叙述中正确的是( )

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车

更省油

答案D

解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效

率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误．对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误．对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，

故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．

考向 已知函数模型解决实际问题

例 2 [2015·四川高考]某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单

位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃

的保鲜时间是( )

A ．16小时

B ．20小时

C ．24小时

D ．28小时 答案 C

解析 由题意，得(0,192)和(22,48)是函数y ＝ekx ＋b 图象上的两个点，

则解得e11k ＝.所以当储藏温度为33 ℃时，保鲜时间y ＝e33k ＋b ＝(e11k)3·eb

＝×192＝24(小时)．

触类旁通

利用已知函数模型解决实际问题的步骤

若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定

系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．

【变式训练2】 [2014·北京高考]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总

粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p ＝at2＋bt ＋c(a ，b ，c 是常数)，下图记录了三次实验的数据．根

据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )

A ．3.50分钟

B ．3.75分钟

C ．4.00分钟

D ．4.25分钟 答案 B

⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－0.2，

b ＝1.5，

c ＝－2，由已知得解得 解析 ∴p ＝－0.2t2＋1.5t －2＝－2＋，