山东省泰安市新泰市2019-2020学年九年级(上)期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的有（）①图象经过点（1，﹣3）；②图象分布在第二、四象限；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝图象交于M、N两点，则不等式ax+b ＞解集为（）A．x＞2或﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜0C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．x＞24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B＝，则BC＝（）A．15 B．6 C．9 D．85．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（）A．B．C．D．6．若A（﹣4，y1），B（﹣，y2），C（3，y3）为二次函数y＝（x+2）2﹣9的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y27．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，则∠BOC等于（）A．60°B．90°C．150°D．160°8．关于抛物线y＝x2﹣2x﹣1，下列说法中错误的是（）A．开口方向向上B．对称轴是直线x＝1C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．顶点坐标为（1，﹣2）9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos B＝10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝2，则⊙O的半径为（）A．4B．6C．8 D．1211．如图，某厂生产一种扇形折扇，OB＝10cm，AB＝20cm，其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面面积为πcm2，则扇形圆心角的度数为（）A．120°B．140°C．150°D．160°12．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断中：其中正确的个数是（）①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣2.5，y1），（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共6小题）13．如图，是半圆，点O为圆心，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝65°，则∠ABD的度数为．14．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于海里．15．如图，平行四边形ABCD的一边AB在x轴上，长为5，且∠DAB＝60°，反比例函数y ＝和y＝分别经过点C，D，则AD＝．16．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随即抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为．17．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸（提示：仗和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸），可以求出竹竿的长为尺．18．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是．三．解答题（共7小题）19．计算题：（1）计算：sin45°+cos230°•tan60°﹣tan45°；（2）已知是锐角，2sin（a﹣15°）＝，求﹣|cos a﹣tan|的值．20．在一次数学兴趣小组活动中，阳光和乐观两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则阳光获胜，反之则乐观获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；（2）游戏对双方公平吗？请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，点C坐标为（﹣1，0），点A坐标为（0，2）．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y ＝的图象经过点B．（1）求一次函数和反比例函数的关系式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集；（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，直接写出点M的坐标和AM+BM的最小值．22．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高．（结果保留根号）23．汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：x（元）3000 3200 3500 4000y（辆）100 96 90 80（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，求按照表格呈现的规律，每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式．（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表：租出的车辆数（辆）未租出的车辆数（辆）租出每辆车的月收益（元）所有未租出的车辆每月的维护费（元）（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请说明理由．24．如图，AB是 ⊙O的直径，点C是 ⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交 ⊙O于点E．（1）求证：PC与 ⊙O相切；（2）求证：PC＝PF；（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．25．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1交抛物线于点Q．（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线1交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体，故选：B．2．对于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的有（）①图象经过点（1，﹣3）；②图象分布在第二、四象限；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用反比例函数的性质可求解．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，∴图象经过点（1，﹣3），图象分布在第二、四象限，在每个分支上，y随x的增大而增大；若点A在第二象限，点B在第四象限，则y1＞y2．故①②③正确，故选：C．3．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝图象交于M、N两点，则不等式ax+b ＞解集为（）A．x＞2或﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜0C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．x＞2【分析】根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：由图可知，x＞2或﹣1＜x＜0时，ax+b＞．故选：A．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B＝，则BC＝（）A．15 B．6 C．9 D．8【分析】首先根据正弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理求得BC的长．【解答】解：∵sin B＝＝，∴AC＝AB×＝6，∴直角△ABC中，BC＝＝＝8．故选：D．5．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】列表得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：红红红绿绿红﹣﹣﹣（红，红）（红，红）（绿，红）（绿，红）红（红，红）﹣﹣﹣（红，红）（绿，红）（绿，红）红（红，红）（红，红）﹣﹣﹣（绿，红）（绿，红）绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）﹣﹣﹣（绿，绿）绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）（绿，绿）﹣﹣﹣得到所有可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种，则P两次红＝＝．故选：A．6．若A（﹣4，y1），B（﹣，y2），C（3，y3）为二次函数y＝（x+2）2﹣9的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，根据x＞﹣2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣9，∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，A（﹣4，y1）关于直线x＝﹣2的对称点是（0，y1），∵﹣＜0＜3，∴y2＜y1＜y3，故选：B．7．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，则∠BOC等于（）A．60°B．90°C．150°D．160°【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC＝2∠ABO+2∠ACO．【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；在△OAB中，OA＝OB，则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×30°＝60°，同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×45°＝90°，故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝150°．故选：C．8．关于抛物线y＝x2﹣2x﹣1，下列说法中错误的是（）A．开口方向向上B．对称轴是直线x＝1C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．顶点坐标为（1，﹣2）【分析】直接利用二次函数的性质分别分析得出答案．【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x﹣1，∵a＝1＞0，∴开口方向向上，故选项A不合题意；对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝1，故选项B不合题意；当x＞1时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，顶点坐标为（1，﹣2），故选项D不合题意．故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos B＝【分析】利用同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再根据正弦定义可得答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sin A＝sin∠BCD＝，故选：A．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝2，则⊙O的半径为（）A．4B．6C．8 D．12【分析】由∠B的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠AOC的度数，再由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形的内角和定理求出∠OAC ＝30°，又OP垂直于AC，得到三角形AOP为直角三角形，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据OP的长得出OA的长，即为圆O的半径．【解答】解：∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为，且∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∵OP⊥AC，∴∠APO＝90°，在Rt△AOP中，OP＝2，∠OAC＝30°，∴OA＝2OP＝4，则圆O的半径4．故选：A．11．如图，某厂生产一种扇形折扇，OB＝10cm，AB＝20cm，其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面面积为πcm2，则扇形圆心角的度数为（）A．120°B．140°C．150°D．160°【分析】根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：∵OB＝10cm，AB＝20cm，∴OA＝OB+AB＝30cm，设扇形圆心角的度数为α，∵纸面面积为πcm2，∴﹣＝π，∴α＝150°，故选：C．12．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断中：其中正确的个数是（）①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣2.5，y1），（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①根据二次函数图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，据此判断即可；②根据抛物线与x轴有两个不同的交点，结合一元二次方程根的判别式判断即可；③由图象可知抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为x＝﹣1，进而确定另一个交点，然后判断即可；④结合二次函数对称轴分别确定其增减性判断即可；⑤根据对称轴为x＝﹣1可得﹣＝﹣1，进而可得b＝2a，c＝﹣3a，a﹣2b+c＝5a﹣4a ﹣3a＝﹣2a＜0．【解答】解：①由图象开口向上，则a＞0，故b＞0，∵c＜0，∴abc＜0，故①错误．②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确．③∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，故③正确．④∵点（﹣0.5，y2）在抛物线上，对称轴为x＝﹣1，∴（﹣1.5，y2）也在抛物线上，∵﹣1.5＞﹣2.5，且（﹣1.5，y2），（﹣2.5，y1）都在对称轴的左侧，∴y1＞y2，故④正确．⑤∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∴5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0，∴⑤正确．故正确的判断是②③④⑤共4个．故选：C．二．填空题（共6小题）13．如图，是半圆，点O为圆心，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝65°，则∠ABD的度数为25°．【分析】根据AB是直径可以证得AD⊥BD，根据AD∥OC，则OC⊥BD，根据垂径定理求得弧BC的度数，即可求得弧AD的度数，然后求得∠ABD的度数．【解答】解：∵是半圆，即AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AD∥OC，∴OC⊥BD，∴＝65°，∴＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∴∠ABD＝．故答案为：25°．14．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于10海里．【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD＝30°＝∠ACB，根据等角对等边得出AB＝BC＝20，然后解Rt△BCD，求出CD即可．【解答】解：根据题意可知∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∵∠CBD＝∠CAD+∠ACB，∴∠CAD＝30°＝∠ACB，∴AB＝BC＝20海里，在Rt△CBD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝，∴sin60°＝，∴CD＝20×sin60°＝20×＝10海里，故答案为：10．15．如图，平行四边形ABCD的一边AB在x轴上，长为5，且∠DAB＝60°，反比例函数y ＝和y＝分别经过点C，D，则AD＝ 2 ．【分析】设点C（x，），则点D（﹣x，），然后根据CD的长列出方程，求得x的值，得到D的坐标，解直角三角形求得AD．【解答】解：设点C（x，），则点D（﹣x，），∴CD＝x﹣（﹣x）＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝5，∴x＝5，解得x＝2，∴D（﹣3，），作DE⊥AB于E，则DE＝，∵∠DAB＝60°，∴AD＝＝＝2，故答案为2．16．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随即抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及点（a，b）在第二象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图图得：∵共有6种等可能的结果，点（a，b）在第二象限的有2种情况，∴点（a，b）在第二象限的概率为：＝．故答案为：．17．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸（提示：仗和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸），可以求出竹竿的长为45 尺．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴＝，解得x＝45（尺）．故答案为：45．18．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是12π．【分析】根据三视图易得此几何体为圆锥，再根据圆锥侧面积公式＝底面周长×母线长×可计算出结果．【解答】解：根据图形可知圆锥的高为6，母线长为8，则底面半径为2，圆锥侧面积公式＝底面周长×母线长×，圆锥侧面积＝×π×2×2×6＝12π．故答案为：12π．三．解答题（共7小题）19．计算题：（1）计算：sin45°+cos230°•tan60°﹣tan45°；（2）已知是锐角，2sin（a﹣15°）＝，求﹣|cos a﹣tan|的值．【分析】（1）代入特殊锐角的三角函数值进行实数的运算便可；（2）由已知求出α的度数，再代入计算便可．【解答】解：（1）原式＝＝1+﹣1＝；（2）∵2sin（a﹣15°）＝，∴，∴α﹣15°＝45°，∴α＝60°，∴原式＝＝＝＝＝1﹣20．在一次数学兴趣小组活动中，阳光和乐观两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则阳光获胜，反之则乐观获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；（2）游戏对双方公平吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意列出表格，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和小于12的情况数，再根据概率公式分别求出阳光和乐观获胜的概率，然后进行比较即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意列表如下：6 7 8 93 9 10 11 124 10 11 12 135 11 12 13 14可见，两数和共有12种等可能结果；（2）∵两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，∴阳光获胜的概率为＝，∴乐观获胜的概率是，∵＝，∴游戏对双方公平．21．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，点C坐标为（﹣1，0），点A坐标为（0，2）．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y ＝的图象经过点B．（1）求一次函数和反比例函数的关系式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集；（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，直接写出点M的坐标和AM+BM的最小值．【分析】（1）过点B作BF⊥x轴于点F，由△AOC≌△CFB求得点B的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和反比例函数的关系式；（2）当x＜0时，求出一次函数值y＝kx+b小于反比例函数y＝的x的取值范围，结合图形即可直接写出答案．（3）根据轴对称的性质，找到点A关于x的对称点A′，连接BA′，则BA′与x轴的交点即为点M的位置，求出直线BA′的解析式，可得出点M的坐标，根据B、A′的坐标可求出AM+BM的最小值．【解答】解：（1）过点B作BF⊥x轴于点F，∵点C坐标为（﹣1，0），点A坐标为（0，2）．∴OA＝2，OC＝1，∵∠BCA＝90°，∴∠BCF+∠ACO＝90°，又∵∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠BCF＝∠CAO，在△AOC和△CFB中∴△AOC≌△CFB（AAS），∴FC＝OA＝2，BF＝OC＝1，∴点B的坐标为（﹣3，1），将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝，解得：k＝﹣3，故可得反比例函数解析式为y＝﹣；将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：，解得：．故可得一次函数解析式为y＝﹣x﹣．（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集为：﹣3＜x＜0；（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接B A′与x轴的交点即为点M，∵A（0，2），∴A′（0，﹣2），设直线BA′的解析式为y＝ax+b，将点A′及点B的坐标代入可得：，解得：．故直线BA′的解析式为y＝﹣x﹣2，令y＝0，可得﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2，故点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM＝BM+MA′＝BA′＝＝3．综上可得：点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM的最小值为3．22．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高．（结果保留根号）【分析】（1）根据坡度定义直接解答即可；（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH＝∠SBH，根据＝，得到GH＝1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH＝5m，进而求出HS，然后得到DS．【解答】解：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，∴BC＝4×2＝8m．（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．∵∠DGH＝∠BSH，∠DHG＝∠BHS，∴∠GDH＝∠SBH，∴＝，∵DG＝EF＝2m，∴GH＝1m，∴DH＝＝m，BH＝BF+FH＝3.5+（2.5﹣1）＝5m，设HS＝xm，则BS＝2xm，∴x2+（2x）2＝52，∴x＝m∴DS＝+＝2m．23．汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：x（元）3000 3200 3500 4000y（辆）100 96 90 80（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，求按照表格呈现的规律，每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式．（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表：租出的车辆数（辆）﹣x+160 未租出的车辆数（辆）x﹣60租出每辆车的月收益（元）x﹣150 所有未租出的车辆每月的维护费（元）x﹣3000（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请说明理由．【分析】（1）判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式；（2）根据题意可用代数式求出出租车的辆数和未出租车的辆数即可．（3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司最大月收益．【解答】解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为y＝kx+b．由题：，解之得：，∴y与x间的函数关系是y＝﹣+160．（2）如下表：租出的车辆数﹣x+160 未租出的车辆数x﹣60租出的车每辆的月收益x﹣150 所有未租出的车辆每月的维护费x﹣3000（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：W＝（﹣+160）（x ﹣150）﹣（x﹣3000）＝（﹣x2+163x﹣24000）﹣（x﹣3000）＝﹣x2+162x﹣21000＝﹣（x﹣4050）2+307050当x＝4050时，Wmax＝307050，即：当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元．故答案为：﹣x+160，x﹣60，x﹣150，x﹣3000．24．如图，AB是 ⊙O的直径，点C是 ⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交 ⊙O于点E．（1）求证：PC与 ⊙O相切；（2）求证：PC＝PF；（3）若AC＝8，tan∠ABC＝，求线段BE的长．【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠OCA，得到OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥PD，根据切线的判定定理证明结论；（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC＝∠PCF，根据等腰三角形的判定定理证明；（3）连接AE，根据正切的定义求出BC，根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，又AD⊥PD，∴OC⊥PD，∴PC与 ⊙O相切；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∴＝，∴∠ABE＝∠ECB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB是 ⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵∠BCP+∠OCB＝90°，∴∠BCP＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BEC，∴∠BCP＝∠BEC，∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，∠PCF＝∠ECB+∠BCP，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；（3）解：连接AE，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，AC＝8，∴BC＝6，由勾股定理得，AB＝＝＝10，∵＝，∴AE＝BE，则△AEB为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝5．25．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C 关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1交抛物线于点Q．（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线1交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令抛物线关系式中的x＝0或y＝0，分别求出y、x的值，进而求出与x轴，y轴的交点坐标；（2）用m表示出点Q，M的纵坐标，进而表示QM的长，使CD＝QM，即可求出m的值；（3）分三种情况进行解答，即①∠MBQ＝90°，②∠MQB＝90°，③∠QMB＝90°分别画出相应图形进行解答．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，因此点C（0，2），当y＝0时，即：﹣x2+x+2＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，因此点A（﹣1，0），B（4，0），故：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）∵点D与点C关于x轴对称，∴点D（0，﹣2），CD＝4，设直线BD的关系式为y＝kx+b，把D（0，﹣2），B（4，0）代入得，，解得，k＝，b＝﹣2，∴直线BD的关系式为y＝x﹣2，设M（m，m﹣2），Q（m，﹣m2+m+2），∴QM＝﹣m2+m+2﹣m+2＝﹣m2+m+4，当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形；∴﹣m2+m+4＝4，解得m1＝0（舍去），m2＝2，答：m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；（3）在Rt△BOD中，OD＝2，OB＝4，因此OB＝2OD，①若∠MBQ＝90°时，如图1所示，当△QBM∽△BOD时，QP＝2PB，设点P的横坐标为x，则QP＝﹣x2+x+2，PB＝4﹣x，于是﹣x2+x+2＝2（4﹣x），解得，x1＝3，x2＝4（舍去），当x＝3时，PB＝4﹣3＝1，∴PQ＝2PB＝2，∴点Q的坐标为（3，2）；②若∠MQB＝90°时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，∴Q（﹣1，0）；③由于点M在直线BD上，因此∠QMB≠90°，这种情况不存在△QBM∽△BOD．综上所述，点P在线段AB上运动过程中，存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似，点Q（3，2）或（﹣1，0）．。