纳维斯托克斯方程NS方程详细推导
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纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
深入研究非牛顿流体和复杂流体的运动规律
针对非牛解方法 ，以揭示其复杂的流动行为和机理。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题， 研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方 法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出 了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过 程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦 合成为研究流体流动的重要方向， 如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切 应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推 导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒 和牛顿第二定律出发， 推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和 不可压缩性。根据其流动特性，流体可 分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、 气象、环境等领域。
针对非牛解方法 ，以揭示其复杂的流动行为和机理。
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N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题， 研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方 法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出 了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过 程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦 合成为研究流体流动的重要方向， 如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切 应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推 导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒 和牛顿第二定律出发， 推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和 不可压缩性。根据其流动特性，流体可 分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、 气象、环境等领域。
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
• 线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速
度差为
，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生
伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。
• 线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速 度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：
Hale Waihona Puke 本构方程和NS方程粘性流体动力学基础
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
dxdydzdt
t
dxdydzdt
或：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
t x
y
z
连续性方程
矢量形式：
r
g()
0
t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程和NS方程
方程的物理意义：
粘性流体动力学基础
方程左边是：任意时刻t通过考察点A的流体质点
加速度的三个分量；
Dvx / Dt ax
方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体 积力在各坐标上的分量。
方程可简略表示成：
r ur
a F
这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律
本构方程和NS方程
dy
zx
zx z
dz
xx yx
z y xz
yz
xy
xy x
dx
xx
xx x
dx
x
zx
zz
yx
yx y
dy
应力状态：
N-S方程推导
1.2 1.2 表面力
作用在隔离流体（也就是所取的研究流体单元）的表面，和作用 的面积成正比的力。分为垂直于作用面的压力和沿作用面方向的切 力。表面力可以使作用于流体界面的压力、切力，也可以是一部分流 体质点作用于相邻另一部分流体质点的压力、切力。单位作用面的压 （第一个下标表示作用面的法线方向， 应力、 切应力即为图 1 中的 σ 、τ 第二个下标表示力的方向）。 以 x 方向为例，流体单元受到的力：
2 əτzy dz — τzy+ —— əz 2 əτyz dy — τyz+ —— əy 2 əσyy dy — σyy+ —— əy 2
y
əτxy dx — τxy+ —— əx 2
əτyx dy — τyx+ —— əy 2
x
图 1 作用在单元体上的力 作用力有两类，即质量力和表面力。
1.1 质量力
( )
( )
( )
( )
( )
（22） 同理： r du ∂p 1 ∂ ρ x = − + µ∇ 2u x + µ ∇ u + ρ X （23） dt ∂x 3 ∂x
( )
ρ
ρ
du y dt
=−
r ∂p 1 ∂ + µ∇ 2u y + µ ∇ u + ρY （24） ∂y 3 ∂y
( )
r du z ∂p 1 ∂ = − + µ∇ 2u z + µ ∇ u + ρ Z （25） dt ∂z 3 ∂z 矢量形式： v v 1 v uv du ρ = −∇p + µ∇ 2 u + µ∇ ∇ u + ρ F （26） dt 3
引言
作用在隔离流体（也就是所取的研究流体单元）的表面，和作用 的面积成正比的力。分为垂直于作用面的压力和沿作用面方向的切 力。表面力可以使作用于流体界面的压力、切力，也可以是一部分流 体质点作用于相邻另一部分流体质点的压力、切力。单位作用面的压 （第一个下标表示作用面的法线方向， 应力、 切应力即为图 1 中的 σ 、τ 第二个下标表示力的方向）。 以 x 方向为例，流体单元受到的力：
2 əτzy dz — τzy+ —— əz 2 əτyz dy — τyz+ —— əy 2 əσyy dy — σyy+ —— əy 2
y
əτxy dx — τxy+ —— əx 2
əτyx dy — τyx+ —— əy 2
x
图 1 作用在单元体上的力 作用力有两类，即质量力和表面力。
1.1 质量力
( )
( )
( )
( )
( )
（22） 同理： r du ∂p 1 ∂ ρ x = − + µ∇ 2u x + µ ∇ u + ρ X （23） dt ∂x 3 ∂x
( )
ρ
ρ
du y dt
=−
r ∂p 1 ∂ + µ∇ 2u y + µ ∇ u + ρY （24） ∂y 3 ∂y
( )
r du z ∂p 1 ∂ = − + µ∇ 2u z + µ ∇ u + ρ Z （25） dt ∂z 3 ∂z 矢量形式： v v 1 v uv du ρ = −∇p + µ∇ 2 u + µ∇ ∇ u + ρ F （26） dt 3
引言
流体力学
（8）
这就是全面反映牛顿流体应力与应变速度关 系的本构方程式。 按照矩阵加法、乘法规则将对应元素展开， （8）式可以代替（）及（7）两式，用矩阵表达 可使后两个公式形式统一。
对于不可压缩流体来说，将（7）式中的 三式相加，因为
vx v y vz 1 0，因此p p xx p yy p zz x y z 3
•
' p xx p p xx p 2 xx p 2
p yy p p 'yy p 2 yy p 2
v x x v y
y v ' p zz p p zz p 2 zz p 2 z z
（7）
• 将（5）和（7）联合在一起，写成矩阵形式，则为
2 2 2 v x , v y , v z 是单位质量流体的切向
应力的分量（粘性力）。
其中，
理想流体运动微分方程及其积分
流体为理想流体时，运动粘度为0，N－S方 程可简化为：
v x v x v x 1 p v x X vx vy vz x t x y z v y v y v y 1 p v y Y vx vy vz y t x y z 1 p v z v z v z v z Z vx vy vz z t x y z
（10） 这就是不可压缩实际流体的运动微分方程式， 通常称为纳维-斯托克斯方程式，或N-S方程式。
• 式中，
dvx dvy dvz , , 是流体运动时单位质量流体的惯性力 dt dt dt 在三个坐标轴上的分量（惯性项）； X, Y, Z是单位质量流体的单位质量力分量； 1 p 1 p 1 p , , 是单位质量流体的法向应力 x y z 的分量；
ns方程 斯托克斯方程
ns方程斯托克斯方程【原创版】目录1.NS 方程和斯托克斯方程的概述2.NS 方程的求解方法和应用领域3.斯托克斯方程的发展历程和相关性质4.两种方程在流体力学中的重要性正文一、NS 方程和斯托克斯方程的概述S 方程，全称为 Navier-Stokes 方程，是描述流体运动的基本方程，由法国科学家克劳德·路易·马里·纳维和英国物理学家乔治·加斯顿·斯托克斯于 19 世纪同时独立提出。
它是一组偏微分方程，用于描述流体中速度、压力等物理量的变化规律。
斯托克斯方程是描述流体运动中速度和压力关系的方程，它是从 NS 方程中推导得到的。
斯托克斯方程在流体力学中有着广泛的应用，尤其在湍流、边界层和涡旋等复杂流动现象的研究中具有重要意义。
二、NS 方程的求解方法和应用领域S 方程是一组非线性偏微分方程，求解起来十分复杂。
目前，对于 NS 方程的求解主要有数值求解和解析求解两种方法。
数值求解是主流方法，通过对流体运动方程进行离散化处理，利用计算机进行数值模拟得到解。
解析求解则主要依赖于数学技巧，对于某些特定的流动问题可以得到解析解。
S 方程在工程、物理和生物学等多个领域具有广泛的应用。
在工程领域，NS 方程可以用于飞机翼型设计、汽车空气动力学、船舶水动力学等方面的研究；在生物学领域，NS 方程可以用于研究生物流体的流动现象，如血液流动、细胞迁移等；在物理学领域，NS 方程可以应用于研究等离子体流动、量子流体等课题。
三、斯托克斯方程的发展历程和相关性质斯托克斯方程的发展历程可以追溯到 19 世纪。
在 NS 方程的基础上，斯托克斯通过引入流体的粘性特性，推导出了描述流体粘性运动的斯托克斯方程。
此后，在众多科学家的研究和改进下，斯托克斯方程逐渐发展成为流体力学中一个重要的方程。
斯托克斯方程具有一些重要的性质，如局部守恒性、旋转对称性等。
局部守恒性指的是流体在运动过程中，质量、动量和能量等物理量在任意一个局部区域内都是守恒的；旋转对称性则表示流体在运动过程中，任意一点上的速度矢量与该点处的旋转对称轴垂直。
N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程
很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。
NS方程推导
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和 N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。 欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时 间的变化状况。如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。欧拉 方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，
代入上面加速度公式，得到
d dt
(M ,t) t
t0,M和M 靠近，
MMMlMi的m变0化会(引M起,三tM个) M方向速(M度的,变t)化
用M点速度
du dt
u(x, y, t
z,t)
u(x,
y,
z,t)
u(x, y, x
z,t)
v(x,
y, z,t)
u(x, y, z,t) y
w(
x,
y,
z,
t
)
u(
x, y, z
z,
t
)
u u u v u w u t x y z
du dt
u t
u
u x
v
u y
w
u z
;
dv dt
v t
u
v x
v
v y
w
v z
;
dw w u w v w w w dt t x y z
至此已经用欧拉法推到出了流体速度和加速度(即随体导数)的公式。随体导数也可以用复合
以上就已经得到了连续性方程。 对不可压缩流体，连续性方程可以简化，可以得到以下简化的连续性方程：
u x
v y
பைடு நூலகம்
代入上面加速度公式，得到
d dt
(M ,t) t
t0,M和M 靠近，
MMMlMi的m变0化会(引M起,三tM个) M方向速(M度的,变t)化
用M点速度
du dt
u(x, y, t
z,t)
u(x,
y,
z,t)
u(x, y, x
z,t)
v(x,
y, z,t)
u(x, y, z,t) y
w(
x,
y,
z,
t
)
u(
x, y, z
z,
t
)
u u u v u w u t x y z
du dt
u t
u
u x
v
u y
w
u z
;
dv dt
v t
u
v x
v
v y
w
v z
;
dw w u w v w w w dt t x y z
至此已经用欧拉法推到出了流体速度和加速度(即随体导数)的公式。随体导数也可以用复合
以上就已经得到了连续性方程。 对不可压缩流体，连续性方程可以简化，可以得到以下简化的连续性方程：
u x
v y
பைடு நூலகம்
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
yx xy
yz zy
zx xz
16
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
微元体表面力的总力分量
X方向的表面力：
x dxdydz yx dydxdz zx dzdxdy
x
y
z
x yx zx dxdydz
x y z
Y方向的表面力：
xy
x
yy
y
zy
z
dxdydz
Z方向的表面力：
xz
x
yz
y
zz
z
dxdydz
17
本构方程和NS方程
动量流量及动量变化率
粘性流体动力学基础
z
vz vx
vz vx z
dz
dy
vyvx
vy vx y
dy
dx
动量流量
动量通量 x 流通面积
vx vx
dz
vxvx
vxvx x
dx
＝ 动量流量
y
vyvx vzvx
vz x
vx z
24
本构方程和NS方程
本构方程的讨论：
正应力与线变形速率：
线变形率与流体流动：
正应力中的粘性应力：
粘性流体动力学基础
流体正应力与三个速度偏导数有关 (即:线变形率)，同固体力学中的虎 克定律。
从流体流动角度看，线变形率的正负 反映了流体的流动是加速还是减速； 体变形率的正负反映了流动过程中流 体体积是增加还是减少。
粘性流体动力学基础
牛顿流体的本构方程：
xx
p 2
x
x
2 3
vx x
vy y
vz z
yy
p 2
-斯托克斯方程
-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），简称N-S方程。
N-S方程是用于描述流体运动的方程，可以看作是流体运动的牛顿第二定律。
对于可压缩的牛顿流体，可以得到
其中，u是流体速度，p是流体压力，ρ是流体密度，μ是流体动力黏度。
式中各项分别对应于惯性力（1）、压力（2）、黏性力（3），以及作用在流体上的外力（4）。
纳维-斯托克斯方程是由纳维、泊松、圣维南和斯托克斯于1827年到1845年之间推导出来的。
这些方程总是要与连续性方程同时进行求解：
纳维-斯托克斯方程表示动量守恒，而连续性方程则表示质量守恒。
纳维斯托克斯方程(NS方程)详细推导
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动 右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
流体微团的运动形式
1 p duy fy y dt
fz
1 p duz z dt
u x u x u x u x 1 ux uy uz X t x y z u y u y u y u y 1 ux uy uz Y t x y z u z u z u z u z 1 ux uy uz Z t x y z
粘性流体动力学基础
粘性流体运动微分方程
Navier－Stokes方程
以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。
对一维流动问题： 补充方程：牛顿剪切定律
对粘性流体流动问题： 补充方程：广义的牛顿剪切定律
即：牛顿流体本构方程
目的
关键：寻求
流体应力与 变形速率之 间的关系
将应力从运动方程中消去，得到 由速度分量和压力表示的粘性流 体运动微分方程，即N-S方程。
( ) 0 t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
矢量形式：
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
若流体不可压缩： vx v y vz 0 x y z
y
vy vx
vz vx
x 动量在微元体表面的输入与输出
【精编】纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流 入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。 适用范围： 恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体。
一维流动的连续方程 1 A1 2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
( vy ) ( vx ) ( vz ) dxdydzdt dxdydzdt dxdydzdt x y z ( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt y z x
本构方程和NS方程
与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速
分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边
的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们 在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一 距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流 体微团的平移运动速度。
1 u z u y u y u x ( ) y ( x z ) 2 y z 2 z x
1 u y u x z ( ) 2 x y
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
亥姆霍兹速度分解定理
整理推 广得
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
不可压缩流体连续性微分方程
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。 a F 受力分析：
一维流动的连续方程 1 A1 2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
( vy ) ( vx ) ( vz ) dxdydzdt dxdydzdt dxdydzdt x y z ( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt y z x
本构方程和NS方程
与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速
分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边
的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们 在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一 距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流 体微团的平移运动速度。
1 u z u y u y u x ( ) y ( x z ) 2 y z 2 z x
1 u y u x z ( ) 2 x y
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
亥姆霍兹速度分解定理
整理推 广得
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
不可压缩流体连续性微分方程
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。 a F 受力分析：
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导ppt课件
dy
zx
zx z
dz
xx yx
z y xz
Z方向：
( v y
y
) dxdydzdt
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
(vx ) dxdydzdt (vy ) dxdydzdt (vz ) dxdydzdt
x
y
z
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
dxdydzdt
10
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
12
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基
础。可以用牛顿第二定律加以推导。
受力分析：
r ur
a F
1、质量力： fxρdxdydz x轴正方向
2、表面力：
切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p p dx p p dx
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。5
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们 在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一 距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流 体微团的平移运动速度。
3
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动
右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
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36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
纳维-斯托克斯方程(N-S方程) 详细推导
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
纳维-斯托克斯方程详细推导
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动 右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
流体微团的运动形式
粘性流体动力学基础
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的 质量差：
( v ) ( v ) x x v d y d z d t v d x d y d z d t d x d y d z d t x x x x
流体质点运动的分析
•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。 •流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式 有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运 动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。 •当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线 变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
du p d x p d x x f d x d y d z p d y d z p d y d z d x d y d z x x 2 x 2 d
与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速
分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边
的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。
N-S方程
简化：
⑴ const ⑵
const
，牛顿黏性定律 ，连续性方程
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
vx vx x vx y vx z vx
2
(
vx
vy
vz
) (
x
2
vx
适用条件
理想流体、稳定流动、不可
压缩流体(元体范围内)
总 结
一、本课的基本要求 1．了解N-S方程的建立依据、推导方法、适用条件。 2．掌握N-S方程的物理意义。 3．了解欧拉方程的适用条件。 二、本课的重点、难点 重点：N-S方程的物理意义。 难点：N-S方程的推导方法。 三、作业 思考题：N-S方程对紊流流动是否适用？
v x x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑶ 作用力的总和 x方向：PA
PB PA P x dx
z B A y o x
PA
dx
PA
P x
dx
x方向合压力为
x方向的总压力为
PA PB
P x
P x
v x z
yx y
dx dy dz
xx x
dx dy dz
yx zx xx y z z
dx dy dz
同理，以vy、vz为准的黏性动量收支差量为x y、z
zx
yx
v x y
xx
vx vz vy vz vz vz
以vx为准：动量通量
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流体质点运动的分析
•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。
•流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式 有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运 动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。
•当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线 变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。
(vx ) dxdydzdt (vy ) dxdydzdt (vz ) dxdydzdt
x
y
z
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
dxdydzdt
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
t
从而有：
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
x 2
x轴正方向 x轴负方向
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
f x dxdydz
p
p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
dydz
dxdydz
dux dt
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
duy dt
fz
1
p z
duz dt
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动
右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
流体微团的运动形式 与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速 分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边 的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
dy
zx
zx z
dz
xx yx
z y xz
yz
xy
xy x
dx
xx
xx x
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基
础。可以用牛顿第二定律加以推导。
受力分析：
r ur
a F
1、质量力： fxρdxdydz x轴正方向
2、表面力：
切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p p dx p p dx
x 2
DV F P
(1)
Dt
这里 ：
DV V V V
(2)
Dt t
是流体微团的加速度，微分符号：
D Dt
t
V
t
Vi
xi
(3)
称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质 时间的变化率。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
应力状态及切应力互等定律
zz
zz z
dz
yz
yz y
• 线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速
度差为
，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生
伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。
• 线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速 度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
；
；
x
1 ( uz 2 y
u y z
)
y
1 ( ux 2 z
uz ) x
z
1 ( u y 2 x
u x y
)
•角变形速度：直角边 AMC （或BMD）与对角线 EMF 的 夹角的变形速度
x
1 ( uz 2 y
u y ) z
y
y ( ux 2 z
uz ) x
z
1
u (y2 xu x ) y本构方程和NS方程
dxdydzdt
t
dxdydzdt
或：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
t x
y
z
连续性方程
矢量形式：
r
g()
0
t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的
质量差：
vx
dydzdt
vx
(vx
x
)
dx
dydzdt
(vx
x
)
dxdydzdt
Y方向：
(
v
z
z
)
dxdydzdt；
Z方向：
( v y
y
) dxdydzdt
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
粘性流体动力学基础
亥姆霍兹速度分解定理
整理推 广得
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的连续性方程 质量守恒
z dy
输的入质微量元流体量－
输出微元体 的质量流量
dz vx dydz
dx
vx
vx
x
dx
dydz
x
y
微元体及其表面的质量通量
＝
微元体内的 质量变化率
ux t
ux x
ux
ux y
uy
ux z
uz
X
1
p x
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
uz t
uz x
ux
uz y
uy
uz z
uz
Z
1
p z
理想流体的运动微分方程
即欧拉运动微分方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
粘性流体的运动微分方程
以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为如下 的矢量形式：
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
内容提要
• 流体运动分析及理想流体基本方程 • 真实流体受力分析 • 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
若流体不可压缩： vx vy vz 0 x y z
上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流 入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。
适用范围： 恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体。
一维流动的连续方程 1 A1 2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们 在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一 距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流 体微团的平移运动速度。