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高考二轮复习考前增分训练数学(理) 大题规范练3 “17题～19题+二选一”46分练

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(新课标)高三理科数学二轮复习名师指导考前提分题型练(全书完整版)

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（新课标）高三理科数学二轮复习（全册）名师指导考前提分题型练题型专项集训题型练1选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}2.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i3.若a>b>1,0<c<1,则()A.a c<b cB.ab c<ba cC.a log b c<b log a cD.log a c<log b c4.执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为()A.1B.2C.3D.45.等差数列{a n}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a1=3,S n为数列{a n}的前n项和,则S n的最大值为()A.8B.6C.4D.46.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+B.4+C.2+2D.57.已知直线l1:x+2y+1=0,l2:Ax+By+2=0(A,B∈{1,2,3,4}),则l1与l2不平行的概率为()A.B.C.D.8.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个9.将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则()A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为10.函数f(x)=x cos x2在区间[0,2]上的零点的个数为()A.2B.3C.4D.511.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则()·的最小值为()A.B.9 C.-D.-912.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]上的图象大致为()13.已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆=1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=.14.的展开式中的常数项为.(用数字表示)15.(2017浙江,11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.16.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.思维提升训练1.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)2.已知i是虚数单位,是z=1+i的共轭复数,则在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2017山东,理7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+4.若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为()A.-7B.-1C.1D.25.某算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为()A.-1B.0C.1D.56.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.7.函数y=x sin x在[-π,π]上的图象是()8.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,若函数f(x)=x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点,则∠B的取值范围是()A.B.C.D.9.将函数y=sin 2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位、向右平移n(n>0)个单位所得到的图象都与函数y=sin(x∈R)的图象重合,则|m-n|的最小值为()A.B.C.D.10.(2017安徽江南十校联考)质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字,某同学随机地抛掷此正四面体2次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m,n,且两次结果相互独立,互不影响.记m2+n2≤4为事件A,则事件A发生的概率为()A. B. C. D.11.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,∠A=60°,=2m·,则m的值为()A.B.C.1 D.12.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D.113.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.14.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,,若点M在圆O上,则实数k=.15.如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.16.已知等差数列{a n}前n项的和为S n,且满足=3,则数列{a n}的公差为.参考答案题型练1选择题、填空题综合练(一)能力突破训练1.D解析由题意知集合B={1,4,7,10},则A∩B={1,4}.故选D.2.B解析设z=a+b i(a,b∈R),则2z+=3a+b i=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.3.C解析特殊值验证法,取a=3,b=2,c=,因为,所以A错;因为3>2,所以B错;因为log3=-log32>-1=log2,所以D错;因为3log2=-3<2log3=-2log32,所以C正确.故选C.4.B解析由程序框图可知,输入a=1,则k=0,b=1;进入循环体,a=-,a=b不成立,k=1,a=-2,a=b不成立,k=2,a=1,此时a=b=1,输出k,则k=2,故选B.5.D解析由题意得(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+14d),即(3+4d)2=(3+2d)(3+14d),解得d=-2或d=0(舍去).所以S n=3n+(-2)=-n2+4n.所以当n=2时,S n=-n2+4n取最大值(S n)max=8-4=4.故选D.6.C解析由三视图还原几何体如图.∴S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC=2×2+21+2=2+=2+27.A解析由A,B∈{1,2,3,4},则有序数对(A,B)共有16种等可能基本事件,而(A,B)取值为(1,2)时,l1∥l2,故l1与l2不平行的概率为1-8.D解析由题图可知,0℃在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20℃的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.9.A解析设P'(x,y).由题意得,t=sin,且P'的纵坐标与P的纵坐标相同,即y=又P'在函数y=sin2x的图象上,则sin2x=,故点P'的横坐标x=+kπ或+kπ(k∈Z),由题意可得s的最小值为10.A解析令f(x)=0,即x cos x2=0,得x=0或cos x2=0,则x=0或x2=kπ+,x∈Z.∵x∈[0,2],∴x2∈[0,4],得k的取值为0,即方程f(x)=0有两个解,则函数f(x)=x cos x2在区间上的零点的个数为2,故选A.11.C解析=2,∴()=2=-2||·||.又||+||=||=3≥2||·||,∴()-故答案为-12.C解析由函数f(x)为奇函数,排除B;当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;又f'(x)=-2cos2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-,结合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的极大值点为,靠近π,排除D.13解析因为圆(x-2)2+y2=1与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),所以c=1,a=3,e=14解析T k+1=x4-k(-1)k x4-2k(-1)k,令4-2k=0,得k=2,展开式中的常数项为15解析将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=616解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.由故所求面积S=(x-x2)d x=思维提升训练1.C解析A={y|y>0},B={x|-1<x<1},则A∪B={x|x>-1},选C.2.C解析=1-i,则=-i,对应复平面内点的坐标为,在第三象限.3.B解析不妨令a=2,b=,则a+=4,,log2(a+b)=log2(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+故选B.4.A解析画出约束条件对应的可行域(如图).由z=3x-y得y=3x-z,依题意,在可行域内平移直线l0:y=3x,当直线l0经过点A时,直线l0的截距最大,此时,z取得最小值.由则A(-2,1),故z的最小值为3×(-2)-1=-7.5.C解析由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y=当x>2时y=2x>4,若输出的y=,则sin,结合选项可知选C.6.C解析∵双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,∴其渐近线方程为y=±x.∵渐近线与直线x+2y+1=0垂直,∴渐近线的斜率为2,=2,即b2=4a2,c2-a2=4a2,c2=5a2,=5,,双曲线的离心率e=7.A解析容易判断函数y=x sin x为偶函数,可排除D;当0<x<时,y=x sin x>0,排除B;当x=π时,y=0,可排除C.故选A.8.D解析函数f(x)的导函数f'(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac),若函数f(x)有极值点,则Δ=(2b)2-4(a2+c2-ac)>0,得a2+c2-b2<ac,由余弦定理,得cos B=,则B>,故选D.9.C解析函数y=sin2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位可得y=sin2(x+m)=sin(2x+2m)的图象,向右平移n(n>0)个单位可得y=sin2(x-n)=sin(2x-2n)的图象.若两图象都与函数y=sin(x∈R)的图象重合,则(k1,k2∈Z),即(k1,k2∈Z).所以|m-n|=(k1,k2∈Z),当k1=k2时,|m-n|min=故选C.10.A解析根据要求进行一一列举,考虑满足事件A的情况.两次数字分别为(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(0,3),(3,0),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3),共有16种情况,其中满足题设条件的有(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(0,2),共6种情况,所以由古典概型的概率计算公式可得事件A发生的概率为P(A)=,故选A.11.A解析如图,当△ABC为正三角形时,A=B=C=60°,取D为BC的中点,,则有=2m,)=2m,2,∴m=,故选A.12.C解析设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),F,则,∴k OM=,当且仅当t=时等号成立.∴(k OM)max=,故选C.13.30解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+6=44×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.14.±1解析如图,,则四边形OAMB是锐角为60°的菱形,此时,点O到AB距离为1.由=1,解得k=±1.15解析由题意易知△ABD≌△PBD,∠BAD=∠BPD=∠BCD=30°,AC=2设AD=x,则0≤x≤2,CD=2-x,在△ABD中,由余弦定理知BD=设△PBD中BD边上的高为d,显然当平面PBD⊥平面CBD时,四面体PBCD的体积最大,从而V P-BCD d×S△BCD=BC×CD×sin30°=, 令=t∈[1,2],则V P-BCD,即V P-BCD的最大值为16.2解析∵S n=na1+d,=a1+d,d.又=3,∴d=2.题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.已知集合M={x|(x+2)(x-2)≤0},N={x|-1<x<3},则M∩N=()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1<x≤2}C.{x|-2≤x<3}D.{x|-2<x≤2}2.已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()A.πB.πC.πD.1+π4.已知sin θ=,cos θ=,则tan等于()A.B.C.D.55.已知p:∀x∈[-1,2],4x-2x+1+2-a<0恒成立,q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x,y∈R,且x>y>0,则()A.>0B.sin x-sin y>0C.<0D.ln x+ln y>07.已知实数x,y满足约束条件则z=2x+4y的最大值是()A.2B.0C.-10D.-158.已知函数f(x)=log2x,x∈[1,8],则不等式1≤f(x)≤2成立的概率是()A. B. C. D.9.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列的前11项和为()A.-45B.-50C.-55D.-6610.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5B.7C.13D.1511.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为()A.2 017×22 013B.2 017×22 014C.2 017×22 015D.2 016×22 01612.已知a>0,a≠1,函数f(x)=+x cos x(-1≤x≤1),设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则()A.M+N=8B.M+N=6C.M-N=8D.M-N=613.(2017天津,理12)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.14.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.15.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a的值为.16.已知直线y=mx与函数f(x)=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.思维提升训练1.设集合A={x|x+2>0},B=,则A∩B=()A.{x|x>-2}B.{x|x<3}C.{x|x<-2或x>3}D.{x|-2<x<3}2.复数z=(i为虚数单位)的虚部为()A.2B.-2C.1D.-13.已知a=,b=,c=2,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.已知x,y满足约束条件则z=-2x+y的最大值是()A.-1B.-2C.-5D.15.若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()6.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为() A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=C.T=6,φ=D.T=6,φ=7.设a,b是两个非零向量,则使a·b=|a|·|b|成立的一个必要不充分条件是()A.a=bB.a⊥bC.a=λb(λ>0)D.a∥b8.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.B.C.D.9.(2017河南安阳一模)已知圆(x-1)2+y2=的一条切线y=kx与双曲线C:=1(a>0,b>0)有两个交点,则双曲线C的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,2)C.(,+∞)D.(2,+∞)10.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S1=1,S2=2,且S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,n≥2),则此数列为()A.等差数列B.等比数列C.从第二项起为等差数列D.从第二项起为等比数列11.一名警察在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是()A.甲B.乙C.丙D.丁12.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x313.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.14.设F是双曲线C:=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.15.下边程序框图的输出结果为.16.(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)参考答案题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.B解析由已知,得M={x|-2≤x≤2},N={x|-1<x<3},则M∩N={x|-1<x≤2},故选B.2.D解析由已知得z==-1-i.3.C解析由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V1=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=1×1=,故选C.4.D解析利用同角正弦、余弦的平方和为1求m的值,再根据半角公式求tan,但运算较复杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,m为一确定的值,进而推知tan也为一确定的值,又<θ<π,所以,故tan>1.5.A解析关于p:不等式化为22x-2·2x+2-a<0,令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t,则不等式转化为t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2对任意t恒成立.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t时,y max=10,所以a>10.关于q:只需a-2>1,即a>3.故p是q的充分不必要条件.6.C解析由x>y>0,得,即<0,故选项A不正确;由x>y>0及正弦函数的单调性,可知sin x-sin y>0不一定成立,故选项B不正确;由0<<1,x>y>0,可知,即<0,故选项C正确;由x>y>0,得xy>0,xy不一定大于1,故ln x+ln y=ln xy>0不一定成立,故选项D不正确.故选C.7.B解析实数x,y满足约束条件对应的平面区域为如图ABO对应的三角形区域,当动直线z=2x+4y经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,故选B.8.B解析由1≤f(x)≤2,得1≤log2x≤2,解得2≤x≤4.由几何概型可知P=,故选B.9.D解析因为a n=1-2n,S n==-n2,=-n,所以数列的前11项和为=-66.故选D.10.B解析由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.11.B解析如图,当第一行3个数时,最后一行仅一个数,为8=23-2×(3+1);当第一行4个数时,最后一行仅一个数,为20=24-2×(4+1);当第一行5个数时,最后一行仅一个数,为48=25-2×(5+1);当第一行6个数时,最后一行仅一个数,为112=26-2×(6+1).归纳推理,得当第一行2016个数时,最后一行仅一个数,为22016-2×(2016+1).故选B.12.B解析f(x)=+x cos x=3++x cos x,设g(x)=+x cos x,则g(-x)=-g(x),函数g(x)是奇函数,则g(x)的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x≤1时,设-m≤g(x)≤m,则3-m≤f(x)≤3+m, ∴函数f(x)的最大值M=3-m,最小值N=3+m,得M+N=6,故选B.13.4解析∵a,b∈R,且ab>0,=4ab+≥414.y=-2x-1解析当x>0时,-x<0,则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f'(x)=-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.15.32解析第一次循环,输入a=1,b=2,判断a≤31,则a=1×2=2;第二次循环,a=2,b=2,判断a≤31,则a=2×2=4;第三次循环,a=4,b=2,判断a≤31,则a=4×2=8;第四次循环,a=8,b=2,判断a≤31,则a=8×2=16;第四次循环,a=16,b=2,判断a≤31,则a=16×2=32;第五次循环,a=32,b=2,不满足a≤31,输出a=32.16.(,+∞)解析作出函数f(x)=的图象,如图.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始终与函数y=2-(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式Δ=4m2-4×2>0,解得m>故所求实数m的取值范围是(,+∞).思维提升训练1.D解析由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A∩B={x|-2<x<3},故选D.2.B解析z==1-2i,得复数z的虚部为-2,故选B.3.A解析因为a==b,c=2=a,所以b<a<c.4.A解析作出约束条件的可行域如图阴影部分所示,平移直线l0:y=2x,可得在点A(1,1)处z取得最大值,最大值为-1.5.B解析已知等式可化为y=根据指数函数的图象可知选项B正确,故选B.6.C解析由图象易知A=2,T=6,∴ω=又图象过点(1,2),∴sin=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=7.D解析因为a·b=|a|·|b|cosθ,其中θ为a与b的夹角.若a·b=|a|·|b|,则cosθ=1,向量a与b方向相同;若a∥b,则a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|,故选D.8.B解析设AB=a,则由AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B知7=a2+4-2a,即a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC边上的高为AB·sin B=39.D解析由已知得,解得k2=3.由消去y,得(b2-a2k2)x2-a2b2=0,则4(b2-a2k2)a2b2>0,即b2>a2k2.因为c2=a2+b2,所以c2>(k2+1)a2.所以e2>k2+1=4,即e>2.故选D.10.D解析由S1=1得a1=1,又由S2=2可知a2=1.因为S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,且n≥2),所以S n+1-S n-2S n+2S n-1=0(n∈N*,且n≥2),即(S n+1-S n)-2(S n-S n-1)=0(n∈N*,且n≥2),所以a n+1=2a n(n∈N*,且n≥2),故数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D.11.B解析因为乙、丁两人的观点一致,所以乙、丁两人的供词应该是同真或同假.若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯;由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,矛盾.所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙的供词内容可以断定乙是罪犯.12.A解析当y=sin x时,y'=cos x,因为cos0·cosπ=-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=e x,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.本题实质上是检验函数图象上存在两点的导数值乘积等于-1.13.2解析由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此该四棱锥的体积为V=(2×1)×3=2.故答案为2.14解析不妨设F(c,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B(0,b),依题意得点P为(-c,2b),又点P在双曲线上,所以=1,得=5,即e2=5,因为e>1,所以e=15.8解析由程序框图可知,变量的取值情况如下:第一次循环,i=4,s=;第二次循环,i=5,s=;第三次循环,i=8,s=;第四次循环,s=不满足s<,结束循环,输出i=8.16.80解析通项公式为T r+1=x5-r2r,令5-r=2,得r=3.则x2的系数为23=80.题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2017江苏,16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.3.(2017全国Ⅰ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.4.已知函数f(x)=4tan x sin·cos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A 为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.参考答案题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-又x∈[0,π],所以x=(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos因为x∈[0,π],所以x+,从而-1≤cos于是,当x+,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-22.(1)证明由题意知2,化简得2(sin A cos B+sin B cos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B,因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)解由(1)知c=,所以cos C==,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=由正弦定理得sin C sin B=故sin B sin C=(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-所以B+C=,故A=由题设得bc sin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=故△ABC的周长为3+4.解(1)f(x)的定义域为f(x)=4tan x cos x cos=4sin x cos=4sin x=2sin x cos x+2sin2x-=sin2x+(1-cos2x)-=sin2x-cos2x=2sin,所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=所以,当x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.5.解(1)由已知可得f(x)=a=a sin∵BC==4,∴T=8,∴ω=由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2(2)由(1)知f(x0)=2sin,即sin∵x0,x0+,∴cos,∴f(x0+1)=2sin=2sin=2=26.解(1)∵m=,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=(sin x,cos x)=sin x-cos x=sin=0.又x,∴x-∴x-=0,即x=tan x=tan=1.(2)由(1)和已知,得cos==sin又x-,∴x-,即x=题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.设数列{a n}的前n项和为S n,满足(1-q)S n+qa n=1,且q(q-1)≠0.(1)求{a n}的通项公式;(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.2.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为S n,b n=.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)设数列{b n}前n项和为T n,求T n.3.已知数列{a n}的前n项和S n满足:S n=(a n-1),a为常数,且a≠0,a≠1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若a=,设b n=,且数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公比为q的等比数列{b n}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;(2)求数列的前n项和T n.5.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{}的前n项和为S n,证明:(n∈N*).6.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>.参考答案题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.当n≥2时,由(1-q)S n+qa n=1,得(1-q)S n-1+qa n-1=1,两式相减,得a n=qa n-1.又q(q-1)≠0,所以{a n}是以1为首项,q为公比的等比数列,故a n=q n-1.(2)证明由(1)可知S n=,又S3+S6=2S9,所以,化简,得a3+a6=2a9,两边同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差数列.2.解(1)∵在等差数列{a n}中,a1=1,公差d=1,∴S n=na1+d=,∴b n=(2)b n==2,∴T n=b1+b2+b3+…+b n=2+…+=2+…+=2故T n=3.(1)解因为a1=S1=(a1-1),所以a1=a.当n≥2时,a n=S n-S n-1=a n-a n-1,得=a,所以数列{a n}是首项为a,公比也为a的等比数列.所以a n=a·a n-1=a n.(2)证明当a=时,a n=,所以b n=因为,所以b n=所以T n=b1+b2+…+b n<+…+因为-<0,所以,即T n<4.解(1)设{a n}公差为d,由题意得解得故a n=3n-1,b n=(2)+22n+1,∴T n=+…+(22n+3-8)=5.证明(1)由题意得a n+1-a n=-0,即a n+1≤a n,故a n由a n=(1-a n-1)a n-1,得a n=(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a1)a1>0.由0<a n,得[1,2],即12.(2)由题意得=a n-a n+1,所以S n=a1-a n+1.①由和12,得12,所以n2n,因此a n+1(n∈N*).②由①②得(n∈N*).6.解(1)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n=由e2=,解得q=因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>q k-1(k∈N*).于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=,故e1+e2+…+e n>题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.2.袋子中装有大小相同的白球和红球共7个,从袋子中任取2个球都是白球的概率为,每个球被取到的机会均等.现从袋子中每次取1个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得红球之前已取出的白球个数为X.(1)求袋子中白球的个数;(2)求X的分布列和数学期望.3.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.4.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.6.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的质量(单位:g),整理后得到如下的频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515]).(1)若从这40件产品中任取两件,设X为质量超过505 g的产品数量,求随机变量X的分布列;(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的质量超过505 g的概率.参考答案题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.解(1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X1234P随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+42.解(1)设袋子中有n(n∈N*)个白球,依题意,得,即,化简,得n2-n-6=0,解得n=3或n=-2(舍去).故袋子中有3个白球.(2)由(1)得,袋子中有4个红球,3个白球.X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=;P(X=3)=则X的分布列为X0123P故E(X)=0+1+2+33.解(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=因此所求概率为(3)X0.85a a1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4.解(1)由题意知,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=所以X的分布列为X123P因此,X的数学期望为E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1+2+3=2.5.解(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,P(X=10)=;P(X=20)=;P(X=100)=;P(X=-200)=所以X的分布列为X1020100-200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是(3)X的数学期望为E(X)=10+20+100-200=-这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.6.解(1)根据频率分布直方图可知,质量超过505g的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=则随机变量X的分布列为X012P(2)由题意得该流水线上产品的质量超过505g的概率为=0.3.设Y为该流水线上任取5件产品质量超过505g的产品数量,则Y~B(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=0.32×0.73=0.3087.题型练6大题专项(四)立体几何综合问题1.如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A1A=6,且A1A ⊥底面ABCD.点P,Q分别在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC所成角为60°,AA1=2,底面ABC是边长为2的正三角形,点G为△ABC的重心,点E在BC1上,且BE=BC1.(1)求证:GE∥平面AA1B1B;(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.4.在如图所示的组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D,且PD=PC=.(1)证明:PD⊥平面PBC;(2)求P A与平面ABCD所成角的正切值;(3)当AA1的长为何值时,PC∥平面AB1D.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,P A=AD=2,AC=1.(1)证明:PC⊥AD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)设E为棱P A上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.6.已知四边形ABCD满足AD∥BC,BA=AD=DC=BC=a,E是BC的中点,将△BAE沿AE翻折成△B1AE,使平面B1AE⊥平面AECD,F为B1D的中点.。

高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)三轮

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姓名：________班级：________学号：________ 高考中档大题规范练(二)概率与统计1．(2015·广东)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2；(3)36名工人中年龄在x－s与x＋s之间的有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?2．(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T的分布列与数学期望E(T)；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．3．(2015·韶关高三联考)某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是34，12，14，且各阶段通过与否相互独立．(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与均值．4．袋中装有若干个质地均匀、大小一致的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍．每次从袋中摸出一个球然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束．(1)求摸球3次就停止的事件发生的概率；(2)记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．5．(2015·惠州调研)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品称出它们的重量作为样本(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．答案精析高考中档大题规范练(二)概率与统计1．解 (1)44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40.s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009.(3)40－103＝1103，40＋103＝1303在⎝⎛⎭⎫1103，1303的有23个，占63.89%. 2．解 (1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得T 的分布列为从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T 1，T 2分别表示往，返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同， 设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一 P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91. 方法二 P (A )＝P (T 1＋T 2＞70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋ P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09， 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.3．解 (1)记“该选手通过初赛”为事件A ，“该选手通过复赛”为事件B ，“该选手通过决赛”为事件C ，则P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝14.那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率 P ＝P (A B )＝P (A )P (B )＝34×(1－12)＝38.(2)ξ可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝1－34＝14，P (ξ＝2)＝34×(1－12)＝38，P (ξ＝3)＝34×12＝38.故ξ的分布列为ξ的均值为E (ξ)＝1×14＋2×38＋3×38＝178.4．解 (1)由题意，知从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率为13，摸到白球的概率为23.摸球3次就停止，说明前三次都摸到了红球，则摸球3次就停止的事件发生的概率为P ＝(13)3＝127. (2)依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则 P (ξ＝0)＝C 05·(1－13)5＝32243， P (ξ＝1)＝C 15·13·(1－13)4＝80243， P (ξ＝2)＝C 25·(13)2·(1－13)3＝80243， P (ξ＝3)＝C 33·(13)3＋C 23·(13)2·(1－13)·13＋C 24·(13)2·(1－13)2·13＝1781.随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的均值为E (ξ)＝32243×0＋80243×1＋80243×2＋1781×3＝13181. 5．解 (1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01＋0.05)×5]×40＝12(件)．(2)Y 的可能取值为0,1,2. P (Y ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 128C 112C 240＝56130，P (Y ＝2)＝C 212C 240＝11130.Y 的分布列为(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3. 令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量， 则ξ～B (5,0.3)，故所求概率为P (ξ＝2)＝C 25(0.3)2·(0.7)3＝0.3 087.。

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姓名：________ 班级：________ 学号：________高考压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2015·陕西)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．2．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆方程；(2)求m 的取值范围．3．已知抛物线C：y2＝4x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若m＝1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，1|AM|2＋1|BM|2恒为定值？4．(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．答案精析高考压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)方法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2， x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2， 由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4， 解得k ＝12， 从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2)， 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 方法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0，易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12， 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1， 代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2，于是|AB |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 2．解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， 由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ， 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )．∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不成立，∴k 2＝8－2m 29m 2－4>0， 得49<m 2<4，此时Δ>0. ∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 3．解 (1)当m ＝1时，M (1,0)，此时点M 为抛物线C 的焦点．直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y ，得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－2＝4，所以圆心坐标为(3,2)．又|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，所以圆的半径为4，所以圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16.(2)由题意可设直线l 的方程为x ＝ky ＋m ，则直线l 的方程与抛物线C ：y 2＝4x 联立，消去x 得，y 2－4ky －4m ＝0，则y 1y 2＝－4m ，y 1＋y 2＝4k ，1|AM |2＋1|BM |2＝1(x 1－m )2＋y 21＋1(x 2－m )2＋y 22＝1(k 2＋1)y 21＋1(k 2＋1)y 22＝y 21＋y 22(k 2＋1)y 21y 22 ＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(k 2＋1)y 21y 22＝16k 2＋8m (k 2＋1)·16m 2＝2k 2＋m 2m 2(k 2＋1)， 若1|AM |2＋1|BM |2对任意k ∈R 恒为定值，则m ＝2，此时1|AM |2＋1|BM |2＝14. 所以存在定点M (2,0)，满足题意．4．解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为 y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx1x2＋(a－b)(x1＋x2)x1x2＝k(a＋b)a.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．。

高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)三轮

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姓名：________ 班级：________ 学号：________高考小题综合练(一)1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＋1<0}，B ＝{x |x －3<0}，那么集合(∁U A )∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x <3} B ．{x |－1<x <3} C ．{x |x <－1}D ．{x |x >3}2．(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．下列四个函数中，属于奇函数且在区间(－1,0)上为减函数的是( ) A ．y ＝(12)|x |B ．y ＝x －42－xC ．y ＝log 2|x |D ．y ＝－x 134．(2014·福建)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i5．已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m－1＝38，则m 等于( )A ．10B ．20C ．30D ．406．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.787．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．2 28．已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(3，22) C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)9．将函数f (x )＝cos(π＋x )(cos x －2sin x )＋sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为2，图象关于直线x ＝π2对称B ．周期为π，图象关于(π4，0)对称C ．在(－π2，0)上单调递增，为偶函数D ．在(0，π4)上单调递增，为奇函数10．(2015·课标全国Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．811．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班级，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班级，则不同的分法种数为( ) A ．20 B ．30 C ．40 D ．1012．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则B 的大小为( ) A ．45° B ．60° C ．30°D ．15°13．(2015·湖北省稳派检测)某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝45x ＋a ^，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为________．14．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．15．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________．16.如图，VA ⊥平面ABC ，△ABC 的外接圆是以边AB 的中点为圆心的圆，点M 、N 、P 分别为棱VA 、VC 、VB 的中点，则下列结论正确的有________(把正确结论的序号都填上)． ①MN ∥平面ABC ； ②OC ⊥平面VAC ；③MN 与BC 所成的角为60°； ④MN ⊥OP ；⑤平面VAC ⊥平面VBC .答案精析高考小题综合练(一)1．A [A ＝{x |x ＋1<0}＝{x |x <－1}，B ＝{x |x －3<0}＝{x |x <3}，画出数轴可以求得答案为A.] 2．B [∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a <3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．]3．D [选项A ，y ＝(12)|x |为偶函数，因此排除；选项B ，y ＝x －42－x ＝－x －4x －2＝－(1－2x －2)＝－1＋2x －2对称中心为(2，－1)，在(2，＋∞)和(－∞，2)递减，不符合题意，排除；选项C ，y ＝log 2|x |是偶函数，因此不符合题意，排除C.答案为D.] 4．C [因为z ＝(3－2i )i ＝3i －2i 2＝2＋3i ， 所以z ＝2－3i ，故选C.]5．A [a m －1＋a m ＋1＝2a m ，得2a m －a 2m ＝0， 又a m ≠0，所以a m ＝2，则S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m＝2(2m －1)＝38，所以m ＝10.]6．D [4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种， ∴所求概率为1－1＋116＝78.]7．C [因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形， 易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故|AB |＝2，|AC |＝22， 其面积为12×|AB |×|AC |＝2.]8．D [A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，F 2A →＝(－2c ，b 2a )，F 2B →＝(－2c ，－b 2a ).F 2A →·F 2B →＝4c 2－(b 2a )2>0，e 4－6e 2＋1<0,1<e <1＋ 2.]9．D [f (x )＝－cos x (cos x －2sin x )＋sin 2x ＝2sin x cos x －(cos 2x －sin 2x ) ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)，所以g (x )＝2sin[2(x ＋π8)－π4]＝2sin 2x .结合正弦函数的性质，可知D 正确．]10．C [运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5， m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01；运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5， m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C.]11．B [排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C ＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A ＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A ＝6种，所以共有CA －A ＝30种分法．]12．B [∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0. 又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0， 则sin B ＝sin A ＝sin C . 根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴三角形ABC 是等边三角形，则角B ＝60°.故选B.] 13．9.5解析 由表中数据得x ＝7，y ＝5.5，由(x ，y )在直线y ^＝45x ＋a ^，得a ^＝－110，即线性回归方程为y ^＝45x －110.所以当x ＝12时，y ^＝45×12－110＝9.5，即他的识图能力为9.5.14.π6解析 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.15．[－2，－1]解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2.① 又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3， 故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]， 故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1]． 16．①④⑤解析 对于①，因为点M 、N 分别为棱VA 、VC 的中点， 所以MN ∥AC ，又MN ⊄平面ABC ，所以MN∥平面ABC，所以①正确；对于②，假设OC⊥平面VAC，则OC⊥AC，因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，矛盾，所以②是不正确的；对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN与BC所成的角为90°，所以③是不正确的；对于④，易得OP∥VA，又VA⊥MN，所以MN⊥OP，所以④是正确的；对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，又BC⊥AC，且AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，又BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，所以⑤是正确的．综上，应填①④⑤.。

高考数学大二轮总复习与增分策略(江苏专用,理科)三轮

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高考小题综合练(二)1．(2015·福建改编)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别为________．2．(2015·无锡模拟)已知集合A ＝{x |y ＝2－x }，B ＝{y |y ＝2－x }，则A ∩B ＝________. 3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为________．4．某气象站天气预报的准确率为80%，则5次预报中至少有4次准确的概率约为________(精确到0.01)．5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200＝________.7．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝π2，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．8．若(x －2x )n 的二项展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为________．9．如图是某算法的流程图，若任意输入[1,19]中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为________．10．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为________．11．设函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．12．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________．13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，P A ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________． 14．(2015·南京联考)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，x ≤2，则z ＝2x ＋y的最大值与最小值的比值为________．15．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是________．答案精析高考小题综合练(二)1．3，－2解析 ∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ， ∴a ＝3，b ＝－2. 2．[0,2]解析 ∵A ＝{x |y ＝2－x }＝(－∞，2]，B ＝{y |y ＝2－x }＝[0，＋∞)，则A ∩B ＝[0,2]．3.π6解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，则sin A ＝45，445＝52sin B ，sin B ＝12.又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π6.4．0.74解析 5次预报中至少有4次准确这一事件是下面两个互斥事件之和：5次预报，恰有4次准确；5次预报都准确．故5次预报，至少有4次准确的概率为C 45×0.84×0.2＋C 55×0.85×0.20≈0.74. 5.33解析 由题意，点P 的坐标为(－c ，b 2a )或(－c ，－b 2a)．因为∠F 1PF 2＝60°，所以2cb 2a ＝tan 60°＝3，则2ac ＝3b 2，即2ac ＝3a 2－3c 2，3c 2＋2ac－3a 2＝0.两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，即(3e －1)(e ＋3)＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 6．100解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以a 1＋a 200＝1，S 200＝a 1＋a 2002×200＝100.7.π3解析 以△A 1B 1C 1为下底面做三棱柱A 1B 1C 1－A 2B 2C 2全等于三棱柱ABC －A 1B 1C 1，如图所示，取C 1C 2中点M ，连结FM ，则FM 綊BC 1，∴∠EFM 或其补角为直线EF 和BC 1所成的角，设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则FM ＝BC 1＝22＋22＝22，EF ＝12＋12＝2，EM ＝CE 2＋CM 2＝22＋12＋32＝14.∴cos ∠EFM ＝EF 2＋FM 2－EM 22·EF ·FM ＝－12.∴∠EFM ＝23π.∴直线EF 和BC 1所成的角为π3.8．12解析 ∵T r ＋1＝C r n (x )n －r(－2x)r ＝C r n (－1)r 2r x ，∴T 5＝C 4n ·24·x . 令n －12＝0，∴n ＝12. 9.23解析 运行第一次，x ＝2x －1，n ＝2； 运行第二次得x ＝2(2x －1)－1＝4x －3， n ＝3；运行第三次得x ＝2(4x －3)－1＝8x －7， n ＝4，结束循环，输出8x －7.由8x －7>49得x >7，所以当输入的x ∈[1,19]时，输出的x 大于49的概率为19－719－1＝23.10．6解析 由f (x )＝x cos x 2＝0，得x ＝0或cos x 2＝0.又x ∈[0,4]，所以x 2∈[0,16]． 由于cos(π2＋k π)＝0(k ∈Z )，而在π2＋k π(k ∈Z )的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5＝6. 11．(log 32,1)解析 ∵x ∈(1,2)，∴x ＋2x ∈(2,3)，log 3x ＋2x ∈(log 32,1)，故要使函数f (x )在(1,2)内存在零点，只要a ∈(log 32,1)即可． 12．(2－1，2＋1)解析 注意到与直线x －y －2＝0平行且距离为1的直线方程分别是x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，需满足在两条直线x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以|2－2|2<r <|－2－2|2，即2－1<r <2＋1.13．[2，＋∞)解析 如图，连结AQ ，∵P A ⊥平面AC ，∴P A ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩P A ＝P ，∴QD ⊥平面PQA ，于是QD ⊥AQ ，∴在线段BC 上存在一点Q ，使得QD ⊥AQ ，等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点，∴a2≥1，a ≥2. 14．2解析 约束条件对应的区域如图所示，当直线z ＝2x ＋y 经过点A (2,2)时，z 取得最大值6，当直线经过点B (1,1)时取得最小值3，故最大值与最小值的比值为2.15．[－22，＋∞)解析 依题意知，x >0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x ，令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)， 当－m4≤0时，g (0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立，当－m4>0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m <0，综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.。

高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)三轮

高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)三轮

姓名：________ 班级：________ 学号：________高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．2．(2015·福建)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β.①求实数m 的取值范围；②证明：cos(α－β)＝2m 25－1.3．(2015·湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2； (2)求sin A ＋sin C 的取值范围．4.如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17. (1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．5．已知函数f (x )＝cos x (sin x －3cos x )(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最大值以及取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A 2)＝－32，a ＝3，b ＋c ＝23，求△ABC 的面积．答案精析高考中档大题规范练(一)三角函数与平面向量1．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4， 所以x －π4＝π6，即x ＝5π12. 2．方法一 (1)解 将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x ．从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )． (2)①解 f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25. 依题意，sin(x ＋φ)＝m 5在[0,2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5)．②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0,2π)内的两个不同的解，所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m 5.当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫π2－φ，即α－β＝π－2(β＋φ)； 当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即α－β＝3π－2(β＋φ)．所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin 2(β＋φ)－1＝2⎝⎛⎭⎫m 52－1 ＝2m 25－1. 方法二 (1)同方法一．(2)①同方法一．②证明 因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0,2π)内的两个不同的解， 所以sin(α＋φ)＝m 5，sin(β＋φ)＝m 5. 当1≤m ＜5时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫π2－φ，即α＋φ＝π－(β＋φ)；当－5＜m ＜1时，α＋β＝2⎝⎛⎭⎫3π2－φ，即α＋φ＝3π－(β＋φ)；所以cos(α＋φ)＝－cos(β＋φ)．于是cos(α－β)＝cos [(α＋φ)－(β＋φ)]＝cos(α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－cos 2(β＋φ)＋sin(α＋φ)sin(β＋φ)＝－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫m 52＋⎝⎛⎭⎫m 52＝2m 25－1. 3．(1)证明 由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝cos A ，又B 为钝角，故sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A . 因此π2＋A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故B ＝π2＋A ， 即B －A ＝π2. (2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝⎛⎭⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0， 所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22， 因此22＜－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤22，98. 4．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17， 所以sin ∠ADC ＝437. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.5．解 (1)f (x )＝cos x (sin x －3cos x ) ＝sin x cos x －3cos 2x＝sin 2x 2－3cos 2x 2－32＝sin(2x －π3)－32. 当2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )， 即x ＝k π＋5π12，k ∈Z ， 即x ∈{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }时，f (x )取最大值1－32. (2)由f (A 2)＝－32，可得sin(A －π3)＝0， 因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3， 则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， 由a ＝3，b ＋c ＝23，解得bc ＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34.。

高考数学大二轮总复习与增分策略(江苏专用,理科)三轮

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高考压轴大题突破练(三)——函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝12x 2＋2a ln x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝ln x ＋a x ＋1(a ∈R )． (1)当a ＝92时，如果函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，求实数k 的取值范围； (2)当a ＝2时，试比较f (x )与1的大小．3．(2015·广东)设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)e x－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m≤3a－2e－1.4．已知函数f (x )＝a ln x －8x －1x ＋1. (1)求函数在点(1，－72)处的切线方程； (2)当a ＝2时，求函数的单调区间与函数在[1,3]上的最值；(3)设h (x )＝x 2－2bx ＋4，a ＝－2，若对于任意的x 1∈[1,2]，存在x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥h (x 2)成立，试确定b 的取值范围．答案精析高考压轴大题突破练(三)1．解 (1)因为f (x )＝12x 2＋2a ln x (a ∈R )， 所以f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋2a x ＝x 2＋2a x. ①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，令f ′(x )＝0⇒x 2＋2a ＝0⇒x 2＝－2a ，解得x ＝－2a 或x ＝－－2a (舍去)． 所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－2a )，单调递增区间是(－2a ，＋∞)． 综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a <0时，f (x )的单调递减区间是(0，－2a )，单调递增区间是(－2a ，＋∞)．(2)因为g (x )＝2x ＋f (x )＝2x ＋12x 2＋2a ln x ， 所以g ′(x )＝－2x 2＋x ＋2a x＝x 3＋2ax －2x 2， 因为g (x )＝2x＋f (x )在区间[1,4]上是单调递增函数， 所以g ′(x )≥0，即x 3＋2ax －2≥0在区间[1,4]上恒成立，即2a ≥2x－x 2在区间[1,4]上恒成立．设h (x )＝2x－x 2(x ∈[1,4])， 则h ′(x )＝－2x 2－2x ＝－(2x 2＋2x )<0， 所以h (x )在[1,4]上单调递减，则h (x )∈[－312，1]． 所以2a ≥1，即a ≥12. 故实数a 的取值范围为[12，＋∞)． 2．解 (1)当a ＝92时，f (x )＝ln x ＋92(x ＋1)，定义域是(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －92(x ＋1)2＝(2x －1)(x －2)2x (x ＋1)2， 令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝2. 因为当0<x <12或x >2时，f ′(x )>0， 当12<x <2时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )在(0，12)，(2，＋∞)上单调递增，在(12，2)上单调递减． 所以f (x )的极大值是f (12)＝3－ln 2，极小值是f (2)＝32＋ln 2. 因为当x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以当g (x )仅有一个零点时，k >3－ln 2或k <32＋ln 2. 故实数k 的取值范围为(－∞，32＋ln 2)∪(3－ln 2，＋∞)． (2)当a ＝2时，f (x )＝ln x ＋2x ＋1，定义域为(0，＋∞)． 令h (x )＝f (x )－1＝ln x ＋2x ＋1－1， 因为h ′(x )＝1x －2(x ＋1)2＝x 2＋1x (x ＋1)2>0， 所以h (x )在(0，＋∞)上是增函数．①当x >1时，h (x )>h (1)＝0，即f (x )>1；②当0<x <1时，h (x )<h (1)＝0，即f (x )<1；③当x ＝1时，h (x )＝h (1)＝0，即f (x )＝1.3．(1)解 f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x＝(x ＋1)2e x ，∀x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立．∴f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)．(2)证明 ∵f (0)＝1－a ，f (a )＝(1＋a 2)e a －a ，∵a >1，∴f (0)<0，f (a )>2a e a －a >2a －a ＝a >0，∴f (0)·f (a )<0，∴f (x )在(0，a )上有一零点，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上递增，∴f (x )在(0，a )上仅有一个零点，∴f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明 f ′(x )＝(x ＋1)2e x ，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e (x 0＋1)2＝0，∴x 0＝－1，把x 0＝－1，代入y ＝f (x )得y 0＝2e－a ， ∴k OP ＝a －2e. f ′(m )＝e m (m ＋1)2＝a －2e， 令g (m )＝e m －(m ＋1)，g ′(m )＝e m －1.令g ′(x )>0，则m >0，∴g (m )在(0，＋∞)上递增．令g ′(x )<0，则m <0，∴g (m )在(－∞，0)上递减．∴g (m )min ＝g (0)＝0.∴e m －(m ＋1)≥0，即e m ≥m ＋1.∴e m (m ＋1)2≥(m ＋1)3，即a －2e≥(m ＋1)3. ∴m ＋1≤ 3a －2e ，即m ≤ 3a －2e－1. 4．解 (1)因为f (1)＝－72， 所以(1，－72)在函数的图象上， 又f (x )＝a ln x －8x －1x ＋1， 所以f ′(x )＝a x －9(x ＋1)2， f ′(1)＝a －94， 所以所求切线的方程为y ＋72＝(a －94)(x －1)， 即y ＝(a －94)x －a －54. (2)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －8x －1x ＋1， f ′(x )＝2x －9(x ＋1)2＝2(x ＋1)2－9x x (x ＋1)2＝2x 2－5x ＋2x (x ＋1)2＝(2x －1)(x －2)x (x ＋1)2， 令f ′(x )>0，则x >2或0<x <12， 令f ′(x )<0，则12<x <2，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，12)和(2，＋∞)，单调递减区间为(12，2)． 当x ∈[1,3]时，可知函数f (x )在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， 所以最小值为f (2)＝2ln 2－5.又f (1)＝－72，f (3)＝2ln 3－234， 且f (3)－f (1)＝2ln 3－94<0， 所以f (1)>f (3)．所以函数f (x )在[1,3]上的最小值为2ln 2－5，最大值为－72. (3)若对于任意的x 1∈[1,2]，存在x 2∈[2,3]，使f (x 1)≥h (x 2)，则f (x 1)min ≥h (x 2)min ，又a ＝－2，则f (x )＝－2ln x －8x －1x ＋1， f ′(x )＝－2x －9(x ＋1)2<0， 所以f (x )在[1,2]上单调递减，f (x 1)min ＝f (2)＝－2ln 2－5.所以x 2－2bx ＋4≤－2ln 2－5⇒2b≥x 2＋9＋2ln 2x， 设函数g (x )＝x 2＋9＋2ln 2x， 则g (x )在[2,3]上单调递减，所以2b ≥g (x )min ＝g (3)＝9＋9＋2ln 23， 即b ≥9＋ln 23. 所以b 的取值范围为[9＋ln 23，＋∞)．。

高考数学(理)二轮专题复习：增分练5-1-3 Word版含答案

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小题提速练(三)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{x |x 2－2x －3＜0}，N ＝{x |log 2x ＜0}，则M ∩N 等于( ) A ．(－1,0) B ．(－1,1) C ．(0,1)D ．(1,3)解析：选C.由题干条件可知，M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{x |0＜x ＜1}，所以M ∩N ＝{x |0＜x ＜1}．2．若复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3 B ．± 3 C ．±3iD.3i解析：选B.复数z 的实部为1，设z ＝1＋b i ，|z |＝2，可得1＋b 2＝2，解得b ＝±3，复数z 的虚部是± 3.3．若命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则下面结论正确的是( )A ．p 是假命题B ．﹁q 是真命题 C ．p ∧q 是假命题D ．p ∨q 是真命题解析：选D.当α＝π2时，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π2＝cos π2＝0， ∴命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α是真命题，∵∀x ∈R ，x 2＋1≥1＞0，∴命题q 是真命题，∴A 中p 是假命题是错误的；B 中﹁q 是真命题是错误的；C 中p ∧q 是假命题是错误的；D 中p ∨q 是真命题是正确的．4．如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值等于( )A ．0.120B ．0.180C ．0.012D ．0.018解析：选D.由30×0.006＋10×0.01＋10×0.054＋10x ＝1，解得x ＝0.018.5．若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 D.由题意可知，该几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，ln x ，x ＞1，则f (f (e))＝(其中e 为自然对数的底数)( )A ．0B ．1C ．2D ．(e 2＋1)解析：选C.由题意得，f (e)＝ln e ＝1，所以f (f (e))＝f (1)＝1＋1＝2.7．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )解析：选C.依题意，注意到f (－x )＝1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x－2－x 2x＋2－xcos x ＝2x－12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0＜x ＜1时，1－2x1＋2x ＜0，cos x ＞0，f (x )＜0，因此结合选项知，C 正确，选C.8．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n 22n －2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，选D.9．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4(－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝(其中O 为坐标原点)( )A ．－32B ．32C ．－72D ．72解析：选D.由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＝0可得π8x ＋π4＝k π，∴x ＝8k －2，k ∈Z ，∵－2＜x＜14，∴x ＝6即A (6,0)，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，∴B ，C 两点关于点A 对称即x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝0，则(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(6,0)＝6(x 1＋x 2)＝72.10．双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2：y 2＝12x 的焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，则双曲线C 1的实轴长为( )A ．6B ．2 6 C. 3D ．2 3解析：选D.由题意可得双曲线C 1的一个焦点为(3,0)，∴c ＝3，可设双曲线C 1的标准方程为x 2a 2－y 29－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，x 2a 2－y 29－a2＝1，解得y ＝±9－a2a，∴2×9－a 2a＝43，解得a ＝3，∴双曲线C 1的实轴长为2a ＝2 3.11．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上非顶点的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B.如图，当点P 在椭圆与y 轴交点处时，点M 与原点O 重合，此时|OM →|取最小值0.当点P 在椭圆与x 轴交点时，点M 与焦点F 1重合，此时|OM →|取大值22.∵xy ≠0，∴|OM →|的取值范围是(0,22)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x ＜0，ln x ，x ＞0，若函数f (x )的图象在A ，B 两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－1，＋∞)D ．(－ln 2，＋∞)解析：选C.当x ＜0时，f (x )＝x 2＋x ＋a 的导数为f ′(x )＝2x ＋1；当x ＞0时，f (x )＝ln x 的导数为f ′(x )＝1x，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2，当x 1＜x 2＜0，或0＜x 1＜x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2，当x 1＜0时，函数f (x )在点A (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋x 1＋a )＝(2x 1＋1)(x －x 1)；当x 2＞0时，函数f (x )在点B (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，两直线重合的充要条件是1x 2＝2x 1＋1①，ln x 2－1＝－x 21＋a②，由①及x 1＜0＜x 2得0＜1x 2＜1，由①②得a ＝ln x 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－12－1，令t ＝1x 2，则0＜t ＜1，且a ＝－ln t ＋14t 2－12t －34，设h (t )＝－ln t ＋14t 2－12t －34(0＜t ＜1)，则h ′(t )＝－1t ＋12t －12＜0，即h (t )在(0,1)为减函数，则h (t )＞h (1)＝－ln 1－1＝－1，则a ＞－1，可得函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，a 的取值范围是(－1，＋∞)．二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．若直线ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是________．解析：∵直线ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长， ∴直线ax －by ＋1＝0过圆C 的圆心(－1,2)，∴有a ＋2b ＝1，∴ab ＝(1－2b )b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18≤18，∴ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18 14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i 值为________．解析：由程序框图知：程序第一次运行n ＝10，i ＝2；第二次运行n ＝5，i ＝3；第三次运行n ＝3×5＋1＝16，i ＝4；第四次运行n ＝8，i ＝5；第五次运行n ＝4，i ＝6；第六次运行n ＝2，i＝7；第七次运行n ＝1，i ＝8.满足条件n ＝1.程序运行终止，输出i ＝8.答案：815．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，y ≥2，x －4y ＋k ≥0，且目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－1，则实常数k ＝________.解析：由题意作出目标函数的平面区域如图所示，结合图象可知，当过点A (x,2)时，目标函数z ＝3x ＋y 取得最小值－1，故3x ＋2＝－1，解得x ＝－1，故A (－1,2)，故－1＝4×2－k ，故k ＝9.答案：916．在一个棱长为4的正方体内，最多能放入________个直径为1的球．解析：根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层继续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，所以最多可以放入小球的个数：16＋9＋16＋9＋16＝66(个)．答案：66。

高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)三轮

高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)三轮

姓名：________ 班级：________ 学号：________高考小题综合练(三)1．(2015·韶关十校联考)已知a 是实数，a ＋i 1－i是纯虚数，则a 等于( ) A ．1B ．－1 C. 2 D ．－ 22．(2015·重庆一中月考)已知集合M ＝{x |x 2－2x <0}，N ＝{x |x <a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，若z ＝x ＋3y ＋m 的最小值为4，则m 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则( )A ．若m ⊥n ，α⊥βB ．若α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥n ，则α∥βD ．若α∥β，则m ∥n 5．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log (a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.15 B ．－15C ．5D ．－5 6．(2015·安徽改编)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．67．(2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.158．(2015·浙江省重点中学训练)将二项式(x ＋124x )n 的展开式按x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的指数是整数的项的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．69．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 C ．3 D. 310．(2014·山东)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝011．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为( )A ．0 B.12 C ．1 D.5212．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶13．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．14.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的点，AP ＝a 3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.15．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________.16．(2015·四川)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设 m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2， 现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n .其中的真命题有________(写出所有真命题的序号).答案精析高考小题综合练(三)1．A [因为a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －12＋a ＋12i 是纯虚数，所以a －12＝0，即a ＝1， 所以应选择A.]2．A [M ＝{x |x 2－2x <0}＝(0,2)，因为M ⊆N ，所以a ≥2，故选A .]3．B [画出可行域，如图所示，设z ′＝x ＋3y ，变形为y ＝－13x ＋13z ′，当z ′取到最小值时，直线的纵截距最小，此时直线过C 点． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －1＝0，可知C (12，12)，代入目标函数z ＝x ＋3y ＋m ，得4＝12＋3×12＋m ，得m ＝2.] 4．D [对于D ，两个平面平行的性质定理，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则它们的交线平行，因此D 是正确的，而A ，B ，C 均可以举出反例说明不成立．]5．D [由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1得a n ＋1a n ＝3，{a n }为等比数列，公比为3. ∴a 5＋a 7＋a 9＝27(a 2＋a 4＋a 6)＝27×9＝35，∴log (a 5＋a 7＋a 9)＝log35＝－5.]6．B [执行第一次判断：|a －1.414|＝0.414>0.005，a ＝32，n ＝2； 执行第二次判断：|a －1.414|＝0.086>0．005，a ＝75，n ＝3； 执行第三次判断：|a －1.414|＝0.014>0．005，a ＝1712，n ＝4； 执行第四次判断：|a －1.414|<0.005，输出n ＝4.]7．D [如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ＝1111111111A A B D A B C D ABCD A A B D V V V ---－＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15，选D.] 8．A [展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(12)r x (r ＝0,1,2，…，n )， ∴前三项的系数分别是1，n 2，n (n －1)8， ∴2·n 2＝1＋n (n －1)8，∴n ＝8， ∴当n ＝8时，T r ＋1＝C r 8(12)r x (r ＝0,1,2，…，8)， ∴r ＝0,4,8，展开式中x 的指数是整数，故共有3个，答案为A.]9．D [∵c sin A ＝3a cos C ，∴sin C sin A ＝3sin A cos C ，∵sin A ≠0，∴tan C ＝3，∵0<C <π，∴C ＝π3， ∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(2π3－A ) ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin(A ＋π6)， ∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6， ∴32<3sin(A ＋π6)≤3，∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.] 10．A [由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32. 又∵c 21＝a 2－b 2，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21c 22a 4＝a 4－b4a 4＝1－(b a )4，即1－(b a )4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y 2b 2＝0，解得bx ±ay ＝0，∴x ±2y ＝0.]11．B [DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.]12．D [射击两次的结果有：一次中靶；二次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶．]13．6解析 f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x ＝2是极小值点，故c ＝2不合题意，同样验证可知c ＝6符合题意． 14.223a解析 如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ，∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . 又∵AP ＝a 3，∴PDAD ＝PQAC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a .15．91解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，∴a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，∴数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，∴a 3＝a 2＋2＝4，∴S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9(2＋18)2＝91. 16．①④解析 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2))，对于①从y ＝2x 的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故正确； 对于②直线CD 的斜率可为负，即n ＜0，故不正确；对于③由m ＝n 得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 2－ax ，则h ′(x )＝2x ·ln 2－2x －a ，由h ′(x )＝0，得2x ·ln 2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ；对于④由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)，即f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2＋ax ，则F ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a ，由F ′(x )＝0，得2x ln 2＝－2x －a ，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F (x )必有极值点，∴存在x 1，x2使F(x1)＝F(x2)，使m＝－n. 故①④正确．。

高考数学二轮复习大题规范练5“17题～19题+二选一”46分练理(2021学年)

高考数学二轮复习大题规范练5“17题～19题+二选一”46分练理(2021学年)

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大题规范练(五) “17题~１9题+二选一”46分练(时间:４5分钟分值：４6分）解答题(本大题共4小题，共4６分，第２2～２3题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图8，已知△ＡBＣ中,角A，B,C的对边分别为a，b,c,C＝1２０°。

图8（１)若c＝1，求△ＡBC面积的最大值;(2)若a＝2b,求tan A。

【导学号:078０４237】[解] (1）由余弦定理得a２＋b2-２abｃos 120°=1，a2＋b2＋ab＝1≥2ab＋ab＝３ab,当且仅当a＝b时取等号,解得aｂ≤＼ｆ(１,3）,故Ｓ△ABC=＼f(1，２）ａb sｉｎC=错误!aｂ≤错误!,即△ABC面积的最大值为错误!.（2）∵a=２b,∴由正弦定理得siｎA＝２sin Ｂ，又C＝120°，∴A＋B=６0°,∴ｓin A=2siｎ（6０°-Ａ）=＼ｒ(3）ｃos A-sin A,∴错误!cos A＝２siｎA,∴tａn A＝错误!.18.某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为错误!:若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理,再检合格率为错误!。

2020版高考数学大二轮复习专题 解析几何增分强化练 理

2020版高考数学大二轮复习专题 解析几何增分强化练 理

增分强化练一、选择题1．直线(1－2a )x －2y ＋3＝0与直线3x ＋y ＋2a ＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．－52B.72C.56D.16解析：∵直线(1－2a )x －2y ＋3＝0与直线3x ＋y ＋2a ＝0垂直，∴3(1－2a )－2＝0，∴a ＝16，故选D. 答案：D2．过点(1，－1)且与直线x －2y ＋1＝0平行的直线方程为( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x －2y －3＝0D ．2x ＋y －1＝0解析：由题意得所求直线的斜率为12，又直线过点(1，－1)，故所求直线的方程为y ＋1＝12(x－1)，即x －2y －3＝0.故选C. 答案：C3．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7D.133解析：当m ＝－3时，两条直线分别化为：2y ＝7，x ＋y ＝4，此时两条直线不平行；当m ＝－5时，两条直线分别化为：x －2y ＝10，x ＝4，此时两条直线不平行；当m ≠－3，－5时，两条直线分别化为：y ＝－3＋m 4x ＋5－3m 4，y ＝－25＋m x ＋85＋m ，∵两条直线平行，∴－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m ，解得m ＝－7.综上可得：m ＝－7.故选A. 答案：A4．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是( ) A ．(5，－3) B ．(9,0) C ．(－3,5)D ．(－5,3)解析：根据题意可知：所求点即为过P 点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，因为已知直线3x －4y －27＝0的斜率为34，所以过P 点垂直于已知直线的斜率为－43，又P (2,1)，则该直线的方程为：y －1＝－43(x －2)即4x ＋3y －11＝0，与已知直线联立得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －11＝0 ①3x －4y －27＝0 ②①×4＋②×3得25x ＝125，解得x ＝5， 把x ＝5代入①解得y ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－3，所以直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是(5，－3)． 故选A. 答案：A5．圆x 2＋y 2＝8与圆x 2＋y 2＋4x －16＝0的公共弦长为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：两圆方程作差得x ＝2，当x ＝2时，由x 2＋y 2＝8得y 2＝8－4＝4，即y ＝±2， 即两圆的交点坐标为A (2,2)，B (2，－2)， 则|AB |＝2－(－2)＝4， 故选B. 答案：B6．过点(2,1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋5＝0解析：∵过点(2,1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心， ∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线， ∴其方程为：y ＋2x －1＝1＋22－1， 整理，得3x －y －5＝0. 故选A. 答案：A7．圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0被直线y ＝3x 截得的线段长为( ) A ．2 B. 3 C ．1D. 2解析：圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3|(3)2＋1＝32，弦长为2·1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C. 答案：C8．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则 “k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2·12，该方程等价于k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A. 答案：A9．(2019·青岛模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1和直线l ：y ＝k (x ＋2)，在(－3，3)上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相交”发生的概率为( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：直线l 方程为kx －y ＋2k ＝0， 当直线l 与圆C 相切时可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，∴直线l 与圆C 相交时，k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－33，33， ∴所求的概率P ＝23323＝13.故选C. 答案：C10．(2019·威海模拟)已知圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x ＋b 的最短距离为3，则b 的值为( )A ．－2或2B ．2或43＋2C ．－2或43＋2D ．－43－2或2解析：由圆(x －2)2＋y 2＝1，可得圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1，设圆心(2,0)到直线y ＝3x ＋b 的距离为d ，则d ＝|23＋b |3＋1，因为圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x ＋b 的最短距离为3，所以d －r ＝3，即|23＋b |3＋1－1＝3，解得b ＝2或b ＝－43－2，故选D.答案：D11．圆C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝9和C 2：x 2＋(y －2)2＝1，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的点，P 是直线y ＝－1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值是( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：圆C 1关于y ＝－1的对称圆的圆心坐标A (1，－5)，半径为3，圆C 2的圆心坐标(0,2)，半径为1，由图象(图略)可知当P ，C 2，A ，三点共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，|PM |＋|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即|AC 2|－3－1＝1＋49－4＝52－4.故选A. 答案：A12．设过点P (－2,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的两个交点为A ，B ，若8PA →＝5AB →，则|AB |＝( ) A.855 B.463 C.665D.453解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0x ＝my －2，得(m 2＋1)y 2－(8m ＋2)y ＋13＝0，则y 1＋y 2＝8m ＋2m 2＋1，y 1y 2＝13m 2＋1，又8PA →＝5AB →，所以8(x 1＋2，y 1)＝5(x 2－x 1，y 2－y 1)，故8y 1＝5(y 2－y 1)，即y 2＝135y 1，代入y 1y 2＝13m 2＋1得：y 21＝5m 2＋1，故y 22＝16925×5m 2＋1，又(y 1＋y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ＋2m 2＋12，即y 21＋y 22＋2y 1y 2＝19425×5m 2＋1＋26m 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ＋2m 2＋12，整理得：m 2－40m ＋76＝0，解得m ＝2或m ＝38，又|AB |＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝23m 2＋8m －12m 2＋1，当m ＝2时，|AB |＝855；当m ＝38时，|AB |＝855.综上，|AB |＝855.故选A. 答案：A 二、填空题13．若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 为________． 解析：∵直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直， ∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， ∴(a －1)(a ＋2－2a －3)＝0， ∴(a －1)(a ＋1)＝0， ∴a ＝1或a ＝－1. 答案：±114．已知圆C 与y 轴相切，圆心在x 轴的正半轴上，并且截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为2，则圆C 的标准方程是________．解析：设圆心为(t,0)，且t >0, ∴半径为r ＝|t |＝t ，∵圆C 截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为2,∴圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|t －0＋1|2＝t 2－1，∴t 2－2t －3＝0， ∴t ＝3或t ＝－1(舍)， 故t ＝3， ∴(x －3)2＋y 2＝9. 答案：(x －3)2＋y 2＝915．已知圆x 2＋y 2＝9被直线mx ＋y －2m －1＝0所截得弦长为32，则实数m 的值为________． 解析：因为圆x 2＋y 2＝9的圆心是(0,0)，半径为3， 根据弦长为32，所以圆心到直线的距离为d ＝9－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝322， 所以d ＝|－2m －1|m 2＋1＝322，解得m ＝1或m ＝7.答案：1或716．已知点P (－1,2)及圆(x －3)2＋(y －4)2＝4，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |的值为________． 解析：点P 关于x 轴的对称点为P ′(－1，－2)，由反射的对称性可知，P ′Q 与圆相切于点T ，|PQ |＋|QT |＝|P ′T |， ∵圆(x －3)2＋(y －4)2＝4的圆心坐标为A (3,4)，半径r ＝2， ∴|AP ′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52， |AT |＝r ＝2，∴|PQ |＋|QT |＝|P ′T |＝|AP ′|2－|AT |2＝4 3. 答案：4 3增分强化练考点一 圆锥曲线的定义及标准方程1．(2019·榆林模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得p 2＝12，∴p ＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝2x .故选B.答案：B2．(2019·株洲模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线l 的倾斜角为π3，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的方程为( ) A.x 212－y 24＝1 B.x 24－y 212＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：由x 2a 2－y 2b 2＝0可得y ＝±b a x ，即渐近线的方程为y ＝±bax ，又一条渐近线l 的倾斜角为π3， 所以b a ＝tan π3＝ 3.因为双曲线C 的一个焦点(c,0)到l 的距离为3， 所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 答案：D3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为( ) A.4x 225＋y26＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：依题意椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12得c a ＝12，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6,2a ＋2c ＝6， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为：x 24＋y 23＝1，故选D.答案：D4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 225＋y 216＝1的左右焦点，P 是椭圆E 上的点，则|PF 1|·|PF 2|的最小值是________．解析：由椭圆方程可知a ＝5，c ＝3，根据椭圆的定义，有|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－|PF 1|，故|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|·(10－|PF 1|)，由于|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,8]注意到二次函数y ＝x (10－x )的对称轴为x ＝5，故当x ＝2，x ＝8时，都是函数的最小值，即最小值为2×8＝16. 答案：16考点二 圆锥曲线的性质1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12B ．焦距为34 C ．短轴长为14D ．离心率为32解析：由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1 ，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，长轴为2a ＝1 ，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D. 答案：D2．(2019·九江模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2xD ．y ＝±3x解析：由双曲线方程可得渐近线为：y ＝±bax ，A (a,0)，F (c,0)， 则点A 到渐近线距离d 1＝|ab |a 2＋b2＝ab c， 点F 到渐近线距离d 2＝|bc |a 2＋b2＝bcc＝b ， ∴d 1∶d 2＝ab c∶b ＝a ∶c ＝1∶2，即c ＝2a ，则b a ＝c 2－a 2a ＝a a＝1， ∴双曲线渐近线方程为y ＝±x . 故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1(a ＞b ＞0)的渐近线方程y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2. 答案：2 24．(2019·株洲模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 2的延长线交椭圆C 于点D ，若△F 1BD 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为________． 解析：如图，不妨设点B 是椭圆短轴的上端点，则点D 在第四象限内，设点D (x ，y )． 由题意得△F 1BD 为等腰三角形，且|DF 1|＝|DB |.由椭圆的定义得|DF 1|＋|DF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＝a ， 又|DF 1|＝|DB |＝|DF 2|＋|BF 2|＝|DF 2|＋a ， ∴(|DF 2|＋a )＋|DF 2|＝2a ，解得|DF 2|＝a2.作DE ⊥x 轴于E ，则有|DE |＝|DF 2|sin ∠DF 2E ＝|DF 2|sin ∠BF 2O ＝a 2×b a ＝b2，|F 2E |＝|DF 2|cos ∠DF 2E ＝|DF 2|cos ∠BF 2O ＝a 2×c a ＝c 2，∴|OE |＝|OF 2|＋|F 2E |＝c ＋c 2＝3c2，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.又点D 在椭圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22b2＝1，整理得3c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝33. 答案：33考点三 直线与圆锥曲线的相关问题1．(2019·内江模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，上下顶点分别为A 、B ，直线AF 2与该椭圆交于A 、M 两点．若∠F 1AF 2＝120°，则直线BM 的斜率为( )A.14B.34C.32D. 3解析：由题意，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且满足∠F 1AF 2＝120°，如图所示，则在△AF 2O 中，|OA |＝b ，|AF 2|＝a ，且∠OAF 2＝60°，所以a ＝2b ， 不妨设b ＝1，则a ＝2，所以c ＝a 2－c 2＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，又由A (0,1)，F 2(3，0)，所以kAF 2 ＝－33，所以直线AF 2的方程为y ＝－33x ＋1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋1x 24＋y 2＝1，整理得7x 2－83x ＝0，解得x ＝0或x ＝837，把x ＝837代入直线y ＝－33x ＋1，解得y ＝－17，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫837，－17 ， 又由点B (0，－1)，所以BM 的斜率为k BM ＝－17－(－1)837－0＝34，故选B.答案：B2．已知直线l ：y ＝2x ＋b 被抛物线C ：y 2＝2px (p >0)截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为(3,0)，则MN 的最小值为________．解析：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋by 2＝2px ⇒4x 2＋(4b －2p )x ＋b 2＝0,则52＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2b －p 22－4×b 42， 又直线l 经过C 的焦点，则－b 2＝p 2，∴b ＝－p ，由此解得p ＝2, 抛物线方程为y 2＝4x ，M (x 0，y 0)，∴y 20＝4x 0，则|MN |2＝(x 0－3)2＋y 20＝(x 0－3)2＋4x 0＝(x 0－1)2＋8, 故当x 0＝1时，|MN |min ＝2 2. 答案：2 23．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点G (0,1)作直线l 与曲线交于A ，B 两点，求△ABO 面积的最大值．解析：(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3(a －c )a 2＝b 2＋c21a 2＋94b2＝1，解得a ＝2，b ＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)易知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，则x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝46·1＋2k23＋4k2d ＝1k 2＋1，∴S △ABO ＝12×d ×1＋k 2|x 1－x 2|＝26·1＋2k 23＋4k 2， 令 1＋2k 2＝t ，∵k 2≥0，∴t ≥1， ∴S △ABO ＝26t 2t 2＋1＝262t ＋1t，易证y ＝2t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，∴2t ＋1t≥3，∴S △ABO ≤263，∴△ABO 面积的最大值为263.增分强化练考点一 直线的方程1．直线mx ＋y －m ＋2＝0恒经过定点( ) A ．(1，－1) B ．(1,2) C ．(1，－2)D ．(1,1)解析：直线mx ＋y －m ＋2＝0，化为：m (x －1)＋y ＋2＝0，可知直线经过定点(1，－2)．故选C. 答案：C2．(2019·南昌模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A.10－1 B ．22－1 C ．2 2D.10解析：设点A 关于直线x ＋y ＝3的对称点A ′(a ，b )，AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，k AA ′＝b a －2，故⎩⎪⎨⎪⎧ba －2·(－1)＝－1a ＋22＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1，所以A ′(3,1)．要使从点A 到军营总路程最短，即为点A ′到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1，故选A. 答案：A3．过点(－2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x －y ＝a ，将A (－2,4)代入得，a ＝－6， ∴此时所求的直线方程为x －y ＋6＝0. 答案：2x ＋y ＝0或 x －y ＋6＝04．平行线5x ＋12y －10＝0和mx ＋6y ＋2＝0的距离是________解析：由题意，两直线5x ＋12y －10＝0和mx ＋6y ＋2＝0平行，可得5m ＝126，解得m ＝52，即5x ＋12y ＋4＝0，由两平行直线之间的距离公式，可得d ＝|－10－4|52＋122＝1413. 答案：1413考点二 圆的方程1．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m >－12B ．m <－12C ．m ≤－12D ．m ≥－12解析：因为方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0要表示一个圆，所以2＋4m >0 解得：m >－12，故选A.答案：A2．点M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上的不同两点，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径等于( ) A ．2 2 B. 2 C ．1D ．3解析：圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－1，因为点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，所以直线l ：x －y ＋1＝0经过圆心，所以－k2＋1＋1＝0，k ＝4. 所以圆的方程为：x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0，圆的半径为：12 42＋22－4×(－4)＝3. 故选D.答案：D3．已知圆C ：(x －6)2＋(y ＋8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 D ．(x ＋3) 2＋(y －4)2＝25解析：由题意可知：O (0,0)，C (6，－8)，则圆心坐标为(3，－4)，圆的直径为62＋(－8)2＝10，据此可得圆的方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝25.故选C.答案：C4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2 D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点坐标为(－1,0)，因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2，故选A. 答案：A考点三 直线与圆的位置关系1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的公切线条数是( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心(1,0)半径为1；圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的圆心(0,2)半径为2，O 1O 2＝12＋22＝5，∵1＜5＜3，∴两个圆相交，所以圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的公切线条数2.故选C.答案：C2．(2019·南宁模拟)已知直线l ：3x －4y －15＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0(r >0)相交于A ，B 两点，若|AB |＝6，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝36 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝16 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝49解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＝r 2，设圆心(1,2)到直线l 的距离为d ，则d ＝|3－8－15|5＝4，又|AB |＝6，根据r 2＝32＋42＝25，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.故选A. 答案：A3．(2019·汕头模拟)已知直线l 与圆x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P 的坐标为(－1,1)，则直线l 的方程为________．解析：因为圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心坐标为C (0,2)，又点P 坐标为(－1,1)， 所以直线CP 的斜率为k CP ＝2－10＋1＝1； 又因为AB 是圆的一条弦，P 为AB 的中点， 所以AB ⊥CP ，故k AB ＝－1，即直线l 的斜率为－1， 因此，直线l 的方程为y －1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＝0. 答案：x ＋y ＝04．直线2x ＋y －3＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M ，联立直线方程与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＝0y ＝－2x ＋3，整理可得5x 2－10x ＋3＝0，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝(－2x 1＋3)＋(－2x 2＋3)＝－2(x 1＋x 2)＋6＝2， 据此可得M (1,1)，|OM →|＝1＋1＝2，结合平面向量的运算法则有|OA →＋OB →| ＝|2OM →| ＝2 2. 答案：2 2增分强化练1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且线段PQ 长度的最大值为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若OP ⊥OQ ，求△OPQ 面积的最小值． 解析：(1)∵y 2＝4x 的焦点为(1,0)， ∴椭圆C 的右焦点F 为(1,0)，即c ＝1， 又|PQ |的最大值为4，因此|PQ |＝2a ＝4， ∴a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当P ，Q 为椭圆顶点时，易得△OPQ 的面积为12×2×3＝3，②当P ，Q 不是椭圆顶点时，设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 24＋y23＝1，得x 2＝123＋4k 2，所以|OP |＝k 2＋1 123＋4k2， 由OP ⊥OQ ，得直线OQ 的方程为：y ＝－1kx ，所以|OQ |＝1k2＋1123＋41k 2＝ 1＋k 2123k 2＋4， 所以S △OPQ ＝12|OP |·|OQ |＝6(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝6(k 2＋1)212k 4＋25k 2＋12＝6 112＋k 2(k 2＋1)2，(k 2＋1)2k2＝k 2＋1k2＋2≥4，当且仅当k 2＝1时等号成立，所以0<k 2(k 2＋1)2≤14，所以127≤S △OPQ <3，综上，△OPQ 面积的最小值为127.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，点P (263，33)满足PF →1·PF →2＝0. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 经过椭圆C 的右焦点与椭圆相交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列，求k 1·k 2的值． 解析：(1)依题意F 1(－c,0)， ∴PF →1·PF →2＝－c 2＋3＝0，即c ＝3， ∵e ＝c a ＝32， ∴a ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －3)，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋4(3k 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1x 2＝12k 2－41＋4k 2，∵k 1，k ，k 2成等比数列，∴k 1·k 2＝k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)x 1x 2，则3(x 1＋x 2)＝3， 即83k21＋4k 2＝3， 解得k 2＝14，故k 1k 2＝14.3．已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <1)上的点P (m,1)到其焦点F 的距离为54.(1)求C 的方程；(2)已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ，B 两点，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：l 过定点．解析：(1)由题意，得2pm ＝1，即m ＝12p.由抛物线的定义，得|PF |＝m －(－p 2)＝12p ＋p2.由题意，知12p ＋p 2＝54，解得p ＝12或p ＝2(舍去)．所以C 的方程为y 2＝x . (2)证明：由(1)得P (1,1)．设l ：x ＝ny ＋t ，由于直线l 不过点P (1,1)， 所以n ＋t ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋t消去x 并整理得y 2－ny －t ＝0.由题意，判别式Δ＝n 2＋4t >0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝n ，①y 1y 2＝－t ，②则k PA k PB ＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1＝1y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1. 由题意，得y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝1， 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＝0，③将①②代入③得－t ＋n ＝0，即t ＝n .所以l ：x ＝n (y ＋1)．显然l 过定点(0，－1)．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，长轴的长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 1的直线l 与椭圆C 交于E ，D 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C 的焦距为2，长轴的长为4， 所以2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m,0)．易知F 1(－1,0)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.又y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝k 2(4k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1)＝－9k24k 2＋3，直线ME ，MD 的斜率k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m，则k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m ＝y 1y 2(x 1－m )(x 2－m )＝y 1y 2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝－9k 24k 2＋34k 2－124k 2＋3－m (－8k 24k 2＋3)＋m 2＝－9k24k 2＋34k 2－12＋8mk 2＋4m 2k 2＋3m24k 2＋3 ＝－9k2(4m 2＋8m ＋4)k 2＋3m 2－12. 要使直线ME ，MD 的斜率之积为定值，需3m 2－12＝0， 解得m ＝±2.当m ＝2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 236k 2＝－14；当m ＝－2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 24k 2＝－94.当直线l 的斜率不存在时， 不妨设E (－1，32)，D (－1，－32)，此时，当m ＝2时，M (2,0)，k ME ·k MD ＝－14；当m ＝－2时，M (－2,0)，k ME ·k MD ＝－94.综上，在x 轴上存在两个定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值． 当定点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14；当定点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.增分强化练一、选择题1．双曲线x 23－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 解析：因为x 23－y 29＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b ax ， 即为y ＝±3x ，故选C. 答案：C2．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R)与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13xD ．y ＝±33x 解析：∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， 故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1的离心率为2，则C 的焦点坐标为( )A ．(±2,0)B ．(±2，0)C ．(0，±2)D ．(0，±2)解析：由双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1，离心率为2，可得m 2＋3m＝2，∴m 2＝1, 则c ＝m 2＋3＝2，故双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)．故选A. 答案：A4．(2019·呼和浩特模拟)已知双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1与双曲线C 2：x 2k －y 29＝1有相同的离心率，则双曲线C 1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±32x B ．y ＝±62x C ．y ＝±34x D ．y ＝±64x 解析：由双曲线方程可知k >0，双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1的离心率为4＋k2，双曲线C 2：x 2k －y 29＝1的离心率为k ＋9k，由题意得4＋k 2＝k ＋9k ，解得k ＝6, 双曲线C 1为x 24－y26＝1，则渐近线方程为y ＝±62x ， 故选B. 答案：B5．已知双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，则C 的方程是( ) A ．x 2－y 22＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 22－x 2＝1 D ．y 2－x 22＝1解析：因为双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，所以c ＝3，又因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，所以有b a ＝22⇒a ＝2b ，c ＝3，而c ＝a 2＋b 2，所以解得a ＝2，b ＝1，因此双曲线方程为x 22－y 2＝1，故选B.答案：B6．(2019·岳阳模拟)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10解析：x 2＝4y 的焦点为(0,1)，准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以由抛物线的定义知|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2＝6＋2＝8，故选C. 答案：C7．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b2＝1 (b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3]D ．[3，＋∞)解析：双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 答案：A8．(2019·咸阳模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝( )A.32 B ．2 C.52D ．4解析：以AC 边所在的直线为x 轴，AC 中垂线所在的直线为y 轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，设双曲线方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，焦距都为2c不妨设|AB |>|BC |，椭圆和双曲线都过点B ， 则|AB |＋|BC |＝2a 1，|AB |－|BC |＝2a 2， 所以|AB |＝a 1＋a 2，|BC |＝a 1－a 2， 又因为△ABC 为直角三角形，|AC |＝2c ，所以(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以a 21c 2＋a 22c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2.故选B. 答案：B9．(2019·乌鲁木齐质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，则△AOB 的面积为( ) A ．4 3 B ．4 6 C ．8 2D ．8 6解析：设直线l ：x ＝ty ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x x ＝ty ＋2可以得到y 2－8ty －16＝0，所以AB 的中点M (4t 2＋2,4t )，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，故t ≠0. 所以AB 的中垂线的方程为y ＝－1t (x －4t 2－2)＋4t ＝－1t ·x ＋8t ＋2t，令y ＝0可得x ＝8t 2＋2，解方程10＝8t 2＋2得t ＝±1. 此时AB ＝ 1＋t 2|y 1－y 2|＝81＋t 2t 2＋1＝16，O 到AB 的距离为d ＝21＋t2＝2，所以S ΔOAB ＝12×16×2＝8 2.故选C. 答案：C10．(2019·滨州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，59 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，32 解析：如图所示，设F ′为椭圆的左焦点， 连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴6＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝3.取P (0，b )，∵点P 到直线l ∶4x ＋3y ＝0的距离不小于65，∴|3b |16＋9≥65，解得b ≥2. ∴c ≤9－4＝5，∴0<c a ≤53. ∴椭圆E 的离心率范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，53. 故选C. 答案：C11．(2019·济宁模拟)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝3x 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF →＝FP →，则|AB |＝( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8解析：如图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：y 2＝3x 可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，准线DP ：x ＝－34.因为AF →＝FP →，所以F 是AP 的中点，则AD ＝2CF ＝3.所以可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，332，则k AF ＝3，所以直线AP 的方程为：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34y 2＝3x，整理得：x 2－52x ＋916＝0所以x 1＋x 2＝52，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋32＝4.故选B.答案：B12．(2019·晋城模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A.52 B.62C.233D. 3解析：由题意得直线l 的方程为x ＝b ay ＋c ，不妨取a ＝1，则x ＝by ＋c ，且b 2＝c 2－1.将x ＝by ＋c 代入x 2－y 2b2＝1，(b ＞0)，得(b 4－1)y 2＋2b 3cy ＋b 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2b 3c b 4－1，y 1y 2＝b4b 4－1.由AF →＝3FB →，得y 1＝－3y 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2＝－2b 3cb 4－1－3y 22＝b 4b 4－1，得3b 2c 2＝1－b 4，解得b 2＝14，所以c＝b 2＋1＝54＝52，故该双曲线的离心率为e ＝c a ＝52，故选A. 答案：A 二、填空题13．(2019·合肥质检)抛物线x 2＝8y 的焦点坐标为________．解析：由抛物线方程x 2＝8y 知，抛物线焦点在y 轴上，由2p ＝8，得p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)． 答案：(0,2)14．已知过P (1,1)的直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝1只有一个公共点，则直线l 的条数为________． 解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程y ＝±x ， 其中一条渐近线y ＝x 过点P (1,1)，所以过点P (1,1)的直线x ＝1与双曲线右支相切，只有一个公共点，过P (1,1)与y ＝－x 平行的直线y ＝－x ＋2和双曲线右支相交，只有一个公共点， 综上共有2条直线符合要求． 答案：215．(2019·泰安模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，当|PF ||PA |取得最小值时，直线AP 的方程为________． 解析：设P 点的坐标为(4t 2,4t )， ∵F (1,0)，A (－1,0)，∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1， |PA |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||PA |2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t2＋24≥1－16216t 2·1t2＋24＝1－1632＝12，当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号，此时点P 坐标为(1,2)或(1，－2)，此时直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝016．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为A ，其准线与x 轴的交点为B ，如果在直线3x ＋4y ＋25＝0上存在点M ，使得∠AMB ＝90°，则实数p 的取值范围是________．解析：由题得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0， ∵M 在直线3x ＋4y ＋25＝0上，设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－3x －254，∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，－3x －254， BM →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，－3x －254， 又∠AMB ＝90°，∴AM →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －2542＝0，即25x 2＋150x ＋625－4p 2＝0， ∴Δ≥0，即1502－4×25×(625－4p 2)≥0， 解得p ≥10或p ≤－10，又p >0，∴p 的取值范围是[10，＋∞)． 答案：[10，＋∞) 三、解答题17．已知椭圆的焦点F 1(－4,0)，F 2(4,0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，并且|F 1B |＋|F 2B |＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列． (1)求椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标．解析：(1)由题意可知2a ＝|F 1B |＋|F 2B |＝10. 所以a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆方程为：x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得|F 2B |＝|y B |＝95.由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列， 得 (x 1－4)2＋y 21＋ (x 2－4)2＋y 22＝2×95，①点A (x 1，y 1)在椭圆x 2125＋y 219＝1上，得y 21＝925(25－x 21)，所以 (x 1－4)2＋y 21 ＝x 21－8x 1＋16＋925(25－x 21)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 12＝15(25－4x 1)，② 同理可得 (x 2－4)2＋y 22＝15(25－4x 2)，③将②③代入①式，得15(25－4x 1)＋15(25－4x 2)＝185，所以x 1＋x 2＝8，设AC 中点坐标为(x 0，y 0)，则横坐标x 0＝x 1＋x 22＝4.18．(2019·合肥质检)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求F 2A →·F 2B →的取值范围． 解析：(1)由椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，且△PF 1F 2的面积为22， 得1a 2＋12b 2＝1，且12×2c ×22＝22，即c ＝1. 又a 2－b 2＝c 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 若直线l 的斜率不存在，可得点A ，B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22， 则F 2A →·F 2B →＝72.当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 则Δ＝16k 4－8(1＋2k 2)(k 2－1)＝8k 2＋8>0恒成立． 所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2.所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2). 又k 2≥0，则F 2A →·F 2B →＝72－92(2k 2＋1)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，72. 综上可知，F 2A →·F 2B →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，72.增分强化练(三十一)考点一 范围、最值问题(2019·大连模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，l 1与l 2交于点M . (1)求p 的值；(2)若l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值．解析：(1)由题意知，抛物线焦点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为：y ＝－p2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2. (2)抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，所以x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4m ＝0，Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1.即l ：y ＝kx ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214y ＝x 22x －x224，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k y ＝－1，即M (2k ，－1)，M 点到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝2|k 2＋1|1＋k 2， |AB |＝(1＋k 2)[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×2|k 2＋1|1＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4， 当k ＝0时，△MAB 面积取得最小值4. 考点二 定点、定值问题(2019·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点M 在C 的长轴上运动，过点M 且斜率大于0的直线l 与C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于N 点．当M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为π6时，N ，P 重合，|PM |＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)当N ，P ，Q ，M 均不重合时，记NP →＝λNQ →，MP →＝μMQ →，若λμ＝1，求证：直线l 的斜率为定值．解析：(1)因为当M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为π6时，N ，P 重合，|PM |＝2，所以a ＝|PM |＝2，故b c ＝tan π6＝33， 因为a 2＝b 2＋c 2， 因此c ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋m (m ≠0)，所以M (m,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m t ，所以k l ＝1t .因为斜率大于0，所以t >0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则NP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋m t ，NQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋m t ，由NP →＝λNQ →得，x 1＝λx 2，①同理可得y 1＝μy 2，②①②两式相乘得，x 1y 1＝λμx 2y 2，又λμ＝1，所以x 1y 1＝x 2y 2，所以(ty 1＋m )y 1＝(ty 2＋m )y 2，即t (y 21－y 22)＝m (y 2－y 1)，即(y 2－y 1)[]m ＋t (y 1＋y 2)＝0，由题意k l >0，知y 1－y 2≠0，所以m ＋t (y 1＋y 2)＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋m x 24＋y 2＝1，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，依题意，y 1＋y 2＝－2tmt 2＋4，所以m －2t 2mt 2＋4＝0，又m ≠0，所以t 2＝4，因为t >0，故得t ＝2，所以k l ＝1t ＝12，即直线l 的斜率为12.考点三 存在性问题已知抛物线y 2＝4x ，过点P (8，－4)的动直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当P 恰为AB 的中点时，显然x 1≠x 2，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝－8，故k AB ＝－12， 则直线l 的方程为y ＝－12x . (2)假设存在定点Q ，设Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －8)－4(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x y ＝k (x －8)－4，整理得ky 2－4y －32k －16＝0，Δ>0，y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－32－16k， 由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知QA →·QB →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y 204＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－y 204＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)16＋1(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0， 故(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－16，即y 1y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＋16＝0，整理得(y 20－16)k ＋4(y 0－4)＝0，即当y 0＝4时，恒有QA →·QB →＝0，故存在定点Q (4,4)满足题意；当直线l 斜率不存在时，l ：x ＝8，不妨令A (8,42)，B (8，－42)，Q (4,4)，也满足QA →·QB→＝0，综上所述，存在定点Q (4,4)，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q .。

高考数学大二轮总复习与增分策略(江苏专用,理科)三轮

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高考小题分项练(六)1．复数z ＝x ＋3i1－i (x ∈R ，i 是虚数单位)是实数，则x 的值为________．2．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是________． 3．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线与圆x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则AB的最小值为________．4．(2015·湖南改编)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________．5．在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 为________．7．已知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为{x |a <x <b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则2m ＋1n的最小值为________． 8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，－x 2＋4x ，x ≤0，若|f (x )|≥ax －1恒成立，则实数a 的取值范围是________．9．(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使得f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称函数f (x )为“成功函数”．若函数f (x )＝logc (c x ＋t ) (c >0，c ≠1)是“成功函数”，则t 的取值范围为________．11．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 12．已知2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 6＋a t＝6a t，(a ，t 均为正实数)，类比以上等式可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________. 13．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是________．14．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值为________．15．若存在x 使不等式x －mex >x 成立，则实数m 的取值范围为________．答案精析高考小题分项练(六)1．－3解析 因为z ＝x ＋3i 1－i ＝(x ＋3i )(1＋i )2＝(x －3)＋(x ＋3)i2，且是实数，所以x ＝－3.2.223解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当2x 3＝13x，即x ＝22时等号成立)． 3．4解析 当P 点同时满足：(1)P 为AB 的中点；(2)P 点到O 点的距离最大时，AB 取得最小值．可行域如图所示．因为直线y ＝x 和直线x ＋y ＝4垂直，故P 点的坐标是(1,3)时OP 最大．易知此时AB ＝4.4．2 2解析 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.5.32解析 由定义知，不等式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立， ∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.6．4解析 执行程序框图可知：n ＝1，s ＝0，p ＝30，s <p 成立；s ＝3，n ＝2，s <p 成立；s ＝3＋9，n ＝3，s <p 成立；s ＝3＋9＋27，n ＝4，s <p 不成立，因此输出的n 的值为4. 7．9解析 易知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9.8．[－6,0]解析 在同一直角坐标系下作出y ＝|f (x )|和y ＝ax －1的图象如图所示，由图象可知当y ＝ax －1与y ＝x 2－4x 相切时符合题意，由x 2－4x ＝ax －1有且只有一负根，则Δ＝0且a ＋42<0，得a ＝－6，绕点(0，－1)逆时针旋转，转到水平位置时都符合题意，所以a ∈[－6,0]． 9．18解析 设甲，乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)． 10.⎝⎛⎭⎫0，14 解析 无论c >1还是0<c <1，f (x )＝log c(c x＋t )都是R 上的单调增函数，故应有⎩⎨⎧f (a )＝a 2，f (b )＝b2，则问题可转化为求f (x )＝x 2，即log c (c x ＋t )＝x2，即c x ＋t ＝c 在R 上有两个不相等的实数根的问题，令c ＝m (m >0)，则c x ＋t ＝c 可化为t ＝m －m 2，问题进一步可转化为求函数y ＝t 与y ＝m －m 2 (m >0)的图象有两个交点的问题，结合图形可得t ∈⎝⎛⎫0，14. 11．4解析 依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，x ＋2y ≥4，即x＋2y 的最小值是4. 12．41解析 由推理可得a ＝6，t ＝62－1＝35，故a ＋t ＝41. 13．[－12，1)∪(1,3]解析 ∵(x －1)2≥0且x ≠1，∴x ＋5(x －1)2≥2⇔x ＋5≥2(x －1)2且x ≠1⇔2x 2－5x －3≤0且x ≠1，解得－12≤x <1或1<x ≤3.14.233解析 由离心率e ＝2得，ca ＝2，从而b ＝3a >0，所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥2a ·13a＝213＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时，“＝”成立． 15．(－∞，0)解析 依题意得，关于x 的不等式x －me x >x ，即－m >e x x －x 有解．记f (x )＝e x x －x (x ≥0)，则f ′(x )＝e x (x ＋12x)－1≥e x ×2x ×12x－1＝2e x －1>2－1>0(x >0)，因此函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，f (x )的最小值是f (0)＝0，于是有－m >0，m <0，实数m 的取值范围是(－∞，0)．。

2019年高考数学(理)二轮复习练习：大题规范练1 “17题～19题+二选一”46分练 Word版含答案 (29)

2019年高考数学(理)二轮复习练习：大题规范练1 “17题～19题+二选一”46分练 Word版含答案 (29)

小题提速练(四) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27，x ∈N *}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∩B ＝( )A ．{1,2,3}B ．(2,3]C ．{3}D ．[2,3]C [∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x ≤3，又x ∈N *，∴A ＝{1,2,3}，∵log 2x ＞1，即log 2x ＞log 22，∴x ＞2，∴B ＝{x |x ＞2}，∴A ∩B ＝{3}，选C.] 2．已知复数z ＝15i 3＋4i，则z 的虚部为( )【导学号：07804211】A ．－95iB ．95iC ．－95D ．95D [z ＝15i 3＋4i ＝15i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝1525(4＋3i)＝125＋95i ，故选D.]3．设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( )A.BD →＝AC →－32AB →B ．BD →＝32AC →－AB →C.BD →＝12AC →－AB →D ．BD →＝AC →－12AB →A [BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →，选A.]4．(2017·湖南三模)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C [根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球次数为2即二次发球成功的概率P (X ＝2)＝p (1－p )， 发球次数为3的概率P (X ＝3)＝(1－p )2， 则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )＞1.75，则p 2－3p ＋3＞1.75， 解得，p ＞52或p ＜12，结合p 的实际意义，可得0＜p ＜12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故选C.]5．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1→·NF 1→＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2＋1) B ．(1，2＋1) C ．(1，3)D ．(3，＋∞)B [设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，得到y ＝±b 2a ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则MF 1→·NF 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2＞0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2＞0，即a 4＋c 4－6a 2c 2＜0，故e 4－6e 2＋1＜0，解得3－22＜e 2＜3＋22，又e ＞1，故1＜e 2＜3＋22，得1＜e ＜1＋2，故选B.]6．函数y ＝f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图9所示，关于函数y ＝f (x )(x ∈R )，有下列命题：图9①y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称；②y ＝f (x )的图象可由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称； ④y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [依题意可得T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，故T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，由f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2可得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋φ＝1，又－π2＜φ＜π2，故φ＝－π3，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，所以①不对；y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，②正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，所以③正确；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，得－π12≤x ≤5π12，即y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增，④正确，故选C.] 7．某几何体的三视图如图10所示，则该几何体的体积为( )【导学号：07804212】图10A.17π6B ．17π3C ．5πD ．13π6A [由三视图可知，该几何体是半个圆锥，一个圆柱，一个半球的组合体， 其体积为16π＋2π＋23π＝176π.选A.]8．执行如图11所示的程序框图，输出的结果为( )图11A ．－1B ．1 C.12D ．2C [n ＝12，i ＝1进入循环，n ＝1－2＝－1，i ＝2；n ＝1－(－1)＝2，i ＝3；n ＝1－12＝12，i＝4，…，所以n 对应的数字呈现周期性的特点，周期为3，因为2 017＝3×672＋1，所以当i ＝2 017时，n ＝12，故选C.]9．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0ax －y ＋3≥0y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－6，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－12D ．12C [作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a ＞0时，易知z ＝y －x 无最小值，故a ＜0，目标函数所在直线过可行域内点A 时，z 有最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0ax －y ＋3＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ，0，z min ＝0＋3a＝－6，解得a ＝－12，故选C.]10．(数学文化题)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日D [由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n a 1＋a n2＋n b 1＋b n2＝2 250，即n＋13n ＋2＋n ⎝⎛⎭⎪⎫97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.]11．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2与直线y ＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，则下列区间中是函数f (x )的单调递减区间的是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3D [由题意得A ＝3，T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3，∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，故当k ＝－1时，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3，故选D.]12．已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝1，∠BAC ＝60°，AA 1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3 B ．4030π27C.32030π27D ．20πB [设△A 1B 1C 1的外心为O 1，△ABC 的外心为O 2，连接O 1O 2，O 2B ，OB ，如图所示．由题意可得外接球的球心O 为O 1O 2的中点．在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos∠BAC ＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7， 所以BC ＝7.由正弦定理可得△ABC 外接圆的直径2r ＝2O 2B ＝BC sin 60°＝273，所以r ＝73＝213. 而球心O 到截面ABC 的距离d ＝OO 2＝12AA 1＝1，设直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的外接球半径为R ，由球的截面性质可得R 2＝d 2＋r 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2132＝103，故R ＝303，所以该三棱柱的外接球的体积为V ＝4π3R 3＝4030π27.故选B.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与函数g (x )的图象相切，则m 的值为________．[解析] 易知f (1)＝0，f ′(x )＝1x，从而得到f ′(1)＝1，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.法一：(应用导数的几何意义求解)设直线y ＝x －1与g (x )＝x 2＋mx (m ∈R )的图象相切于点P (x 0，y 0)，从而可得g ′(x 0)＝1，g (x 0)＝x 0－1.又g ′(x )＝2x ＋m ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧gx 0＝2x 0＋m ＝1x 20＋mx 0＝x 0－1，得x 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1m ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1m ＝3.法二：(应用直线与二次函数的相切求解)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝x 2＋mx ，得x 2＋(m －1)x ＋1＝0，所以Δ＝(m －1)2－4＝0，解得m ＝－1或m ＝3. [答案] －1或314．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有________种.【导学号：07804213】[解析] 3所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有C 13C 26C 12C 24＝540种． [答案] 54015．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.[解析] 法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my －1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. ∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2. ∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝22m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2. [答案] 2 216．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________． [解析] 设x ∈[0,2]，则－x ∈[－2,0]，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x－1＝2x－1，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝2x－1.∵对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)， ∴当x ∈[2,4]时，(x －4)∈[－2,0]，∴f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －4－1； 当x ∈[4,6]时，(x －4)∈[0,2]， ∴f (x )＝f (x －4)＝2x －4－1.∵在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根， ∴函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象在区间(－2,6]内恰有3个不同的交点，作出两个函数的图象如图所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log a ＋＞3log a＋＜3，解得223＜a ＜2，即34＜a ＜2，因此所求a 的取值范围是(34，2)．[答案] (34，2)。

高考数学大二轮总复习与增分策略(江苏专用,理科)三轮

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高考小题综合练(四)1．(2015·扬州月考)若集合A ＝{x |x 2－7x <0，x ∈N *}，则B ＝{y |4y ∈N *，y ∈A }中元素的个数为________．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 8＝________.3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：8 7 79 4 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为________．4．“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的________条件． 5．已知sin 2α＝13，则cos 2(α－π4)＝________.6．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；②若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α； ③若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β. 其中正确命题的个数是________．7．(2015·课标全国Ⅱ改编)如图，流程图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该流程图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝________.8．(2015·课标全国Ⅱ改编)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为________． 9．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1－2x ，则y ＝f (x )的图象大致为下图中的________．10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是________．11．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________．12．(2015·盐城模拟)某班班会准备从含甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为________．13．已知△P AD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，P A ＝PD ＝AB ＝2，∠APD ＝90°，若点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于________．14．将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为________.15.(2015·镇江模拟)已知△ABC 中的内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，则cos B ＝________.答案精析高考小题综合练(四)1．3解析 ∵x 2－7x <0，∴0<x <7， 又∵x ∈N *，∴x ＝1,2,3,4,5,6， 又∵B ＝{y |4y∈N *，y ∈A }，∴B ＝{1,2,4}，即B 中的元素个数为3. 2．9解析 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝13，7a 1＋21d ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1，所以a 8＝9.3.367解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367. 4．充要解析 因为m ＝1时，两直线分别是直线x －y ＝0和直线x ＋y ＝0，两直线的斜率分别是1和－1.所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直，则1×1＋(－1)m ＝0，所以m ＝1，所以必要性成立，即“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的充要条件． 5.23解析 ∵cos 2(α－π4)＝1＋cos (2α－π2)2＝1＋sin 2α2，∴cos 2(α－π4)＝23.6．2解析对于①，垂直于同一个平面的两条直线平行，①正确；对于②，直线n可能在平面α内，所以推不出n∥α，②错误；对于③，举一反例，当m⊂β且m与α，β的交线平行时，也有m∥α，③错误；对于④，可以证明其正确性，④正确．7．2解析由题知，若输入a＝14，b＝18，则第一次执行循环结构时，由a＜b知，a＝14，b＝b－a＝18－14＝4；第二次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝14－4＝10，b＝4；第三次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝10－4＝6，b＝4；第四次执行循环结构时，由a＞b知，a＝a－b＝6－4＝2，b＝4；第五次执行循环结构时，由a＜b知，a＝2，b＝b－a＝4－2＝2；第六次执行循环结构时，由a＝b知，输出a＝2，结束．8．∀n∈N，n2≤2n解析将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．9．①解析f(x)＝x2＋2x＋1－2x＝(x＋1)2－2x，令g(x)＝(x＋1)2，h(x)＝2x，则f(x)＝g(x)－h(x)，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g(x)与h(x)的图象共有三个交点，其横坐标从小到大依次设为x1，x2，x3，在区间(－∞，x1)上有g(x)>h(x)，即f(x)>0；在区间(x1，x2)上有g(x)<h(x)，即f(x)<0；在区间(x2，x3)上有g(x)>h(x)，即f(x)>0；在区间(x3，＋∞)上有g(x)<h(x)，即f(x)<0.10.3＋1解析因为MF1的中点P在双曲线上，PF2－PF1＝2a，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ， 所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.11．4 5解析 公共弦的方程为：(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2－25＝0的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.12.16解析 由题意可分两种情况：只有甲、乙中一人参加，包括情况有C 12C 35A 44＝480. 甲、乙两人都参加包括C 25A 44＝240，则满足条件总的发言总数为480＋240＝720. 甲、乙两人参加，且发言时不相邻的包括情况有C 25A 22A 23＝120，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为120720＝16.13．12π解析 如图，在Rt △P AD 中，AD ＝4＋4＝22，过△P AD 的外心M作垂直于平面P AD 的直线l ，过四边形ABCD 的外心O 作垂直于平面ABCD 的直线m ，两线交于点O ，则O 为四棱锥P －ABCD 的外接球球心，2R ＝AC ＝4＋8＝23(R 为四棱锥P －ABCD 外接球的半径)，即R ＝3，∴四棱锥P －ABCD 外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π. 14．312解析 易知前19行共有19×4＝76个奇数，所以第20行的第4列的奇数为2×77－1＝153，所以第20行第3列的数字与第20行第2列数字分别为155,157，所以它们的和为312. 15.112解析 设a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2aGA →＋3bGB →＋3cGC →＝0，则2aGA→＋3bGB→＝－3cGC→＝－3c(－GA→－GB→)，即(2a－3c)GA→＋(3b－3c)GB→＝0，又因为GA→，GB→不共线，则2a－3c＝0，3b－3c＝0，即2a＝3b＝3c，所以a＝3b2，c＝3b3，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝112.。

(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程基础保分强化训练(三)理(最新整理)

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基础保分强化训练（三)1．已知错误!＝(1＋i)2(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( )A．－错误!－错误!i B．－错误!＋错误!iC.错误!－错误!i D。

错误!＋错误!i答案B解析∵错误!＝（1＋i）2，∴z＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!－错误!i，∴错误!＝－错误!＋错误!i。

故选B。

2．设命题p：∀x∈R,x3－x2＋1≤0，则p为( )A．∃x∈R，x3－x2＋1〉0 B．∀x∈R，x3－x2＋1>0C．∃x∈R,x3－x2＋1≤0 D．∀x∈R，x3－x2＋1≥0答案A解析∵命题p：∀x∈R，x3－x2＋1≤0，∴p为∃x∈R,x3－x2＋1〉0.故选A.3．已知集合A＝{x∈Z|x2－4x<0}，B＝｛x∈Z|0〈log5x<1}，则A∩B＝( )A．｛x|0<x<5｝B．{x|1<x<4｝C．{2，3｝D．{1，2,3,4｝答案C解析因为A＝｛x∈Z｜x2－4x〈0}，所以A＝｛1，2,3}，因为B＝{x∈Z|0<log5x〈1}，所以B＝{2,3，4}，根据集合交集运算，可得A∩B＝{2，3｝,所以选C。

4．执行如图所示的程序框图,若输出结果为1，则可输入的实数x的值的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析根据题意，该框图的含义是:当x≤2时，得到函数y＝x2－1；当x>2时,得到函数y＝log2x。

高考数学二轮复习练习：大题规范练3“17题～19题+二选一”46分练-

高考数学二轮复习练习：大题规范练3“17题～19题+二选一”46分练-

∴sin Bcos C＋ cos Bsin C＝ 3sin Bcos C，
cos Bsin C
tan C
∴cos Bsin C＝ 2sin Bcos C，∴ sin Bcos C＝ 2，故 tan B＝ 2.
(2) 法一： ( 直接法 ) 由 A＋ B＋ C＝ π ，得 tan( B＋ C) ＝ tan( π－ A) ＝－ 3， tan B＋tan C
B＝ 1 或 tan
B＝－
. 2
根据
tan
C＝2tan
B得 tan
C，tan
B 同号，又
tan
C，tan
B
同时为负数不合题意，
∴tan B＝ 1， tan C＝2.
又∵ a＝ 3bcos C＝ 3，∴ bcos C＝ 1，∴ abcos C＝3，
∴abcos Ctan C＝ 6，
1
1
∴S△ ＝ ABC absin C＝ ×6＝ 3.
极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C2 的极坐标方程是 ρ (tan α ·cos θ － sin
π θ) ＝ 1( α 是常数， 0＜ α＜ π ，且 α ≠ 2 ) ，点 A，B( A 在 x 轴的下方 ) 是曲线 C1 与 C2 的两个
不同交点． (1) 求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2) 求 | AB| 的最大值及此时点 B的坐标．
2
25
3 10
∴sin B＝ 2 ， sin C＝ 5 ， sin A＝ 10 ，
3b
由正弦定理可得
＝ ，∴ b＝ 5，
3 10 2
10 2
1
1
25
∴S△ ＝ ABC 2absin C＝2×3× 5× 5 ＝3.
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大题规范练(三) “17题～19题＋二选
一”46分练
(时间：45分钟 分值：46分)
解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足a ＝3b cos C .
(1)求tan C
tan B 的值；
(2)若a ＝3，tan A ＝3，求△ABC 的面积．
[解] (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R 及a ＝3b cos C 可得2R sin A ＝3×2R sin B cos C ， 即sin A ＝3sin B cos C .
∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝3sin B cos C ， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝3sin B cos C ，
∴cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴cos B sin C sin B cos C ＝2，故tan C
tan B ＝2.
(2)法一：(直接法)由A ＋B ＋C ＝π，得tan(B ＋C )＝tan(π－A )＝－3， 即tan B ＋tan C 1－tan B ·tan C ＝－3，将tan C ＝2tan B 代入得 3tan B 1－2tan 2B
＝－3，解得tan B ＝1或tan B ＝－
1
2. 根据tan C ＝2tan B ，得tan C ，tan B 同号， 又tan C ，tan B 同时为负数不合题意， ∴tan B ＝1，tan C ＝2，
∴sin B ＝22，sin C ＝255，sin A ＝310
10， 由正弦定理可得
331010＝b
22
，∴b ＝5， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×5×25
5＝3.
法二：(整体代入法)由A ＋B ＋C ＝π，得tan(B ＋C )＝tan(π－A )＝－3， 即
tan B ＋tan C
1－tan B ·tan C
＝－3，将tan C ＝2tan B 代入得
3tan B
1－2tan 2B
＝－3，
解得tan B ＝1或tan B ＝－1
2.根据tan C ＝2tan B 得tan C ，tan B 同号，又tan C ，tan B 同时为负数不合题意， ∴tan B ＝1，tan C ＝2.
又∵a ＝3b cos C ＝3，∴b cos C ＝1，∴ab cos C ＝3， ∴ab cos C tan C ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝1
2×6＝3.
18．如图6，在四棱锥S -ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角
形，AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.
图6
(1)证明：SD ⊥平面SAB ；
(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值.
[解] (1)证明：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，则D (1,0,0)，A (2,2,0)，B (0,2,0)．
设S (x ，y ，z )，则x ＞0，y ＞0，z ＞0，
且AS
→＝(x －2，y －2，z )，BS →＝(x ，y －2，z )，DS →＝(x －1，y ，z )． 由|AS
→|＝|BS →|，得(x －2)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2，解得x ＝1.
由|DS →
|＝1，得y 2＋z 2＝1. ① 由|BS
→|＝2，得y 2＋z 2－4y ＋1＝0. ②
由①②，解得y ＝12，z ＝3
2.
∴S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32，AS
→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，32，BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，DS →＝⎝
⎛⎭⎪⎫
0，12，32，
∴DS →·AS →＝0，DS →·BS →＝0， ∴DS ⊥AS ，DS ⊥BS ， ∴SD ⊥平面SAB .
(2)设平面SBC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则n ⊥BS →，n ⊥CB →，∴n ·BS →＝0，n ·CB →＝0. 又BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，CB →＝(0,2,0)，
∴⎩⎨
⎧
x 1－32y 1＋32z 1＝02y 1＝0
，取z 1＝2，
得n ＝(－3，0,2)． ∵AB
→＝(－2,0,0)， ∴cos 〈AB →
，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝－2×(－3)7×2＝217.
故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为21
7.
19．春节期间，甲、乙等六人在微信群中玩抢红包游戏，六人轮流发红包，每次
10元，分4个红包，每个红包分别为1元、2元、3元、4元，每人每次最多抢一个红包，且每次红包全被抢完．统计五轮(30次)的结果，甲、乙所抢红包的情况如下：
(1)
(2)将频率视为概率，甲在接下来的一轮抢红包游戏中，没有抢到红包的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
[解] (1)甲所抢红包金额的平均数为x 甲＝6＋2×3＋3×4＋4×730＝26
15，
乙所抢红包金额的平均数为x 乙＝
9＋2×6＋3×6＋4×430＝11
6
，
由于116＞26
15，所以乙的手气更好．
(2)由题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
从30次统计结果看，甲抢到红包的频率为6＋3＋4＋730＝2
3，甲没有抢到红包
的频率为1－23＝13，且每次抢红包相互独立，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
236
＝64729，
P (X ＝1)＝C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫235⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝64
243， P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫234
⎝ ⎛⎭⎪⎫132
＝80243， P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫233
⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝160729， P (X ＝4)＝C 46⎝ ⎛⎭
⎪⎫232
⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝20243
， P (X ＝5)＝C 56
⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝4243
， P (X ＝6)＝C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫136
＝1729. 所以X 的分布列为
E (X )＝6×1
3＝2.
(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分) 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos φ
y ＝sin φ(其中φ为参数)．以
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ(tan α·cos θ－sin θ)＝1(α是常数，0＜α＜π，且α≠π2)，点A ，B (A 在x 轴的下方)是曲线C 1与C 2的两个不同交点． (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)求|AB |的最大值及此时点B 的坐标．
[解] (1)∵⎩⎨⎧
x ＝2cos φy ＝sin φ(其中φ为参数)，∴曲线C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.
由⎩⎨⎧
x ＝ρcos θ
y ＝ρsin θ，得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝tan α·x －1. (2)由(1)得曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝t cos α
y ＝－1＋t sin α(t 为参数)．
设A (t 1cos α，－1＋t 1sin α)，B (t 2cos α，－1＋t 2sin α)，
将⎩⎨⎧
x ＝t cos αy ＝－1＋t sin α，代入x 24＋y 2
＝1，整理得t 2(1＋3sin 2α)－8t sin α＝0， ∴t 1＝0，t 2＝8sin α
1＋3sin 2α，
∴|AB |＝|t 1－t 2|＝
8|sin α|1＋3sin 2α＝83|sin α|＋1|sin α|
≤823
＝433(当且仅当sin α＝
3
3时取等号)，
当sin α＝33时，∵0＜α＜π，且α≠π2，∴cos α＝±6
3， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±423，13，
∴|AB |的最大值为
433，此时点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
±423
，13.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数f (x )＝|x ＋1|＋m |x －1|(m ∈R )． (1)当m ＝2时，求不等式f (x )＜4的解集； (2)当m ＜0时，f (x )≥2m 恒成立，求m 的最小值. [解] (1)当m ＝2时，
f (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|＝⎩⎨⎧
1－3x ，x ＜－1，
3－x ，－1≤x ≤1，
3x －1，x ＞1.
由f (x )的单调性及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
53＝f (－1)＝4，
得f (x )＜4
的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
－1＜x ＜5
3
. (2)由f (x )≥2m ，得|x ＋1|≥m (2－|x －1|)， 因为m ＜0，
所以－1
m |x ＋1|≥|x －1|－2，
在同一直角坐标系中画出y ＝|x －1|－2及y ＝－1
m |x ＋1|的图象，如图所示，根据图象可得－1
m ≥1，所以－1≤m ＜0， 故m 的最小值为－1.。

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