运筹学第3章答案

3.1某公司今后三年内有五项工程可以考虑投资。每项工程的期望收入和年度费用(万元)如表3-10所示。

表3-10

工 程

费 用

收 入

第一年 第二年 第三年 1 2 3 4 5

5 1 8 4 7 2 5 9

6

7 5 2

8 6

9 30 40 20 15 30 资金拥有量

30 25 30

【解】设10j j x j ⎧=⎨⎩

投资项目

不投资项目，模型为

12345

123451

234512345max 30402015305457830795625

826293001,1,,5j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++++≤⎧⎪++++≤⎪⎨

++++≤⎪⎪=⎩

L ＝或

最优解X ＝(1,1,1,0,1)，Z=110万元，即选择项目1、2、3、5时总收入最大。

3.2址问题。以汉江、长江为界将武汉市划分为汉口、汉阳和武昌三镇。某商业银行计划投资9000万元在武汉市备选的12个点考虑设立支行，如图3-10所示。每个点的投资额与一年的收益见表3－10。计划汉口投资2～3个支行，汉阳投资1～2个支行，武昌投资3～4个支行。

如何投资使总收益最大，建立该问题的数学模型，说明是什么模型，可以用什么方法求解。 表3-11

地址i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

投资额(万元) 900 1200 1000 750 680 800 720 1150 1200 1250 850 1000 收益（万元） 400 500 450 350 300 400 320 460 500 510 380 400 j j 12312

12311124

4771212115588max 40050045040090012001000850100090002,3,1,2,3,4101,,12j j j j j j j j j j j j j

Z x x x x x x x x x x x x x x x x j =======++++⎧+++++≤⎪⎪

≥≤≥≤≥≤⎨⎪

⎪==⎩∑∑∑∑∑∑L L L 或， 图3-10

最优解：x1＝x5=x12=0，其余xj=1,总收益Z=3870万元，实际完成投资额8920万元。

3.3一辆货车的有效载重量是20吨，载货有效空间是8×3.5×2 m 。现有六件货物可供选择运输，每件货物的重量、体积及收入如表表3-12。另外，在货物4和5中先运货物5，货物1和2不能混装，怎样安排货物运输使收入最大，建立数学模型。

表3-12

【解j j j j 件货物，有

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=≤+≤-≤+++++≤++++++++++=1

01

05626547320274356376485max 2

154654321654321654321或j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z

3.4 女子体操团体赛规定：（1）每个代表队由5名运动员组成，比赛项目是高低杠、平衡

木、鞍马及自由体操。（2）每个运动员最多只能参加3个项目并且每个项目只能参赛一次；（3）每个项目至少要有人参赛一次，并且总的参赛人次数等于10；（4）每个项目采用10分制记分，将10次比赛的得分求和，按其得分高低排名，分数越高成绩越好。已知代表队5名运动员各单项的预赛成绩如表3-13所示。

表3-13

怎样安排运动员的参赛项目使团体总分最高，建立该问题的数学模型。

【解】设x ij （i =1，2，…，5；j ＝1，2，3，4）为第i 人参赛j 项目的状态，即

⎩⎨

⎧=项目

人不参赛第项目

人参赛第j i j i x ij 0

1

记第i 人参赛j 项目的成绩为C ij ,，目标函数

∑∑===5

14

1

max i j ij ij x C Z

每个运动员最多只能参加3个项目并且每个项目只能参赛一次,约束条件：

5,,2,134321Λ=≤+++i x x x x i i i i

高低杠 平衡木 鞍马

自由体操

甲 8.6 9.7 8.9 9.4 乙 9.2 8.3 8.5 8.1 丙 8.8 8.7 9.3 9.6 丁 8.5 7.8 9.5 7.9 戊

8.0

9.4

8.2

7.7

每个项目至少要有人参赛一次，并且总的参赛人次数等于10，约束条件：

4,3,2,1154321=≥++++j x x x x x j j j j j

10514

1

=∑∑==i j ij

x

数学模型为

54

11

1234123455411max 31,2,,511,2,3,41010,1,2,,5;1,2,3,4

ij ij

i j i i i i j j j j j ij i j ij Z C x x x x x i x x x x x j x x i j =====+++≤=⎧⎪++++≥=⎪⎪⎨

=⎪⎪⎪===⎩∑∑∑∑L L 或 3.5利用0－1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件

（1）x 1+2x 2≤8、4x 1+x 2≥10及2x 1+6x 2≤18 三个约束中至少两个满足 （2）若x 1≥5，则x 2≥10，否则x 2≤8 （3）x 1取值2，4，6，8中的一个

【解】12112212312228410(1)26181011,2,3j x x y M

x x y M x x y M y y y y j ⎧+≤+⎪

+≥-⎪⎪+≤+⎨⎪++≤⎪⎪==⎩或，⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+≤-≥-+<-≥10)1(810)1(55)2(22

11或y M y x yM x M y x yM x ⎪⎩⎪⎨⎧===++++++=4,3,2,11018642)3(432143211j y y y y y y y y y x j ，或 6．考虑下列数学模型

)()(m in 21x g x f Z +=

其中

⎩⎨

⎧=>+=⎩⎨⎧=>+=0,

00

,1015)(,0,00,610)(22221111x x x x g x x x x f 若若若若 满足约束条件 （1）x 1≥8或x 2≥6 （2）|x 1－x 2|=0，4或8

（3）x 1+2x 2≥20、2x 1+x 2≥20及x 1+x 2≥20 三个约束中至少一个满足 （4）x 1≥0，x 2≥0