高等代数下期末复习
《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲
《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分 空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念 （1）向量的定义有大小有方向的线段a（自由向量） （2）向量的表示1）),,(z y x a a a a =， 为向量的直角坐标表示2）0a a a=，其中a 为向量的模（大小），222zy x a a a a ++= 0a 为a的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==，)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121{(),(),()}A B x x y y z z =--- 2、向量的运算 （1）线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例：当b a ⊥时，0=⋅b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c为右手螺旋关系2）()()()xy z y z z yz x x z x y y x xy zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+-特例：当b a//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==（两向量平行的判据）3、两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式：Dd =平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线 （1）方程曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）常见的曲面与曲线1） 柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一定直线L 的移动所得的曲面 母线z //轴的柱面： 0),(=y x F母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F2） 旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,c o s ,s i n4）二次曲面（三元二次方程） )(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线：→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b yz c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c z y b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。
高等代数下期末复习
第六章 线性空间一 线性空间的判定线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。
例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解： 1）否。
因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如523n nx x ++--=（）（）。
2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。
“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。
A kA k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
例：齐次线性方程组Ax =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。
而非齐次线性方程组 Ax =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。
二、基 维数 坐标定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,ααα使得：V 中任一向量α都可由12n ,,,ααα线性表示，那么，12n ,,,ααα就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。
记作dim V =n 。
维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。
定义（向量的坐标）：设12n ,,,ααα是线性空间n V 的一个基。
高等代数期末试题及答案
高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。
求解该线性方程组的解。
1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。
令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。
选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。
高等代数(下)期终考试题及答案(C卷)汇编
高等代数(下）期末考试试卷（C 卷）一. 选择题（每空2分，共12分） 1．( D )下列集合哪一个是R n 的子空间11 1 1 2 1 2 11 2 1(A) {(,0,....,0,)| , ,}(B){( ,,...,)| , 1,...,}(C){( ,,...,)| 1 , }(D){( ,,...,)|0, }n n n n i nn i i i n n i i i a a a a R a a a a a a Z i n a a a a a R a a a a a R ==∈≠∈==∈=∈∑∑2．( B ) 令ξ=（x 1，x 2，x 3）是R 3的任意向量．下列哪一个映射σ是R 3的线性变换31 2 3233231 2312(A) ( ) = , 0(B) ( ) = (2-+ , , -)(C) ( ) =(,, )(D) ( ) =( 1 ,,0)R x x x x x x x x x x x σξξαασξσξσξ+≠++其中是 的固定向量3. (C) 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且()1dim 3V =, ()2dim 2V =,()12dim 1V V ?, 那么()12dim V V +为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. （C ）若4阶方阵A 的初等因子为()23l +, +3, 2. 则 A 的不变因子是(Ａ) 1，（ +3），（ +2），()23l +； (B) 1，1， ( +3) ( + 2) ，()()223l l ++； (C ）1，1，（ +3），()()223l l ++；(D) 1，1，( +2)，()()223l l ++；5．（ B ）设矩阵A 的全部不同特征值为12,,...,s λλλ，则下列哪一说法与A 可对角化不等价（A ） A 有n 个线性无关的特征向量； （B ） ()(1,2,...)()i ii i R E A n i s n λλ-==其中为的重数;（C ） V dim (V )(1,2,...,)iii i i s λλλλ==的特征子空间的维数的重数 ;( D) A 的最小多项式均是数域P 上互素的一次因式的乘积;6.（D ） 在实数域R 中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W 的维数为(A) 10; （B ）4； (C) 9； （D ）6；.二. 填空题（每空２分，共18分）1、已知a 是数域P 上的一个固定的数，而2{(,,,),2,,}n i W a x x x P i n =∈=是1n P +的一个子空间，则a ＝_______， dim (W )＝________. 2. 设,στ是2P 的两个线性变换，定义如下(,)(2,0)x y x y σ=-+, (,)(3,)x y y x y τ=-+ (,x y P ∀∈)则 (,)x y τσ=_________.3. 已知E A λ-的标准形为1000000(2)λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则A 的特征多项式2(2)E A λλλ-=-，A 的最小多项式为___________。
高等代数(下)期末考试 A 卷解答
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V , 1
(1) 证明: A 是 V的一个线性变换.
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(1) 证明：对于 , V , k R, 由于 A ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (, ) [ ( , ) ] [ (, ) ] 以及 A ( ) A (), A (k ) k (k , ) k[ ( , ) ] kA ( ),
已知
B
A2
A
E,
其中
A
与
1 0
3
2
相似，则
B __3________
5. 设 1,2,3 是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
2
1
1 2
2 1
则向量 1 2 的长度
为
2.
2 1 2
三、判别题（对的打”√”,错的打” ×”， 2×5=10分）
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V, 1
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(2) 如果A 是 V的一个正交变换，即有 对于任意的 , V ,
(A ( ), ()) ( (,)， (,)) (,) (，(,)) ((,)，) 2(,)(,)(, ) (,) 2(,)(,) 2(,)(,)(,) (,),
2.
在线性空间
R22
高等代数下期终考试题及答案B卷
高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷）一．填空题（每小题3分，共21分）1. 223[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 .3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A()-n P[x]=,的核(0)=1A A A4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+⎝⎭，则A （λ）的不变因子________________________；3阶行列式因子D 3 =_______________.5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形J=6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是．二. 选择题( 每小题2分，共10 分)1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 42. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C)A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -34.( )设2121),2,1,2(),1,1,0(ααβαα+=-=-=k ，若β与2α正交，则 (A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2 5．( )下列子集哪个不是R 3的子空间(A) }1|),,{(233211=∈=x R x x x w (B) }0|),,{(333212=∈=x R x x x w (C) }|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=(D) }|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈=三.判断题(对的打”√”,错的打”X ”,每小题2分,共12分)1.( )设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.2.( ）12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ijn nA a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵.3．( ) 若n 维向量空间P n 含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量．4．（）在线性空间R 2中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是R 2的一个线性变换. 5.（ ）设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
下学期期末考试 高等代数试卷(6)
第 1 页 共 3 页下（6）1襄樊学院数学系下学期期末考试《高等代数》试卷（6）一、填空题 （每题的答案写在题中的横线上.每题2分，共20分）1、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111123131A 则=P 时，使AP P '为对角形矩阵. 2、实二次型 2322213212),,(x x x x x x f +-=的规范形为 .3、设},{F b a a b b a W ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,则W 是)(2F M 的 维子空间，W 的一个基为 .4、设)(F M A n ∈，且秩r A =)(，W 为齐次线性方程式组0=Ax 的解空间，则W 不是零子空间的充要条件为 .5、数域F 上每一个n 维线性空间都与 同构.6、)(2F M 中，)(,)(,2F M x xA x d c b a A ∈∀=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σ，则线性变换σ关于基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000111E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001012E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010021E ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100022E 的矩阵为 .7、设三阶方阵A 的特征根是3和3-（二重）则A '的全部特征根为 .8、nR 对内积()),,(),,,(2),(112211n n n n b b a a b na b a b a ==+++=βαβα做成欧氏空间，其哥西一施瓦兹不等式为 .9、n 维欧氏空间的变换σ既是对称变换又是反对称变换，则σ是 变换.10、若33)(⨯=ij a A 是一个正交矩阵，则方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的解为 . 二、选择题11、设1324[],[]W F x W F x ==则=+)dim (21W W （ ） （A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5 12、数域F 上n 维空间V 有（ ）个基：（A ）1； （B ）n ； （C ）!n ； （D ）无穷多13、设00≠λ是矩阵A 的特征根，并且有0≠A ，则10-λ是（ ）的一个特征根. （A ）A -； （B ）A '； （C ）*A ； （D ）1-A 14、下列-λ矩阵，可逆的矩阵是( )(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλ12; (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λλλλ12; (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λλλ122; (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλλ122 15、55⨯矩阵数字A 的初等因子可能为( )(A))3(,)2(,)1(24---λλλ; (B) )3(,)2(,)1(22---λλλ; (C) )3(,)2(,)1(42---λλλ; (D) 222)3(,)2(,)1(---λλλ第 2 页 共 3 页下（6）216、)(,243214321R M b b b b a aa a ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∀βα，如下定义的实数),(βα（ ）可做成)(2R M 的内积.（A ）11),(b a =βα； （B ）14433221),(b a b a b a b a +++=βα； （C ）4431),(b a a a +=βα； （D ）44332221432),(b a b a b a b a +++=βα 17、设21λλ≠是欧氏空间V 的对称变换σ的特征根，21,αα是σ的属于1λ的特征向量，43,αα是σ的属于2λ的特征向量，则（ ）成立. （A ）4321,,,αααα两两正交；（B ）21,αα线性无关且43,αα线性无关，则4321,,,αααα两两正交； （C ）一定有0),(),(),(),(32424131====αααααααα；（D ）若21,αα正交且43,αα正交，则4321,,,αααα是正交组. 18、σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，（ ）是正确的. （A ）σ把V 的标准正交基变为标准正交基； （B ）σ关于任意基的矩阵是正交矩阵；（C ）若)(,),(1n ασασ 不是V 的标准正交基，则n αα,,1 也不是V 的标准正交基；（D ）σ关于基n αα,,1 的矩阵A 不是正交矩阵，则n αα,,1 不是V 的标准正交基.19、对于n 阶实对称矩阵A ，下列结论正确的是（ ） （A ）A 有n 个不同的特征根；（B ）存在正交矩阵T ，使得：AT T '为对角形矩阵； （C ）A 的特征根一定是整数；（D ）A 的属于不同特征根的特征向量必定线性无关，但不一定正交.20、设00≠λ是矩阵A 的特征根，并且有0≠A ，则10-λ是（ ）的一个特征根. （A ）A -； （B ）A '； （C ）*A ； （D ）1-A三、判断题21、如果实二次型的惯性指标与其秩相等，则此二次型为正定二次型. （ ） 22、设321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则133221,,αααααα+++也是0=Ax 一个基础解系. （ ）23、若σ是n 维欧氏空间的可逆对称变换，则1-σ也是对称变换. （ ）24、σ是欧氏空间V 的线性变换，V 中向量βα,的夹角为2π，而)(),(βσασ的夹角为3π，则σ不是V 的正交变换. （ ） 25、有限维向量空间V 的线性变换对于V 的任意两个基的矩阵都相等. （ ） 四、计算题第 3 页 共 3 页下（6）326、求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-+++=-+++=++++02203345032305432543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间W 的余子空间W '.27、求-λ矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++-+αλββαλαλββαλ00001001的不变因子和标准形. 28、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+=++-+02202035432154354321x x x x x x x x x x x x x 的解空间的标准正交基.29、3F 中线性变换),,2(),,(323221321x x x x x x x x x +--=σ，求1-σ在基)1,0,0(),0,1,1(),0,0,1(321===ααα下的矩阵.五、证明题( 第30小题8分，第31小题8分,共16分)30、设A 为实对称矩阵，证明：当实数t 充分大后，A tI +是正定矩阵. 31、设λ是n 阶矩阵A 的特征根，则0≠λ，且λ1也是A 的特征根.。
高等代数期末考试题库及答案解析
高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。
5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。
–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。
高数下期末复习内容
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高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =⋅，θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
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F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
(取 x为参数)
i jk
取T Fx Fy Fz
切线方程为
Gx Gy Gz M
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
M
(x
x0 )
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式 a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz
ax2
函数连续
函数可导
有极限
函数可微 偏导数连续
4、多元复合函数求导法则
中间变量均为一元函数的情形
定理1 若函数
在点t处可导，z f (u, v)
在点 处偏导连续, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z du z dv dt u dt v dt
z
u v
1
旋 转 椭 球 面
z
o
y
x
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
x2 a2
y2 a2
z2 c2
高等代数下半册复习
0 ≤ < , >≤
三角不等式： + ≤ + 向量的正交或垂直：(, ) = 0
第九章 欧几里得空间
基的度量矩阵：
设 (1 ,, n ) X， (1,, n )Y
则 (, ) = X T AY
其中A为基的度量矩阵， aij = (i , j )
线性变换的特征值与特征向量：
A
0
任选一组基：A (1,, n ) = (1,, n ) A 矩阵A的特征值与特征向量：
A
矩阵A的特征多项式：E
0
A
如何确定线性变换的特征值和特征向量？
第七章 线性变换
特征子空间：
V = {属于特征值 的所有特征向量再添加 上零向量 }
(k, ) = k (, ) ( + , ) = (, ) + (, ) (, ) ≥ 0，当且仅当 = 零向量时， (, ) = 0
第九章 欧几里得空间
向量的长度： = (, )
(, ) , 向量的夹角： < , >= arccos
P
可逆的线变：若AB=BA=恒等变换，则B为A的逆变换
第七章 线性变换
线性变换的矩阵：A (1,, n ) = (1,, n ) A
基
在线空V中选定一组基后，每个线变A都与一 个矩阵A对应 矩阵A或是可逆的，或是不可逆的
欧式空间中，正交变换在一组标准正交基下的矩 阵是正交矩阵，对称变换在一组标准正交基下的矩阵 是实对称矩阵.
第六章 线性空间
基变换 (1,, n ) = (1,, n ) A
基II 基I
A为由基I到基II的过渡矩阵，可逆；
《高等代数》下总复习题
复习题计算题1. 化二次型233222312121321585442),,(x x x x x x x x x x x x f +-+-+=为标准形，并求相应的线性替换和二次型的符号差.用非退化的线性替换化实二次型32232221214422x x x x x x x ++++为标准型. 求实二次型n n x x x x x x 2)1(24321......-+++的正惯性指数、符合差与R 上的规范型.2.判断二次型是否正定，323121232221x x x x x x x x x +++++ 3. 用初等变换的方法求1-A ,其中：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121-01-1322A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411210A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121011322A …….求矩阵X 使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--112011111011220111X ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X .1,2,06,5,11,2,1.43213过渡矩阵）的（），（），（中，求从标准基到在=-=-=αααR 求（1,0,0），（1,1,0），（1,1,1）到标准基的过渡矩阵.并求)3,1,2(-=α在这组基下的坐标.在3][x P 中，求标准基到2222,22,2x x x ---的过渡矩阵.5.已知()()()3221,0132,2121321-==-=ααα()()()4031,1101,1111321-=-==βββ),,(),,,(32123211βββαααL V L V ==.求线性空间21V V +的维数与一组基.6.求22⨯R 的子空间W ={}R c b a c b a ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,,0的基和维数.7.在3P 中，A ),,(321x x x =),,(132x x x ，A ∈L )(3P ，求A 在标准基下的矩阵.8.求A 的特征值与特征向量，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3210112012A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=324202423A ,判断A 是否可以对角化，可以对角化时，求出可逆矩阵X 和对角矩阵.9. 已知三阶矩阵A 的特征值分别为-1,1,2，求E A A +-22的特征值与行列式，并说明它的可逆性.10. 已知三阶矩阵A 的特征值分别为1,2，-3，求E A A 23++*11. nR 中，定义∑==n i i i b ia 1),(βα，求标准基的度量矩阵A.12. 将欧氏空间3R 的基)1,1,1(),0,1,1(),0,0,1(321===ααα化为标准正交基证明题1.设062=--E A A ,证明：A+3E,A-2E 都可逆并求其逆.2.设矩阵B 可逆，A,B 满足022=++B AB A ,证明A 和A+B 都可逆.3. 证明：)2)(1(),1(,1---x x x 为线性空间3][x P 的一组基 .4. 证明：如果A,B 是正定矩阵，那么A+B 也是正定矩阵.5. 证明：每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的直和.6.设21V V 与分别是齐次线性方程组 0....21=+++n x x x 与n x x x ===.....21的解空间，证明：21V V P n ⊕=7.设{}∑=⨯=∈==n i ii n n ij aP a A W 110)(，{}P E W ∈=λλ2证明：21W W +是直和.8.设λ是A 的特征值，证明：2λ是2A 的特征值.1232+-λλ是 E A A +-232的特征值.9.证明：若λ是可逆矩阵A 的特征值则λ不为零，且λ1是1-A 的特征值. 填空题1. A,B 为n 阶矩阵，22))((B A B A B A -=-+成立的充分必要条件是 .2. A,B 为 n 阶矩阵，AB=0，且 ，则B=0.A,B,C 为n 阶矩阵，AB=AC 且 ，一定有 B=C.3. 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021112111，则)()(21E A E A -+-= .4. A ，B 是n 阶可逆矩阵，T AB )(kA = ,1)(-AB = . ∙A = ,1-A = .5.二次型23322221213216234),,(1x x x x x x x x x x f +-+-= 的矩阵为 二次型 23322221213215423),,(1x x x x x x x x x x f +++-= 的矩阵为 6. n 元正定二次型的规范型为 , n 阶正定矩阵与 合同，正定矩阵A 的行列式一定 0.7. 实数域是实数域上的 维线性空间.8. 3P 中，由标准基T T T )1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(到基T T T )5,4,3(,)4,3,2(,)3,2,1(的过渡矩阵是 . 9. {}Qd c b a d c b a Q ∈+++=,,,632)3,2(对数的运算构成Q 上的维线 性空间.10. 线性空间的标准基是n x P ][ .线性空间的标准基是22⨯R .11. 3][x P 中，由标准基到基21,3,2x x x ++-的过渡矩阵是12. 已知三阶矩阵A 的特征值分别为-1、1、2，则A －E 的特征值为13. 奇异矩阵A 必有特征值 . 幂零矩阵A 的特征值为 .14. 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量一定线性 .15. n 阶矩阵A 能对角化的充分必要条件是16. n R 中标准基的度量矩阵是 . 判断题1.若2A A =则 A=0 或A=E2.A 为n 阶矩阵，若02=A ,则A=0 .3. 设A,B,C 是n 阶矩阵，若AB=AC, 且0≠A ,则 B=C.4.设A,B,C 是n 阶矩阵，若ABC=E ,则，BCA=E.5. kk B A AB n B A =k ),（阶矩阵，则是6. 复数域是实数域上的线性空间7. 实数域是复数域上的线性空间.8. 设)(),3,2,1(ααL 则=是3P 的一维子空间.9. 32P P 是的二维子空间.10.二次型⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321321323512102321),,(),,(x x x x x x x x x f x 的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3512102321.11.二次型⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32132132361210321),,(),,(x x x x x x x x x f x 的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛342411211.12. 数乘变换在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵.13. 任意n 阶矩阵都可以作为n 维线性空间中从一组基到另一组基的过渡矩阵.14. 数域P 上两线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.15. 矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的特征值全大于零.16. 幂零矩阵的特征值必为零.17. 幂等矩阵的特征值为0,118. 相似矩阵的特征值相同，行列式相同.秩相同.19. 矩阵A 与B 有相同的秩，那么A 与B 一定相似.20. n 阶矩阵A 可以对角化的充要条件是A 有n 个不同的特征值.21. n 阶矩阵A 可以对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.22. 实对称矩阵一定可以对角化.。
高等代数大一下期末知识点
高等代数大一下期末知识点高等代数是大一下学期的一门重要课程，它是线性代数的延伸与拓展，主要涉及到矩阵、向量、行列式、特征值与特征向量等内容。
下面，我将针对高等代数大一下期末的知识点进行全面的总结和归纳。
一、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和性质：矩阵是由一些数按一定规律排列成的矩形数组。
矩阵的加法、数乘和乘法满足一定的运算规律，具有结合律、分配律等性质。
2. 矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
3. 矩阵的逆：对于可逆矩阵，存在一个逆矩阵，使得矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
逆矩阵的求解可以利用伴随矩阵和行列式的性质。
4. 行列式的定义和性质：行列式是一个标量，它根据矩阵的排列规律计算而得。
行列式的计算可以使用代数余子式和代数余子式的行列式展开式。
二、向量空间1. 向量与线性相关性：向量的线性组合、线性相关与线性无关的概念是研究向量空间的基础。
线性相关性可以通过求解线性方程组或利用行列式判断。
2. 向量空间的定义和性质：向量空间是由一组向量和定义在其上的加法和数乘运算构成的。
3. 向量空间的子空间：子空间是向量空间的一个更小的子集，它同样满足向量空间的定义和性质。
判断一个子空间是否成立可以利用子空间的闭包性和线性组合的定义。
三、特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义：对于矩阵A，如果存在一个非零向量X，使得AX=kX，其中k为一个常数，则称k为矩阵A的特征值，X为对应的特征向量。
2. 特征多项式和特征方程：特征多项式是由特征值和对应特征向量所构成的多项式。
特征方程是特征多项式为零的解方程。
3. 对角化和相似矩阵：对于可对角化矩阵，存在一个可逆矩阵P，使得PAP^{-1}为对角矩阵。
相似矩阵具有相同的特征值，但特征向量可能不同。
四、正交性与正交矩阵1. 内积空间与正交性：内积空间是带有内积运算的向量空间。
向量的内积可以用来衡量向量之间的夹角和长度。
2. 正交向量与正交集：两个向量的内积为零时，称这两个向量正交。
《高等数学》下册期末总复习第六版
3）一般式方程： ⎨
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
G G | n1 ⋅ n2 | G G n 1)面面： cos θ =| cos(n1 , n2 ) |= G G = | n1 || n2 |
G G | s1 ⋅ s2 | | m1m2 + n1n2 + p1 p2 | G G n ； 2)线线： cos θ =| cos( s1 , s2 ) |= G G = 2 | s1 || s2 | m1 + n12 + p12 m2 2 + n2 2 + p2 2 m n p G G G G （或重合） ⇔ s1 & s2 ⇔ 1 = 1 = 1 L1 ⊥ L2 ⇔ s1 ⋅ s2 = 0 ⇔ m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 ； L1 & L 2 m2 n2 p2 G G | s ⋅n | G G m 3)线面： sin ϕ =| cos( s , n ) |= G G = | s || n | A B C G G L⊥Π⇔ s &n⇔ = = ； m n p
2、 隐函数： 1） 一个方程的情形：
Fx dy ⎧ ⎪公式法：dx = − F y ⎪ ⎪ y= y( x) 二元方程可确定一个一元隐函数： F ( x, y ) = 0 ⎯⎯⎯ → ⎨隐函数求导法：方程两边对x求导，注意y = ⎪微分法：方程两边取微分，F dx + F dy = 0 x y ⎪ ⎪ ⎩
2） 方程组的情形： （隐函数求导法）
⎧ F ( x, y, z ) = 0 ⎩ z = z ( x ) dy dz ⇒ , 三元方程组确定两个一元隐函数： ⎨ ⎩G ( x, y, z ) = 0 对x求导 dx dx
《高等代数》(下)课程期末试卷
莆田学院2002―2003学年第一学期数学2001级数学专业《高等代数》（下）课程期末试卷一、完成下列计算（30分）1． 设)(ij a A =是n 级正定矩阵，而),,,(21'=n x x x α，),,,(21'=n y y y β在n R 中定义内积),(βα为 ),(βαβαA '=.(1) 求基)0,,0,1(1 =ε,)0,,0,1,0(2 =ε,, )1,0,,0,0( =n ε的度量矩阵;(2) 求基)1,,1,1(1 =η,)1,,1,1,0(2 =η,, )1,0,,0,0( =n η的度量矩阵.2.求复矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111122254A 的若当标准形,确定其最小多项式. 3设f 是数域P 上3维线性空间),,(321εεεL V =的一个线性函数, 如果1)(31=+εεf ,1)2(32-=-εεf ,3)(21-=+εεf ,求).(332211εεεx x x f ++二、用正交线性替换化二次型212x x 312x x +412x x -322x x -422x x +432x x +为标准形，现已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0111101111011110的所有不同的特征值为1和3-. （20分） 三、设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换且=2σσ,证明 （20分） 1.σ的核}|)({)(V Ker ∈∀-=αασασ;2.σ的值域)Im(σ}|)({V ∈==αασα;3. σ的特征值为1或1-;4.若τ也是数域P 上线性空间V 的线性变换, 则)(σKer 和)Im(σ都是τ的不变子空间的充要条件为τσστ=.四、设)(ij a A =是n 级实矩阵,且其行列式0det ≠A . （20分）1 证明存在正交矩阵Q 和每个对角元素皆为正的上三角矩阵T 使得QT A =;2.上述分解是否具有唯一性?为什么?3.证明对n 级正定矩阵S 来说, 必有每个对角元素皆为正的上三角矩阵T 使得T T S '=.五、设m εεε,,,21 是n 维欧氏空间)(R V n 的一个标准正交组， （10分）1． 证明 对任意)(R V n ∈α总有221||),(αεα≤∑=m i i；2．对一般的欧氏空间来说，上述不等式是否总成立？为什么？。
大一下学期高代期末知识点
大一下学期高代期末知识点高等代数是大一下学期的一门重要课程，也是理工科学生的必修课之一。
在这门课中，我们学习了许多抽象的数学概念和符号，如向量空间、线性映射、线性方程组等。
通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用代数学在实际问题中的解决方法。
下面，我将总结一些大一下学期高等代数期末考试的重点知识点。
1. 向量空间：向量空间是高代课程的基石，它是定义了一种满足特定性质的数学结构。
在向量空间中，我们研究了向量的加法、数量乘法、线性组合等运算规律，以及向量空间的性质、子空间、线性无关性等概念。
2. 线性映射：线性映射是一种保持线性关系的函数，它将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中。
我们学习了线性映射的定义、性质、核与值空间、线性映射的矩阵表示等内容。
3. 线性方程组：线性方程组是一个包含线性方程的集合，我们需要求解这个方程组得到未知数的解。
在高等代数中，我们学习了线性方程组的解的存在性与唯一性、线性方程组的矩阵表示、增广矩阵、初等变换等知识。
4. 特征值与特征向量：特征值与特征向量是线性变换中非常重要的概念。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量，对于某个线性变换，特征值和特征向量可以描述该变换的性质。
我们学习了特征值和特征向量的定义、计算方法、特征值与特征向量的性质等。
5. 线性无关性与基和维数：线性无关性是向量组合中的一个重要概念，它描述了向量组合中向量之间的关系。
我们学习了线性无关性的定义、判定方法、基与维数的概念等。
基是一个向量空间中最重要的概念之一，它可以用来描述该向量空间的性质。
6. 特殊矩阵与行列式：在高等代数中，我们还学习了一些特殊的矩阵，如对称矩阵、正交矩阵、幂等矩阵等。
行列式是对于一个方阵的一个标量值，在高等代数中起到了很重要的作用。
我们学习了行列式的定义、性质、计算方法等。
以上是大一下学期高等代数期末考试的一些重点知识点。
通过对这些知识的学习和理解，我们可以更好地掌握代数学的基本概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
高等代数(下)期终考精彩试题及问题详解(C卷)
高等代数(下）期末考试试卷（C 卷）一. 选择题（每空2分，共12分） 1．( D )下列集合哪一个是R n 的子空间11 1 1 2 1 2 11 2 1(A) {(,0,....,0,)| , ,}(B){( ,,...,)| , 1,...,}(C){( ,,...,)| 1 , }(D){( ,,...,)|0, }n n n n i nn i i i n n i i i a a a a R a a a a a a Z i n a a a a a R a a a a a R ==∈≠∈==∈=∈∑∑2．( B ) 令ξ=（x 1，x 2，x 3）是R 3的任意向量．下列哪一个映射σ是R 3的线性变换31 2 3233231 2312(A) ( ) = , 0(B) ( ) = (2-+ , , -)(C) ( ) =(,, )(D) ( ) =( 1 ,,0)R x x x x x x x x x x x σξξαασξσξσξ+≠++其中是 的固定向量3. (C) 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且()1dim 3V =, ()2dim 2V =,()12dim 1V V ?, 那么()12dim V V +为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. （C ）若4阶方阵A 的初等因子为()23l +, +3, 2. 则 A 的不变因子是(Ａ) 1，（ +3），（ +2），()23l +； (B) 1，1， ( +3) ( + 2) ，()()223l l ++； (C ）1，1，（ +3），()()223l l ++；(D) 1，1，( +2)，()()223l l ++；5．（ B ）设矩阵A 的全部不同特征值为12,,...,s λλλ，则下列哪一说法与A 可对角化不等价（A ） A 有n 个线性无关的特征向量； （B ） ()(1,2,...)()i ii i R E A n i s n λλ-==其中为的重数;（C ） V dim (V )(1,2,...,)iii i i s λλλλ==的特征子空间的维数的重数 ;( D) A 的最小多项式均是数域P 上互素的一次因式的乘积;6.（D ） 在实数域R 中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W 的维数为(A) 10; （B ）4； (C) 9； （D ）6；.二. 填空题（每空２分，共18分）1、已知a 是数域P 上的一个固定的数，而2{(,,,),2,,}n i W a x x x P i n =∈=是1n P +的一个子空间，则a ＝_______， dim (W )＝________. 2. 设,στ是2P 的两个线性变换，定义如下(,)(2,0)x y x y σ=-+, (,)(3,)x y y x y τ=-+ (,x y P ∀∈)则 (,)x y τσ=_________.3. 已知E A λ-的标准形为1000000(2)λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则A 的特征多项式2(2)E A λλλ-=-，A 的最小多项式为___________。
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第六章线性空间 一线性空间的判定线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。
例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 解：1）否。
因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如523n nx x ++--=（）（）。
2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。
“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。
A kA k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
例：齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。
而非齐次线性方程组A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。
二、基维数坐标定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,αααL 使得：V 中任一向量α都可由12n ,,,αααL 线性表示，那么，12n ,,,αααL 就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。
记作dim V =n 。
维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。
定义（向量的坐标）：设12n ,,,αααL 是线性空间n V 的一个基。
对于任一元素∈αn V ，总有且仅有一组有序数,,,,21n x x x Λ使则n x x x ,,,21Λ这组有序数就称为元素a 在基底12n ,,,αααL 下的坐标，并记作()12,,,T n x x x x =L例：在线性空间22⨯R 中，就是22⨯R 的一个基。
22⨯R 的维数为4.任一2阶矩阵因此A 在4321,,,A A A A 这个基下的坐标为()T d c b a ,,,。
若另取一个基 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0101,00014321B B B B 。
则4321)()()(dB B d c B c b B b a d b c a A +-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=因此A 在4321,,,B B B B 这个基下的坐标为()T d d c c b b a ,,,---。
例：考虑全体n 阶对称矩阵构成的线性空间的基底和维数。
3） 解：n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。
“全体n 阶对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
从而全体n 阶对称矩阵构成的线性空间。
(1)ij ji E E i j n +≤≤≤即为它的一组基。
共(1)122n n n ++++=L 个，维数是(1)2n n +例：设1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,11),(1,1,1,1),(1,2,1,1)εεεεξ==--=--=--=。
在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标。
设有线性关系1234a b c d ξεεεε=+++，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++1121d c b a d c b a d c b a d c b a ，可得ξ在基4321,,,εεεε下的坐标为41,41,41,45-=-===d c b a 。
例：在4P 中，由齐次方程组确定的解空间的基与维数。
解：对系数矩阵作行初等变换，有所以解空间的维数是2，它的一组基为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭⎫⎝⎛=1,0,37,922a 。
例：设1V 与2V 分别是齐次方程组n n n x x x x x x x =====+++-12121...,0...的解空间，证明：.21V V P n ⊕=证：由于0...21=+++n x x x 的解空间是n －1维的，其基为)1,...,0,0,1(),...,0,...,1,0,1(),0,...,0,1,1(121-=-=-=-n ααα 而由n n x x x x ====-121...知其解空间是1维的，令,1=n x 则其基为).1,...,1,1(=β且βααα,,...,,121-n 即为n P 的一组基，从而.21V V P n +=又)dim ()dim ()dim (21V V P n +=，（也可由交为零向量知） 故.21V V P n ⊕= 三、基变换与坐标变换基变换：设n ααα,,,21Λ及n βββ,,,21Λ是线性空间n V 中的两个基，若或简记为=（n ααα,,,21Λ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a ΛM ΛM M ΛΛ212222111211 =（n ααα,,,21Λ）A （☆）则矩阵A 称为由基n ααα,,,21Λ到基n βββ,,,21Λ的过渡矩阵。
（☆）式称为基变换公式. 坐标变换：设n V 中的元素α，在基n ααα,,,21Λ下的坐标为()Tn x x x ,,,21Λ，在基n βββ,,,21Λ下的坐标为()T n y y y ,,,21Λ。
若两个基满足关系式（6-2），则有坐标变换公式 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x M 21A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y M 21，或⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y M 21=1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x M 21 第七章线性变换一、线性变换的定义线性空间V 到自身的映射称为V 的一个变换. 定义：线性空间V 的一个变换A 称为线性变换，如果对于V 中任意的元素βα,和数域P 中任意数k ，都有A (βα+)=A (α)+A (β);A (αk )=A k (α).一般用花体拉丁字母A ，B ，…表示V 的线性变换，A (α)或A α代表元素α在变换A 下的像.例?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）?在P 3中，A ),,(),,(233221321x x x x x x x +=；4）?在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 解：1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+=),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++-=A α+A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx=k A )(α，故A 是3P 上的线性变换。
二、线性变换关于基的矩阵定义：设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：用矩阵表示就是A （n εεε,,,21Λ）=（A(1ε)，A(2ε)，…，A(n ε)）=A n ),,,(21εεεΛ其中矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵. 定理：设线性变换A 在基n εεε,,,21Λ下的矩阵是A ，向量ξ在基n εεε,,,21Λ下的坐标是),,,(21n x x x Λ,则A ξ在基n εεε,,,21Λ下的坐标),,,(21n y y y Λ可以按公式 计算.例：在空间n x P ][中，线性变换D )()(x f x f '= 在基)!1(,,!2,,112--n x x x n Λ下的矩阵是三、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.定理：设线性空间V 中线性变换A 在两组n εεε,,,21Λ（6）n ηηη,,,21Λ(7)下的矩阵分别为A 和B ，从基（6）到（7）的过渡矩阵是X ，于是AX X B1-=. 定理告诉我们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系为相似.定义：设A ，B 为数域P 上两个n 级方阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆方阵X ，使得AX X B 1-=，就说A 相似于B ，记作B A ~. 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1.反身性：A A ~2.对称性：如果B A ~，那么A B ~.3.传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~. 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.矩阵的相似对于运算有下面的性质.如果XA XB 111-=, X A X B 212-=，那么X A A X B B )(21121+=+-,由此可知，如果AX X B1-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么 利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算. 例：3R 上的线性变换T 在基1111000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的矩阵为121012111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 则基在123,2,ααα下的矩阵为（A ）（A ）141011121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（B ）141044121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （C ）1211012111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（D ）242024222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 例：已知3P 中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101，求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵。