随机震动-第七章 随机振动理论在地震工程
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第七章 随机振动理论
在地震工程中的应用
[提要]：本章重点讨论工程结构概率抗震设计理论与 方法。主要内容包括：
• 随机地震力理论; • 结构随机地震反应（弹性与弹塑性）分析; • 地震损伤分析与抗震结构的动力可靠性分析; • 地震损失估计及基于可靠性的优化设计等。
1、地震地面运动的随机模型
地震发生在时间、空间、强度方面具有明显的随机性。 地震动特性：峰值、频谱和持时。
XZ
ev2 dv
cZ
• • xy XZ X
2
2 Z
exp
x
2 y
2
2 Z
1 erf
• xy XZ
2(1
2
•
XZ
)
Z
1
2
•
XZ
•
X
Z
exp
x
2 y
2
2 Z
exp
2(1
x 2 2
•y XZ
2 •
)
XZ
2 Z
式中：
erf ( y) 2 y eu2 du
0
（2）刚塑性恢复力模型
实际地震记录：
地震动一般由三个阶段组成：
上升段
由弱到强；
主震段
持续的强震段；
衰减段
由强到弱。
可见：地震动应是非平稳随机过程。
为了简化：
当强震持时较长时，一般用平稳随机过程描述。
❖ 地震动平稳随机过程模型
（1）白噪声模型
Sags () S0
问题：不能考虑场地土的动力特性。 （2）过滤白噪声模型 基本思想：将基岩地震动模拟为平稳白噪声过程，
——为误差函数。
在滞回面积相等的条件下，双线性恢复力模型可
以简化为刚塑性模型（第一刚度为∞，第二刚度与双线
性模型相同）。
刚塑性模型的滞变恢复力与双线性模型相同，其
中，滞变位移Z可简单表示为：
表示符号函数。
2 2) 2)2
（4）平稳过滤有色噪声模型 问题提出：要使地震动随机模型应用于工程结构抗震 设计，则必须建立随机模型与当今抗震规范的联系， 即建立模型参数与地震烈度和场地类别的关系。 由于金井清谱求不出地面位移、速度、加速度导 数的有限方差值，因此，无法由地震烈度和场地类别 确定模型参数。
为此，基于以下考虑提出了平稳过滤有色噪声模型。
❖ 地震动随机场模型 地震动是空间和时间参数的随机过程。
主要用于大型结构（桥梁、生命线系统等）的 随机反应分析。
2、弹塑性随机地震反应分析
弹塑性——滞变特性→是一种强非线性。 主要表现为：
恢复力曲线在加载和卸载过程中不是沿同一路径变 化，而是形成如图所示的滞回环。也称为滞变曲线。
• 滞变系统的特点：
阻尼比。
地面绝对加速度过程为：
••
••
•
ag (t) Z (t) X g (t) 2 gg Z (t) g2Z (t)
其功率谱密度函数为：
Sags ()
1
4
2 g
2 g2
1
2
2 g
2
4
2 g
2
2 g
S0
地震地面运动方差为
2
ags
Sags ()d
1
4
2 g
g
2 g
S0
“金井清谱”的特点：
• 有明确的物理意义； • 考虑了场地土的动力特性（场地土的频率与阻尼）； • 问题是不能反映基岩的动力特性（白噪声），求不出
地面位移、速度、加速度导数的有限方差值。
（3）Барштейи模型
Rags ( ) De (cos sin )
Sags
(
)
D
( )2 ( )( 4 2( 2 2 ) 2 ( 2
1
1
2 R2
S0
其中，基岩地震动J（t）为以下随机微分方程的解过程。
V• (t) RV (t) W (t) J (t) RV (t)
该方程为伊藤随机微分方程，其解过程是马尔柯
夫过程，故称基岩谱为“马尔柯夫谱”。即
1
S () ags 1
2
S 0
2
R
❖ 地震动非平稳随机过程模型 目前，在地震工程中，较常用的非平稳模型为确
定性函数与平稳随机过程的乘积。即
AF (t) f (t)A(t)
A(t) ——平稳随机过程； f (t) ——表示随机干扰的非平稳性，也称非平稳 强度包线函数。
非平稳强度包线函数有如下常见形式：
（1）分段函数（如图所示）
t2
tb2
f (t) 1
ec(ttc )
t tb tb t tc
实现等价线性化的关键是： 建立滞变恢复力的模型及其数学描述。
数学描述有两种形式：分段解析式（即分段函数） 和微分方程形式（一个数学表达式）。
一个数学表达式的描述更能适合随机反应分析。
❖几种滞变恢复力模型及其等价线性化 （1）双线性恢复力模型
恢复力模型曲线如图所示。
其滞变恢复力为:
滞变位移Z由以下非线性微分方程确定。
t tc
（2）
f
(t )
am
t
c
exp1
t c
d
c——地震动峰值对应的时间；
d——控制f(t)形状的参数。
（3） （4）
f (t) a btect
f (t) et e t
❖ 三维地震动随机模型
ag (t) ax (t), ay (t), az (t)
关键是确定各分量之间的a 互相关函数或互谱密度。
滞变恢复力的等价线性化 ——实质是非线性微分方程的等价线性化。
等价线性微分方程可以表示为：
对于正态零均值的反应，可以推得:
2
c•
X
1
xy ( 2 Z ) • v XZ
1
2 •
XZ
eu2 du ev2 dv
1 2
1
erf
xy
2 Z
1
xy ( 2 Z ) erf
• v
XZ
1 •
将场地覆盖土层模拟为一单自由度体系，由此得到地面 的绝对加速度过程。
即将场地覆盖土层作为一滤波器 ——因此称为“过滤白噪声”。
具体过程如下：
••
•
••
X
g
(t)
2
gg
X
g (t)
2 g
X
g
(t
)
Z (t)
式中，
••
Z (t)
——零均值的平稳白噪声过程；
g , g ——分别为场地覆盖土层的卓越频率和
工程结构在强烈荷载作用下都将进入弹塑性变形 状态，从而表现出滞变特性，其强度、刚度退化，恢复 力成为位移的非线性多值函数，不仅取决于结构当时的 状态，还取决于响应历史。同时，伴随着能量耗散。
• 弹塑性随机反应分析的方法
由于滞变恢复力的复杂性，目前工程中应用较多且 较有效的方法是——统计等价线性化方法。
• 要有明确的物理意义，继承金井清谱的优点；
• 能反映基岩的动力特性，但要便于应用，即方便于
随机地震反应分析。
将基岩模拟为“半自由度体系”、将场地土层仍 模拟为单自由度体系，将基岩的干扰模拟为平稳白噪 声过程，由此得到地面的绝对加速度过程。
Sags ()
1
4
2 g
2 g2
2
1
2
来自百度文库2 g
4
2 g
2 g2
在地震工程中的应用
[提要]：本章重点讨论工程结构概率抗震设计理论与 方法。主要内容包括：
• 随机地震力理论; • 结构随机地震反应（弹性与弹塑性）分析; • 地震损伤分析与抗震结构的动力可靠性分析; • 地震损失估计及基于可靠性的优化设计等。
1、地震地面运动的随机模型
地震发生在时间、空间、强度方面具有明显的随机性。 地震动特性：峰值、频谱和持时。
XZ
ev2 dv
cZ
• • xy XZ X
2
2 Z
exp
x
2 y
2
2 Z
1 erf
• xy XZ
2(1
2
•
XZ
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Z
1
2
•
XZ
•
X
Z
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x
2 y
2
2 Z
exp
2(1
x 2 2
•y XZ
2 •
)
XZ
2 Z
式中：
erf ( y) 2 y eu2 du
0
（2）刚塑性恢复力模型
实际地震记录：
地震动一般由三个阶段组成：
上升段
由弱到强；
主震段
持续的强震段；
衰减段
由强到弱。
可见：地震动应是非平稳随机过程。
为了简化：
当强震持时较长时，一般用平稳随机过程描述。
❖ 地震动平稳随机过程模型
（1）白噪声模型
Sags () S0
问题：不能考虑场地土的动力特性。 （2）过滤白噪声模型 基本思想：将基岩地震动模拟为平稳白噪声过程，
——为误差函数。
在滞回面积相等的条件下，双线性恢复力模型可
以简化为刚塑性模型（第一刚度为∞，第二刚度与双线
性模型相同）。
刚塑性模型的滞变恢复力与双线性模型相同，其
中，滞变位移Z可简单表示为：
表示符号函数。
2 2) 2)2
（4）平稳过滤有色噪声模型 问题提出：要使地震动随机模型应用于工程结构抗震 设计，则必须建立随机模型与当今抗震规范的联系， 即建立模型参数与地震烈度和场地类别的关系。 由于金井清谱求不出地面位移、速度、加速度导 数的有限方差值，因此，无法由地震烈度和场地类别 确定模型参数。
为此，基于以下考虑提出了平稳过滤有色噪声模型。
❖ 地震动随机场模型 地震动是空间和时间参数的随机过程。
主要用于大型结构（桥梁、生命线系统等）的 随机反应分析。
2、弹塑性随机地震反应分析
弹塑性——滞变特性→是一种强非线性。 主要表现为：
恢复力曲线在加载和卸载过程中不是沿同一路径变 化，而是形成如图所示的滞回环。也称为滞变曲线。
• 滞变系统的特点：
阻尼比。
地面绝对加速度过程为：
••
••
•
ag (t) Z (t) X g (t) 2 gg Z (t) g2Z (t)
其功率谱密度函数为：
Sags ()
1
4
2 g
2 g2
1
2
2 g
2
4
2 g
2
2 g
S0
地震地面运动方差为
2
ags
Sags ()d
1
4
2 g
g
2 g
S0
“金井清谱”的特点：
• 有明确的物理意义； • 考虑了场地土的动力特性（场地土的频率与阻尼）； • 问题是不能反映基岩的动力特性（白噪声），求不出
地面位移、速度、加速度导数的有限方差值。
（3）Барштейи模型
Rags ( ) De (cos sin )
Sags
(
)
D
( )2 ( )( 4 2( 2 2 ) 2 ( 2
1
1
2 R2
S0
其中，基岩地震动J（t）为以下随机微分方程的解过程。
V• (t) RV (t) W (t) J (t) RV (t)
该方程为伊藤随机微分方程，其解过程是马尔柯
夫过程，故称基岩谱为“马尔柯夫谱”。即
1
S () ags 1
2
S 0
2
R
❖ 地震动非平稳随机过程模型 目前，在地震工程中，较常用的非平稳模型为确
定性函数与平稳随机过程的乘积。即
AF (t) f (t)A(t)
A(t) ——平稳随机过程； f (t) ——表示随机干扰的非平稳性，也称非平稳 强度包线函数。
非平稳强度包线函数有如下常见形式：
（1）分段函数（如图所示）
t2
tb2
f (t) 1
ec(ttc )
t tb tb t tc
实现等价线性化的关键是： 建立滞变恢复力的模型及其数学描述。
数学描述有两种形式：分段解析式（即分段函数） 和微分方程形式（一个数学表达式）。
一个数学表达式的描述更能适合随机反应分析。
❖几种滞变恢复力模型及其等价线性化 （1）双线性恢复力模型
恢复力模型曲线如图所示。
其滞变恢复力为:
滞变位移Z由以下非线性微分方程确定。
t tc
（2）
f
(t )
am
t
c
exp1
t c
d
c——地震动峰值对应的时间；
d——控制f(t)形状的参数。
（3） （4）
f (t) a btect
f (t) et e t
❖ 三维地震动随机模型
ag (t) ax (t), ay (t), az (t)
关键是确定各分量之间的a 互相关函数或互谱密度。
滞变恢复力的等价线性化 ——实质是非线性微分方程的等价线性化。
等价线性微分方程可以表示为：
对于正态零均值的反应，可以推得:
2
c•
X
1
xy ( 2 Z ) • v XZ
1
2 •
XZ
eu2 du ev2 dv
1 2
1
erf
xy
2 Z
1
xy ( 2 Z ) erf
• v
XZ
1 •
将场地覆盖土层模拟为一单自由度体系，由此得到地面 的绝对加速度过程。
即将场地覆盖土层作为一滤波器 ——因此称为“过滤白噪声”。
具体过程如下：
••
•
••
X
g
(t)
2
gg
X
g (t)
2 g
X
g
(t
)
Z (t)
式中，
••
Z (t)
——零均值的平稳白噪声过程；
g , g ——分别为场地覆盖土层的卓越频率和
工程结构在强烈荷载作用下都将进入弹塑性变形 状态，从而表现出滞变特性，其强度、刚度退化，恢复 力成为位移的非线性多值函数，不仅取决于结构当时的 状态，还取决于响应历史。同时，伴随着能量耗散。
• 弹塑性随机反应分析的方法
由于滞变恢复力的复杂性，目前工程中应用较多且 较有效的方法是——统计等价线性化方法。
• 要有明确的物理意义，继承金井清谱的优点；
• 能反映基岩的动力特性，但要便于应用，即方便于
随机地震反应分析。
将基岩模拟为“半自由度体系”、将场地土层仍 模拟为单自由度体系，将基岩的干扰模拟为平稳白噪 声过程，由此得到地面的绝对加速度过程。
Sags ()
1
4
2 g
2 g2
2
1
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来自百度文库2 g
4
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2 g2