第一章1.2.1平面的基本性质与推论学生版
1.2.1平面的基本性质和推论
A b,
过直线 b和点 A只有一个平面.
A , P ,
AP ,
即： a .
过a，b只有一个平面 ,
即：过 a，b 有且只有一个平面．
右图是一张倒置 的课桌，你能用所 学的知识检查一下 桌子的四条腿是否 在同一个平面内？
【例2】两两相交且不共点 的三条直线必在同 一个平面内.
B A C
所以过点A和直线BC确定平面.（推论1）
因为A∈， B∈BC，所以B∈. 故AB ，同理AC ， 所以AB，AC，BC共面.
B
证法三：
A
C
因为A，B，C三点不在一条直线上， 所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理3） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1） 同理BC ，AC ， 所以AB，BC，CA三直线共面.
即直线AD、BD、CD共面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 平面.
图形语言：
a b
符号语言：a b P 有且只有一个平面 , 使a , b
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.
已知：直线 a，b且 a
b面 ． . 证明：在a上取不同于点P的点A．
证明： AB P,
P AB，P 平面 ,
点P在平面ABC与平面的交线上. （公理2）
同理可证：
Q ，R也在平面ABC与平面 的交线上.
P，Q，R三点共线.
要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相 交平面内，则落在它们的交线上.
练习 1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面
A
B C
a b c
研
已知：a // b // c, a l A, b l B, c l C
1.2.1平面的基本性质与推论
【学习重点、难点】
重点：1.平面的基本性质与推论；2.文字语言、图形语言和符号语言的相互转化。 难点：平面的基本性质与推论的应用。
【使用说明】
1．结合学习目标和重难点，先用 15 分钟认真预习课本 P35-38，划出重要知识；认真完成导学 案，并用红色笔做好疑难标记； 2．独立思考，找出疑难点，准备讨论解决。
让每个学生都进步
为成功的人生做准备
高一数学导学案（必修二）
编号： 35
使用时间：
11.24
第 4 周
第 2
课时
编制人：吕宏岩
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
小组：
姓名：
组评：
师评：
探究案
例 1. （1） ．已知平面 α 与平面 β、γ 都相交，则这三个平面可能的交线有( A．1 条或 2 条 B．2 条或 3 条 C．1 条或 3 条 D．1 条或 2 条或 3 条 （2） 若 a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线， 则 a 和 c 的位置关系是( A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 例 2.已知一直线 a 分别与两平行直线 b,c 相交。求证：a,b,c 三线共面 a b c )
【科技因素】体会公理化思想在科学中的价值与作用 记背案
柱、锥、台、球的体积公式 (1)柱体的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积，即 V 柱体＝Sh 1 (2)如果一个锥体的底面积是 S，高是 h，那么它的体积是 V 锥体＝ Sh 3 (3)如果一个台体的上、下底面面积分别为 S′、S，高为 h，那么它的体积是 V 台体＝
P
R
让每个学生都进步
为成功的人生做准备
A．A、M、O 三点共线 C．A、O、C、M 四点共面
1.2.1平面的基本性质与推论
三,共面与异面直线
1.空间中的几个点或几条直线都在同一 1.空间中的几个点或几条直线都在同一 平面内,我们就说它们共面 共面. 平面内,我们就说它们共面 如图: 如图:把这类既不相交又 不平行的直线叫做异面直 不平行的直线叫做异面直 线 判断: 判断:
A l
α B
课堂练习: 选择题: 课堂练习: 1,选择题
2个平面分空间有两种情况: 个平面分空间有两种情况: 个平面分空间有两种情况
(1)两平面没有公共点时 两平面没有公共点时 (2)两平面有公共点时 两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或 个部分 个部分. 两个平面把空间分成 或4个部分.
3个平面 个平面 3个平面把空间分成 ,6,7或8个部分. 个平面把空间分成4, , 或 个部分 个部分. 个平面把空间分成
1个或0个 个或0
m
基本性质2 基本性质2 经过不在同一条直线 上的 三点有且只有一个平面
A B C
想一想: 想一想:哪些现象可以用来说明基本性 质2 ?
平面的基本性质2 经过不在同一条直线上的三点 三点, 平面的基本性质2 经过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面 . 推论1 经过一条直线和直线外的一点, 推论1 经过一条直线和直线外的一点, 有且只有一个平面 . 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 相交直线 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 . 平行直线 推论3 经过两条平行直线,
作用? 作用?
基本性质3 基本性质 如果不重合的两个平面有一个公共 那么它们有且只有一条过这个点的公共直线. 点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
其中a 其中a b 为交线
b a α β δ γ
课件3：1.2.1 平面的基本性质与推论
谢 谢！
[解] ∵E、F 分别是 AB、BC 的中点，∴EF 綊12AC.
又∵DG DC＝DH DA＝
，∴HG 綊13AC.
∴EF∥HG，且 EF>HG，∴EH 与 FG 相交于点 P.
又∵P∈EH，P∈FG，而EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD， ∴P∈平面ABD，P∈平面BCD. ∴P∈平面ABD∩平面BCD＝BD， 即直线BD经过点P. 因此直线EH、FG、BD相交于一点．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] 由共面的条件知，平行四边形是平面图形，∴②③④正确，
①不正确．故选C.
[答案] C
3．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条 直线中，异面直线共有( )
A．12对
B．24对
C．36对
D．48对
[解析] 可构成异面直线的只能是侧棱与底面正六边形的与此侧棱不 相交的边，故一条侧棱构成4对，∴共24对．
共面问题 例2 已知直线m与直线a、直线b分别交于A、B两点，且a∥b.求证： 直线a、b、m共面． [解] 如图所示，∵a∥b，∴a、b 确定一个平面 α， 又∵m∩a＝A，m∩b＝B， ∵A∈α，B∈α，∴m⊂α，∴直线 a、b、m 共面．
跟踪练习2 已知：a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线． 求证：a、b、c、d共面． [解] (1)有三线共点的情况，如图． 设b、c、d三线相交于点K，与a分别交于N、P、M且K∉a. ∵K∉a，∴K和a确定一个平面，设为α. ∵N∈a，a⊂α，∴N∈α，∴NK⊂α，即b⊂α. 同理，c⊂α，d⊂α，∴a、b、c、d共面．
[答案] B
4．三角形、四边形、梯形、圆中一定是平面图形的有________个． [解析] 由共面的条件知，平面图形有三角形、梯形、圆共3个． [答案] 3
1.2.1平面的基本性质与推论
公理2的作用:确定平面的依据
文字语言：
公理3.如果不重合的两个平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过这个点的公共直线
图形语言： β
a
α
P
符号语言：
P P
l且P
l
(l为交线)
公理3的作用有三：
一 是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；
二 是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上.
1.2.1平面的基本性质与推论
用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为：A∈a
a
点B不在直线a上： 记为：B∈a
A
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α内： 记为：A∈α
B
点B不在平面α上记：为：B∈ α
A
α
(3)直线与平面的位置关系： 直线a上的所有点都在平面α上，称直线a
在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：a α
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直 线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A
直线a与平面α没有公共点时，称直线a与 平面α平行。 记为：a//α
a
a
a
A
α
α
α
如果要把一根木条固定在墙 面上,至少需要几个钉子?
平面的基本性质
公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直 线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
l
α
A
B
文字语言：
公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直 线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
第一章1.2.1平面的基本性质与推论教案学生版
§1.2点、线、面之间的位置关系1．2.1平面的基本性质与推论【学习要求】1．理解平面的基本性质与推论．2．能运用平面的基本性质及推论去解决有关问题．3．会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．【学法指导】通过桌面、黑板、地面等有形的实物，对平面有个感性认识，进而抽象出平面的概念及平面的基本性质及推论，感受我们所处的世界是一个三维空间，进而增强学习的兴趣，培养空间想象能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．连接两点的线中，线段最短；过两点有一条，并且只有一条直线．2．平面基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．这时我们说，直线在平面内或平面经过直线 .3．基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．4．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．5．基本性质的推论：推论1 ：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面；推论2 ：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 ：经过两条平行直线，有且只有一个平面．6．异面直线：既不相交也不平行的直线叫做异面直线．与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？探究点一平面的基本性质问题1在初中我们学习的点与直线的基本性质有哪些？问题2生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？那么，平面的含义是什么呢？问题3实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？问题4直线和平面都可以看成点的集体，那么点、直线、平面的位置关系怎样用集合的符号表示？问题5如何用符号语言表示基本性质1？基本性质1有怎样的用途？问题6生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？问题7如何用符号语言表示基本性质2？基本性质2有怎样的用途？问题8基本性质2中“有且只有一个”的含义是什么？问题9如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？问题10如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？问题11如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？问题12回顾第1.1节的内容，我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？问题13在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应该怎样处理才有立体感？探究点二空间中两直线的位置关系问题1空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．如果两条直线共面，那么两条直线有怎样的位置关系？问题2如图，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，那么直线l与直线AB能不能在同一个平面内？为什么？直线l与直线AB的位置关系是怎样的？小结：我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．例1如图中的△ABC，若AB、BC 在平面α内，判断AC 是否在平面α内？小结：要判断或证明直线在平面内，只需要直线上的两点在平面内即可．跟踪训练1求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a、b、c和l共面．例2如图，正方体AC1中，对角线A1C和平面BDC1交于O，AC与BD交于点M，求证：点C1、O、M共线．小结：证明点共线问题常用方法：(1)先找出两个平面，再证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3从而判定他们都在交线上；(2)选择两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上．跟踪训练2空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，已知EF和GH相交于点M，求证：点B、D、M共线．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β2．空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点3．“a、b为异面直线”是指：①a∩b＝∅，且a b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b＝∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β＝∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立．上述结论中，正确的是()A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确课堂小结：1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线。
平面的基本性质与推论
（2）A∈β，B ∈β，C ∈β，
D ∈ β，E β，F β；
（3）α∩β= AB ；
例2．如图中△ABC，若AB、BC 在平面 α内，判断AC 是否在平面α内？
C A
B
解：∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平 面α内，又BC在平面α内，∴ C点一定在 平面α内， ( 点A、点C都在平面α内，) 直线AC 在平面α内（公理1）.
C1 B1 E
C
A
B
P
则P∈D1F，P∈DA ，
又∵D1F 平面BED1F，P在平面BED1F
内.
AD 平面ABCD，P∈
平面ABCD，
D1
C1
又B为平面ABCD与平 A1
面BED1F的公共点， F D ∴连结PB，PB 即为
平面BED1F 与平面 ABCD的交线.
P
A
B1 E C
B
D1 A1 FD A P
(3) 公理3的作用: 其一判定两个平面是否相交; 其二可以判定点在直线上. 点是某两个
平面的公共点，线是这两个平面的公共交 线，则这点在线上.
因此它还是证明点共线或线共点，并 且作为画截面的依据.
二. 平面基本性质的推论
（1）推论1： 文字语言 ：经过一条直线和直线外的一 点，有且只有一个平面.
C1 B1 E
C B
例5. 如图所示，已知△ABC的三个顶点都 不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长 线后分别交平面α于点P、Q、R， 求证：点P、Q、R在同一条直线上.
证明：由已知AB的延长线交 平面α于点P，根据公理3， 平面ABC与平面α必相交于 一条直线，设为l，
பைடு நூலகம் P∈直线AB，P∈面ABC，又直线AB∩ 面α=P，∴ P∈面α. ∴ P是面ABC与面α的公共点，
1.2.1 平面的基本性质与推论
张喜林制1.2.1 平面的基本性质与推论教材知识检索考点知识清单1．点与直线的基本性质连接两点的线中， 最短；过两点有 ，并且只有 ． 2．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上的 ，这时我们就说：直线在 或 ．公理2：经过 的三点，有且只有一个 即 的三点确定 ．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有 条过 的公共直线． 3．平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和____，有且只有____推论 2：经过两条____，有且只有____ ． 推论3：经过两条____，有且只有____．要点核心解读1．平面的基本性质 (1)公理l①三种语言表述文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内， 图形语言：如图1-2 -1-1． 符号语言：⇒∈∈∈∈ααB A l B l A ,,,.α⊂l②公理1的条件是“线上有两点在平面内”，结论是“线上的所有点都在平面内”，这个结论阐述两个观点，一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内． ③作用：判定直线是否在平面内，判定点是否在平面内． (2)公理2①三种语言表述文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．图形语言：如图1-2 -1-2．符号语言：A ，B ，C 三点不共线等有且仅有一个平面α，使.,,ααα∈∈∈C B A②公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且仅有一个平面”，要注意“不在同一条直线上”这一附加条件，舍之则结论不成立．结论中“有且仅有”即“存在且唯一”，又可称之为“确定”平面．③公理2的三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．④公理2及三个推论的作用：其一是确定平面，其二可用来证明点、线共面的问题，其三是用来作为计算平面个数的依据． (3)公理3①三种语言表述文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言：如图1-2 -1-3．符号语言：.l P l P ∈=⇒∈且βαβα②公理3的条件是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线唯一”．③作用：其一是判定两个平面是否相交，其二是判定点在直线上，可用来证明多点共线或多线共点问题2．平面基本性质的理解及应用 平面基本性质的三条公理及推论，是我们学习和研究立体几何问题的重要基础，根据平面的基本性质，常将空间图形转化为平面图形解决，这是解答立体几何问题的重要思想方法．(1)公理1是判定直线是否在平面内的依据，运用公理1可判定直线是否在某一平面内．(2)公理2以及推论是确定平面的依据，确定一个平面，包括两层意思：①存在一个平面；②只有一个平面．公理2及其三个推论是四个等价命题．(3)公理3是确定两个平面相交于一条直线的依据，运用公理3可判定多点共线或点在线上．(4)证明空间三点共线的问题．通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内又在第二个平面内，当然必在两个平面的交线上．(5)证明空间三线共点的问题可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后存证另两条直线的交点在此直线上．(6)证明空间几点共面的问题，可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内．(7)证明空间几条直线共面的问题，可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证其余直线在这个平面内，或者从这些直线中取任意两条确定若干个平面，再一一确定这些平面重合．典例分类剖析考点1 判断命题的正误 命题规律判断对给出的公理及推论的理解或不同表述是否正确. [例1] (1)下列命题中不正确的是( ).A.若一条直线上有一点在平面外，则直线上有无穷多个点在平面外B ．若,,,ABC B A ∈∈∈αα则α∈C C ．若,,,,B b l A a lb a ==⊂⊂ αα则α⊂lD ．若一条直线上有两点在已知平面外，则直线上的所有点都在平面外(2)直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面b N a M ∈∈,,α且,l M ∈,l N ∈则( )．α⊂l A . α⊂/l B . M l C =α. N l D =α . [试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] (1)根据公理l ，直线在平面内的条件是直线上有两个点在平面内即可，因此选D ．,,,,,,)2(ααα∈∴⊂⊂∈∈N M b a b N a M 而M ．N 确定直线L ．根据公理1可知,α⊂l 故选A ．[答案](1)D(2)A母题迁移 1．下列命题：(1)空间不同的3点确定一个平面； (2)有3个公共点的两个平面必重合；(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面； (4)三角形是平面图形；(5)平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； (6)垂直于同一直线的两直线平行；(7)-条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； (8)两组对边相等的四边形是平行四边形， 其中正确的命题是 ． 考点2 平面个数的确定 命题规律由给定的条件，借助公理确定平面的个数． [例2] (1)不共面的四点可以确定几个平面？(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？ (3)共点的三条直线可以确定几个平面？ (4)空间三点可以确定几个平面？[答案] (1)不共面的四点可以确定四个平面．(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平面． (3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．(4)若空间三点不共线，由公理2，则可以确定一个平面；若空间三点共线，则过三点的平面有无数多个，但这三点都不能确定其中的任何一个平面，此时有0个平面．故空间三点可以确定一个或0个平面． [点拨] (1)判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，做到不重不漏．平面的个数问题主要是根据已知条件和公理2及其三个推论来判定．(2)题中“确定”即“有且只有”．“有”是说平面存在，“只有”是说平面的唯一性．(3)解此类问题要注意理解“确定”的含义，否则(4)中就会错答为“可确定一个或无数个平面”． 母题迁移 2．四条直线两两平行，任意三条不共面，过其中的任意两条作一个平面，共可以作平面____个.考点3 线共点问题命题规律 证明满足某些条件的几条直线交于一点．[例3] 如图1-2 -1-5所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足===GD CG FB CF EB AE :,1:2::,1:3过E 、F 、G 的平面交AD 于H(1)求AH ：HD ；(2)求证：EH 、FC 、BD 三线共点．[答案] (1) ,//,2AC EF FBCFEB AE ∴== //EF ∴平面ACD ．而⊂EF 平面EFCR ，平面 EFGH平面,GH ACD =.3.//,//,//==∴∴∴GDCGHD AH GH AC AC nEF GH EF,//)2(GH EF 且,41,31==AC GH AC EF ∴=/∴,GH EF 四边形EFGH 为梯形．令,P FG EH= 则⊂∈∈EH FG P EH P 又,,平面ABD ，⊂FG 平面BCD ，平面 ABD 平面,BD BCD =BD FG EH BD P 、、∴∈∴⋅三线共点．[点拨] 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证．母题迁移 3．三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．考点4 点共线问题命题规律 证明满足某些条件的几个点在一条直线上.[例4] 正方体1111D C B A ABCD -中，对角线C A 1与平面1BDC 交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点M O C 、、1共线．[解析] 要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可．[答案] 如图1-2-1-6所示，C C A A C C A A 1111//、⇒确定平面,1C A的交线上与平面在平面平面直线平面平面平面D BC C A O D BC D BC C A O C A 111111111⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈⇒=∈⇒⎭⎬⎫∈⊂O O C A O C A C A ,D BC C A 111111M C O M C C A D BC O ∈⇒⎭⎬⎫=平面平面的交线上与平面在平面即M C O 、、1三点共线．[点拨] 证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点．这样就可根据公理3证明这些点都在这两个平面的公共直线上， 母题迁移 4．已知△ABC 在平面α外，直线,P AB =α 直线,R AC =α 直线,Q BC =α 如图1 -2-1 -7.求证：P 、Q 、R 三点共线． 考点5点、线共面问置命题规律证明满足某些条件的若干个点或直线在题同一平面内.[例5] 如图1-2 -1-8所示，M 、N 、P 、Q 分别是正方体////D C B A ABCD -中棱///CC D C BC AB 、、、的中点．求证：M 、N 、P 、Q 四点共面．[解析] 要证这四点共面，方法较多，但注意到本题中点P 、Q 、N 、M 的特殊性及对正方体的理解和认识，可证直线PQ 和MN 相交或M P// NQ.[答案] 证法一：如图l-2-1-8所示，连接MN 并延长交DC 的延长线于O ，则≅∆MBN ,OCN ∆.BM CO =∴连接PQ 并延长交DC 的延长线于,/O 则,//CQ O Q PC ∆≅∆/////,,.O O CO CO PC MB PC CO 、又∴=∴==∴ 重合，∴ PQ 、MN 相交且确定一个平面，故M 、N 、P 、Q 四点共面．证法二：∴,///PC MB 四边形P MBC /为平行四边形．⋅∴∴NQ MP BC NQ BC MP //,//.////∴ MP 与NQ 确定一个平面， 故M 、N 、P 、Q 四点共面．[点拨] 一般地，证明若干个点共面，可证明这些点所在的直线相交，或先证明其中的三点共面，再证明其他的点也在这个平面内，这往往就要用到有关的定理或推论， 母题迁移 5．求证：两两相交且不共点的四条直线共面．学业水平测试1．下列叙述中正确的是( )．A ．因为,,αα∈∈Q P 所以α∈PQB ．因为,,βα∈∈Q P 所以PQ =βαC ．因为,,,ABD AB C AB ∈∈⊂α所以α∈CD D ．因为,,βα⊂⊂AB AB 所以)()(βαβα∈-∈∏B A2．下列命题中是真命题的是( )． A ．空间不同的三点确定一个平面B ．有三个内角是直角的空间四边形是矩形C ．三条直线中任意两条均相交，则这三条直线确定一个平面D ．顺次连接空间四边形各边的中点所得的四边形其对角线必共面3．在空间，若四点中的任意三点不共线，则此四点不共面．此结论( )． A ．正确 B ．不正确 C ．无法判断 D ．缺少条件 4．已知点A ，直线a ，平面α;,αα∉⇒⊂/∈A a a A ①;,αα∈⇒∈∈A a a A ②⊂∉a a A ,③;αα∉⇒A .,αα⊂⇒⊂∈A a a A ④以上命题正确的个数为 ．5．下列命题：①空间3点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形，其中正确的命题是 ． 6．有空间不同的五个点．(1)若有某四点共面，则这五点最多可确定多少个平面？(2)若任意四点都在同一平面内，则这五点共能确定多少个平面？并证明你的结论，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（6分x 7 = 42分）1．空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，那么四点中( )． A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线 D ．不可能有三点共线 2．如图1-2-1-11所示，平面,l =βα 点、A ,α∈B 点β∈C 且,,R l AB l C =∉ 设过A 、B 、C 三点的平面为γ，则γβ是( )．A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上均不正确3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )． A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 4．在空间内，可以确定一个平面的条件是( )．A ．两两相交的三条直线B ．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C ．三个点D ．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点5．如图1-2 -1-12所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，P 、Q 、R 分别是11C B AD AB 、、的中点．那么，正方体过P 、Q 、R 的截面图形是( )．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面a 共有( )． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个7．三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或3二、填空题（5分x4 =20分）8．如果一条直线与一个平面有一个公共点，则这条直线可能有 个点在这个平面内． 9．有下面几个命题：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A 在平面α外，点A 和平面a 内的任何一条直线都不共面． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上） 10.如图1-2 -1 -13所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，E 、F 分别为1CC 和1AA 的中点，画出平面F BED 1与平面ABCD 的交线的作法为11．如图1-2 -1-14所示，E 、F 分别是正方体的面11A ADD 和面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的投影可能是 （要求：把图1-2 -1 -15中可能的图的序号都填上）三、解答题（共38分）12.（8分）如图1-2-1-16所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点．求证：DA F D CE 、、1A 三线交于一点．13.（10分）如图1-2-1 -17所示，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 为AB 的中点，N 为1BB的中点，D 为平面11B BCC 的中心．(1)过O 作一直线与AN 交于P ，与CM 交于Q （只写作法，不必证明）；(2)求PQ 的长．14.（10分）如图1-2-1-18所示，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1111.B C C D 的中点。
1.2.1平面的基本性质与推论
图形表示：
l
α
A
B
符号表示： Al, B l, A, B l
作用： 1、用来判定直线是否在平面内； 2、表明平面是平的.
比如泥瓦工用直的木条刮平地面的水泥浆.
三、 平面的基本性质：
探究二：
生活中，我们常看到用三脚架固定相机等物品， 这样做有什么原因吗？
三、 平面的基本性质：
P CE, P D1F 又CE 平面ABCD
又 A1D1 //B1C1 //BC
D1F 平面ADD1A1
四A1边B/形/D1AC1D1CEBF是//平12 D行1C四边形又平PP面平A平B面C面ADADBDC平1AD面1, ADD1A1 DA
EF与D1C确定一个平面 PDA
探究一：
（1）将直尺（有刻度）边缘上的一个点放到桌面 内，直尺（有刻度）边缘上的所有点一定都会落在 桌面内吗？
（2）将直尺（有刻度）边缘上的两个点放到桌面 内，直尺（有刻度）边缘上的所有点都会落在桌面 内吗？
三、 平面的基本性质：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线在此平面内.
只有一个平面；
C
l
α
A
B
推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面；
m
C
l
α
A
B
推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面；
m
C
l
α
A
B
三、 平面的基本性质：
探究三：
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点P？为什么？
P
三、 平面的基本性质：
探究三：
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平 面与桌面所在平面是否只相交于一点P？为什么？
18-19 第1章 1.2 1.2.1 平面的基本性质与推论
1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论学习目标：1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点) 2.掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点) 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题．(难点)[自主预习·探新知]1．平面的基本性质及推论公理内容图形符号基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本性质2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本性质3如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图1-2-1①)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图1-2-1②)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图1-2-1③)．2．异面直线(1)定义：把既不相交又不平行的直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)图1-2-23．空间两条直线的位置关系思考：不在同一平面的两条直线是异面直线，对吗？[提示]不对，是不同在任何一个平面内．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三点可以确定一个平面．()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面．()(3)四边形是平面图形．()(4)两条相交直线可以确定一个平面．()[解析](1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．(3)错误．四边形不一定是平面图形．(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．下列说法正确的是________.【导学号：90662067】①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．[解析]①错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面．②正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面．③错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．④错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线．[答案]②3．根据图1-2-3，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.图1-2-3[答案]∈∉⊄AC[合作探究·攻重难]文字语言、图形语言、符号语言的相互转化根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.[解](1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示．图(1)图(2)图(3)[规律方法]1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1.如图1-2-4，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.图1-2-4[解](1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.点、线共面问题已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内.【导学号：90662068】[思路探究]四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．[解]已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内．由公理1知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面．(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面．综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．[规律方法]证明点线共面常用的方法1．纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内．2．重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．[解]已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l⊂α.又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.同理可证l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．法二：由法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内．同理可证c在a、l确定的平面α内．∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面.空间两直线位置关系的判定如图1-2-5，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：【导学号：90662069】图1-2-5①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．[思路探究]判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．[解析]根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．[答案]①平行②异面③相交④异面[规律方法]1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断．2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面D[若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．]点共线与线共点问题[探究问题]1．如图1-2-6，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？图1-2-6[提示]如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？[提示]由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点．[思路探究](1)两平面的交线⇒点P在交线上．(2)过其中两条直线的平面相交⇒第三条直线与交线相交⇒三线共点．[证明]如图可知，平面ABD∩平面BCD＝BD.易知FH∥AC且FH＝25AC，GE∥AC且GE＝12AC，所以FH∥GE且GH，EF交于点O.因为GH⊂平面ABD，O∈GH.所以O∈平面ABD.因为EF⊂平面BCD，O∈EF.所以O∈平面BCD，所以O∈平面ABD∩平面BCD ＝BD.所以EF，GH，BD交于一点．[当堂达标·固双基]1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是() A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交B[如图，在长方体AB CD-A1B1C1D1中，AA1与B C是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩B C＝B，DD1与B C是异面直线，故选B.]2．下列说法中正确的个数为()【导学号：90662070】①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．A．1 B．2C．3 D．4C[圆上两点为直径端点时，它们与圆心共线，此时这三个点不能确定平面，故③不正确，①②④正确，故选C.]3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.C[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]4．有以下三个说法：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交．其中正确的序号是________．[解析]若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确．[答案]①③5．如图1-2-7，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行.【导学号：90662071】图1-2-7 求证：a，b，c三条直线必过同一点．[证明]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a，b，c三条直线相交于同一点．。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质
公共点个数 有且只有一个 没有 没有
特别提醒
若直线 a,b 是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使其同时经过 a,b 两条 直线.例如,如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱 AB 和 B1C1 所在的直线 既不平行又不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线.要注意 分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异 面.
.
探究一
探究二
探究三
探究四
解析:图(1)可以用几何符号表示为 α∩β=AB,a⊂ α,b⊂ β,a∥AB,b∥AB. 即平面 α 与平面 β 相交于直线 AB,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,直线 a 平行于直线 AB,直线 b 平行于直线 AB. 图(2)可以用几何符号表示为 α∩β=MN,△ABC 的三个顶点满足条件 A∈MN,B∈α,C∈β,B∉ MN,C∉ MN. 即平面 α 与平面 β 相交于直线 MN,△ABC 的顶点 A 在直线 MN 上,点 B 在 α 内但不在直线 MN 上,点 C 在平面 β 内但不在直线 MN 上. 答案:α∩β=AB,a⊂ α,b⊂ β,a∥AB,b∥AB α∩β=MN,△ABC 的三个顶 点满足条件 A∈MN,B∈α,C∈β,B∉ MN,C∉ MN
(2)在“A∈α,A∉ α,l⊂ α,l⊄ α”中“A”视为平面 α(集合)内的点(元素),直 线 l(集合)视为平面 α(集合)的子集.明确这一点,才能正确使用集合符号.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 如图所示,写出图形中的点、直线和平面之间的关系.
图(1)可以用几何符号表示为
.
图(2)可以用几何符号表示为
经过不在同一条直线上的
高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质与推论bb高一数学
跟踪训练2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证： 直线l1，l2，l3在同一平面内.
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证明
命题角度2 点共线与线共点问题 例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为 AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.
么这条直线 判断直线是
图形
经过不在同一条
三点
直线上的 ，
基本
不共线的三点
有且只有一个平
性质2
面(即
确一定个一个平面)
确定平面及 两个平面重 合的依据
如果不重合的两
个平面有 12/13/2021
公 判断两平面
(2)平面基本性质的推论 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个 平面. 推论2：经过两条相交 直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行 直线，有且只有一个平面.
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解析 答案
3.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1异面的是
A.AB C.DD1
B.BB1
√D.B1C1
解析 由异面直线的定义知，与AA1异面的直线应为B1C1.
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解析 答案
4.线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是_直__线__A_B_⊂__α_. 解析 由基本性质1知直线AB在平面α内.
解析 因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊂α. 又因为C∈直线AB，所以C∈α.
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解析 答案
2.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条
课件8：1.2.1 平面的基本性质与推论
类型六 平面与平面交线的画法 【例 6】 今有一块正方体的木料 ABCD－A1B1C1D1，其中 E，F 分别为 CC1，AA1 的中点，要过 D1，E，F 三点将木料锯开，请帮 助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？ 思维启迪：解决问题时注意转化为空间中线与面，面与面的位置关 系上解决．
解：由于 D1，E，F 三点不共线，所以它们确定一个平面 D1EF.本 题即转化为求正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，平面 D1EF 与平面 AA1B1B 及平面 D1EF 与平面 CC1B1B 的交线的问题．
思维启迪：欲证 D，A，Q 三点共线，只需说明三点均在平面 AD1 和平面 AC 的交线 DA 上即可． 证明：∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线 MN，Q∈直线 EF. 又∵M∈直线 CD，N∈直线 AB，CD⊂平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD， ∴M，N∈平面 ABCD，∴MN⊂平面 ABCD，∴Q∈平面 ABCD. 同理，可得 EF⊂平面 ADD1A1，∴Q∈平面 ADD1A1. 又∵平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝AD， ∴Q∈直线 AD，即 D，A，Q 三点共线.
类型五 异面直线的证明 【例 5】 如图，在三棱锥 P－ABC 中，D，E 是 PC 上不重合的两 点，E，H 分别是 PA，PB 上的一点，且与点 P 不重合，求证：EF 和 DH 是异面直线．
思维启迪：利用判定定理及反证法证明异面直线．
证明：方法一：假设 EF 和 DH 不是异面直线， 则由两直线的位置关系知，它们必在同一平面 α 内． ∴E∈α，D∈α，∴ED⊂α. 又∵P∈ED，C∈ED，∴P∈α，C∈α， 又 H∈α，∴PH⊂α.∵B∈PH，∴B∈α. 同理 F∈α，可得 A∈α. 即 P，A，B，C 四点都在平面 α 内，与三棱锥的四个顶点不在同一 平面内矛盾．故假设不成立，于是直线 EF 和 DH 是异面直线．
1.2.1 平面的基本性质与推论
高一数学导学案
______________________________.
的作用：既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内，又可用来检验直线是否在
关于基本性质2
的三种数学语言表述：
文字语言表述：经过_______________________
___________________________________________________________________.
的作用：作用一是
关于基本性质3
的三种数学语言表述：
表述：如果
__________________________．
符号语言表述：
②基本性质3
其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线，其二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上．
2．平面基本性质的推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的
推论2：经过____________
，平面α与平面γ交于PB，平面β
与平面ADC交于AC.
、求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
和l共面．
的对角线的交点，长方体对角线A1C
AA1的
．空间三条不重合的直线a、b、c能确定的平面的个数是()
①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；
③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．
．
有且只有一个公共点M；。
课件10：1.2.1 平面的基本性质与推论
【自学导引】
1．平面的基本性质 (1)基本性质 1：如果一条直线上的 两 点在一个平面内，那 么这条直线上的 所有 点都在这个平面内，这时我们说直线在 平面内或 平面经过直线 ． (2)基本性质 2：经过 不在同一条直线上 的三点，有且只有一 个平面． 也可简单说成， 不共线的 三点确定一个平面．
想一想：若a⊂α，b⊂β，那么a与b一定是异面直线吗？ 提示 不一定，两直线是异面直线，则不同在任何一个平面内．当 a⊂α，b⊂β 时，可能存在平面 γ，使 a⊂γ 且 b⊂γ，即 a 与 b 共面．
【名师点睛】
1．平面的基本性质 平面的基本性质，即教科书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本 理论基础，每个都必须掌握好． 基本性质 1 的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面． 基本性质 2 的作用：一是确定平面，二是用其证明点、线共面问题． 基本性质 3 的作用：一它是判断两个平面是否相交的依据．二它可以判 定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线， 则这点在交线上．
1.2.1 平面的基本性质与推论
【课标要求】
1．掌握平面的基本性质和三个推论，会用三种语言表述性质 与推论． 2．了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面 之间的位置关系．
【核心扫描】
1．掌握平面的三个基本性质及推论的地位与作用．(重点) 2．会将文字语言、图形语言、符号语言进行相互转化与灵活 应用．(难点)
设直线 c 与 a，b 分别交于点 H，K，则 H，K∈α. 又 H，K∈c，∴c⊂α，同理可证 d⊂α. ∴a，b，c，d 四条直线在同一平面 α 内． 综上可知：当四条直线 a，b，c，d 两两相交共点时，能确定 1 个 或 6 个平面． 当四条直线 a，b，c，d 两两相交不共点时，能确定一个平面．
原创2：1.2.1 平面的基本性质与推论（探究式）
∈ ， ∉ ， ⊂ ， ∉ ，
新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
⟹ （b）与a是异面直线.
A
新课讲授
空间直线与直线的位置关系
空间直线与直线 ⑴按有无公共点分：
的位置关系
①有且只有一个公共点——相交直线
平行直线
②没有公共点——ቊ
异面直线
⑵按是否共面分：
注意：不是在不同
的平面内.
相交直线
为了表示异面直线m，l
m
不共面的特点，作图时，
通常用一个或两个平面
衬托。如右图:
m
l
l
新课讲授
探究点2： 异面直线
思考：如图，点A平面α内一点，点B平面α外一点，直线a是平面α
内的一条直线，直线b是连接AB两点的直线.
B b
直线a与直线b是异面直线吗？
α
a
连结平面内一点与平面外一点的直线，和这
个平面内不经过此点的直线是异面直线.
们有且只有一条过该点的公共直线．
ห้องสมุดไป่ตู้
符号语言
∈
ൠ ⟹ ∩ = 且 ∈ .
∈
图形语言
l
∈
∈ ൡ ⟹ ∈ .
∩=
用途:可以用来两个平面相交或判断点在直线上.
P
课堂探究
探究点2：异面直线
异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
异面直线的画法: 想一想:怎样通过图形来表示异面直线?
1.2.1 平面的基本性质与推论
第
一
章
立
体
几
何
初
步
1.2.1
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§1.2 点、线、面之间的位置关系
1．2.1 平面的基本性质与推论
一、基础过关
1． 下列图形中，不一定是平面图形的是 ( )
A ．三角形
B ．菱形
C ．梯形
D ．四边相等的四边形
2． 空间中，可以确定一个平面的条件是 ( )
A ．两条直线
B ．一点和一条直线
C ．一个三角形
D ．三个点
3． 已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有 ( )
A ．1条或2条
B ．2条或3条
C ．1条或3条
D ．1条或2条或3条
4． 给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．
5． 已知α∩β＝m ，a ⊂α，b ⊂β，a∩b ＝A ，则直线m 与A 的位置关系用集合符号表示为________．
6． 如图，梯形ABDC 中，AB ∥CD ，AB>CD ，S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出
平面SBD 和平面SAC 的交线，并说明理由．
7． 空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于
一点．
二、能力提升
8． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是 ( )
A ．0
B ．1
C ．1或4
D ．无法确定
9． 已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是 ( )
A ．A ∈ a ，A ∈ β，
B ∈ a ，B ∈ β ⇒ a ⊂ β B ．M ∈ α，M ∈ β，N ∈ α，N ∈ β ⇒ α ∩ β＝MN
C ．A ∈ α，A ∈ β ⇒ α ∩ β ＝ A
D ．A 、B 、M ∈ α，A 、B 、M ∈ β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合
10．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．
11．如图所示，四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ，BC ，DC ，AD(或延长线)分别与平面α相交于E ，F ，G ，H ，求证：E ，F ，G ，H 必在同一直线上．
三、探究与拓展
12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD
交于点M ，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．
求证：(1)C 1、O 、M 三点共线；2)E 、C 、D 1、F 四点共面．。