纳维斯托克斯方程NS方程详细推导

ux t
ux x
ux
ux y
uy
ux z
uz
X
1
p x
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
uz t
uz x
ux
uz y
uy
uz z
uz
Z
1
p z
理想流体的运动微分方程
即欧拉运动微分方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
粘性流体的运动微分方程
以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为如下 的矢量形式：
流体质点运动的分析
•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。
•流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式 有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运 动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。
•当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线 变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。
粘性流体动力学基础
亥姆霍兹速度分解定理
整理推 广得
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
不可压缩流体连续性微分方程
直角坐标系中的连续性方程 质量守恒
z dy
输的入质微量元流体量－
输出微元体 的质量流量
dz vx dydz
dx
vx
vx
x
dx
dydz
x
y
微元体及其表面的质量通量
＝
微元体内的 质量变化率
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的
质量差：
vx
dydzdt
vx
(vx
x
)
dx
dydzdt
(vx
x
)
dxdydzdt
Y方向：
(
v
z
z
)
dxdydzdt；
Z方向：
( v y
y
) dxdydzdt
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动
右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
流体微团的运动形式 与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速 分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边 的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
x 2
x轴正方向 x轴负方向
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程
f x dxdydz
p
p x
dx 2
dydz
p
p x
dx 2
dydz
dxdydz
dux dt
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
duy dt
fz
1
p z
duz dt
• 线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速
度差为
，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生
伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。
• 线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速 度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
dxdydzdt
t
dxdydzdt
或：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
t x
y
z
连续性方程
矢量形式：
r
g()
0
t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
(vx ) dxdydzdt (vy ) dxdydzdt (vz ) dxdydzdt
x
y
z
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
dxdydzdt
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
t
从而有：
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基
础。可以用牛顿第二定律加以推导。
受力分析：
r ur
a F
1、质量力： fxρdxdydz x轴正方向
2、表面力：
切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p p dx p p dx
x 2
；
；
x
1 ( uz 2 y
u y z
)
y
1 ( ux 2 z
uz ) x
z
1 ( u y 2 x
u x y
)
•角变形速度：直角边 AMC （或BMD）与对角线 EMF 的 夹角的变形速度
x
1 ( uz 2 y
u y ) z
y
y ( ux 2 z
uz ) x
z
1
u (
y
2 x
u x ) y
本构方程和NS方程
若流体不可压缩： vx vy vz 0 x y z
上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流 入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。
适用范围： 恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体。
一维流动的连续方程 1 A1 2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们 在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一 距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流 体微团的平移运动速度。
DV F P
(1)
Dt
这里 ：
DV V V V
Βιβλιοθήκη Baidu
(2)
Dt t
是流体微团的加速度，微分符号：
D Dt
t
V
t
Vi
xi
(3)
称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质 时间的变化率。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
应力状态及切应力互等定律
zz
zz z
dz
yz
yz y
dy
zx
zx z
dz
xx yx
z y xz
yz
xy
xy x
dx
xx
xx x
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
内容提要
• 流体运动分析及理想流体基本方程 • 真实流体受力分析 • 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础