长沙理工大学-硕士研究生复试试题-F1003概率论与数理统计(2017年)-数计学院
长沙理工大学概率论题库
长沙理工大学考试试卷……………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 01 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ……………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 概率论与数理统计B 课程代号专 业 层次（本、专） 本科（城南） 考试方式（开、闭卷） 闭一、填空题(本大题总分10分，每小题2分)1 . 某射手向一目标连续射击两次，用i A 表示事件“第i 次射击命中目标”，1,2i =，则12(A A )(⋃)A A 21表示事件( 两次射击中仅一次命中目标 )2 . 设(X ，Y)服从区域}4y x y){(x,D 22≤+=上的均匀分布，则=>+)3Y P(X 22( 1/4 )3 . 若随机变量X 的数学期望为μ，方差为σσ(,2＞0)，则用切比雪夫不等式估计得{3}P X μσ-≥≤（ 1/9 ）4 . 设X 服从区间[0，2]上的均匀分布，Y=X 2，则cov(X,Y)=（ 2/3 ）5 . 评价参数的估计量优劣的标准有( 无偏性 )、有效性和一致性。
二、单项选择题(本大题总分20分，每小题5分)则2 0.5 ②0.3 ③0.09 ④0.212 . 设(X ，Y)的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它01y 1,0x 01y)f(x,，则随机变量X 与Y（ ④ ）① 相关 ② 不相关③ 不相关但不独立 ④ 不相关且独立3 . 从0，1，…，9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为( ② )4 0.1 ② 0.3439 ③ 0.4 ④ 0.6561 4 . 设随机变量X 的密度函数p(x)满足：p(x)x)p(=-，F(x)是X 的分布函数，则对任意a >0,则a)X P(>=（ ① ）①F(a)]2[1- ②12F(a)- ③F(a)2- ④)2F(a 1-第 1 页（共 2 页）三、计算题(本大题总60分,每小题12分)1 . 三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为413151、、,求(1)将此密码译出的概率, (2)恰好有一个人译出此密码的概率. 1. 1.解.：设{},1,2,3i A i ==第i 人能破译,则 (1) ()()3i 123123i=1423P(A )11()()10.6534P A A A P A P A P A =-=-=-⨯⨯=(6分) (2) ()()()123123123P A A A P A A A P A A A ++(8分)()()()123123123()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++(10分)1234134211353453453430=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2 . 令cos πY =求：（1）Y 的分布律；（2）E （Y ）。
长沙理工大学研究生入学考试复试真题-三套
一、选择题（单选与多选题）（每题1分，共15分）1．连续配筋砼路面的纵向配筋率与（）有关。
A．缝宽 B.缝距C. 砼板的厚度D.钢筋的屈服强度2．构成路基的三要素是（）。
A．路基宽度 B.地面横坡度C. 路基高度D.路基边坡坡度3．路基土的最佳含水量与（）有关。
A．压实功 B.初始含水量C. 土类D.塑性指数4．路基土的稠度与（）有关。
A．含水量 B.塑限C. 压实度D.液限5．SMA的特点有（）。
A．粗集料多 B.细集料多C. 沥青多D.中间集料少6．我国刚性路面设计理论为（）。
A．弹性地基上的小挠度弹性薄板理论B. 弹性地基上的弹性厚板理论。
C. 文克勒地基上的小挠度弹性薄板理论。
D. 文克勒地基上的弹性厚板理论。
7．土基回弹模量的确定方法有（）。
A．查表法 B.换算法C. 室内试验方法D.现场检测方法8．以下属于路基地下排水设施的有（）。
A．排水沟 B.渗沟C. 盲沟D.渗井9．水泥混凝土路面损坏状况评价指标有（）。
A．断板率 B.接缝传荷能力C. 脱空D.平均错台量10．横缝设传力杆的主要作用是（）。
A．提高接缝传荷能力 B.减少基层冲刷C. 减薄面层 D.减薄基层11．在路面结构设计中，土基模量是指下列哪个模量（）。
A．切线模量 B.割线模量C. 回弹模量D.弯拉模量12．松散粒料材料的强度是用（）表征。
A．粘结能力 B.内摩擦角C. 抗拉强度D.抗压强度13．评定路表抗滑性能的指标有（）。
A．BPN B.SFCC. 平整度D.TD14．水泥混凝土路面接缝传荷机构有（）。
A．集料嵌锁 B.传力杆C.传力杆和集料嵌锁D.拉杆15．下列属于水泥路面破坏形式的有（）。
A．开裂 B.断板C. 车辙D.接缝损坏二、问答题（45分）1 重力式挡土墙通常有那些破坏形式？稳定性验算包括哪些项目？当抗滑或抗倾覆稳定性不足时，分别可采用哪些稳定措施？2为什么说路基回弹模量是条件模量？测试时是如何考虑的？3减少半刚性基层沥青路面反射开裂的主要措施？4 沥青路面的轴载换算原则是什么？5水泥混凝土路面的主要破坏形式及原因。
长沙理工大学概率与数理统计试卷
P( X 1)
7分
15 5 5 56 56 14 .
9分
五．解: 1) 由
1 1
f ( x, y )dxdy 1
1
有
1
c 1 2 c 1 c 2 2 1 2 1 cxy dxdy cy x | dy y dy y 3 |1 0 0 0 0 0 0 2 2 2 3 6,
2
11．若 X ~ N (2,9) ,且 P( X c) P( X c) ,则 c 二．选择题(每题 3 分，共 12 分)： 1．设 A, B 为两事件,且 0 P( A) 1 ,则下列命题中成立的是 ( A. A, B 独立 P ( B | A) P ( B | A) C. A, B 独立 A B
, 6分
从而由贝叶斯公式,
P( A1 | B)
P( A1 B) P( A1 ) P( B | A1 ) 0.25 0.05 0.36 P( B) P( B) 0.0345 .
9分
四． 解: 由题意知 X 的可能取值为 1,2,3,4,其分布列为
1 1 1 C5 C3 C5 5 15 , P ( X 2 ) , 1 1 1 C8 8 C8 C 7 56 3 1 C 2 C1 C3 C5 5 1 P( X 3) 32 5 , P ( X 4 ) 1 3 1 C8 C 6 56 C8 C 5 56 . P(1 X 3) P(( X 2) ( X 3)) P( X 2) P( X 3) .
4
长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题三
考试类别:闭卷 题号 一 二 三 得分 得分 评卷人 复查人 四 考试时量:120 分钟 五 六 七 八 九 试卷类型: B 卷 十 合分
数理统计考研复试题库及答案
数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X≤c) ＝ P(X>c)，则c 等于（）A 0B μC σD σ²答案：B解析：正态分布的概率密度函数关于均值μ 对称，所以P(X≤μ) ＝P(X>μ)，故 c ＝μ。
2、设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式，有 P(｜X E(X)｜≥ 2) ≤ （）A 05B 025C 01D 005答案：B解析：切比雪夫不等式为 P(｜X E(X)｜≥ ε) ≤ Var(X) ／ε² ，将Var(X) ＝ 2，ε ＝ 2 代入可得 P(｜X E(X)｜≥ 2) ≤ 2 ／ 2²＝ 025 。
3、设总体 X 服从参数为λ 的泊松分布，X₁, X₂,， Xₙ 为来自总体的样本，样本均值为，则λ 的矩估计值为（）ABCD答案：A解析：因为总体 X 服从泊松分布，所以 E(X) ＝λ 。
由矩估计法，用样本均值估计总体均值 E(X)，即，所以λ 的矩估计值为。
4、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自正态总体N(μ,σ²)的样本，其中μ 未知，σ² 已知。
则检验假设 H₀: μ ＝μ₀所用的统计量是（）ABCD答案：C解析：当总体方差σ² 已知时，检验假设 H₀: μ ＝μ₀所用的统计量为。
5、对于两个正态总体，在方差已知的情况下，检验均值是否相等，应采用（）A t 检验B u 检验C F 检验D χ² 检验答案：B解析：在两个正态总体方差已知的情况下，检验均值是否相等，采用 u 检验。
二、填空题1、设随机变量 X 的分布函数为 F(x) ＝ A ＋ Barctan(x)，则 A ＝，B ＝。
答案：A ＝ 1/2，B ＝1/π解析：因为 F(＋∞）＝ 1，F(∞）＝ 0 ，所以 A ＋B × π/2 ＝ 1，AB × π/2 ＝ 0 ，解得 A ＝ 1/2，B ＝1/π 。
数理统计考研复试题库及答案
数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝ 2x, 0 ＜ x ＜ 1，则 P{02 ＜X ＜ 08} ＝（）A 06B 04C 032D 016答案：C解析：P{02 ＜ X ＜ 08} ＝∫02,08 2x dx ＝ x^2|02,08 ＝ 064 004 ＝062、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自正态总体 N(μ, σ²) 的样本，样本均值为X，样本方差为 S²，则（）A Xμ ～ N(0, 1)B n(Xμ) ／σ ～ N(0, 1)C （Xμ) ／（S ／√n) ～ t(n 1)D （n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)答案：D解析：根据抽样分布的性质，（n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)3、设总体 X 服从参数为λ 的泊松分布，X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，则λ 的矩估计量为（）A XB S²C 2XD 1 ／X答案：A解析：由 E(X) ＝λ ，且样本矩等于总体矩，可得λ 的矩估计量为X。
4、对于假设检验问题 H₀: μ ＝μ₀，H₁: μ ≠ μ₀，给定显著水平α ，若检验拒绝域为｜Z| ＞zα/2 ，其中 Z 为检验统计量，当 H₀成立时，犯第一类错误的概率为（）A αB 1 αC α/2D 1 α/2答案：A解析：第一类错误是指 H₀为真时拒绝 H₀，犯第一类错误的概率即为显著水平α 。
5、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0, 1) ，则 Z ＝ X²＋ Y²服从（）A 正态分布B 自由度为 2 的χ² 分布C 自由度为 1 的χ² 分布D 均匀分布答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以 Z ＝ X²＋ Y²服从自由度为 2 的χ² 分布。
长沙理工大学概率论试题9
长沙理工大学模拟试卷第九套概率论与数理统计试卷一、填空题（每小题2分，共2×10＝20分）.1、在进行抽样时，样本的选取必须是随机的，即总体中每个个体都有同等机会被选入样本. 因此，抽取样本1ξ，2ξ，…，n ξ，要求满足下列两个特性：1）_________；2）_________. 具备这两个特性的样本称为简单随机样本，简称样本.2、假设1x ，2x ，…，n x 是样本1ξ，2ξ，…，n ξ的一个样本值或观测值，则样本均值x 表示样本值的集中位置或平均水平，样本方差S 2和样本修正方差S *2表示样本值对于均值x 的__________________.3、样本方差S 2和样本修正方差S *2之间的关系为__________________.4、矩估计法由英国统计学家皮尔逊（Pearson ）于1894年提出，它简便易行，性质良好，一直沿用至今. 其基本思想是：以样本平均值（一阶原点矩）ξ作为相应总体ξ的____________________；以样本方差（二阶中心矩）2S 或者以样本修正方差2*S 作为相应总体ξ的___________________________.5、θˆ具有无偏性的意义是：θˆ取值因随机性而偏离θ的真值，但_________________即没有系统的偏差.6、设1ˆθ和2ˆθ都是无偏估计量，如果________________，则称1ˆθ比2ˆθ有效. 7、在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度α直接有关. 一般来讲，信度α较大，其置信度（1－α）较小，对应置信区间长度也较短，此时这一估计的精确度升高而可信度降低；相反地，信度α较小，其置信度（1－α）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这一估计的精确度_________而可信度_____________.8、假设检验中统计推断的唯一依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第一类错误为__________________，第二类为__________________.9、常用的假设检验方法有四种，分别为1）__________________、2）__________________、3）__________________、3）__________________.10、对于单正态总体，当均值μ已知时，对总体方差 2σ的假设检验用统计量及分布为____________________________________.二、简答题（每小题2分，共2×10＝10分）.1、若α＝0.05，求2αu .答：2、若α＝0.01，k ＝14，求)1401.0(2；χ. 答：3、若α＝0.05，k ＝10，求)1005.0(；t . 答：4、若α＝0.05＜0.5，k 1＝10，k 2＝15，求)15,1005.0(；F . 答：5、设1ξ，2ξ，…，n ξ是ξ的样本，且ξ～ N(μ,2σ)，试求：E ξ、D ξ、E 2*S .答：6、对于总体ξ有E ξ＝μ，D ξ＝2σ，1ξ，2ξ，3ξ是ξ的样本，下列统计量中哪一个最有效？1ˆμ＝1ξ，2ˆμ＝134ξ－231ξ，3ˆμ＝1(31ξ＋2ξ＋3ξ） 答：7、设总体ξ服从二项分布b(n ，p )，p 为待估参数，),,,(21n ξξξ 为ξ的一个样本，求p 的矩估计量.答：8、已知一批元件的长度测量误差ξ服从N （μ，2σ），μ，2σ为未知参数，现从总体ξ中抽出一个容量是6的样本值-1.20，-0.85，-0.30，0.45，0.82，0.12，求μ，2σ的最大似然估计值.答：9、已知洛阳轴承厂生产的滚珠直径ξ～N（μ，2σ），其中2σ为已知，μ为待估参数. 从某天生产的滚珠中随机抽取一个样本1ξ，2ξ，…，nξ，对于事先给定的信度α，试写出总体均值μ的置信区间.答：10、已知洛阳轴承厂生产的滚珠直径ξ～N（μ，2σ），其中2σ为未知知，μ为待估参数. 从某天生产的滚珠中随机抽取一个样本1ξ，2ξ，…，nξ，对于事先给定的信度α，试写出总体均值μ的置信区间.答：三、应用题（每小题10分，共4×12＝48分）1、已知某厂生产的电子零件的长度ξ～N（12.5，2σ），从某天生产的零件中随机抽取4个，测得长度为（单位：mm）12.6 13.4 12.8 13.2，求2σ的置信度为0.95的置信区间.2、已知某种木材横纹抗压力的实验值ξ～N（μ，2σ），对10个试件作横纹抗压力试验，得数据如下(单位：公斤/平方厘米)：578 572 570 568 572 570 570 596 584 572.试对2σ进行区间估计(α＝0.05).3、已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.53，0.1082)，某日随机测定了9炉铁水，含碳量如下：4.43 4.50 4.58 4.42 4.47 4.60 4.53 4.46 4.42 若已知总体方差无变化，能否认为该日生产的铁水的平均含碳量仍为4.53（α＝0.05）?4、已知某涤纶厂生产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常情况下服从正态分布N （1.405，0.0482），某日随机测定了5根纤维，纤维度如下： 1.32 1.55 1.36 1.40 1.44 问这天维尼纶纤度总体的均方差是否正常（α＝0.05）?四、论述题（每小题10分，共2×6＝12分）1、假设检验的基本原理是什么？2、请你谈谈学习数理统计的意义？长沙理工大学模拟试卷第九套一、填空题（每小题2分，共2×10＝20分）. 1、1）独立性等；2）代表性. 2、离散程度.3、S 2＝2*1Sn n -.4、期望；方差.5、E θˆ＝θ.6、D 1ˆθ＜D 2ˆθ.7、大，长，降低，升高. 8、“弃真”，“取伪”.9、1）U 检验法、2）t 检验法、3）2χ检验法、3）F 检验法.10、2χ＝∑=-ni i 122)(σμξ～2χ(n).二、简答题（每小题2分，共2×10＝10分）.1、2αu ＝025.0u ＝1.96.2、)1401.0(2；χ＝)14(201.0χ＝29.141.3、)1005.0(；t ＝)10(05.0t ＝1.8125 4、)15,1005.0(；F ＝)15,10(05.0F ＝2.54 5、E ξ＝μ,D ξ＝n 2σ，E 2S ＝21σn n -，E 2*S ＝2σ.6、3ˆμ最有效. 7、因μ＝E ξ＝np ，所以p ＝n μ. 又μˆ＝ξ，所以 p ˆ＝n μˆ＝n ξ. 8、μ≈ξ＝61[(-1.20)＋(-0.85)＋(-0.30)＋0.45＋0.82＋0.12]＝－0.16.2σ≈2S ＝61[(-1.20+0.16)2＋(-0.85+0.16)2＋(-0.30+0.16)2＋(0.45+0.16)2＋(0.82+0.16)2＋(0.12+0.16)2]＝0.4980.9、（ξ2ασu n-，ξ＋)2ασu n.10、（ξnS t 2*2α-，ξ＋)2*2nS t α.三、应用题（每小题10分，共4×12＝48分）1、解 因∑=-412)(i iμξ＝(12.6－12.5)2＋(13.4－12.5)2＋(12.8－12.5)2＋(13.2－12.5)2＝1.4.又 1－α＝0.95，α＝0.05，查附表3得22αχ＝2025.0χ(4)＝11.143，221αχ-＝2975.0χ(4)＝0.484.故置信度为0.95的置信区间为（143.114.1，484.04.1），即（0.13，2.89）. 2、解（35.83，252.43）.3、解 设该日生产的铁水含碳量ξ～N （μ，2σ），已知σ＝ 0.108, n ＝9，则待检假设为Ho ：μ＝4.53, H 1：μ≠4.53. 当Ho 成立时，有统计量u ＝9/108.053.4-ξ～N （0，1）对于给定显著水平α＝0.05，查标准正态分布函数数值表（附表2）得2αu ＝1.96，使得P （|u|>1.96）＝0.05.由样本观察值计算得x ＝4.49，于是有|u|＝|9/108.053.449.4-|＝1.11＜1.96，因小概率事件没有发生，故接受Ho ，即在显著水平α＝0.05下，可认为该日生产的铁水的平均含碳量仍为4.53.4、解 设该日生产的维尼纶的纤度ξ～N （μ，2σ），已知μ＝1.405，σ＝0.048, n ＝5，则待检假设为Ho ：2σ＝0.0482，H 1：2σ≠0.0482. 当Ho 成立时，有统计量2χ＝∑=-5122048.0)405.1(i i ξ～2χ(5）.对于给定显著水平α＝0.05，查2χ分布临界值表（附表3）得22αχ＝12.833和221αχ-＝0.83使得P （2χ＞12.833）＝2α，P （2χ＜0.83)＝2α.由样本观察值计算2χ得，2χ＝13.683. 于是有2χ＝13.683＞12.833因小概率事件发生，故拒绝Ho ，即在显著水平α＝0.05下，可认为该日生产的维尼纶的纤度的均方差不正常.四、论述题（每小题10分，共2×6＝12分） 1、略. 2、略.。
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长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题一考试类别：闭 考试时量：120 分钟一．填空题(每空2分，共32分)：1．设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P ,若B A ,互不相容,则=)(B P 0.3 ; 若B A ,独立,则=)(B P 0.5 .2．若)4,1(~N X ,则~21-=X Y )1,0(N .3．已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P 0.8 ,=)|(A B P 0.25 . 4．从(0,1)中随机地取两个数b a ,,则b a -大于0的概率为 0.5 .5．若],2,0[~πU X 则12-=X Y 的概率密度函数为=)(y f . 6．随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P . 7．设X 的分布列为5.0)1()1(===-=X P X P ,则X 的分布函数为=)(x F .8．设随机变量X 有分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,120,s i n 0,0)(ππx x x A x x F , 则=A ,=<)6|(|πX P .9．一颗均匀骰子被独立重复地掷出10次,若X 表示3点出现的次数,则X ~ . 10．设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则Z 的分布列为 .11．若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c .二．选择题(每题3分，共12分)：1．设B A ,为两事件,且1)(0<<A P ,则下列命题中成立的是 ( )A. B A ,独立)|()|(A B P A B P =⇔B. B A ,独立⇔B A ,互不相容C. B A ,独立⇔Ω=⋃B AD. B A ,独立⇔0)(=AB P2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,20,0)(x x x x x F , 则 ( )A . )(x F 是一个连续型分布函数 B. )(x F 是一个离散型分布函数C. )(x F 不是一个分布函数D. 5.0)1(==X P3．设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( ) A.⎰-=-adxx f a F 0)(1)( B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C. )()(a F a F =-D. 1)(2)(-=-a F a F4．设随机变量}5{},4{).5,(~),4,(~2122+≥=-≤=u Y P p u X P p u N Y u N X ,则 ( )A . 对任意实数21,p p u = B. 对任意实数21,p p u < C. 只对u 的个别值才有21p p = D. 对任意实数21,p p u >三．某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (9分)四．箱中装有5个黑球,3个白球,无放回地每次取一球,直至取到黑球为止.若X 表示取球次数,求X 的分布列,并求)31(≤<X P .( 9分) 五．设随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=,010,10,),(2y x cxy y x f , 求: 1)常数c ; 2) )241,210(<<<<Y X P ;3)43(>X P ); 4))(Y X P >. (16分)六．在一盒子里有12张彩票,其中有2张可中奖.今不放回地从中抽取两次,每次取一张,令Y X ,分别表示第一、第二次取到的中奖彩票的张数,求),(Y X 的联合分布列.其它七．设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自下列两参数指数分布的样本：()()1121211,120;,x e x x f x θθθθθθθ--≥≤⎧⎪=⎨⎪⎩其中()1,θ∈-∞+∞，()20,θ∈+∞，试求出1θ和2θ的最大似然估计. (16分)长沙理工大学数计学院概率论与数理统计 模拟试题二考试类别:闭卷 考试时量:120分钟 试卷类型: A 卷一.填空题(每空2分,共40分) 1.已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P , =)|(A B P.2. 从9,,2,1,0 这十个数字中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中不含0和5},2A ={三个数字中含有0和5},则=)(1A P ,=)(2A P .3. 设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P .4. 若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32-+Y X ~ .5．设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D .6．已知,4.0,36,25,===Y X DY DX ρ则=),(Y X Cov , =+)(Y X D.7. 设X 的分布函数=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤1,111,5.01,0x x x ，则X 的分布列为 .8. 随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P . 9. 设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则=EZ .10. 若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c . 11. 设随机变量X 的期望,1=EX 方差2=DX ,由车贝晓夫不等式知><-)3|1(|X P .12. 设Y X ,独立同分布,有共同的概率密度函数)(x f ,则=<)(Y X P.13. 设 ,,,1n X X 独立同分布,且11=EX ,则−→−∑=Pn i i X n 11 .14. 设74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ,则=≥)0),(max(Y X P.15. 设 ,,,1n X X 独立同分布, ]2,0[~1U X ,则=≤∑=∞→)11(lim 1ni i n X n P .二. 单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每题3分,共15分) 1. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有( )①. ⎰-=-adxx f a F 0)(1)( ②. ⎰-=-adx x f a F 0)(21)(③. )()(a F a F =- ④. 1)(2)(-=-a F a F2. 设8.0)|(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ,则 ( )①. A,B 互不相容 ②. A,B 相互独立 ③. B ⊂A ④. P(A-B)=0.13. 如果随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+,则必有 ( ) ①. X 与Y 独立 ②. X 与Y 不相关 ③. 0)(=Y D ④. 0)(=X D4. 4次独立重复实验中,事件A 至少出现一次的概率为80/81,则 ( ) ①. 21②. 31 ③. 32 ④. 415. 设随机变量X 服从指数分布)3(E ,则=),(DX EX ( )①. (31,31) ②. )3,3( ③. )91,31( ④. )9,3(三. 计算题(共45分)1. 一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得正品的概率?若确实取得正品,求正品由甲厂生产的概率.(8分)2. 设随机向量),(Y X 的联合密度函数为:⎩⎨⎧≤≤≤≤+=,020,10,),(2y x bxy x y x f求①常数b; ②)1(≥+Y X P ; ③)21|1(<>X Y P ; ④讨论Y X ,的独立性. (12分)3. 袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X 表示取球的次数,求①X 的分布列,②))31(≤<X P ,③EX . (9分)4. 某教室有50个座位,某班有50位学生,学号分别为1到50.该班同学上课时随机地选择座位,X 表示该班同学中所选座位与其学号相同的数目,求X 的期望EX .(8分)５．设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本，X 的密度函数:(1),01()0,x x f x ββ⎧+<<=⎨⎩其他， 0β>, 求参数β的矩估计量和极大似然估计量。
长沙理工大学概率论与数理统计练习册
第一章 概率论的基本概念 练习1.1 样本空间、随机事件一、写出以下随机试验的样本空间：1.从两名男乒乓球选手B A ,和三名女乒乓球选手,,C D E 中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。
2.10件产品中有4件次品，其余全是正品，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的正品件数。
二、有三位学生参加高考，以i A 表示第i 人考取（1,2,3i =）.试用i A 表示以下事实： 1.至少有一个考取；2.至多64738291有两人考取；3.恰好有两人落榜。
三、投掷一枚硬币5次，问下列事件A 的逆事件A 是怎样的事件？1. A 表示至少出现3次正面；2. A 表示至多出现3次正面；3. A 表示至少出现3次反面。
四、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件A 表示“取得的球的号码是偶数”， 事件B 表示“取得的球的号码是奇数”， 事件C 表示“取得的球的号码小于5”，则,,,,,C A C AC A C A B AB ⋃-⋃分别表示什么事件？五、在某系的学生中任选一名学生，令事件A 表示“被选出者是男生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是运动员”。
（1）说出事件C AB 的含义；（2）什么时候有恒等式C C B A = ; (3) 什么时候有关系式B C ⊆正确; （4）什么时候有等式B A =成立。
练习1.2 概率、古典概型一、填空1.已知事件A ，B 的概率()0.7,()0.6P A P B ==,积事件AB 的概率()0.4P AB =,则()P A B ⋃= , ()P A B -= , ()P A B ⋃= , ()P A B ⋃= ,()P AB = , ()P A AB ⋃= .2. 设B A ,为两个事件，7.0)(=B P ,()0.3P AB =,则=+)(B A P .3. 设B A ,为两个任意不相容事件，,则=-)(B A P .4. 设B A ,为两个事件，5.0)(=A P ,=-)(B A P 0.2，则=)(AB P . 5. 已知,41)()()(===C P B P A P =)(AB P 0，61)()(==BC P AC P ，则C B A ,,全不发生的概率为 .二、设B A ,是两事件，且()0.6P A =，()0.7P B =,求(1) 在什么条件下，()P AB 取到最大值？ (2) 在什么条件下，()P AB 取到最小值？ 三、一批产品20件，其中3件次品，任取10件，求(1) 其中恰有一件次品的概率；(2) 至少有一件次品的概率。
数理统计考研复试题库及答案
数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0,1)，则下列随机变量中服从标准正态分布的是（）A X ＋ YB X YC X²＋ Y²D （X ＋ Y)²答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0,1)，所以 X Y 也服从正态分布，且期望为 0，方差为 2，即 X Y 服从 N(0, 2)，标准化后服从标准正态分布。
2、设总体 X 服从正态分布N(μ, σ²)，其中μ 未知，σ² 已知，（X₁, X₂,， Xₙ) 为来自总体 X 的样本，则μ 的置信度为1 α 的置信区间为（）A （ˉ X zα/2 σ/√n, ˉ X ＋zα/2 σ/√n ）B （ˉ X tα/2 （n 1) S/√n, ˉ X ＋tα/2 （n 1) S/√n ）C （ˉ X zα/2 S/√n, ˉ X ＋zα/2 S/√n ）D （ˉ X tα/2 （n) S/√n, ˉ X ＋tα/2 （n) S/√n ）答案：A解析：当总体方差σ² 已知时，使用正态分布来构造置信区间，μ 的置信度为1 α 的置信区间为（ˉ X zα/2 σ/√n, ˉ X ＋zα/2 σ/√n ）。
3、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝｛ 2x, 0 ＜ x ＜ 1; 0, 其他｝，则 P{05 ＜ X ＜ 15} ＝（）A 075B 05C 025D 1答案：C解析：P{05 ＜ X ＜ 15} ＝∫₀₅¹ 2x dx ＝ x²₀₅¹＝ 1 025 ＝ 075 ，但 15 不在定义域内，所以 P{05 ＜ X ＜ 15} ＝ 075 05 ＝ 025 。
4、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，且 E(X) ＝μ，D(X)＝σ²，则样本均值ˉ X 的方差为（）A σ²B σ² ／ nC nσ²D σ² ／√n答案：B解析：样本均值ˉ X 的方差为D(ˉ X) ＝ D( （1 ／n) ∑ Xi ）＝（1／n²) ∑ D(Xi) ＝σ² ／ n 。
长沙理工大学概率论与数理统计模拟试题6
长沙理工大学模拟试卷第六套概率论与数理统计试卷姓名: 班级: 学号: 得分: 一 是非题（共7分，每题1分）1．设,,为随机事件，则与是互不相容的 （ ） 2．是正态随机变量的分布函数，则 （ ） 3．若随机变量与独立，它们取1与的概率均为，则（ ） 4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布 （ ）5. 样本均值的平方不是总体期望平方的无偏估计 （ ） 6．在给定的置信度下，被估参数的置信区间不一定惟一 （ ）7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设而确定的 （ ） 二、选择题（15分，每题3分）（1）设，则下面正确的等式是 。
（ａ）； （ｂ）； （ｃ）； （ｄ）（2）离散型随机变量的概率分布为()的充要条件是 。
（ａ）且； （ｂ）且；（ｃ）且； （ｄ）且.（3） 设个电子管的寿命()独立同分布，且()，则个电子管的平均寿命的方差 .（ａ）； （ｂ）； （ｃ）； （ｄ）.（4）设为总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则有 。
（ａ）； （ｂ）；（ｃ）； （ｄ）（5）设为总体(已知)的一个样本，为样本均值，则在总体方差的下列估计量中，为无偏估计量的是 。
（ａ）； （ｂ）；（ｃ）； （ｄ）. 三、填空题（18分，每题3分）（1） 设随机事件,互不相容，且，，A B C A C B A ⋃⋃)(x F )(1)(x F x F -≠-X Y 1-5.0Y X =2X 2μα-11H A B ⊂)(1)(A P AB P -=)()()(A P B P A B P -=-)()|(B P A B P =)()|(A P B A P =X kA k X P λ==)(Λ,2,1=k 1)1(-+=A λ0>A λ-=1A 10<<λ11-=-λA 1<λ0>A 10<<λ10i X10~1=i A X D i =)(10~1=i 10Y =)(Y D A A 1.0A 2.0A 10),,,(21n X X X Λ)1,0(~N X X 2S )1,0(~N X )1,0(~N X n )1(~/-n t S X )1,1(~/)1(2221--∑=n F X X n ni i ),,,(21n X X X Λ),(2σμN μX 2σ∑=-=n i i X X n 1221)(1σ∑=--=n i i X X n 122)(11σ∑=-=n i i X n 1223)(1μσ∑=--=n i i X n 1224)(11μσA B 3.0)(=A P 6.0)(=B P则.（2） 设随机变量服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量的概率密度函数为 .（3）设随机变量，则概率＝ . （4）设随机变量的联合分布律为若（5）设是取自总体的样本，则当＝ 时， 服从分布，＝ .（6）设某种清漆干燥时间（单位：小时），取的样本，得样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧置 信区间上限为： .四、计算题与应用题（54分，每题9分）1.某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.2.设随机变量的联合密度函数求 (1)常数A ；(2)条件密度函数；(3)讨论,的相关性 3.设随机变量(均匀分布)，(指数分布)，且它们相互 独立，试求的密度函数. 4.某彩电公司每月生产20万台背投彩电，次品率为0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为0.01. 试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率.5.设总体的概率分布列为：0 1 2 3 p 2 2 p (1-p ) p 2 1-2p其中() 是未知参数. 利用总体的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3求 (1) p 的矩估计值； (2) p 的极大似然估计值 .=)(A B P X 2X Y ==)(y f Y )0;3,1;2,0(~),(22N Y X )12(≥-Y X P ),(Y X ((E 621,,,X X X Λ)1,0(~N X 264231)()(∑∑==+=i i i i X X Y c cY 2χ)(2χE ),(~2σμN X 9=n 33.0,62==S X μ(,)X Y ⎩⎨⎧<<<=他其0,20),(xy x Ay x f )(x y f X Y X Y )1,0(~U X )1(~E Y Y X Z -=2)(z f Z X X P p 2/10<<p X6．某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为 12690C 12710C 12630C 12650C设数据服从正态分布，以% 的水平作如下检验： (1) 这些结果是否符合于公布的数字12600C ？(2) 测定值的标准差是否不超过20C ？ 五、证明题（6分）设随机变量与相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，证明仍服从泊松分布，参数为6.附表：标准正态分布数值表 分布数值表 t 分布数值表长沙理工大学模拟试卷第六套概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 是非题（7分，每题1分） 是 是 非 非 是 是 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ｂ）（ａ）（ｂ）（ｄ）（ｃ）. 三.填空题（18分，每题3分）1. 4/7；2.；3. 0.8446 ；4. 0.1 ；5. 1/3 2 ；6. 上限为 6.356四. 计算与应用题（54分，每题9分） 1. 任取2箱都是民用口罩，丢失的一箱为k 分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花.(2分)， (4分) (3分)2. (1) (2分)),(2σμN 5α=X Y X Y +2χ6554.0)4.0(=Φ815.7)3(205.0=χ1824.3)3(025.0=t 950.0)645.1(=Φ348.9)3(2025.0=χ3534.2)3(05.0=t 975.0)960.1(=Φ448.9)4(205.0=χ8595.1)8(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ143.11)4(2025.0=χ306.2)8(025.0=t ⎩⎨⎧<<=他其040)4/(1)(y y y f Y A kB 3,2,1=k 3685110321)()()(29252925292431=⋅+⋅+⋅==∑=C C C C C C B A P B P A P k k k .83368363)(/21)(/)()()(2924111=÷=⋅==A P C C A P B A P B P A B P .4/1=A(２) (2分) 当时，(2分) (３)所以与不相关. (3分)3.(2分)得z 轴上的分界点０与２ (2分)(2，２，１分)4. 设 (2分),(2分)经检验后的次品数，，， (2分)由中心极限定理，近似地有(3分)5. (1)， 令 ， (2分)得 的矩估计为 . (2分)(2) 似然函数为(2分)令 ，(1分) ⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰-∞∞-他其0202/)4/1(),()(x x dy dy y x f x f x xX 20<<x ⎩⎨⎧<<-==他其0)2/(1)(),()(xy x x x f y x f x y f X X Y ⎰==202,3/4)2/()(dx x X E ⎰⎰==-20,0)4/()(xxdy y dx Y E ⎰⎰==-20,0)4/()(xxdy y xdx XY E 0)()()(),cos(=-=Y E X E XY E Y X X Y ⎩⎨⎧<<=他其0101)(x x f X ⎩⎨⎧<≥=-000)(y y e y f y Y ⎰∞∞--=dxz x f x f z f Y X Z )2()()(⎩⎨⎧>-<<0210z x x ⎩⎨⎧><<⇒2/10z x x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=≤-==⎰⎰------20202/)1(02/)1()(12/2)2(102)2(z z e dx e z e e dx e z f z z x z z x z Z ⎩⎨⎧=他其出台彩电为次品且未被查第01i X i 5102~1⨯=i 6105)(-⨯=i X E )1051(105)(66--⨯-⨯=i X D ∑⨯==51021i iXY 1)(=Y E 61051)(-⨯-=Y D )1051,1(~6-⨯-N Y .0228.0)2(11051131)3(1)3(6=Φ-≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯--Φ-≈≤-=>-Y P Y P 28/1681===∑=i i X X X p X E =-=43)(p 4/14/)3(ˆ=-=X p 4281)]3()[2()]1()[0()()(=======∏=X P X P X P X P x X P p L i i 42)21()1(4p p p --=)21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln p p p p L -+-++=0218126])(ln [=----='p p p p L 0314122=+-⇒p p. 由 ，故舍去所以的极大似然估计值为 (2分)6. 由样本得 ， . (1分)(1) 要检验的假设为(1分)检验用的统计量，拒绝域为. (2分)，落在拒绝域内，故拒绝原假设，即不能认为结果符合公布的数字12600C. (1分)(2) 要检验的假设为(1分)检验用的统计量， 拒绝域为(2分),落在拒绝域内，故拒绝原假设，即不能认为测定值的标准差不超过20C. (1分)五、证明题 (6分) [ B 卷参数为2与4 ]由题设，， (1分)(2分)(2分) ，所以 仍服从泊松分布，参数为6. (1分)12/)137(±=⇒p 2/10<<p 12/)137(+=p p .2828.012/)137(ˆ=-=p 1267=X 65.33/40)(31412==-=∑=i i X X S 1260:,1260:10≠=μμH H )1(~/0--=n t nS X T μ1824.3)3()1(025.02==-≥t n t T α1824.3836.34/65.3126012670>=-=T 0H 2:,2:10>≤σσH H )1(~)1(22022--=n S n χσχ815.7)3()1(205.022==->χχχαn 815.7104/4020>==χ0H 3!3)(-==e m m X P m 3!3)(-==en n Y P n Λ,2,1,0,=m n ∑∑==-===-====+ik ik k i Y P k X P k i Y k X P i Y X P 0)()(),()(∑∑=--=---⋅-=-⋅=ik k i k ik k i k k i k i i e e k i e k 0603333!)(!!!1!)(3!366!6)33(!1--=+=e i i ei iΛ,2,1,0=i Y X +。