2020-2021学年山西省怀仁市高二上学期期末考试数学(理)试题及答案
山西省怀仁市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
怀仁市2020-2021学年度上学期期末高二教学质量调研测试理科数学I 卷（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．抛物线218y x =的准线方程为（ ） A ．132y =- B ．2y =- C ．2x =- D ．132x =- 2．“37m <<”是“方程22137x y m m+=--为椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，则其对应的双曲线方程不可能为（ ） A ．2214x y -= B ．2214x y -= C ．2214y x -= D ．2246x y -= 4．已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．1-是函数()f x 的极小值点B ．4-是函数()f x 的极小值点C ．函数()f x 在区间(),4-∞-上单调递增D ．函数()f x 在区间()4,1--上先增后减5．如图，椭圆221164x y +=上的一点A 关于原点的对称点为B ，F 为它的右焦点，若AF BF ⊥则AFB 的面积是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且||||8FA FB ⋅=，则AB =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 7．已知椭圆221(1)x y m m +=>和双曲线221(0)x y n n-=>有相同的焦点12,F F ，P 是它们的一个交点，则12F PF 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m ，n 的变化而变化8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，且AB BC CD ==，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．5 D ．79．已知(3,0)A -，B 是圆22(4)1x y +-=上的点，点P 在双曲线22145x y -=的右支上，则||||PA PB +的最小值为（ ）A ．9B ．4C ．8D ．710．已知点A ，B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，若12F F =P 是双曲线上异于A ，B 的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积为定值4，则AB =（ ）A ．2B ．C ．D ．411．在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为AB 边的中点，将ADE 沿直线DE 折成1A DE ，若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 的翻折过程中下面四个命题中不正确的是（ ）A ．BM 是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置使1DE AC ⊥D ．存在某个位置使//MB 平面1A DE12．已知函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数，当0x >时，()2()0xf x f x +>'，且()11f =，则函数21()()g x f x x=-的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆221164y x +=的弦AB 的中点M 的坐标为()2,1，则AB 的方程为________． 14．如果12,F F 分别是双曲线221169x y -=的在、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF 的周长是________．15．已知函数()3221()13f x x x a x =++-在()0,1内存在最小值，则a 的取值范围为________． 16．若点P 为椭圆22143x y +=上的一个动点，过点P 作圆C ：22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形PACB 的面积最大时，PA PB ⋅的值为_________．三、解答题（本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p ：方程221327x y a a +=-+表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线：命题q ：实数a 使曲线222426120x y x y a a +---++=表示一个圆（1）若命题p 为真命题，求实数a 取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真，命题“p q ∨”为假，求实数a 的取值范围．18．（本大题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，//AD BC ，AD CD ⊥且22PC BC AD CD ====2PA =．（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ．（2）若M 为侧棱PD 的中点，求二面角M AC P --的余弦值．19．已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+，其中R x ∈． （1）当2πθ=时，判断函数()f x 是否有极值； （2）若,32ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()f x 总是区间(21,)a a -上的增函数，求a 的取值范围． 20．过抛物线C ：22(0)y p x p =⋅>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且||2MN =．（1）求抛物线C 的方程；（2）抛物线C 上一点()0,1Q x ，直线l ：y kx m =+（其中0k ≠）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（A ，B 均不与点Q 重合）．设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，1212k k =-．直线l 是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由． 21．已知双曲线221x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的顶点，1F 为椭圆C 的左焦点且椭圆C 经过点23⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右顶点A 作斜率为k （0k <）的直线交椭圆C 于另一点B ，连结1BF 并延长1BF 交椭圆C 于点M ，当AOB 的面积取得最大值时，求AOB 的面积．22．已知函数2()(2)ln 2f x ax a x =+-+．（1）求函数在点(1,(1))f 处的切线方程，并讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()(2)f x a x ≥+在[1,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．怀仁市2020～2021学年度高二理科期末测试I 卷答案一、选择题1～5 BBCBA 6～10 CBDCA 11～12 CB二、填空题13．240x y +-= 14．28 15．(2,1)(1,2)--⋃ 16．569三、简答题17．（本大题10分）（1）由题意(3)(27)0a a -+<，解得732a -<<． 即a 的范围是7,32⎛⎫- ⎪⎝⎭． 4分（2）命题q ：实数a 使曲线222426120x y x y a a +---++=表示一个圆，222(2)(1)67x y a a -+-=--表示圆．则需2670a a -->，解得7a >或1a <-，∵命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假 ∴73217a a ⎧-<<⎪⎨⎪-≤≤⎩得13a -≤<或73217a a a a ⎧≤-≥⎪⎨⎪<->⎩或或得72a ≤-或7a > ∴a 的取值范围为7,[1,3)(7,)2⎛⎤-∞--⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦10分 18．（本大题12分）详细分析：（1）∵在底面ABCD 中，//AD BC ，AD CD ⊥， 且2222BC AD CD ===，∴2AB AC ==，BC =AB AC ⊥，又∵AB PC ⊥，AC PC C ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ，又∵AB ⊂平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ． 5分（2）∵2PA AC ==，PC =PA AC ⊥，又∵PA AB ⊥，AB AC A ⋂=，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ．取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直，以A 为坐标原点，AE 、AD 、AP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0),(0,0,2),A P D ，2C M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0,2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(2,AC =，由（1）知平面ACD 的一个法向量(0,0,1)m =，设平面MAC 的法向量为()111,,n x y z =，则00AM n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111020y z +=+=，令1x=，则111y z ==，所以平面MAC的一个法向量为(2,n =，所以cos ,5AP n 〈〉==，1sin ,155AP n 〈〉=-=， 所以二面角M AC P --． 12分19．（本大题12分）详细分析：（1）当2πθ=时321cos 0,()4,()120()32f x x f x x f x θ'==+=≥在R 上是增函数，故函数()f x 不存在极值． 4分 （2）21()126cos 12cos 2f x x x x x θθ⎛⎫=-=- ⎝'⎪⎭， 令()0f x '=，得0x =或cos 2x θ=． ①当2πθ=时，由（1）知()f x 为R 上的增函数， ∴只须21a a -<，即1a <． ②当,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 的递增区间为cos (,0),,2θ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭． 若(21,)(,0)a a -⊆-∞，则210a a a -<⎧⎨≤⎩，∴0a ≤． 若cos (21,),2a a θ⎛⎫-⊆+∞ ⎪⎝⎭， 则cos 212a θ-≥时任意,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立 1214a -≥又521,18a a a -<≤< 综上所述，a 的取值范围是5(,0],18⎡⎫-∞⋃⎪⎢⎣⎭． 12分 20．（木大题12分）详细分析：（Ⅰ）由题意得：,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线MN 方程为：2p y x =-代入抛物线方程得：22304p x px -+= 设(),M M M x y ，(),N N N x y∴3M N x x p += ∴||42M N MN x x p p =++==， 解得：12p = ∴抛物线方程为：2y x = 4分（Ⅱ）由（1）知：抛物线C ：2y x =∴(1,1)Q ，设()11,A x y ，()22,B x y由2y kx m y x=+⎧⎨=⎩得：20ky y m -+=，∵0k ≠ 则Δ140km =-> ∴12121,m y y y y k k+== ∴12121222121211111111y y y y k k x x y y ----=⋅=⋅---- ()()121211112k k y y ==-++ 即：()121230y y y y +++= ∴130m k k++=，解得31m k =-- 当31m k =--时，21414(31)12410km k k k k -=++=++>∴31(3)1y kx k k x =--=--，恒过定点(3,1)- ∴直线l 恒过定点(3,1)- 12分21．（本大题12分）试题详细分析：（1）由已知2213412a ab ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以C 的方程为2212x y += 4分 （2）由已知结合（1）得，1(1,0)A F -所以设直线AB：(y k x =，联立C ：2212x y +=得 ()222212420k x x k +-+-=，得2221212B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，021122||(0)12212(2)AOBkS OA y kk kk-=⨯===<+⎛⎫-+-⎪⎝⎭，当且仅当12kk-=-，即2k=-时，AOB的面积取得最大值，所以k=，此时(0,1)B，所以直线1BF：1y x=+，联立2212xy+=，解得41,33M⎛⎫--⎪⎝⎭，所以112||11)2223ABMS BM d⎛⎫=⨯=+=⎪⎝⎭．12分22．（本大题12分）解：（1）依题意，222(2)()2a ax af x axx x+='--=+，∵(1)2f a'=+，且(1)2f a=+，所以函数在点(1,2)a+处的切线方程为(2)y a x=+又222(2)()2(0)a ax af x ax xx x'-+-=+=>若02,()0a f x'≤≤>，函数在(0,)+∞上单调递增；若2a>，当x⎛∈⎝时，()0f x'<，故函数()f x在⎛⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎭上单调递增若0a<，当x⎛∈⎝时，()0f x'>，当x⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x'<，故函数()f x在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭单调递减．（6分）（2）令()()(2)h x f x a x=-+，则2()(2)(2)ln2,(1)0h x ax a x a x h=-++-+=．因为2(2)2(2)2(1)(22)()2(2)a ax a x a x ax ah x ax ax x x--++--+-=-++='=，①当23a≥时，因为1x≥，所以22222323203ax a a a a+-≥+-=-≥⨯-=，所以()0h x'≥，此时()h x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)0h x h ≥=，符合． ②当203a <<时，212a a ->，因为1,10x x ≥-≥，所以由()0h x '<，得212a x a-<<， 此时()h x 在21,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 所以当21,2a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(1)0h x h <=，不合要求，舍去 （10分） ③当0a ≤时，220ax a +-<，()0h x '<，()h x 在[1,)+∞上单调递减，所以当[1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h <=，不合要求，舍去综上所述，实数a 的取值范围是2,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭（12分）。
2022-2023学年山西省怀仁市第一中学校高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年山西省怀仁市第一中学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．椭圆22152x y +=的长轴长为（ ）A ．BC ．4D ．2【答案】A【分析】根据椭圆的几何性质即可求出长轴.【详解】由椭圆22152x y +=，得25a =，a =2a =故选：A ．2．过点(2,1)的等轴双曲线的标准方程为（ ）A ．22133y x -=B ．22155x y -=C ．22133y x -=D ．22155y x -=【答案】A【分析】先设出双曲线的方程为22x y λ-=（0λ≠），代点进行求解即可. 【详解】设双曲线的方程为22x y λ-=（0λ≠）， 代入点(2,1)，得3λ=，故所求双曲线的方程为223x y -=，其标准方程为22133y x -=．故选：A ．3，则 ）A ．第11项B ．第12项C ．第13项D ．第14项【答案】B【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.【详解】，由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，所以通项公式n a令n a =12n =. 故选：B.4．在直三棱柱111ABC A B C 中，若AC a =，AB b =，1AA c =，则1BC =（ ）A ．a b c +-B ．a b c --C ．a b c -+D ．a b c -+-【答案】C【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】由已知得()111BC CC CB CC AB AC a b c =-=--=-+， 故选：C5．在等差数列{}n a 中，2610120a a a ++=，则6a =（ ） A ．70 B ．60 C ．50 D ．40【答案】D【解析】根据等差数列的性质，得到63120a =，即可求解． 【详解】根据等差数列的性质，可得21062a a a +=， 因为2610120a a a ++=，即63120a =，可得640a =． 故选：D.6．以点()1,2A 为圆心，两平行线10x y -+=与2270x y -+=之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A ．()()229122x y +++= B ．()()2225128x y -+-= C ．()()2225128x y +++= D ．()()229122x y -+-=【答案】B【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程. 【详解】直线2270x y -+=方程可化为702x y -+=， 则两条平行线之间距离()227152211d -==+-52r =，∴所求圆的方程为：()()2225128x y -+-=. 故选：B.7．已知数列{}n a 满足11n n a n a n++=，13a =，则数列{}n a 的通项公式是（ ） A ．3n a n = B ．2n a n =+C ．21n a n =+D ．23n a n =【答案】A【分析】由题意可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为3的常数列，从而可得出答案.【详解】由题意得11n n a a n n +=+，即1213121n n a a a an n +=====+所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以131a =首项为的常数列，则3na n=，得3n a n =. 故选：A8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:1O x y +=，222:(4)4O x y -+=，动点P 在直线0-=x b 上，过P 点分别作圆1O ，2O 的切线，切点分别为A ，B ，若存在点P 满足2PB PA =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．2812,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[)28,12,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．20,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)20,4,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】分别求出两圆圆心和半径，利用PAPB 2PB PA =可求点P 轨迹方程为圆，又P 在直线0-=x b 上，结合圆心到直线的距离小于等于半径可求b 的取值范围. 【详解】由题意()10,0O ，11r =，()24,0O，22r =，设(),P x y ，若2PB PA =，PA PB =()2222(4)4x y x y∴-+=+，22816033x y x ∴++-=，即2246439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为83，动点P 在直线0-=x b 上，存在点P 满足2PB PA =，∴直线与圆22816033x y x ++-=有交点，∴圆心到直线的距离83d =≤，2043b ∴-≤≤， 即实数b 的取值范围是20,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C ．二、多选题9．已知{}n a 为等差数列，满足5323a a -=，{}n b 为等比数列，满足21b =，44b =，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的首项为1B ．73a =C ．616b =D ．数列{}n b 的公比为2±【答案】BCD【分析】由5323a a -=可推得163a d +=，即可判断A 、B ；由21b =，44b =，可推得64416b b ==，24q =，即可判断C 、D.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q . 对于A ，由5323a a -=，得()()112423a d a d +-+=， 整理可得，163a d +=，所以1a 不确定，故A 错误； 对于B ，因为163a d +=，所以有73a =，故B 正确； 对于C ，因为64424b b b b ==，所以64416b b ==，故C 正确； 对于D ，由已知可得，2424b q b ==，所以2q =±，故D 正确. 故选：BCD.10．关于双曲线22146x y -=与双曲线221(46)46x y t t t -=-<<+-，下列说法不正确的是（ ） A ．实轴长相等 B ．离心率相等C ．焦距相等D ．焦点到渐近线的距离相等【答案】ABD【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可【详解】双曲线22146x y -=中，实轴长为124a =，虚轴长为1226b =，焦距长为12246210c =+=，右焦点为()10,0，所以离心率111102c e a ==，渐近线方程为62y x =±，不妨取62y x =即620x y -=， 所以焦点到渐近线的距离为1610664d ⨯==+， 双曲线221(46)46x y t t t-=-<<+-中实轴长为2224a t =+，虚轴长为2226b t =-，焦距长为22210c =，右焦点为()10,0，所以离心率22210401044c t e a t t +===++，渐近线方程为64t y x t -=±+，不妨取64t y x t-=+即()640t x t y --+=，所以焦点到渐近线的距离为2610610t d t -⨯==-， 综上，两条双曲线只有焦距相等， 故选：ABD11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（ ）A ．132DB =B ．向量AE 与1AC 15 C ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2-D ．11A D BD ⊥ 【答案】BCD【分析】A 选项，求得1DB 的坐标，进而求出1DB ；B 选项，利用空间向量夹角公式求解；C 选项，记()4,1,2n =-，验证0,0AE AF n n ⋅⋅==即可；D 选项，验证110A D BD ⋅=即可.【详解】对于A ，()0,0,0D ，()12,2,2B ，()12,2,2DB =，1123D DB B ==A 错误； 对于B ，()2,0,0A ，()2,2,1E ，()10,2,2C ，()()10,2,1,2,2,2AE AC ==-，则111cos ,5AE AC AE AC AE AC ⋅===B 正确； 对于C ，()1,0,2F ，()()0,2,1,1,0,2AE AF ==-，记()4,1,2n =-， 则042(1)120,(1)40(1)220AE F n A n =⨯+⨯-+⨯==-⨯+⨯⋅-⨯=⋅+，所以,A A n E F n ⊥⊥，又,AE AF ⊂平面AEF ，AE AF A ⋂=，则n ⊥平面AEF ， 故()4,1,2-是平面AEF 的一个法向量，故C 正确；对于D ，()()()()112,0,2,0,0,0,0,0,2,2,2,0A D D B ，()()11112,0,2,2,2,2,0A D BD A D BD =--=--⋅=，故D正确. 故选：BCD.12．已知抛物线2:2C x py =的焦点坐标为F ，过点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，点12⎫⎪⎭在抛物线上．则（ ） A ．1p = B ．当AB y ⊥轴时，||4AB =C ．11||||AF BF +为定值1 D ．若2AF FB =，则直线AB 的斜率为【答案】BCD【分析】将点12⎫⎪⎭代入可判断A ；求出焦点可判断B ；设直线AB 的方程为1y kx =+，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C ；由向量的坐标表示以及韦达定理可判断D. 【详解】对于选项A ，将点12⎫⎪⎭代入抛物线方程，可得2p =，故选项A 错误；对于选项B ，焦点(0,1)F ，点(2,1)在抛物线上，可得||4AB =，故选项B 正确； 对于选项C ，设点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩ 消去y 后整理为2440x kx --=，可得()2121212124,4,242,x x k x x y y k x x k +==-+=++=+221212121,||1,||116x x y y AF y BF y ===+=+，有1212121212121111221||||1112y y y y AF BF y y y y y y y y +++++=+===+++++++， 故选项C 正确；对于选项D ，有()()1122,12,1x y x y --=-，可得212x x =-，由1212214,4,2,x x k x x x x +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩有2224,24,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得24k =±，故选项D 正确． 故选：BCD三、填空题13．点()1,3-关于直线20x y ++=的对称点的坐标为__________． 【答案】()5,1--【分析】设点为()00,x y ，根据条件可得00311y x -=+以及00132022x y -+++=，解出即可得到. 【详解】设点()1,3-关于直线20x y ++=对称的点为()00,x y . 因为直线20x y ++=的斜率为1-，由对称关系，两点连线与直线20x y ++=垂直，所以00311y x -=+， 又因为两点连线段的中点0013,22x y -+⎛⎫⎪⎝⎭在直线20x y ++=上， 代入得00132022x y -+++=， 两式联立0000311132022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-+⎪++=⎪⎩，即可解得0051x y =-⎧⎨=-⎩，所以对称点为()5,1--．故答案为：()5,1--．14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】26米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x 故水面宽为2626 【解析】抛物线的应用15．设两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且794n n S nT n =+,则33a b =__________. 【答案】57【分析】根据等差数列性质,将33a b 写为()()15155252a ab b +⋅+⋅,即55S T ,代入题中等式即可得出结果. 【详解】解:由题意可得{}n a 和{}n b 均为等差数列,所以()()153********2753552529544972a a a a Sb b b b T +⨯⨯======+⨯⨯+. 故答案为:5716．已知点,A B 是椭圆:G 22221x y a b+=(0)a b >>上的两点.且直线AB 恰好平分圆222x y R +=(0)R >，M 椭圆G 上与点,A B 不重合的一点，且直线,MA MB 的斜率之积为13-，则椭圆G 的离心率为__________. 6【分析】设()11,A x y ，()00,M x y ，则2221022210y y b x x a -=--.由已知可推得()11,B x y --，根据13MA MA k k ⋅=-，可得出2213b a =，然后即可求出离心率.【详解】设()11,A x y ，()00,M x y .依题意有22112222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2222101022x x y y a b -=--，所以2221022210y y b x x a -=--. 因直线AB 恰好平分圆222x y R +=，则()11,B x y --， 则1010MA y y k x x -=-，1010MBy y k x x --=--. 由已知，13MA MB k k ⋅=-，所以，222102221013y y b x x a -=-=--，即2213b a =. 所以椭圆G的离心率为e =四、解答题17．已知数列{}n a 满足1a 1=，n 1n a 3a 2+=+．()1证明：数列{}n a 1+是等比数列；()2设n n 1n 2332b a 1a 1log log 22++=++⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）详见解析；（2）n 2nS n 1=+. 【分析】()1对数列的递推式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证；()2由对数的运算性质可得()n nn 1n 1n 2333322211b 2a 1a 1log 3log 3n n 1n n 1log log 22+++⎛⎫====- ⎪++⋅++⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】解：()1证明：数列{}n a 满足1a 1=，n 1n a 3a 2+=+， 可得()n 1n a 13a 1++=+，即有数列{}n a 1+是首项为2，公比为3的等比数列；()2由()1可得n 1n a 123-+=⋅，即有()n n n 1n 1n 2333322211b 2a 1a 1log 3log 3n n 1n n 1log log 22+++⎛⎫====- ⎪++⋅++⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和n 1111112n S 2121223n n 1n 1n 1⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．已知圆C 的方程为22460x y x y m +-+-=． (1)求实数m 的取值范围；(2)若圆C 与直线:30l x y ++=交于M ，N两点，且MN =m 的值． 【答案】(1)13m >- (2)8m =-【分析】（1）将圆C 的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到130m +>，解之即可； （2）利用弦长公式MN =rm 的值. 【详解】（1）方程22460x y x y m +-+-=可化为22(2)(3)13x y m -++=+， ∵此方程表示圆，∴130m +>，即13m >-，即()13,m ∈-+∞. （2）由（1）可得圆心(2,3)C -，半径r = 则圆心(2,3)C -到直线:30l x y ++=的距离为d ==由弦长公式MN =及MN ==r =∴r ==8m =-．19．已知双曲线C ：22212x y b-=（0b >），直线l 与双曲线C 交于P ，Q 两点．(1)若点()4,0是双曲线C 的一个焦点，求双曲线C 的渐近线方程；(2)若点P 的坐标为()，直线l 的斜率等于1，且83PQ =，求双曲线C 的离心率．【答案】(1)y =(2)355 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中,,a b c 三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解. （2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】（1）∵点()4,0是双曲线C 的一个焦点，∴4c =，又∵222c a b =+且22a =，解得214b =，∴双曲线C 的方程为221214x y -=， ∴双曲线C 的渐近线方程为7y x =±；（2）设直线l 的方程为2y x =+且()11,Q x y ，联立2222,1,2y x x y b⎧=+⎪⎨-=⎪⎩,可得()222242420b x x b ----=， 则124222x b -+=-，∴2122222b x b +=-，即21122222b y x b =+=-， ∴()22222221122222228242223b b b PQ x y b b b ⎛⎫⎛⎫=++=+== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 解得245b =，即由222c a b =+可得2145c =， 故双曲线C 的离心率为1435552c e a ===． 20．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，6PA =，2AB =，π3ABC ∠=，1BC =，D ，E 分别是PC 上的三等分点，F 是PB 的中点．(1)证明：⊥AE 平面PBC ；(2)求平面ADF 与平面BDF 的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)55 【分析】（1）用余弦定理求出3AC =，从而得到222AB AC BC =+，CA CB ⊥，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明出线面垂直；（2）求出平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值.【详解】（1）证明：2AB =，1BC =，π3ABC ∠=， 根据余弦定理得22π12cos4122332AC AB BC AB BC =+-⋅=+-⨯⨯=， 所以222AB AC BC =+，所以CA CB ⊥， 以C 点为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，经过C 点垂直于CA ，CB 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()030A ，，，()100B ，，，()036P ，，，36033E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，23260,,33D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，136222F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，， 2360,,33AE ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,6CP =，()1,0,0CB =， 23636033AE CP ⋅=-⨯+⨯=，0AE CB ⋅=， CP CB C ⋂=，AE ∴⊥平面PBC ；（2）3260AD ⎛= ⎝⎭，，1362DF ⎛= ⎝⎭，226133BD ⎛=- ⎝⎭，，， 设平面ADF 的一个法向量为()n x y z =，，，由00AD n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以0102y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，令z =43x ，4y =，可得(234n =，， 设平面BDF 的一个法向量()m a b c =，，，由100200a DF m BD m a ⎧=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪-=⎪⎩，，，令1c =，得0a =，b = 可得()02m =-，，42cos 3m nm n m n-⋅∴===⋅⨯， 所以平面ADF 与平面BDF 21．在数列{}n a 中，11a =，且11221n n n a a n ++=++-．(1)证明：2nn a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)求{}n a 的前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析(2)()()112122n n n n S n ++=+-⋅-【分析】（1）利用构造法证明该数列为等差数列；（2） 利用错位相减法与分组求和法可得n S .【详解】（1）由11221n n n a a n ++=++-，得112221n n n a a n n ++=++++， 等式左右同除12n +，得111221n n n na n n a ++++=++， 故数列2n n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112a +=为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得()112nn a n n n +=+-=， 故2n n a n n =⋅-，设2n n b n =⋅，其前n 项和为n T ，则()231122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， 故()()2311121222222221212nn n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅-，即()1212n n T n +=+-⋅，故()121212n n n S n a a a b b b =+++=+++-+++()()112122n n n n ++=+-⋅-. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为6，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且以12B B 为直径的圆经过点(20)M ，． (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A B ，两点．试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠ 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22194x y += (2)存在定点9(,0)2P ；【分析】（1）根据题意确定,a b 的值，即可求得椭圆方程；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，联立方程可得根与系数的关系式，假设x 轴上存在定点P ，使PM 平分APB ∠，则可得0PA PB k k += ，结合根与系数的关系化简，求得参数的值，可得结论.【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为6，故=3a ， 椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且以12B B 为直径的圆经过点(20)M ，，则=2b ， 所以椭圆C 的方程是 22194x y +=； （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程22194x y +=联立， 消去x 得22(49)16200m y my ++-=，因为M 点在椭圆内，则必有0∆>，所以1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+， 假设x 轴上存在定点P ，使PM 平分APB ∠，则直线PA PB ，的倾斜角互补， 所以0PA PB k k += ，设(0)P t ， ，则有 12120y y x t x t+=-- ， 将11222,2x my x my =+=+代入上式，整理得1212122+(2)(+)0(+2)(+2)my y t y y my t my t ---=， 所以12122(2)()0my y t y y +-+=，将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式，整理得(29)0t m -+= ， 由于上式对任意实数m 都成立，所以92t = ， 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠ ．。
山西省高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离．
【详解】由题意 ，圆 最新直线 对称，那么 ， ，即l方程为 ，
所求距离为 ．
应选：D.
【点睛】此题考查两平行线间的距离，解题时需由圆最新直线对称，即直线过圆心求出参数m，再那么平行间距离公式计算．
中， 平面 ， ， ，鳌臑 的四个顶点都在同一个球上，那么该球的外表积是〔 〕
，且过点 的直线 交圆 于 ， 两点，那么直线 的一般式方程__________， __________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．
【详解】由题意直线l的方程为： ，即 ，
圆标准方程为： ，圆心为 ，半径为 ，
4.刘徽注?九章商功?曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.〞其中的“斛、斗、升〞都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗〞，“方斗〞的形状是一种上大下小的正四棱台〔两个底面都是正方形的四棱台〕,如果一个方斗的三视图如下图，那么其容积为〔 〕
〔2〕假设 ， ，求四棱锥 的体积.
【答案】〔1〕证明见解析〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕由 及 得 ， ，从而有 平面 ，于是可得面面垂直．
〔2〕取 的中点 ，连接 ，证明 平面 ，同时说明底面是正方形，即可求体积．
第二卷〔共90分〕
二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕
为圆心，且与圆 外切的圆的标准方程是__________.
山西省2020-2021学年高二上学期期末联合考试数学(理)试题
11．已知首项为2的正项数列 的前 项和为 ，且当 时， .若 恒成立，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
12．设双曲线M： 1（a＞0，b＞0）的上顶点为A，直线y 与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2 ）的距离不超过8 7a，则M的离心率的取值范围是（）
（1）计算 的值,猜想数列 的通项公式;
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
19．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 、 分别为 与 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
20．已知过点 的直线l与抛物线E： 交于点A，B．
若弦AB的中点为M，求直线l的方程；
设O为坐标原点， ，求 ．
复数的分子与分母同乘分母的共轭复数,化简复数为 的形式,即可求出复数的虚部,即可求得答案.
【详解】
复数 的虚部为:
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法,解题关键是掌握复数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型.
4．D
【解析】
【分析】
利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
2．设集合A＝{x|﹣1＜x＜1}， ，则A∩B＝（）
A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0≤x＜1}D．{x|0≤x≤1}
3．复数 的虚部是()
A． B． CLeabharlann D．4．已知双曲线C： 的一条渐近线的斜率为 ，焦距为10，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的图象大致为（ ）
16．在正方体 中, 分别为 的中点, 为侧面 的中心,则异面直线 与 所成角的余弦值为_____.
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！第I 卷 选择题 （60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）直线320x y --=的倾斜角为（ ） （A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒（2）经过()0,2A ，()10B ,两点的直线的方向向量为()1k ，，则k 的值是（ ）（A ）1-（B ）1 （C ）2- （D ）2（3）抛物线22x y =的焦点坐标为（ ） （A ）()1,0（B ）()0,1（C ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（D ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60（D ）72（5）已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） （A ）19（B ）17（C ）13（D ）7（6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元他们第一天只得到10元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） （A ）15天（B ）16天（C ）17天（D ）18天（7）圆C x y 221:9+=与圆222:(1)(2)36C x y -++=的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离（C ）内切 （D ）内含（8）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 （9）已知等差数列{}na 的前n 项和为n S ，110,a =公差 3.5,d =-n S 取得最大值时n 的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） （A ）111333OA OB OC ++（B ）111234OA OB OC ++ （C ）111244OA OB OC ++（D ）111446OA OB OC ++（11）已知2222:02x y C x y -+--=，直线:220l x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线,MA MB ，切点为,A B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB的方程为（ ）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）210x y --= （D ）2+10x y -=（12）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为PF F12∆的内心，若1212IPF IPF IF F SSSλ=+△△△成立，给出下列结论：①当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒②离心率152e +=③512λ-=④点I 的横坐标为定值a 上述结论正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ） ①③④ （D ）②③④第II 卷 （90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（13）已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z =，向量()4,2,1v =-与平面α垂直，则z =. （14）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = . （15）已知数列{}na 满足11a =，111+)nn a n N a *-=∈(，则4a =（16）已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.（17）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求点B 到直线1AC 的距离为________. （18）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，并且经过点(2,22)M -，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则p = ，线段AB 的长为（19）已知数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n = 时，n T 有最大值为.（20）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(,0)F c ，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为 .三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （21）（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()30A -,，()1,2B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,2P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长．（22）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．（23）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21,n n S S a a n N *==+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若13n n b -=，令11=n n n n n c a b a a +⋅+⋅，求数列{}n c 的前n 项和nT .（24）（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.参考答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 123456789101112A C DB B A D B AC BD 二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（双空题答对一空得3分，答对两空得5分） 13 14 151617 18 19 20 2 35321m m <->-或 632,8p AB ==5n =或6，15232768=53三. 解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则()2,1D -， 由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CDABkk⨯=-，得1CDk=-，………………2分所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =--，………………3分设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，其中(),0C a ，半径为r （0r >）， 由圆的性质，圆心(),0C a 在直线CD 上，化简得1a =-，………………5分所以圆心()1,0C -，2r CA ==，所以圆C 的标准方程为()2214x y ++=……6分 （Ⅱ）则直线l 的方程为324y x =+………………………8分 圆心()1,0C -到直线l 的距离为232-41314d ==+（）………………10分所以，22224123MN r d =-=-=………………12分（22）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F ………………1分(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则1111122200,2200x y z m PB y z m PC ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即 (3)分令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．………………4分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，则2222222200,2200x y z n PB x z n PA ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即，令2=1z ，则221,0x y ==，所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n =………………6分11cos ,222m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅………………7分∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．………………8分（III ）解：假设线段AP 上存在一点M ,设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(2202M λλ-，，），(2202DM λλ∴=-，，）,设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z = (2,0,0),(1,1,1)DA DF ==由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-……………9分DM 与平面ADF 所成角为30︒ DM ∴与t 所成角为60︒，222,(22)42cos 60cos DM t t M tDM D λλλ⋅>==⋅-+∴︒=<，解得12λ=，……11分 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，z点M 的坐标为101（，，）．...............12分 （23）（本小题满分13分）解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则由4224,21,n n S S a a n N *==+∈可得11114684,(21)22(1) 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩……………………2分 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此21()n a n n N *=-∈……………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)及1=3n n b - ，知11(21)3(21)(21)n n c n n n -=-⋅+-+………………………5分数列{}nc 的前n 项和为n T ，121111=13+33+53+(2131335(21)(21)n n T n n n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅+++⋅⋅⋅+⨯⨯-+）..7分则令0121133353(21)3,11111(1)1335(21)(21)22121n n A n n B n n n n T A B-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯-+++=+…………8分 ()01211231133353(21)3,3133353233(21)3n n n A n A n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ (9)分两式相减得1231212(3333)(21)32(33)21+(21)33(22)213n nn n nA n A n n --=+⨯+++⋅⋅⋅+--⋅--=--⋅=⋅---………………10分 所以()131nA n =-⋅+……………………12分综合知()13121nn nT A B n n =+=-⋅+++……………………13分 （24）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22431x y +=；………………3分(Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k k y k k k -+=+=++，所以2228612(,)4343k k D k k -+++，………………5分 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k k k k -++，………………6分 则3(0)4OP k k k =-≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k , 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OPEQ kk ⋅=-，即32()14n k km--⋅=-恒成立，所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.………………8分 （III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22431x y +=联立可得M 点的横坐标为22343x k =±+，………………9分由//OM l 可得：22249=343D AE A D A M M x x x x x x AD AEk OM x x k -+--++==+2216(43)22343k k =+++≥，………………11分当且仅当2264343k k +=+，即32k =±时取等号，………………12分 所以当32k =±时，AD AEOM +的最小值为22.………………13分。
2021年高二上学期期末考试 数学理 含答案
2021年高二上学期期末考试 数学理 含答案人：许桂期一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则∁R (A ∩B )等于 ( )．A ．(－∞，3)∪(5，＋∞)B ．(－∞，3)∪[5，＋∞)C ．(－∞，3]∪[5，＋∞)D ．(－∞，3]∪(5，＋∞)2．若，则下列结论不正确．．．的是 A ． B ． C ． D ．3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则 ( )A ． B. C. D.4. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1， S 3＝7，则S 5＝( )A.152B. 172C. 314D. 334 5. 已知如右程序框图，则输出的是( )A ．9B ．11C ．13D ．6．已知是三角形的一个内角，且，则方程表示( ) A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆C.焦点在轴上的双曲线D.焦点在轴上的双曲线7．方程|x |(x －1)－k ＝0有三个不相等的实根，则k 的取值范围是 （ )A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C. D . ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，08．对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数，例[2]=2； []=2；[]=, 这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有开始1S =结束3i =1000?S ≥i输出2i i =+*S S i=是否广泛的应用。
那么]64[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ 的值为( ) A ．21 B ．76C ．264D ．642二、填空题( 每小题5分，共30分)9．在△ABC 中∠A=60°，b=1，S △ABC =，则=________.10. 为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为，，，由此得到频率分布直方图如右上图，则这些学生的平均分为 .11. 已知，则不等式的解集是12. 设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_______.13. 设点为坐标原点，,且点坐标满足 ，则的最大值为 。
山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(理)试卷含答案
数学试题（理)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）1。
已知直线：03)2(3=+++y m mx ，2l :02)2()2(=+++-y m x m ，且21//l l，则m 的值为( ） A ．1- B ．21C ．21或2-D ．1-或2-2.若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部,则实数m 的取值范围是( ） A ．()1,1-B ．22⎛ ⎝⎭C ．(3,3)-D ．(2,23.圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2:x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是 ( )A ．内切B ．外离C ．内含D ．相交4。
已知a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下列说法正确的是( ） A ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面,则a ，c 异面 B ．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a,c 相交 C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等 D ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c5。
若圆锥轴截面是等边三角形且轴截面的面积为23,则体积为（ )A ．33π B ．63π C ．233πD ．263π6.已知圆C ：()()22118x y +++=与直线l 切于点()1,1P ，则直线l 的方程是（ )A ．0x y -=B ．210x y --=C ．20x y +-=D ．20x y ++=7.圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8.直线1y kx =+与圆2210x y kx y ++--=的两个交点恰好关于y 轴对称，则k等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39..某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( ）A.1 B 。
山西省怀仁市2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
山西省怀仁市2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）考试时间120分钟，满分150分一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分y ＋1＝0的倾斜角为° ° ° °，n 是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是⊂⊥α，m ⊥n ，则nm ⊥α，n 点A1，－1与B －1，1且圆心在直线＋y －2＝0上的圆的方程为A －32＋y ＋12＝4B －12＋y －12＝4C ＋32＋y －12＝4D ＋12＋y ＋12＝44如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为A12B 4C 2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为1：a ＋3y ＋3＝0和直线l 2：＋a －2y ＋1＝0平行，则实数a 的值为B －1 C32或－1 ，y 满足约束条件x y 1x y 12x y 2+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数＝－a ＋y 仅在点1，0处取得最小值，则实数a 的取值范围是A －∞，2B －1，1C －1，2D －1，∞8如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，点26237222104π153353π4π32π34π32π2π32π4π2π＋ny ＝m ＋n 上的投影为点M ，若点N3，3那么|MN|的最小值为 。
－A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点，则下列结论中，正确结论的序号是把所有正确结论序号都填上。
①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；②B 1D 11222本大题10分如图，在四棱锥22333AB，圆C ：2y 22﹣4y 3＝0的标准方程为（1）2（y ﹣2）2＝2， 若直线l 与圆C 相切，，|1﹣m |＝2，得m ＝﹣1或者3，所以直线l 的方程为y 1＝0，或者y ﹣3＝0；4分 综上：或y 1＝0或y ﹣3＝06分（2）根据题意，由于，所以直线﹣y ﹣5＝0与圆C 相离，所求最小的圆心一定在过圆C 的圆心（﹣1，2）的直线y ＝﹣1上，且到直线﹣y ﹣5＝0的距离为8分 设最小的圆心为（a ，1﹣a ），所以，|2a ﹣6|＝3，得，或者，根据题意，10分所以最小的圆的方程为12分20（本大题12分）（1）圆C：，圆心为，半径r＝4，∵直线l被圆C截得的线段长为∴圆心C到直线l的距离d＝＝2 2分若直线l斜率不存在，则直线方程为＝0，此时圆心到直线l的距离为2，符合题意4分若直线l斜率存在，设斜率为，则直线l的方程为y＝5，即﹣y5＝0∴，解得＝，∴直线l的方程为y＝5，即3－4y＋20＝0综上，直线l的方程为＝0或3－4y＋20＝0． 6 分（2）设所求轨迹上任意一点为M（，y），则CM＝（≠﹣2），PM＝（≠0），∴•，整理得2y22﹣11y30＝0 10分经验证当＝﹣2时，弦的中点为（﹣2，5）或（﹣2，6），符合上式，当＝0时，弦的中点为（0，6），符合上式∴过P点的圆C弦的中点的轨迹方程为2y22﹣11y30＝0 12 分21（本大题12分）解：（1）连接，因为C，D是半圆的两个三等分点，所以，又，所以均为等边三角形所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE因为EA，FC都是圆柱的母线，所以EA因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE又平面，所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE4分（2）连接AC，因为FC是圆柱的母线，所以圆柱的底面，所以即为直线AF与平面ACB所成的角，即因为AB为圆的直径，所以，在，所以，所以在因为，又因为，所以平面FBC，又平面FBC，所以在内，作于点H，，所以平面ACH，又平面ACH，所以，所以就是二面角的平面角在，在，所以，所以，所以二面角的余弦值为12分22（本大题12分）（1）以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系如图所示．则，，．设的重心为，则点坐标为，设点坐标为，则点关于轴对称点为，因为直线方程为，所以点关于的对称点为，根据光线反射原理，，均在所在直线上，即，解得或．当时，点与点重合，故舍去．所以6分（2）由（1）得为，又，所以直线的方程为；令中，所以所以直线的方程为；联立直线和的方程得，所以直线的方程为D（，y）是RPQ内（不含边界）任意一点，所以，y所满足的不等式组为直线和直线平行，所以它们之间的距离为；（，y）到直线24y1＝0距离的取值范围为12分。
2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理
2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．双曲线2228x y -=的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．423．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．16B ．13C ．23D ．14．已知函数xxe x f =)(的导函数为)(x f '，则0)(>'x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞ B ．),0(+∞ C ．),1(+∞-D ．)0,(-∞5．函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是( )6．直线01=-+y ax 平分圆0134222=-+-+y x y x 的面积，则a =（ ）A ．1B ．3C ．3D ．27．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=8．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在)1(∞+-，上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[)+∞-,1 B ．()+∞-,1C ．(]1,-∞-D ．()1,-∞-9．如图，已知直线与抛物线)0(22>=p px y 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB,OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标（4，2），则p=( )。
A ．3 B ．45C ．52D ．410．函数的1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．163->a B ．16356-≤≤-a C ．56->aD ．16356-<<-a 11．已知椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21F F 、，P 为椭圆上的一点2PF 与椭圆交于Q 。
2020-2021学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(理科) (解析版)
2020-2021学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．命题“若x＝3，则|x|＝3”的否命题是（）A．若x＝3，则|x|≠3B．若x＝﹣3，则|x|＝3C．若x≠3，则|x|≠3D．若|x|≠3，则x≠32．已知抛物线y2＝2px的焦点为F（1，0），则p＝（）A．4B．2C．1D．3．已知空间两点A（0，1，1），B（1，﹣2，1），则线段AB的中点坐标是（）A．B．C．D．4．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件5．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．6．已知平面α的一个法向量为，A∈α，且，则下列结论正确的是（）A．AB∥αB．AB⊥α，垂足为AC．AB∩α＝A，但不垂直D．AB⊂α7．已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0的否定是真命题，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知＝（1﹣t，1，0），＝（2，t，t），则|﹣|的最小值是（）A．1B．C．D．9．从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点F1，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点．若OP∥AB（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．设正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为a，AC'与BD'相交于点O，则（）A．B．C．D．11．已知曲线E：x2+y2cosα＝1（α∈[0，π]），则下列描述正确的是（）①当时，曲线E表示双曲线，焦点在x轴上；②当时，曲线E表示以原点为圆心，半径为1的圆；③当时，曲线E围成图形的面积的最小值为π．A．①②B．①③C．②③D．①②③12．已知A（2，0，1），B（2，2，1），C（0，0，2）M（2，λ，2），（λ＞0），那么点M到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．命题“存在实数x0，使得2大于3”用符号语言可表示为．14．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为．15．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M 为FN的中点，则|FN|＝．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ACB为等腰直角三角形，PA＝AC＝BC＝2，点D在PC上，且CD：DP＝1：2，则PB与平面ABD所成角的正弦值为．三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知命题p：|2x﹣1|≤1；q：a﹣1≤x≤2a（a＞0）．（1）若a＝1，写出命题“若p，则q”的逆否命题，并判断真假；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，点M为△ABC 的重心，AM的延长线交BC于点N，连接A1M．设＝，＝，＝．（1）用，，表；（2）证明：A1M⊥AB．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，与抛物线C 交于A、B两点，且|AB|＝8．（1）求抛物线C的方程；（2）若点P（1，y）（y＞0）在抛物线C上，证明点P关于直线y＝x﹣7的对称点Q也在抛物线C上．（本小题10分）说明：请考生在20，21两个小题中任选一题作答．20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．（1）设点M为SC的中点，求异面直线AM，CD所成角的余弦值；（2）求二面角D﹣SC﹣B的大小．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，设点M为SC的中点．（1）若四棱锥S﹣ABCD的体积为2，求异面直线AM，CD所成角的余弦值；（2）若二面角A﹣DM﹣C的余弦值为，求AD的长．（本小题10分）说明：请考生在22，23两个小题中任选一题作答．22．已知圆O：x2+y2＝4，点P为圆O上的动点，DP⊥x轴，垂足为D，若，设点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设直线l：y＝x+2与曲线E交于A，B两点，点N为曲线上不同于A，B的一点，求△NAB面积的最大值．23．已知圆O：x2+y2＝4，点P为圆O上的动点，DP⊥x轴，垂足为D，若，设点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线与曲线E交于A，B两点，N为曲线E上任意一点，且，证明：λ2+μ2为定值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．命题“若x＝3，则|x|＝3”的否命题是（）A．若x＝3，则|x|≠3B．若x＝﹣3，则|x|＝3C．若x≠3，则|x|≠3D．若|x|≠3，则x≠3解：同时否定条件和结论得到命题的否命题为：若x≠3，则|x|≠3，故选：C．2．已知抛物线y2＝2px的焦点为F（1，0），则p＝（）A．4B．2C．1D．解：抛物线y2＝2px的焦点为F（1，0），可得＝1．解得p＝2，故选：B．3．已知空间两点A（0，1，1），B（1，﹣2，1），则线段AB的中点坐标是（）A．B．C．D．解：空间直角坐标系中，点A（0，1，1），B＝（1，﹣2，1）；所以线段AB的中点坐标是（，，），即（，﹣，1）．故选：A．4．设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．5．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，所以＝，解得e＝＝．故选：D．6．已知平面α的一个法向量为，A∈α，且，则下列结论正确的是（）A．AB∥αB．AB⊥α，垂足为AC．AB∩α＝A，但不垂直D．AB⊂α解：因为，，所以•＝﹣4+0+4＝0，所以⊥；又A∈α，所以B∈α，所以AB⊂α．故选：D．7．已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0的否定是真命题，那么实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解：若命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0为真命题，①当a＝0时，则有2x+3＞0，不符合题意；②当a＜0时，开口向下，不符合题意；③当a＞0时，△＝22﹣4•a•3＜0，解得．综上可得，，故命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0的否定是真命题，实数a的取值范围是．故选：C．8．已知＝（1﹣t，1，0），＝（2，t，t），则|﹣|的最小值是（）A．1B．C．D．解：∵＝（1﹣t，1，0），＝（2，t，t），∴＝（1+t，t﹣1，t），∴||＝＝，∴当t＝0时，|﹣|取最小值．故选：B．9．从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点F1，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点．若OP∥AB（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：由已知可设点P的坐标为（﹣c，y），代入椭圆方程可得y＝，不妨设点P在x轴上方，则点P的坐标为（﹣c，），又由已知可得A（a，0），B（0，b），因为AB∥OP，所以k AB＝k OP，即﹣，解得b＝c，所以a＝c，则椭圆的离心率为e＝，故选：C．10．设正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为a，AC'与BD'相交于点O，则（）A．B．C．D．解：正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，棱长为a，AC'与BD'相交于点O，对于A，•＝•（+）＝+•＝a2，所以A错误；对于B，•＝•（+）＝•+•＝a2+0＝a2，所以B错误；对于C，•＝•（）＝•＝a2，所以C正确；对于D，•＝•（﹣）＝•﹣＝﹣a2，所以D错误．故选：C．11．已知曲线E：x2+y2cosα＝1（α∈[0，π]），则下列描述正确的是（）①当时，曲线E表示双曲线，焦点在x轴上；②当时，曲线E表示以原点为圆心，半径为1的圆；③当时，曲线E围成图形的面积的最小值为π．A．①②B．①③C．②③D．①②③解：曲线E：x2+y2cosα＝1（α∈[0，π]），①当时，曲线E化为：x2﹣y2|cosα|＝1表示双曲线，焦点在x轴上；所以①正确；②当时，曲线E化为x2＝1表示两条平行直线，不是以原点为圆心，半径为1的圆；所以②不正确；③当时，曲线E化为x2+y2|cosα|＝1，围成图形的面积为：π，它的最小值为π．所以③正确．故选：B．12．已知A（2，0，1），B（2，2，1），C（0，0，2）M（2，λ，2），（λ＞0），那么点M到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．解：因为A（2，0，1），B（2，2，1），C（0，0，2）M（2，λ，2）（λ＞0），所以，设平面ABC的法向量为，则有，即，令x＝1，则y＝0，z＝2，所以，所以点M到平面ABC的距离为．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13．命题“存在实数x0，使得2大于3”用符号语言可表示为∃x0∈R，．解：命题“存在实数x0，使得2大于3”，用符号语言可表示为：∃x0∈R，2＞3．故答案为：∃x0∈R，2＞3．14．已知双曲线的离心率为，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为．解：椭圆的焦点为（﹣2，0）和（2，0），可设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），由题意可得c＝2，即a2+b2＝4，又e＝＝，解得a＝，b＝，则双曲线的标准方程为．故答案是：．15．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M 为FN的中点，则|FN|＝3．解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：，则|FM|＝+1＝1，|FN|＝2|FM|＝2×1＝3．故答案为：3．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ACB为等腰直角三角形，PA＝AC＝BC＝2，点D在PC上，且CD：DP＝1：2，则PB与平面ABD所成角的正弦值为．解：如图建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（2，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0），∵CD：DP＝1：2，∴＝（﹣，0，﹣），设面ABD的法向量为，＝（﹣2，0，0）+（，0，）＝（﹣，0，），，，由可得＝（1，1，2），cos，＞＝，则PB与平面ABD所成角的正弦值为，故答案为：．三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知命题p：|2x﹣1|≤1；q：a﹣1≤x≤2a（a＞0）．（1）若a＝1，写出命题“若p，则q”的逆否命题，并判断真假；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，q：0≤x≤2，逆否命题为：若x＜0或x＞2，则|2x﹣1|＞1．它是一个真命题．（2）命题p：|2x﹣1|≤1，即0≤x≤1，因为p是q的充分不必要条件，所以集合{x|0≤x≤1}是集合{x|a﹣1≤x≤2a}的真子集，所以{，且等号不能同时取到，解得，所以实数a的取值范围为．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，点M为△ABC 的重心，AM的延长线交BC于点N，连接A1M．设＝，＝，＝．（1）用，，表；（2）证明：A1M⊥AB．解：（1）因为△ABC为正三角形，点H为△ABC的重心，所以N为BC的中点，所以，，所以．（2）设三棱柱的棱长为m，则，所以A1M⊥AB．19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，与抛物线C 交于A、B两点，且|AB|＝8．（1）求抛物线C的方程；（2）若点P（1，y）（y＞0）在抛物线C上，证明点P关于直线y＝x﹣7的对称点Q也在抛物线C上．解：（1）由已知，设直线l为：，代入y2＝2px，得．显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝3p，则由抛物线的定义，得|AB|＝x1+x1+p＝4p＝8，解得p＝2，则有抛物线C的方程为y2＝4x；证明：（2）∵P（1，y）（y＞0）在抛物线C上，∴P（1，2）．设点P关于直线y＝x﹣7的对称点的坐标为Q（x1，y1）则，解得，∵（﹣6）2＝4×9，∴点Q在抛物线C上．（本小题10分）说明：请考生在20，21两个小题中任选一题作答．20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．（1）设点M为SC的中点，求异面直线AM，CD所成角的余弦值；（2）求二面角D﹣SC﹣B的大小．解：（1）由已知AS⊥AB，AS⊥AD，AB⊥AD，如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz．则B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（1，1，1），则，，则，所以异面直线AM，CD所成角的余弦值为．（2）设平面DCS的一个法向量为，由，，得，可取；设平面BCS的一个法向量为，由，，得，可取，则，所以二面角D﹣SC﹣B的大小为90°．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，设点M为SC的中点．（1）若四棱锥S﹣ABCD的体积为2，求异面直线AM，CD所成角的余弦值；（2）若二面角A﹣DM﹣C的余弦值为，求AD的长．解：（1）由已知AS⊥AB，AS⊥AD，AB⊥AD，如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz．则B（0，2，0），C（2，2，0），S（0，0，2），M（1，1，1），又，得AD＝1，则D（1，0，0），则，，则，所以异面直线AM，CD所成角的余弦值为．（2）设D（a，0，0），平面ADM的一个法向量为，由，，得，可取；设平面CDM即平面DSC一个法向量为，由，得，可取．则有，解得a＝1．所以AD＝1．（本小题10分）说明：请考生在22，23两个小题中任选一题作答．22．已知圆O：x2+y2＝4，点P为圆O上的动点，DP⊥x轴，垂足为D，若，设点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）设直线l：y＝x+2与曲线E交于A，B两点，点N为曲线上不同于A，B的一点，求△NAB面积的最大值．解：（1）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x＝x0，．所以有x0＝x，，因为点P在圆上，所以．则有，即，所以曲线E的方程为．（2）由，有13x2+16x﹣20＝0，显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，则有|AB|＝，设与直线l平行的直线l1：y＝x+m与曲线E相切，则由，有13x2+8mx+4m2﹣36＝0，由△＝0解得舍去）则直线l，l1之间的距离，所以△NAB面积的最大值为．23．已知圆O：x2+y2＝4，点P为圆O上的动点，DP⊥x轴，垂足为D，若，设点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线与曲线E交于A，B两点，N为曲线E上任意一点，且，证明：λ2+μ2为定值．解：（1）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则有x＝x0，，所以有x0＝x，因为点P在圆上，所以．则有，即，所以曲线E的方程为．（2）由，有，显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设N（x，y），则，又点N在曲线E上，则，又＝＝，，则36λ2+36μ2＝36，所以λ2+μ2＝1为定值．。
2021-2022学年山西省怀仁市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年山西省怀仁市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．直线330x y ++=的倾斜角是（ ） A ．30 B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】D【分析】将直线方程转化为斜截式，再根据直线的斜率求出倾斜角；【详解】解：因为330x y ++=，所以333y x =--，则直线的斜率33k =-，设倾斜角为α，则3tan 3α=-，因为[)0,απ∈，所以56πα= 故选：D2．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．2【答案】C【解析】分析出12F AF 为等边三角形，可得出2a c =，进而可得出关于m 的等式，即可解得m 的值.【详解】在椭圆()2222101x y m m m +=>+中，21a m =+，b m =，221c a b =-=，如下图所示：因为椭圆()2222101x y m m m+=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，所以12AF AF a ==， 123F AF π∠=，12F AF ∴△为等边三角形，则112AF F F =2122m a c +==，因此，3m . 故选：C.3．若两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为A ．105B ．2105C ．51026D ．71020【答案】D【分析】根据两直线平行求得m 的值，利用平行线间距离公式求解即可 【详解】330x y +-=与610x my ++=平行,∴63m =,即2m =∴直线为6210x y ++=,即1302x y ++= 2217371022201031d --∴===+故选D【点睛】本题考查求平行线间距离. 当直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=平行时,1221A B A B =；平行线间距离公式为1222C C d A B-=+，因此两平行直线需满足12A A A ==,12B B B ==4．函数()f x 的导函数为()f x '，若已知()f x '图象如图，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 存在极大值点B ．()f x 在()0,∞+单调递增C ．()f x 一定有最小值D ．不等式()0f x <一定有解【答案】C【解析】根据图象可得()f x '的符号，从而可得()f x 的单调区间，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案.【详解】由所给()f x '的图象，可得当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>， 当01x <<时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>，可得()f x 在(),1-∞-递减，()1,0-递增；在()0,1递减，在()1,+∞递增，B 错误， 且知()()110f f ''-==，所以()f x 存在极小值()1f -和()1f ，无极大值，A 错误，同时无论()0f 是否存在，可得出()f x 一定有最小值，但是最小值不一定为负数，故C 正确，D 错误. 故选：C .5．设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据等比数列通项公式分别讨论充分性与必要性即可得答案.【详解】解：设公比为q ，若2212a a <，则22121a a q <，即21q >，则有1q >或1q <-，所以当1q <-时，数列为摆动数列，故充分性不成立；若数列{}n a 为递增数列，则12a a <，由于10a >，∴2212a a <，故必要性成立.所以“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的必要而不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件，等比数列的单调性，是中档题. 6．已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，点A 在抛物线C 上，且2AF =，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，则PA PO +的最小值为（ ）.A B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出A 点坐标，做出O 关于准线的对称点M ，利用连点之间相对最短得出||AM 为||||PA PO +的最小值．【详解】解：抛物线的准线方程为1y =-，||2AF =，A ∴到准线的距离为2，故A 点纵坐标为1，把1y =代入抛物线方程可得2x =±． 不妨设A 在第一象限，则(2,1)A ，点O 关于准线1y =-的对称点为(0,2)M -，连接AM ， 则||||PO PM =，于是||||||||||PA PO PA PM AM +=+故||||PA PO +的最小值为||AM 故选：A ．【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，属于基础题．7．已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=．若对任意的*n N ∈，都有5n b b 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[6-，5]- B ．()6,5--C ．[5-，4]-D ．()5,4--【答案】D【分析】由等差数列通项公式得1n a n a =+-，再结合题意得数列{}n a 单调递增，且满足50a <，60a >，即56510610a a a a =+-<⎧⎨=+->⎩，再解不等式即可得答案.【详解】解：根据题意：数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列， 所以1n a n a =+-， 由于数列{}n b 满足111n n n na b a a +==+， 所以511na a 对任意的n N ∈都成立， 故数列{}n a 单调递增，且满足50a <，60a >，所以56510610a a a a =+-<⎧⎨=+->⎩，解得54a -<<-． 故选：D ．8．设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使 1||OP OF =（O 为坐标原点），且123PF ，则双曲线的离心率为（ ） A 31-B 31 C 31+ D 31【答案】D【解析】由题意可知12OF OF OP ==，可得1290F PF ∠=︒，设2PF t =，则13PF t =，进而利用双曲线定义可用t 表示出a ，根据勾股定理求得t 和c 的关系，从而可求出双曲线的离心率【详解】解：因为12OF OF OP ==，所以1290F PF ∠=︒， 设2PF t =，则13PF t =，因为122PF PF a +=，所以可得32t ta -=，因为2221212PF PF F F +=，所以22234t t c +=，则t c =， 所以3132c te at t===+-， 故选：D【点睛】此题考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和运用，属于基础题9．过点P (-1，1)作圆C ：224210x y x y +-++=的两条切线，切点分别为点A 、B ，则四边形ACBP 的面积为（ ） A ．213 B ．6 C ．313 D ．3【答案】B【解析】先由圆的一般方程求得圆的圆心和半径，在利用切线的性质和三角形的面积公式计算得出选项.【详解】因为圆C ：224210x y x y +-++=，所以圆C 的标准方程为()()22214x y -++=，则圆心()21C -，，半径2r =， 四边形ACBP 的面积可以看作APC △与PBC 的面积的和，且APC △与PBC 全等，所以四边形ACBP 的面积1122232 6 , 22ACBP APCS S AP AC ==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=故选：B.10．在公比为为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A ．4q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5120S = D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥【答案】D【分析】根据等比数列的通项公式、前n 项和公式的基本量运算，即可得到答案； 【详解】41111,27a a q a q ==⋅⋅，3273q q ∴=⇒=，故A 错误；()13131132n nn S -==--，∴132322n n S +=⋅+，显然数列{}2n S +不是等比数列，故B 错误；()551311212S =⋅-=，故C 错误；13-=nn a ，∴2lg 2(1)lg 3n a n =-⋅()22lg lg 3n n a a n -+=+≥，故D 成立；故选：D11．已知函数()2f x x bx =+的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2021S 的值为（ ） A ．20212022B ．20202021C ．20192020D ．20182019【答案】A【分析】函数的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，利用导函数的几何含义可以求出1b =，转化求解数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，进而由数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可．【详解】解：∵函数()2f x x bx =+的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，由()2f x x bx =+求导得：()2f x x b '=+，由导函数得几何含义得：()123f b '=+=，可得1b =，∴()2f x x x =+，所以()()1f n n n =+，∴数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项为()()111111f n n n n n ==-++， 所以数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项的和即为n S ，则利用裂项相消法可以得到：11111122334n S =-+-+- 111111n n n ++-=-++所以数列的前2021项的和为：202112021120222022S =-=. 故选：A.12．数列{}n a 中，满足,21,2n k n n k a a n k=-⎧=⎨=⎩，*k N ∈，设()123212n n f n a a a a a -=+++++，则()()20182017f f -=（ ） A ．20172 B ．20182C ．20174D ．20184【答案】C【分析】由递推公式可归纳得()()114n f n f n ---=，由此可以求出()()20182017f f -的值．【详解】因为,21,2n kn n k a a n k =-⎧=⎨=⎩，()123212n n f n a a a a a -=+++++，所以()()()()3121423421314a a a a f f a a a a -=+-+==+++=+，()()256783253714a f a a f a ++-=+=+++=， ()()39101643951131371514a a f f a -=+=++++++++=+，()()114n f n f n -∴--=．因此()()2017201820174f f -=．故选C ．【点睛】本题主要考查利用数列的递推式求值和归纳推理思想的应用，意在考查学生合情推理的意识和数学建模能力． 二、填空题13．已知函数()sin cos f x x x x x =++，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】10x y -+=【分析】先求函数的导数，再利用导数的几何意义求函数在()y f x =处的切线方程. 【详解】()01f =，()cos 1f x x x '=+，()01f '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()110y x -=⨯-， 即10x y -+=.故答案为：10x y -+=【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.14．设点()2,0A -和()0,3B ，在直线l ：10x y -+=上找一点P ，使PA PB +取到最小值，则这个最小值为__________ 【答案】17【解析】求出点B 关于直线l ：10x y -+=的对称点为C ，连结AC ，则AC 交直线l 于点P ，点P 即为所求的点，此时PA PB PA PC +=+，()min PA PB AC +=. 【详解】解：设点B 关于直线l ：10x y -+=的对称点为(),C m n线段BC 的中点3,22m n +⎛⎫⎪⎝⎭在10x y -+=上则31022m n +-+=()1 又1l BC k k ⋅=-，311n m-⨯=-()2解()()12得，()2,1;2,1m n C == ()2222117AC ++=17【点睛】本题考查线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用， 属于中档题.15．已知点P 为椭圆2211612x y +=上的动点，EF 为圆221:()1x y N +-=的任意一条直径，则PE PF ⋅的最大值是__________． 【答案】19【分析】设点(),P x y ，则224163x y =-且y -≤()213193PE PF y =-++⋅，再利用二次函数的基本性质即可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】解：圆221:()1x y N +-=的圆心为()0,1N ，半径长为1， 设点(),P x y ，由点P 为椭圆2211612x y +=上的动点，可得：224163x y =-且y -≤由EF 为圆221:()1x y N +-=的任意一条直径可得：PE PN NE =+，PF PN NF PN NE =+=-，()()()222211PN NE PN NE PN x P N y E P E F ∴=+⋅-=-=+--⋅， ()222241116211216319333y y y y y y =-+-+-=--+=-++，(y -≤≤， ∴当3y =-时，PE PF ⋅取得最大值，即()max19PE PF⋅=.故答案为：19.16．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()02f =，则使得()20xf x e -<成立的x 的取值范围是_________.【答案】(0,)+∞ 【分析】构造函数()()xf x F x e =利用导数研究单调性，即可得到答案； 【详解】()()202x x f x f x e e -<⇔<，令()()x f x F x e=， ∴()2()()()()()0x xxx f x e f x e f x f x F x e e '''-⋅-==<，()F x ∴单调递减，且(0)2F =， ()(0)0F x F x ∴<⇔>，∴x 的取值范围是(0,)+∞，故答案为：(0,)+∞ 三、解答题17．（1）若21()ln 2f x x m x =-+在[)1,+∞是减函数，求实数m 的取值范围；（2）已知函数3211()(1)1(1)32f x ax a x x a =-+++≥在R 上无极值点，求a 的值.【答案】（1）(],1-∞；（2）1【分析】（1）将问题转化为2m x ≤在[)1,+∞内恒成立，求出2y x 的最小值，即可得到答案；（2）对函数求导得()()211f x ax a x '=-++，由()0f x '≥，即可得到答案；【详解】（1）依题意知，()0mf x x x'=-+≤在[)1,+∞内恒成立， 所以2m x ≤在[)1,+∞内恒成立，所以()2minm x ≤，因为21,x y x ≥=的最小值为1，所以1m ，所以实数m 的取值范围是(],1-∞.（2）()()211,1f x ax a x a '=-++>，依题意有()0f x '≥，即0≤，()2140a a +-≤，解得1a =.18．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，且()*11,n n na S n n n N +=++∈.(1)证明，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(2)若数列{}n b 满足()112n n n b a -=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】(1)证明见解析(2)1(1)22n n T n +=-+【分析】（1）根据n a 与n S 的关系，求得111n nS S n n+-=+，即可得到答案； （2）求出2nn b n =⨯，再利用错位相减求和，即可得到答案；(1)∵()*11,n n na S n n n N +=++∈，∴1()(1)n n n n S S S n n +-=++，整理得()11(1)n n nS n S n n +=+++， 两边同时除以()1n n +得，111n nS S n n +-=+，首项111S =， ∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列； (2) 由（1）得1(1)1nS n n n=+-⨯=，即2n S n =， 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，11a =也满足上式，∴数列{}n a 的通项公式为1121,(1)2222n n n n n n a n b a n n --⋅⨯=+==⨯=-，令数列{}n b 的前n 项和为n T ﹐ 则1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯…①，两边同时乘以2，得234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯②，①━②得：23112(12)22222212n n n n n T n n ++--=++++-⨯=-⨯-∴1(1)22n n T n +=-+.19．已知圆22:2430C x y x y ++-+=．（1）若直线l 与圆C 相切，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）求与圆C 和直线50x y --=都相切的最小圆的方程．【答案】（1）(2y x =或x +y +1＝0或x +y ﹣3＝0；（2）22319()()222x y -++=【解析】（1）设直线的方程为x +y ＝k ，直线l 与圆C 相切，d ==|1﹣k |＝2，得k ＝﹣1或者3；（2）根据与圆C 和直线x ﹣y ﹣5＝0都相切的最小圆在圆C 到直线x ﹣y ﹣5＝0的直线上，求出半径和圆心，即可求出答案．【详解】解：（1）当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx .d =2k =±所以(2y x =，设直线的方程为x +y ＝k ，圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +3＝0的标准方程为（x +1）2+（y ﹣2）2＝2，若直线l 与圆C 相切，d ==|1﹣k |＝2，得k ＝﹣1或者3，所以直线l 的方程为x +y +1＝0，或者x +y ﹣3＝0；综上：(2y x =或x +y +1＝0或x +y ﹣3＝0.（2）根据题意，由于5d ==，所以直线x ﹣y ﹣5＝0与圆C 相离，所求最小的圆心一定在过圆C 的圆心（﹣1，2）的直线y ＝﹣x +1上，且到直线x ﹣y ﹣5＝0的距离为2，设最小的圆心为（a ，1﹣a ），所以d ===，|2a ﹣6|＝3，得92a =，或者32a =，根据题意32a =， 所以最小的圆的方程为22319()()222x y -++=．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相切及最值问题，考查转化能力与计算能力，属于中档题.20．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ； （2）求二面角B EF D --的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 6存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）23；（3）存在，23或2.【解析】（1）由平面EDCF ⊥平面ABCD ，可得ED ⊥平面ABCD ，取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，求平面ABE 的法向量和DF ，证明DF m ⊥即可.（2）求平面BEF 的法向量和平面DEF 的法向量，由二面角的向量公式计算即可得到答案.（3）假设在线段BE 上存在点P ，根据BP BE λ=可用λ表示出点P 坐标，求出平面BEF 的法向量和AP 的坐标，利用线面角的向量公式计算即可得到答案. 【详解】（1）证明：四边形EDCF 为矩形，DE CD ∴⊥， 又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD .取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,2)E ，(1,2,2)F -，设平面ABE的法向量(,,)m x y z=，(1,2,2)BE=--，(0,2,0)AB =，由22020m BE x y zm AB y⎧⋅=--+=⎨⋅==⎩，取1z=，得(2,0,1)m =，又(1,2,2)DF=-，∴0DF m =，∴DF m⊥，又DF⊂/平面ABE，//DF∴平面ABE；（2）(0,0,0)D，(0,0,2)DE =，(1,2,2)DF=-，(1,2,2)BE=--，(2,0,2)BF=-，设平面BEF的法向量(,,)n a b c=，则220220n BE a b cn BF a c⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩，取1a=，得1(1,,1)2n =，设平面DEF的法向量(,,)p m n t=，则20220p DE tp DF m n t⎧⋅==⎨⋅=-++=⎩，取1n=，得(2,1,0)p =，设二面角B EF D--的平面角为θ，则5||2cos||||954n pn pθ⋅===⋅∴二面角B EF D--的正弦值2sin3θ.（3）假设在线段BE上存在点P，使得直线AP与平面BEF设1,11(,)y zP x，BP BEλ=，则1(1x-，12y-，1)(1zλ=-，2-，2)，解得11xλ=-，122yλ=-，12z λ=，(1Pλ∴-，22λ-，2)λ，平面BEF的法向量(1n=，12，1)，(APλ=-，22λ-，2)λ，直线AP与平面BEF∴||||||9n APn AP⋅=⋅，解得29λ=或23λ=，3BE=，23BP∴=或2BP=.【点睛】本题考查利用空间向量证明线面平行，利用空间向量求二面角的平面角和线面角，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(c,0)F ，右顶点为A ，点P 是椭圆上异于点A 的任意一点，APF 23b . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34-的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为Q ，圆B 同时与x 轴和直线l 相切，圆心B 在直线4x =-上，且//OB AQ ，求椭圆C 的方程.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.【解析】（1）当APF 的面积最大时，点P 位于椭圆的上或下顶点，列式计算椭圆的离心率；（2）根据题意写出直线方程3()4y x c =--，与椭圆方程2222143x y c c+=联立，求得点Q 的坐标，设()4,B m -，根据//OB AQ ，求解m 的值，再利用圆B 同时与x 轴和直线l 相切，求c ，得到椭圆方程.【详解】（1）当点P 位于椭圆的上或下顶点时，APF 的面积最大， 此时有213()2APFb S b ac =-△3()b a c =-，222b a c =-，2223()a c a c ∴-=-，即22320a ac c -+=得2a c =或a c =（舍)，∴离心率12c e a ==. 故椭圆C 的离心率为12.（2）由题可知，直线l 的方程为3()4y x c =--，椭圆的方程为2222143x y c c+=，联立22223()4143y x c x y c c ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2276130x cx c --=， 解得x c =-或137c ，当x c =-时，32y c =； 当137x c =时，9014c y =-<，∴点Q 的坐标为3(,)2c c -.点B 在直线4x =-上，∴可设点B 为(4,)m -，又//OB AQ ，(,0)A a ，OB AQ k k ∴=即33122422c c m c a c c -===-----， 2m ∴=，点(4,2)B -.圆B 同时与x 轴和直线l 相切，2d ∴=即23|(4)2|4231()4c ----=+-，解得24c =， 故椭圆C 的方程为2211612x y +=.【点睛】本题考查直线方程，圆，直线与圆锥曲线的位置关系，以及椭圆的性质，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于中档题型. 22．设函数21()ln ,(),xef x ax a xg x x e =--=-其中, 2.71828a R e ∈=为自然对数的底数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，证明：函数()g x 无零点；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间()1+∞，内恒成立. 【答案】（1）0a ≤时，函数单调递减；0a >时，函数在2a ⎛ ⎝⎭上单调递减，在2a ⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增；（2）证明见解析；（3）12a ≥【解析】（1）求导得到221'()ax f x x-=，讨论0a ≤和0a >两种情况，计算得到答案.（2）1()0x eg x x e=-=，即0x e ex -=，设()x h x e ex =-，证明()()10h x h >=，得到证明. （3）讨论0a ≤，102a <<，12a ≥三种情况，计算()()()2211'0x x x F x x-+->>，得到函数单调性，得到答案.【详解】（1）2()ln f x ax a x =--，则2121'()2ax f x ax x x-=-=，当0a ≤时，'()0f x <恒成立，函数单调递减；当0a >时，取()221'0ax f x x -==，0x >，解得x =()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增.综上所述：0a ≤时，函数单调递减；0a >时，函数在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增. （2）1()0x eg x x e=-=，即0x e ex -=，设()x h x e ex =-， 则()'0xh x e e =->在()1+∞，上恒成立，故()()10h x h >=恒成立，故0x e ex -=无解. 即1x >时，函数()g x 无零点.（3）()()f x g x >，即21ln xe ax a x x e -->- 当0a ≤时，函数()f x 单调递减，故()()10f x f <=，()0>g x 恒成立，故不成立；当102a <<1>，故()10f f <=，()0>g x 恒成立，故不成立； 当12a ≥时，设()()()F x f x g x =-， 则()()()212222111111121'20xx x x F x ax e x x x x x x x x x x --+-=-+->-+-=-+=>， 故()()()()10F x f x g x F =->=恒成立. 综上所述：12a ≥. 【点睛】本题考查了函数单调性，函数零点问题，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
2020-2021学年山西省朔州市怀仁县第八中学高二数学理联考试题含解析
2020-2021学年山西省朔州市怀仁县第八中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列的通项公式为，则是数列的第( )项（A）2 （B） 3 （C） 4 （D） 5参考答案：C2. 设x∈R，则|x+1|＜1是|x|＜2成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3. 设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥对任意x>0恒成立，则p 是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B4. 函数的图像大致为（）参考答案：B5. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只需将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数f（x）的解析式．再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得： ?=﹣，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=π，解得φ=，故函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）=sin2x的图象向左平移个长度单位可得f（x）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，属于中档题．6. 甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用互斥事件概率加法公式求解．【解答】解：∵甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，∴乙不输的概率是p==．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．7. 对于R上可导的函数f（x），若满足（x﹣1）f'（x）＜0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1） B．f（0）+f（2）=2f（1）C．f（0）＜f（1）＜f（2） D．f（0）+f（2）＞2f（1）参考答案：A【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】借助导数知识，根据（x﹣1）f′（x）＜0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．【解答】解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣1）f′（x）＞0∴有或，即当x∈（1，+∞）时，f（x）为减函数，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）为增函数∴f（0）＜f（1），f（2）＜f（1）∴f（0）+f（2）＜2f（1）故选：A．8. 若不等式，对恒成立，则关于t的不等式的解为( )A． B． C． D．参考答案：A略9. 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中正确的是A.若与所成的角相等，则B.若，，则C.若，则D.若，则参考答案：D略10. 已知向量＝（0，2，1），＝（－1，1，－2），则·的值为（）A．0 B．1 C．3D．4参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，，且，则的最小值为__________．参考答案：18当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12. 甲、乙、丙三人在同一办公室工作。
山西省2020学年高二数学上学期期末考试试题理
第一学期期末考试 高二数学试题（理）(时间120分钟；满分150分） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.在一次数学测试中，成绩在区间［125,150］上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p 是“甲测试成绩优秀”,q 是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为（ ）.A ()()p q ⌝∨⌝ .B ()p q ∨⌝.C ()()p q ⌝∧⌝ .D p q ∨2.抛物线23x y -=的焦点坐标是（ ）A. )0,43( B. )0,43(-C.)121,0(-D. )121,0( 3. 22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）A. 321<<-x B . 61<<-x C. 021<<-xD. 213<<-x4.已知双曲线2222:1y x C a b -=的离心率为2，则C 的渐近线方程为（ ）.A 14y x =±.B 13y x =± .C 12y x =± .D 2y x=±5.四面体OABC 中，,M N 分别是,OA BC 的中点，P 是MN 的三等分点（靠近N ），若OA a =，OB b =，OC c = ，则OP = ( ).A 111366a b c ++.B 111633a b c ++ .C 111263a b c ++.D 111623a b c ++ 6. 点()2,3P 到直线:20l ax y a +-=的距离为d ，则d 的最大值为（ ）.A 3.B 4.C 5.D 77.如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A.6π .B 4π .C 3π .D 2π8. 《九章算术.商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，4AB BC ==,15AA =,M 是11A C 的中点，过BCM 的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（ ）.A 40.B 25+.C 50.D 30+9. 直线l 过椭圆2212x y +=的左焦点F ，且与椭圆交于,P Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点，若FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为（ ）.A 3±.B 2±.C 1±.D 10．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，直线m 过点F ，且与抛物线在第一、四象限分别交于A,B 两点，过A 点作l 的垂线，垂足为A '，若2AA p '=，则BF =（ ）3.pA2.p B32.p Cp D .11．已知椭圆C 的两个焦点分别是12(1,0),(1,0)F F -,短轴的两个端点分别为,M N ，左右顶点分别为12,A A ，若1FMN ∆为等腰直角三角形，点T 在椭圆C 上，且2A T 斜率的取值范围是11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么1A T 斜率的取值范围是（ ）.A []1,2.B 11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.C []4,2--.D []2,1--12．如图：已知双曲线2222(0,0)x y a b a b->>中，12,A A 为左右顶点，F 为右焦点，B 为虚轴的上端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =,使得12(1,2)i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）.A .B .C )+∞.D 1(,)2+∞ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、“200,20o x R x x m ∃∈++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是 ________.14、已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数λ=_____. 15、如图：060的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别 在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB ，已知AB =4，AC =6，BD =8，则CD =_____.16、椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C ，其长轴的长为2a ，焦距为2c ，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c ，则椭圆C 的离心率为_____.三、解答题（共70分。
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山西省怀仁市2020-2021学年高二上学期期末考试
理科数学I 卷
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
（考试时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．抛物线21
8y x =的准线方程为（）
A ．1
32y =- B ．2y =- C ．2x =- D ．1
32x =-
2．“37m <<”是“方程2
2
137x y m m +=--为椭圆”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线的渐近线方程为1
2y x =±，则其对应的双曲线方程不可能为（）
A ．2214x y -=
B ．2
214x y -= C ．2
214y x -= D ．2
246x y -=
4．已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A ．1-是函数()f x 的极小值点
B ．4-是函数()f x 的极小值点
C ．函数()f x 在区间(),4-∞-上单调递增
D ．函数()f x 在区间()4,1--上先增后减
5．如图，椭圆22
1164
x y +=上的一点A 关于原点的对称点为B ，F 为它的右焦点，若AF BF ⊥则AFB 的面积是（）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且||||8FA FB ⋅=，则AB =（）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 7．已知椭圆221(1)x y m m +=>和双曲线2
21(0)x y n n
-=>有相同的焦点12,F F ，P 是它们的一个交点，则12F PF 的形状是（）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．随m ，n 的变化而变化
8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，且AB BC CD ==，则该双曲线的离心率为（）
A ．5 D ．7
9．已知(3,0)A -，B 是圆2
2(4)1x y +-=上的点，点P 在双曲线22
145x y -=的右支上，则||||PA PB +的最小值为（）
A ．9
B ．4
C ．8
D ．7
10．已知点A ，B 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右顶点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，若
12F F =P 是双曲线上异于A ，B 的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积为定值4，则AB =（）
A ．2
B ．．．4
11．在矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为AB 边的中点，将ADE 沿直线DE 折成1A DE ，若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 的翻折过程中下面四个命题中不正确的是（）
A ．BM 是定值
B ．点M 在某个球面上运动
C ．存在某个位置使1DE AC ⊥
D ．存在某个位置使//MB 平面1A DE
12．已知函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数，当0x >时，()2()0xf x f x +>'，且()11f =，则函数21()()g x f x x
=-的零点个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知椭圆22
1164
y x +=的弦AB 的中点M 的坐标为()2,1，则AB 的方程为________． 14．如果12,F F 分别是双曲线22
1169
x y -=的在、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF 的周长是________．
15．已知函数()3221()13
f x x x a x =++-在()0,1内存在最小值，则a 的取值范围为________． 16．若点P 为椭圆22
143
x y +=上的一个动点，过点P 作圆C ：22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形PACB 的面积最大时，PA PB ⋅的值为_________．
三、解答题（本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设命题p ：方程22
1327
x y a a +=-+表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线：命题q ：实数a 使曲线222426120x y x y a a +---++=表示一个圆
（1）若命题p 为真命题，求实数a 取值范围；
（2）若命题“p q ∨”为真，命题“p q ∨”为假，求实数a 的取值范围．
18．（本大题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，//AD BC ，AD CD ⊥且
22PC BC AD CD ====2PA =．
（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ．
（2）若M 为侧棱PD 的中点，求二面角M AC P --的余弦值．
19．已知函数321()43cos 32
f x x x θ=-+，其中R x ∈． （1）当2
πθ=时，判断函数()f x 是否有极值； （2）若,32ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦，()f x 总是区间(21,)a a -上的增函数，求a 的取值范围． 20．过抛物线C ：22(0)y p x p =⋅>的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线C 于M ，N 两点，且||2MN =．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）抛物线C 上一点()0,1Q x ，直线l ：y kx m =+（其中0k ≠）与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点（A ，B 均不与点Q 重合）．设直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，1212
k k =-
．直线l 是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由． 21．已知双曲线22
1x y -=的焦点是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的顶点，1F 为椭圆C 的左焦点且椭圆
C 经过点23⎛ ⎝⎭
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右顶点A 作斜率为k （0k <）的直线交椭圆C 于另一点B ，连结1BF 并延长1BF 交椭圆C 于点M ，当AOB 的面积取得最大值时，求AOB 的面积．
22．已知函数2
()(2)ln 2f x ax a x =+-+．
（1）求函数在点(1,(1))f 处的切线方程，并讨论函数()f x 的单调性；。