波的干涉之空间条件及其应用

两列波在 P 点出现振动相互减弱的条件是： ΔR = R2-R1（或 R1-R2） = （2k-1）·λ/2 ( k =1,2,……) 当 k=1 时，ΔR =λ/2 ，得到两列波振动相互减弱区域的第一条双曲线。因 为 0＜λ/2＜λ ,所以这第一条减弱线位于第零条加强线（即 S1S2 连线的中 垂线 MN）和第一条加强线之间。 当 k=2 时，ΔR = 3λ/2 ，得到第二条振 动相互减弱的双曲线，位于第一条加强线和第二条加强线之间。……。 由于对称性，在中垂线 MN 的另一侧也依次有第一条、第二条、……振 动相互减弱的双曲线。k 的取值范围也由 d 和λ的值来确定。
更一般地，不论 d 为何值，S1、S2 连线的中垂线必为振动加强的区域， 即第零条加强线总存在。
以上的讨论都是在一个平面内进行的。若扩充到三维空间，只须将那些 表示振动加强或减弱区域的双曲线以直线 AB 为轴旋转，即可得到以 S1、S2 为波源的两列球面波在三维空间干涉的图样——一系列表示振动加强和振动 减弱区域的双曲面，原第零加强线经旋转成了 S1、S2 连线的中垂面。旋转后 加强和减弱的规律与原平面内的加强线和减弱线一一对应。正如我们可以用 不同的直线或曲线去截二维情形中的各双曲线和中垂线而得到一系列振动加 强和减弱的点一样，我们也可以用平面或曲面去截三维情形中的各双曲面或 中垂面，可以得到一系列的双曲线。所截线的条数和形状与所用曲面或平面 的形状以及所取的方位有关。
距离小于或等于半波长，在直线 AB 以外的其他区域，即使是同频同相同振动
方向的两列波，都不可能产生稳定的干涉现象。
从图 1 可以看出，当 d ＜λ/2 时，在线段 S1S2 上必不可能有任何一点 P 到 S1 和 S2 的距离之差 ΔR =λ/2 ,更不用说ΔR=3λ/2， 5λ/2，……。即 在线段 S1S2 上没有振动减弱的点。线段 S1S2 上振动减弱的点是整个空间以 S1、 S2 为两定点的振动减弱双曲线的顶点。没有顶点，双曲线自然不存在。这说 明：如果两波源之间的距离小于半波长，则在整个空间（包括 S1、S2 所在的 直线 AB）无论什么地方都不可能有稳定的振动减弱的区域。
ΔR = R2-R1（或 R1-R2） = nλ ( n = 0,1,2,…… ) 点 P 为动点，S1、S2 为两定点，当 n 取 0，1，2，…… 中的任一确定值时 R2-R1 = nλ符合一动点到两定点的距离之差为一定值的条件，即动点 P 的轨迹是一 条双曲线。当 n=0 时，R2=R1 ，点 P 的轨迹为 S1、S2 连线的垂直平分线 MN； 当 n=1 时，R2-R1=λ，点 P 的轨迹为位于 MN 两侧、最靠近 MN 且关于 MN 对称 的两条双曲线；当 n=2 时，R2-R1=2λ，点 P 的轨迹为位于 MN 两侧第二靠近 MN 且关于 MN 对称的两条双曲线；……。如图 1：
2
波的干涉之空间条件及其应用
由（2k-1）λ/2 ＜ d， 得 k ＜（2d+λ）/2λ (k=1,2,……)
∵ k≥1 即 （2d+λ）/2λ ＞ 1
∴ 必须
d ＞λ/2
否则，在直线 AB 以外的区域，必不会出现振动相互减弱的区域，即不会有加
强区域和减弱区域相互间隔出现的干涉图样。也就是说：如果两波源之间的MA NhomakorabeaB
s1 s2
N 图2
当 d =λ/2 时，线段 S1S2 之间（点 S1、S2 除外）没有点能满足ΔR = λ/2，但在直线 AB 上、线段 S1S2 之外（含点 S1、S2）任意的点 P 到点 S1 和 S2 的距离之差 ΔR ≡ d =λ/2 。即在点 S1、S2 所在的直线 AB 上，除线段 S1S2 外的所有点全是震动减弱的点。此时的物理图景如图 2。
1
波的干涉之空间条件及其应用
n=-2
k=-2
n=0
n=-1 k=-1M k=1
n=1
k=2
n=2
A ←λ→
S1
P
R1 R2
d
→
λ
2
←
B
S2
N 图1
那么 n 的取值范围是多少呢？这要由 d 和λ的值来确定。在ΔS1PS2 中，R2-R1 （或 R1-R2）是任意两边的差，应该小于第三边 d，即 R2-R1＜d 或 R1-R2＜d , 也就是 nλ＜d ，得 n ＜d/λ 。一旦 d 和λ确定，n 的取值范围也就定 了。例如：λ= 3 cm , d = 7 cm , 则 n ＜ 7/3 ＜ 3 ,即 n 可取 0，1，2 五 个整数值。这样，两列波振动加强的区域为 S1、S2 连线的中垂线 MN 和 MN 两 侧第一、第二靠近 MN 且关于 MN 对称的各两条双曲线共五条线。若用圆心位 于 S1S2 上半径大于 d 的圆去截这五条线，共可得到十个交点，即两列波在这 圆上共有十处振动是加强的。
关键词： 中学物理 波 干涉 空间条件
我们知道，振动方向相同的两列波在空间相遇能够形成稳定干涉图样的 条件是：两列波的频率相同、相位相同或相差恒定。其实这仅仅是从时间的 角度考虑的，还有一个非常重要的空．间．条件往往容易被我们所忽视。现在我 们就来讨论这个问题。
设波长均为λ的两列相干波的波源 S1、S2 位于直线 AB 上，二者之间的 距离为 d , S1、S2 到空间任一点 P 的距离分别为 R1、R2 ,则两列波在 P 点出 现振动相互加强的条件是：
波的干涉之空间条件及其应用
波的干涉之空间条件及其应用
张建勋
内容摘要：本文从时间上满足相干条件的两相干波源间的距离 与波长的关系入手，利用解析几何和平面几何等数学工具，结 合作图的方法，分析了形成稳定干涉图样的空间条件。得出结 论：“两波源之间的距离不小于半波长”是两列波在空间形成 稳定干涉图样的必要条件。并举例进行了应用。
与 S1、S2 连线的中垂线 MN 一样，S1、S2 所在的直线 AB 也是一条特殊的直 线。如果只考查直线 AB 上波的叠加情况，那么：
一般地，若 d =（2k-1）·λ/2 (k=1,2,……)，则点 S1、S2 两外侧全为 振动减弱的点，即以 S1、S2 为端点分别向外的两条射线 S1A、S2B 为振动减弱 的区域；若 d = nλ (n = 0,1,2,……)，则该两条射线为振动加强的线。
S1、S2 连线的中垂线 MN 为振动加强的区域，在线段 S1S2 的两侧各有
3
波的干涉之空间条件及其应用
一条射线（S1A、S2B）为振动减弱的区域。把这仅有的三条孤立的线看成稳 定的干涉图样也无不可。由此可见，两波源之间的距离不小于半波长，是两 列波产生稳定干涉现象必不可少的空间条件。它与产生干涉的时间条件一起， 构成两列波产生稳定干涉现象的必要条件，二者不可或缺。