高等代数下期末复习

第六章线性空间 一线性空间的判定

线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．

若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。

例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2） 全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 解：1）否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如

523n n

x x ++--=（）（）。

2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。

当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有

'''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。

A kA k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。

例：齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。

而非齐次线性方程组A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。

二、基维数坐标

定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,αααL 使得：V 中任一向量α都可由

12n ,,,αααL 线性表示，那么，12n ,,,αααL 就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。记作dim V =n 。维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。 定义（向量的坐标）：设12n ,,,αααL 是线性空间n V 的一个基。对于任一元素∈αn V ，总有且仅有一组有序数,,,,21n x x x Λ使

则n x x x ,,,21Λ这组有序数就称为元素a 在基底

12n ,,,αααL 下的坐标，并记作()12,,,T n x x x x =L

例：在线性空间22⨯R 中，

就是22⨯R 的一个基。22⨯R 的维数为4.

任一2阶矩阵

因此A 在4321,,,A A A A 这个基下的坐标为

()

T d c b a ,,,。

若另取一个基 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0101,00014321B B B B 。 则

4321)()()(dB B d c B c b B b a d b c a A +-+-+-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=因此A 在4321,,,B B B B 这个基下的坐标为

()

T d d c c b b a ,,,---。 例：考虑全体n 阶对称矩阵构成的线性空间的基底

和维数。 3） 解：n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。“全体n 阶对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。从而全体n 阶对称矩阵构成的线性空间。(1)ij ji E E i j n +≤≤≤即为它的一组基。共

(1)122n n n ++++=L 个，维数是(1)2

n n +

例：设1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),

(1,1,11),(1,1,1,1),(1,2,1,1)εεεεξ==--=--=--=。

在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标。 设有线性关系1234a b c d ξεεεε=+++，

则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++1

12

1

d c b a d c b a d c b a d c b a ，

可得ξ在基4321,,,εεεε下的坐标为

41

,41,41

,45

-=-===d c b a 。

例：在4P 中，由齐次方程组

确定的解空间的基与维数。

解：对系数矩阵作行初等变换，有

所以解空间的维数是2，它的一组基为

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭⎫

⎝⎛=1,0,37,922a 。

例：设1V 与2V 分别是齐次方程组

n n n x x x x x x x =====+++-12121...,0...的解空间，证明：

.21V V P n ⊕=

证：由于0...21=+++n x x x 的解空间是n －1维的，其基为)1,...,0,0,1(),...,0,...,1,0,1(),0,...,0,1,1(121-=-=-=-n ααα 而由n n x x x x ====-121...知其解空间是1维的，令,1=n x 则

其基为).1,...,

1,1(=β且βααα,,...,,121-n 即为n P 的一组基，从而.21V V P n +=

又

)dim ()dim ()dim (21V V P n +=，（也可由交为零向量知） 故

.21V V P n ⊕= 三、基变换与坐标变换

基变换：设n ααα,,,21Λ及n βββ,,,21Λ是线性空间n V 中的两个基，若

或简记为

=（n ααα,,,21Λ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a ΛM ΛM M ΛΛ2

12222111211 =（n ααα,,,21Λ）A （☆）

则矩阵A 称为由基n ααα,,,21Λ到基n βββ,,,21Λ的过

渡矩阵。（☆）式称为基变换公式. 坐标变换：设n V 中的元素α，在基n ααα,,,21Λ下的坐标为()T

n x x x ,,,21Λ，在基n βββ,,,21Λ下的坐标为